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<p>1</p><p>Física Experimental IV - 4302214</p><p>Aluno 1: Matheus de Oliveira Teodoro da Silva N° USP: 14598104</p><p>Aluno 2: Gabriela Silva do Nascimento N° USP: 14614199</p><p>Aluno 3: Kawe Gonçalves Soares N° USP: 14586302</p><p>DETERMINAÇÃO DA DISTÂNCIA</p><p>FOCAL DE LENTES CONVERGENTE</p><p>E DIVERGENTE</p><p>1</p><p>2</p><p>Experimento 2 - (13/08/2024)</p><p>Atividade</p><p>Sumário</p><p>1. Atividade 2 - 13/08/2024 …………………..…...................................... 1</p><p>1.1 OBJETIVO ................................................................................ 3</p><p>1.2 ASPECTO TEÓRICO................................................................ 3</p><p>1.3 DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL ............................................... 6</p><p>1.4 RESULTADOS E ANÁLISE ..................................................... 7</p><p>1.5 DISCUSSÃO DAS INCERTEZAS ……………………………… 9</p><p>1.6 CONCLUSÃO .......................................................................... 10</p><p>2</p><p>3</p><p>1.1 Objetivo</p><p>O objetivo deste experimento foi proporcionar uma compreensão prática dos</p><p>sistemas ópticos ideais, por meio da construção de imagens a partir de objetos em</p><p>um sistema de lentes.</p><p>Especificamente, esta atividade teve como metas a construção de um modelo</p><p>físico para um sistema de duas lentes, a determinação da distância focal entre as</p><p>duas lentes, sendo uma convergente e a outra divergente, e correlacionar essas</p><p>distâncias focais obtidas.</p><p>Através deste estudo, pretendemos observar características da óptica</p><p>geométrica e construir imagens a partir de objetos em uma lente.</p><p>1.2 Aspecto Teórico</p><p>A luz é uma onda eletromagnética que exibe fenômenos ondulatórios, como</p><p>interferência e difração, especialmente em sistemas com dimensões comparáveis</p><p>ao seu comprimento de onda. Na óptica geométrica, onde as dimensões são muito</p><p>maiores que o comprimento de onda, esses efeitos são ignorados, e a luz é tratada</p><p>como raios que se propagam em linha reta. Reflexão e refração ocorrem quando a</p><p>luz passa entre meios com diferentes índices de refração, definidos pela razão entre</p><p>a velocidade da luz no vácuo e no meio, assim para diferentes meios existem</p><p>diferentes índices de refração. Temos:</p><p>(1.2.1)𝑛 = 𝑐</p><p>𝑣</p><p>Onde:</p><p>é o índice de refração,𝑛</p><p>é a velocidade da luz no vácuo𝑐</p><p>é a velocidade da luz no meio.𝑣</p><p>A mudança na direção do raio luminoso refratado é governada pela lei de</p><p>Snell, expressa pela equação:</p><p>(1.2.2)𝑛</p><p>1</p><p>𝑠𝑖𝑛θ</p><p>1</p><p>= 𝑛</p><p>2</p><p>𝑠𝑖𝑛θ</p><p>2</p><p>Onde:</p><p>e são os índices de refração dos dois meios e𝑛</p><p>1</p><p>𝑛</p><p>2</p><p>e são os ângulos de incidência e refração, respectivamente.θ</p><p>1</p><p>θ</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>As lentes, dispositivos ópticos que alteram a direção da luz, podem ser</p><p>convergentes (positivas) ou divergentes (negativas). Lentes convergentes</p><p>aproximam os raios luminosos, enquanto lentes divergentes os afastam. Cada lente</p><p>delgada possui uma distância focal específica, que é a distância entre o centro da</p><p>lente e o ponto onde os raios paralelos ao eixo da lente convergem (em lentes</p><p>convergentes) ou parecem divergir (em lentes divergentes). A distância focal é</p><p>positiva para lentes convergentes e negativa para lentes divergentes. Um raio que</p><p>passa pelo centro da lente não é desviado, enquanto raios paralelos à lente são</p><p>focados no ponto focal. Este princípio é essencial na análise de sistemas ópticos</p><p>que utilizam lentes.</p><p>Neste experimento estudaremos a associação dessas duas lentes descritas,</p><p>a lente delgada convergente e a divergente. Esquematicamente temos:</p><p>Figura 1 e 2 - Esquema que mostra a interação de um raio luminoso interagindo com as lentes</p><p>convergente e divergente</p><p>No experimento proposto, teremos a duas lentes no mesmo sistema de forma</p><p>que teremos de analisar as distâncias i e o conforme esquema abaixo:</p><p>4</p><p>5</p><p>Figura 3 - Esquematização do experimento proposto.</p><p>Onde:</p><p>é a distância da lente divergente ao seu foco𝑓</p><p>𝑑</p><p>é a distância da lente convergente ao seu foco𝑓</p><p>𝑐</p><p>é a distância da lente convergente a imagem projetada𝑖</p><p>é a distância do objeto a lente divergente𝑜</p><p>é a distância entre as lentes∆</p><p>Nessa atividade vamos estudar a trajetória de um raio luminoso que sai de</p><p>uma certa posição inicial que faz um certo ângulo com o eixo principal e chega a𝑟</p><p>𝑖</p><p>θ</p><p>í</p><p>uma posição final formando um ângulo com o eixo principal. Onde e𝑟</p><p>𝑓</p><p>θ</p><p>𝑓</p><p>𝑟</p><p>𝑖</p><p>= ℎ</p><p>𝑜</p><p>( a altura em relação ao eixo principal), esquematicamente:𝑟</p><p>𝑓</p><p>= ℎ</p><p>𝑖</p><p>Queremos determinar a posição B a partir de A, que podemos chamar:</p><p>e (1.3.1)𝐴 =</p><p>ϕ</p><p>𝑟( ) 𝐵 =</p><p>ϕ</p><p>3</p><p>𝑟</p><p>5( )</p><p>5</p><p>6</p><p>O método matricial descreve a trajetória do raio luminoso de um ponto a a𝑃</p><p>1</p><p>um outro através de uma matriz de transformação . De modo que𝑃</p><p>2</p><p>𝑀</p><p>, com inversível, dada a reversibilidade dos raios, deve ser𝑃</p><p>2</p><p>= 𝑀</p><p>𝑃</p><p>1</p><p>→𝑃</p><p>2</p><p>· 𝑃</p><p>1</p><p>𝑀</p><p>possível . Por meio de trigonometria considerando as aproximações𝑃</p><p>1</p><p>= 𝑀−1 · 𝑃</p><p>2</p><p>paraxial que afirma , , e de lentes delgadas e ,ϕ → 0 𝑠𝑒𝑛ϕ ≃ ϕ 𝑟</p><p>1</p><p>≃ 𝑟</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>3</p><p>≃ 𝑟</p><p>4</p><p>chegou-se a seguinte matriz de transformação:</p><p>𝑀 =</p><p>0</p><p>1</p><p>1</p><p>𝑖( ) −1/𝑓</p><p>𝑐</p><p>1</p><p>1</p><p>0( ) 0</p><p>1</p><p>1</p><p>∆( ) − 1</p><p>𝑓</p><p>𝑑</p><p>1</p><p>1</p><p>0( ) 0</p><p>1</p><p>1</p><p>𝑜( )</p><p>(1.3.2)=</p><p>− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>+(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑑</p><p>)·(∆·(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>)+1)</p><p>𝑖·( −1</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>+(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑑</p><p>+∆(𝑖− 1</p><p>𝑓𝑐 +1))+1</p><p>𝑜·(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>+(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑑</p><p>)(∆·(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>+1))+∆·(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>)+1</p><p>𝑜·(𝑖·(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>)+1+(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑑</p><p>)(∆(1+𝑖·(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>))+𝑖))+𝑖+∆(𝑖·(− 1</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>)+1)( )</p><p>Onde: com e definidos em (1.3.1). Ao realizar as𝐵 = 𝑀 · 𝐴 𝐴 𝐵</p><p>simplificações em , usando a lei de Gauss da Óptica Geométrica𝑀</p><p>e em seguida na multiplicação de por nos( 1</p><p>𝑓 = 1</p><p>𝑜 + 1</p><p>𝑖 ⇔ 𝑜 − 𝑜𝑖</p><p>𝑓 + 1 = 0) 𝑀 𝐴</p><p>lembrar da aproximação paraxial, chegamos no fim que:</p><p>(1.3.3)𝑖 =</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>∆𝑜−𝑓</p><p>𝑐</p><p>·𝑓</p><p>𝑑</p><p>∆−𝑓</p><p>𝑐</p><p>·𝑓</p><p>𝑑</p><p>𝑜</p><p>∆·𝑜−𝑓</p><p>𝑐</p><p>·𝑜−𝑓</p><p>𝑑</p><p>·∆−𝑓</p><p>𝑑</p><p>·𝑜+𝑓</p><p>𝑐</p><p>·𝑓</p><p>𝑑</p><p>Daí num ajuste por , onde e , tomamos parâmetros𝑜 𝑖 𝑦 = 𝑖 𝑥 = 𝑜 𝑎 = 𝑓</p><p>𝑐</p><p>, com , teremos o ajuste: e então𝑏 = 𝑓</p><p>𝑑</p><p>∆ = 20 (𝑐𝑚) 𝑦 = 20𝑎·𝑥+20𝑎𝑏−𝑎𝑏·𝑥</p><p>20 ·𝑥−𝑎·𝑥−20𝑏−𝑏·𝑥+𝑎𝑏</p><p>obteremos por meio do ajuste a comparação.</p><p>1.3. Descrição experimental</p><p>Para a realização do experimento, que estudará as características da óptica</p><p>geométrica e construir imagens a partir de objetos em uma lente, utilizamos como</p><p>principais ferramentas, um trilho óptico com ajustes de alinhamento, uma lente</p><p>convergente e uma divergente, suportes para as lentes, uma fonte de luz que</p><p>propagava uma imagem, e um anteparo para projeção de imagens.</p><p>Com essas ferramentas em mãos, inicialmente as organizamos de forma</p><p>condizente ao experimento.</p><p>6</p><p>7</p><p>Sendo assim, no primeiro momento colocamos o luz em seu suporte e</p><p>alinhamos o mesmo com o trilho óptico, e as duas lentes, de forma que a luz tinha</p><p>que atravessar as lentes e atingir ao anteparo de projeção de imagens sem</p><p>empecilhos e mostrando uma imagem clara, para tal fomos alterando a distância</p><p>entre as lentes e os objetos até alcançar uma melhor nitidez.</p><p>Com todo o aparato experimental pronto, iniciamos a medida dos dados, para</p><p>tal, com o aparato todo alinhado, a luz cruza as lentes, (que se mantinham em uma</p><p>distância fixa), e se propaga paralelamente ao eixo óptico, assim, começamos a</p><p>deslocá-la horizontalmente, e também a tela de projeção, o que nos permitiu fazer</p><p>várias medições da distância entre a luz e as lentes, e a distância entre as lentes e a</p><p>projeção nítida.</p><p>Por fim, com esses dados coletados, conseguimos fazer a análise do</p><p>experimento, a construção dos gráficos, e consequentemente determinar uma</p><p>relação entre as distâncias (distância da lente convergente a imagem projetada) e𝑖</p><p>(distância do objeto a lente divergente), mantendo (distância entre as lentes)𝑜 𝑑</p><p>fixo, como será mostrado nos próximos tópicos.</p><p>1.4. Resultados e Análise</p><p>Após a coleta como descrito anteriormente, obtivemos os seguintes dados:</p><p>7</p><p>𝑜 (𝑐𝑚) 𝑖 (𝑐𝑚) σ</p><p>𝑖</p><p>σ</p><p>𝑜</p><p>55,0 77,5 1,0 0,3</p><p>52,0 78,5 1,0 0,3</p><p>49,0 79,0 1,0 0,3</p><p>45,0 80,0 1,0 0,3</p><p>42,0 81,0 1,0 0,3</p><p>39,0 82,2 1,0 0,3</p><p>35,0 84,7 1,0 0,3</p><p>32,0 85,9 1,0 0,3</p><p>29,0 88,0 1,0 0,3</p><p>25,0 92,0 1,0 0,3</p><p>22,0 95,0 1,0 0,3</p><p>8</p><p>Tabela 1 - Tomada de dados a partir da variação e𝑜 𝑖</p><p>Com os dados obtidos da tabela 1, construímos o seguinte ajuste:</p><p>Gráfico 1 - Ajuste da forma , a partir dos dados da tabela 1 onde ,𝑦 = (24.5*𝑎*𝑥−24.5*𝑎*𝑏−𝑎*𝑏*𝑥</p><p>(24.5*𝑥−𝑥*𝑎−24.5*𝑏−𝑥*𝑏+𝑎*𝑏) 𝑥 = 𝑜</p><p>e ,𝑎 = 𝑓</p><p>𝑐</p><p>𝑏 = 𝑓</p><p>𝑑</p><p>De fato, percebemos que os pontos se distribuem adequadamente pelo</p><p>gráfico como o esperado. No entanto o chi² está ligeiramente abaixo do intervalo</p><p>desejado: para , o que podemos atribuir a um valor um[ 2. 334857; 20. 512501] 9 𝑁𝐺𝑙</p><p>pouco elevado da incerteza de .𝑖</p><p>8</p><p>9</p><p>Ajuste: 𝑦 = (24.5*𝑎*𝑥−24.5*𝑎*𝑏−𝑎*𝑏*𝑥</p><p>(24.5*𝑥−𝑥*𝑎−24.5*𝑏−𝑥*𝑏+𝑎*𝑏)</p><p>Parâmetro Valor Ajustado</p><p>𝑎 (𝑐𝑚) 21. 353 ± 0. 19207</p><p>𝑏 (𝑐𝑚) − 11. 414 ± 0. 60830</p><p>𝑐ℎ𝑖² 0.574018</p><p>Tabela 2 - Resultado do ajuste do gráfico 1</p><p>Do resultado do ajuste conseguimos extrair as distâncias focais tanto da lente</p><p>convergente quanto da divergente,𝑓</p><p>𝑐</p><p>= (21. 35 ± 0. 19 )𝑐𝑚 𝑓</p><p>𝑑</p><p>= (− 11. 41 ± 0. 61) 𝑐𝑚</p><p>Aplicando o teste t para ambos os valores:</p><p>𝑡 =</p><p>𝑥‾−µ</p><p>0</p><p>𝑠</p><p>𝑛</p><p>onde (valor medido da distância focal disponibilizado pelo𝑥</p><p>1</p><p>‾ ≡ 𝑓</p><p>𝑚</p><p>≃ 20 𝑐𝑚</p><p>laboratório da lente convergente) e ,𝑥</p><p>2</p><p>‾ ≡ 𝑓</p><p>𝑚</p><p>≃− 10 𝑐𝑚</p><p>e (obtido a partirµ</p><p>01</p><p>≡ 𝑓</p><p>𝑐</p><p>= (21. 35 ± 0. 19 )𝑐𝑚 µ</p><p>02</p><p>≡ 𝑓</p><p>𝑑</p><p>= (− 11. 41 ± 0. 61) 𝑐𝑚</p><p>de (1.3.5)) e e (dada acima, porém explicada na próxima seção𝑠</p><p>1</p><p>≡ σ</p><p>𝑓𝑐</p><p>𝑠</p><p>2</p><p>≡ σ</p><p>𝑓𝑑</p><p>dessa síntese), e , (pois o número de vezes que repetiu-se o experimento e𝑛 ≡ 1</p><p>as medidas) assim temos:</p><p>(1.4.2)𝑡 =</p><p>𝑓</p><p>𝑚</p><p>−𝑓</p><p>σ</p><p>𝑓</p><p>Substituindo os valores obtidos (dados, encontrados ou medidos), temos para</p><p>a lente convergente:</p><p>𝑡</p><p>𝑐</p><p>= 20−21,353</p><p>0.19207 ⇒ 𝑡</p><p>𝑐</p><p>=− 7, 04431</p><p>Para a lente divergente, temos:</p><p>𝑡</p><p>𝑑</p><p>= 10−11.414</p><p>0.60830 ⇒ 𝑡</p><p>𝑑</p><p>=− 2, 32451</p><p>Consultando a tabela t-student para o para uma confiança de é9 𝐺𝑙 |𝑡</p><p>𝑐</p><p>| 96%</p><p>logo para que nossa hipótese , , e portanto para2, 398. 𝑓</p><p>𝑚</p><p>= 𝑓 𝑡 ∈ [− 2, 398, 2, 398]</p><p>a lente convergente ele apresenta um valor acima do intervalo esperado, mas se</p><p>9</p><p>10</p><p>encontra dentro do intervalo para a lente divergente. Podemos atribuir esse valor um</p><p>pouco acima pelo fato da incerteza de ser muito baixa, fato que não ocorre com𝑓</p><p>𝑐</p><p>.𝑓</p><p>𝑑</p><p>1.5. Discussão das incertezas</p><p>Realizando esse experimento, medimos , e partir disso com o coeficiente𝑖 𝑜 𝑎</p><p>e do ajuste obtemos e . Necessariamente cada uma dessas variáveis𝑏 𝑓</p><p>𝑐</p><p>𝑓</p><p>𝑑</p><p>medidas e/ou obtidas possuem incertezas.</p><p>A obtenção de se baseou na mensuração da sua variação da distância da𝑖</p><p>imagem à lente divergente, tal medição foi feita com uma régua, e para a incerteza</p><p>atribuímos um valor mais elevado, devido às dimensões de largura da imagem, e</p><p>por isso temos que sua posição no trilho fica um pouco mais difícil de ser</p><p>determinada, e portanto, consideramos uma incerteza, . Para , foi feitoσ</p><p>𝑖</p><p>= 1, 0 𝑐𝑚 𝑜</p><p>um processo análogo, no qual era obtido a partir da medição da distância da fonte</p><p>até a lente convergente, porém sua posição no trilho estava mais precisa e por isso</p><p>decidimos atribuir uma incerteza σ</p><p>𝑜</p><p>= 0, 3 𝑐𝑚</p><p>Para a incertezas da lente convergente e divergente, e , conseguimosσ</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>σ</p><p>𝑓</p><p>𝑑</p><p>obter a partir do próprio ajuste feito no atus: , um valor baixo queσ</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>= 0. 19207 𝑐𝑚</p><p>impactou diretamente no teste t, e , um valor mais razoável paraσ</p><p>𝑓</p><p>𝑑</p><p>= 0. 60830 𝑐𝑚</p><p>tal incerteza.</p><p>1.6. Conclusão</p><p>O ajuste realizado falhou no teste do qui-quadrado, apresentando um valor:</p><p>,o que está ligeiramente acima do limite máximo esperado para𝑐ℎ𝑖² = 0. 574018</p><p>9 graus de liberdade, o que podemos atribuir à uma incerteza elevada de . Os𝑖</p><p>coeficientes obtidos no ajuste permitiram a extração da distância focal da lente𝑓</p><p>𝑐</p><p>convergente e da distância focal da lente convergente , que se mostrou𝑓</p><p>𝑑</p><p>compatível com o valor de referência para a lente convergente</p><p>10</p><p>11</p><p>, o que atribuímos ao valor baixo de , ao passo que para𝑓</p><p>𝑐</p><p>= (21. 35 ± 0. 19 )𝑐𝑚 σ</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>a lente divergente obtivemos um valor compatível a partir do teste t e</p><p>. Isso sugere que o ajuste em si é estatisticamente𝑓</p><p>𝑑</p><p>= (− 11. 41 ± 0. 61) 𝑐𝑚</p><p>satisfatório, ele ainda pode fornecer uma estimativa razoável de e .𝑓</p><p>𝑑</p><p>𝑓</p><p>𝑐</p><p>11</p>