Importância da Geometria no ENEM

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<p>1</p><p>A Geometria no ENEM.</p><p>2</p><p>3</p><p>Índice</p><p>Capítulo 1 – Por que devemos aprender Geometria? 5</p><p>Capítulo 2 – Alguns conceitos de Geometria Plana 6</p><p>2.1) Conceitos geométricos primitivos 6</p><p>2.2) Simetria 7</p><p>2.3) Isometria 9</p><p>2.4) Polígonos 10</p><p>2.5) Semelhança de figuras geométricas planas 12</p><p>2.6) Relações Métricas no Triângulo Retângulo 15</p><p>2.7) Medidas de comprimento de figuras planas 16</p><p>2.8) Área das figuras geométricas planas 17</p><p>2.9) Questões do ENEM envolvendo áreas de figuras planas 18</p><p>Capítulo 3 – Geometria Espacial 22</p><p>3.1) Sólidos Geométricos 22</p><p>3.2) Estudo de Sólidos Geométricos 24</p><p>3.2.1) Estudo do Prisma 24</p><p>3.2.2) Paralelepípedo Retângulo e cubo 24</p><p>3.2.3) Estudo da pirâmide 25</p><p>3.2.4) Estudo do cilindro 27</p><p>3.2.5) Estudo do cone 27</p><p>3.2.6) Tronco de cone circular reto 29</p><p>3.2.7) Estudo da esfera 29</p><p>3.2.8) Questões do ENEM envolvendo volume 30</p><p>Capítulo 4 – Geometria Analítica</p><p>4.1) Distância entre dois pontos 36</p><p>4.2) Calculando as coordenadas do ponto médio 36</p><p>4.3) Estudando a reta no plano cartesiano 36</p><p>4.4) Questões do ENEM 41</p><p>Referências Bibliográficas 43</p><p>5</p><p>Capítulo 1: Por que devemos aprender Geometria?</p><p>A palavra Geometria tem origem grega, formada pelos radicais GEO (terra) e</p><p>METRIA (medida). Há 5.000 anos, era a ciência de medir terrenos, seus perímetros e suas</p><p>áreas. Com o tempo tornou-se a parte da Matemática que estuda o espaço e as figuras que</p><p>podem ocupá-lo. Está apoiada sobre alguns axiomas, postulados, definições, teoremas e</p><p>corolários, sendo que essas afirmações e definições são usadas para demonstrar a validade</p><p>de cada teorema.</p><p>Neste minicurso, estudaremos algumas destas definições e propriedades que vão nos</p><p>auxiliar a compreender e resolver questões que já apareceram nas provas do ENEM.</p><p>A geometria está muito presente no nosso dia-a-dia. Olhe ao redor e veja quantas</p><p>figuras geométricas fazem parte da sala de aula, da sua casa, dos objetos do nosso</p><p>cotidiano, etc. Por isso, as idéias geométricas são muito utilizadas na arquitetura,</p><p>engenharia e em muitas outras áreas do conhecimento humano.</p><p>A geometria formal nasceu do desenho e foi criada pelos gregos, mas teve</p><p>contribuições importantíssimas dos babilônicos e egípcios. A simples tarefa de levantar</p><p>uma tenda no meio da floresta, talvez, obrigasse o ser humano a traçar algumas linhas no</p><p>chão. Isso vale também para dividir terras férteis à beira dos rios, construir casas e templos,</p><p>etc.</p><p>Com o desenvolvimento da matemática, os desenhos começaram a não caber mais na</p><p>tábua de argila, no papiro e, depois, nos papel. A precisão começou a ficar maior do que a</p><p>capacidade de afiar do lápis: uma ponta mais grossa do que o estritamente necessário podia</p><p>desvirtuar as coisas. No tempo das grandes navegações, usavam-se os compassos e as</p><p>réguas para traçar o curso das caravelas e - até muito pouco tempo atrás - cartas náuticas</p><p>ainda eram muito usadas.</p><p>Como pudemos observar, a Geometria surgiu para solucionar problemas práticos e</p><p>por isso ela é de extrema importância para todos nós. Além disso, trabalhando com</p><p>geometria desenvolvemos nosso raciocínio lógico, nossa capacidade de abstração e de</p><p>estabelecer relações. Por isso, ela vem sendo cobrada no Exame Nacional do Ensino Médio</p><p>desde sua primeira edição. E são esses os objetivos que buscaremos alcançar no decorrer</p><p>deste Minicurso.</p><p>6</p><p>Capítulo 2 – Alguns conceitos de Geometria Plana</p><p>Neste capítulo definiremos algumas idéias geométricas mais elementares que</p><p>usaremos no decorrer das aulas. Mesmo que alguns conceitos não apareçam explícitos nas</p><p>questões do ENEM, eles são utilizados intuitivamente para chegar à solução.</p><p>2.1) Conceitos geométricos primitivos</p><p>A Geometria baseia-se nos chamados conceitos geométricos primitivos, ou seja,</p><p>aqueles que não admitem definição, isto é, os conceitos que são aceitos por serem óbvios</p><p>ou convenientes para uma determinada teoria, mesmo que sem uma apresentação formal</p><p>através de palavras. Normalmente, em Matemática, os conceitos primitivos servem de base</p><p>para a construção de postulados (ou axiomas) que formarão, por sua vez, a estrutura lógica</p><p>e formal da teoria.</p><p>Os conceitos geométricos primitivos são os seguintes:</p><p>2.1.1) Ponto: é o conceito geométrico primitivo fundamental. Euclides o definiu</p><p>como "aquilo que não tem parte". Ou seja, para Euclides é o conceito de "parte", e não de</p><p>"ponto", que é primitivo. Imagine o ponto o menor que você puder. Diz-se que o ponto não</p><p>tem dimensão (é adimensional), ou seja, ele é tão ínfimo quanto quisermos, e não faz</p><p>sentido mencionar qualquer coisa sobre tamanho ou dimensão do ponto. A única</p><p>propriedade do ponto é a localização. Representa-se o ponto por uma letra maiúscula</p><p>qualquer do alfabeto latino.</p><p>2.1.2) Linha ou curva: Imagine um pedaço de barbante sobre uma mesa, formando</p><p>curvas ou nós sobre si mesmo: este é um exemplo de linha.</p><p>2.1.3) Reta: É uma linha infinita e que tem uma única direção. Uma reta é o</p><p>caminho mais curto entre dois pontos quaisquer.</p><p>2.1.4) Semi-reta: Enquanto a reta é infinita para os dois lados, a semi-reta é</p><p>infinita numa direção e finita na outra.</p><p>2.1.5) Segmento de reta: Enquanto a reta é infinita dos dois lados o segmento de</p><p>reta termina em ambos os lados.</p><p>2.1.6) Plano: Você pode imaginá-lo como uma folha de papel infinita. Um plano é</p><p>uma superfície plana que se estende infinitamente em todas as direções. Para definir um</p><p>plano precisamos de pelo menos três pontos ou um ponto e uma reta. Costuma-se</p><p>representar os planos pelas letras do alfabeto grego como alfa, beta *</p><p>2.1.7) Lugar geométrico: é um conjunto de pontos que satisfazem uma determinada</p><p>propriedade. Um exemplo simples de lugar geométrico é a circunferência, que é o lugar</p><p>geométrico de todos os pontos que guardam a mesma distância de um ponto chamado</p><p>centro.</p><p>2.1.8) Ângulo: Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas</p><p>semi-retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do</p><p>ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus.</p><p>7</p><p>2.2) Simetria</p><p>Um conceito bastante utilizado nas provas do ENEM é o de simetria, principalmente,</p><p>ele aparece associado à arte. Veja a seguir o exemplo de uma questão.</p><p>Escher, um grande artista holandês, nasceu em 1898 e faleceu em 1970, deixando</p><p>uma obra original e extraordinária. Os conceitos da Matemática, aliados à sua mente</p><p>artística, aparecem em seus desenhos de ilusões espaciais, de construções impossíveis, nos</p><p>quais a geometria se transforma em arte, ou a arte em geometria. Escher dedicou grande</p><p>parte de seu tempo ao estudo das pavimentações do plano e trabalhou com a divisão regular</p><p>do plano em figuras geométricas que se transfiguram, repetem-se, refletem-se e se</p><p>rotacionam. Fundamentalmente, trabalhou com isometrias, as transformações no plano que</p><p>preservam distâncias. No preenchimento de superfícies, Escher usava figuras concretas,</p><p>perceptíveis e existentes na natureza, como pássaros, peixes, pessoas, répteis, etc.</p><p>Observe o passo a passo de uma de suas gravuras em que utiliza peixes.</p><p>Na construção dessa gravura, o artista recorreu principalmente à:</p><p>a) translação.</p><p>b) simetria axial.</p><p>c) simetria em relação a um ponto.</p><p>d) rotação.</p><p>e) reflexão.</p><p>Para responder tal questão, precisamos definir o que é simetria e cada uma das</p><p>alternativas apresentadas.</p><p>Em termos geométricos, considera-se simetria como a semelhança exata da forma em</p><p>torno de uma determinada linha reta (eixo de simetria), ponto ou plano. Se, ao rodarmos a</p><p>figura, invertendo-a, ela for sobreponível ponto por ponto, ela é simétrica. Dada uma</p><p>imagem, a sua simétrica preservará o comprimento e o ângulo, mas nem sempre mantém a</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Comprimento</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo</p><p>8</p><p>direção e sentido das várias partes da</p><p>figura (embora isso possa acontecer em alguns casos).</p><p>Simetrias são encontradas, freqüentemente, na natureza: olhe para o seu corpo, olhe para as</p><p>imagens em um espelho, olhe as asas de uma borboleta, as pétalas de uma flor ou uma</p><p>concha do mar. Veja exemplos abaixo.</p><p>Note que a reta que divide as figuras em pedaços semelhantes, é chamada de eixo de</p><p>simetria. O eixo de simetria pode estar na vertical como nas figuras acima, na horizontal ou</p><p>inclinado.</p><p>Veja alguns tipos de simetria.</p><p>2.2.1) Simetria Axial</p><p>Simetrias axiais ou em relação a retas são aquelas onde pontos, objetos ou partes de</p><p>objetos são a imagem espelhada um do outro em relação à reta dada, chamada eixo de</p><p>simetria. O eixo de simetria é a mediatriz do segmento que une os pontos correspondentes.</p><p>2.2.2) Simetria em relação a um ponto</p><p>Dizemos que duas figuras são simétricas em relação a um ponto O, dito centro da</p><p>simetria, quando cada um dos pontos de uma das figuras é o simétrico em relação à O, a um</p><p>dos pontos da outra figura.</p><p>2.3) Isometria</p><p>A isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica,</p><p>mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são</p><p>geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direcção e o sentido. Os</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Direc%C3%A7%C3%A3o</p><p>http://pt.wikipedia.org/wiki/Sentido_%28matem%C3%A1tica%29</p><p>9</p><p>ângulos mantêm também a sua amplitude. Existem isometrias simples e isometrias</p><p>compostas. As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões.</p><p>2.2.3) Translação</p><p>Transladar um objeto significa movê-lo sem girá-lo ou refletir. Cada translação tem</p><p>um sentido e uma distância. Neste movimento, todos os pontos sofrem um deslocamento de</p><p>mesma medida, na mesma direção. Ou seja, translação é o deslocamento paralelo em linha</p><p>reta de um objeto ou figura.</p><p>2.2.4) Reflexão</p><p>Refletir um objeto é como reproduzir sua imagem no espelho. A distância de um</p><p>ponto ao espelho é igual à distância da imagem desse ponto ao espelho. Além disso, a</p><p>imagem refletida no espelho é inversa à original, ou seja, a reflexão altera a orientação dos</p><p>pontos do plano. O eixo de reflexão pode ou não interceptar a figura.</p><p>2.2.5) Rotação</p><p>A rotação possui um ponto, onde todos os pontos do plano movimentam-se rodando a</p><p>mesma medida em torno deste, que se chama ponto central. Por isso, é também conhecida</p><p>como simetria central.</p><p>Você nota alguma semelhança entre as definições citadas? Agora que você conhece</p><p>um pouco mais sobre simetria, tente responder a questão inicial.</p><p>10</p><p>2.4) Polígonos</p><p>Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo</p><p>caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. A figura é</p><p>nomeada de acordo com o número de lados. Por exemplo, se a figura tem três lados é um</p><p>triângulo, se tem quatro é um quadrilátero, se tem cinco é um pentágono e assim por diante.</p><p>2.4.1) Polígonos convexos.</p><p>São aqueles que não possuem nenhum ângulo interno maior que 180º. Por exemplo:</p><p>2.4.2) Polígonos côncavos ou não-convexos.</p><p>Caso um polígono tenha um ângulo maior que 180º graus, será classificado como</p><p>côncavo ou não-convexo. Por exemplo:</p><p>2.4.3) Polígonos Regulares e Irregulares.</p><p>Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais.</p><p>Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os</p><p>lados não possuem o mesmo tamanho.</p><p>11</p><p>(ENEM-2002) 15 - Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou</p><p>azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não</p><p>são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana,</p><p>sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:</p><p>A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas</p><p>de seus ângulos internos.</p><p>Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos</p><p>entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a</p><p>forma de um:</p><p>(A) triângulo. (B) quadrado. (C) pentágono. (D) hexágono. (E) eneágono.</p><p>2.5) Semelhança de figuras geométricas planas</p><p>Um conceito muito utilizado em Geometria é a idéia de figuras semelhantes, ele</p><p>vem sendo utilizado desde a Antiguidade. Uma ampliação, uma redução e até uma</p><p>congruência são exemplos claros de semelhança.</p><p>Para que duas ou mais figuras sejam semelhantes, duas condições são necessárias:</p><p>• Os ângulos correspondentes devem ser iguais.</p><p>• Os comprimentos correspondentes devem ser proporcionais.</p><p>Entre as figuras geométricas planas que são sempre semelhantes, temos todos os</p><p>círculos e todos os quadrados. E entre as que nem sempre são semelhantes temos os</p><p>retângulos, triângulos e demais polígonos.</p><p>2.5.1) Feixe de paralelas</p><p>Um conjunto de retas de um plano, paralelas entre si, denomina-se feixe de paralelas.</p><p>A reta que corta as retas do feixe é denominada transversal.</p><p>12</p><p>Retas paralelas são aquelas que mantêm sempre a mesma distância entre si. Assim,</p><p>duas retas paralelas estão no mesmo plano e não se interceptam.</p><p>Feixe de retas paralelas a//b//c//d//e</p><p>2.5.2) Teorema de Tales</p><p>O teorema de Tales diz o seguinte: “Um feixe de paralelas determina, em duas</p><p>transversais quaisquer, segmentos proporcionais.”.</p><p>Aplicando o Teorema de Tales, pode-se determinar o valor dos segmentos AB e BC</p><p>na ilustração. Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte</p><p>situação</p><p>AB</p><p>=</p><p>BC</p><p>A´B´</p><p>ou</p><p>B´C´</p><p>AC</p><p>=</p><p>BC</p><p>A´C ́</p><p>.</p><p>B´C´</p><p>2.5.3) Teorema da bissetriz interna</p><p>“A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto</p><p>segmentos proporcionais aos lados pertencentes aos do ângulo considerado”.</p><p>Uma bissetriz é uma semi-reta que divide um ângulo geométrico em outros dois</p><p>consecutivos e de mesma medida.</p><p>OC é a bissetriz do ângulo AÔB</p><p>13</p><p>Dado um triângulo ABC, fazendo uma bissetriz interna do ângulo A que determina</p><p>sobre o segmento BC um ponto S, tem-se que os segmentos BS e SC formados por este</p><p>ponto que são diretamente proporcionais aos lados AB e AC, respectivamente.</p><p>2.5.4) Triângulos Semelhantes</p><p>Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos e os lados do primeiro triângulo</p><p>estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de tal forma que</p><p>seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro sejam proporcionais aos lados do segundo.</p><p>1ª propriedade: Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são</p><p>proporcionais aos lados homólogos do outro.</p><p>Razão de semelhança k = a</p><p>=</p><p>b</p><p>=</p><p>c</p><p>d e f</p><p>2ª propriedade (teorema fundamental da semelhança): Toda reta paralela a um lado</p><p>de um triângulo, e que encontra os outros dois lados em pontos distintos, determina com</p><p>esses lados um triângulo semelhante ao primeiro.</p><p>Como r// AB , temos que   D̂ (ângulos correspondentes)</p><p>Bˆ  Eˆ (ângulos correspondentes)</p><p>Cˆ  Cˆ (ângulos correspondentes)</p><p>14</p><p>Agora que você conheceu um pouco sobre semelhança de figuras geométricas.</p><p>Tente resolver as seguintes questões do ENEM do ano de 1998 e de 2009.</p><p>(ENEM-1998) 10 - A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm.</p><p>No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais</p><p>tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:</p><p>(A) 30 cm</p><p>(B) 45 cm</p><p>(C) 50 cm</p><p>(D) 80 cm</p><p>(E) 90 cm</p><p>(ENEM–2009) 154 - A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma</p><p>altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2</p><p>metros e alcançou uma altura de 0,8 metros.</p><p>A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais</p><p>alto da rampa é:</p><p>A) 1,16 metros.</p><p>B) 3,0 metros.</p><p>C) 5,4 metros</p><p>D) 5,6 metros.</p><p>E) 7,04 metros.</p><p>2.6) Relações Métricas no Triângulo Retângulo</p><p>Considere o triângulo ABC abaixo:</p><p>Definiremos agora as seguintes medidas:</p><p>AB = cateto de medida c.</p><p>AC = cateto de medida b.</p><p>BC = hipotenusa de medida a.</p><p>h = altura relativa à hipotenusa.</p><p>m = projeção do cateto b sobre a hipotenusa.</p><p>n = projeção do cateto c sobre a hipotenusa.</p><p>Entre as medidas desses elementos podemos estabelecer relações de igualdade, que</p><p>são chamadas relações métricas no triângulo retângulo.</p><p>15</p><p>2.6.1) Teorema de Pitágoras</p><p>Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa ao quadrado é igual à soma das</p><p>medidas dos catetos ao quadrado:</p><p>a2 = b2 + c2</p><p>Como a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo ABC em dois triângulos</p><p>semelhantes a ele e entre si, podemos obter através da semelhança de triângulos as</p><p>seguintes relações:</p><p>I - Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura é igual ao produto da</p><p>medida dos segmentos que representam as projeções dos catetos sobre a hipotenusa:</p><p>h2 = m.n</p><p>II - Em um triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto</p><p>da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.</p><p>b.c = a.h</p><p>III - Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao</p><p>produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto.</p><p>b2 = a.m</p><p>c2 = a.n</p><p>2.7) Medidas de comprimento de figuras planas.</p><p>2.7.1) Perímetro de um Polígono.</p><p>Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.</p><p>2.7.2) Comprimento da Circunferência.</p><p>Seja a circunferência da figura:</p><p>1º) Suponhamos ser possível adaptar, sobre ela, um fio qualquer, fechado.</p><p>2º) Cortando esse fio e esticando-o, obtemos o segmento AB .</p><p>A medida do segmento AB denomina-se medida da circunferência ou o comprimento</p><p>de AB é o comprimento da circunferência.</p><p>Quando dividimos o comprimento C da circunferência pelo seu diâmetro (2r),</p><p>obtemos uma constante.</p><p>Esta constante é um número irracional de valor 3,1415692..., que é indicado pela letra</p><p>grega , e se escreve:</p><p>C</p><p>=   C = 2r = 2 .r</p><p>2r</p><p>16</p><p>Baseado nestas idéias, responda as questões a seguir:</p><p>(ENEM – 1998) 29- Quando se dá uma pedalada na bicicleta ao lado (isto é, quando</p><p>a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada</p><p>percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a</p><p>2 R, onde  3?</p><p>A) 1,2 m</p><p>(B) 2,4 m</p><p>(C) 7,2 m</p><p>(D) 14,4 m</p><p>(E) 48,0 m</p><p>(ENEM – 2002) 55 - As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à</p><p>linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o</p><p>raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em</p><p>média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em</p><p>aproximadamente:</p><p>a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas.</p><p>2.8) Área das figuras geométricas.</p><p>Quando medimos superfícies tais como um terreno, ou o piso de uma sala, ou ainda</p><p>uma parede, obtemos um número que é a sua área.</p><p>Logo, área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de uma</p><p>superfície.</p><p>Para medir uma superfície, escolhemos uma unidade cuja área é 1 e a comparamos</p><p>com a superfície a ser medida.</p><p>2.8.1) Área do retângulo.</p><p>A área de uma região retangular de comprimento b e largura h (ou base b e altura h) é</p><p>dada por (b x h) unidades de área, ou seja: A = b x h.</p><p>17</p><p>2.8.2) Área da região quadrada.</p><p>A área de um quadrado é similar a de um retângulo, já que o quadrado é um retângulo</p><p>com os quatro lados iguais. Assim a área do quadrado será definida como: A = L x L = L2.</p><p>2.8.3) Área da região triangular.</p><p>Um triângulo é como se fosse a metade de um retângulo. Assim a área será definida</p><p>como:</p><p>b  h</p><p>2</p><p>2.8.4) Área de um trapézio.</p><p>Como área do trapézio temos que</p><p>(b1 + b2 )  h</p><p>2</p><p>2.8.5) Área do círculo.</p><p>A área de um círculo de raio r é dada por:</p><p>A =   r 2</p><p>2.9) Questões do ENEM que envolvem área de figuras planas.</p><p>(ENEM – 2009) 141- O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas</p><p>residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como</p><p>área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = BC/2,</p><p>Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de</p><p>acordo com o desenho, no qual AE = AB/5 é o lado do quadrado.</p><p>Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado</p><p>pela condição se ele:</p><p>A) duplicasse a medida do lado do quadrado.</p><p>B) triplicasse a medida do lado do quadrado.</p><p>C) triplicasse a área do quadrado.</p><p>18</p><p>D) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.</p><p>E) ampliasse a área do quadrado em 4%.</p><p>(ENEM – 2009) 169 - A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação</p><p>constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para</p><p>controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de</p><p>um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da</p><p>água é de 1.050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor</p><p>transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou</p><p>seja, Q = Av.</p><p>Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II,</p><p>para evitar a ocorrência de enchentes.</p><p>Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para</p><p>depois da reforma na canaleta?</p><p>A) 90 m3/s</p><p>B) 750 m3/s</p><p>C) 1050 m3/s</p><p>D)1512 m3/s</p><p>E) 2009 m3/s</p><p>(ENEM – 2001) 27 - Um município de 628 km2 é atendido por duas emissoras de</p><p>rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a</p><p>figura:</p><p>19</p><p>Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que</p><p>um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance</p><p>de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente:</p><p>a) 20%. b) 25%. c) 30%. d) 35%. e) 40%.</p><p>(ENEM – 2002) 22 - Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado por</p><p>quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos irmãos fez</p><p>algumas propostas de divisão para que fossem analisadas pelos demais herdeiros. Dos</p><p>esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm símbolos iguais, o único em que os</p><p>quatro lotes não possuem, necessariamente, a mesma área é:</p><p>(ENEM – 2004) 12 - Um leitor encontra o seguinte anúncio entre os classificados de</p><p>um jornal:</p><p>VILA DAS FLORES</p><p>Vende-se terreno plano medindo 200 m2.</p><p>Frente voltada para o sol no período da manhã.</p><p>Fácil acesso. (443)0677-0032</p><p>Interessado no terreno, o leitor vai ao endereço indicado e, lá chegando, observa um</p><p>painel com a planta a seguir, onde estavam destacados os terrenos ainda não vendidos,</p><p>numerados de I a V:</p><p>20</p><p>Considerando as informações do jornal, é possível afirmar que o terreno anunciado é:</p><p>(A)I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V.</p><p>(ENEM – 2000) 45 - Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser dividido em</p><p>três depósitos e um hall de entrada de 20 m2, conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e</p><p>III serão construídos para o armazenamento de, respectivamente, 90, 60 e 120 fardos de</p><p>igual volume, e suas áreas devem ser proporcionais a essas capacidades.</p><p>A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a:</p><p>(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. (E) 5.</p><p>(ENEM – 2007) 7- Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8,</p><p>16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal</p><p>fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor</p><p>aproveitamento possível do papel disponível.</p><p>Considere, abaixo,</p><p>a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):</p><p>Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com</p><p>32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma</p><p>única folha de</p><p>(A) 84 cm x 62 cm</p><p>(B) 84 cm x 124 cm</p><p>(C) 42 cm x 31 cm</p><p>(D) 42 cm x 62 cm</p><p>(E) 21 cm x 31 cm</p><p>( ENEM - 2004 )15 - Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para</p><p>tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura.</p><p>Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.</p><p>21</p><p>As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas</p><p>dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem</p><p>reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que:</p><p>(A) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.</p><p>(B) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.</p><p>(C) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.</p><p>(D) as entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.</p><p>(E) as três entidades recebem iguais quantidades de material.</p><p>(ENEM – 2005) 42 - Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas</p><p>quadradas brancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai ser repetido em</p><p>toda a extensão do pátio.</p><p>As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor preta, R$</p><p>10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de</p><p>(A) R$ 8,20. (B) R$ 8,40. (C) R$ 8,60. (D) R$ 8,80. (E) R$ 9,00.</p><p>(ENEM – 2009) 164 - Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um</p><p>terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por</p><p>um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado</p><p>o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade</p><p>de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a</p><p>figura.</p><p>22</p><p>Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que</p><p>coube a João corresponde, aproximadamente, a:</p><p>(considere</p><p>A) 50%.</p><p>B) 43%.</p><p>C) 37%.</p><p>D) 33%.</p><p>E) 19%.</p><p>3</p><p>= 0,58)</p><p>3</p><p>Capítulo 3 – Geometria Espacial</p><p>A Geometria espacial funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana)</p><p>e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais. Ela estuda, por</p><p>exemplo, os sólidos geométricos e cálculo de seus volumes.</p><p>3.1) Sólidos Geométricos</p><p>Denominam-se sólidos geométricos os objetos sólidos do espaço tridimensional, ou</p><p>seja, que não podem estar contidos exclusivamente em um plano. Entre eles, destacamos,</p><p>pelo seu interesse, os poliedros e os corpos redondos.</p><p>3.1.1) Poliedros</p><p>Denomina-se poliedro o sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois,</p><p>um lado comum. Podemos citar como exemplos:</p><p>23</p><p>Os polígonos são denominados faces do poliedro.</p><p>Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e</p><p>vértices do poliedro.</p><p>Um poliedro se diz convexo se, em relação a qualquer de suas faces, ele está todo</p><p>situado num mesmo semi-espaço determinado por esta face.</p><p>Convexo Não convexo</p><p>Os poliedros convexos possuem nomes especiais, de acordo com o número de faces:</p><p>• Tetraedro = Quatro faces</p><p>• Pentaedro = Cinco faces</p><p>• Hexaedro = Seis faces</p><p>• Heptaedro = Sete faces</p><p>• Octaedro = Oito faces</p><p>• Decaedro = Dez faces</p><p>• Dodecaedro = Doze faces</p><p>• Icosaedro = Vinte faces</p><p>3.1.2) Poliedros regulares</p><p>Na Geometria Plana, dizemos que um polígono é regular quando todos os seus lados</p><p>são congruentes, assim como todos os seus ângulos.</p><p>Daí, então, um poliedro convexo se diz regular se suas faces são regiões poligonais</p><p>regulares, todas com o mesmo número de lados, e se em todo vértice do poliedro converge</p><p>o mesmo número de arestas.</p><p>24</p><p>3.1.3) Relações de Euler</p><p>Consideremos um poliedro convexo no qual designamos:</p><p>V = número de vértices; A = número de arestas; F = número de faces.</p><p>Temos que: “Em todo poliedro convexo, o número de arestas mais 2 é igual ao</p><p>número de vértices mais o número de faces.”</p><p>A + 2 = V + F</p><p>3.2) Estudo de Sólidos Geométricos</p><p>3.2.1) Estudo do Prisma</p><p>Os prismas são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e congruentes</p><p>(chamadas bases) e as demais faces em forma de paralelogramos (chamadas faces laterais).</p><p>Assim temos:</p><p>Num prisma destacamos:</p><p>• As arestas das bases</p><p>• As arestas laterais</p><p>• Altura do prisma: que é a distância entre os planos que contêm as bases.</p><p>Quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases, o prisma se</p><p>diz reto; neste caso, as faces laterais são retângulos congruentes.</p><p>Note que, num prisma reto, as arestas laterais têm a mesma medida da altura do</p><p>prisma.</p><p>Um prisma será regular quando for reto e sua base for um polígono regular. No</p><p>caso de as arestas laterais serem inclinadas em relação aos planos das bases, o prisma se</p><p>diz oblíquo.</p><p>I) Área da superfície de um prisma</p><p>Vamos considerar:</p><p>• Área da base (Sb)</p><p>25</p><p>• Área lateral (SL)</p><p>• Área total (St)</p><p>Assim, para encontrar a área da superfície de um prisma é preciso achar a área de</p><p>cada uma de suas faces e somar para encontrar a área total St.</p><p>II) Volume de um prisma</p><p>Sendo B a área da base e h a medida da altura de um prisma, o volume V desse</p><p>prisma é dado por:</p><p>V = B.h</p><p>3.2.2) Paralelepípedo Retângulo e Cubo.</p><p>Entre os principais prismas, destacam-se o paralelepípedo retângulo e o cubo.</p><p>I) Paralelepípedo Retângulo</p><p>Este sólido tem as seis faces retangulares e são inúmeros os objetos que têm sua</p><p>forma.</p><p>Tente localizar alguns ao seu redor. Ele também pode ser chamado de ortoedro ou</p><p>bloco retangular.</p><p>As dimensões de um paralelepípedo retângulo são chamadas comprimento, largura</p><p>e altura. Assim, tente deduzir as fórmulas para calcular:</p><p>• Diagonal:</p><p>• Área total:</p><p>• Volume:</p><p>II) Cubo</p><p>O cubo tem as seis faces quadradas. Que objetos tem essa forma?</p><p>Assim como você fez para o paralelepípedo retângulo, tente encontrar as</p><p>fórmulas para calcular:</p><p>• Diagonal:</p><p>26</p><p>• Área total:</p><p>• Volume:</p><p>3.2.3) Estudo da pirâmide</p><p>As pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais são</p><p>regiões triangulares, conforme podemos verificar na figura abaixo.</p><p>base.</p><p>I) Pirâmide reta e pirâmide regular</p><p>Uma pirâmide se diz reta quando a projeção ortogonal do vértice cai no centro da</p><p>Uma pirâmide se diz regular quando for reta e sua base for um polígono regular.</p><p>Numa pirâmide regular as arestas laterais são congruentes e as faces laterais são triângulos</p><p>isósceles congruentes.</p><p>A altura de uma face lateral é chamada apótema da pirâmide e sua medida será</p><p>indicada por g.</p><p>II) O tetraedro</p><p>O sólido que possui no total, quatro faces é chamado tetraedro. O tetraedro nada</p><p>mais é do que uma pirâmide de base triangular.</p><p>Quando todas as faces do tetraedro são triângulos equiláteros, ele se diz regular.</p><p>III) Volume de uma pirâmide</p><p>O volume de qualquer pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela</p><p>medida da altura, ou seja: V =</p><p>1</p><p>3</p><p>Sb h</p><p>IV) Tronco de pirâmide regular (bases paralelas)</p><p>27</p><p>Consideremos agora, o sólido constituído pela base da pirâmide, uma secção</p><p>transversal e os pontos compreendidos entre a base e a secção transversal. Esse sólido é</p><p>denominado tronco de pirâmide de bases paralelas, em que destacamos:</p><p>• As bases do tronco são: a base da pirâmide e a secção;</p><p>• As faces laterais são trapézios;</p><p>• A distância entre as bases do tronco chama-se altura do tronco, que</p><p>chamaremos de k.</p><p>• Seu volume é dado por V =</p><p>e b a base menor.</p><p>3.2.4) Estudo do cilindro</p><p>k</p><p>(B +</p><p>3</p><p>B.b + b ) . Sendo B a base maior</p><p>Denomina-se cilindro reto, ou de revolução, o sólido</p><p>obtido quando giramos, em</p><p>torno de uma reta, uma região retangular. A distância entre as bases chama-se altura do</p><p>cilindro. Todo segmento paralelo ao eixo que tem suas extremidades nas circunferências</p><p>das bases chama-se geratriz do cilindro.</p><p>I) Área da base (Sb)</p><p>É a área do círculo de raio r. Logo, Sb = r2</p><p>II) Área lateral (SL)</p><p>Se abrirmos um cilindro podemos planificar a face lateral ficando com um</p><p>retângulo de lados 2πr (comprimento da circunferência da base) e h.</p><p>Assim, a área lateral será: SL = 2 h.</p><p>III) Área Total</p><p>A área total será a soma das áreas lateral e das duas bases.</p><p>Portanto: St = 2 rh + 2 r2 = 2 r (h+r)</p><p>28</p><p>IV) Volume</p><p>O volume de um cilindro é definido como a área da base multiplicado pela altura.</p><p>Então, num cilindro circular reto de raio r e altura h, temos:</p><p>V = Sb.h</p><p>V = r2h</p><p>3.2.5) Estudo do cone</p><p>Denomina-se cone reto, ou de revolução, o sólido obtido quando giramos em torno de</p><p>uma reta uma região triangular cujo contorno é um triângulo retângulo.</p><p>• O círculo C é a base do cone e seu raio r é chamado raio do cone.</p><p>• A distância entre o vértice e o plano da base é a altura do cone, e sua medida</p><p>é expressa por h.</p><p>• A reta que passa pelo vértice V e o centro O da base chama-se eixo do cone.</p><p>• Se P é um ponto da circunferência da base, então o segmento VP é chamado</p><p>geratriz (g).</p><p>I) Área da base (Sb)</p><p>Idem ao cilindro.</p><p>II) Área lateral (SL)</p><p>Abrindo-se um cone, ficamos com uma área como a da figura abaixo. Assim, a</p><p>área lateral de um cone é dada pela área desta superfície.</p><p>SL = rg.</p><p>III) Área total (St)</p><p>Será dada pela soma das áreas lateral e da base.</p><p>St = SL + Sb</p><p>St = rg + r2</p><p>St = r (g + r)</p><p>29</p><p>IV) Volume de um cone reto.</p><p>O volume de um cone circular reto é dado por:</p><p>V =</p><p>1</p><p>S h =</p><p>1</p><p> .r2h</p><p>(corrigir esta – tinha faltado h)</p><p>3 b 3</p><p>3.2.5) Tronco de cone circular reto de bases paralelas.</p><p>Consideremos um cone circular reto de vértice V e altura h; a uma distância d do</p><p>vértice, traçando um plano paralelo às bases, obtemos uma secção transversal do cone.</p><p>Consideremos, agora, o sólido constituído pela reunião dos seguintes conjuntos:</p><p>a. Base do cone;</p><p>b. Secção transversal;</p><p>c. Pontos do cone compreendidos entre a base e a secção transversal.</p><p>Esse sólido é denominado tronco de cone de bases paralelas, em que destacamos:</p><p>• As bases do tronco são as bases do cone e a secção;</p><p>• A distância entre as bases do cone chama-se altura do tronco e sua medida é</p><p>expressa por k.</p><p>I) Área lateral (SL)</p><p>SL = .g.(r1 + r2)</p><p>II) Volume (V):</p><p>V =</p><p>k</p><p>(r 2 + r .r + r 2 )</p><p>3</p><p>1 1 2 2</p><p>3.2.5) Estudo da esfera.</p><p>Sejam dados um ponto O e um número real r positivo. O conjunto de todos os pontos</p><p>P do espaço cujas distâncias ao ponto O são iguais a r é denominado superfície esférica de</p><p>30</p><p>centro O e raio r. O sólido limitado por uma superfície esférica chama-se esfera. Desse</p><p>modo, a esfera de centro O e raio r é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao</p><p>ponto O são menores ou iguais a r.</p><p>I) Área da superfície esférica.</p><p>A área de uma superfície esférica de raio r é dada por: S = 4 r2.</p><p>II) Volume da esfera</p><p>O volume de uma esfera de raio r é dado por: V =</p><p>4</p><p> .r 2</p><p>3</p><p>3.3) Questões do ENEM.</p><p>(ENEM – 1998) 01 - Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas</p><p>iguais, tendo assim empregado:</p><p>(A) 100 bolinhas.</p><p>(B) 300 bolinhas.</p><p>(C) 1000 bolinhas.</p><p>(D) 2000 bolinhas.</p><p>(E) 10000 bolinhas</p><p>(ENEM – 1998) 02 - Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira de</p><p>arrumar as bolas na caixa achando que seria uma boa ideia organizá-las em camadas</p><p>alternadas, onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior,</p><p>como mostra a figura. Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto, ela</p><p>conseguiu colocar na caixa:</p><p>(A) 729 bolinhas.</p><p>(B) 984 bolinhas.</p><p>(C) 1000 bolinhas.</p><p>31</p><p>(D) 1086 bolinhas.</p><p>(E) 1200 bolinhas.</p><p>(ENEM-1999) Uma garrafa cilíndrica está fechada, contendo um líquido que ocupa</p><p>quase completamente seu corpo, conforme mostra a figura. Suponha que, para fazer</p><p>medições, você disponha apenas de uma régua milimetrada.</p><p>20 Para calcular o volume do líquido contido na garrafa, o número mínimo de</p><p>medições a serem realizadas é:</p><p>(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5</p><p>21 Para calcular a capacidade total da garrafa, lembrando que você pode virá-la, o</p><p>número mínimo de medições a serem realizadas é:</p><p>(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5</p><p>(ENEM – 1999) 30 - Assim como na relação entre o perfil de um corte de um torno e</p><p>a peça torneada, sólidos de revolução resultam da rotação de figuras planas em torno de um</p><p>eixo. Girando-se as figuras abaixo em torno da haste indicada obtêm-se os sólidos de</p><p>revolução que estão na coluna da direita.</p><p>A correspondência correta entre as figuras planas e os sólidos de revolução obtidos é:</p><p>(A) 1A, 2B, 3C, 4D, 5E.</p><p>(B) 1B, 2C, 3D, 4E, 5A.</p><p>(C) 1B, 2D, 3E, 4A, 5C.</p><p>(D) 1D, 2E, 3A, 4B, 5C.</p><p>(E) 1D, 2E, 3B, 4C, 5A.</p><p>32</p><p>(ENEM – 2000) 43 - Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um</p><p>reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara</p><p>graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações consecutivas</p><p>representa sempre o mesmo volume.</p><p>A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é:</p><p>(ENEM – 2001) 24 - Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto de uma caixa</p><p>que deverá conter cinco pequenos sólidos, colocados na caixa por uma abertura em sua</p><p>tampa. A figura representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em centímetros.</p><p>33</p><p>Os sólidos são fabricados nas formas de:</p><p>I. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm.</p><p>II. um cubo de aresta 2 cm.</p><p>III. uma esfera de raio 1,5 cm.</p><p>IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3 cm e 4 cm.</p><p>V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.</p><p>O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela abertura dessa caixa, só</p><p>poderia colocar os sólidos dos tipos:</p><p>(A) I, II e III.</p><p>(B) I, II e V.</p><p>(C) I, II, IV e V.</p><p>(D) II, III, IV e</p><p>(E) III, IV e V</p><p>(ENEM – 2003) 6 - Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em</p><p>100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em</p><p>caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x 60 cm. A quantidade mínima</p><p>necessária de caixas para esse envio é:</p><p>(A) 9</p><p>(B) 11</p><p>(C) 13</p><p>(D) 15</p><p>(E) 17</p><p>(ENEM – 2005) 61- Os três recipientes da figura têm formas diferentes, mas a</p><p>mesma altura e o mesmo diâmetro da boca. Neles é colocado líquido até a metade de sua</p><p>altura, conforme indicado nas figuras.</p><p>34</p><p>Representando por V1, V2 e V3 o volume de líquido em cada um dos recipientes,</p><p>tem-se:</p><p>(A) V1 = V2 = V3 (B) V1 < V3 < V2 (C) V1 = V3 < V2 (D) V3 < V1 < V2</p><p>(E) V1 < V2 = V3</p><p>(ENEM – 2009) 153 - Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo,</p><p>mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos,</p><p>com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua</p><p>própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos</p><p>prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao</p><p>poliedro II.</p><p>Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P</p><p>pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário</p><p>com a escultura contém:</p><p>A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.</p><p>B) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos.</p><p>C) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.</p><p>D) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos.</p><p>E) dois quadriláteros</p><p>congruentes com lados correspondentes perpendiculares.</p><p>(ENEM – 2009) 173 - Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide</p><p>quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são</p><p>formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1</p><p>pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de</p><p>35</p><p>cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando</p><p>pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.</p><p>Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte</p><p>superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele</p><p>passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?</p><p>A) 156 cm3</p><p>B) 189 cm3</p><p>C) 192 cm3</p><p>D) 216 cm3</p><p>E) 540 cm3</p><p>(ENEM – 2009) 177 - Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma</p><p>pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que</p><p>poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.</p><p>Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?</p><p>A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano</p><p>com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono</p><p>de 4 lados.</p><p>B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano</p><p>intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos</p><p>polígonos tem 4 lados.</p><p>C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um</p><p>plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono</p><p>obtido nessa interseção tem 5 lados.</p><p>D) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide</p><p>com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o</p><p>polígono tem 5 lados.</p><p>E) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide</p><p>por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4</p><p>arestas laterais, o polígono tem 4 lados.</p><p>(ENEM – 2009) 179 - A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da</p><p>chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da</p><p>chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação</p><p>(chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a</p><p>área de telhado necessária ou disponível para captação.</p><p>Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional</p><p>relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente</p><p>36</p><p>confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam</p><p>adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m3, de uma</p><p>cisterna é calculado por Vc = Vd × Ndia, em que Vd = volume de demanda da água diária</p><p>(m³), Ndia = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%.</p><p>Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos</p><p>telhados das edificações.</p><p>Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m2 produz 1</p><p>litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de</p><p>armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em</p><p>litros)/precipitação.</p><p>Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água, com período de</p><p>armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter</p><p>as dimensões mínimas de:</p><p>A) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m2</p><p>B) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m2</p><p>C) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3.000 m2</p><p>D) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2.730 m2</p><p>E) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3.300 m2</p><p>37</p><p>Capítulo 4 – Geometria Analítica</p><p>É interessante notar que, quando uma geração aprendeu algo sobre Matemática, a</p><p>geração seguinte aprenderá muito mais. Assim, quase tudo o que você aprendeu sobre a</p><p>Geometria Plana até agora já era do conhecimento dos gregos antigos há mais de dois mil</p><p>anos.</p><p>Após os gregos, o grande avanço no estudo da Geometria se deu no século XVII</p><p>quando um francês, René Descartes (1596 – 1650), com seu livro La Géometrie,</p><p>estabeleceu um novo método chamado Geometria com coordenadas ou Geometria</p><p>Analítica. Nesse método, Descartes procurou relacionar as figuras geométricas (como</p><p>ponto, reta, circunferência, etc) com elementos algébricos (como pares ordenados,</p><p>equações, etc)</p><p>Neste capítulo, daremos uma breve introdução à Geometria Analítica, para que você</p><p>tenha uma idéia do que ela é e como pode aparecer no Exame Nacional do Ensino Médio.</p><p>4.1) Distância entre dois pontos</p><p>4.1.1) Na reta real</p><p>Já sabemos que todo número real fica associado a um ponto na reta real e vice-versa.</p><p>A distância entre dois pontos sobre esta reta é dada pelo valor absoluto da subtração deles.</p><p>Assim: d (A,B) = | b – a |</p><p>4.1.2) No plano cartesiano</p><p>Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos</p><p>localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a</p><p>distância d (A,B).</p><p>Sejam x1 e y1 as coordenadas do ponto A, ou seja, A (x1, y1).</p><p>Sejam x2 e y2 as coordenadas do ponto B, ou seja, B (x2, y2).</p><p>Temos que d (A,B) = raiz de (x2 – x1) 2 + (y2 – y1)2</p><p>4.2) Calculando as coordenadas do ponto médio de um segmento.</p><p>Em muitos problemas precisaremos determinar as coordenadas do ponto médio de um</p><p>segmento AB em função das coordenadas das extremidades A e B do segmento.</p><p>A coordenada do ponto médio no eixo das abscissas será dada por:</p><p>a =</p><p>x1 + x2</p><p>2</p><p>E no eixo das ordenadas será: b =</p><p>y1 + y2</p><p>2</p><p>4.3) Estudando a reta no plano cartesiano</p><p>4.3.1) Plano cartesiano</p><p>Consiste de um sistema de eixos associados a um plano, que faz corresponder a cada</p><p>ponto do plano um par ordenado e vice-versa.</p><p>38</p><p>Quando os eixos desse sistema são perpendiculares na origem, essa</p><p>correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). Assim,</p><p>há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferência) e da</p><p>Álgebra (relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas</p><p>e expressar algebricamente representações gráficas.</p><p>Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:</p><p>4.3.2) Equações de uma reta</p><p>I) Equação geral</p><p>Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento</p><p>de três pontos.</p><p>Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e</p><p>P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:</p><p>Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA = c, como a e b não são simultaneamente</p><p>nulos A  B , temos:</p><p>ax + by + c = 0</p><p>39</p><p>Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o</p><p>ponto P(m, n):</p><p>• se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;</p><p>• se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.</p><p>4.3.3) Coeficiente angular</p><p>Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:</p><p>m = tg com   90º</p><p>O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo</p><p>Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre .</p><p>Assim:</p><p>• para ( a tangente é positiva no 1º quadrante)</p><p>• para ( a tangente é negativa no 2º quadrante)</p><p>I) Determinação do coeficiente angular</p><p>Vamos considerar três casos:</p><p>a) o ângulo é conhecido</p><p>40</p><p>X B</p><p>b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB,</p><p>yB)</p><p>tg =</p><p>CB</p><p>=</p><p>YB − YA</p><p>1 AC X − X</p><p>B A</p><p>Como  =  ( ângulos correspondentes) temos que tg</p><p>=</p><p>YB − YA</p><p>1</p><p>Mas, m = tg  Então: m =</p><p>YB − YA</p><p>X B − X A</p><p>1 − X</p><p>c) A equação geral da reta é conhecida</p><p>Se uma reta passa por dois pontos distintos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos:</p><p>Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem:</p><p>(YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0</p><p>A</p><p>41</p><p>Da equação geral da reta, temos:</p><p>Substituindo esses valores em m =</p><p>YB − YA</p><p>, temos:</p><p>m =</p><p>− a</p><p>b</p><p>X B − X A</p><p>4.3.4) Coordenadas do ponto de intersecção de retas</p><p>A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é</p><p>a solução do sistema formado pelas equações das duas retas.</p><p>Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e</p><p>s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:</p><p>Substituindo esse valor em x -y = -1, temos:</p><p>1 - y = -1</p><p>y = 2</p><p>Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.</p><p>Graficamente, temos:</p><p>42</p><p>4.4) Questões do ENEM</p><p>(ENEM – 1999) José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias</p><p>para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um</p><p>encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo independente, entre meio-</p><p>dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo</p><p>outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no</p><p>máximo, meia hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho.</p><p>Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada de Antônio,</p><p>e representando os pares (x;y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR ao lado</p><p>indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x;y):</p><p>24 - Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento “José e</p><p>Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário” corresponde:</p><p>(A) à diagonal OQ.</p><p>(B) à diagonal PR.</p><p>(C) ao lado PQ.</p><p>(D) ao lado QR.</p><p>(E) ao lado OR.</p><p>25 - Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é necessário que:</p><p>y – x </p><p>1</p><p>2</p><p>ou que x – y </p><p>1</p><p>2</p><p>. De acordo com o gráfico e nas condições combinadas, as</p><p>chances de José e Antônio viajarem juntos é de:</p><p>(A) 0%</p><p>(B) 25%</p><p>(C) 50%</p><p>(D) 75%</p><p>(E) 100%</p><p>43</p><p>(ENEM- 2009) 174 - Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano</p><p>cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e</p><p>suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a</p><p>circunferência.</p><p>Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por</p><p>44</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>IEZZI, M. A. S. Matemática, temas e metas: geometria analítica e polinômios. São</p><p>Paulo: Atual, 1986.</p><p>IEZZI, Gelson, Fundamentos de Matemática Elementar, Geometria analítica.</p><p>Vol. 7. 5ª ed. São Paulo: Editara Atual, 2005.</p><p>GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI Jr, José Ruy.</p><p>Matemática fundamental. São Paulo: FTD, 1994.</p><p>DANTE, L.R. Matemática contexto e aplicações. V.1, 2 e 3. Atica, 2001.</p><p>FACCHINI, W. Matematica. Volume único. Saraiva, 2000.</p>