TRABALHO 02 3o ano RESOLVIDO

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<p>TRABALHO 02/40 - 2º. quadrimestre</p><p>3º ANO – ENSINO MÉDIO nota: _____</p><p>Conteúdos: _ Método de descartes</p><p>Relação de Girard</p><p>Dispositivo de Briot-Ruffini</p><p>Teorema de D’Alembert</p><p>1º.) Vale 0,05 - 01. (UFG-GO) Na divisão do polinômio</p><p>P(x) = ax3 + bx2 + cx + d pelo polinômio D(x) = x2 + 1 encontra-se para</p><p>quociente o polinômio Q(x) = 2x – 1 e para resto o polinômio R(x) = – x + 1.</p><p>Então, P(x) é o polinômio:</p><p>a) x3 – x2 + x + 1</p><p>b) 2x3 – x2 + 1</p><p>c) 2x3 – x2 – x + 1</p><p>d) 2x3 – x2 + x</p><p>Resolução</p><p>ax3 + bx2 + cx + d = (2x – 1)(x2 + 1) + (–x + 1)</p><p>ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 + 2x – x2 – 1 – x + 1</p><p>ax3 + bx2 + cx + d = 2x3 – x2 + x</p><p>Logo: Portanto, P(x) = 2x3 – x2 + x</p><p>2º.) Vale 0,05 - 1o) Calcular o resto da divisão de</p><p>P(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 por x – 2.</p><p>Resolução</p><p>r = P(2) = 16 – 3 · 4 + 2 · 2 – 1</p><p>Assim, r = 7</p><p>2o) Calcular o resto da divisão de</p><p>P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2</p><p>Resolução</p><p>x + 2 = x – (–2)</p><p>Então: r = P(–2)</p><p>r = (–2)4 + 2 (–2)3 + 3(–2)2 – 6</p><p>r = 6</p><p>Teorema de D’Alembert</p><p>Para que um polinômio seja divisível por (x – a), é preciso que o resto seja</p><p>igual a zero, ou seja, P(a) = 0</p><p>Essa propriedade é conhecida como teorema de D’Alembert, [Jean Le</p><p>Rond D’Alembert (1717-1783)]</p><p>NOME: ____________________________________</p><p>Prof.______ ____ DATA: _________ NOTA____/0,75</p><p>Determine k para que o polinômio</p><p>P(x) = kx3 + 2x2 + 4 x – 2 seja divisível por (x + 3).</p><p>Resolução</p><p>Devemos ter: P(–3) = 0</p><p>Assim:</p><p>k (–3)3 + 2 (–3)2 + 4 (–3) –2 = 0</p><p>Então K =</p><p>Algoritmo de Briot-Ruffini</p><p>Dividindo um polinômio</p><p>P(x) = anxn + an–1xn–1 +...+ a2x2 + a1x + a0 pelo binômio (x – a), o quociente</p><p>será um polinômio</p><p>Q(x)= qn–1xn–1 + qn–2xn–2 +...+ q2x2 + q1x + q; tal que:</p><p>P(x) (x – a) · Q (x) + r</p><p>Assim:</p><p>anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0</p><p>(x – a)(qn–1xn–1 + qn–2xn–2 + ... + q2x2 + q1x + q0)</p><p>Ou então:</p><p>anxn + anxn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0</p><p>qn–1xn + (qn-2 – aqn – 1)xn – 1 + ...+</p><p>+(q1 – aq2)x2 + (q0 – aq1)x + r – aq0</p><p>E, daí, obtemos:</p><p>qn – 1 = an</p><p>qn – 2 – aqn–1 = an–1 qn–2 = aqn–1 + an–1</p><p>..............................................................................</p><p>q1 – aq2 = a2 q1 = aq2 + a2</p><p>q0 – aq1 = a1 q0 = aq1 + a1</p><p>r – aq0 = q0 r = aq0 + a0</p><p>Esses cálculos podem ser efetuados aplicando-se o seguinte esquema,</p><p>conhecido como dispositivo de Briot-Ruffini.</p><p>1o) Calcular o quociente e o resto da divisão de</p><p>3x3 – 2x2 + 5x – 7 por x – 2</p><p>Assim: Q(x) = 3x2 + 4x + 13 e R(x) = 19</p><p>2o) Dividir P(x) = 3x4 + 8x3 – 20x – 21 por (x + 1)</p><p>Resolução</p><p>3o) Dado P(x) = 5 x4 – 9x3 +2x2 – 5x – 11, calcular P(3).</p><p>Resolução</p><p>Como P(3) é o resto na divisão de P(x) por (x – 3), temos:</p><p>Assim, P(3) = 154</p><p>4o) Determine k para que P(x) = x5 + x2 + kx – 5 seja divisível por x – 2.</p><p>Resolução</p><p>Devemos ter resto = 0 na divisão de P(x) por (x – 2). Então:</p><p>Como o resto é zero, então:</p><p>31 + 2k = 0 k = – = -15,5</p><p>K = -15,5</p><p>• Briot-Ruffini para o binômio ax + b (a 0, b 0 e a 1)</p><p>P(x) = (ax + b) · Q (x) + r</p><p>P(x) = a · Q(x) + r</p><p>P(x) = · aQ(x) + r</p><p>Fazendo Q1(x) = a · Q(x), temos:</p><p>P(x) = · Q1(x) + r</p><p>Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para , obtemos Q1(x) e r, em</p><p>que r também é o resto na divisão por (ax + b) e · Q1(x) é o quociente na</p><p>divisão por (ax + b)</p><p>01. Efetuar, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, a divisão do</p><p>polinômio P(x) = 2x4 + 4x3– 7x2+12 por D(x) = (x – 1).</p><p>Resolução</p><p>Assim, temos:</p><p>Quociente: Q(x) = 2x3 + 6x2 – x – 1</p><p>Resto: R(x) = 11</p><p>02. Obter o quociente e o resto da divisão de</p><p>P(x) = 2x5 – x3 – 4x + 6 por (x + 2).</p><p>Resolução</p><p>Assim, temos:</p><p>Quociente: Q(x) = 2x4 – 4x3 + 7x2 – 14x + 24</p><p>Resto: R(x) = – 42</p><p>03. Qual o resto da divisão de P(x) = x40 – x – 1 por</p><p>(x–1)?</p><p>Resolução</p><p>R = P(1) = 140 – 1 – 1 = –1</p><p>04. (PUC-MG 2001) O polinômio</p><p>P(x) = x4 – kx3 + 5x2 + 5x + 2k é divisível por x – 1. Então, o valor de k é:</p><p>a) –11</p><p>b) –1/3</p><p>c) 1/5</p><p>d) 9</p><p>Resolução</p><p>P(x) = x4 – kx3 + 5x2 + 5x + 2k</p><p>P(x) divisível por (x – 1): P(1) = 0</p><p>14 – k · 13 + 5 · 12 + 5 · 1 + 2k = 0</p><p>1– k + 5 + 5 + 2k = 0</p><p>k = –11</p><p>Resposta: A</p><p>Divisão pelo Produto</p><p>(x – a) · (x – b)</p><p>Consideremos um polinômio P(x) com grau maior ou igual a dois, que,</p><p>dividido por (x – a) e por (x – b) apresenta restos iguais a r1 e r2,</p><p>respectivamente.</p><p>Vamos calcular o resto na divisão de P(x) por</p><p>(x – a) · (x – b).</p><p>Como os restos na divisão de P(x) por (x – a) e por (x – b) são r1 e r2 ,</p><p>respectivamente, temos:</p><p>P(a) = r1 e P(b) = r2</p><p>O resto na divisão de P(x) por (x – a) · (x – b) é um polinômio R(x) = mx +</p><p>n de grau no máximo igual a 1, já que o divisor tem grau 2. Assim:</p><p>P(x) = (x – a) · (x – b) · Q(x) + mx + n</p><p>Como P(a) = r1 e P(b) = r2, temos:</p><p>P(a) = (a – a) (a – b) · Q(a) + m · a + n = r1</p><p>P(b) = (b – a) (b – b) · Q(b) + m · b + n = r2</p><p>Resolvendo o sistema</p><p>encontramos</p><p>Assim:</p><p>Observações</p><p>1a) Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b), temos:</p><p>P(a) = 0 r1 = 0</p><p>P(b) = 0 r2 = 0</p><p>Então, R(x)=</p><p>ou seja: R(x) = 0</p><p>Assim, P(x) é divisível por (x – a) · (x – b)</p><p>2a) Do mesmo modo, podemos provar que, se P(x) é</p><p>divisível por n fatores distintos (x – a1), (x – a2) ,..., (x – an), então P(x) é</p><p>divisível pelo produto</p><p>(x – a1) · (x – a2), ... (x – an).</p><p>Exemplos</p><p>1o) Verificar se o polinômio P(x) = x3 – 4x2 + 4x – 1 é divisível por B(x) =</p><p>x2 – 1</p><p>Resolução</p><p>Sabemos que B(x) = x2 – 1 = (x + 1)(x – 1); para que P(x) seja divisível por</p><p>B(x) é necessário que P(x) seja divisível por (x + 1) e por (x – 1);</p><p>então devemos ter P(1) = 0 e P(–1) = 0.</p><p>P(1) = 13 – 4 · 12 + 4 · 1 – 1 = 0</p><p>P(x) divisível por (x – 1)</p><p>P(–1) = (–1)3 – 4 · (–1)2 + 4 (–1) –1</p><p>P(–1) = –10</p><p>P(x) não é divisível por (x + 1).</p><p>Logo, P(x) não é divisível por B(x).</p><p>2o) Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)</p><p>· (x – 2).</p><p>Resolução</p><p>P(x) deve ser divisível por (x – 1) e por (x – 2). Então:</p><p>P(1) = 13 + 2 · 12 + a · 1 + b = 0</p><p>a + b = –3</p><p>P(2) = 23 + 2 · 22 + a · 2 + b = 0</p><p>2a + b = –16</p><p>Resolvendo o sistema</p><p>encontramos a = – 13 e b = 10</p><p>3o) Se um polinômio P(x) dividido por (x – 1) dá resto 2 e dividido por (x –</p><p>2) dá resto 1, qual é o resto na divisão de P(x) pelo produto (x — 1) · (x – 2)?</p><p>Resolução</p><p>P(1) = 2 e P(2) = 1</p><p>O resto na divisão de P(x) por (x – 1) · (x – 2) é um polinômio R(x) = ax +</p><p>b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1.</p><p>Assim:</p><p>P(x) = (x – 1) · (x – 2) · Q(x) + ax + b</p><p>P(1) = (1 – 1) (1 – 2) · Q(1) + a · 1 + b = 2</p><p>a + b = 2</p><p>P(2) = (2 – 1) (2 – 2) · Q(2) + a · 2 + b = 1</p><p>2a + b = 1</p><p>Resolvendo o sistema</p><p>encontramos a = – 1 e b = 3.</p><p>Assim: R(x) = –x + 3.</p><p>03. Se P(x) = 2x3 + ax + b, P(2) = 12 e P(–2) = 8, então, P(1) é:</p><p>a) 1 d) 4</p><p>b) 2 e) 5</p><p>c) 3</p><p>Resolução</p><p>P(2) = 2 · 23 + a · 2 + b = 12</p><p>2a + b = – 4 ...................(1)</p><p>P(–2) = 2 · (–2)3 + a · (–2) + b = 8</p><p>–2a + b = 24 ........(2)</p><p>De (1) e (2) temos a = –7 e b = 10. Assim,</p><p>P(x) = 2x3 – 7x + 10.</p><p>Portanto, P(1) = 2 · 13 – 7 · 1 + 10 = 5</p><p>Resposta: E</p>