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<p>i</p><p>!</p><p>" ."~.=-->-."""""m·"_·." ~--------- __ .I.J.</p><p>. '.. :;.\SOdOld SOPplaX3 - SOp!f\IOsatj SOPPJaX3 - epOal</p><p>-</p><p>~-"""--a."</p><p>-.;-r."W'i"' • ,.._~.p".</p><p>·)~j."'i\NHO:lNI30 SOJldOl</p><p>- . I</p><p>II I,.</p><p>I</p><p>"</p><p>.'\</p><p>ópicos de</p><p>Informática</p><p>Teoria</p><p>Exercícios Resolvidos</p><p>Exercícios Propostos</p><p>Tarefas</p><p>Mirtes Vitória Mariano</p><p>Christiane Mazur Lauricella</p><p>Alexandre Daliberto Frugal!</p><p>-"._-.- ..--_ ..-.--.._._._----_. y••</p><p>íNDICE</p><p>CAPíTULO 1: EXPRESSÕES NUMÉRICAS</p><p>1, Cálculos algébricos</p><p>2, Operadores aritméticos</p><p>3, Planilhas, células e fórmulas</p><p>4, Funções matemáticas</p><p>Tarefa 1: Expressões Numéricas</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>5</p><p>CAPíTULO 2: FÓRMULAS E APLICAÇÕES</p><p>1, Fórmulas e Aplicações</p><p>Tarefa 2: Fórmulas e Aplicações</p><p>9</p><p>9</p><p>15</p><p>CAPíTULO 3: MATRIZES</p><p>1. Definição</p><p>2. Soma de matrizes</p><p>3. Multiplicação de um escalar por uma matriz</p><p>4. Multiplicação de matrizes</p><p>Tarefa 3: Matrizes</p><p>23</p><p>23</p><p>23</p><p>26</p><p>29</p><p>33</p><p>CAPíTULO 4: FUNÇÕES</p><p>1. Definição</p><p>2. Representações de uma função</p><p>3. Assistente de gráfico</p><p>Tarefa 4: Funções</p><p>37</p><p>37</p><p>37</p><p>38</p><p>47</p><p>CAPíTULO 5: FUNÇÃO DO 1º GRAU</p><p>1. Equação e gráfico</p><p>2. Retas que "passam pela origem"</p><p>3. Retas paralelas</p><p>4. Exemplos</p><p>Tarefa 5: Função do 1º grau</p><p>53</p><p>53</p><p>53</p><p>56</p><p>57</p><p>67</p><p>I'"</p><p>CAPíTULO 6: FUNÇÃO DO 2º GRAU 75</p><p>1. Equação e gráfico 75</p><p>2. Raízes da função do 2º grau 76</p><p>3. Vértice da parábola 77</p><p>4. Cálculos das raízes e do vértice com "fórmulas eletrônicas" 78</p><p>5. Construção de gráficos de parábolas 81</p><p>6. Funções do tipo y=a,x2 84</p><p>Tarefa 6: Função do 2Q grau 87</p><p>e</p><p>CAPíTULO 7: FUNÇÕES SENO E COSSENO</p><p>1. Circunferência Trigonométrica</p><p>2. Gráfico da função y-cosx</p><p>3. Gráfico da função y=senx</p><p>4. Variações na amplitude</p><p>5, Variações no período</p><p>6. Tabela de exemplos</p><p>Tarefa 7: Seno e cosseno</p><p>93</p><p>93</p><p>97</p><p>103</p><p>109</p><p>110</p><p>113</p><p>115</p><p>CAPíTULO 8: FUNÇÃO EXPONENCIAL</p><p>1, Função exponencial de base a</p><p>2. Função exponencial de base e</p><p>Tarefa 8: Funções diversas</p><p>123</p><p>123</p><p>125</p><p>131</p><p>CAPíTULO 1: EXPRESSÕES NUMÉRICAS</p><p>1. Cálculos algébricos.</p><p>Diariamente "fazemos contas": calculamos o troco quar«:</p><p>passagem de ônibus, estimamos nossos gastos mensais, tentau</p><p>pouco a cada mês...</p><p>Podemos fazer "cálculos simples", como 7.10=70, ou resolver</p><p>numéricas, como 21.{[5.cos(n/6)+47].(5/11-2/3]+2/5}. 1\1",,'.</p><p>devemos respeitar as operações (somar, subtrair, elevar u,,', I[ i</p><p>determinado expoente etc) e os parênteses, colchetes e chaves</p><p>Dependendo das operações algébricas, precisamos de lI'r1d "iiJU</p><p>calcular ou até mesmo um computador para auxiliar nas "contas</p><p>também utilizar os recursos de uma planilha eletrônica para ,;-("</p><p>algébricos, resolver equações, operar com matrizes, reCO'Ho'</p><p>numéricas e apresentar gráficos.</p><p>2. Operadores aritméticos.</p><p>Os principais operadores algébricos são os citados no quadro ''>:) , .</p><p>Operador Algébrico Símbolo1</p><p>ADIÇAO + .</p><p>SUBTRAÇAO -</p><p>MULTIPLlCAÇAO * I</p><p>DIVISAO /</p><p>EXPONENC IAÇAO 1\</p><p>.J _</p><p>Os "níveis" de prioridade da execução das operações algébricas são:</p><p>• Prioridade 1 - Exponenciação.</p><p>• Prioridade 2 - Multiplicação e Divisão.</p><p>• Prioridade 3 - Adição e Subtração.</p><p>Os cálculos são realizados segundo os níveis de prioridade listados mas, com</p><p>o uso de parênteses, você pode estabelecer uma "nova" prioridade de cálculo.</p><p>3. Planilhas, células e fórmulas.</p><p>O "ambiente" no qual resolveremos as expressões numéricas (no Excel) é a</p><p>planilha eletrônica, composta por 16.777.216 células, dispostas em 65.536</p><p>linhas e 256 colunas. Cada célula é identificada pelo seu "endereço" (por uma</p><p>coluna e uma unha). Na figura 1.1 está identificada com "X" a célula de</p><p>endereço A 1.</p><p>..:..~"..:I' iL_· A_~.~~._:-'..'{::":"','" ~-~-1</p><p>Fig. 1.1: Identificação da célula de endereço A 1.</p><p>Para calcular o resultado de uma expressão numérica, você deve inserir uma</p><p>"fórmula" na célula. A digitação de uma fórmula deve iniciar com o sinal de</p><p>igual (=). Por exemplo, para exibir o resultado da expressão 53+2.1'3_8.(4/5-6/7)</p><p>na célula A1 você deve digitar a seguinte fórmula: A 1=5"3+2*7"-3-8*(4/5-6/7),</p><p>conforme ilustrado na figura 1.2.</p><p>=5'" 3+Z7A -3-8>\'(415-:6/7)</p><p>Fig. 1.2: Exemplo de fórmula inserida na célula A 1.</p><p>2</p><p>.~</p><p>Ao acionar a tecla "enter", o resultado exibido em A 1 será 125,46. Caso vocé</p><p>não introduza a "fórmula" com o sinal de igual, a informação na célula será</p><p>considerada "apenas texto". Ou seja, sem o sinal de igual na "frente" de</p><p>5"3+2*7"-3-8*(4/5-6/7), ao teclar "enter" não aparecerá o resultado 125,46. Na</p><p>tabela a seguir, encontram-se algumas expressões numéricas e as respectivas</p><p>fórmulas.</p><p>Expressão Numérica Fórmula</p><p>2[30. (1/6-10)-4°] =2* ((3"5)* (1/6-10)-4"3)</p><p>2.[3°.1/6-(10-4J</p><p>)] =2* ((3"5)*(1/6)-(10-4"3))</p><p>2 .[3o.\lIb.l0)_4°J =2*(3"(5*( 1/6-10) )-4"3)</p><p>13+52 =3"(1/2)+5"2</p><p>)3+52 =(3+5A2) A( 1/2)</p><p>13-V3 =3A(1/2)-3A(1/4)</p><p>2/Vt1 +2/5 =2/(4"(5/3))+2/5</p><p>)125-V2 =(125-2"(1/3))"(1/2)</p><p>n/,;; m/</p><p>Lembre que: '[a'" = a/li,</p><p>.c: 31 ?G li</p><p>~23=2/4 e.J3=~31=y2 r:</p><p>4. Funções matemáticas.</p><p>Algumas das funções que serão estudas estão sumarizadas na tabela abaixo.</p><p>Função Sintaxe</p><p>Cosseno COS(argumento)</p><p>"-Seno SEN(argumento)</p><p>..-</p><p>Exponencial de base e -Ó, EXP(argumento)</p><p>Logaritmo neperiano LN(argumento)</p><p>3</p><p>J</p><p>Comentário: o argumento pode ser um número ou uma referência a uma</p><p>célula (à qual esteja atribuído valor numérico). No caso das funções</p><p>trigonométricas, o argumento é um ângulo em radianos.</p><p>Para calcularmos o valor da expressão 5.{[7.cos(n/3)+27].[ 1/3-4/5]+ 12/7},</p><p>utilizando recursos do Excel, podemos inserir, na célula A31, a fórmula</p><p>=S*((7*COS(PI()/3)+2f17)*(1/3-4/S)+12/7), conforme ilustrado na figura 1.3.</p><p>~~OMA" , ..... ":":.-iX;'~;";- ';;S*((Y'COS(P10/3)+2A7)*(1/3-4/5}+12J7)</p><p>1··::\··,;:/····;·/····· v-.</p><p>~~EXP.esSãO.Numé#.iea:· \ -~·T-·_·f··</p><p>1....301</p><p>. I,--.----.--------t------------T-·.,I</p><p>:-31:1 =5' ((reo S(P I(ti 3)+2" 7)'( 1/3-4/5)+12m[~:~:~=~:~~\:==:~=---~:-:]:-:.~-:</p><p>32 I I</p><p>_. '. ...._, __ • ,_ ._ •••• 0'0 _ ou' _ 0.0 I .... 0.0 •••• _.1 o ••••• .1</p><p>Fig. 1.3: Exemplo de expressão numérica no Excel.</p><p>Acionando a tecla "enter", exibe-se o resultado da expressão, ou seja, -298,26.</p><p>Comentários:</p><p>e Lembrar de tntroduzlr as fórmulas em células com o sinal de igual;</p><p>Usar apenas parênteses (não usar chaves ou colchetes);</p><p>A função que "retorna o valor de '/tu no Excel é PIO·</p><p>• O "significado" da função cosseno será discutido no capítulo 7.</p><p>f\la tabela a seguir, estão expostas algumas expressões numéricas e as</p><p>fórmulas a serem digitadas em células do Excel para a sua execução.</p><p>~ Expressão Numérica Fórmula no Excel</p><p>I-~- =2*(SEN(3115-4f13))2.sen(3 -4 ) .-</p><p>5.e3 =S*EXP(3)</p><p>2. [3ó.(1/0-1°)_ln5] =2*(311(5*( 1/6-1 O))-LN(5))</p><p>-- •.•,~-~ ...•.~••.••~~...,."....<.,.....,.~,.- --</p><p>,~</p><p>~</p><p>;,J'~;i1l{~'\~~;í~~'(t~~~mr.~'1."%,~f~~~,·l~~~~·0{l1~~~.:i4'=L~K~~~V~~~h~~~!:~~)Ç'':'if'' :~J~~~~~~2:JitY~:'?:.~~::;;i.'~:~~~~<."·",</p><p>~~~i:il'~Jloa::8!:U!!E!~.o'.V~:!l;'tall.lM!:~~~,Z~"llCtilS.'iftiS:'t~IJr.!'>Yil:;:S:T. ..."""";'.:!~.'.:::::,':;.~',~,:.'.:;:~:.'.</p><p>Tarefa 1: Expressões Numéricas.</p><p>INome:</p><p>I Número: U ITurma:</p><p>7</p><p>1. Ana e Luiz deveriam resolver a expressão 4 + 2 + J3 com () éll.i.<'i!i</p><p>planilha eletrônica. Na figura 1 abaixo estão mostradas as expres:C:(J!</p><p>pela Ana e pelo Luiz.</p><p>':::(;Ú~.:'::'):tj},~,;;~~;:Ú~~d~é~~~á~~;~~j~·.",.i;<.;~:i~':'::):{::';i ;x~:,~,:.'!~\I,~~·,..\;;~::,.~;;;~.,.:;".:;.~~i:;t.·:s..._._...~._ ..</p><p>Expressão digitada pela Ana =4+ 7f2+(3YC1/2}:</p><p>Expressão digitada pelo Luiz =4+ 7fC2+(3}"(tí2))</p><p>..,</p><p>Figura 1. Expressões digitadas para resolver 4 + 2 +~7';'</p><p>Ana e Luiz obtiveram os mesmos resultados? Em caso negativo, que!;</p><p>obteve a resposta correta? Justificar a sua resposta.</p><p>'1</p><p>t</p><p>1\</p><p>.~~.~;</p><p>'r:;;</p><p>tj;</p><p>:'1'\</p><p>{,~,</p><p>·;1~</p><p>iJ t\</p><p>'1 .:«:il f(j;;7</p><p>'1 '</p><p>\1 ' li II (CL'</p><p>~</p><p>tI</p><p>ij</p><p>\</p><p>.~[</p><p>. ;</p><p>i{</p><p>h .'~,II.s</p><p>.{.):</p><p>,- 1</p><p>.:I U</p><p>:""J J".. J.' '. ~,'"~§ • f !~</p><p>o. "~J. - \!</p><p>;\</p><p>.~.</p><p>~;:</p><p>~~"".</p><p>f\: .~~}í "j""""</p><p>I</p><p>b"~i:;'!\!.~'l·.;o;..::::t!,rJ:-':~':í,-":'~".1.~J:rl.;·.i~~~:.~.-..:;,,:.:;:r:.:~.:~..:-,~}:;;,<,,~~~••1.'>!.\·f.'J.:.:i21~4:"'~1</p><p>ilmfr~fit~~~~1m~~~ji~~1~,~g~f~~~?~~t~~t1f~[~~~l~If~~</p><p>~l',C~;:::~;.:,~,.~l'X~'::'i;-: ;~::.:";..:;;~ ...;;; '~'," ...</p><p>!~i1.'.'';:'hP/",;or,,::'':I_W~t~~l;'''\'l.1á~wr.:llJj!;.7.::-..\!:!r.:n.'7.!:~</p><p>.•.;':''''"~.J".JL'lZ!\<t.!:.!i!:.N.!.~&>:!ll=!;'i!.:11'~lIt.'~'r~Z.-{."!.~r,:,~i!"~lõll~~~rqIiJ'"'7~,~'!;.i}~~rr;'.;~.o.~~n~·-;.:'/",,:;PJYt:::lr.f:;;'</p><p>i~ 2, Completar a tabela a seguir com as fórmulas a serem inseridas em células</p><p>,i de uma planilha eletrônica.</p><p>,I</p><p>i.,: u</p><p>[:!</p><p>tI</p><p>r:j</p><p>;J</p><p>H</p><p>I~</p><p>rl</p><p>(;</p><p>:,i</p><p>"</p><p>Expressão Numérica IIFórmula</p><p>~a) 6 -8-1/3</p><p>',11 b)~</p><p>c) 5,35_62</p><p>d) 5.(35-62</p><p>)</p><p>e) 5,(35.62)+12/32</p><p>f) 5.(35-f})+ 12/(§'.2)</p><p>g) -!5</p><p>h) J.fi2</p><p>i) ~h2-1</p><p>-</p><p>j) ifi2-1</p><p>k) 8+sen(3,1t)</p><p>~t~</p><p>r) .J7 _e2</p><p>r:</p><p>I) 8+sen(3.1t+ 1t/2)</p><p>/,i</p><p>".-</p><p>'f;</p><p>c:</p><p>'"L:</p><p>m) (1+518).[5 .2 .(2-215)] I -- _u</p><p>========111</p><p>n) (2+7/8)3,[S4_2a(2-1/4l]</p><p>~! o) 27/8-[53.(2~2/5)j:Cos(1tJ2) 111~1 ~===_~=====~!I</p><p>p) 3-S.~S" -12 I</p><p>q) )125 - .J0.</p><p>,/'}"</p><p>~l'~</p><p>-----~----------------------------_ ...--...•.•~</p><p>~~?:I):l5G"~Ib-~.4J~~~~!,q.L:.m~.m:;:,%1>.':"Ã'J'.z.:'ôi:3ii,.<;;':"',,""!w~~~~j,!;",ú!:;'<9;w:r.;j~~>%J:,§~;fiJ~!NI~~·:a"_~.'lo'i!l'I,j.':T,t::<'a.</p><p>) ~~':CO$(~~H~~" C I I</p><p>I i~</p><p>~ ~~</p><p>!</p><p>u) 3,eÜOS~3-í751 ~--_. - I ~</p><p>I ~</p><p>lr</p><p>I v) 4.[2ô,(17:1)-ln4] ======~=====911 ~</p><p>w) 4,[2-lnW-5)) r- I ~</p><p>~</p><p>I';I' ~1~</p><p>'1ft Im'.:·: r ~</p><p>t</p><p>~IIIô! ,'.: ~ ~</p><p>E'i >j</p><p>L ~ ~</p><p>L III</p><p>~j</p><p>;1</p><p>!i</p><p>. . rllU!;j ..</p><p>~:; 1, li</p><p>~: ' . ~',. rI</p><p>!-i</p><p>(1</p><p>\1</p><p>M '.</p><p>z) 1/5-(1/6) ,ln2+3</p><p>~</p><p>~</p><p>'j</p><p>~</p><p>'J</p><p>n</p><p>x) In7-cos(ln5)</p><p>y) 1/5-1/(6.ln2-4)+3</p><p>li</p><p>;~i</p><p>ij</p><p>;~</p><p>:~</p><p>3, Elabore uma tabela que sumarize os operadores e as funções estudadas, ~</p><p>'::.~</p><p>com seus respectivos "símbolos". J</p><p>j:,</p><p>Operador/Função Símbolo .~</p><p>-\</p><p>_~~~I! '..</p><p>-!</p><p>'j ,></p><p>\j</p><p>f1</p><p>H,':</p><p>:J</p><p>;~,I</p><p>~l</p><p>'~i</p><p>~:~</p><p>~)</p><p>fin</p><p>~j</p><p>~l</p><p>~</p><p>~l</p><p>~i</p><p>!l</p><p>l~':ur</p><p>i</p><p>11</p><p>;,1</p><p>n</p><p>~t~">;.L'"Z~',o..:::.t,,,:":_:~O:,~ ..;"·;_~;O::-':;.·:~':-:'·:~l."i·,,.i ••,;<,;..:::,;;,.n; •.~:.!.':::~.:.::."t:·""~•.:;;:;::~\-:.:~,:;::t.(.;;'..$.:~er.'Ht</p><p>: i-</p><p>I</p><p>1</p><p>1</p><p>;~I</p><p>-: ;.•..~.":::.. (:,",~~-:::r~;:,:.:'::J'i ...· 'i.:',-:.:.í_il;.:..:ti.; ,;~~":';;,.·..':l:;;-i~b.}'-:<~:~~,';':~'::;.':-'.:;.,'.. ,I~::·,Z,·_'.:H</p><p>~~Th~~~..::::::!::~:!:~~:~~~~~:~~~!!!!:~!=:~!~~:!!!~!:::~!!~~~:!::!!l~.riÍ</p><p>il I</p><p>:; I1</p><p>II l'</p><p>~ I</p><p>'1 i\</p><p>ri t</p><p>>I !</p><p>:i f!i~</p><p>l~!</p><p>l'~'</p><p>"l;</p><p>li</p><p>~rj</p><p>~1</p><p>~</p><p>\1</p><p>P.</p><p>"</p><p>I</p><p>:~.j</p><p>:i</p><p>~</p><p>L-</p><p>"l)'</p><p>~I</p><p>'\</p><p>:1</p><p>l'l</p><p>;.1</p><p>'1</p><p>:~</p><p>'i</p><p>::1</p><p>..</p><p>CAPíTULO 2: FÓRMULAS E APLICAÇÕES</p><p>1. Fórmulas e Aplicações.</p><p>APLICAÇÃO 1. Dado o valor do lado de um quadrado (em Gl!, i</p><p>sua área (em em").</p><p>A área de um quadrado é calculada pelo valor do lado</p><p>quadrado. Podemos utilizar o formato de planilha ilustrado na</p><p>; ;: ;:~. 0'0 ·>:··,'i;\~~:.~~};~~{!~:t\;-0:~:~~;!ii;A~;~~í~:~,:;l::;A*i~!~.!;!R:~.i;:;'fl~>/(;;:rçL::~·.>:I~'</p><p>19;; I __._+I;:::;AR:I?A;ºei,\i!M;{ª-\:.IA[jJ:~ÂDO;; ~. --1-</p><p>II~ÇJii;o-ladOdo. qua{]r;dõ-(e~'!:!..!=.!!1il L</p><p>'::23,~ L-.....lmi.;Área do~~;;:d;;~Te~-'~~n~2):~~:'---L-J:</p><p>Fig. 2.1: Área de um quadrado.</p><p>Procedimento:</p><p>• Atribuir valor à célula 822 (que representa o lado do qUrl.0i'óe:,·</p><p>exemplo, 20 em.</p><p>-Inserir a fórmula =B22"2 em B24 (vide figura 2.2).</p><p>• Acionar a tecla "enter" para visualizar o resultado da área ,:i'J</p><p>-w-P- .', ",'. A _. . 1 . B li</p><p>2glÁREAOEUMQUADRADO i.;</p><p>21 : I</p><p>22ºTg-il~-~~~_~!Lo-'~~~~~J~~;~~~il20l.</p><p>~. i'</p><p>,.24' Ár~;-d'~~ãd;;d~-(~;;;-~;;~;2)~ .--._.. =822"2_. __ .. _. . . . .•... w</p><p>Fig. 2.2: Fórmula para cálculo da área de um quadrado</p><p>Observe que a "entrada de dado" é o valor atribuído à céluu</p><p>caso, 20 em) e a "saída de dado" é o valor calculado pela tórrmu</p><p>em B24 (no caso, 400 crrr). Se alterarmos o número associao«</p><p>teremos a respectiva mudança no resultado exibido em 824.</p><p>9</p><p>;~...</p><p>APLICAÇÃO 2. Oados os valores do raio (em cm) e da altura (em cm) de</p><p>um cilindro, calcule a área lateral do mesmo (em em").</p><p>A área lateral de um cilindro é calculada pela "multiplicação" entre o valor</p><p>do raio, o valor da altura e o "fator" 2.1t (ou seja, é o produto do perímetro</p><p>da base pela altura do cilindro). Lembre que o "n do Excel" é dado pela</p><p>"função" PIO. Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.3 .</p><p>•'" , "C'A'Y ••••,.cr2i~;,i'B<' ..~2~ 1</p><p>:'29· A.REA·LATERALDEUMCILíNnRO[:==~~~_i~~</p><p>30: I I .</p><p>~</p><p>=--"---------,, "--f:~-:.31. Digite o raio do cilindro (em em):~ ._----_.'--------_ .._--". __ ._- ..</p><p>3Z 1~=~~:~~~~::~~~I~. ,</p><p>Fig. 2.3: Área lateral de um cilindro.</p><p>:-.</p><p>-:</p><p>.'.',</p><p>. ).~</p><p>Procedimento:</p><p>• Atribuir valor à célula 831 (que representa o raio do cilindro), por</p><p>exemplo, 15 em.</p><p>• Atribuir valor à célula 833 (que representa a altura do cilindro), por</p><p>exemplo, 12 em.</p><p>• Inserir a fórmula =2*PIO*B31*B33 em B35 (vide figura 2.4),</p><p>• Acionar a tecla "enter' para visualizar o resultado da área lateral do</p><p>cilindro (o resultado será 1130,97 cm2).;r "'A· r·R' \:</p><p>i~AREALATERAL DE UM CILlNDRO[~=--~-_=~_=.~=.=~-~]!</p><p>" 30' ! i</p><p>I.',~~',~~=~~~~~~f~~~~=~i~~~~:~~:~~~~21.C~~~.F=-15~:</p><p>3:r Digite a altura do cilindro (em em)~, =121"34 --------------'---""------1 -----,-</p><p>1$, A7~~-I~-;~~~iOCiii~dr~(;;;·~~-:;-2):""'·=2*P I()'B 31"8 33-</p><p>----_._-----'_._-"----._--"--,-----,,,,------ Y'</p><p>Fig. 2.4: Cálculo daárea lateral de um cilindro.</p><p>i~,</p><p>10</p><p>L</p><p>APLICAÇÃO 3. Oado o valor de um ângulo (em graus), calcular o seu</p><p>~:</p><p>cosseno.</p><p>Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.5.</p><p>~~"",~\lili~<~;i~~'{.~~:_~</p><p>{~;?':o;g~-~-úm_ângul~emQraus:-, l_H H_ -jJ</p><p>"'4~' =LI</p><p>iÇ1~·;:~~~~~~~Ji~j~=[ dJ</p><p>Fig. 2.5: Cosseno de um ângulo.</p><p>Procedimento:</p><p>" Atribuir valor à célula B40 (que representa o ângulo, em graus), por</p><p>exemplo, 60 (graus).</p><p>• Inserir a fórmula =COS(B40*PIO/180), sendo que o "fator" PI()/180</p><p>transforma o ângulo (inserido em graus) em radianos (vide figura 2.6).</p><p>• Acionar a tecla "enter" para visualizar o resultado do cosseno do</p><p>ângulo, que, no caso, resultará em 0,5.</p><p>37:', _' _". ,, .__ ""_,, ""~_</p><p>3é\ ..___ .. __ . _'"_.~" .••••• .... "..,,_.._"" ""+_</p><p>39 I I</p><p>'40 Q!~~e~~~~..0_g~I;-:~~~@~;~:-·"=C ~_-</p><p>4,1 " . ..._.. .. 1 I</p><p>42 Cosseno do ângulo digitaclo: =COS(840'PI()i180)</p><p>--.----------------'----"., '1'-</p><p>Fig. 2.6: Cálculo do cosseno de um ângulo.</p><p>APLICAÇÃO 4. Dados dois números reais, elabore uma "calculadora" que</p><p>realize as seguintes operações: soma, subtração, muitiplicação e divisão.</p><p>Podemos utilizar o formato de planilha da figura 2.7.</p><p>{~</p><p>11</p><p>I</p><p>;'</p><p>Comentário:</p><p>A função "SE" utilizada na fórmula em 859 estabelece uma' CONDi;</p><p>para que a divisão dos dois números seja efetuada: se o dcno: '''i'.; .</p><p>(valor atribuído a 851) for zero, "aparecerá" ° texto "Impossível ,·il.;':</p><p>zero", senão será feita a divisão., Observar o uso dos parên;r<;."</p><p>ponto e vírgula. De modo geral, a sintaxe para a função SE é:</p><p>=SE(Condição;Verdadeira;Falsa). -; " ':c. ( ;,,:'</p><p>Ou seja, dada uma condição, propor primeiramente as instruç'-;s~</p><p>caso da condição ser verdadeira (se for uma mensagem de t(:,l·</p><p>"Impossível dividir por zero", usar aspas), Em seguida, iJ''':'</p><p>instruções para o caso da condição ser falsa.</p><p>t'.;l~:r·;:"i;;;(;.,,;.;'.:-~.,;;;:.'\':-;A05~9~:8r\~~~~'H!€~":~lt</p><p>~I "CALCULADORA" L~---.------~~l...=</p><p>,48. j-I -j</p><p>49 piii~-0:-;;;-~~~~~ca.L_=_===J L'</p><p>.';~~,f?~!!~_~~~I~~-'~_~e.~~.J~I__=~-__=~~::1 I~,:,</p><p>~ iciiii'i.I~~-~-~-r_o..-sJi~EI_:--_-==~~J I=!</p><p>;;[i4. . . . J I</p><p>';'5!( Subtração dos números(a-b}: I I</p><p>~::~~~,~~~~~~·~~~~=-II</p><p>}~.;Qi:'i.f!~(~_!!()~~:~.J.~ÊL... 1 1-1</p><p>Fig. 2.7: "Calculadora".</p><p>Procedimento:</p><p>• Atribuir valores às células 849 (por exemplo, 8) e 851 (por exemplo, 2).</p><p>Inserir as fórmulas (ilustradas na figura 2.8):</p><p>-/ 853=849+851,</p><p>-/ 855=849-851,</p><p>-/ 857=849'851,</p><p>-/ 859=SE(851=O;"Impossível dividir por zero";849/851)</p><p>G Acionar a tecla "enter' em cada "entrada de fórmula" para visualizar os</p><p>resultados.</p><p>I---·-~A:----C:-;~-· B -li</p><p>.~4GI . l. ----..1:~~i~~~~~~!~-~[:B5'::-~::==::. ··-1</p><p>54 , i</p><p>}I~0~ti~.i~õj.~~:!i;i·~1~~~E~i~~J=849-851 i</p><p>56 ! i</p><p>~57!~i.~I:ife!i~:~ç:ii~1~i.0_ú!;i~~O~~~_biJ-B49·B51 r</p><p>58 i i</p><p>'RP.f;!~_~.~~:i~:;,Cr~l~ii~.(a.;bf:~~~~J-SE(B51=O:"lmoossivel dividirDor zero":B49/B51) I.</p><p>Fig. 2.8: Fórmulas para a "calculadora".</p><p>12 13</p><p>:~</p><p>'1'</p><p>:'</p><p>r="'~'"",".~:::':~;~:!:~~~!:::!.:!!.~~;:::~::~:!::!:!~~!:~;~~!~:~~::;~;:!!:~::!~!!:~!;;!~!~:~::::::;E::,··:';;'i81~~</p><p>Tarefa 2: Formulas e Apllcaçoes. . :;;.t, i</p><p>IN~me, j i~.</p><p>Numero: ITurma: :;' i~~;</p><p>~1!~</p><p>1. Dados três números, desejamos calcular a sua soma e a sua média :i t;';1</p><p>:.1 :.(;;~;</p><p>arit~ética. Para tanto, considere a situação proposta no trecho de planilha ::l ~j</p><p>ilustt ado a seguir. H i'i!;</p><p>r~~r~.<,,;!,t.;\'';:~~~(:;}''~ititõ..~Jl?''_;(ú;;r"r.;';;ia'~;;.n,f*~~~i\(\~~.\1!i}jj~~11~tf~~: i! ~ti</p><p>.[..+:::. Soma.e ~Ilédia Aritmética de Três Números N t@.l</p><p>·2:,··-----····--··--·,-- ..··--·-·---·-·-'r··"--"--,,·--~,= iJ dlU</p><p>'2': Digite o primeiro número: . f~...., __.1</p><p>,)t~;,Digite o segundo número: :1</p><p>5' Digite o terceiro número: j</p><p>"'6:~Soma: :~</p><p>>;: rvlédia aritmética: ':</p><p>':.!</p><p>!~</p><p>:!</p><p>.'</p><p>~(</p><p>~;';</p><p>-s</p><p>~.</p><p>J.</p><p>.:\</p><p>:~</p><p>:,"</p><p>~~:,1</p><p>}</p><p>:.l~</p><p>"o</p><p>",</p><p>J'.;{</p><p>,.,;-</p><p>.,;.</p><p>i."</p><p>;~.</p><p>{</p><p>:;i</p><p>;"</p><p>t~•.</p><p>',!(</p><p>J.:~</p><p>~~~</p><p>'~i</p><p>H</p><p>11</p><p>Sendo atribuídos valores à célula 83, 84 e 85, escreva as fórmulas a</p><p>serem inseridas nas células B6 e B7. Simule os resultados de soma e de</p><p>média aritmética para os números 1, 5 e 12.</p><p>'.;.,..~</p><p>;1</p><p>:,[</p><p>I</p><p>;:j</p><p>;:j</p><p>~!</p><p>.~</p><p>l4 "'~</p><p>.c: ";, ::~·...A'.·.::~:).;,l.::;: ..•.·:·.;~.,·!!.H;':,::.:;!;'!~::".;;.:.]"".J.!:-":::.:: ;";.:.-:-:;{;,~'..'.::.\::-:';."" .~.,.:'••;\~ ".'.' :: ,,-:..'.·.l.;I.'.•..~."'... ':-':';'.' ; ..•.,-:"'.::'. '.' '~.'1.. :.;.'r.~..Y".;~·.~ :::'</p><p>.I</p><p>~~1'J:I<~,'t'"",::.w:..~~.l'"!.':"7.:'t~~~;::tt:l.o'1:>1:o!:-~':"-';:l~•.:t;n-:lVlZ7~"':i::~~~art.U-"','t.:I!~-:.'it.'l~Jl:;J;\."Ull~ll'~,ZiTiID'Il!;tli$!~~;m"t>l{Jtj,,'UlJ;;'".afj~:t;r.r,;'{N'Ill'.'l.'I"mi::;'~UJJlS'</p><p>~ 2. Dados três números, desejamos calcular a soma dos seus quadrados, o</p><p>íl</p><p>l) quadrado da sua soma, a soma dos seus inversos e o inverso da sua</p><p>I'</p><p>I! soma. Para tanto, considere a situação proposta no trecho de planilha</p><p>iJ</p><p>II</p><p>[~</p><p>«</p><p>i:'l</p><p>"f1</p><p>i;jr~</p><p>ti</p><p>li</p><p>i·i</p><p>~</p><p>11</p><p>~</p><p>fl,I</p><p>til~</p><p>"-,g~</p><p>':1</p><p>ilustrado a seguir.</p><p>Digite três números:</p><p>y</p><p>I:'</p><p>;.</p><p>!~i</p><p>~</p><p>o</p><p>1:\</p><p>~</p><p>1.</p><p>1~</p><p>~~</p><p>":</p><p>'.0</p><p>::~'</p><p>i,</p><p>~</p><p>!</p><p>f1</p><p>I.~</p><p>~"</p><p>;~</p><p>~::' ";' ~~~~i~~i~~it~I~,.~i};~:::..:·;.~.j.:·~>,</p><p>:~~~fl!.·.r,~....r&:'.!I:?~~~ll:It,.:waI.hlt.:t.l3'.r..'\.~~:Ji:'::!J:J",,1'"":til!:O~:..~'\._~;;.:;..r..?-;)'.-I".~':;'.':."'"r:;'1,';;', .• :: .:"</p><p>3. Considere a situação proposta no trecho de planilha ilustrado a S',!,:'!</p><p>;:</p><p>;{i~~</p><p>Soma dos quadrados: .. • _</p><p>Quadrado da soma:</p><p>Soma dos Inversos: --------.------</p><p>Inverso da soma:</p><p>Sendo atribuídos valores à célula B5, C5 e 05, escreva as fórmulas a</p><p>serem inseridas nas células B6, B7, 88 e 89. Simule os resultados para os</p><p>números 1, 2 e 3.</p><p>r;}l f!</p><p>Seno do ângulo digitado:</p><p>___ -_-----r-i</p><p>-----i-I</p><p>~~I</p><p>j~i</p><p>?~~</p><p>'{..~</p><p>)~</p><p>II</p><p>~~;;~;_~i~</p><p>Sendo atribuído um valor à célula B65, escreva a fórmula a ser in~;c:-·";:</p><p>célula 867.</p><p>1_</p><p>l~</p><p>~</p><p>.::~~~::!';:::r.,:;_..;.,,.;-~,;',~:':':;:,.-:..::.':"..</p><p>;;;'fit~)~'d:~~':!~:~~!:~::::~!!::!~?!~:':::~!:!~":!~~!::~~~~~~!~:!:~:~!:~!!:~</p><p>';;:J, 4. Considere a situação proposta no trecho de planilha ilustrado a seguir,</p><p>'-"".;</p><p>. /~</p><p>',.~</p><p>:~</p><p>".,.,</p><p>,,:!</p><p>::J.;</p><p>i'.'</p><p>.:~</p><p>.~</p><p>.~~.l</p><p>~'~;</p><p>':.-,:</p><p>;;</p><p>7~,::+",~;;·~:::{,t;;;t·:i~A~,?;;!2:;':V>i~'~!f~t~:;;:;;;pl~(~Stf.f&!;~f}~;\*~Hf;'},.:'.'-',~</p><p>fi</p><p>. 71.1 ÁREADE~MRE:;rAN:GÚjj'(}.~r!~I--------·-----~"-</p><p>tI!</p><p>,,,,</p><p>I,</p><p>I,</p><p>I i',</p><p>I</p><p>I,,</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>:1</p><p>1</p><p>, fI,,, .</p><p>: [I'</p><p>I t;</p><p>", .,</p><p>11, ~</p><p>,'72--- I</p><p>73DigE_~~~~I~~~-d_Ú~tã~~~ulo(em ~-;-"J:---C:: I</p><p>174 C: I.----------..-----------.----------------. __:J-</p><p>.75. Digite outro lado do retângulo (em em):</p><p>]6 ------ ·------------1· I--</p><p>I -77'F~19:-!~~~~~~~~==~~~=J:::=:r,</p><p>Sendo atribuídos valores às células 873 e 875, escreva a fórmula a ser</p><p>inserida na célula 877,</p><p>i,-</p><p>1,,:-</p><p>~</p><p>.</p><p>I</p><p>!:~.</p><p>~;j~</p><p>il':'</p><p>a;::</p><p>;é.•~~}~~.::,-;i;·:(:;;;~~~;;,:;,;;;;,,~y?,;~;;~~;;;:y;,;;:;~;i;,;;;;;~;.,~</p><p>,'~.':..;::;;.;.r:r-'_"al~j',W;!tJ:;!:::JE:!.Jl7.:.'\;,1,-.a4<:': •.~..:71.\!i.. •• ~t": ••~1iu,,.a:ticr/i:I!!iif!:..~~..!4':! ••.,~~.<.!.>:"/:\:;'ll.',,;'i_,~,:;;;;;·!~"_...:t:J.~;lli:.:..,~:.!" ••;r!).",.:·._:;.~\!:tJ,..~'!!~:lI·!:·(.'_,~z:,,-:._:_'.'".;.'.i>'••~-,,:.'.;.,;.~~':;·,~:.:;;:-·_~:,:;.,.,·</p><p>5, Considere a situação proposta no trecho de planilha ilustrado a seguir.</p><p>~·~·f;,!i3';';"){;:::r,";~t?.ii(~f,!·~g,WA[;:;j\~'!if;!;\'$if!."; I</p><p>)</p><p>7.d~f:~W}Wri::\:.<. '~}Ei -,' \".'i ';""i; 1:., r-------·--------------..-l--·</p><p>------- "---------------l---</p><p>i,~~;á("pJ.gfteum nCirr:!..~-ro: --E' :--r</p><p>'''84' ~</p><p>,;iijfii~~i~;~d;.ifi~úmero digitado: . 1=</p><p>Sendo atribuído um valor à célula 883, escreva a fórmula a ser inserida na</p><p>célula 885, Lembre de utilizar a função "SE" para exibir mensagem do tipo</p><p>"Digite sempre um número maior ou igual a zero",</p><p>:.':':::'-'''';: :....-.~.</p><p>.:·i</p><p>..'</p><p>;!</p><p>:.1</p><p>t·!</p><p>,:.,</p><p>:~</p><p>",</p><p>,':</p><p>:1</p><p>':!</p><p>~:I</p><p>J</p><p>·ii</p><p>"f~</p><p>'I</p><p>.;.~</p><p>!-</p><p>;i</p><p>:~</p><p>~:"j</p><p>.~</p><p>,~</p><p>Wi:i~v~~~'~~·~~~~R~~$Zi1~~~~15i~~iw.J.~~t~m~j~~jfr~~1~~t~~ii~tIm~~iti~l~~~I~§l~R~!~l$~]~~~Wtfi~~~\;~~t~t~it1}Ji&~ji~~r~~</p><p>I""'~'~~llf,,",·,w·'6'.'"C'~~;id'~7;"<~"';i~~;~ã';';";;;~~';;'~'~'t~~~h~"d:'·"~'I;~ilh;ii~;;;;do"';"·;;~eA~i,~~··",·'mno""~~:~itl',~ ;:I</p><p>~j:;J ~s~íl~:!</p><p>t""~ ,I</p><p>li</p><p>.".,\1 ':,j,~!,I .</p><p>l~ll'</p><p>li II</p><p>:,11</p><p>,i</p><p>II</p><p>,,-}</p><p>!11</p><p>:.\</p><p>Volume da esfera (em cm/l3):</p><p>célula 85 .</p><p>Sendo atribuído um valor à célula B3, escreva a fórmula a ser inserida na</p><p>~</p><p>~</p><p>I,</p><p>.I</p><p>l~~,~</p><p>~:</p><p>~</p><p>i</p><p>i,</p><p>~</p><p>~</p><p>J</p><p>I,;</p><p>~</p><p>:!</p><p>li</p><p>iI</p><p>~~</p><p>"~~l1\~;?l<~~1iii)a"f"j,~~*J~J~.f?~;f;!,(:W;:;,i;~~;'á:· ...•..,·</p><p>·1~~~'1i,~,r;'f·::::lilo~:lt:.~.tüAl)lt:r..Y.:D.i:ao~r..W.~c;;.:w..õI~~~1tt'\.'t' .•.~r~·:v.~l.t.l,~·::11:::r.!'.·.'·.I.~··</p><p>7. Dados dois números, desejamos calcular seu produto. Se o ::V"('i;,'</p><p>maior que 18, desejamos calcular o dobro da soma. SenEle,'l'</p><p>calcular o triplo do produto. Para tanto, considere a situação :""r</p><p>trecho de planilha ilustrado a seguir.</p><p>cl~~;~!r~~lil.A~~~(~~f~~~~~~~~~!~~I~~~%~~~~~-~~i~?::~J?~\;~..</p><p>Digite dois números:</p><p>Resultado final:</p><p>Sendo atribuídos valores às células 814 e C14, escreva a fónTU!;;</p><p>lnserida na célula 815. Simule a situação para os números :3 e 7 .1.</p><p>números -4 e 8.</p><p>.."",o;;;;;::"\~~;;;:*i';\;~";tii,~;~~~~</p><p>·'';;::::i..'.:...,.!'::'.;'irt~'.:':''''''!:.';...ei.·;:.;. _' •• J •••••</p><p>f&Yi~~~~~~~~~ttj~~l:~!r~·~:~:::':~';'</p><p>L</p><p>~f)[~~~~~!~!~!~:;,~!::~~!:~:~:!~~:::~!:!:!!!!;~!!!~~::!::!=::::::!:::~::~::@</p><p>i~</p><p>-,i:.:</p><p>..~</p><p>~~j</p><p>-- ,,-,</p><p>-::j -</p><p>.'.</p><p>"<;'11</p><p>-'i</p><p>.,"!</p><p>~:~</p><p>·i</p><p>~</p><p>--,</p><p>"" ..!</p><p>," ..</p><p>~j</p><p><></p><p>"j-</p><p>::~</p><p>>~d</p><p>::J::</p><p>-.:</p><p>ti</p><p>I</p><p>11.</p><p>-'<';:</p><p>}~.:</p><p>31'</p><p>~I</p><p>í;</p><p>··,;,,~r</p><p>CAPíTULO 3: MATRIZES</p><p>i, Definição.</p><p>Uma matriz de ordem mxn (lê-se "m" por "n") é uma tabela de números</p><p>reais dispostos em m linhas e n colunas, Cada número é um elemento da</p><p>matriz e é identificado pela sua posição (linha e coluna), Exemplo: Matriz</p><p>A de ordem 3x2 (3 linhas e 2 colunas):</p><p>A=[_34</p><p>12 ~L</p><p>o elemento da primeira linha e da primeira coluna da matriz A é o número</p><p>3, e assim por diante,</p><p>De modo geral, uma matriz A "qualquer" de ordem rnxn pode ser</p><p>representada por:</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>a31 a32 a33</p><p>A=</p><p>am1 am2 am3</p><p>a1n</p><p>a2n</p><p>a3n</p><p>amxn mxn</p><p>Um elemento qualquer da matriz A é indicado por aij com i=1 ,2,3,_ .. m e</p><p>i=1 ,2,3, ... ,n. O índice i indica a linha em que o elemento está situado e o</p><p>índice j indica a coluna que o elemento está situado.</p><p>2. Soma de matrizes.</p><p>A soma de duas matrizes A e B somente será possível se A e B forem de</p><p>mesma ordem. Se A e B são matrizes de 'ordem mxn, então C=A+B é uma</p><p>23</p><p>matriz de ordem mxn, onde cada elemento da matriz C=A+B é a soma dos</p><p>elementos correspondentes de A e B. Ou seja: C = A + B <=> C Ij = ali + bl] .</p><p>Exemplo: Considere as seguintes matrizes:</p><p>4J.:..1</p><p>O</p><p>e B=(~5</p><p>-2</p><p>-t~(</p><p>- 3</p><p>A= ~</p><p>A soma das matrizes A e B é:</p><p>(</p><p>-3) + 7</p><p>A+B= 6 + (-5)</p><p>2+(-2)</p><p>4 + <-6)J (4</p><p>(-1) -I- 1 == 1</p><p>0+8 O -iJ</p><p>Utilizando recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:</p><p>e digitar os elementos das matrizes A e B, por exemplo, nas células 02,</p><p>E2, 03, E3, 04, E4, H2, 12, H3, 13, H4 e 14 (figura 3.1);</p><p>o introduzir a fórmula =02+H2 na célula 06 (figura 3.2);</p><p>•• copiar a fórmula em 06 para E6, D7, E7, 08 e E8 (figura 3.3).</p><p>Fig. 3.1: Oigitação dos elementos das matrizes A e B.</p><p>24</p><p>"1,'</p><p>B= . "]'</p><p>"oI</p><p>Fig. 3.2: Inserção de fórmula em 06.</p><p>-,.(1</p><p>1</p><p>-, :8</p><p>Fig. 3.3: "Cópia" da fórmula em 06 para E6, 07, E7, De (~b'</p><p>Quando "copiamos" da fórmula em 06 para E6, 07, E7, D8 e l:';:_</p><p>"atualização" dos endereços de células no deslocamento ci(:</p><p>"para a direita e para baixo". A figura 3.4 mostra os</p><p>resultado:</p><p>correspondentes aos elementos da matriz C.</p><p>Fig. 3.4: Matriz C=A+8.</p><p>25</p><p>.JÍIi.</p><p>-G</p><p>; 1</p><p>i3</p><p>, o •• ----i ..</p><p>;</p><p>3. Multiplicação de um escalar por uma matriz.</p><p>Dada uma matriz A de ordem mxn, e um escalar a (número real), os</p><p>elementos da matriz B=a.A são obtidos pelo produto do número a pelos</p><p>correspondentes elementos da matriz A. Considere a matriz</p><p>[</p><p>-10</p><p>A= 6</p><p>2</p><p>~3 J e o número a·3</p><p>A matriz B=a.A=3.A é:</p><p>[</p><p>3.( -10)</p><p>B=3.A= 3.6</p><p>3.2</p><p>3.5 J (-30</p><p>3.(-3) = 18</p><p>3.7 6</p><p>15 J-- 9</p><p>21</p><p>Utilizando os recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:</p><p>• digitar os elementos da matriz A, por exemplo, nas células 09, E9, 010,</p><p>E10, 011, E11 e o escalar a na célula H1O(figura 3.5);</p><p>• introduzir a fórmula =$H$1 0·09 na célula 013 (figura 3.6);</p><p>copiar a fórmula em 013 para E13, 014, E14, [115 e E15 (figura 3.7).</p><p>I';:f CA=15;.'1~;;~-~-~-r'GJ3 '17 F</p><p>.:~::;..-----===" 2" I .. T '1-~---~F===----1---rJ</p><p>Fig. 3.5: Elementos da matriz A e escalar a.</p><p>26</p><p>=-~~~:=~,~r~l------j' .....---...-.-'-''''''--'1-</p><p>;<;.,."r-~=: ":~=~~:==~~:~~~~I='</p><p>Fig. 3.6: Inserção de fórmula em 013.</p><p>SF·JK-----A; .</p><p>ii,~Z"::li~jl;*~~ri~.=~:==::~~t~1</p><p>15 ·"'$r.l$:1'O*fD1'.1";'"'-'-'$13I$t0*E:lj'; IJE=-~-=--"'='~~l.~~~~----=~~=~_..~=~_~~-=~L=:=</p><p>Fig. 3.7: "Cópia" da fórmula em 013 para E13, D14, E14, D15 e E15.</p><p>Quando "copiamos" a fórmula em 013 para E13, 014, E14, 015 e E15,</p><p>ocorre uma "atualização" dos endereços de células no deslocamento de</p><p>posições "para a direita e para baixo", com exceção da referência à célula</p><p>H'10, pois utilizamos o recurso do "cifrão" para a fixarmos. A figura 3.8</p><p>mostra os resultados numéricos (elementos da matriz B).</p><p>t~ft,"r:"iC~;i!;:;'I;~;R~i1t;,ii:~</p><p>Fig. 3.8: Matriz B=a.A.</p><p>27</p><p>;j..</p><p>1:'_·'~"YO.d""'""'."",,,__ ~.,~~,,,~,,~-~" .•_-----,-- ...</p><p>Podemos efetuar a soma de produtos de matrizes por escalares. Para</p><p>exemplificar esta operação, considere as matrizes D e E a seguir:</p><p>[</p><p>-3 1.J'5 -]</p><p>0=</p><p>2 O</p><p>e [</p><p>-2</p><p>E= -5</p><p>-2</p><p>-~61</p><p>A matriz F=2.0-5.E é:</p><p>(</p><p>2.(-3)-5.(-2)</p><p>F=2.0-5.E= 2.(5)-5.(-5)</p><p>2.2-5.(-2)</p><p>2.1- 5.(-6)J [4</p><p>2.(-1)-5.1 == 35</p><p>2.0-5.8 14</p><p>32 J-7</p><p>-40</p><p>Utilizando os recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:</p><p>•• digitar os elementos das matrizes O e E, por exemplo, nas células 019,</p><p>E19, 020, E20, 021, E21, H19, 119,H20, 120,H21 e 121(figura 3.9);</p><p>•• introduzir a fórmula =2*D19-5'H 19 na célula 023 (figura 3.10);</p><p>tO copiar a fórmula em 023 para E23, 024, E24, 025 e E25 (figura 3.11).</p><p>~(i:1,l\i;i~cq;%j(Ylf!IWf~fJ;\~:l;'j)i,;%(~~I'!i~~,i;\:t)@1?;'i(:E</p><p>I</p><p>Fig. 3.9: Oigitação dos elementos das matrizes O e E.</p><p>;'2t</p><p>'!22</p><p>0'23,</p><p>':Zi\i;;\ F=2.D-5.E=</p><p>/25l;---</p><p>Fig. 3.10: Inserção de fórmula em 023.</p><p>28</p><p>~r~'O'</p><p>o·, H::"":</p><p>________ .__ ~2.r E= ;"5,:,===r=== '~'l</p><p>=--=-I--==-~=~=.. ...</p><p>. ~------'''I'''''---''--'si , _</p><p>!</p><p>Fig. 3.11: "Cópia" da fórmula em 023 para E23, 024, E24, D2'</p><p>Quando "copiamos" a fórmula em 023 para E23, 024, E24, D~:.</p><p>ocorre uma "atualização" dos endereços de células no deslocarre:»</p><p>posições "para a direita e para baixo". A figura 3.12 mostra os i'(::>UI:",-·</p><p>numéricos correspondentes aos elementos da matriz F.</p><p>c'. F IG I·· H</p><p>l, ~~I·__'</p><p>-3 1 I -2</p><p>5.:' -1 =:=:C='I~. -5</p><p>-2":00 o.i.· ",O .::. -----.-1--- ..- . -2</p><p>! ,==J~~~·':~~~f·~~~:~.</p><p>I ,_-'---_-'-._.-=r= i-'--'--</p><p>Fig. 3.12: Matriz F=2.0-5.E.</p><p>:~1a:</p><p>19;fé}' .------.------.</p><p>I</p><p>'21: ------- ..-.---</p><p>22</p><p>'i~~~~f;Z.!</p><p>26</p><p>4. Multiplicação de matrizes.</p><p>o produto da matriz A de ordem mxn pela matriz B de ordem</p><p>matriz C=A.B de ordem mxp. Em outras palavras: o produto das 1",1(11,</p><p>A e B somente será possível se o número de colunas da matriz i\ ,c;; '.</p><p>29</p><p>!~</p><p>."~."'''''~-'~~~~ ':w;c:"</p><p>ao número de linhas da matriz B, Os elementos da matriz C são dados ]5<:':; F,:::,::rG-::EifEI:J.:.:...Jil</p><p>271 I !. : ; •~r=-~l:'; ~10 , . F=~t~i;</p><p>i</p><p>T9T----·· --'-r-'-"</p><p>30 : : . l' O,·31 -----1' ..-- - ----- ---;-.- --.- ..- - ;..-. .... .., ,..';".." ,." '.</p><p>it.~;~;~;:~á!~~~~~~i~::~~:::.~~~~:~~~~~~:~~~:~~:~~~~r~~~~~~~~~-~~~:~~~--~~..~~:,'~,-~.-</p><p>Fig, 3,14: Fórmulas inseridas em D32, E32, D33 e E33.</p><p>J= G 5</p><p>3</p><p>- ~OJ e [-1 5]</p><p>K= ~ ~'</p><p>n</p><p>por: Cik == LalJ,bik = ai1 ,b1k + '" + a., ,bnk</p><p>i=1</p><p>Para entender o procedimento de multiplicação de matrizes, considere as</p><p>matrizes J e K a seguir:</p><p>A matriz L=J,K é o produto da matriz J pela matriz K e é dado por:</p><p>L=lLC -1) + 5,2 + (-tO), 1 1.5 + 5,3 + (-10)'OJ</p><p>2,(-1)+3,2+5,1 2,5+3,3+5,0</p><p>A figura 3,15 mostra os resultados numéricos correspondentes aos</p><p>elementos da matriz L,</p><p>(</p><p>-1</p><p>L=</p><p>9</p><p>2°1</p><p>19j</p><p>'1 C I:' 'u"Fj"";E 'j F IGI H I' I" iJ =B27" I' " "', .. ( ....", ..,'.' 'I i . '1" ::....:.L..._.__ :. __ :</p><p>. 28 --.~]' 1 ' 5 '" ·10 1.. ·--\·-· .. · .. ··. ·1 ' 5 ,---1:§.l.._ ,__ ' ._,__, __ _</p><p>2g! ' .' . 2 3 5 ; K= 2 3</p><p>30'-~==~L_-..--.-l-_.-.-.J--.-.-- ..i:~=r==:=~=~:.· 1 O, ..</p><p>31 í i ' " I .</p><p>.;~,~~~~~l,~,:~:..,."•..••.;~~;:.•..,'[===1~==C=~:~~~f..=:=.~,·,.._=·:~~·~~_~~::~~:.~</p><p>Fig. 3.15: Matriz L=J.K.</p><p>Utilizando recursos da planilha eletrônica, o procedimento é:</p><p>• digitar os elementos das matrizes J e K, por exemplo, nas células D28,</p><p>E28, F2S, 029, E29, F29, 128,J28, 129,J29, 130e J30 (figura 3,13);</p><p>e introduzir as fórmulas a seguir:</p><p>;;o D32=028*128+E28*129+F28'130,</p><p>> E32=02S*J28+E28' J29+F28*J30,</p><p>~ D33=02.9*128+E29'129+F29*130e</p><p>~ E33=029*J28+E29*J29+F29*J30 (figura 3.14),</p><p>Pense em uma fórmula que possa ser inserida em 032 é, copiada para</p><p>E32, D33 e E33, calcule os elementos da matriz L.</p><p>DICA: Pesquise no Excel as "fórmulas matriciais" e, entre elas, a</p><p>MATRIZ.MULT, que retorna o produto matricial de duas matrizes,</p><p>1 C:' r D«ElfL_;.ê~::1.:JI=J' J< J'<')<I</p><p>271 ' i i ; : ! '</p><p>I·----...·--·-~'"l'·--! .....----~·, -.28 _._ ..._~..: .'. 1 .' 5,~ , ~1{)' . __, .l .___:_ ,-1 ,. '5</p><p>.:29",. ._ :<.' ..'2:<··.· .3>" "' -.:5.'.;;::' __. 1 _. K= ;;f:2" ':'!</p><p>•.30--------i----L-------i---L---J--.--- r 1'0:</p><p>Fig. 3.13: Oigitação dos elementos das matrizes J e K.</p><p>30 31</p><p>,i'--.</p><p>I</p><p>i</p><p>~</p><p>1,,</p><p>.dr,~~</p><p>I</p><p>~</p><p>Ifi</p><p>~'11~. I</p><p>j</p><p>32</p><p>~~~~!tJ.~:'i.&li'VX"~..a;;&::7.~s:;r.!':;~;·.r:~;:;-:<,::::::,·</p><p>Tarefa 3: Matrizes.</p><p>[Nome:</p><p>I ==</p><p>1. Considere o trecho de planilha a seguir.</p><p>f</p><p>····/:E</p><p>34 --</p><p>'9 ~~- 8,:</p><p>-6</p><p>4</p><p>96</p><p>61</p><p>-~n</p><p>Pedem-se:</p><p>a) a fórmula a ser inserida na célula B 11 ;</p><p>b)a fórmula a ser inserida na célula G11;</p><p>c)a fórmula a ser inserida na célula B 15;</p><p>d) a fórmula a ser inserida na célula G15.</p><p>'i::i;l;~!~:;>U~·~~!~a..T'.~r:;I"....t~·;:~~.r.a~~'%;z<~'lU't!l\'1d:;;·</p><p>?;}1</p><p>II"~':1 \1</p><p>;tl ~;</p><p>~"'1'1</p><p>j"</p><p>Ir~~::.!:::~!:::~~:~~:!~;:!!~5.~~~::::=!:~:!~:~~::~!:~:!~~:~~::::!~r'</p><p>;J ~~~.</p><p>tI·t4i;~~11..v;f~, ~n.~[</p><p>tj~:, if~1 'I*;1 ÍJ</p><p>I'hj I!</p><p>~lj</p><p>~</p><p>,I</p><p>.l</p><p>~i;j</p><p>:'1</p><p>;";</p><p>:[1</p><p>1</p><p>'i</p><p>II</p><p>CAPITULO 4: FUNÇÕES</p><p>1. Definição.</p><p>Função: lei ou "regra" que relaciona a cada elemento de um 'c,. j'.' .</p><p>partida" (denominado de domínio da função) um único elemour.</p><p>"conjunto de chegada" (denominado de imagem da função).</p><p>considere a seguinte "regra": escolha um número, multipiiquf'"</p><p>some 3 e observe o resultado. Caso você escolha o número i. ,)Y;:.;;</p><p>será 38, pois 7.5+3=38.</p><p>2. Representações de uma função.</p><p>As funções podem ser representadas por:</p><p>• Tabelas,</p><p>• Equações.</p><p>• Gráficos.</p><p>Considere o exemplo anterior e sua representação por tabela, ':'.;</p><p>gráfico.</p><p>Tabela:</p><p>"Partida" "Chegada"</p><p>-1 -2</p><p>O 3</p><p>1 8</p><p>2 13</p><p>3 18</p><p>Equação:</p><p>Inicialmente, devemos pensar em símbolos para representar', '. ,I',!</p><p>de partida" (domínio) e o "conjunto de chegada" (imagem). t:n ,...</p><p>37</p><p>I:</p><p>I</p><p>x: símbolo que representa os elementos do domínio da função. No caso, x</p><p>pode assumir o valor de qualquer número real.</p><p>y: símbolo que representa os elementos da imagem da função. No caso, y</p><p>pode assumir o valor de qualquer número real.</p><p>A equação relacionada com a "regra" do exemplo em estudo é: y :: 5.x + 3</p><p>Gráfico:</p><p>O gráfico da função y ==5.x + 3 é a reta ilustrada na figura 4.1.</p><p>Fig. 4.1: Gráfico de y=5.x+3.</p><p>3. Assistente de gráfico.</p><p>A planilha eletrônica do Excel possui várias ferramentas gráficas, incluindo</p><p>tipos de gráficos padronizados e personalizados.</p><p>As confecções de gráficos com o auxílio do Excel são simples, por meio</p><p>da guia "inserir" destacada na figura 4.2.</p><p>38</p><p>'~r~>'</p><p>;:'.~</p><p>~.~</p><p>".;:,'</p><p>. ~'í</p><p>.fb".</p><p>Fig. 4.2: Guia "inserir" do Excel.</p><p>o tipo de gráfico maís utilizado nesta fase de estudos será "dispersão",</p><p>incluindo os subtipos padrões mostrados na figura 4.3 .</p><p>.. _ _-_ ..~._ .._ _. ---'.-.- ..--..- _ " ..</p><p>-_ _ -... '._--:-- _--- .. _.-_ .._'.</p><p>Fig. 4.3: Gráficos do tipo "dispersão".</p><p>:~</p><p>Para exemplificar, considere a função y==x3. O conjunto domínio é</p><p>composto por qualquer número real, assim como o conjunto imagem.</p><p>Tomemos alguns valores do domínio de y=x3 e calcule as respectivas</p><p>imagens. Isso pode ser feito atribuindo valores nas células da coluna A,</p><p>desde a linha 2 até a linha 12, inserindo a fórmula ==A2f\3 na célula 82 e</p><p>copiando a fórmula até a célula 812, segundo indicado na figura 4.4.</p><p>i~</p><p>.":</p><p>',~ 39</p><p>"Automaticamente", a fórmula será atualizada ao longo da coluna, ou seja,</p><p>na célula 83 a fórmula será =A31\3e assim por diante.</p><p>x</p><p>-1 -- [</p><p>O I---i \1</p><p>2 =:=l</p><p>3 J</p><p>4 !</p><p>, _.lj I .--J'. -~\</p><p>Fig. 4.4: Tabela associada com a função y=x</p><p>3</p><p>.</p><p>-5</p><p>I'</p><p>D \-~~=JI-2</p><p>o conjunto de valores de "y" é igual ao respectivo conjunto de valores de</p><p>"x" elevados ao cubo (figura 4.5).</p><p>~\:: ~,>.~;.....~;ii~1Ii.i~'i.:..Ç;,*;:;;r ..;;;:!;p :····:.:~l,·</p><p>B2 ..• (~$.if~-";;&.~iii',1=A2"3</p><p>f:.~~1 -5 I -125</p><p>'3;1 -4 I -64</p><p>,4'\ -3 \ -27</p><p>; 5 I -2 I -8</p><p>.6.\ -1 \ -1</p><p>"i"</p><p>, "i</p><p>/7.1 o I o \. . .-_L_._ou. __ t.,</p><p>8 I 1 1</p><p>'sl 2 I 8</p><p>.iol 3 I 27</p><p>;1.3</p><p>I,.~;J ~ \~5 1-· ....-.. ·· i. ..</p><p>__.1-</p><p>Fig. 4.5: Pares (x,y) da função y=x</p><p>3</p><p>.</p><p>40</p><p>"~f"~'"</p><p>,</p><p>Selecione o conjunto de valores desde a célula A 1 até a céiulc :;.,</p><p>isso, posicione o cursor na célula A i, mantenha o botão eSOUfOl</p><p>"mouse" pressionado, mova o cursor para a coluna 8 e desloque -'.</p><p>final do intervalo das células). Selecione o tipo de gráfico "dispor.«</p><p>subtipo indicado na figura 4.6.</p><p>~-;J~~~F~~~~=~t-~······:. ·Ir.~-:---'-, ...</p><p>- II'.':"/ ....! .</p><p>1..,... -clk ~LJ :.~~::.</p><p>.~~!I.~:.:_:.:_:~</p><p>.._-_ _ ..;, _ _.}- _.-.;_ _ ..---;_ .</p><p>-i-'-' -"---.--- -»: .</p><p>. -.._ .. ·-1-·_·"-" -'--i" .._-_ _--~-_. __ -:- .</p><p>!</p><p>Fig. 4.6: Etapa inicial da construção do gráfico da funça.</p><p>Obteremos um gráfico simular ao apresentado na figura 4.7.</p><p>I</p><p>y</p><p>---------- ---1-501-...----------....</p><p>100-1 -»-</p><p>.--- -so-l--.--L----</p><p>·6 -4/, -2 9 •</p><p>/ se \</p><p>~ :::t-_------ ..--..-..-</p><p>Fig. 4.7: Gráfico "preliminar" da função y==x3</p><p>.</p><p>41</p><p>""."<</p><p>____ O_o ::h .</p><p>A próxima etapa consiste em adicionar título ao qráfico (figura 4.8).</p><p>:</p><p>!</p><p>i</p><p>I</p><p>i'</p><p>I·!~.</p><p>--'I l'</p><p>i</p><p>j'</p><p>I:</p><p>i'</p><p>I:</p><p>I</p><p>.. 1~</p><p>-6</p><p>','</p><p>Jr ~ _</p><p>7</p><p>I - .;·:'~::--:;-.::;::;;:;'::::::::7·.:-:':::::::::-7';::::;~:;:;:;::::-::::7.mT:;;:;'::;"::::':: •........•.••..•...-..,........ «c~."•..•••..•.", .. ' '-"::=_::.=.-'~</p><p>Fig. 4.8: Inserção de título ao gráfico da função y=.x3.</p><p>Após inserção de título e formatação da área de plotagem, podemos ter</p><p>como resultado, por exemplo, o gráfico ilustrado na figura 4.9.</p><p>Trata-se de uma função crescente (quando "x" aumenta, "y" também</p><p>aumenta), que passa pela origem dos eixos coordenados (ponto</p><p>(x,y)=(O,O)). Quando atribuímos valores negativos a "x", o resultado de</p><p>y=x3 é negativo e quando atribuímos valores positivos a "x", o resultado de</p><p>y=x3 é positivo.</p><p>42</p><p>';;~:\Br'</p><p>í</p><p>!</p><p>:lL</p><p>Fig. 4.9: Gráfico da função y=x3.</p><p>Agora, considere a função y =..!.. Seu domínio é composto pelos</p><p>x</p><p>números reais, com exceção do número zero. A figura 4.12 mostra uma</p><p>planilha contendo alguns valores do domínio da função, no intervalo de</p><p>células de A2 até A 16, e a fórmula, em B2, relacionada com a função</p><p>1</p><p>y=-</p><p>X</p><p>43</p><p>r ~~l ~~~~~~~}tl~ff<%';~'</p><p>f:.f~~U1~!:m:t~~:..-:cot.'Jn(Ç~u,~ ..m,w~~...:r:!t~W~~"!:M.'l{;a;.wru·:"!:e.'.~::~'~~~'.;':"0,</p><p>I</p><p>:~,~"_""\m,_""~,~,,,_.,,;,,,,,""'~'''I'''~"'''U''''''''''''''''''''''.'''''~~'="''''''''''"""""",,"='~'''''EA''''\''~'''''''='~'''-'''7.'1<'J''''_;'''''=O':U'''''='''''~''''''''</p><p>tiIj ----------- -- -- -- -- -1,' - .---</p><p>11;1 ------------- --------- -+,2 ----ii -- - - - -- .. - --1 - - -- -----------------------1</p><p>ti ----------- -------0,8-</p><p>1</p><p>-------------------</p><p>il - - -- -- -- - --0,6 - - - - -- - - -- ..-----------------I '-~~~----•....:=::.-=----~ =-=--=-=</p><p>~ -4 -2 2</p><p>I~-=/-~t\~=~==~~~=~=~</p><p>%;, ----------, ..?-</p><p>11</p><p>m</p><p>f:</p><p>"1,1</p><p>[\</p><p>[:1</p><p>~.\ 2. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica,</p><p>I---- 35-1 -'</p><p>---------------30 -----------</p><p>----------25 ----------- --------</p><p>» 1-------- ---20-</p><p>-----..-----1-5,--1--------1</p><p>~--------lO- ---- -----------</p><p>----------------5 -----------</p><p>-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 2 3 4 5 6</p><p>x</p><p>3. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eíetrôruce</p><p>=A2A(lf2)</p><p>_w441r.~</p><p>'---J~E----ri ;---1--ffi=::..::~~:j-</p><p>1~I~-==--~=-r:</p><p>Pedem-se:</p><p>a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela</p><p>fórmula inserida na célula B2 até a célula B14;</p><p>c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos Ilustrado "</p><p>.."':~~;"'\:':l:m;.:i:'(;;ur;;.~iE.!J,.'.;::.Q:z,...:;:!!;;tII~:;;t.E!'.l;':!;~7.n:."V6&'!C;t,; ..;u;i''{:f'.ll~2u'ili.c:.'i.'Ii;11~!:.:iIJi'"fE:'i.~.:s..!.a :j'2,;'~.';.•.':.:',;,,·.':;;;,:.··</p><p>li</p><p>,-I</p><p>~~</p><p>[:i</p><p>:l</p><p>~j</p><p>:.1</p><p>;',1</p><p>iJ</p><p>'l</p><p>~</p><p>!~</p><p>:,l</p><p>~.i</p><p>tl</p><p>;:j</p><p>~:l</p><p>(.:j</p><p>!L ![~-~~--,</p><p>Pedem-se:</p><p>a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da</p><p>fórmula inserida na célula B2 até a célula B14;</p><p>c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.</p><p>48</p><p>~fjq:4~~~~~is~E~~f~'ti1!K~f,~~~~</p><p>i' -<": ---",",:;;z=-=--._. --</p><p>~'r~":'',:;''~'~;';~.o.!~''l1.':r'''-:''''''-t':X~~!!..\'lI!Z-.:.i'.'.;:v.i7'''''-'~Wt~~''.:i!t~!J:'-l:-..:.::.'It.n~!7~:;:W~:!i)J"n:~~..d:.!:'.1",1..~G"'~~C::·./:~··::C"!:':;~~.:::t~;1.'i.'7.i! •.~.::.m:~:Ó',~'/""z..~.'G'.'~-;:;\·,!~~..,.2'T.oô~::tiI11t<:llliUl~I.'"</p><p>:1</p><p>i1</p><p>!1</p><p>~i</p><p>11</p><p>H</p><p>t1</p><p>~j</p><p>!.j</p><p>',i</p><p>:1</p><p>'1</p><p>;;.~</p><p>--'I</p><p>-.J</p><p>.:i</p><p>;~</p><p>------~.</p><p>..~;:c'"".,:.'~::!liã~~".,...":'.~;;:t:~;;!'n..•~é.u.~·~~U'rJillO,\t:_~~~:_~!'~,'l'li·~~'"i!f!t'~,l1';:'bi;:';:e~.' ...s.~:5..;:J(ar,;!;~~.;:c.:7rr..;~t.,.l'r.·!'(.'.r~;;:i>>:!'".:L.,,{'f~~!:-:::n~~~):/.';.:~..':,:'.</p><p>I - i ~I</p><p>-!</p><p>FI</p><p>a</p><p>-- ------"25-4</p><p>I 20 I I</p><p>,.,</p><p>5. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica.</p><p>:1</p><p>~J:.1</p><p>-01</p><p>-I</p><p>;.~</p><p>~_i</p><p>\~</p><p>~:.1</p><p>~1</p><p>o"·,</p><p>:'~~S</p><p>r-</p><p>:~~;</p><p>.:d .1</p><p>4 I</p><p>0,5</p><p>a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima'</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da</p><p>fórmula inserida na célula 82 até a célula 810;</p><p>c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.</p><p>-,</p><p>-:{~</p><p>:·~1~~</p><p>~~-~</p><p>3.5 ~ I</p><p>3 ~ -------------</p><p>2,5</p><p>5-1---</p><p>·6 -4 ·2 o</p><p>,"i</p><p>~~</p><p>i"</p><p>U</p><p><'i</p><p>~i</p><p>~1</p><p>~i</p><p>"9</p><p>'\</p><p>~!</p><p>~ 24 I</p><p>1,5 ----------_._--------</p><p>o I I I I I I I .I</p><p>o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12</p><p>x</p><p>4. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica.</p><p>. y</p><p>:'2' : =2A(A2)</p><p>:'J''-- ---</p><p>~él ·2</p><p>'5;1 ·1</p><p>;:'&.:1 O</p><p>á:! 1</p><p>ii!l-:·I 2</p><p>1~91 3</p><p>tfó'~1 4</p><p>:.111 5</p><p>Pedem-se:</p><p>a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da</p><p>fórmula inserida na célula 82 até a célula 811;</p><p>c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.</p><p>;~;:;;I;",;:·?k·;,;::I:<":;B '</p><p>11';'1 x</p><p>;:2ir-:S y</p><p>=(1/2)'(A2) __</p><p>"3d ;4</p><p>:)vA ·3</p><p>'s:1 -2</p><p>:~':;i ·1</p><p>~J o</p><p>:,~J 1</p><p>~~:;I 2</p><p>,1;QI 3</p><p>Pedem-se:</p><p>51</p><p>I;.</p><p>'.;r;:.:::.;:.~,,,_ -,=,_,,",,~LSlL: .Lxr-.,;:-"</p><p>I' f~W~ill'l'1Y.qr@~_~</p><p>'l'</p><p>r"'-""~r-""'~~.''-'''''''''''''''''I',,"'.'''V''''''''''''''''''''''~I'''''''''<'''''''''''''''~'''U'''''''-''''''''''''W' ••..'"""""'"""',,=="',,, .•"'''';''',,,</p><p>~~ li</p><p>1</p><p>1~'it;) ,</p><p>tâ~ -:,.,.]j</p><p>[~ II</p><p>~~ ij</p><p>~~I 1l</p><p>;ig~ Ij</p><p>*~d'''I,j</p><p>~i</p><p>'j~l~\</p><p>:":i :,j</p><p>~~..::'.~. ::</p><p>I:</p><p>Stl</p><p>",--'-'"----------""-----------{30--'-----------</p><p>. -__.0_' ..• _ -._ ..• -•.. --------25 ...1-----------------</p><p>,--------------------,,--,1-5-'---------,---------</p><p>----- ---,------,--,-. ---- -"---",",,,,-"--- -5 -,---- "-,, --- "-----,---,,,,--</p><p>>.</p><p>- ,----",-- ,-----"----,,---20,,</p><p>------------,--,,-,,------,---,--,lO</p><p>-2 -1 2,5 -4 -3-6 o</p><p>~~tff··</p><p>CAPiTULO 5:</p><p>FUNCÃO DO 12 GRAU</p><p>1. Equação e gráfico.</p><p>o gráfico da função do 12 grau é uma reta de equação y=a,x-I-b, CHi\~'</p><p>• a é o coeficiente angular (sendo a diferente de zero);</p><p>• b é o coeficiente linear,</p><p>O coeficiente angular a está relacionado com a inclinação dói ~""I</p><p>que:</p><p>• a>O indica reta "inclinada para a direita";</p><p>a<O indica reta "inclinada para a esquerda".</p><p>Dados dois pontos Pi=(x1.Y1) e P2=(X2,Y2) de uma reta, s(~u ,~,:""</p><p>Y2 - Yt</p><p>angular é calculado por a = , onde:</p><p>x2 -Xl</p><p>• Xl é a abscissa do ponto Pi;</p><p>• X2 é a abscissa do ponto P2;</p><p>• Y1é a ordenada do ponto Pi ;</p><p>• Y2é a ordenada do ponto P2,</p><p>O coeficiente linear b é a posição onde a reta intercepta C"::,</p><p>(eixo "y"). O domínio da função do 1Q grau é o conjunto ,i'</p><p>números reais e sua imagem é o conjunto de todos os nÚI1WllV;</p><p>Exemplos de funções do 1 Q grau:</p><p>y=2,x-4 (reta inclinada para direita, que intercepta o eixo "y" <n-: .</p><p>y=-5.X+ 1 (reta inclinada para esquerda, que intercepta o eixo '</p><p>._,</p><p>2. Retas que "passam pela origem",</p><p>3 4</p><p>i ~</p><p>: )~</p><p>,,1</p><p>","</p><p>As retas que "passam pela origem" apresentam coeficiente liIl8;'"</p><p>(b:::O) , Logo, a equação geral destas retas é: y = a.x.</p><p>53</p><p>Çf »= §</p><p>ç -v "J r / . Tj~ o'J--</p><p>j</p><p>r -, )I</p><p>, I</p><p>~ j I f.,/ J</p><p>-P' (l</p><p>(j { "</p><p>Y2 - Yj 4</p><p>O coeficiente angular é: a = x _ v- = -2 = 2</p><p>'2 '"I</p><p>Mesmo que sejam tomados pontos P1 e P2 em outras posições da reta, o</p><p>coeficiente angular permanece 2, pois se houver maior variação em x,</p><p>esta é "compensada" por maior variação em y e a proporção entre as</p><p>variações em y e em x é "fixa".</p><p>3. Retas paralelas.</p><p>Retas paralelas possuem mesma "inclinação", ou seja, apresentam</p><p>mesmo valor de coeficiente angular. No entanto, interceptam o eixo</p><p>vertical em pontos distintos, ou seja, possuem diferentes coeficientes</p><p>lineares. A figura 5.3 ilustra retas paralelas, de equações yi =3.x, y2=3.x-2</p><p>e y3=3.x+2, ou seja, todas com coeficiente angular igual a 3.</p><p>-+-y1=3.x</p><p>-'!iII-- y2=3. x-2</p><p>- -y3=3.K+2</p><p>y</p><p>x</p><p>Fig. 5.3: Retas paralelas.</p><p>56</p><p>':'r'"T</p><p>!</p><p>•••</p><p>As retas relacionadas com as funções y1=3.x, y2=3.x-2 I'; .<,</p><p>mesma "inclinação". No entanto, yi é uma reta que "passa ,.;,.,</p><p>y2 intercepta o eixo y na posição -2 e y3 intercepta o eixo v ,;,.</p><p>4. Exemplos.</p><p>Exemplo 1: Esboce o gráfico da reta que passa pelos pontos P:</p><p>P2=(3,4). Escreva a equação da reta.</p><p>Foram dados os pontos: P1 = (Xl,Yl) = (-2,-6) e P2 = (X2,Y2) =</p><p>Y2 - YI 4-(-6) I'</p><p>O coeficiente angular a da reta é a = x</p><p>2</p><p>_ XI = 3 _ (-2)</p><p>O coeficiente linear b da reta pode ser obtido pela :31 'i.;;::.</p><p>coordenadas de P1 na equação geral da reta, ou seja:</p><p>y = a.x + b -6 = 2.(-2) + b b = -2</p><p>Caso você substitua as coordenadas de P2 na equação ,,!f., .</p><p>obterá o mesmo valor de b, conforme pode ser observado a Sf!t·. "</p><p>Y = a.x + b 4 = 2.(3) + b b = -2</p><p>A equação da reta é: Y = 2.x -2. O gráfico da função Y 'c</p><p>construído com o auxílio do "assistente de gráfico" ela pl,";'Ii"</p><p>Para tanto, elabore uma tabela na planilha contendo as é:h:.~1</p><p>e ordenadas (Yl e Y2) dos pontos Pi e P2, similar ao expos: ..' ".</p><p>Fig. 5.4: Pontos P1=(-2,-6) e P2=(3,4)</p><p>57</p><p>~--- .</p><p>i'</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>~</p><p>Após clicar em "OK", teremos os pontos P1 =(-2,-6) e P2=(3,4) no plano</p><p>xOy, conforme mostrado na fíqura 5.9.</p><p>- . -~-~-~_..~..-= "~-"~-:'=~=~··-'l!fF' ---~-~ @ i</p><p>\</p><p>\</p><p>__ _.[ Tl~l!j~dq.G.r.~ttC9"r \-----,--- +------</p><p>I -l--- !</p><p>\</p><p>11 --------------- _ -I"</p><p>I ----- ---. , 4 '~y k</p><p>.~ 1 2 3</p><p>\ -3 -2 -1 2</p><p>\</p><p>'\ ----_. -</p><p>. •. -----6.</p><p>ll~c~=-==~-</p><p>y</p><p>_____________ 6 ·__ ·</p><p>....__ ..... _..__ ....__ . . ._ .. -4 __ 1__ .._ ..__ ._. .. ---4-------_ ...</p><p>... ... · 2·_L- __ -..--------.-- ..-----.------.---.</p><p>,· • r · r ·• __ Q __ -l J , ----,-------.--,</p><p>3 -2 ·1 1 1 2 3 4_ ----- ----------------_._):- ---- -,,--- ._---</p><p>________. ---- .--------4·----- ...------------.-.---</p><p>--------~:r--------------6--</p><p>1</p><p>----- "._- ----.-- --- .. -- --</p><p>__ ...._.._ ..... __ ·_·,,·· __.. _· 8·..· · ·• --- ..-- .... - .•• - ..--.-----</p><p>Fig. 5.9: Pontos P1 =(-2,-6) e P2=(3,4) no plano antes da formatação.</p><p>Dê título ao gráfico, por meio da posição indicada na figura 5.10.</p><p>oty</p><p>\</p><p>__. J</p><p>r-rrr</p><p>Fig. 5.10: Inserção de título ao gráfico.</p><p>60</p><p>lr~;[;o</p><p>l~</p><p>Após formatação, poderemos obter uma situação similar à fiÇJl.Ii:'</p><p>I -I</p><p>I,Exemplo 1</p><p>-r I</p><p>r-</p><p>_.</p><p>2 3I-2 ·1</p><p>••</p><p>!t-</p><p>I J-</p><p>-i</p><p>Fig. 5.11: Pontos P1=(-2,-6) e P2=(3,4) no plano depois ela ir."".</p><p>Pressione o botão direito do "rnouse" na posição do ponte.' ,</p><p>posição do ponto P2, se preferir): você visualizará a caixa ~i!I:</p><p>figura 5.12. Opte por "Adicionar Linha de Tendência".</p><p>:~:-::::: •.:.::~~~'-"-:."';::--:...H.• '-.-- ..~.. __ •.-~'- •••-.=::-"":':;::";:;':-._._;;'_,:-: "~_'~" ........•.. _ ....•... ~~ .... _ .. _ ..</p><p>Exemplo 1</p><p>~</p><p>: I I;:~Ji~~~,;,'-</p><p>:.~. Reounnn ~>.:!</p><p>;:;~].\8~;~~~-;·~;fJ{!c!</p><p>-2 -1 1 1 2 l!~. SctW<HliH ,.",---------:4-~ ~[;1. rrQt.c:io ·.i:·</p><p>... -, \ Adicionar 1I'."!f;"·</p><p>&V<i : I I":".: IA~lcionaf lInh[) {f--;;-~:'i~~';-:~'~~</p><p>_.;.~~ format.ar Sf-ril.' ·:h'. ' _ --- ....:r-·'-</p><p>(Ifó'</p><p>Fig. 5.12: Caixa para inserção de "linha de tendêncl~"</p><p>61•.,.</p><p>fJ</p><p>___ .~ ...,..=_.,.. .."..!!!.':.~.,.~•.=-:-::=:-=="...-.~""",,, ..- .•rsc-ww=v=t=v=» •..---_ •..-,--~------_._--</p><p>Exemplo 2: Aproxime os dados da tabela abaixo por uma reta.</p><p>J</p><p>J</p><p>F'- ._---</p><p>y</p><p>-5 11,5</p><p>~-</p><p>-3 6</p><p>O 1</p><p>2 -4,5</p><p>3 -5,5</p><p>6 -14</p><p>Nesse caso, os 6 pontos dados na tabela não estão "perfeitamente"</p><p>alinhados. No entanto, é possível aproximar esses "dados" por uma reta.</p><p>Para estimar a "melhor" reta adaptada aos pontos, vamos "aproveitar"</p><p>recursos "internos" do Excel que, baseados em "Métodos Numéricos",</p><p>mostram "automaticamente" a equação mais adequada para os pontos da</p><p>tabela. Siga os procedimentos já descritos no exemplo 1, conforme</p><p>resumido abaixo.</p><p>• Digite a tabela na planilha eletrônica do Excel.</p><p>• Selecione a faixa de valores que inclui a tabela.</p><p>• Vá para a guia "inserir".</p><p>Escolha o tipo de gráfico "dispersão";</p><p>• Escolha o subtipo de gráfico (no caso, "somente com marcadores",).</p><p>• Utilize as sequências de dados em colunas;</p><p>• Digite o título do gráfico (pode ser "exemplo 2") e formate a área do</p><p>gráfico.</p><p>• Pressione o botão direito do "rnouse" na posição de um dos pontos</p><p>marcados.</p><p>Opte por "Adicionar Linha de Tendência".</p><p>1)4</p><p>-c~r}r'!</p><p>! • Escolha linha de tendência do tipo "Linear", aciono ~I</p><p>Equação no Gráfico" e clique em "Fechar".</p><p>O gráfico e a respectiva equação, com a formatação e~,'.,·"</p><p>mostrados na figura 5.15.</p><p>~lr~:·~~%5~~L{~~~-:.~~;~:;~rt~~,~(!;:f;~{.::~~~~~~~:'dl~t~·i%Jr:.~!i~;r~~~\~:i~~~_k~~~:~1;'j;.~;~,lii~~:.!"~~y~):~:.~;.:.: ....._~._..- .-~-</p><p>v= -2,2362x + 0,20 I·C</p><p>, , o"f" ' , ,...</p><p>-4 4-2</p><p>.•...</p><p>Fig. 5.15: Reta média.</p><p>A equação y = -2,2362.x + O ,2014 é uma "tradução aproxuv</p><p>tabela de valores do exemplo 2. Dizemos que a reta média</p><p>pelos pontos da tabela é a representada na figura 5.15.</p><p>•</p><p>,!.</p><p>6S</p><p>"à</p><p>~.;:, ..----</p><p>u</p><p>._------</p><p>~j</p><p>i:</p><p>;;</p><p>I'</p><p>ti</p><p>y</p><p>=3"A2-6</p><p>Pedem-se:</p><p>a} a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da</p><p>fórmula inserida na célula 82 até a célula 814;</p><p>c} o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.'.:':</p><p>1=:i~;ll>I~~~->~_:_~:.</p><p>=::=f~=::~~:==-==- ->. ----- ------~._~</p><p>----,---- .. ---r</p><p>-<(--.- ·-·--2--'--2 .---.-.-..-...2-.-.--.--..-4-.-------6-.-.----S---1p</p><p>-- ..-··----4-- ---.---- ----.-------</p><p>-.-'·--_·..-- ..---6- ------.-.-.-----.- ....-.-- ...---.</p><p>----·--·--8-·---·------------</p><p>-·..-·..--·-·------10 --------</p><p>-·-..--------1·2 --.-----------</p><p>---------14- -----.----.-- ..----</p><p>'--,-,---1,," r--L-----</p><p>i~</p><p>J</p><p>~</p><p>-.!</p><p>ii</p><p>~~.</p><p>;~</p><p>~:'</p><p>~</p><p>{</p><p>iX;</p><p>i- ••·</p><p>'(o</p><p>'~~~~~~~1t~~~~~~~~f~~rr:hr~f1~D~!~~~1Jlt~~~~f*~iá~y.~~W~K~4r®:{;:b>i~~·::::~;:;?::</p><p>·.'L·ll.i~·t~:.~•...,!,'l.·!?n.7.~11!!';~!.!~!lt;;~;:1~!::.~:~').·.;, s ,!~t:...•I;:I.~i.t:T~~~~.:l.:tlil:"'/.!l1'.~~;II'tr.r~;:r~.:u~).m ••".n~.•'~' ...l:tlll:.t.:o.\._:;-::~;;, ;': ,~, :."</p><p>3. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eleli'ônw;</p><p>~J~~1</p><p>y</p><p>::i</p><p>.~".:</p><p>,h5·.,</p><p>x</p><p>=-2'A2-1-5</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-1</p><p>o</p><p>2</p><p>Pedem-se:</p><p>a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela ac.:</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos ploi; ..</p><p>fórmula inserida na célula 82 até a célula 814;</p><p>c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustracll' .. "</p><p>I 19</p><p>8</p><p>------6</p><p>}------·--..-4-1J------</p><p>-.---. ··------------2-1·-·------- .. ._</p><p>I ~rl~--~~~</p><p>·4 ·2</p><p>--------·---4-1- _</p><p>------·----6 I --j</p><p>I 10-t-1-------l</p><p>-:»: ·"":··~::..(',·.:·~:.:;~·.~.,.·'.I:'J.'·.:.-·.,·:;-:_..:,;.,:";.:,,~;?<::. , ." ., .•: ;C"l·:•.·' .'.</p><p>"</p><p>~~"'='.~_"~'---_~- --------- ._..__..._-----</p><p>;:1f:J:'~);;;lli:;if;;}':;Vi:!;S%ljii;;Vf:f~t;t::iEBt~;:~~fi:ii!~f.0~ri1(:iíi~~i,j1\)iigiJi}11~~IJ;,pl~~~:\~WI\i0~Si*i;,f~~%!.,~W~~bWr.iêI~1i;lf1]]'</p><p>,'6: ',,"'.;';"".;'."'."~o,O".".':C'O"",,,, ,0;,,",'''''0'"''''''.''''''''''''"'':<"'''''"''''''"''''''''''''''''''''''''''."",,,.,,,,,",,,,,••,,,,,,,"!,,,,,;.~,,,.,,·,,,",,.,.,,,,.,m" "","? ...:,,,,,:,.,,!;,,,,",,,,,",.,.</p><p>~;'!:'1 ,:: 6. Considere o gráfico a seguir,</p><p>:.;'i,! .;I;</p><p>;,i; 'i</p><p>C~J~~</p><p>.U~</p><p>:?f;~.~n~;</p><p>:""--::</p><p>}:1</p><p>~~~;:~</p><p>.....,</p><p>:::~~~</p><p>t.</p><p>!</p><p>\',</p><p>j</p><p>!</p><p>1II</p><p>~</p><p>. ..~</p><p>.:.:} :~</p><p>>-</p><p>x</p><p>Pedem-se:</p><p>a) o coeficiente angular a da reta;</p><p>b) o coef'lciente linear b da reta;</p><p>c) a equação da reta,</p><p>,</p><p>'í</p><p>:;'.1</p><p>i</p><p>.~</p><p>:-.1</p><p>',':</p><p>7'2</p><p>"1"";').:</p><p>::':'</p><p>:;('r;(ilf.llf~'UUI!>?:"J.·l:l.I~J;I~l~:rI;Y);"JjJ·W:~'f!<~)~t!Q'"~';''';8.t~'l.lIlf,,-~~Jm~~~~~..:!:.""~t:'cl'Ul1:!;.'Ãlo~:.l~';\:t'Utrr.::iO~~:;::;~~~;·:,~'·;-_·.,:···</p><p>7. Considere o gráfico a seguir,</p><p>·.l:·~:·</p><p>IIt.</p><p>li'I~·:</p><p>Pedem-se:</p><p>a) o coeficiente angular a da reta;</p><p>b) o coeficiente linear b da reta;</p><p>c) a equação da reta,</p><p>\'</p><p>!(~~~11Ç2":.7'-;;:!J-;j;?;@~~~~-;- 1i.~r?</p><p>!</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>i,</p><p>!</p><p>i</p><p>i</p><p>o gráfico de Y =_x2 + 5x - 4 está representado na figura 6.1.</p><p>,I:</p><p>I!</p><p>I',</p><p>li\ii</p><p>I</p><p>i,</p><p>'Ir</p><p>!:</p><p>i</p><p>y=-x+5.x-4</p><p>>-</p><p>l__------Ix</p><p>Fig. 6.1: Gráfico de y '" _x2 +5x-4.</p><p>2. Raizes da função do 22 grau.</p><p>As raizes da função do 2Q grau são geralmente representadas por xi e x2</p><p>e indicam as posições onde a parábola "cruza" o eixo x. Inicialmente,</p><p>devemos é determinar o "valor de delta" por: 6. = b 2 - 4.a.c. Se o valor</p><p>de ;:.,íor negativo (6<0), não há raizes (a parábola não "corta" o eixo x).</p><p>São os casos ilustrados na figura 6.2.</p><p>u.</p><p>76</p><p>~</p><p>v Vi</p><p>/\\ /1</p><p>\"'J</p><p>x</p><p>r></p><p>/'\</p><p>I/\.</p><p>Fig. 6.2: Parábolas que não interceptam o eixo x ;.\</p><p>Se o valor de 6 for positivo ou zero (620), as raizes</p><p>calculadas por: xl = - b + .[i;</p><p>2.a</p><p>x2=-b-.[t;</p><p>2.a Rep;;'e</p><p>for igual a zero (6=0), as raízes xi e x2 coincidem.</p><p>3. Vértice da parábola.</p><p>o vértice V é o ponto "extremo" de uma parábola e suas COO!,-:,</p><p>V=(xv,yv). O vértice é o ponto máximo de uma parábola ele "</p><p>para baixo ou o ponto mínimo de uma parábola de cone:""</p><p>cima, A abscissa do vértice (xv) e a ordenada do vél:'</p><p>-b ,-i~</p><p>calculadas respectivamente por: v ; = 2a e Y v =4~</p><p>mostra o vértice de uma parábola "qualquer",</p><p>77</p><p>r,</p><p>i</p><p>i~</p><p>f</p><p>"Ir</p><p>i:</p><p>~</p><p>ji</p><p>l.'~'</p><p>~</p><p>I ç;:ã~~(j:i~~,gfá.U._-=E</p><p>1 -21=~-._J~~I.</p><p>,- 1 ~</p><p>]-- '</p><p>-I =l--!</p><p>I 16[=-~_==t</p><p>I 31=---±</p><p>i -11-_~---'-- ±'-=i 1 __ ..</p><p>-I 11</p><p>1 ._.L.</p><p>-I .---4</p><p>Fig. 6.5: Raízes e das coordenadas do vértice de uma função do 2º grau.</p><p>Se alterarmos os valores de a, b e c para -2, 4 e -5, respectivamente,</p><p>obtemos os resultados expressos na figura 6.6.</p><p>,.::., j.: :?" ~i:':::'~~~:J~/A{~~\:~r,\::'íB.;;i;/.~:.fa;~j~~~~;t~):r~::'~~~e~?~:..~~.;~'~l~t:::~D::~'~'~'.~.]</p><p>~:~~~1~~~Er"<~~i=;=~</p><p>G ' I ! ;i:~~~;:;~':~~~~~i :2:[_~~~j</p><p>10 i ! I i</p><p>, 11·F~~~~i!~~·i~j~~!:.i:~-=:·:=JNaohá raiz[=~~_~.-:-J</p><p>12 I i I :</p><p>13~~~;~~.~-~-.!~C;-,~.~~:~:·-INãohá raiz[=:::::=~J</p><p>II ·~.~.~~~~C~~~~j-i~~~~~=i:~:··111=:~:=~~j</p><p>16. I ! I \</p><p>II~·~~~-~~~:~J------_...~~J===~]</p><p>Fig. 6.6: Função do 2º grau "sem raízes reais",</p><p>8!l</p><p>r</p><p>'·'.,...</p><p>. .:,~.~·~.f.f-I_:~~t:":' ..:',;.'</p><p>o,:: .</p><p>!</p><p>,~</p><p>5. Construção. de gráficos de parábolas.</p><p>Para construir o gráfico de uma função do 22 grau, elabore li:',</p><p>planilha do Excel, digitando valores nas células que representara,</p><p>do domínio da função e insira fórmulas nas células associarias</p><p>respectivas imagens. A figura 6.7 ilustra a função y=x2-2.x-3</p><p>=A.2'/2'A2-31 ._--+-~~!</p><p>t, -t·-!</p><p>------1_·_-·-···1</p><p>I -O' li II-~jd</p><p>- .__..L.. ._l</p><p>I .</p><p>1';;::1 ..• li !I---·----l··-·;</p><p>I ;</p><p>===_~=r·_!</p><p>Fig. 6.7: Trecho de planilha com "fórmula" 82 relacionada COI1!</p><p>Copie a fórmula da célula 82 até a célula 810 e obtenha</p><p>expostos na figura 6.8.</p><p>A I.' .. B</p><p>1.j x Ir==:</p><p>'2,1 -3 Ic=:li</p><p>:f'.1 -2 1c=:J::</p><p>;4~:::1 -1 1c=::Q,~,I O I1 -3 I</p><p>;$/J 1 I1 -4 I.</p><p>:tU 2 I -3</p><p>{si; 3 C]</p><p>;~~;~ 4 c=J};rê;~l 5 1112</p><p>Fig. 6.8: Pontos do gráfico de y=x2-2x-:3</p><p>8\</p><p>jr=-=--~---'-------</p><p>,</p><p>I~</p><p>,Ir</p><p>i</p><p>I</p><p>;</p><p>I!</p><p>11:</p><p>I',]</p><p>'1'"J</p><p>I</p><p>f</p><p>I</p><p>r</p><p>Fig. 612: Gráfico de y=x2-2.x-3.</p><p>6. Funções do tipo y=a.x'Z.</p><p>Os gráficos de funções do tipo y=a.x2 são parábolas cujos vértices</p><p>localizam-se na origem. A figura 6.13 compara os gráficos de y1 =x2 (a= 1),</p><p>y2=2.x2 (a,=2) e y3=O,5.x2 (a=O,5). São gráficos de concavidade para</p><p>cima, mas com diferentes taxas de crescimento.</p><p>8'!</p><p>Fig. 6.13: Gráficos das funções y1=x2</p><p>, y2=2.x2 e y3=O,5.x2</p><p>.</p><p>Na figura 6.14 estão exibidos os gráficos de y1 =x2 (a=1) e y2=-.</p><p>parábola y1 tem concavidade para cima e a parábola y2 tem r:'</p><p>para baixo, sendo simétricas em relação ao eixo x.</p><p>85i.</p><p>I</p><p>~</p><p>,</p><p>I</p><p>II</p><p>Iji</p><p>I~!</p><p>li</p><p>J</p><p>II</p><p>i</p><p>i</p><p>I1</p><p>:~</p><p>:1</p><p>1,</p><p>-}</p><p>i</p><p>!</p><p>\</p><p>·:l·"rr.,=~!.•..~:{r...~ .•~·.l<"':"l.:i;J.:~;r",wn':~:,l'r.",·n;:II!I.'(i'")I:l".n'T.õ~~ri.Y.'1W' ••<{,'':;'·!\·I.a.:l!'(.:!t!t~~.lU:!<'.C;ll.\'j ••~n..·n4.'''''t\14'/t'H ••r.nt.n,;:!lJ!fiJfí~.lf~'I!~:l'alU!~~A~Q1r~a~"lrIl'((\!'\"</p><p>\i 2. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica.</p><p>x y</p><p>,:~1\~:~~~;;~~J5·1.~{</p><p>·1</p><p>·:Jlr.i</p><p>....,</p><p>-2 =2*A2"2-6'A2-8</p><p>o 1\ )</p><p>'::::;:! ~ !I Ir</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>Pedem-se:</p><p>a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da</p><p>fórmula inserida na célula 82 até a célula 89;</p><p>c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.</p><p>iln</p><p>:~;,.. '': ~</p><p>\1\\</p><p>-·.If\</p><p>. !</p><p>'~-·I-'~ ! .1.. ..- _H!_ I</p><p>- ... ·-1--·- --I I '</p><p>--- '-I . ,-, i . I ----1-----' - ..I i -" ·-··-·r----..T</p><p>\-:: J':-I:---li~~I- -__1 _</p><p>1- I I 1 I-r·- I I</p><p>:i-j.:l~--i---~.·····l=-+=r_=</p><p>'1</p><p>1</p><p>'- +t::----L\ -l-r=~=t=_-!</p><p>~--:-il· :1~=::=--:--iT=\-~~=t~</p><p>:~It:,:--J-t:~,-....</p><p>- I -L+2- _ -- --- - ----.I---'--·-1</p><p>i__ !_\.,_~</p><p>"i:ui;</p><p>~'{</p><p>I~</p><p>:1."</p><p>.!" .,:. :;:.~ ~!:;f~::'.-.\,::P-.~,';-.,"' ; ..,J; ....!':~~:.;.~!~.i..;..'.H:.:~!..;::",t.' ,'!' .:õ: .1.' .•• : - .' •.•• ": •• , ••.• ..::::. ••r...:...·::.I"••.t.l~,:,'l;.l1~1;~~'U.,.I~u..r:..</p><p>!.....</p><p>:111.'.</p><p>f~</p><p>it.~iJ\\11,"tlV,~~~%!í@~).'~il~,là'~~~1~~JM';L•.-,</p><p>iolml1h~.'I.I~I:e:m;.-Q.I.\t~fn~l..QJ.!l?\J("Il.,;(-mlta:,;!~.:,n:,.~:z:J~(,nn~~m1'TPu'õ"Gtn;:;"'J:.":".:."ItI'A~:.:t..-...o;r;:';oH%:t •••,\A!:;:a::'-'\~J.\;. ..,:.t~:: ..;:;;..!::!:::; ••. :.;'.</p><p>3. Considere a tabela a seguir, extraida de uma planilha eletrôni'>I.</p><p>f;;1tl~'f;~</p><p>yx</p><p>.3 --1*A2A2+A2+6</p><p>-2</p><p>-1</p><p>o</p><p>2</p><p>4</p><p>Pedem-se:</p><p>a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela aCII:.</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela</p><p>fórmula inserida na célula 82 até a célula 89;</p><p>c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado:</p><p>--------J-··--l--------'---6----- ----.--- ----- --- -1---</p><p>I , I---,- -1-.5 -1-, -</p><p>I !. . 1"-';</p><p>i ,</p><p>r--""!</p><p>. I</p><p>••~ffir-i' -1---j- _~-o 2 ~ 4</p><p>-n :r 1 'I .,.{ ----+--.-- ....rt:- .. -------, - 1</p><p>I ±.-.-.-------.-..1.-----+------.--.-------1------·------2 . !-J-l-</p><p>I I i . -a ! I I</p><p>.....·'-1- +.~:::~~-:~-i~~,:::~~~·~</p><p>.---.- -----·-1--- '-6 --[---'----1--·--·------_ .._-</p><p>I</p><p>.R9 ..</p><p>I ';lt :lrft,~::::~,;:::~;~j,;':~~~'::::;l:i:i:,~::i:'!~~~~~~~:~~;::~~i!:::~::::~:!.~~!;~:':~!.~!~:!!:!~~;!~~~~~~:'~~:~~~:.:::~:~::!:~~:!</p><p>;J:: 'I 6. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica,</p><p>i:.:·::~: '.</p><p>:.:::;.1</p><p>j'j</p><p>~,</p><p>[</p><p>t</p><p>'jlI,</p><p>~,</p><p>I,</p><p>~.i~~•,</p><p>I•I~</p><p>1•</p><p>I</p><p>: .. ;:~</p><p>. 'i::</p><p>.":</p><p>'!:?Pi' y</p><p>---- __ 'l.·;·l~:. • ",:"'..-..:,1</p><p>, -, :~</p><p>':;.'!</p><p>:::;</p><p>..-\~</p><p>:;,:!</p><p>x</p><p>'~;eJ -5 --1'A51'2+4</p><p>CAPITULO 7: FUNCÕES SENO E COSSENO</p><p>1. Circunferência Trigonométrica.</p><p>É comum pensarmos em ângulos "em graus", conforme o eSCii i,:</p><p>figura 7,1,</p><p>Fig, 7,1: Exemplo de "abertura angular" em graus</p><p>Podemos "converter" um ângulo de graus para radianos u.:.•,</p><p>"equivalência": rr radianos = 180º,</p><p>f</p><p>Lembre que ti é o símbolo de um número lrraciona:</p><p>aproximadamente 3,14, Podemos escolher "x" como (.l.CI.,</p><p>representa a medida de um ângulo, As "equivalências" ele C/lu,</p><p>de x em graus e em radianos são mostradas na tabela a S8Çil.li·</p><p>$2'1 -4</p><p>5,3"1 -3~I-2 I I5b:' ·1W!. O</p><p>T·</p><p>~.~</p><p>x (graus) x (radianos)</p><p>O O</p><p>90 rr/2</p><p>180 11:</p><p>270 3n:/2</p><p>360 2n:</p><p>.</p><p>93</p><p>$!};I 1</p><p>5$:,1 2.</p><p>'~~:I 3</p><p>~q;1 4</p><p>(3;1:,,1 5</p><p>Pedem-se:</p><p>a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da</p><p>fórmula inserida na célula 851 até a célula 861;</p><p>c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir,</p><p>..-6·-' •.·-</p><p>=~==:~-~:::t-===-=-==</p><p>r..--~:;..-.-.~;:.~-..~::r:'~-.;-~~---~~~..=</p><p>IAI</p><p>-...- ·--8..'-·-</p><p>- - ·--10</p><p>......•.. -. -·---·-- .. -12</p><p>1-.- .. -... -..-.- ..........• -..• -·-1 6··</p><p>.. ·..... -- .... -.. --· ..·-·18-</p><p>1.. ·- .. ·•... · .. -....• - .. ·- ..-· ..·- .. 20·-·'- .. - .. -- ..---· ..------</p><p>··-··..-----··..------22·-1-·-- -------.------</p><p>.-.- ....-.-.--.-.-.- ..-----?4-1- ..--..-· ....·---·-··--1</p><p>?.?: .. ".,..... ,,',.," ., .._.,... 1".:</p><p>í:--</p><p>senx,'j.</p><p>8</p><p>11 900 = TIi2 rad</p><p>p</p><p>\</p><p>i</p><p>\ 1800 ="Jl rad</p><p>L I 170" - "/,,,'</p><p>r</p><p>,i</p><p>,\</p><p>\.</p><p>I</p><p>!;</p><p>1</p><p>!</p><p>"</p><p>,</p><p>cosx</p><p>360· =}R rad</p><p>o</p><p>Fig. 7.4: Circunferência trigonométrica.</p><p>Os valores de cosseno são tomados ao longo do eixo horizontal, na região</p><p>"intema" à circunferência de raio unitário. Logo: -1 S cos x S 1.</p><p>Os valores de seno são tomados ao longo do eixo vertical, na região</p><p>"interna" à circunferência de raio unitário. Logo: -1 S senx S 1.</p><p>A tabela a seguir mostra alguns valores de cosseno e de seno.</p><p>90 I rc/2</p><p>senxx (graus) Ix (radianos) cosx</p><p>o I o 1 I O</p><p>. I O I 1 I</p><p>- 180 1 n~</p><p>[270[_:,/2 h li</p><p>[ 360 t 2n 1 I O</p><p>96</p><p>·~F.ífr</p><p>Observe que na "segunda volta" sobre a circunferência \ri(,I!"'"</p><p>"passaremos" pelos mesmos pontos, ou seja:</p><p>e cosO = cos2n = cos4n = cossn = ... = 1</p><p>6 cosn/2 = cos5n/2 = cos9n/2 = cos1371:/2= ... = O</p><p>• cosn: = cos3n: = cosôz = cos Zn = ... = -1</p><p>• cos3n/2 = cos 771:/2= cos 111t/2 = cos 151(/2 = ... = O</p><p>e senO = sen2n: = sen4n = sen6n = ... = O</p><p>• senn/2 = sen5n/2 = sen91t/2 = sen 13n/2 = ... = 1</p><p>• senn = sen3n = sen5n = sen71t = ... = O</p><p>• sen3n/2 = sen711:/2= sen 1111:/2= sen 1511:/2= ... = -1</p><p>Dizemos que o cosseno e o seno são funções periódicas. ',l',:-,</p><p>"valores" são "repetidos" em intervalos de 2n: (o período vale 2i[</p><p>2. Gráfico da função y=cosx.</p><p>Para sabermos "como" o cosseno de x varia com x, podemo.</p><p>gráfico da função y=cosx. O domínio de y=cosx é o coniunto >:.1'</p><p>reais e a imagem é -1::; y ::; I, Ou seja, o "mínimo" valor IX' .</p><p>e o "máximo" valor de seno é 1.</p><p>Tomemos alguns valores do domínio de y=cosx 8 CdÍ>..·,</p><p>respectivas imagens. Isso pode ser feito, por exemplo, atribuino«</p><p>nas células da coluna A, desde a linha 2 até a linha 31, Ir;'ól','</p><p>fórmula =cos(A2) na célula 82 e copiando a fórmula até <3 CSi,,;'</p><p>segundo indicado na figura 7.5. "Automaticamente", a íórru.u</p><p>atualizada ao longo da coluna, ou seja, na célula 83 a fó/,!;:I t ,</p><p>B3=cos(A3) e assim por diante.</p><p>97</p><p>r</p><p>,~</p><p>(Mj~</p><p>Na guia "inserir", opte pelo gráfico do tipo dispersão, com o subtipo</p><p>indicado na figura 7.7.I</p><p>f</p><p>i</p><p>!</p><p>f</p><p>I1</p><p>'J</p><p>11</p><p>li</p><p>~i</p><p>:1~.,</p><p>~</p><p>I</p><p>1</p><p>I</p><p>I</p><p>. i</p><p>,. ~:.- ....·..·T .•:=-·~I=~~r=·:~l!~~T:~;;;;';';:;;.=:</p><p>L.! I</p><p>;</p><p>"-T</p><p>~...- ... ;..• - ..</p><p>!....</p><p>Fig. 7.7: Construção do gráfico da função y=cosx.</p><p>Será obtida uma figura similar ao gráfico mostrado na figura 7.8.</p><p>100</p><p>y</p><p>--------~~I~.-------</p><p>--------jó,5 I '\ '--- ...</p><p>,---_ .._ ...- -.</p><p>-4</p><p>6</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>.~A,k, .</p><p>-----1~1 ~</p><p>Fig. 7.8: Gráfico "preliminar" da função y=cosx</p><p>A próxima etapa consiste em adicionar título ao gráfico (figura 7.9:</p><p>:i~-~'__".'_'M. -~.~--_"""__. -_ ...</p><p>-4 6</p><p>:i;::...... __ •• ,•• __ • •• •• -;.~----.-.-------.-.-, ... __ .. _,_ •. _ ...</p><p>Fig. 7.9: Inserção de título ao gráfico da função y~C()</p><p>101</p><p>fê.'Z-'·~~"-'··7.-'TE- ,.-;&;t.'iP.~--=~</p><p>I</p><p>~.j</p><p>1</p><p>1</p><p>!</p><p>!</p><p>/</p><p>',1'r</p><p>~</p><p>'r</p><p>~.</p><p>f</p><p>l</p><p>j</p><p>I</p><p>~</p><p>~:</p><p>'1°"</p><p>I</p><p>Como resultado, temos os pares de valores exibidos na Iiqur ..</p><p>conjunto de valores de "y" ("valores de saída" exibidos na colun. .. ~</p><p>aos senos dos respectivos valores de "x".</p><p>Fig. 7.12: "Fórmula" para o cálculo do seno.</p><p>Importante: escrever o argumento ("valor de entrada" atribuído a uma</p><p>célula) entre parênteses</p><p>104 I</p><p>:I.</p><p>.~</p><p>Fig. 7.12: Pares (x,y) da função y=sellY</p><p>105</p><p>~~?'?L?~:;::q:q::.:o:;:::u::c</p><p>I'</p><p>'I</p><p>r</p><p>j</p><p>I</p><p>ij</p><p>li</p><p>I)</p><p>~</p><p>'I</p><p>Após inserção de título e formatação da área de plotagem, podemos ter</p><p>como resultado, por exemplo, o gráfico ilustrado na figura 7.16. Trata-se</p><p>de uma função periódica, ou seja, "repetitiva" em intervalos de 2n. A</p><p>amplitude (valor de pico") de y=senx vale 1, Em alguns trechos, a função</p><p>seno é crescente e, em outros, é decrescente. Seu gráfico é chamado de</p><p>"senóide". Vale lembrar que a fórmula inserida na célula 82 (vide figura</p><p>7.12), e copiada até a célula 831, "interpreta" os argumentos (valores</p><p>atribuídos às células A2 a A31) em radianas.</p><p>r-------------.-.</p><p>\</p><p>!</p><p>y=senx</p><p>y</p><p>Fig. 7.16: Gráfico da função y=senx.</p><p>10R</p><p>"'~I'''''''''·:~:·V!~rí;··...;,~"::Wt</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>4. Variações na amplitude,</p><p>Para variar as amplitudes das funções seno e cosseno</p><p>multiplicar as funções originais por um fator. Por exemplo.</p><p>y=4.senx tem amplitude igual a 4 e período de 2n. Já a função .</p><p>tem amplitude igual a 0,5 e período de 2n. Podemos construir.</p><p>sistema de eixos, os gráficos de y1 =senx, y2=4.senx e y3=O.:~.:-.··</p><p>auxílio do "assistente de gráfico" do Excel. A figura 7.19 mostra L"</p><p>de uma tabela, em planilha eletrônica, contendo alguns '.i.:Ii; .•</p><p>domínios das funções, no intervalo de células de A2 até .'\,</p><p>fórmulas inseridas nas células 82, C2 e 02, 11:::.:</p><p>respectivamente, com as funções y1 =senx, y2=4.senx e y3=O.~:.</p><p>~I A.</p><p>.. (~</p><p>-2'~</p><p>I'" '.. -'.~·,.B,-;· :.•.....</p><p>..r:r.sz</p><p>_~±-~t1:±</p><p>Fig. 7.17: Funções y1 =senx, y2=4.senx e y3=0,5.88r:</p><p>Um trecho dos resultados das cópias das fórmulas de 82 ;:1;.1.: .'</p><p>de C2 até célula C31 e de 02 até 031 está ilustrado na fi9U1','l</p><p>Fig 7.18: Valores das funções y1 =senx, y2=4.senx e y:l~:,</p><p>109</p><p>..:)~!:.</p><p>c</p><p>:--~ri"A ;::';'CJi,,,,.:r,"Ní\')'?·;;':'·'·''';'''· :o"::"'f1</p><p>,~,,[ooo~ ,.".:':3''','.,'1 -2,7 , V '-"0/"--' 1i;:'.;':.';::".~. li U (Jij'::)",/ 1\ '.:..;: .•......'.[ -2.11< -w , I''4 . , ]'":'5<\ -2.,1</p><p>~~'N~~..JI:':6i::~ Ii u,uru/,j./L \L -u,~u_ I</p><p>I~ 1, lr</p><p>I</p><p>'I</p><p>J</p><p>I.</p><p>i</p><p>I</p><p>1</p><p>"~</p><p>\1</p><p>I</p><p>ij</p><p>1</p><p>·/</p><p>I:</p><p>··1</p><p>:if</p><p>!</p><p>\</p><p>t</p><p>~.</p><p>r</p><p>(;</p><p>Fig. 7.21: Valores das funções y1 =cosx e y2=cos(2x).</p><p>Os procedimentos a serem adotados são idênticos aos já praticados:</p><p>• selecionar no intervalo das células Ai até C31 ;</p><p>selecionar a guia "inserir";</p><p>escolher o tipo de gráfico (dispersão);</p><p>escolher o subtipo de gráfico (dispersão com pontos de dados</p><p>conectados por linhas suaves sem marcadores);</p><p>A figura 7.21 exibe um exemplo de formatação para os gráflcOS obtidos,</p><p>112</p><p>;!r~W</p><p>-i..-</p><p>i</p><p>"--' (-~</p><p>I</p><p>Ir</p><p>I</p><p>y</p><p>x</p><p>----_ ...</p><p>Fig. 7.21: Gráficos de y1 =cosx e y2=cos(2x)</p><p>6. Tabela de exemplos.</p><p>A tabela a seguir indica as amplitudes e os períodos das lu: I'</p><p>e y-senx, além de algumas variações das referidas íunções.</p><p>Lembre que:</p><p>• a amplitude é diretamente o "fator" que multiplica</p><p>cosseno;</p><p>• o período é 271:dividido pelo "fator" que multiplica r) di ".</p><p>seno OU do cosseno.</p><p>113</p><p>~::~·.~I}J!!'.iC",)'1~.I;I!'I:~IC."".:I;õ~mI:\I/II"~l:::::r.r"m.,v;r4.r.'·JLll:'.~/;''1:?t~''''1:.';\ilI:v.I'(~D."l(?tm~J;['''''"T.~~w;n~·,1r·}:r:rrtl''..J',.U;-~'J:a;.'~!.'iXq;(":!o{,";;;0:;~.l':~.tW;:tI~:'!I;''!I~::."CII."!,-:e.lJ~;:'I.i.':I~,,;u::\~~'lrj</p><p>~ 2. Considere o gráfico ilustrado a seguir.</p><p>tI</p><p>fi</p><p><I</p><p>"i?!</p><p>ti</p><p>~</p><p>;i</p><p>~i</p><p>~1</p><p>I</p><p>b.;</p><p>~l</p><p>i.~</p><p>.\</p><p>!.li.</p><p>1</p><p>í</p><p>.\</p><p>I</p><p>~</p><p>f :',:.:[</p><p>,:"1</p><p>a) Qual é a amplitude da função representada no gráfico?</p><p>b) Qual é o período da função representada no gráfico?</p><p>c) Qual é a expressão y=y(x) da função representada no gráfico?</p><p>" ,~1:~·";:'.õ;7":•• .;. ~(.'_'.':H.l"';:;:;\',:::";'</p><p>':,~ ;,r.1~lU";; .';n': ;-;':"'\~l.. ;;:.I.·~·~::-(.,~~~",~:;":~;":'~1·:,;rn;Ç.l"~'</p><p>--</p><p>~'~i'!\"M~<.m.lI'{('Z"~lv.\·:tü."'I!l"!r. ••"rnR1Imo'''':!i-~mmlRU1~~LI~ti~W;'''..l.~1<;\~nY"!..:~-:;~~ .•<>!:",y.•,,:';':O;:::":~"'.::'.</p><p>3. Considere os gráficos ilustrados a seguir.</p><p>I</p><p>~</p><p>e</p><p>"Ij!'</p><p>l</p><p>5</p><p>"'?'</p><p>~(</p><p>Ei</p><p>i</p><p>-:'!</p><p>. ,</p><p>i</p><p>j</p><p>.. i:</p><p>x</p><p>Pedem-se:</p><p>a) as funções y1 (x) e y2(x) relacionadas com os gráficos aCI· •</p><p>I y*). jY2(X):: =</p><p>b) o preenchimento da tabela a seguir com os valores eID'; .</p><p>dos períodos de y1 (x) e y2(x).</p><p>l-o</p><p>-Função Amplitude Período</p><p>y1 (x)</p><p>y2(x)</p><p>j</p><p>1</p><p>j</p><p>.J</p><p>~</p><p>::'!o":'~'::;·:.I,·"\.I:.I:~!"1."<:~;:t·:!>:·,,",,~.;:::..·.:,,~ ••;;!~,.:!~:·(,·.::.,;:;.lh,~,.;"!'.r.t;:!t:r:!.õ\~:õlr't:..::;~_.ll,_;,";;,·~·~.·::.;,::;',.J:!;.O:::::.;':_z:•.::'</p><p>I</p><p>,I</p><p>,I</p><p>~</p><p>~</p><p>.J</p><p>I</p><p>:1</p><p>í,</p><p>j</p><p>f:</p><p>'~</p><p>':'1</p><p>.._----------------------_.</p><p>;.·.<·;I:I ••:.~s\.',r.,~·,~l.·•.·ti',!td;,...~X·,;:'~<: •.L!oi;MI~:i.'l:;r'm'M'!!\:;JI'~i!i:au:;.:lT.lr..~""t·:·,;liV.'L~lI,I.ü;~;·I_'.:t".f.J •.;"I;r.:r"',;.<;.; •.,l~';;.:~.':.ü/;,·,::."!,'i.!:l.·.:.r.li;'lo~St.;:. ••.~'I\~I:_,:,d~I·;!lI.'ül..••?.!.·;~•.;::b.!/'~;I~;~ •••:1~••~'W,;;:;'!:O.•'1.\'••••~~~_~E••I;>;I.1iIi•.w</p><p>'J</p><p>;.j 6. Considere os gráficos ilustrados a seguir.</p><p>:,</p><p>rJ,Wl:m;!ltt~a~~U1.luJtt~.!1IR~\(t""'I'.11Ie.a,:l'lI.!~I':iIa";Jl/I..rr.l:o..:1'ttI1tlll.'1!;'IIU~i':~lwli'Nirto:\!e.l'l:"I!':i.~~;..~t;l::;.~:!;:-.:':,.". , .•..</p><p>7. Considere os gráficos ilustrados a seguir.</p><p>I</p><p>~1</p><p>a</p><p>i"\</p><p>-.!</p><p>r}</p><p>:J</p><p>ilill;</p><p>I-rfJwç'-"---""-"--1-j--""'w>; ~</p><p>,:._-....-.\ .----..-..--0;5-1--I--:J"-------\-----·-·--~·</p><p>.;</p><p>I</p><p>I--Y11--y2</p><p>,li</p><p>>- 'I,</p><p>,'1,</p><p>:;1•••.</p><p>ij •.:R..f!</p><p>('</p><p>;'i</p><p>Il x------_ .._._----_._---_ . ------------------~I</p><p>Pedem-se:</p><p>a) as funções y1(x) e y2(x) relacionadas com os gráficos acima:</p><p>ti</p><p>;</p><p>y1(x)", ~</p><p>y2(x) '"_._ .._-----</p><p>b) o preenchimento da tabela a seguir com os valores das amplitudes e</p><p>dos períodos de y1 (x) e y2(x).</p><p>Função Amplitude Período</p><p>y1 (x)</p><p>-</p><p>y2(x)</p><p>.__ ..•~</p><p>....." .J. 3-.0. . .,..-"~ "0 v:,i!. ,. ·tl u;.:•..:J.I!.:;:;:\;,.•.•.::.f...;.'.;. ',~ ~~_:··';d~.~;: .;••..:,_.:j.;;: ..</p><p>>-</p><p>d:·.</p><p>x</p><p>Pedem-se:</p><p>a) as funções y1 (x), y2(x) e y3(x) relacionadas com os qr-af!( ...</p><p>y1(x) '"</p><p>y2(x) =</p><p>y3(x) '"</p><p>I</p><p>b) o preenchimento da tabela a seguir com os valores <:)",:_.</p><p>dos períodos de y1 (x), y2(x) e y3(x).</p><p>Função</p><p>.....•.. - ...•.-..</p><p>Amplitude Período</p><p>_ ..,... ...__ .~..</p><p>y1 (x)</p><p>..._--</p><p>y2(x)</p><p><-----.~-.......</p><p>y3(x)</p><p>.._- .......</p><p>".\</p><p>ttD.y;~;i~i~;~~tH~;;i~~);;;_;,~ii;~s~:;~~i~Ji;,,;~i~;f;;!;,;~~';{i;;\,:,:,,','.-'</p><p>!</p><p>JI</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>o gráfico de y1 =2x mostra uma função crescente que "cruza" o eixo</p><p>vertical em y=1 (pois 2°=1),</p><p>Caso 2: 0<a<1 (exemplo: y2:::O,5X</p><p>).</p><p>A figura 8.2 ilustra o gráfico de y2:::0,Sx.</p><p>Fig. 8.2: Gráfico de y2=O,Sx.</p><p>o gráfico de y2=O,5x mostra lima função decrescente que "cruza" o eixo</p><p>vertical em y=1 (pois 0,5°=1)</p><p>"!!WIi,W'</p><p>I~\',.</p><p>I</p><p>I</p><p>I,</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>2. Função exponencial de base e.</p><p>A função exponencial de base e é dada por: y:::ex, onde e " .</p><p>neperiano (número irracional que vale aproximadamente 2.7~'</p><p>Ou seja, é uma função crescente e que "corta" o eixo y l';I.~</p><p>eO=1). O domínio da função y=ex é o conjunto de todos o!': !lI;)"</p><p>e a imagem é o conjunto dos números maiores que zero.</p><p>Atribua valores nas células da coluna A, desde a linha 2 <'I!o'</p><p>inserindo a fórmula =EXP(A2) na célula 82 e copie a fórmula .:1",</p><p>812, segundo indicado na figura 8.3.</p><p>y</p><p>=EXP(A2)</p><p>I II i'-i "</p><p>r</p><p>Fig. 8.3: Tabela associada com a função y=r:J"</p><p>Como resultado, temos os pares de valores exibidos na fiqUiCo</p><p>125</p><p>124</p><p>I</p><p>----,.~ --</p><p>I:</p><p>;,</p><p>!</p><p>i</p><p>r</p><p>I</p><p>I</p><p>1</p><p>,1</p><p>II</p><p>11\</p><p>,1:</p><p>'u'</p><p>~.1</p><p>I</p><p>1</p><p>!</p><p>1</p><p>De maneira análoga à apresentada, é possfvel construir "variações" da</p><p>função y=e', A tabela a seguir indica alguns exemplos de "variações" e as</p><p>fórmulas que devem ser inseridas na célula 82 da figura 8.3.</p><p>Função Fórmula</p><p>y=2.e' 82=2*EXP(A2)</p><p>y=-5,ex 82=-5*EXP(A2)</p><p>y=?x 82=EXP(3* A2)</p><p>y=e-4X B2=EXP(-4*A2)</p><p>y=0,3,ex 82=0,3* EXP(A2)</p><p>y=7.e'"x B2=7*EXP(3*A2)</p><p>y=4 + eX 82=4+EXP(A2)</p><p>Comentário:</p><p>Uma função logarítmica de grande interesse para diversas para a Física e</p><p>para a Engenharia é a função logaritmo neperiano. indicada por: y=lnx,</p><p>Esta função é a inversa de y=ex, ou seja, seu gráfico é simétrico ao da</p><p>exponencial de base e em relação à reta y=x (vide figura 8.6). No Excel,</p><p>atribuindo valor à célula A2. por exemplo, o logaritmo neperiano de A2</p><p>será calculado em 82 pela fórmula: =LN(A2). Nessa fórmula, A2 é</p><p>denominado de argumento da função e. no caso da função logarítmica,</p><p>deve ser um número maior do que zero,</p><p>"-I)ll:</p><p>i</p><p>I</p><p>j</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>i</p><p>\: I</p><p>L</p><p>I</p><p>I</p><p>Fig. 8.6: Gráficos de yi =ex, y2=x e y3=lm,</p><p>\_1_l18</p><p>129</p><p>m~.'~'Idffl't~liiI!J1,""1aó'J!l~~"'}.~~J:!h~mk'aJ&.1ii~'i.ii.iiil~i!I.._WtlI'ltl\l!.l!iill'llllll1tIDJ!llmIl"""",_, .</p><p>'~'z~,M:t,~:r;\~~il'li!i:il·~W'"'lf,t~r~\W.w.!<I'!;\\"l'l&I'~\~INIIMM!I".nl!I.~!IW"fJl'lNi2!li!tl1!Jlí![\_mli=a1~:0i1~G~I&i~ú!7"..mgd:!'J.l.'P~~'~:</p><p>"'l""<o",~",,,rn,,,,,"",,,,,,,",,,,.,-,,,",,,,.,rm,.,-"",,,,,,",,,,m,,,,=",,,m'-'''''1i·,,:r.·"·L~"·Jl''''''''"'''·'</p><p>:.i •</p><p>j,j</p><p>;~</p><p>1!</p><p>;!',</p><p>II</p><p>li</p><p>;::'-:·.1,>~~.i</p><p>'í</p><p>jl</p><p>f</p><p>I,</p><p>,</p><p>~</p><p>'i</p><p>-.'....i</p><p>..</p><p>~;~</p><p>,</p><p>...•</p><p>-.;:"j</p><p>'~i_ -------..-.--..-.='...,.",<~.,.'''''".ill''''''I'.~l,tllil!,<\lIit~.t;i,\íti'\lr.wlf.~!•.ij%~a.'i\\f;",;i"(",</p><p>.j r-'t..'t!rn:·~~~AZlI)'l~t~!!.Pro:::r.z:tg;:r.z~'W'~:':!2:1J~~I7J~l'6t(l't:!~"'.:TiIM""tõ.~::'r.'i:~:::~c·::~, ..w••:.~., :.t",","'!.:,.!</p><p>li! II t'I·i l'</p><p>"I 1!</p><p>li r)</p><p>I (1</p><p>j ~</p><p>~ 1.1</p><p>J ~j</p><p>(i. P,</p><p>í ~</p><p>II ~</p><p>11 ~,') ~</p><p>! I</p><p>I'! !~.l</p><p>I J</p><p>\ ;!</p><p>l</p><p>i ~</p><p>i 1</p><p>,.i ~</p><p>:1' ~":::-. ~</p><p>I '. ~l</p><p>'I", n</p><p>.: j ~i</p><p>1 , ill</p><p>: ! 0, f</p><p>, " ": ! li</p><p>1 : fi</p><p>1 I' I~</p><p>: ]11j</p><p>'i I'i ,</p><p>1:11 I</p><p>1</p><p>i</p><p>",.,</p><p>,.:',</p><p>:1,</p><p>",_c,,_;,-",';".""'--.""'''''''''~' "" ..•.-..••.... ".",.;".""" ..~.,, rs-;•• .:--,;"~""" .. '" .,""- , .... ",--, ">J~.~</p><p>--.----1----1---24--1---1---.---</p><p>-_·--I--I~I-,--I--I--</p><p>--·--·---1---48-1--.--._-</p><p>I----l---I----I--,&-I-,-I~--</p><p>---·--_·_---·--1-<1-1---1---1--</p><p>--·--------.-1-2-1--·---1---1----1</p><p>---·---·------·--6-·---·---·---</p><p>--."--1---1--&-1--1--1--</p><p>--·--·---,--+-i--I---I---I</p><p>·3., -2 ·1</p><p>L- . I</p><p>2. Considere a tabela a seguir, extraída de uma planilha eletrônica.</p><p>-4</p><p>- -:::-t-I-t-t-+-f-I</p><p>- I-?O~</p><p>-- 1·60</p><p>1<50</p><p>1--1----..,1---1,1-40</p><p>I--+-~f---l+fo</p><p>1--1---+--'1-1'0-</p><p>-- 1-1"</p><p>>- 1- -,1.00-</p><p>o</p><p>--8</p><p>--- - 10- -f-- -+-- -f--</p><p>1--+-1--1-66 I</p><p>1-4-~-~·~o I</p><p>- o</p><p>I--+--f-~.~o 1</p><p>1- 0'- ,</p><p>I Iil I</p><p>·4 ·3 ·2 -1 6</p><p>v</p><p>=O.5·EXP(A2)</p><p>-3</p><p>-2</p><p>·1</p><p>fi</p><p>',!Hb~</p><p>,""1J(</p><p>~1jji</p><p>t;ft;</p><p>·1</p><p>'1</p><p>Pedem-se:</p><p>a) a equação da função y=y(x) relacionada com a tabela acima;</p><p>b) o preenchimento da tabela com os valores obtidos pela cópia da</p><p>fórmula inserida na célula 82 até a célula 814;</p><p>c) o esboço do gráfico de y=y(x) no sistema de eixos ilustrado a seguir.</p><p>;{</p><p>;~</p><p>~':",;" .I</p><p>132</p><p>~:~;;.~;~;~~~~;,;~~:~~~~;~~:~~~·~~~~.:;i;}:</p>