Lista de exercicios

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<p>LISTA DE EXERCÍCIOS 3</p><p>Campus Araçuáı</p><p>Profº: Dr. José Lucas</p><p>Matemática - 2º Ano</p><p>Nome:</p><p>INSTRUÇÕES</p><p>� A lista deverá ser entregue no dia da prova.</p><p>� Faça os exerćıcios com atenção e calma.</p><p>� Apresente as contas e deixe claro os métodos utilizados para resolver as questões.</p><p>� Dica: não estudem apenas sozinhos! Estudem também em grupo!</p><p>� Bom trabalho a todos!</p><p>Questão 1. Escreva as matrizes:</p><p>a) A = (aij)3×2, tal que aij =</p><p>{</p><p>(−1)i+j se i ≤ j</p><p>3i− j se i > j.</p><p>.</p><p>b) B = (bij)3×3, onde bij = ij + j.</p><p>Questão 2. Uma matriz A possui 40 elementos, e tem 3 colunas a mais que a quantidade de linhas.</p><p>Determine a ordem (tamanho) da matriz A.</p><p>Questão 3. Determine o valor de x de modo que x2 0 2</p><p>1 2x 3</p><p>4 3x− 9 0</p><p> =</p><p> 8x− 15 0 2</p><p>1 6 3</p><p>4 0 0</p><p> .</p><p>Questão 4. Consideremos as matrizes A =</p><p> 1 −2 0</p><p>3 1 9</p><p>−5 2 1</p><p> e B =</p><p>[</p><p>1 0 2</p><p>−2 2 3</p><p>]</p><p>. Verifique se é</p><p>posśıvel calcular as matrizes A ·B e B · A. Caso seja posśıvel, determine-as.</p><p>Questão 5. Considere as matrizes A =</p><p>[</p><p>2 3</p><p>5 1</p><p>]</p><p>e B =</p><p>[</p><p>3 1</p><p>2 1</p><p>]</p><p>. Calcule</p><p>(a) A2, onde A2 = A · A.</p><p>(b) B2, onde B2 = B ·B.</p><p>(c) (A+B)(A−B).</p><p>(d) A2 −B2.</p><p>1</p><p>Questão 6. Determine os valores reais de x e y de modo que as matrizes A =</p><p>(</p><p>2 0</p><p>−3 4</p><p>)</p><p>e B =(</p><p>3 x</p><p>y 1</p><p>)</p><p>comutem, isto é, de modo que A ·B = B · A.</p><p>Questão 7. Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para</p><p>seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação:</p><p>• Número de eixos e rodas de cada modelo de caminhão:</p><p>Componentes/Modelo A B C</p><p>Eixos 2 3 4</p><p>Rodas 4 6 8</p><p>Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela abaixo:</p><p>• Produção de caminhões nos meses de janeiro e fevereiro</p><p>Modelo/Meses Janeiro Fevereiro</p><p>A 30 20</p><p>B 25 18</p><p>C 20 15</p><p>Usando a multiplicação de matrizes, respondam: nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são</p><p>necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a produção planejada?</p><p>Questão 8. [Adaptado UFSJ-MG] Se n ∈ N∗ e A é uma matriz quadrada, definimos An =</p><p>n vezes︷ ︸︸ ︷</p><p>A · A · . . . · A.</p><p>No caso de A ser a matriz</p><p>A =</p><p>(</p><p>0 1</p><p>1 0</p><p>)</p><p>Calcule a matriz A+ A2 + A3 + · · ·A40.</p><p>Questão 9. Calcule os seguintes determinantes:</p><p>a)</p><p>∣∣∣∣ 1 2</p><p>3 4</p><p>∣∣∣∣</p><p>b)</p><p>∣∣∣∣ sin(π</p><p>2</p><p>) tan(π)</p><p>tan(π</p><p>4</p><p>) cos(π)</p><p>∣∣∣∣</p><p>c)</p><p>∣∣∣∣ sin(7◦) − cos(7◦)</p><p>cos(7◦) sin(7◦)</p><p>∣∣∣∣</p><p>d)</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>3 2 1</p><p>1 2 5</p><p>1 −1 0</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>e)</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>1 2 4</p><p>0 3 9</p><p>0 0 −5</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>Questão 10. Resolva, em R, as seguintes equações:</p><p>a)</p><p>∣∣∣∣ x −3</p><p>x+ 2 x− 2</p><p>∣∣∣∣ = 8</p><p>2</p><p>b)</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>x 0 1</p><p>2x x 2</p><p>3 2x x</p><p>∣∣∣∣∣∣ = 0</p><p>e)</p><p>∣∣∣∣∣∣</p><p>1 2 x</p><p>−1 x x+ 1</p><p>3 2 x</p><p>∣∣∣∣∣∣ = 6</p><p>Questão 11. Resolva os seguintes sistemas lineares e apresenta a representação geométrica de cada um</p><p>deles:</p><p>a)</p><p>{</p><p>2x+ 3y = 7</p><p>3x− 2y = 1</p><p>b)</p><p>{</p><p>x− 3y = 2</p><p>3x− 9y = 1</p><p>c)</p><p>{</p><p>2x− y = 2</p><p>−4x+ 2y = −4</p><p>Questão 12. Uma liga L1 tem 30% de ouro e 70% de prata e uma liga L2 tem 60% de ouro e 40% de</p><p>prata. Quantos gramas de cada uma deve-se tomar a fim de formar 100 gramas de uma liga com igual</p><p>quantidade de ouro e prata.</p><p>Questão 13. (UEL-PR) Um comerciante varejista comprou 80 calças de dois tamanhos diferentes,</p><p>pequeno e médio, gastando R$4.300, 00. Cada calça de tamanho pequeno custou R$50, 00 e cada calça</p><p>de tamanho médio custou R$60, 00. Quantas calças de tamanho pequeno e médio, respectivamente, ele</p><p>comprou?</p><p>Questão 14. Um caminhão transportou, em duas viagens, 50 toneladas de soja. Sabendo que, na</p><p>primeira viagem, o caminhão carregado pesou 45 toneladas e que na segunda, o caminhão e a carga</p><p>pesaram 35 toneladas, calcule a quantidade de soja transportada na primeira viagem e o peso do</p><p>caminhão vazio.</p><p>Questão 15. O sistema</p><p></p><p>a+ b− c = α</p><p>2b+ c = β</p><p>3c = γ</p><p>é posśıvel e determinado e sua solução é (−1, 2,−2). De-</p><p>termine os valores das constantes reais α, β, γ.</p><p>Questão 16. Resolva os sistemas abaixo:</p><p>a)</p><p></p><p>x+ y + z = 0</p><p>2x+ 3y + 3z = 3</p><p>3x+ 4y + 4z = 4</p><p>b)</p><p></p><p>x− y + z = 1</p><p>2x+ y + z = 3</p><p>x+ y + 2z = 7</p><p>c)</p><p></p><p>x+ y + z = 4</p><p>5x+ 2y + z = 3</p><p>6x+ 3y + 2z = 7</p><p>3</p><p>Questão 17. (UEL) Uma mãe, com o intuito de organizar os brinquedos dos seus filhos, teve a ideia</p><p>de colocá-los em caixas coloridas. Ela classificou os brinquedos em três categorias, de acordo com seus</p><p>tamanhos, sendo elas: brinquedos pequenos, médios e grandes. Para a organização, a mãe utilizou</p><p>caixas de acŕılico amarelas, verdes e azuis, as quais comportam as seguintes quantidades de brinquedos:</p><p>� Caixas Amarelas: 2 grandes, 8 médios e 10 pequenos.</p><p>� Caixas Verdes: 2 grandes, 20 médios e 16 pequenos.</p><p>� Caixas Azuis: 1 grande, 10 médios e 14 pequenos.</p><p>Considere que as crianças possuem 12 brinquedos grandes, 72 brinquedos de tamanho médio e 84</p><p>pequenos e que foi colocada, em cada caixa, exatamente a quantidade de brinquedos de cada categoria</p><p>que ela comporta. Crie um sistema linear com essas informações e calcule quantas caixas de cada cor</p><p>esta mãe utilizou para acomodar todos os brinquedos de seus filhos?</p><p>4</p>