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<p>Transformadas em Sinais e</p><p>Sistemas (BC1509)</p><p>Aula 2</p><p>Professor: Alain Segundo Potts</p><p>alain.segundo@ufabc.edu.br</p><p>Sala 742-1</p><p>https://sites.google.com/site/professoralainufabc/transformadas-em-sinais-e-sistemas-</p><p>lineares</p><p>Bibliografia</p><p>• LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares,</p><p>Bookman, 1a Ed., 2007.</p><p>• ROBERTS, M. J.; Fundamentos em Sinais</p><p>e Sistemas, McGraw-Hill, 1a Ed., 2009.</p><p>• HAYKIN, S.; VAN VEEN, B.; Sinais e Sistemas,</p><p>Bookman, 1a Ed., 2001.</p><p>• OPPENHEIN, A.; WILLSKY, A.; NAWAB, S.; Sinais</p><p>e Sistemas, 2ª ed., São Paulo: Pearson Prentice</p><p>Hall, 2010</p><p>Sumário</p><p>• Descrição matemática de sinais contínuos no</p><p>tempo.</p><p>• Redimensionamentos de escala e</p><p>deslocamentos no tempo.</p><p>• Sinais Periódicos.</p><p>• Energia e potência dos sinais.</p><p>Funções de sinal</p><p>• Resumo de algumas das principais funções de</p><p>sinal:</p><p>Redimensionamento da Escala da</p><p>amplitude</p><p>• Consiste em</p><p>multiplicar</p><p>toda a função</p><p>por uma</p><p>constante:</p><p>• Esta operação</p><p>varia o valor</p><p>da variável</p><p>dependente</p><p>(t) Ag(t)g </p><p>g</p><p>Deslocamento no tempo</p><p>• Consiste na mudança da</p><p>variável independente</p><p>Onde é qualquer</p><p>constante arbitraria.</p><p>Se o deslocamento é de</p><p>unidades à esquerda.</p><p>Se o deslocamento é à</p><p>direita.</p><p>0t t t </p><p>0t</p><p>0 0t </p><p>0t</p><p>0 0t </p><p>Deslocamento no tempo</p><p>Exemplo</p><p>Deslocamento no tempo</p><p>1. Obtenha a função ret(t) a partir de duas</p><p>funções u(t).</p><p>2. Obtenha a função tri(t) a partir de funções</p><p>r(t) deslocadas no tempo</p><p>1 1</p><p>(t) u t u t</p><p>2 2</p><p>ret</p><p>   </p><p>      </p><p>   </p><p>(t) r(t 1) 2r(t) r(t 1)tri     </p><p>Redimensionamento de Escala de</p><p>Tempo</p><p>• Consiste na</p><p>mudança da variável</p><p>independente</p><p>• Caso o fator de</p><p>escala a > 1 o</p><p>processo aumenta a</p><p>função na horizontal</p><p>t</p><p>t</p><p>a</p><p></p><p>Redimensionamento de Escala de</p><p>Tempo</p><p>Efeito Doppler</p><p>https://youtu.be/yWIMWqkcRDU?t=42</p><p>Exemplo</p><p>Redimensionamento de Escala de</p><p>Tempo</p><p>• Considere agora a</p><p>mudança da variável</p><p>independente</p><p>• Quando o fator de</p><p>escala a < 0 ocorre</p><p>uma inversão no</p><p>tempo. (Rotação de</p><p>180 graus em torno</p><p>do eixo g(t)).</p><p>t</p><p>t</p><p>a</p><p></p><p>Deslocamento e redimensionamento</p><p>de Escala Simultâneos</p><p>Todas as três alterações provocadas em funções</p><p>podem ser aplicadas simultaneamente:</p><p>Note que a ordem das operações altera o</p><p>resultado final:</p><p>0</p><p>0</p><p>A</p><p>(t) (t)</p><p>t t t t</p><p>t</p><p>a</p><p>t tt</p><p>g Ag Ag Ag</p><p>a a </p><p></p><p>  </p><p>   </p><p>   </p><p>  </p><p> </p><p>0</p><p>0</p><p>0 0</p><p>A</p><p>(t) (t)</p><p>tt t t</p><p>t</p><p>a</p><p>t tt</p><p>g Ag Ag t t Ag t Ag</p><p>a a </p><p></p><p>  </p><p>     </p><p>   </p><p>  </p><p>Deslocamento e redimensionamento</p><p>de Escala Simultâneos</p><p>Deslocamento e redimensionamento</p><p>de Escala Simultâneos</p><p>Diferenciação e Integração</p><p>• A derivada de uma função no instante t</p><p>equivale à sua inclinação nesse mesmo</p><p>instante t.</p><p>• A integral de uma função em qualquer</p><p>instante t equivale à área acumulada sob a</p><p>função até o referido instante t.</p><p>• Lembrando que dada uma função sua</p><p>derivada é encontrada de modo não ambíguo,</p><p>porém sua integral não.</p><p>Diferenciação e Integração</p><p>Diferenciação e Integração</p><p>• Integral contínua ou cumulativa:</p><p>Geometricamente, ela corresponde à área</p><p>acumulada sob a função para todos os</p><p>instantes de tempo antes do tempo t, e isso</p><p>depende do valor de t.</p><p>Note que no caso que tenhamos conhecimento</p><p>do valor da integral para a integral deixa</p><p>de ser ambígua.</p><p> (t)</p><p>t</p><p>h g d </p><p></p><p> </p><p>0t t</p><p>Diferenciação e Integração</p><p>Funções pares e ímpares</p><p>• Uma função par de t é aquela invariante para</p><p>um redimensionamento de escala no tempo</p><p>do tipo .</p><p>• Uma função ímpar de t é aquela invariante</p><p>para um redimensionamento da escala da</p><p>amplitude e de tempo:</p><p>• Uma função pode ser par, ímpar ou nenhuma</p><p>das duas.</p><p>t t</p><p>(t) g( t)g  </p><p>Funções pares e ímpares</p><p>Funções pares e ímpares</p><p>• Qualquer função g(t) pode ser expressa como</p><p>a soma de seus componentes par e ímpar:</p><p>• Se a componente ímpar de uma função é zero,</p><p>a função é par; se a componente par de uma</p><p>função é zero a função é ímpar.</p><p>(t) g( t)</p><p>(t)</p><p>2</p><p>p</p><p>g</p><p>g</p><p> </p><p></p><p>(t) g( t)</p><p>(t)</p><p>2</p><p>i</p><p>g</p><p>g</p><p> </p><p></p><p>Funções pares e ímpares</p><p>• Exemplo:</p><p>Determine se a seguinte função é par ou ímpar?</p><p>Solução:</p><p>Portanto a função é ímpar.</p><p>Somas, produtos, diferenças e</p><p>quocientes</p><p>Tipo de Função Soma Diferença Produto Quociente</p><p>Ambas pares Par Par Par Par</p><p>Ambas ímpares Ímpar Ímpar Par Par</p><p>Uma par e</p><p>outra ímpar</p><p>Nenhum tipo Nenhum tipo</p><p>Ímpar Ímpar</p><p>Somas, produtos, diferenças e</p><p>quocientes</p><p>Somas, produtos, diferenças e</p><p>quocientes</p><p>Somas, produtos, diferenças e</p><p>quocientes</p><p>Tipo de Função Derivada Integral</p><p>Par ímpar Ímpar + constante</p><p>Ímpar par par</p><p>Note que numa função</p><p>par a Integral ao longo</p><p>de um intervalo [-a;a] é:</p><p>   </p><p>0</p><p>2</p><p>a a</p><p>a</p><p>g t dt g t dt</p><p></p><p> </p><p>Somas, produtos, diferenças e</p><p>quocientes</p><p>Tipo de Função Derivada Integral</p><p>Par ímpar Ímpar + constante</p><p>Ímpar par par</p><p>No caso de uma função</p><p>ímpar a Integral ao longo</p><p>de um intervalo [-a;a] é:</p><p>  0</p><p>a</p><p>a</p><p>g t dt</p><p></p><p></p><p>Funções Periódicas</p><p>• Uma função g(t) é periódica se satisfaz a</p><p>seguinte expressão:</p><p>para qualquer valor inteiro de n.</p><p>• T é o período da função.</p><p>• As funções periódicas são invariantes a</p><p>deslocamentos no tempo do tipo</p><p>(t) (t nT), g g n  </p><p>t t nT </p><p>Funções Periódicas</p><p>• O intervalo menor positivo sobre a qual a função</p><p>se repete é denominado período fundamental</p><p>T0.</p><p>• Expressões equivalentes ao período fundamental</p><p>são a frequência fundamental e a</p><p>frequência angular</p><p>0</p><p>0</p><p>1</p><p>f</p><p>T</p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>T</p><p></p><p> </p><p>Funções Periódicas</p><p>• Considere duas funções periódicas x1(t) e x2(t)</p><p>de períodos fundamentais T01 e T02 .</p><p>• Se a relação é um número racional o</p><p>mínimo múltiplo comum (T0) entre T01 e T02 é</p><p>finito e a função x(t) = x1(t) + x2(t) é periódica</p><p>de período fundamental T0.</p><p>• Se a relação é um número irracional,</p><p>x(t) é aperiódica.</p><p>01 02T T</p><p>01 02T T</p><p>Funções Periódicas</p><p>• A frequência fundamental de x(t) é o máximo</p><p>divisor comum (MDC) entre as duas</p><p>frequências fundamentais e é portanto o</p><p>recíproco do mínimo múltiplo comum (MMC)</p><p>relativo aos dois períodos fundamentais.</p><p>• Caso as funções periódicas estejam-se</p><p>multiplicando a função resultante será</p><p>igualmente periódica</p><p>Funções Periódicas</p><p>x(t) sen(12 t) cos(18 t)  </p><p>1x (t) sen(12 t)</p><p>2x (t) cos(18 t)</p><p>Exemplo:</p><p>Funções Periódicas</p><p>• O período da primeira função é:</p><p>• O período da segunda função é:</p><p>• Como</p><p>• Utilizando as frequências temos que o MCD de</p><p>ambas frequências é 3. Logo o sinal x(t) terá uma</p><p>frequência fundamental f0 = 3 ou T0=1/3.</p><p>01 01</p><p>01</p><p>2 1</p><p>12 t 6</p><p>6</p><p>t T f</p><p>T</p><p></p><p>     </p><p>02 02</p><p>02</p><p>2 1</p><p>18 t 9</p><p>9</p><p>t T f</p><p>T</p><p></p><p>     </p><p>01 02 3 2T T   a função x(t) = x1(t)+x2(t) é periódica</p><p>Funções Periódicas</p><p>-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>x</p><p>1</p><p>(t)</p><p>-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>x</p><p>2</p><p>(t)</p><p>-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2</p><p>-50</p><p>0</p><p>50</p><p>x(t)=x</p><p>1</p><p>(t)*x</p><p>2</p><p>(t)</p><p>x(t) sen(12 t)cos(18 t) </p><p>1x (t) sen(12 t)</p><p>2x (t) cos(18 t)</p><p>Funções Periódicas</p><p>• Exemplo:</p><p>Determine se a seguinte função é periódica:</p><p>Solução:</p><p>     10sin 12 4cos 18g t t t </p><p>01</p><p>02</p><p>02</p><p>01 02</p><p>1</p><p>6</p><p>2</p><p>18</p><p>9</p><p>1 9 3</p><p>6 2</p><p>T</p><p>t t T</p><p>T</p><p>T T</p><p> </p><p> </p><p></p><p>  </p><p>   Logo a função não é periódica.</p><p>Funções Periódicas</p><p>-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>x</p><p>1</p><p>(t)</p><p>-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>x</p><p>2</p><p>(t)</p><p>-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2</p><p>-20</p><p>0</p><p>20</p><p>x(t)=x</p><p>1</p><p>(t)+x</p><p>2</p><p>(t)</p><p>Energia e Potência de Sinal</p><p>• A energia de sinal de um sinal é definida como</p><p>a área sob a magnitude do sinal ao quadrado:</p><p>• Desta forma a energia de sinal é proporcional</p><p>à energia física real presente em um sinal.</p><p>• Muitos sinais possuem energia infinita devido</p><p>a que o sinal não é limitado no tempo (não</p><p>nulo sobre apenas um tempo finito).</p><p>2</p><p>(t)xE x dt</p><p></p><p></p><p> </p><p>Energia e Potência</p><p>de Sinal</p><p>• Exemplo:</p><p>Calcule a energia de sinal da seguinte função de</p><p>sinal:</p><p>Solução:</p><p>De acordo à definição de energia de sinal:</p><p> </p><p> 3 1 4 , 4</p><p>0, caso contrário</p><p>t t</p><p>x t</p><p>  </p><p> </p><p></p><p> </p><p>2 4</p><p>2</p><p>4</p><p>(t) 3 1 4xE x dt t dt</p><p></p><p> </p><p>   </p><p>Energia e Potência de Sinal</p><p>• Solução</p><p>-6 -4 -2 0 2 4 6</p><p>0</p><p>0.5</p><p>1</p><p>1.5</p><p>2</p><p>2.5</p><p>3</p><p>x(t)</p><p>Como o sinal é par:</p><p>   </p><p> </p><p>   </p><p>3 1 4 3 1 4(t) g( t)</p><p>(t)</p><p>2 2</p><p>= 3 1 4</p><p>3 1 4 3 1 4(t) g( t)</p><p>(t) 0</p><p>2 2</p><p>p</p><p>i</p><p>t tg</p><p>g</p><p>t</p><p>t tg</p><p>g</p><p>    </p><p> </p><p></p><p>    </p><p>  </p><p> </p><p>44 4 2 2 3</p><p>2</p><p>0 0 0</p><p>2 3 1 4 18 1 18 24</p><p>2 16 4 48</p><p>x</p><p>t t t t</p><p>E t dt dt t</p><p>   </p><p>           </p><p>   </p><p> </p><p>Energia e Potência de Sinal</p><p>• Nos casos de sistema de energia de sinal</p><p>infinita trabalha-se com a potência média do</p><p>sinal:</p><p>• Sinais que têm energia de sinal finita são</p><p>denominados sinais de energia e sinais que</p><p>têm energia de sinal infinita mas potência</p><p>média finita são denominados sinais de</p><p>potência.</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>(t)lim</p><p>T</p><p>x</p><p>T T</p><p>P x dt</p><p>T</p><p></p><p> </p><p>Energia e Potência de Sinal</p><p>• Para sinais periódicos o calculo pode ser feito</p><p>sobre qualquer período do sinal.</p><p>• Logo a expressão toma a forma:</p><p>0</p><p>0</p><p>2 21 1</p><p>(t) (t)</p><p>t T</p><p>x</p><p>T</p><p>t</p><p>P x dt x dt</p><p>T T</p><p></p><p>  </p><p>Energia e Potência de Sinal</p><p>• Exemplo:</p><p>Determine a potência média do seguinte sinal:</p><p>Solução:</p><p>Como o sinal é periódico temos:</p><p>   0cos 2x t A f t  </p><p>0</p><p>0</p><p>2 21 1</p><p>(t) (t)</p><p>t T</p><p>x</p><p>T</p><p>t</p><p>P x dt x dt</p><p>T T</p><p></p><p>  </p><p>Energia e Potência de Sinal</p><p>  </p><p>        </p><p>2</p><p>22</p><p>0</p><p>0</p><p>2</p><p>2 2 22 2 2</p><p>0 0 0 0 0</p><p>2 2 2</p><p>0</p><p>2</p><p>1 1</p><p>(t) cos 2</p><p>Utilizando a seguinte identidade:</p><p>1</p><p>cos cos cos cos</p><p>2</p><p>4 4</p><p>1 cos 2 cos 2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>T</p><p>x</p><p>T</p><p>T</p><p>T T T</p><p>x</p><p>T T T</p><p>x</p><p>P x dt A f t dt</p><p>T T</p><p>x y x y x y</p><p>A A A</p><p>P t dt dt t dt</p><p>T T T T T</p><p>A</p><p>P</p><p> </p><p> </p><p> </p><p></p><p>  </p><p>  </p><p>   </p><p>    </p><p>          </p><p>    </p><p></p><p> </p><p>  </p><p>Note que a potência do sinal não depende</p><p>nem da frequência nem da fase do sinal</p><p>senoidal.</p><p>Trabalho extraclasse</p><p>Exercícios do 32 até o 59 do capítulo 2 do livro</p><p>de Roberts.</p>