Apostila II

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
 
DEPARTAMENTO DE ELETRICIDADE 
 
 
 
 
 
CONVERSÃO DE ENERGIA 
 
PARTE II 
 
MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
 
 
 
 
Prof. Rubem Cesar Rodrigues Souza 
 
 
 
 
 
 
MANAUS/AM 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 1 
2. MATERIAIS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
 
 
2.1 CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS DO PONTO DE VISTA MAGNÉTICO 
 
 Todos os meios possuem propriedades magnéticas: posto na presença de um campo 
magnéticoH , estes ficam sujeitos a uma induçãoB . 
 Vimos no capítulo anterior que o “vácuo” tem uma permeabilidade não nula (o = 
4 x 10-7 H/m), e escrevemos sua lei constitutiva sobre a forma: 

 HB o
 
 Para os outros meios, supomos que é possível escrever sua lei de forma similar 

 HB
, introduzindo sua “permeabilidade magnética” . 
 
 
NOTA 
 
Intensidade de magnetização ( I ) 
 
A intensidade de magnetização, chamada também de momento magnético unitário, vetor 
magnetização ou intensidade de magnetização que representa o incremento positivo ou 
negativo do valor de Bo, é expressa como: 
 
oBBI 
 
Substituindo a Bo pelo valor μoH temos a importante relação: 
 
IHB o 
 
que liga as três grandezas fundamentais: campo H, indução B e intensidade de 
magnetização I dos materiais magnéticos. A indução é dependente das duas primeiras. 
Por outro lado, lembrando de relações apresentadas anteriormente, tem-se: 
 
   1B1HHHI rorooro 
 
 
Esta relação estabelece a ligação entre a intensidade de magnetização, a indução 
magnética do vácuo e a permeabilidade relativa do material em exame. 
A sua unidade de medida é evidentemente aquela estabelecida para a indução, isto é, 
em Wb/m
2
. 
 
Sucetibilidade magnética (

) 
 
Esta grandeza é definida pela relação 
 
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


H
I

 
 
isto é, é a relação entre a intensidade de magnetização da substância e a respectiva 
intensidade magnética do campo. 
O seu valor é ligado à permeabilidade magnética do material por uma relação que se 
determina dividindo a relação 
oBBI 
 por H e lembrando as expressões fundamentais. 





H
I
e
H
B

 
 
Temos 
 o
 
e desta relação 
o
 
 
Que indica que a sucetibilidade de um material é dada pela diferença entre sua 
permeabilidade absoluta e a do ar. Se no lugar de μ se coloca o produto μoμr tem-se a outra 
relação 
 1ro 
 
 
Que juntamente com a expressão 
o
liga os parâmetros magnéticos de 
sucetibilidade, permeabilidade do ar e permeabilidade absoluta ou relativa do material. 
 
Quando os vetores H e B não são paralelos, é mais adequado caracterizar um 
meio, do ponto de vista magnético, por seu “vetor de imantação”  relacionado ao 
campo H pela expressão: 

 H
 [2–1] 
 
onde  é a “sucetibilidade magnética” do meio. Para os materiais magnéticos ditos 
“perfeitos” os vetores eH são paralelos (caso frequente na realidade técnica). 
 Considerando agora que um meio se “superpõe” ao vácuo, escrevemos sua lei 
constitutiva sobre a forma: 
 
 










 H1HB oo
 
fazendo  = o (1 + ), tem-se: 
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
 HB
 [2– 2] 
 Verifica-se também que a “permeabilidade relativa” de um material, 
o
r



aparece como igual a sua “sucetibilidade magnética”  aumentada de um: 
r = 1 +  [2–3] 
 
O estudo dos materiais magnéticos pode ser feito por meio da relação [2–2]; não 
obstante, é mais precisa a classificação dos materiais através da relação [2–1]. 
 
 Assim, podemos classificar os materiais como: 
a) Materiais “paramagnéticos” (ver figura 2.1) quando tem uma sucetibilidade  positiva, 
praticamente constante, e muito fraca. 
 
H
0
F
Ferromagnético
Paramagnético
Diamagnético
 
 
Figura 2.1 – Classificação dos materiais. 
 
 Exemplos de materiais que se enquadram nessa categoria são: 
- O ar 
( = + 3,8 X 10-7) 
- Oxigênio O2 
( = + 2 X 10-5) 
- O alumínio Al 
- A platina Pt 
 
b) Materiais “diamagnéticos” (ver figura 2.1), são aqueles que possuem sucetibilidade  
negativa, praticamente constante e muito fraca. Este é o caso da grande maioria dos 
materiais. Alguns exemplos são: 
 
- a água H2O ( = - 9 X 10
-6
) 
- o bismuto Bi ( = - 1,5 X 10-4) 
- o cobre Cu. 
 
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c) Materiais “ferromagnéticos” (ver figura 2.1) são aqueles que possuem sucetibilidade  
extremamente grande e variável. Estes materiais são raros, porém importantes para a 
Engenharia Elétrica. Podemos citar alguns exemplos: 
 
- o ferro Fe e a magnetita Fe3O4 
- o cobalto Co 
- O níquel Ni 
- Algumas ligas (aço, ferroníquel, ferrites). 
 
Na prática, para os materiais paramagnéticos e diamagnéticos, podemos desprezar  
diante de 1 (devido a ordem de grandeza de ) e considerar que estes materiais são 
equivalentes ao “vácuo” do ponto de vista magnético (permeabilidade o). Este será o caso 
notadamente dos “entreferros” no interior das máquinas. 
Por outro lado, para os materiais ferromagnéticos, o 1 é que será desprezível diante 
de , e a  será praticamente igual à permeabilidade relativa 
o
r



, atingindo 
normalmente valores da ordem de 5.000. 
 
 
2.2 INTERPRETAÇÃO DA TEORIA DOS “DOMÍNIOS” 
 
 Uma interpretação das propriedades magnéticas dos materiais é dada pela teoria 
moderna dos “domínios”. Segundo esta teoria, um material é constituído por um conjunto 
de pequenos domínios (da ordem de 10
-9
 cm
3
) no interior do qual todos os momentos 
magnéticos
1
, teriam a mesma orientação, e destes domínios resulta a ação do “campo 
molecular” (isto é, o campo resultante devido ao conjunto das órbitas eletrônicas das 
moléculas do material). 
 
Podemos assim, colocar em evidência as seguintes propriedades: 
 
a) Um material “não magnético” (figura 2.2), ou fracamente magnético (isto é, 
diamagnético ou paramagnético) possui os momentos magnéticos de seus “domínios” 
orientados aleatoriamente na presença de um campo H . 
 
 
1
 Como não existem monopolos magnéticos, isto é, partículas às quais se possa associar apenas um pólo 
magnético, a estrutura com efeitos magnéticos mais simples é uma partícula com um momento (de dipolo) 
magnético, ou seja, uma partícula que se comporta como um pequeno imã. Assim, o elétron, tem um 
momento magnético intrínseco, que se supõe associado ao seu spin. Por outro lado, como uma espira com 
uma corrente elétrica (convencional) tem um momento magnético com direção perpendicular ao plano da 
espira e sentido dado pela regra da mão direita, um elétron numa órbita atômica tem um momento magnético 
orbital perpendicular ao plano da espira mas com sentido contrário àquele dado pela regra da mão direita. 
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
H
 
 
Figura 2.2 – Não magnético. 
b) Um material “ferromagnético” (figura 2.3) possui seus “domínios” orientados 
paralelamente ao campo H . 
 
 

H 
Figura 2.3 – Ferromagnetismo. 
 
c) Um material “antiferromagnético” (figura 2.4) possui os momentos magnéticos de seus 
“domínios” iguais e paralelos, mais opostos dois a dois (este é o caso do cromo Cr e do 
óxido de ferro FeO, por exemplo). 
 

H 
Figura 2.4 Antiferromagnetismo. 
 
d) Um material “ferri magnético” (figura 2.5) possui seus momentos magnéticos opostos 
dois a dois e paralelos, mais diferentes (este é o caso dos “ferrites”, que são 
particularmente interessantes em Engenharia elétrica, por serem praticamente isolantes; 
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os ferrites são compostos de fórmula geral XFe2O4, onde X designa um metal bivalente 
tal como Co, Ni, Cu e Zn). 
 

H 
Figura 2.5 – Ferrimagnetismo. 
 
 OUTRA EXPLICAÇÃO2 
 
 Para se entender o comportamento magnético dos materiais, é necessário um exame 
microscópio da matéria. Um bom ponto de partida é a composição do átomo, que Bohr 
descreveu como constituído por um núcleo pesado e vários elétrons se movendo ao redor 
do núcleo em órbitas específicas. Uma investigação mais apurada revela que o átomo de 
qualquer substância experimenta um torque quando colocado num campo magnético; isso é 
chamado de momento magnético. O momento magnético resultante de um átomo depende 
de três fatores – a carga positiva do núcleo girando no seu eixo, a carga negativa do elétron 
girando no seu eixo e o efeito dos elétrons se movendo em suas órbitas. O momento 
magnético dos movimentos de rotação e translação do elétron excede, em muito, o da 
rotação do próton. Contudo, esse momento magnético pode ser afetado pela presença de um 
átomo adjacente. Consequentemente, se dois átomos de hidrogênio se combinam para 
formar uma molécula de hidrogênio, decorre que a rotação do elétron, a rotação do próton e 
os movimentos de translação dos elétrons de cada átomo se opõem entre si de forma que 
um momento magnético resultante igual à zero deveria ser obtido. Embora o resultado 
esteja próximo disso, experiências revelam que a permeabilidade relativa do hidrogênio não 
é igual a 1, mas é ligeiramente inferior à unidade. Em outras palavras, a reação molecular é 
tal que, quando o hidrogênio é o meio, ocorre uma pequena redução no campo magnético, 
em comparação com o vácuo. Esse comportamento ocorre porque há um movimento que 
altera todas as cargas rotativas em relação à direção do campo e o efeito desta mudança é o 
aparecimento de um campo oposto ao campo aplicado, independentemente da direção do 
movimento de rotação ou translação. Materiais nos quais esse efeito se manifesta são 
diamagnéticos, por razões óbvias. Além do hidrogênio, outros materiais que possuem essa 
característica são a prata e o cobre. 
 Continuando com a molécula de hidrogênio, vamos supor que a seguir se retire um 
elétron da mesma, criando-se, então, um íon de hidrogênio. Evidentemente, deixa de existir 
a completa neutralização dos movimentos de rotação e translação dos elétrons. Na 
realidade, quando um campo magnético é aplicado, o íon fica orientado de tal forma que 
seu momento magnético total se alinha com o campo, desta forma provocando um pequeno 
 
2
 Toro, V.D. Fundamentos de Máquinas Elétricas. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. – LTC, Rio de 
Janeiro – RJ, 1999. 
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aumento na densidade do fluxo. Este comportamento é descrito como paramagnetismo e é 
característico de materiais como o alumínio e a platina. Materiais paramagnéticos têm 
permeabilidade relativa ligeiramente superior à unidade. 
 Até este ponto estudamos os elementos cujas propriedades magnéticas diferem 
apenas ligeiramente da do vácuo. Na realidade, a grande maioria dos materiais se situa 
nessa categoria. Contudo, existe uma categoria de materiais – principalmente ferro e suas 
ligas com níquel, cobalto e alumínio – para os quais a permeabilidade relativa é muitas 
vezes maior que a do vácuo. Estes materiais são chamados ferromagnéticos e são de grande 
importância na engenharia elétrica. Podemos perguntar, nesse ponto, porque o ferro (e suas 
ligas) é tão mais magnético do que ou outros elementos. Essencialmente, a resposta é 
fornecida pela teoria do domínio do magnetismo. Como todos os materiais, o ferro tem 
estrutura cristalina, com os átomos dispostos numa estrutura espacial. Contudo, os 
domínios são partículas sub-cristalinas de tamanhos e formatos variados, contendo cerca de 
10
15
 átomos num volume de aproximadamente 10
-9
 centímetros cúbicos. O fator 
característico do domínio é que os momentos magnéticos dos átomos que o constituem 
estão todos alinhados no mesmo sentido. Desta forma, num material ferromagnético, não 
apenas deve existir um momento magnético devido a uma rotação não neutralizada de um 
elétron em uma órbita interna, mas também a rotação resultante de todos os átomos 
vizinhos no domínio deve ser paralela. 
 Poderia parecer, pela explicação dada até este ponto que, se o ferro for composto de 
domínios completamente magnetizados, então ele deveria estar no estado de completa 
magnetização ao longo do corpo material mesmo sem aplicação de uma força 
magnetizante. Na realidade, esse não é o caso, porque os domínios atuam 
independentemente, e, para uma amostra de ferro não-magnetizado, estes domínios são 
alinhados aleatoriamente em todas as direções, de forma que o momento magnético total é 
zero na amostra. Quando todos os domínios estão alinhados, o ferro é dito saturado – não 
há mais aumento na densidade de fluxo acima daquela do vácuo para qualquer aumento 
adicional na força magnetizante. 
 Grandes elevações de temperatura numa amostra de ferro magnetizante trazem uma 
redução na sua capacidade de magnetização. O aumento da temperatura reforça a agitação 
existente entre átomos até que, na temperatura de 750
o
C, a agitação é tão intensa que 
destrói o paralelismo existente entre os momentos magnéticos dos átomos vizinhos do 
domínio e, desta forma, faz com que ele perca sua propriedade magnética. A temperatura 
na qual isso ocorre é chamada o ponto de “curie”. 
 
 
2.3 DADOS NUMÉRICOS 
 
 As propriedades de um material ferromagnético são geralmente representadas por 
sua “curva de magnetização” B(H). 
 A figura 2.6 representa esta curva B(H) para 3 materiais ferromagnéticos utilizados 
correntemente em eletrotécnica (aço-silício, aço fundido doce e ferro), onde se pode 
observar as três seguintes zonas: 
- Uma pequena parábola inicial (Oa ou Ob) que possui pouco interesse prático, porque 
decorre de um valor muito pequeno do campo H, e que depende de estados anteriores. 
- Uma zona sensivelmente linear, na vizinhança dos pontos de inflexão (a e b) onde a 
inclinação da curva é máxima. 
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- Um cotovelo, seguido por um prolongamento assintótico, neste caso a indução aumenta 
muito pouco com relação ao aumento dado para o campo (B ultrapassa raramente os 
valores na ordem de 1,8 a 2 T). Esta zona corresponde a “saturação” do material, onde 
consideramos que seus campos estão orientados paralelamente à H . 
 
 
Figura 2.6 – Curva de magnetização. 
 
 A figura 2.7 representa a permeabilidade relativa em função da indução, r(B) para 
os 3 materiais considerados. Podemos deduzir essa curva da anterior, porque a 
permeabilidade é representada pela inclinação da curva B(H) em cada ponto. A 
permeabilidade inicia crescendo, passa por um valor máximo (na vizinhança dos pontos a e 
b) e tende então para um valor muito pequeno, quando o material está saturado. 
 
 
Figura 2.7 – Permeabilidade relativa em função da indução r(B). 
 
aço silício 
aço doce ordinário 
1000 2000 3000 
H (A.e/m) 
B (T) 
1,5 
1 
0,5 
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 Por exemplo, para o aço fundido doce, a permeabilidade relativa máxima é da 
ordem de 2.200 na vizinhança do ponto “a” e corresponde aos seguintes valores do campo e 
da indução: 
 
(r)max  2200 H  110 A.e/m B  0,3 T 
 
 Para o aço-silício, na vizinhança do ponto b, temos: 
 
(r)max  5200 H  60 A.e/m B  0,4 T 
 
 Certos materiais possuem permeabilidade relativa máxima extremamente elevada, 
por exemplo: 
 
- Ferro eletrolítico (r)max  15.000 
- Ferroníquel (r)max  80.000 
 
 
2.4 CANALIZAÇÃO DO FLUXO PARA OS MATERIAISFERROMAGNÉTICOS 
 
 A importância dos materiais ferromagnéticos em Engenharia Elétrica decorre do 
fato que estes são capazes, graças a sua permeabilidade elevada, de canalizar e de capturar 
em seu núcleo o fluxo de toda indução devido as correntes situadas em sua vizinhança, e 
em particular enroladas ao redor de um eixo. 
Consideremos um circuito elétrico bobinado imerso no ar, e o mesmo circuito 
bobinado ao redor de um núcleo ferromagnético (Figura 2.8 a e b). Nos dois casos, os 
campos H nos pontos M1 e M2 são da mesma ordem de grandeza (no caso a, ele depende de 
parâmetros geométricos da bobina, no caso b, ele depende do comprimento do núcleo). 
 

1M
i
m
i
f
2M '
1M
( b )( a )
 
Figura 2.8 – Canalização do fluxo. 
 
 Consideremos a indução: 
 
 Em um ponto tal que M1, ou M’1, no ar, vale: 
HB o
 
 Em um ponto M2, no interior do núcleo, ele vale: 
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HHB ro
 
Deve-se observar que r é muito grande. Dado isso, r alcança facilmente o valor de 1.000, 
donde vemos que o fluxo da indução no ar é aproximadamente 1000 vezes menor que o 
fluxo no interior do material. Na prática, podemos considerar que grande parte do fluxo é 
canalizado para o interior do núcleo. 
 
 
2.5 CRIAÇÃO DO CAMPO NO INTERIOR DE “ENTREFERROS” 
 
 Uma outra aplicação importante dos materiais ferromagnéticos, devido a sua aptidão 
de capturar o fluxo, é a possibilidade de criar campos magnéticos importantes no interior de 
“entreferros”. 
 Consideremos um núcleo de seção constante S, de permeabilidade suposta 
constante, onde temos uma pequena abertura de comprimento “e” (Figura 2.9). 
 
i
n e
l

fH

eH
r
 
 
Figura 2.9 – Campo em um entreferro. 
 
 Ao longo da linha de indução , o campo magnético assume dois valores diferentes, 
tal que (de acordo com o teorema de Ampère): 
 
i.ne.Hl.H ef 
 [2–4] 
 
 Por outro lado, se admitirmos que o fluxo  se conserva no interior do núcleo 
(incluindo o entreferro), a indução 
S
B


 é a mesma no ferro e entreferro: 
ef BB 
 
ou 
eofro HH 
 [2-5] 
 
 As duas relações [2-4] e [2-5] permitem calcular os campos: 
 
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









el
in
H
el
in
H
r
re
r
f
 [2-6] 
 
 Vimos que o campo mantido no interior do entreferro, He, é r vezes maior que o 
campo no ferro, Hf. Tudo se passa como se concentrássemos no pequeno espaço do 
entreferro o campo da corrente i. 
 A indução B (que é a mesma) pode ser calculada a partir da seguinte relação: 
 
in
l
e
B
ro









 [2-7] 
OBSERVAÇÃO: 
 
 Na prática, a permeabilidade relativa r não é constante (esta é uma função de B, 
que depende do estado de saturação do núcleo). Podemos utilizar diretamente a 
relação [2-7] para calcular B, ou as relações [2-6] para calcular He e Hf. 
 
 
2.6 LEI DOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS: ANALOGIA DE HOPKINSON 
 
 Quando um circuito magnético comporta diversos “meios” e diversas excitações 
(como no caso dos materiais de permeabilidade ou de seções diferentes), existe uma relação 
entre os fluxos que circulam no interior dos diferentes trechos e as f.m.m. que lhe são 
aplicadas. 
 Para facilitar o equacionamento do circuito, podemos utilizar uma analogia, 
chamada analogia de HOPKINSON, a qual permite utilizar o mesmo procedimento de 
cálculo utilizado em circuitos elétricos para os circuitos magnéticos, considerando as 
quantidades equivalentes. Seria suficiente aplicar a lei de KIRCHOFF. 
 Para introduzir esta analogia, consideremos um circuito simples, com uma malha, 
constituído de 3 materiais diferentes, de permeabilidade 1, 2 e 3 (Figura 2.10). Os 
campos magnéticos H1, H2 e H3, criados pela f.m.m. nas 3 partes, são relacionados pela lei 
de Ampère: 
 
 
 
inlHlHlH 332211 
 [2-8] 
 
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i
n
1
2
3
1H
2H
3H
 
 
Figura 2.10 – Circuito não homogêneo com uma malha. 
 
 Podemos escrever essa relação de outra forma, introduzindo o fluxo  que atravessa 
o circuito. Este fluxo é o mesmo por todo o núcleo, a indução será a mesma se admitirmos 
a seção constante: 
 
332211 HHH
S
B 


 
da relação [2-8] se pode escrever: 
in
S
l
S
l
S
l
3
3
2
2
1
1 












 
escrevendo em função da relutância, tem-se: 
 
  in321 
 [2-9] 
 A forma da última relação sugere uma analogia com um circuito elétrico com uma 
malha (Figura 2.11), onde a f.e.m. E será semelhante à f.m.m. ni, que teria 3 resistências R1, 
R2 e R3 em série, semelhante respectivamente à 
,e, 321 
que serão percorridas por 
uma corrente I semelhante ao fluxo : 
  EIRRR 321 
 
 Generalizando, a analogia de Hopkinson consiste em substituir um circuito 
magnético pelo seu análogo elétrico, utilizando a tabela de correspondência a seguir: 
 
Quantidade magnética Quantidade elétrica 
Força magnetomotriz n i (A-espiras) 
(A-e) 
Força eletromotriz E (V) 
Fluxo  (Wb) Corrente I (A) 
Relutância 
S
l


1
 
 

 
 
(A/Wb) Resistência 
S
l
R 
 
R () 
Potencial magnético U = ni - 

 U (A-e) Potencial elétrico V = E - RI V (V) 
Malha magnética Malha elétrica 
Nó magnético Nó elétrico 
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ni
+
-
1
3
2

 
Figura 2.11 – Circuito elétrico “análogo”. 
 
 É necessário notar que esta analogia é somente um guia, e não a expressão dos 
fenômenos físicos tendo um significado real. Ela é útil quando podemos admitir que a 
permeabilidade  é constante, isto é, que a relutância é também constante e não varia mais 
em função do fluxo (da mesma forma que, em um circuito elétrico, se a resistividade é 
constante, a resistência também é, e não varia mais em função da corrente). 
 A seguir apresentaremos dois exemplos de utilização desta analogia. 
 
EXEMPLO: CIRCUITO COM DOIS MEIOS DE PERMEABILIDADE 
CONSTANTE 
 
 Considere o circuito magnético da Figura 2.12, suposto de permeabilidade relativa 
constante r = 2 000. O segmento do lado direito possui um entreferro de espessura BC = 
0,3 mm, e no ramo esquerdo tem-se uma corrente contínua de 0,8 A em um circuito de 
1.000 espiras. Solicita-se calcular a indução B1 no entreferro. 
0,3 mm
A
E
D
B
C
F
Seção
12 cm2
Seções
10 cm2
CD = 40 cmDFA = 80 cm
AED = 30 cm
0,8 A
AB = 40 cm
n = 1.000
 
Figura 2.12. Exemplo de circuito com dois meios. 
 
 A aplicação da analogia mostra que este circuito se comporta como um circuito 
elétrico desenhado na figura 2.13, onde 
e21 e, 
 representam respectivamente as 
relutâncias dos ramos DFA ou AB + CD (mesmo comprimento 80 cm, e mesma seção 10 
cm
2
), AED (ramo central) e BC (entreferro). 
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 Suas equações deduzidas da lei de Kirchoff, são: 
 
  22211in 
 [2-10] 
 
  1e122 
 [2-11] 
 
+
-
21 
2
1
1
1
2
e
A
D
 
Figura 2.13 – Circuito elétrico “análogo”. 
 
 Podemos calcular as relutâncias que se supõem constantes: 
 
Wb/A10x38,2
10x10x10x4
10x3,0
Wb/A10x95,9
10x12x2000x10x4
3,0
Wb/A10x18,3
10x10x2000x10x4
8,0
5
47
3
e
4
472
5
471













 
 
 A relação [2-11] permite obter: 2 = 5,6 1, da relação [2-10] obtemos ni = 800: 
1 = 0,3 x 10
-3
 Wb 
2 = 1,68 x 10
-3
 Wb 
 
 O que permite deduzir a indução 
T4,1
S
B
2
2
2 


no interiordo ramo central AD, e 
a indução 
1
1
1
S
B


, no entreferro (igual, além disso, à indução no ferro do ramo da 
direita): 
B1 = 0,3 T [2-12] 
 
 Neste exemplo, o cálculo é simples porque as relutâncias são constantes (uma vez 
que a indução B é proporcional ao campo H). Estudaremos mais adiante o mesmo circuito 
compreendendo a não linearidade da curva de magnetização B(H). 
 
 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 15 
2.7 CÁLCULO DOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS 
 
 O “cálculo” de um circuito magnético significa a determinação da f.m.m. necessária 
para produzir um determinado fluxo em uma parte da carcaça, ou então a determinação do 
fluxo que é produzido por uma f.m.m. dada (problema inverso). 
 Em geral, as dimensões geométricas do circuito são dadas, bem como a natureza do 
material, isto é “sua curva de magnetização”, sob a forma B(H), sobre a forma r(B) ou 
então, sob a forma  (ni). 
 
2.7.1 Primeira categoria de cálculo: conhecendo , calcular ni 
 
 Para calcular a f.m.m. a partir do fluxo, se deve seguir o seguinte procedimento: 
 
a) Calcular as induções nas diversas partes do circuito, que dependem de suas seções e dos 
fluxos que as atravessam: 
 
...
S
B
S
B
2
2
2
1
1
1




 
b) Calcular os campos, a partir das induções, dada pela relação conhecida B(H) (no 
material), dada por 
o
B
H


(no ar). 
 
c) Calcular as f.m.m. “parciais” H1l1, H2l2, ... necessárias para magnetizar as diferentes 
partes. 
 
2.7.1.1 Se o circuito não comporta somente uma malha, a f.m.m. total será igual a soma 
das f.m.m. parciais: 
 
...lHlHin 2211 
 [2-13] 
 A seguir tem-se um exemplo. 
 
EXEMPLO: CIRCUITO MAGNÉTICO DE UM DÍNAMO COM 4 PÓLOS 
 
 Considere o circuito magnético da Figura 2.14, onde a armadura é de aço silício e 
cuja a carcaça e os núcleos (onde estão enroladas as bobinas indutoras de campo, todas em 
série) são em aço doce. As dimensões são dadas, é conhecido o número de espiras de cada 
bobina n = 1200, e pede-se calcular a corrente de excitação necessária para criar um “fluxo 
por pólo” de 0,06 Wb. As curvas de magnetização B(H) são dadas (Figura 2.6) e 
admitiremos que seja possível desprezar as fugas de fluxo. 
 
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Figura 2.14 – Circuito indutor de um dínamo de 4 pólos. 
 
 Considere uma linha de fluxo entre dois pólos adjacentes, tal que ABCDEF: o fluxo 
de 0,06 Wb que circula no entreferro CD (fluxo por pólo) se divide em duas partes iguais, à 
esquerda ao longo de EF, e à direita ao longo de EH. O fluxo que circula no interior da 
armadura, ao longo de EF é de 0,03 Wb, sendo igual na parte AB da carcaça. 
 Por outro lado, na parte BC do núcleo, o fluxo é 0,06 Wb, pois se acrescenta o fluxo 
vindo do circuito da direita. Este é o fluxo criado pelo núcleo sobre cada pólo (“fluxo por 
pólo”). 
 Conhecendo as seções das diferentes partes, podemos calcular as induções: 
 
 
No entreferro T75,0
08,0
06,0
B 
 
 
Na armadura T5,1
02,0
03,0
B 
 
 
Na carcaça T86,0
035,0
03,0
B 
 
 
No núcleo T33,1
045,0
06,0
B 
 
 
 Calculamos os campos, considerado para cada parte da curva de magnetização 
correspondente ao material (ver figura 2.6). 
 
Entreferro )ar(m/Ae000.597BH
o



 
 
Armadura 
 
)silícioaçodocurva(m/Ae600.2H 
 
 
Carcaça 
 
)doceaçodocurva(m/Ae560H 
 
 
Núcleo 
 
)doceaçodocurva(m/Ae900.1H 
 
AB = 50 cm 
BC = 15 cm 
CD = 0,3 cm 
EF = 20 cm 
Entreferro 800 cm2 
Carcaça 350 cm2 aço doce 
ordinário 
Núcleo polar 450 cm2 aço 
doce ordinário 
Armadura 200 cm2 aço 
silício 
Bobina indutora do campo 1200 
espiras por pólo. 
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 Calculamos então, as f.m.m. parciais necessárias para magnetizar cada parte, 
conhecendo seus comprimentos: 
 
Entreferro 
 
Ae580.310x3x000.597x2lH 3  
 
 
Armadura 
 
Ae5202,0x600.2lH 
 
 
Carcaça 
 
Ae2805,0x560lH 
 
 
Núcleo 
 
Ae57015,0x900.1x2lH 
 
 
 
Aplicando a relação [2-13] calculamos a f.m.m.: 
 
950.4570280520580.3in 
Ae 
 
 Como consideramos um circuito com dois pólos adjacentes, é preciso, por pólo, 
2.475 Ae. E como cada bobina comporta 1.200 espiras, é necessária uma corrente 
“induzida” (denominada de corrente de “campo”): 
A06,2
200.1
475.2
if 
 [2-14] 
Podemos observar que a indução criada ao nível de entreferro não tem uma forma 
senoidal ao longo da armadura. Entretanto, a forma no interior dos “núcleos”, que 
comportam uma zona de “expansão polar” (ver figura 2.14), permite uma aproximação 
(considerando que o entreferro tenha uma seção de 800 cm
2, desde que os “núcleos” 
tenham uma seção de 450 cm
2
). 
 
2.7.1.2 Se o circuito estudado comporta várias malhas, a f.m.m. total será calculada a 
partir das f.m.m. parciais, fazendo o cálculo passo a passo a partir do fluxo dado. 
 
 É interessante introduzir o “potencial magnético” U que é comum a vários ramos, 
assim como mostra o exemplo a seguir. 
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EXEMPLO: CIRCUITO COM DUAS MALHAS, DE PERMEABILIDADE 
VARIÁVEL (Figura 2.15) 
 
0,3 mm
A
E
D
B
C
F
Seção
12 cm2
Seções
10 cm2
CD = 40 cmDFA = 80 cm
AED = 30 cm
i = ?
AB = 40 cm
n = 1.000
 
 
Figura 2.15 – Circuito com duas malhas, permeabilidade variável. 
 
 Retomamos o circuito magnético do parágrafo 2.6 supondo agora que se trata de 
folhas em aço doce, cuja curva de magnetização B(H) é conhecida (ver figura 2.6). 
 Supondo ainda, que a indução no interior do entreferro vale B1 = 0,3 T, e que a 
bobina comporta 1.000 espiras. Determine a corrente “i” de excitação correspondente. Os 
valores numéricos B(H) são dados: 
 
B (T) 
0,1 
 
0,2 
 
0,3 
 
0,4 
 
0,5 
 
0,6 
 
0,7 
 
0,8 
 
0,9 
 
1 
 
1,1 
 
1,2 
 
1,3 
 
1,4 
 
1,5 
 
1,6 
 
1,7 
 
1,8 
H 
(A/m) 
 
50 
 
80 
 
110 
 
160 
 
220 
 
300 
 
380 
 
490 
 
600 
 
760 
 
980 
 
1300 
 
1700 
 
2400 
 
3300 
 
4700 
 
7500 
 
11500 
 
 Como as relutâncias são variáveis, a analogia de Hopkinson não é mais interessante, 
é preciso calcular a f.m.m. por intermédio dos 4 campos H, H1, H2 e He respectivamente 
criados nos ramos da esquerda, da direita, no ramo central e no entreferro. 
 Introduzindo o potencial magnético U entre os pontos A e D, podemos escrever 
duas equações do circuito da seguinte forma: 
 
UlHin 
 [2-15] 
eHlHlHU e1122 
 [2-16] 
 
 Calculamos agora os campos de ramo em ramo, deduzindo as induções a partir de 
B(H), e deduzindo ainda as induções do fluxo: 
 Sendo possível conhecer agora o fluxo 1 no ramo da direita (a seção constante de 
10 cm
2
): 
Wb10x3,0SxB 3111

 
 
 A indução B1 = 0,3 T sendo a mesma no entreferro e no ferro do ramo da direita, 
permite deduzir os campos He e H1: 
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))H(Btabelaacomacordode(m/Ae110H
)arno(m/Ae000.239
B
H
1
o
1
e



 
 Cujo potencial magnético U, de acordo com [2-16], vale: 
e.A1607288eHlHU e11 
 
 Para calcular o campo H, é necessário conhecer o fluxo  no ramo da esquerda, e 
por conseqüência calcular o fluxo 2 no ramo central. O campo H2 vale: 
 
m/e.A534
3,0
160
l
U
H
2
2 
 
 A indução correspondente vale B2 = 0,84 T (de acordo com a tabela, interpolando 
entre 0,8 e 0,9 T). Deduzimos: 
Wb10x01,110x12x84,0S.B 34222
 
 
 O fluxo  no ramo esquerdo vale: 
Wb10x31,1 321

 
 Deduzimos a indução B1 = 1,31 T (superfície constante 10 cm
2
), e o campo: 
 
H = 1.770 A.e/m (a partir da tabela, por interpolação)Podemos agora calcular a f.m.m. necessária, a partir de [2-15]: 
 
n i = H l + U = 1.415 + 160 = 1.575 A.e 
Cuja corrente de excitação necessária, pois a bobina comporta 1.000 espiras, vale: 
i = 1,575 A [2-17] 
OBSERVAÇÃO: Podemos observar, comparando com o exemplo do parágrafo 2.6 onde 
conseguimos obter a mesma indução no entreferro B1 = 0,3 T com somente i = 0,8 A, que é 
necessária uma corrente consideravelmente maior quando consideramos a saturação do 
núcleo. 
 
2.7.2 Segunda categoria de cálculo: dado n i, determinar o 

 
 
 Esta segunda categoria de problemas é mais delicada. De fato, parece impossível 
determinar o fluxo a partir de uma relação do tipo: 
 
   ...in 21
 
porque as relutâncias 
...21 
 dependem da permeabilidade, isto é das indutâncias, 
portanto, do fluxo, que é desconhecido. 
 De outra forma, se considerarmos uma relação do tipo: 
...lHlHin 2211 
 
os campos 
...,,H,H 21
 dependente das induções, isto é do fluxo que é desconhecido. 
 É necessário então, resolver o problema por aproximações sucessivas (ou por 
interação), supondo conhecido a priori um valor do fluxo, qualquer. Calculamos a f.m.m. 
correspondente ao valor inicial escolhido para o fluxo, e comparamos com o valor da 
Conversão de Energia I – Parte II 
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f.m.m. dado. Deduzimos um segundo valor de fluxo, mais provável, e recalculamos a 
f.m.m., etc., até que a diferença entre a f.m.m. calculada e a f.m.m. dada seja inferior à  
5%, ou outra precisão fixada anteriormente. 
 Se o circuito tem somente uma malha, podemos determinar simultaneamente os 
valores de ni e  que satisfazem a lei do circuito. 
 
EXEMPLO: “INDUTOR” com entreferro 
 
 Seja um circuito magnético conectado, possuindo um entreferro, e excitado por uma 
corrente de 1,3 A circulando em uma bobina de 1.000 espiras (figura 2.16). Calcular a 
indução B no interior do entreferro, sabendo que a “permeabilidade relativa” do ferro varia, 
em função de B, segundo a tabela seguinte (ver figura 2.7): 
 
B (T) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 
r 480 350 300 250 200 150 120 110 90 50 
 
1 mm
1,3 A
n = 1.000
+
-

B
20 cm 
Figura 2.16 – Indutor com entreferro. 
 
Introduzindo as “relutâncias”, a lei do circuito permite escrever: 
 












S
e
S
l
in
oro
f
 
ainda, introduzindo a indução B (supondo que a superfície S é constante): 
B
el
in
oro
f












 
seja, com os valores numéricos dados: 
B1
200
63,1
r









 [2-18] 
Observa-se que B e r, relacionados pela relação r(B) da tabela dada, devem 
satisfazer simultaneamente esta equação; procede-se então, fazendo ensaios, a priori: 
Para B = 0,6 T: 
4,11
150
200
6,0 






 
Conversão de Energia I – Parte II 
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O valor encontrado é inferior ao valor 1,63, assim utiliza-se o valor superior no novo 
cálculo. 
Para B = 0,7 T: 
87,11
120
200
7,0 






 
 Obteve-se, portanto, um valor superior à 1,63. Dessa forma, através da interpolação 
dos dois valores, obtêm-se: 
T65,0B
 
 
2.8 FENÔMENO DE HISTERESE 
 
 Quando submetemos um material ferromagnético a um campo alternado (variando 
entre dois valores opostos com certa freqüência), ele pode produzir um fenômeno chamado 
de “histerese”, decorrente do fato dos “campos” do metal apresentar certa constante de 
tempo antes de se orientar (de outra forma, existe um retardo entre a aplicação do campo e 
a aparição da indução). 
 
2.8.1 Análise do fenômeno 
 
 Considere um circuito bobinado sobre uma carcaça ferromagnética toróidal (figura 
2.17) alimentado por uma fonte de tensão “v” senoidal. Após alguns fenômenos 
transitórios, é estabelecido um regime permanente caracterizado pelo fato de, para o mesmo 
valor do campo H em um elemento d, a indução B assume dois valores diferentes, um para 
o semi-período crescente (ponto a, figura 2.18), e outra para o semi-período decrescente 
(ponto b, figura 2.18). 
 Diz-se que o material se colocou sobre um “ciclo de histerese”, representado pela 
curva B(H) durante um período T. 
 Para estudar esse fenômeno, aplicamos a Lei de Faraday, que fornece a f.e.m. nos 
bornes do circuito: 
dt
d
ne


 
 
 
 
Figura 2.17 – Bobina toroidal. 
 
 
Conversão de Energia I – Parte II 
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Figura 2.18 – Ciclo de histerese. 
 
 Se desprezarmos a resistência do circuito, bem como as perdas de fluxo 
(indutância de fuga l), a fonte “v” compensará a cada instante esta f.e.m., seja: 
dt
d
ntcosEev


 
 Podemos calcular por integração o fluxo criado pelo circuito no interior do núcleo, 
que varia igualmente de forma senoidal: 
tsen
n
E



 
 Se a seção S é constante, a indução B no núcleo vale: 
tsen
Sn
E
B 


 
 Verifica-se que o valor máximo desta indução está relacionado com o valor eficaz 
da f.e.m. pela expressão: 
 
Sf2n
E2
Sn
E
B efmax




 
que se pode escrever: 
maxef BSfn44,4E 
 [2-20] 
 Assim, a tensão nos bornes de um indutor (próximo de sua f.e.m., na prática), é 
proporcional ao valor máximo da indução no núcleo e também a freqüência da fonte. 
Quanto a corrente “i” que circula no circuito, podemos calcular a partir do campo H 
no núcleo, aplicando o teorema de Ampère ao longo da linha de indução média: 
 
H
n
l
)H(fi 
 [2-21] 
H (A.e/m) 
B (T) 
1 
5 
2 
3 
6 
4 
a 
b 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 23 
Considerando a forma do ciclo de histerese (figura 2.18), esta corrente tem uma 
forma periódica não senoidal. 
Podemos determinar a forma de variação da corrente seguindo ponto a ponto sobre a 
figura 2.18 os valores assumidos para o campo H, quando descrevemos o ciclo fazendo 
variar B de forma senoidal (pontos 1 a 6 sobre a figura 2.18, assim como na figura 2.19). 
 
 
Figura 2.19 – Variações de v,  e i ao longo do ciclo de histerese. 
 
Quando B é nulo (ponto 1), o campo tem certo valor não nulo, chamado “campo 
remanente”. Quando B atinge seu valor máximo (ponto 2), o campo atinge também seu 
valor máximo. Quando o campo torna-se nulo (ponto 3) a indução não é nula, ela é 
chamada “indução remanente”. Quando a indução torna-se nula (ponto 4), o campo 
apresenta um valor oposto não nulo. O resto do ciclo é simétrico (pontos 5 e 6). 
 O resultado da histerese é então, de defasar a corrente “i” (ou o campo H) 
adiantando com relação ao fluxo  (ou a indução B). Entretanto, a expressão de “i” não é 
simples: se chamarmos de  o ângulo correspondente à defasagem entre “i” e o , chamado 
de “ângulo de avanço histerético”, e se desenvolvermos uma série de Fourier, “i” terá 
somente harmônicos ímpares: 
...)t(3senI)t(senIi 3m 
 [2-22] 
 Representamos sobre a Figura 2.19, a “fundamental” (im), e a “harmônica de 
terceira ordem” (i3) de tal sorte que sua soma representa a cada instante a corrente “i”. De 
fato, as amplitudes dos harmônicos podem assumir valores bastante elevados, mesmo se o 
i ou H 
Ø ou B 
v ou e 
t 
t 
t 
Fundamental 
harmônicos 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 24 
material está pouco saturado. Por exemplo, em porcentagem da amplitude máxima total da 
corrente, a fundamental pode atingir 40%, a 3
a
. harmônica 25%, a 5
a
. harmônica 15%, etc. 
 
2.8.2 Representação da bobina por um circuito equivalente 
 
 Supondo que a corrente “i” na bobina se reduz a sua componente fundamental im 
(chamada, na prática, “corrente de magnetização”), podemos representar o diagrama de 
fasores do circuito como na Figura 2.20. A f.e.m. E está defasadade 90
o
 com relação ao 
fluxo , e Im está defasado do ângulo  (“ângulo de avanço histerético”) com relação ao 
fluxo . 
ERI
mI
TI
 90



 
Figura 2.20 – Diagrama de fasores. 
 
 O fato de  ser diferente de zero significa que existe uma componente ativa da 
corrente, IR em fase com E, ou então que a corrente Im não é inteiramente reativa. Podemos 
representar o conjunto bobina mais núcleo por um circuito elétrico equivalente, tal como o 
apresentado na figura 2.21, composto de uma resistência R e uma indutância T em 
paralelo, respectivamente percorrida pela corrente ativa IR e a corrente reativa IT. 
 
V
R TE RI
TI
mI
 
Figura 2.21 – Circuito elétrico equivalente. 
 
 A potência elétrica ativa consumida no circuito que representa as perdas devido à 
histerese, vale: 
RmH IEcosIEP 
 [2-23] 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 25 
 A reatância T e a resistência R estão definidas em função da corrente Im, da tensão 
E e da potência consumida PH, pelas seguintes expressões: 


senI
E
T
m
 [2-24] 
H
2
m P
E
cosI
E
R 


 [2-25] 
 
OBSERVAÇÃO: O esquema da figura 2.21 é válido somente se o fio da bobina tem uma 
resistência desprezível e se não houver indutância de fuga. 
 
2.8.3 Fórmulas práticas de perdas 
 
 Podemos exprimir as perdas histeréticas de outra forma, considerando a energia 
fornecida pela fonte para magnetizar o toróide ferromagnético. A expressão [1-56] informa 
que a energia elementar por elemento de volume d do toróide, vale, para uma variação dB 
de indução considerando o campo H constante: 
dBH
d
dW
d 






 
a energia elementar por elemento de volume fornecida pela fonte durante um período é 
representada pela superfície  do “ciclo histerético” B(H): 


 período1 dBHd
dW
 
Onde: 

 é a área do ciclo de histerese dada por [J/m
3
/ciclo] 
 
 Se designarmos por V o volume do toróide, a energia fornecida por período vale: 
VW 
 
e a potência correspondente para uma freqüência “f” vale: 
VfPH 
 [2-26] 
 Supondo (figura 2.22) que a superfície do ciclo , varia com o quadrado de indução 
máxima, Bmax, seja 2
maxH B
 a relação [2-26] permite escrever: 
 
 
2
maxHH BVfP 
 [2-27] 
 
 
 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 26 
 
 
Figura 2.22 – Variação de  em função de Bmax. 
 
 Na expressão [2-27], H é um coeficiente característico da forma do ciclo e das 
perdas por histerese. 
 Acontece igualmente, nos materiais ferromagnéticos, perdas “por corrente de 
FOUCAULT”, que correspondem à circulação de correntes induzidas na própria massa do 
metal. Para reduzi-las, utilizamos um empilhamento de placas laminadas isoladas de 
pequena espessura (chapas). Podemos demonstrar que, no caso de uma chapa de espessura 
“e”, suas perdas por correntes de Foucault são determinadas pela relação: 
 
2
max
22
EE BeVfP 
 [2-28] 
 As relações [2-27] e [2-28] mostram que, para um mesmo valor de indução máxima, 
as perdas histeréticas variam proporcionalmente com a freqüência, enquanto que as perdas 
por correntes de Foucault variam proporcionalmente com o quadrado da freqüência. 
 Nas máquinas, as perdas por histerese e correntes de Foucault constituem um 
fenômeno não desejável. Procura-se reduzi-las escolhendo um material cujo ciclo seja o 
mais estreito possível: “aço doce” para a carcaça (estator) da máquina girante, “aço de 
silício” com fraco teor de silício (2 a 3%) para as armaduras do indutor (rotor) de máquinas 
de corrente contínua, “aço a grão orientado”com alto teor de silício (4 a 5%) para as chapas 
de transformadores. 
 
 
2.9 IMÃS PERMANENTES 
 
 Um “imã permanente” é um material magnético “duro”, magnetizado previamente, 
cuja “indutância remanente” é a maior possível. 
 Consideremos um material cujo “o ciclo de histerese” é muito largo (figura 2.23) e 
que foi submetido a ciclos alternativos até a saturação (ponto S) durante um tempo bastante 
grande. Quando interrompemos a corrente de excitação o campo H torna-se nulo, mas a 
indução B continua igual a um valor não nulo Br. Isto significa que o material é capaz de 
enviar um fluxo magnético não nulo no espaço; temos assim, um “imã permanente”. 
Bmax 3 
Bmax 2 
Bmax 1 
B(T) 
H(Ae/m) 
3 
2 
1 
Conversão de Energia I – Parte II 
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H
S
B
uHcHmaxH
uB
rB
reta de
magnetização max
B





T3,0divisão1:B
m/Ae000.1divisão1:H
costípivalores
M
 
 
Figura 2.23 – Funcionamento de um imã permanente. 
 
 
2.9.1 Circuito de utilização do imã permanente 
 
 Como os imãs são constituídos de materiais bastante duros, particularmente difíceis 
de usinar, isto faz com que sejam utilizados em forma geométrica simples: cilíndricos, 
cúbicos, paralelepípedos e etc. Um imã tem, por conseqüência, sempre um “entreferro” 
constituído pelo conjunto do espaço entre seu pólo N e seu pólo S. 
 Na prática se utiliza os imãs permanentes para criar um campo no entreferro de 
dimensão pequena: isso leva então, a canalizar o fluxo na direção do entreferro através do 
material ao contrário bastante “mole” (de grande permeabilidade e de relutância 
desprezível), aos quais se dá a forma que se deseja. A figura 2.24 mostra um “circuito de 
utilização” para um imã em “ferradura” e a figura 2.25 para um imã de “peças polares”. 
 
material duro

S
SN
N
imã
 
imã
L
l
seção
uniforme
H
N S
He
material mole

 
Figura 2.24 – Imã em “ferradura” Figura 2.25 – Imã em “peças polares”. 
 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 28 
 Seja B e H a indução e o campo no interior do imã, de comprimento L, e He o 
campo no entreferro de comprimento l (admiti-se que o campo no interior do material 
macio é nulo). Supondo o fluxo conservativo, e a seção S do circuito constante (figura 
2.25), a indução é a mesma em todas as direções, seja: 
 
eoH
S
B 


 [2.29] 
 
 Por outro lado, o teorema de Ampère aplicado ao circuito (sem f.m.m., ni = 0) se 
escreve: 
 
0lHLH e 
 [2.30] 
 
 Estas duas relações mostram que a indução e o campo dentro do imã são associados 
pela relação: 
H
l
L
B o
 [2-31] 
 
 No gráfico B(H) (figura 2.23) esta equação representa uma reta de inclinação 
negativa (igual à 
l
L
o
), dita “reta de desmagnetização”. O ponto de funcionamento do 
imã é representado pelo ponto M de interseção da curva de histerese com esta reta: ele é 
sempre situado no quadrante superior da esquerda (B > 0, H < 0). 
 
 
2.9.2 Problema prático do imã: volume mínimo 
 
 Na prática, para criar um campo Ho no interior de um entreferro de volume Vo dado 
por meio de um imã, é útil determinar o volume V que deve ter o imã. Utiliza-se para isso 
uma relação entre esse volume V e o “dobro da densidade de energia” BH do imã (ver 
relação de definição [1-50]). Multiplicando a relação [2-31] por H, tem-se: 
2
o H
l
L
BH 
 [2-32] 
 Aplicando-se o teorema de Ampère tem-se: 
 
oo H
L
l
H0lHLH 
 [2-33] 
Substituindo [2-33] em [2-32], tem-se: 
2
oo H
L
l
l
L
BH 












 
2
oo H
L
l
BH 
 [2-34] 
 
 Multiplicando e dividindo [2-34] pela área da seção transversal S, tem-se: 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 29 
2
oo
o H
V
V
BH 
 
 Portanto, 
BH
HV
V
2
ooo
 [2-35] 
 Assim, o volume V do imã é inversamente proporcional ao produto BH. Em 
particular esse volume será mínimo quando o produto BH for máximo. 
 Porém, ao representarmos a variação de B em função do produto 
BH
, se obtém 
uma curva cuja forma é mostrada na figura 2.26, onde se pode observar que 
BH
 apresenta 
um máximo para certo valor de B, igual à Bu. 
 O imã deverá ser calculado de forma que seu ponto de funcionamento M (figura 
2.23) corresponde ao máximo de 
BH
, isto é B = Bu. 
 Esta condição determina a “inclinação da reta de desmagnetização” e 
consequentemente L se é conhecido l. 
B
|BH|
rB
uB
maxuu BHHB 
 
 
Figura 2.26 – Variações do produto da energia BH. 
 
EXEMPLO DE CÁLCULO DE UM IMÃ (FIGURA 2.27) 
 
l = 4 mm
Peça polar
Seção S
S = 3 cm2
l
 
Figura 2.27 – Exemplo de cálculo. 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 30 
 Desejamos fabricar um imã com peças polares para se obter uma indução Be = 0,5 T 
no interior de um entreferro de comprimento l = 4 mm e de seção S = 3 cm
2
. Conhecemos 
as características do material escolhido, por meio de sua curva de histerese, os valores 
correspondem ao máximo do produto BH: 
 
Bu = 0,9 T 
maxuu
HB
 = 31.500 J/m
3
 
 
 Solicita-se calcular as dimensões (seção S e comprimento l) do imã. (Despreze a 
relutância das peças polares bem como os fluxos de fuga). 
 Supondo que o imã funciona no máximo de 
BH
, a conservação do fluxo é expressa 
por: 
sBSB eu 
 
 
onde se deduz a seção do imã: 
 
2
u
e cm667,13x
9,0
5,0
sx
B
B
S 
 
 
A equação de “reta de desmagnetização” é: 
 
H
S
s
l
L
B o
 
 
onde se deduz o comprimento L, sabendo 
 
m/e.A000.35
9,0
31500
B
HB
HH
u
uu
u 
 
m10x56,4
10x5,3x10x3x10x4
10x667,1x10x4x9,0
Hs
SlB
L 2
447
43
uo
u 







 
 
32 cm6,7Vcm667,1Scm56,4L 
 
 
2.9.3 Dados numéricos 
 
 Os materiais utilizados para fabricar imãs permanentes são geralmente aços duros 
(isto é, com alto teor de carbono), contendo porcentagem variável de Titâneo Ti, Cobalto 
Co, Níquel Ni, Alumínio Al, e por isso chamados de TICONAL ou ALNICO. 
 
 
 Utiliza-se também ferrites duros, interessante porque são isolantes. O quadro abaixo 
fornece, para 3 materiais duros, os valores numéricos da indução remanescente Br, do 
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campo remanente Hc, do máximo do produto da energia 
maxuu
HB
, com seus 
correspondentes valores de indução e do campo Bu e Hu. 
 
Tipo de imã Br 
( T ) 
cH
 
(A.e/m) 
Bu 
( T ) maxuu
HB
 
(J/m
3
) 
uH
 
(A.e/m) 
ALNICO 5% Cobalto 0,85 45.000 0,7 19.000 27.000 
TICONAL E 1,1 56.000 0,9 31.500 35.000 
TICONAL G 1,3 50.000 1,05 45.000 43.000 
 
 Os imãs permanentes são utilizados em muitos aparelhos industriais, associados a 
seus circuitos de utilização: tem-se um imã em aço duro A, de forma simples, cujo fluxo é 
canalizado por um aço mole B, o qual foi dada à forma adequada, e este produz uma 
indução no entreferro C. 
 
 A figura 2.28 mostra um tipo de imã utilizado em alto-falante, onde o entreferro é 
anular e a indução radial. 
 
A
C
B
N S
 
 
Figura 2.28 – Imã de alto-falante. 
 
 A figura 2.29 mostra um tipo de imã utilizado nos telefones, cuja forma circular é 
imposta devido a limitações de espaço. 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 32 
 
 
Figura 2.29 – Imã de telefone. 
 
2.10 CIRCUITOS ACOPLADOS LINEARMENTE. DIVERSAS INDUTÂNCIAS 
 
2.10.1 Definições 
 
 De modo geral, podemos considerar todas as máquinas elétricas como circuitos 
“acoplados móveis”, isto é, um conjunto de bobinas percorridas por correntes (indutor e 
induzido), tendo um circuito magnético comum, e cuja geometria pode variar. É necessário 
então, definir de forma precisa, as “indutâncias” destes diversos circuitos. De fato, no caso 
onde a geometria da máquina não é variável, as indutâncias podem eventualmente variar 
em função do valor das correntes (por causa do fenômeno de saturação, veja parágrafo 
1.7.3), e, no caso onde a geometria da máquina é variável, estas indutâncias variam não 
somente em função do valor das correntes mais também, em função da posição da 
armadura ou do rotor (na realidade são estas variações que produzem o acoplamento ou a 
força eletromagnética, neste caso (ver parágrafo 1.5.1)). 
 As definições dadas nesse parágrafo dizem respeito a circuitos acoplados 
linearmente, isto quer dizer que os fluxos são proporcionais as correntes (curvas de 
magnetização 
 F
 semelhantes a retas). 
 Consideremos dois circuitos elétricos, acoplados de forma qualquer (figura 2.30) 
tendo respectivamente n1 e n2 espiras, percorridas por correntes i1 e i2, e chamemos de 1 e 
2 os fluxos produzidos por estes circuitos. 
 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 33 
circuito
magnético
qualquer
+
-+
-
1n
1i
2i
1f

2f
 2n
2m

1m

 
Figura 2.30 – Representação geral de 2 circuitos acoplados. 
 
 O fluxo 1 é constituído, em geral, de uma parte m1 que atravessa o circuito 2, e de 
uma parte f1 que não atravessa o circuito 2 (na figura 2.30, este fluxo f1 é representado 
como o fluxo de flui no ar, mas ele pode igualmente representar um fluxo que atravessa 
uma outra parte do circuito magnético, mas sem atravessar o circuito 2: ver exemplo do 
parágrafo 2.12.3). Acontece o mesmo para o fluxo 2 produzido pelo circuito 2. Tem-se 
então: 





2f2m2
1f1m1
 [2-36] 
podemos ver que o “fluxo mútuo” definido como o fluxo comum que atravessa ao mesmo 
tempo os dois circuitos vale: 
2m1mm 
 [2-37] 
 
 Igualmente podemos ver que os fluxos que atravessam respectivamente os circuitos 
são constituídos dos fluxos produzidos por ele mesmo 1 ou 2, e de uma parte do fluxo 
produzido pelo outro circuito, m2 ou m1. Designando-se estes fluxos totais por 1t e 2t, 
tem-se: 





1m2t2
2m1t1
 [2-38] 
 
ou ainda, considerando a definição anterior do “fluxo mútuo” m: 
 





m2ft2
m1ft1
 [2-39] 
 
Observação: Os sinais ( + ) que aparecem nas relações [2-37], [2-38] e [2-39] 
correspondem às polaridades de corrente e ao sentido dos enrolamentos da 
figura 2.30. 
Seria necessário colocar um sinal ( - ) caso fosse invertido o sentido da 
corrente i2 ou o sentido dos enrolamentos do circuito 2. 
 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 34 
2.10.2 As oito indutâncias de dois circuitos acoplados 
 
 Para os dois circuitos acoplados, se defini as oito indutâncias seguintes, em função 
do fluxo definido anteriormente: 
 
Indutância de magnetização do circuito 1 
1
1m
11
i
nT


 
 
 
[2-40] Indutância de magnetização do circuito 2 
2
2m
22
i
nT


 
Indutância de “fuga” do circuito 1 
1
1f
11
i
nl


 
 
 
[2-41] Indutância de “fuga” do circuito 2 
2
2f
22
i
nl


 
Indutância “própria” do circuito 1 
1
1
11
i
nL


 
 
 
[2-42] Indutância “própria” do circuito 2 
2
2
22
i
nL


 
Indutância “mútua” do circuito 1 
2
2m
11
i
nM


 
 
 
[2-43] Indutância “mútua” do circuito 2 
1
1m
22
i
nM


 
 
 Estas definições são um pouco arbitrárias, pois supomos que os fluxos são 
proporcionais as correntes, o que não é sempre verdadeiro para os fluxos de “fuga”, o que 
ocorre unicamente na zona linear da curva de magnetização, para o fluxo de magnetização. 
 
 Da mesma forma que para um único circuito (ver parágrafo 1.7.2) as indutâncias 
próprias, são relacionadas às indutânciasde fuga e de magnetização pelas seguintes 
relações: 





222
111
TlL
TlL [2-44] 
 
Na relação [2-43], não é imediatamente evidente que as indutâncias mútuas M1 e M2 
são iguais, assim como poderíamos prever a partir da fórmula de Neumann [1-41]. 
Podemos fazer o seguinte raciocínio simples: qualquer que seja o circuito ele 
apresenta a cada instante uma relutância m na passagem do fluxo comum m. Aplicando o 
Teorema de Ampère ao campo H1 que seria criado pela corrente i1 sozinha, supondo que a 
corrente i2 seja nula (m2 = 0): 
1mmm111 lHin 
 
Da mesma forma, se aplicarmos o Teorema de Ampère com (i1 = 0) tem-se: 
 
2mmm222 lHin 
 
Conversão de Energia I – Parte II 
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deduz-se a partir das relações de definições [2-43]: 
 
m
21
2
2m1
1
nn
i
n
M




 
e 
m
12
1
1m2
2
nn
i
n
M




 
 
 As duas indutâncias mútuas M1 e M2, são iguais: designando seu valor comum por 
M: 
 
M1 = M2 = M [2-45] 
 
2.10.3 Relações entre indutâncias e a razão do número de espiras 
 
 Algumas vezes é útil, em particular, para transformadores e motores de indução, 
expressar as indutâncias de fuga e magnetização em função da indutância mútua M e da 
razão entre os números de espiras dos circuitos acoplados. Temos como efeito: 
 
2
1
n
n
a 
 [2-46] 
 
Obtêm-se, a partir das relações [2-40] e [2-45]: 
 
MaM
n
n
i
nT 2
2
1
1
1m
11 


 
a
M
M
n
n
i
nT 1
1
2
2
2m
22 


 
 
a
M
T
MaT
2
1


 [2-47] 
 
Fazendo o quociente e o produto dessas duas relações obtém-se: 
 
2
2
1 a
T
T

 [2-48] 
 
21TTM 
 [2-49] 
 
 Podemos igualmente expressar as duas indutâncias de fuga numa outra forma, por 
meio das indutâncias próprias: 
Conversão de Energia I – Parte II 
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 De acordo com as relações [2-44]: 
L1 = l1 + T1 = l1 + aM 
 
L2 = l2 + T2 = l2 + M/a 
 
a
M
Ll
aMLl
22
11

 [2-50] 
 
EXEMPLO: 
 
 Conhecem-se as duas indutâncias de fuga e a indutância mútua de dois circuitos 
acoplados numa carcaça magnética com n1 = 500 espiras e n2 = 50 espiras: 
 
l1 = 6 H l2 = 0,03 H M = 12 H 
Calcular as indutâncias próprias L1 e L2 dos circuitos, e as indutâncias de magnetização T1 
e T2. 
 
De acordo com [2-44]: T1 = 120 H T2 = 1,2 H 
 
De acordo com [2-41]: L1 = 126 H L2 = 1,23 H 
 
 
 
2.11 COEFICIENTE DE ACOPLAMENTO E DE DISPERSÃO 
 
Quando dois circuitos são acoplados, é útil definir dois coeficientes k e , 
denominados de “coeficiente de acoplamento” e “coeficiente de dispersão” que 
caracterizam as trocas mútuas de fluxo entre os circuitos. De fato, se não há fugas, o fluxo 
mútuo m seria igual à soma dos fluxos produzidos 1 + 2, e pode ser interessante saber de 
quanto nos afastamos do caso ideal. 
Assim, foi definido, para cada circuito, as percentagens úteis dos fluxos por meio dos 
“coeficientes de fuga”(ver [1-45]): 















2
2
2
2m
2
1
1
1
1m
1
L
T
k
L
T
k
 
O “coeficiente de acoplamento” k, é definido como a média geométrica dos 
coeficientes de fuga de cada circuito: 
21
2
21
21
21
2
LL
M
LL
TT
kkk 
 [2-51] 
Vejamos que expressando a indutância mútua M, por meio da indutância própria L1 e 
L2 e de seu coeficiente k, temos: 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 37 
21LLkM 
 [2-52] 
 
O coeficiente de acoplamento excelente para um transformador (da ordem de 0,95), é 
bastante superior do que para um motor de indução (da ordem de 0,60). 
 
 O “coeficiente de dispersão”  é definido pela seguinte relação: 
 
2k1
 [2-53] 
 
 Podemos expressá-lo em função das 2 indutâncias próprias e da indutância mútua: 
 
21
2
21
LL
MLL 

 [2-54] 
 
 Quando o acoplamento entre os dois circuitos é perfeito, tem-se: 
 





0
1k 
 
2.12 EXEMPLO DE ACOPLAMENTO 
 
2.12.1 Duas bobinas em série 
 
Consideramos (figura 2.31) duas bobinas percorridas pela mesma corrente i, 
supondo que o acoplamento seja perfeito (k =1, sem fluxo de fuga). 
 
B
(a)
A
i
1L 2L
B
(b)
A
i
1L 2L
 
Figura 2.31 – Duas bobinas em série. 
 
Se L1 e L2 são as indutâncias próprias de cada bobina, a indutância equivalente às 
duas bobinas entre A e B, depende da forma de conexão das mesmas. 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 38 
Caso cada fluxo mútuo seja adicionado ao fluxo próprio de cada bobina (caso 
mostrado em a, figura 2.31), tem-se, com k =1: 
 
 22121AB LLM2LLL 
 [2-55] 
 
Caso cada fluxo mútuo se subtraia do fluxo próprio de cada bobina (caso b, figura 
2.31), tem-se: 
 
 22121AB LLM2LLL 
 [2-56] 
 
Pode-se, em particular, zerar a indutância de um bobinamento tal como na figura 
2.31b, tomando o mesmo número de espiras para as duas bobinas (L1 = L2). 
 
 
2.12.2 Acoplamento por “dispersão” 
 
Consideramos dois circuitos bobinados de resistência desprezível, de indutância 
próprias e mútua L1, L2 e M, cujo um é alimentado por uma fonte alternada (circuito 1, 
figura 2.32) e cujo outro está em curto-circuito (circuito 2, figura 2.32). 
 
curto
circuito
1L
2L
1i
2iM
e
 
 
Figura 2.32 – Acoplamento por “dispersão”. 
 
Caso o circuito 2 esteja suficientemente afastado do circuito 1, não há influência 
mútua e a Lei de Faraday se escreve simplesmente para o circuito 1: 
dt
di
Le 11
 
Colocando agora o circuito 2 em curto-circuito próximo ao circuito 1, ocorrerá uma 
troca de fluxo entre os dois circuitos, e uma corrente induzida i2 circulará no circuito 2. 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 39 
As Leis de Faraday se escreverão da seguinte forma, designando por M a indutância 
mútua: 
 








dt
di
M
dt
di
L0
dt
di
M
dt
di
Le
12
2
21
1
 
 
Calculamos então, a indutância equivalente do circuito 1. 
Eliminando i2 entre as duas equações precedentes obtêm-se: 
 
dt
di
L
MLL
e 1
2
2
21 
 
 
introduzindo o coeficiente de dispersão  dos dois circuitos (ver [2-54]): 
dt
di
Le 11
 
esta equação mostra que o efeito da presença do circuito 2 sobre o circuito 1 é de modificar 
sua indutância própria L1 para transformá-la em 
1L
. 
 
 Esta indutância 
1L
 chama-se “indutância de dispersão”. 
2
2
21
1disp
L
MLL
LL


 [2-57] 
 
 Ela tem um papel importante na teoria dos motores de indução com o rotor em 
curto-circuito (é ela que intervém na expressão do acoplamento eletromagnético). 
 
 
2.12.3 Acoplamento em um circuito magnético qualquer 
 
Dois circuitos elétricos podem estar acoplados em uma carcaça magnética qualquer, 
por exemplo, sobre esta que está desenhada na figura 2.33, comportando três ramos. 
 
Conversão de Energia I – Parte II 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 40 
15 cm
+
-
-
+
500n1  2000n2 
1i
2i
30 cm
2cm4seção 
30 cm
A
B
 
Figura 2.33 – Acoplamento em um circuito com 3 ramos. 
 
Podemos teoricamente calcular diretamente as “indutâncias” dos circuitos, pois 
estes são, de fato, parâmetros geométricos relacionados às “relutâncias” das diversas partes 
do circuito magnético(ver [1-36]). 
A título de exemplo, supondo que o circuito magnético da figura 2.33 seja de 
permeabilidade constante r = 2000, que os números de espiras sejam respectivamente n1 = 
500 e n2 = 2000 e que as fugas de fluxo no ar sejam desprezíveis (entretanto, todo o fluxo 
produzido pelo circuito 1 não atravessa o circuito 2, pois uma parte chamada f1 deste fluxo 
passa no ramo central). 
Pede-se calcular as indutâncias próprias e mútuas L1, L2 e M e os coeficientes de 
acoplamento e de dispersão. 
As dimensões sendo dadas se pode calcular diretamente as relutâncias dos ramos da 
direita e da esquerda: 
Wb/e.A10x3
10x4x10x4x10x2
3,0
S
l 5
473
ro
21 





 
e a relutância do ramo central: 
Wb/e.A10x5,1
2
51
c 


 
 O circuito equivalente de Hopkinson é desenhado como na figura 2.34, com 
notações que correspondem aquelas do parágrafo 2.10.1 e 2.10.2. Podemos ver que para 
calcular os diferentes fluxos é preciso isolar as fontes. Suprimindo n2i2, por exemplo, 
obtêm-se o circuito equivalente desenhado na figura 2.35, cujas equações são: 
 
+
-
1
C
A
B
22in
11in


12 
2m1

1m2

2f1f

 
+
-
1
C
A
B
11in
1
1m

1f

1
 
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Figura 2.34 – Circuito análogo geral. Figura 2.35 – Circuito análogo com 
somente uma fonte. 
 
 





1m11fc
1m11fc11fc1111in
 
Deduz-se: 















c
2
1
1
11
1m
1c
11
1f
2
in
2
in
 
 
 Obtêm-se então, de acordo com as fórmulas de definições [2-40] e [2-41]: 
 























H208,0
10x12
10x25
2
n
i
nT
H416,0
10x6
10x25
2
n
i
nl
5
4
c
2
1
1
2
1
1
1m
11
5
4
1c
2
1
1
1f
11
 
 
 De acordo com a fórmula de definição [2-43] da indutância mútua M2 (igual à M), 
ou ainda de acordo com a relação [2-47]: 
 
H832,0
n
n
xT
i
nM
1
2
1
1
1m
22 


 
 
 Pode-se calcular da mesma forma as indutâncias do circuito 2, suprimindo a fonte 
n1i1, no circuito de Hopkinson: 
 








)overificaçã(H832,0M
H34,3T
H67,6l
1
2
2
 
 
Os valores solicitados são, de acordo com [2-44]: 
 
H832,0M
H01,10LH624,0L 21

 
 
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O coeficiente de acoplamento vale: 
 
H333,0
24,6
832,0
LL
M
k
21

 
 
e o coeficiente de dispersão vale: 
 
889,0k1 2 
 
 
 O acoplamento assim realizado não é naturalmente muito bom, por causa do ramo 
central no qual passa uma parte importante dos fluxos. 
 
 
2.12.4 Amplificador magnético 
 
Utiliza-se algumas vezes carcaças magnéticas com três ramos (tal como aqueles da 
figura 2.33) como núcleo em alguns tipos de “amplificadores magnéticos”. 
Podemos explorar então, o fato de que a permeabilidade r pode variar em um 
grande intervalo de acordo com a f.m.m. de excitação, passando da zona não saturada onde 
r é praticamente constante e muito grande a zona de saturação onde r pode ser da ordem 
de 10 a 100 vezes mais fraco (figura 1.7). 
O núcleo do amplificador magnético suporta dois enrolamentos (figura 2.36): 
 
 
 
Figura 2.36 – Amplificador magnético. 
 
1. Um “circuito de potência” percorrido por uma corrente alternada i1, alimentada por uma 
fonte alternada v1, comportando a metade de suas espiras n1/2 no ramo da esquerda e a 
outra metade n1/2 no ramo da direita, bobinado de tal sorte que os fluxos alternativos 
1/2 sejam a cada instante direcionados no mesmo sentido ao longo da carcaça. 
Circuito de controle 
Circuito de 
potência 
v1 
i1 
i1 
i2 
Z 
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2. Um “circuito de controle” percorrido por uma corrente contínua i2, que podemos ajustar 
através de um reostato R, e cujas espiras n2 estão no ramo central. 
 
Podemos variar a potência consumida nas cargas Z do circuito de potência 
ajustando o reostato do circuito de controle. Constata-se, de fato que: 
 
a) Os dois circuitos estão totalmente desacoplados: nenhum fluxo alternativo 1 devido 
a corrente i1 passa no ramo central (pois, qualquer que seja a alternância a diferença do 
potencial magnético entre A e B é nula, se as relutâncias dos ramos da direita e da 
esquerda são iguais). Não há, por consequência, nenhuma f.e.m. induzida no circuito de 
controle. 
b) O fluxo 2 devido à corrente contínua i2 se divide em duas partes iguais ao longo dos 
ramos da direita e da esquerda, e saturam mais ou menos o núcleo. A indutância 
dinâmica L1 do circuito de potência (alternada) varia de acordo com o estado de 
saturação. 
 
A figura 2.35 mostra as variações do fluxo alternado 1, superposto ao fluxo 
contínuo 2, para dois valores n2i2 de excitação da corrente de controle: 
 
- Quando o núcleo não está saturado (f.m.m. n2i2 fraca, ponto a da figura 2.37), a indutância 
L1 tem um valor grande e a corrente i1 tem um valor pequeno 
 
(em valor eficaz 
2
1
22
1
1
LZ
v
I


) 
 
- Quando o núcleo está saturado (f.m.m. n2i2 é grande, ponto b da figura 2.37), a indutância 
L1 é praticamente nula e a corrente i1 tem um valor que depende somente de Z (em valor 
eficaz 
Z
V
I 11 
). Tudo se passa como se o núcleo não exista mais. 
 
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2.37 – Fluxo no núcleo. 
 
 A figura 2.38 evidencia como varia a corrente i1 no circuito de potência em função 
da f.m.m. de controle. Mostramos que, na prática industrial, os amplificadores magnéticos 
não são utilizados exatamente como está descrito aqui. Neles se acrescenta outros circuitos 
destinados a melhorar seu desempenho (circuito de “feed-back” para a potência e circuito 
de polarização para a “linearidade”). 
min
max
1i
2i2n
 
Figura 2.38 – Variação da corrente i1 em função da f.m.m. de controle.