aula_3 (1)

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Gráfico de uma função real
Função constante – Função crescente e decrescente
Função polinomial do 1º grau – Função Afim
Modelagem da função afim
Variação do sinal da função 
Equações e Inequações do 1º grau
Função Polinomial do 2º grau – Função Quadrática 
Modelagem da função quadrática 
Gráfico da função quadrática – A parábola 
Variação do sinal da função quadrática
Equações e Inequações do 2º grau
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No cotidiano, há muitos exemplos de função:
o “peso” de uma criança é função de sua idade;
o salário de um vendedor é função do volume de vendas;
a dose de um remédio é função do peso da criança que é medicada;
o desconto do Imposto de Renda é função da faixa salarial;
o tempo de viagem é função, entre outras coisas, da velocidade;
o buraco na camada de ozônio é função do nível de poluição;
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“Para entender o conceito de função, pense em duas grandezas que variam, sendo que a variação de uma depende da variação da outra”.
Assim, se tivermos dois conjuntos A e B e uma regra que permita associar a cada elemento de A um único elemento de B, teremos uma função.
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O gráfico da função terá um número de pontos igual ao número de pontos do domínio X se for finito 
Assim podemos afirmar que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico deve fazê-lo num único ponto. 
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Quais os pares ordenados da relação R, tais que:
y > 0 
y = 0 
y < 0 
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a) O par (–1; 3) pertence a S?
b) O ponto M pertence ao gráfico de S? 
c) O para (a, 3/2) pertence a S. 
Qual é o valor numérico de a?
d) Qual é o valor de x que está em correspondência com y = 7/2 ?
e) Qual é o valor de y que está em correspondência com x = –1?
f) Quais os valores de y que estão em correspondência com os valores de x, pertencentes aos reais que estão entre -3 e 2?
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a) Que valor de y corresponde a:
x = 1? e x = 0? e x = –1?
b) O valor de y que corresponde a x = 2 é positivo ou negativo?
c) O valor de y que corresponde a x = - 1/2 é positivo ou negativo?
d) Os Valores de y que correspondem a x < -1 são positivos ou negativos e para x = -1 e para x > -1?
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a) Que valor de y corresponde a x = 1?
b) O valor de y corresponde a x = –2?
c) O valor de y que corresponde a x = –3 é positivo ou negativo? Indique-o no gráfico.
d) O valor de y que corresponde a x = 3 é positivo ou negativo? Indique-o no gráfico.
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Definindo:
Dada a função f: A → B chamam-se zeros ou raízes da função f os valores de x, tais que f(x) = 0.
	Neste caso, f(x) = 0, para x = 1, sendo portanto 1 a raiz ou zero da função definida pelo diagrama de flechas ao lado. 
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Neste caso, observando o gráfico acima podemos ver que o par ordenado onde a função g intercepta o eixo dos x, (eixo das abscissas) e (-2,0), assim temos f(x) = 0, para x = -2, sendo assim -2 é a raiz ou o zero da função g.
Para que valores de x, g(x) e maior que zero, é para que valores de x g(x) é menor que zero?
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a) Qual o lucro quando o preço é igual a R$20,00? 
b) O que acontece quando o preço é igual a R$10,00?
c) Para se obter lucro igual a R$37,00, qual deve ser o preço?
d) Qual deve ser o preço para que se obtenha lucro máximo? 
e) Qual é o valor do lucro máximo? 
f) Se o preço for maior que R$50,00, haverá lucro ou prejuízo? 
g) Se o preço for maior que R$10,00 e menor que R$50,00, haverá lucro ou prejuízo?
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a) h(x) = g(x) 
b) h(x) > g(x) 
c) h(x) < g(x) 
d) h(x) = 0 
e) h(x) > 0 
f) h(x) < 0 
g) g(x) > 3
h) g(x) < 3
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Seja o gráfico a seguir de uma função f definida no campo dos números reais, temos que: 
I – f (x) >0 x < b ou x > c 
II – f (x) = 0 x = b ou x = c 
III – f (x) < 0 b < x < c 
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Dizemos que f é crescente em seu domínio se x e f(x) variarem no mesmo sentido, isto é: Qualquer que sejam x1, x2 pertencentes ao Dom f, x2 > x1, então f(x2) ≥ f(x1).
Dizemos que f é decrescente em seu domínio se x e f(x) variarem em sentidos contrários, isto é: Qualquer que sejam x1, x2 do Dom f, x2 > x1, então f(x2) ≤ f(x1).
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Percebe-se que a medida que x vai aumentando, y vai aumentando, assim, de x = 0h até 3,5h o automóvel aumentou sua velocidade, até atingir uma velocidade máxima de 125 km/h. A seguir a medida em que o tempo passa diminui a velocidade.
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	Um motorista, viajando em uma auto-estrada, dirige seu automóvel a uma velocidade constante de 90 km/h. Como é a expressão matemática da distância que ele percorre com esse automóvel?
Podemos afirmar que a distância percorrida é dada em função do tempo, isto é: d = 90. t, onde d é à distância percorrida e t é o tempo.
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Vamos ver o seguinte exemplo:
Considere o seguinte problema: Um vendedor de uma loja ganha um salário fixo mensal de R$ 250,00, acrescido de 3% (0,03) do valor total das vendas efetuadas durante o mês.
	a) Em um mês em que o valor total das vendas foi de R$ 2 000,00, qual foi o 	salário do vendedor?
	b) Em um mês em que o salário foi de R$ 280,00, qual foi o valor total das 	vendas?
	c) Qual seria o salário do vendedor em um mês em que não houvesse vendas? 
	d) Se x é o valor total das vendas efetuadas no mês, qual a expressão matemática 	da função que representa o salário do vendedor?
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a) Temos que se: 250,00 + 0,03 × 2 000,00 = 310,00
Assim o salário do vendedor foi de R$ 310,00.
b) Neste caso, chamando de x o valor total de vendas temos que:
 280,00 = 250,00 + 0,03x, isto é, 280,00 - 250,00 = 0,03x, assim temos, 30,00 = 0,03x, portanto x = 30,00 ÷ 0,03 x = 1 000
Isto significa que, em um mês em que o salário for de R$ 280,00, o total das vendas será de R$ 1 000,00.
c) Seria o salário fixo, isto é, de R$ 250,00.
d) Por meio de uma expressão, pode-se também calcular o valor de x (valor total das vendas) para um determinado valor de y (salário do vendedor): Não se esqueça que 3% = 0,03.
Assim temos y = 0,03x + 250, veja que a lei é constituída de uma parcela fixa e uma parcela que depende de x , que é o valor total das vendas efetuadas durante o mês.
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Observações:
1ª) Quando b = 0 e a ≠ 0, temos que a função f, é denominada função linear. (Foi o caso referente ao primeiro exemplo).
2ª) A função f é denominada função constante, quando a = 0, isto é, quando temos h(x) = b.
3ª) A função f é denominada função identidade, quando a = 1 e b = 0.
O JEITÃO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU É:
f(x) = ax + b, a e b pertencente aos reais.
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A condição necessária e suficiente para que uma função seja linear é que os valores assumidos por y = f (x) sejam proporcionais aos correspondentes valores de x ≠ 0. 
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Concluindo:
O gráfico da função polinomial do 1º grau chamada de função afim e da forma f(x) = ax + b e é graficamente representado por uma reta que:
• passa pela origem quando b = 0 (função linear);
• não passa pela origem quando b ≠ 0 (função afim).
O gráfico que representa a função constante f(x) = c, de em , é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo dos x).
Taxa de Variação de uma função
Consideremos uma função no campo dos reais, tal que: x e x + h com h ≠ 0, o número , chama-se
taxa de
variação ou taxa de crescimento da função f no intervalo de extremos x e x + h.
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A função afim f(x) = ax + b é crescente em , quando a > 0, e decrescente em , quando a < 0.
O coeficiente a é denominado coeficiente angular, taxa de variação ou declividade da reta que representa o gráfico da função f, e o b é chamado de coeficiente linear da função
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Raiz ou zero da função afim f(x) = ax + b é todo valor de x tal que f(x) = 0.
No gráfico cartesiano, o zero da função f é o valor da abscissa do ponto de interseção do gráfico com o eixo das abscissas.
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Chama-se trinômio do 2º grau a toda função do tipo t: R → R, tal que y = t(x) = ax² + bx + c (com a ≠ 0).
Raízes ou zeros do trinômio
São os valores de x que anulam o trinômio, isto é, são valores que satisfazem à equação:
t(x) = 0 então ax² + bx + c = 0
Formula resolutiva da equação do 2º grau:
 
Relações entre coeficientes e raízes do trinômio
Soma das raízes: - b/a
Produto das raízes: c/a
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Seja o trinômio y = ax² + bx + c ele é equivalente a.
Estudando o sinal da função f(x) = ax² + bx +c, temos: Podemos assim concluir que o sinal do trinômio terá o sinal de a para valores exteriores ao intervalo das raízes ( isto é, para x < x1 ou x > x2) e o sinal contrário ao sinal de a para valores interiores ao intervalo das raízes (isto é, para x1 < x < x2).
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a) ver o sinal de a para determinar a concavidade;
b) determinar as coordenadas do vértice (xv , yv) para encontrar o eixo de simetria da parábola;
c) ver o sinal de Δ para determinar se o gráfico corta o eixo Ox;
d) marcar o ponto (0, c) no eixo Oy;
e) traçar uma parábola.
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