Geometria analítica

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Professor Me: Lucas Corrêa de Almeida 
Geometria analítica 
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Definição 
 A palavra “geometria” vem do grego “geometrien” onde “geo” 
significa terra e “metrien” medida. Geometria foi, em sua origem, 
a ciência de medição de terras. 
 O historiador grego Heródoto (500 a.C.) atribuiu aos 
egípcios o início da geometria, mas outras civilizações antigas 
(babilônios, hindus, chineses) também possuíam muitas 
informações geométricas. 
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Definição 
 Geometria plana 
 
 A geometria plana, também chamada geometria 
elementar ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga. Esse 
estudo analisava as diferentes formas de objetos, e baseia-se 
em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. 
 
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Definição 
 Geometria espacial 
 
 Ramo da geometria que estuda a medida do espaço 
ocupado por um sólido. Cálculo dos volumes de um cubo, 
prisma, pirâmide, cone, cilindro, esfera e de um 
paralelepípedo. 
 
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Definição 
 Axioma 
 
 O termo axioma é originado da palavra grega αξιωμα 
(axioma), que significa algo que é considerado ajustado ou 
adequado, ou que tem um significado evidente. Entre os 
filósofos dos gregos antigos, um axioma era uma reivindicação 
que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma 
necessidade de prova. 
Exemplos: 
1 - Dados quaisquer dois pontos distintos, A e B, existe uma única reta que 
os contém 
 
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2 – Em cada reta existem ao menos dois pontos distintos 
 
 
 
3 - Dois segmentos são congruentes (iguais) se eles têm a mesma medida. 
 
4 - Dois ângulos são congruentes (iguais) se eles têm a mesma medida. 
 
 Observação. Usamos o termo congruentes, e não iguais, para distinguir 
do termo “igual”, que significa, matematicamente, o “mesmo objeto 
matemático”. 
 
Definição 
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Definição 
 Alguns símbolos usados em geometria 
 
 A, B, C,....  ponto 
 
 
 r, s, t,...  reta 
 
 
 AÔB, DÔE,...  Ô ângulo do vértice O ou medida de ângulo 
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Definição 
 𝐴𝐵,...  segmento de extremidade A e B, ou reta que passa 
por A,B 
 
 
 
 𝛥 ABC  triângulo de vértices A,B,C 
 
 
 
 
 AB ≡ CD  segmento AB congruente ao segmento CD 
 
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VETORES 
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Grandezas físicas 
 Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo 
aquilo que pode variar quantitativamente. 
 
 Deste modo, grandezas físicas são as que podem ser 
medidas. 
 
 São divididas em dois grupos: escalares e vetoriais. 
 
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Vetores e Escalares 
 Um vetor possui módulo assim como direção e sentido. Uma 
grandeza vetorial possui tanto módulo (valor numérico) quando 
direção e sentido, portanto, pode ser representado por um vetor. 
 Exemplo: deslocamento, velocidade e aceleração. 
 
 Nem toda grandeza física envolve uma direção e/ou um 
sentido. Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. 
Que são grandezas que só possuem um valor e uma unidade: 
 Exemplo: temperatura, massa, tempo. 
 
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Representação de um vetor 
 É um ente matemático representado por um segmento de reta 
orientado. E tem algumas características básicas. 
 Possuí módulo. (Que é o comprimento da reta) 
 Tem uma direção (plano em que se analisa) 
 E um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando). 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: 
 
Módulo 
Sentido 
Direção da 
Reta Suporte 
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Representação de uma Grandeza Vetorial 
 As grandezas vetoriais são representadas da 
seguinte forma: a letra que representa a 
grandeza, e uma a “flechinha” sobre a letra. 
Da seguinte forma... 
 
𝑣 
𝑩 
𝑨 
𝐹 
𝑶 𝑷 
𝑑 
𝑴 
𝑵 
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Comparação entre vetores 
 Vetores iguais 
 
 
 
 
 
 Mesmo Módulo 
 Mesma Direção 
 Mesmo Sentido 
 
 
O vetor 𝑎 é igual ao vetor 𝑏. 
 
 
 
a 
b 
r 
s 
𝑎 = 𝑏 
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Comparação entre vetores 
 Vetores Opostos 
 
 
 
 
 
 
 Sobre os vetores 𝑏 e 𝑐 podemos afirmar: 
 Tem o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos 
opostos. 
 
 O vetor 𝑐 é oposto aos vetores 𝑎 e 𝑏 . 
 
 
a 
b 
r 
s 
c 
t 
𝑎 = 𝑏 = −𝑐 
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Vetores 
 Observações 
 
a) Quando escrevemos: 𝑣 = 𝐴𝐵, estamos dizendo que um vetor 𝑣 é 
determinado pelo segmento orientado AB. 
 
 
 
 
b) Quando dois vetores são paralelos, indicamos por 𝑢//𝑣 . 
 Exemplo: 
 
𝑣 = 𝐴𝐵 
𝑎 //𝑏 
Exemplo: 
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Vetores 
 
c) Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são iguais, e indica-se por 𝑢 = 𝑣 , se tiverem 
iguais o módulo, a direção e o sentido; Observe: 
 
 
 
 
 
 
d) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou 
vetor nulo), que é indicado por 0 ou 𝐴𝐴 (a origem coincide com a 
extremidade). Por não possuir direção e sentidos definidos, 
considera-se paralelo a qualquer vetor 
 
𝒖 ≠ 𝒗 𝒖 ≠ 𝒗 𝒖 ≠ 𝒗 𝒖 = 𝒗 
𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟: 0 𝑜𝑢 𝐴𝐴 
𝐴 
Sentidos opostos Módulos diferentes Direções e sentidos 
diferentes 
Módulo, direção e 
sentido iguais. 
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Vetores 
e) A cada vetor não-nulo 𝑣 corresponde um vetor oposto −𝑣 , de 
mesmo módulo e mesma direção de 𝑣 , porém, de sentido 
contrário. Se 𝑣 = 𝐴𝐵 , o vetor 𝐵𝐴é o oposto de 𝐴𝐵 , isto é, 
𝐴𝐵 = −𝐴𝐵 = 𝐵𝐴. 
 
 
 
 
𝑣 = 𝐴𝐵=−𝐵𝐴 
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Vetores 
f) - O vetor 𝑢 é unitário se 𝑢 = 1. 
- A cada vetor 𝑣 , com 𝑣 ≠ 0, é possível associar dois vetores 
unitários de mesma direção de 𝑣  𝑢 e −𝑢 . Na figura, 
vemos 𝑣 = 6 e 𝑢 = −𝑢 = 1 
- O vetor 𝑢 unitário que tem o mesmo sentido de 𝑣 é chamado 
versor de 𝑣 . 
 
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Vetores 
g) Quando dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais, e indica-se por 
𝑢 ⊥ 𝑣 . 
 
 
 
 
 
i) Dois vetores são coplanares se existir algum plano onde estes 
vetores estão representados 
 
 
 
 
 
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𝑢 ⊥ 𝑣 
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Exercícios 
1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruente. 
Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações. 
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A B C D 
L M N E 
J I H G 
K 
P O F 
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Exercícios 
2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é 
verdadeira ou falsa cada uma das afirmações 
 
A B 
C D 
E 
H 
G 
F 
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Soma vetorial 
 Considere os vetores 𝑢 e 𝑣 cuja soma 𝑢 + 𝑣 pretendemos 
encontrar. 
 Tomando um ponto A qualquer e, com origem nele, tracemos um 
segmento orientado AB representante do vetor 𝑢. Utilizemos a 
extremidade B para traçar o segmento orientado BC 
representante de 𝑣 . 
 
 
 
 
 O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e 
extremidade C é, por definição, o vetor soma de 𝑢 e 𝑣 , isto é: 
A 
B 
C 
𝑢 
𝑣 
𝑢 + 𝑣 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ou 
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Soma vetorial 
 Sendo 𝑢 //𝑣 , a maneira de se obter o vetor 𝑢 + 𝑣 é a mesma, 
como mostra a figura abaixo: 
𝑢 𝑣 
𝑢 + 𝑣 
𝑣 
𝑢 + 𝑣 
𝑢 
𝑢 e 𝑣 de mesmo sentido 
𝑢 e 𝑣 de sentidos contrários 
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Soma vetorial 
 Há duas regras para realização da soma vetorial: 
 
 Regra do paralelogramo; 
 
 Regra do polígono. 
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Soma vetorial  regra do paralelogramo 
 Neste caso os vetores são transpostos de forma a fecharem um 
paralelogramo, esta regra é eficaz somente com dois vetores. 
 
 OBS: Paralelogramo porque traça-se uma reta paralela saindo da 
origem do outro seguimento 
 
𝑎 
𝑏𝑎 
𝑏 
+ = 
𝑆 
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Soma vetorial  regra do polígono 
 Nesta regra o vetor posterior “sai” da extremidade do 
primeiro 
𝑎 𝑏 
𝑆 
𝑏 
𝑎 
+ = 
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Soma vetorial  regra do polígono 
Exemplo: Dado os vetores 𝑢, 𝑣 , 𝑤 e 𝑡 , determine: 
 
 
 
 
 
 
 
a) 𝑣 + 𝑢 + 𝑤 
𝑣 
𝑢 
𝑤 
𝐴 
𝐵 C 
D 
𝑣 + 𝑢 + 𝑤 
𝑣 
𝑢 
𝑤 
𝑡 
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Soma vetorial  regra do polígono 
b) 
𝑤 
𝑣 + 𝑢 + 𝑤 + 𝑡 
𝑣 
𝐴 
𝐵 𝑢 𝐶 
𝐷 
𝑡 
𝐸 
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Soma vetorial 
 Propriedades 
 Sendo 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 vetores quaisquer, a adição admite as 
seguintes propriedades: 
 
i. Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
ii. Associativa: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 
iii. Elemento neutro: 𝑢 + 0 = 𝑢 
iv. Elemento oposto: 𝑢 + (−𝑢) = 0 
 
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Soma vetorial 
 O vetor 𝑢 + (−𝑣 ), escreve-se 𝑢 − 𝑣 . 
Exemplo: Considerando os vetores do exercício anterior, determine: 
 
a) 𝑣 + 𝑢 
 
 
 
 
 
b) 𝑣 − 𝑢 
𝑣 
𝐴 
𝐵 𝑢 𝐶 
𝑣 
𝐴 
𝐵 𝑢 𝐶 
𝑣 − 𝑢 
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Exercícios 
3) Com base na Figura abaixo, expressando-os com origem no ponto 
A: 
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Exercícios 
4) Com base na figura abaixo, determinar os vetores abaixo, 
expressando-os com origem no ponto A: 
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Exercícios 
5) Dado dois vetores 𝑢 e 𝑣 não paralelos, construir no mesmo 
gráfico os vetores 𝑢 + 𝑣 , 𝑢 − 𝑣 , 𝑣 − 𝑢 e −𝑢 − 𝑣 , todos com origem 
em um mesmo ponto. 
𝑣 
𝑢 
−𝑣 
−𝑢 
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Componentes de vetores 
 Uma técnica mais organizada para somar vetores envolve 
álgebra, mas exigem que vetores sejam colocados em 
sistema de coordenadas. Um componente de um vetor é a 
projeção do mesmo sobre o eixo. 
 
 
 
ax=componente de 𝑎 na coordenada x 
ay=componente de 𝑎 na coordenada y 
𝑎 𝑦 
𝑎 𝑥 
𝑎 
Este processo é chamado de decomposição de vetores. 
Portanto: 
sin 𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎 
 cos 𝜃 = 
𝑎𝑥
𝑎 
 tan 𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎𝑥
 
 
 
𝑦 
𝑥 
𝜃 
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Módulo de um vetor 
 Considere o vetor no plano cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
O módulo do vetor 𝑣 , pode ser encontrado através de uma simples 
relação trigonométrica, conhecida como teorema de Pitágoras. 
Fazendo: 
 
Podemos então dizer que, para encontrarmos o módulo de um vetor 
basta elevarmos seus componentes ao quadrado, soma-los e logo 
tirar a raiz: 
4 
𝑣 
𝑦(𝑚) 
𝑥(𝑚) 
3 
𝑎² = 𝑏² + 𝑐² → 𝑣 2 = 3² + 4² → 𝑣 = 9 + 16 → 𝑣 = 5𝑚 
𝑣 = 𝑣²𝑥 + 𝑣²𝑦 
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Observações 
a. Se todos os vetores são paralelos e não-nulos, proporcionais a 𝑣 
podemos ordena-los na mesma reta 
 
 
 
 
Por outro lado, supondo 𝑢//𝑣 , com 𝑣 ≠ 0, sempre existe um número 
real ∝ tal que 𝑢 =∝ 𝑣 
Por exemplo, na figura abaixo, onde DC está dividido em cinco 
segmentos congruentes (de mesmo comprimento), em relação ao 
vetor 𝐴𝐵 ( 𝐴𝐵 = 2), tem-se 
 
𝐴𝐵 =
3
2
𝐴𝐵 𝐵𝐷 = −2 𝐴𝐵 𝐶𝐷 =
−5
2
𝐴𝐵 
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Observações 
b. Sabemos que cada vetor 𝑣 , 𝑣 ≠ 0 , é possível associar dois 
vetores unitários paralelos a 𝑣 . 
 
 
 
 
O vetor unitário 
𝑎
𝑣
𝑣 ou 
𝑣
𝑣
 de mesmo sentido de 𝑣 é versor de 𝑣 . 
Exemplo: 
- Se 𝑣 = 5, o versor de 𝑣 é 
𝑣
5
; 
- Se 𝑣 =
1
3
, o versor de 𝑣 é 3𝑣 ; 
- Se 𝑣 = 10, o versor de 𝑣 é 
𝑣
10
. 
 
 
 
𝑣 
𝑢 
−𝑢 
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Exemplo 
Exemplo: 
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VETORES UNITÁRIOS 
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Vetores Unitários 
 Um vetor unitário é um vetor que possui módulo igual a 1. Sua 
única função é especificar uma direção e um sentido, ou seja, ele 
não possui dimensão e nem unidade. 
 São representados da seguinte maneira: 
𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘 
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Vetores Unitários 
 Podemos expressar qualquer vetor deste sistema de coordenadas. Por 
exemplo 𝑎 𝑒 𝑏 abaixo: 
 
 
 Este sistema é chamado de sistema de coordenadas dextrogiro; 
 
 𝑎𝑥 e 𝑎𝑦 são chamados de componentes escalares (ou como dito antes, 
simplesmente componentes); 
 
 𝑎𝑥𝑖 𝑒 𝑎𝑦𝑗 são vetores, chamados componentes vetoriais de 𝑎 . 
 
 Exemplo: 
𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 𝑏 = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘
 
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Somando os vetores componente a componente 
 Dado os vetores 𝑎 𝑒 𝑏, calcule soma: 𝑅 = 𝑎 + 𝑏 
 
 
 
 Sendo: 
 
 
 Se calcularmos a diferença, teremos: 
 
𝑎 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘 𝑏 = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘 𝑅 = 𝑅𝑥𝑖 + 𝑅𝑦𝑗 + 𝑅𝑧𝑘 
𝑅𝑥 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏𝑥𝑖 𝑅𝑦 = 𝑎𝑦𝑗 + 𝑏𝑦𝑗 𝑅𝑧 = 𝑎𝑧𝑘 + 𝑏𝑧𝑘 
𝑅 = 𝑎 − 𝑏 𝑅 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦 𝑗 + 𝑎𝑧 − 𝑏𝑧 𝑘 
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Exercício 
 Dado os vetores realize a soma e faça um gráfico contendo cada 
um e a resultante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios do livro: 1/2/3/4/5/6/7/8/9/11/12/13 
 
𝑎 = 4,2 𝑖 − 1,5 𝑗 
𝑏 = −1,6 𝑖 + 2,9 𝑗 
𝑐 = −3,7 𝑖