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Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line 
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Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios resolvidos sobre CURVAS 
CÔNICAS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.9c. 2005 
 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CURVAS CÔNICAS 
1. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA ELIPSE SENDO DADOS O 
EIXO MAIOR E O MENOR. 
Sejam os eixos AA' e BB' dados que se intersectam no ponto O (centro da 
elipse). Coloque a ponta seca do compasso no ponto B e com abertura igual à 
OA trace um arco que corte o eixo AA', encontrando assim os pontos F e F' 
(focos da elipse). 
 
2. ENCONTRAR O EIXO MENOR DE UMA ELIPSE SENDO DADOS O 
EIXO MAIOR E A DISTÂNCIA ENTRE OS FOCOS. 
Sejam dados o eixo AA' e a distância focal FF'. Trace a mediatriz de AA' 
encontrando assim o centro O da elipse. 
 
Centre a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual à OA trace 
um arco que corte a reta mediatriz nos pontos B e B'. O eixo menor procurado é 
o segmento BB'. 
 
 
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3. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO MÉTODO DO JARDINEIRO 
(BARBANTE) SENDO DADOS O EIXO MAIOR E OS FOCOS. 
Sejam o eixo menor BB' e a distância focal FF' dados que se intersectam no 
ponto O (centro da elipse). Prolongue o segmento FF' para a esquerda e para a 
direita. 
 
Coloque aponta seca do compasso em O e com abertura igual à distância FB 
trace um arco que corte a reta que passa por FF' em A e A', encontrando assim 
o eixo maior da elipse. 
 
4. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO MÉTODO DO JARDINEIRO 
(BARBANTE) SENDO DADOS O EIXO MAIOR E OS FOCOS. 
Sejam dados o eixo maior AA' e a distância focal FF'. Corte um barbante que 
tem por comprimento a distância do eixo maior AA' e fixe-o em F e F'. Coloque 
a ponta do lápis no ponto B tomando o cuidado de esticar o barbante. 
 
 
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Movimente o lápis sempre com o barbante esticado de forma a marcar vários 
pontos no papel. Em seguida, trace a elipse movimentando o lápis que se 
encontra preso no ponto B do barbante. 
 
5. TRAÇAR UMA ELIPSE PELO MÉTODO DE "SCHOOTEN" (TIRA 
DE PAPEL) SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. 
Sejam dados os eixos AA' e BB'. Corte uma tira de papel como indicado abaixo, 
e marque nela os pontos P, A e B. O segmento PB deve ser igual ao eixo maior 
e o segmento PA deve ser igual ao eixo menor. 
 
Coloque a tira de papel posicionada de tal forma que o ponto A fique sobre o 
eixo AA' e o ponto B fique sobre o eixo BB' e marque um ponto onde estiver o 
ponto P. Mude a posição da tira de papel, mas tomando o cuidado de deixar o 
ponto A sempre sobre o eixo AA' e o ponto B sempre sobre o eixo BB'. 
 
 
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Assim vá mudando sucessivamente a posição da tira e marcando os pontos da 
elipse. Ao marcar todos os pontos, trace a elipse. 
 
6. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO 
DADOS OS DOIS EIXOS. 
Sejam os eixos AA' e BB' dados. Encontre os focos F e F'. 
 
Marque a partir do ponto F os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e a partir do ponto F' os 
pontos 1', 2', 3', 4' e 5'. Coloque a ponta seca do compasso no ponto F e com 
abertura igual a 1'A' , 2'A', 3'A', 4'A' e 5'A' trace cinco arcos. 
 
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Coloque a ponta seca do compasso no ponto F' e com abertura igual a 1A , 2A, 
3A, 4A e 5A trace mais cinco arcos. Depois, coloque a ponta seca no ponto F' e 
com abertura igual a 1A', 2A', 3A', 4A' e 5A', trace mais cinco arcos que cortam 
os anteriores, encontrando assim dez pontos da elipse. 
 
Com centro em F e abertura 1'A , 2'A, 3'', 4'A e 5'A trace arcos que cortam os 
anteriores encontrando assim os pontos da elipse. 
 
 
 
 
 
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7. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DOS CÍRCULOS PRINCIPAIS 
SENDO DADOS OS DOIS EIXOS. 
Sejam os dois eixos AA' e BB'. Encontre os Focos F e F'. Trace um dos círculos 
principais: centre o compasso no ponto O e trace uma circunferência de raio 
OA. 
 
Trace o outro círculo principal com centro em O e raio OB. Divida o círculo 
maior em n partes iguais (n = 16, por exemplo). 
 
Divida o círculo menor no mesmo número de partes. Em seguida, trace retas 
perpendiculares ao eixo AA' pelos pontos que dividem a circunferência maior. 
Em seguida trace retas perpendiculares ao eixo BB' pelos pontos que dividem a 
circunferência menor. 
 
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Na interseção das retas temos os pontos da elipse. Ligue os pontos para obter a 
elipse. 
 
8. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DO PARALELOGRAMO. 
Sejam os dois eixos AA' e BB' da elipse inscrita no paralelogramo que tem os 
lados iguais aos eixos maior e menor da elipse: AA' e BB'. Trace o 
paralelogramo PQRS. 
 
Divida o lado RS em seis partes iguais. Divida o lado PQ em seis partes iguais 
transportando os pontos 2, 1 e 1', 2' (com o uso dos esquadros) fazendo 
paralelas aos lados PS e QR. 
 
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Divida os segmentos OB e OB' em três partes iguais cada um e em seguida, 
divida os segmentos PQ e SR em seis partes iguais cada. 
 
Para obter os pontos da elipse ligue o ponto A ao ponto 2''' e o ponto B ao 
ponto 3 e prolongue até encontrar o segmento A2'''. No cruzamento dessas 
duas retas tem-se um ponto da elipse. Em seguida, ligue o ponto A ao ponto 1''' 
e o ponto B ao ponto 4 e prolongue até encontrar o segmento A1'''. No 
cruzamento dessas duas retas tem-se mais um ponto da elipse. 
 
Repita o mesmo procedimento para as outras três partes do paralelogramo 
obtendo assim, todos os pontos da elipse. 
 
 
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9. TRAÇAR A ELIPSE PELO MÉTODO DO RETÂNGULO. 
Primeiro trace os eixos maior e menor (AA' e BB') da elipse inscrita no 
retângulo. Depois trace o retângulo PQRS cujos lados são retas paralelas aos 
dois eixos da elipse. 
 
Divida os lados do retângulo em n partes iguais (no caso n = 6). Transporte 
essas 6 divisões para o eixo BB' e em seguida trace retas partindo de A' que 
chegam nos pontos do lado SR e depois trace retas que partem de A e passam 
pelas divisões do eixo BB'. No cruzamento das retas teremos os pontos da 
elipse. 
 
Ligue os pontos encontrados obtendo assim a elipse. 
 
 
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10. ENCONTRAR O FOCO DE UMA PARÁBOLA, SENDO DADOS O 
EIXO, A DIRETRIZ E O VÉRTICE. 
Sejam a diretrizd e o vértice V contido no eixo da parábola. Centre o compasso 
no ponto V e com abertura VO trace um arco que corta o eixo no ponto F. As 
distâncias OV e VF são semiparâmetro e a distância OF é o parâmetro. 
 
11. TRAÇAR A PARÁBOLA PELO MÉTODO DOS PONTOS, SENDO 
DADOS O FOCO E A DIRETRIZ. 
Sejam dados a diretriz d e o foco F da parábola. Para construir a parábola, 
primeiro encontre o vértice, que está no ponto médio do segmento FO que é a 
distância entre o foco e a diretriz. Marque pontos no eixo a partir de F (no caso 
5 pontos a uma distância arbitrária). 
 
Trace retas perpendiculares ao eixo pelos pontos F, 1, 2, 3, 4 e 5. Centre a 
ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a medida de F até a 
diretriz, trace um arco que corte a reta que passa pelo ponto F em dois pontos 
da parábola. Depois, sempre com centro do compasso no ponto F e com 
abertura igual à distância que vai do ponto até a diretriz d, trace arcos que 
cortem as retas que passam pelos mesmos pontos, encontrando assim os 
pontos da parábola. 
 
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Ligue os pontos e obtenha a parábola (em cor azul). 
 
 
 
 
 
12. TRAÇAR A PARÁBOLA PELO MÉTODO DO RETÂNGULO, SENDO 
DADOS O VÉRTICE, O EIXO E UM PONTO DA CURVA (ARCO 
PARABÓLICO). 
Seja o vértice A e o ponto P da parábola. Trace duas retas perpendiculares 
entre si e que passam pelo ponto A. Em seguida, trace uma reta pelo ponto P 
que seja perpendicular à reta horizontal que passa pelo ponto A. 
 
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Trace uma reta paralela àquela que passa pelo ponto P, a uma mesma 
distância. Depois, trace pelo ponto P uma reta paralela à reta horizontal que 
passa pelo ponto A, formando assim o retângulo PP' RR'. 
 
Divida os lados PR e P'R' em N partes iguais (no caso N = 4). Divida os 
segmentos PQ e QP' em quatro partes iguais. 
 
 
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Trace retas perpendiculares ao lado RR' pelos pontos 4, 5, 6, 6', 5' e 4'. Ligue o 
ponto A aos pontos 1, 2, 3 e 1', 2' e 3'. 
 
Na intersecção das retas têm-se os pontos da parábola. Ligue os pontos 
obtendo assim a parábola inscrita no retângulo 
 
13. TRAÇAR AS "ASSINTOTAS" DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS 
OS EIXO REAL E IMAGINÁRIO. 
Sejam os eixos AA' e BB'. Trace por B e B' retas paralelas ao eixo real AA'. 
 
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Trace por A e A' retas paralelas ao eixo imaginário BB'. Construído o retângulo, 
trace as duas diagonais. 
 
Agora, prolongue as diagonais do retângulo. As assíntotas da hipérbole passam 
pelas diagonais do retângulo. 
 
14. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS O 
EIXO REAL E O EIXO IMAGINÁRIO 
 
Sejam dados os vértices AA' que se encontram no eixo real xx' e o eixo 
imaginário BB'. 
 
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Centre o compasso no ponto O (que está na interseção dos dois eixos) e com 
abertura igual à distância AB trace um arco que corte o eixo real nos pontos F e 
F' encontrando assim os focos da hipérbole (F e F’). 
 
15. ENCONTRAR O EIXO REAL DE UMA HIPÉRBOLE SENDO DADOS 
OS FOCOS E O EIXO IMAGINÁRIO. 
Sejam dados o eixo imaginário BB', a distância focal FF' e o eixo real que passa 
pelos pontos F e F'. Pede-se encontrar o segmento AA' (vértices da hipérbole) 
conhecido por eixo real. 
 
 
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Centre a ponta seca do compasso no ponto O e com a distância FB trace um 
arco que corte o eixo real nos pontos A e A' que são os vértices da hipérbole. 
 
16. ENCONTRAR O EIXO IMAGINÁRIO DE UMA HIPÉRBOLE SENDO 
DADOS O EIXO REAL E A DISTÂNCIA ENTRE OS FOCOS. 
Sejam dados a distância focal e o eixo imaginário BB'. Para encontrar os 
vértices AA' da hipérbole, centre a ponta seca do compasso no ponto B e com 
raio igual à distância OF trace um arco que corte o eixo real nos pontos A e A'. 
 
 
 
17. TRAÇAR A HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO 
DADOS OS DOIS EIXOS. 
Sejam dados o eixo imaginário BB', os vértices AA' e os focos FF' da hipérbole. 
 
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Marque a partir do ponto F para a esquerda os pontos 1', 2' e 3'. Marque a 
partir de F' para a direita os pontos 1, 2 e 3. 
 
Centre o compasso no ponto F e com abertura igual à F'1, F'2 e F'3 trace três 
arcos. 
 
Proceda da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F'. 
 
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Agora com a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a 1A, 2A 
e 3A trace arcos que cortam os anteriores encontrando assim os pontos de um 
ramo da hipérbole. 
 
Proceda da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F'. 
 
Ligue os pontos obtendo assim os dois ramos da hipérbole. 
 
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18. TRAÇAR A HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO 
DADOS OS DOIS EIXOS. 
Sejam os vértices A e A' e um ponto P da hipérbole e seus dois eixos: real e 
imaginário. 
 
Trace pelo ponto P uma paralela ao eixo real e uma paralela ao eixo imaginário 
e com os valores PP1 e PP3 construa o retângulo P, P1, P2, P3 encontrando os 
pontos A e Q' no eixo imaginário. 
 
Trace pelos pontos A e A' retas paralelas ao eixo imaginário encontrando R, R', 
R'' e R'''. 
 
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Divida o segmento P1R em N partes iguais (no caso N = 4). Em seguida divida 
os segmentos QP1 e QP2 também em quatro partes iguais. 
 
 
Transporte com os esquadros estas divisões para os outros lados paralelos dos 
retângulos. 
 
Ligue o vértice A aos pontos do segmento PP3. 
 
 
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Ligue o vértice A' aos pontos dos segmentos PR'' e P3R''' encontrando na 
interseção das linhas os pontos de um dos ramos da hipérbole. 
 
Repita o mesmo procedimento do outro lado para encontrar o outro ramo da 
hipérbole. Ligue A' aos pontos de P1P2. 
 
Ligue Aaos pontos de P1R e P2R' e na interseção das linhas marque os pontos. 
 
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Os dois ramos da hipérbole aparecem em cor azul. 
 
19. TRAÇAR A HIPÉRBOLE PELO MÉTODO DOS PONTOS SENDO 
DADOS OS DOIS EIXOS. 
Seja a elipse dada abaixo. Trace uma reta secante que corta a elipse em dois 
pontos A e B. 
 
Trace outra reta secante que seja paralela à primeira e corte a elipse nos 
pontos C e D. Encontre os pontos médios M e M' das cordas AB e CD 
respectivamente. 
 
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Ligue os pontos M e M' encontrando o diâmetro DD'. Encontre o ponto médio O 
do diâmetro DD'. 
 
Centre o compasso no ponto O e com um raio arbitrário trace um arco que 
corte a elipse em três pontos: H, I e J estabelecendo as cordas HI e IJ da 
elipse. O eixo maior AA' da elipse será a mediatriz da corda IJ o eixo menor BB' 
da elipse será a mediatriz de HI. 
 
 
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BIBLIOGRAFIA 
BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13° ed. 230 p. 
MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo: 
Livraria Francisco Alves, 460p, 1951. 
RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho 
Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.