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<p>Universidade Federal de Ouro Preto</p><p>Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas</p><p>Departamento de Engenharia Elétrica</p><p>Trabalho de Conclusão de Curso</p><p>Análise de Dinâmica Não Linear e</p><p>Caracterização de Caos: Um Estudo sobre um</p><p>Sistema Unificado</p><p>William César Viana</p><p>João Monlevade, MG</p><p>2018</p><p>William César Viana</p><p>Análise de Dinâmica Não Linear e</p><p>Caracterização de Caos: Um Estudo sobre um</p><p>Sistema Unificado</p><p>Trabalho de Conclusão de curso apresentado à Universi-</p><p>dade Federal de Ouro Preto como parte dos requisitos</p><p>para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Elé-</p><p>trica pelo Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas da</p><p>Universidade Federal de Ouro Preto.</p><p>Orientador: Prof. MSca. Anny Verly</p><p>Coorientador: Prof. Dr. Diego da Silva Barros</p><p>Universidade Federal de Ouro Preto</p><p>João Monlevade</p><p>2018</p><p>Catalogação: ficha.sisbin@ufop.edu.br</p><p>V614a Viana, William César.</p><p>Análise de dinâmica não linear e caracterização de caos [manuscrito]: um</p><p>estudo sobre um sistema unificado / William César Viana. - 2018.</p><p>86f.: il.: color; grafs.</p><p>Orientadora: Profª. MScª. Anny Verly.</p><p>Coorientador: Prof. Dr. Diego da Silva Barros.</p><p>Monografia (Graduação). Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de</p><p>Ciências Exatas e Aplicadas. Departamento de Engenharia Elétrica.</p><p>1. Engenharia Elétrica. 2. Sistemas dinâmicos diferenciais. 3. Modelos</p><p>matemáticos. 4. Comportamento caótico nos sistemas. I. Verly, Anny. II.</p><p>Barros, Diego da Silva. III. Universidade Federal de Ouro Preto. IV. Titulo.</p><p>CDU: 621.3</p><p>"Algumas regras para a vida: - Questione a autoridade. - Nenhuma ideia é verdadeira só</p><p>porque alguém diz que é, incluindo eu. - Pense por si próprio, questione a si próprio. - Não</p><p>acredite em algo só porque quer acreditar, acreditar em algo não o torna verdadeiro. - Teste</p><p>ideias pelas evidencias adquiridas, pela observação e experimentação. - Se uma ideia</p><p>prevalecente falhar num teste bem desenvolvido, esta errada. Supere. - Siga as evidências onde</p><p>quer que elas levem, se não houver evidências, evite julgamento. E talvez a regra mais</p><p>importante de todas: - Lembre-se, você pode estar errado."</p><p>– Neil deGrasse Tyson, Série Cosmos.</p><p>Resumo</p><p>Modelos matemáticos de sistemas dinâmicos não lineares permitem descrever e predizer</p><p>características do comportamento de uma infinidade de fenômenos aplicados em diversas</p><p>áreas do conhecimento científico. O que se entende atualmente por caos nada mais é do que</p><p>um comportamento não linear rico em informações dinâmicas e com várias características</p><p>próprias e universais. Neste trabalho são empregadas ferramentas matemáticas e computa-</p><p>cionais embasadas em conceitos da análise de sistemas não lineares que são aplicadas no</p><p>estudo de quatro sistemas caóticos: Sistema de Lorenz, Chen, Lü e Sistema Unificado. Como</p><p>resultado, descreve-se os comportamentos que tais sistemas apresentam em diferentes valo-</p><p>res de seus parâmetros variáveis. Análises gráficas a partir das Seções de Poincaré, Diagramas</p><p>de Bifurcações e dos Expoentes de Lyapunov permitem identificar características próprias das</p><p>dinâmicas caóticas de tais sistemas. Ademais, a análise da dinâmica caótica de tais sistemas é</p><p>estendida a um circuito eletrônico que emula tais comportamentos. O modelo não linear que</p><p>descreve o circuito é levantado no processo de modelagem por leis físicas e investigado em</p><p>simulações numéricas.</p><p>Palavras-chave: Caos, Sistemas Dinâmicos, Não Lineares, Sistema de Lorenz, Sistema de</p><p>Chen, Sistema de Lü, Sistema Caótico Unificado.</p><p>Abstract</p><p>Mathematical models of nonlinear dynamic systems allow to describe and predict the be-</p><p>havior of many phenomena applied in several areas of scientific knowledge. What is under-</p><p>stood today by chaos is nothing more than a nonlinear behavior rich in dynamic information</p><p>and with its own and universal characteristics. In this work we used mathematical and com-</p><p>putational tools based on concepts of the analysis of nonlinear systems that are applied in the</p><p>study of four chaotic systems: Lorenz System, Chen, Lü and Unified System. As a result, the</p><p>behaviors that these systems present in different values of their variable parameters are de-</p><p>scribed. Graphical analyzes from the Poincaré Sections, Bifurcation Diagrams and Lyapunov</p><p>Exponents allow us to identify characteristics of the chaotic dynamics of such systems. In</p><p>addition, the analysis of the chaotic dynamics of such systems is extended to an electronic</p><p>circuit that emulates such behaviors. The nonlinear model that describes the circuit is raised</p><p>in the process of modeling by physical laws and investigated in numerical simulations.</p><p>Keywords: Chaos, Dynamical Systems, Nonlinear Systems, Lorenz System, Chen System, Lü</p><p>System, Unified Chaotic System.</p><p>Lista de Ilustrações</p><p>Figura 1 – Campo de velocidade f(x) (−→) e trajetórias X(t) e Y(t) (−) no espaço de</p><p>estados tridimensional com diferentes condições iniciais em t = t0. . . . . 9</p><p>Figura 2 – Ponto de Equilíbrio: (a) Estável no sentido de Lyapunov; (b) Assintotica-</p><p>mente estável; (c) e (d) Instável no sentido de Lyapunov com trajetória que</p><p>tende ao ponto quando t →∞. Fonte: Zhang, Liu e Wang (2009), Wiggins</p><p>(2003). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>Figura 3 – Formato geométricos das soluções e classificação dos pontos de equilíbrio</p><p>de um sistema bidimensional em função de τ,∆ e D . Fonte: Villate (2005). 13</p><p>Figura 4 – Trajetória das soluções P (t ) e Q(t ) iniciadas em diferentes pontos nas pro-</p><p>ximidades das variedades invariantes de um ponto de sela. . . . . . . . . . 15</p><p>Figura 5 – Variedades e subespaços estáveis e instáveis em R3. Fonte: Zhang, Liu e</p><p>Wang (2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>Figura 6 – Campo vetorial no limite de U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>Figura 7 – Representação de uma curva de nível definida pela função de Lyapunv e as</p><p>possibilidades de projeções de f em ∇V . Fonte: SAVI (2006) . . . . . . . . . 19</p><p>Figura 8 – Ponto de equilíbrio como ponto ω-limite e α-limite. . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>Figura 9 – Ciclo limite com ponto ω-limite . Fonte: SAVI (2006) . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>Figura 10 – Bacias de Atração distintas identificadas pelas regiões A (branca) e B (ha-</p><p>churada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>Figura 11 – Ciclo Limite: (a) Assintoticamente estável; (b) Instável; (c) Semi-estável.</p><p>Fonte: Layek (2015). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>Figura 12 – Diagrama de bifurcação do sistema de Lorenz para σ= 10,r = 28 e 0 < b < 1. 27</p><p>Figura 13 – Trajetória periódica tridimensional e a seção de Poincaré. . . . . . . . . . . 28</p><p>Figura 14 – Representação geométrica dos expoentes de Lyapunov. Fonte: Adaptado de</p><p>SAVI (2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>Figura 15 – Exemplificação de uma célula de Rayleigh-Bérnard. Fonte: adaptado de</p><p>Layek (2015). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>Figura 16 – Atrator tridimensional, projeções bidimensionais e série temporal das so-</p><p>luções (x(t), y(t), z(t)) do sistema de Lorenz para σ = 10,b = 8</p><p>3 e r = 28</p><p>com pontos de equilíbrio P0 = (0,0,0) e P± = (±8,48;±8,48;27). Condições</p><p>iniciais (x(0), y(0), z(0)) = (1,1,1) e 0 < t < 30 segundos. . . . . . . . . . . . . 34</p><p>Figura 17 – Atrator de Lorenz (r = 28,σ= 10,b = 8/3): (a) Comutação Irregular. Con-</p><p>dições iniciais x(0) = y(0) = z(0) = 0,001 e 0 < t < 50s. (b) Base de atração</p><p>para duas condições iniciais, x(0) = y(0) = z(0) = 0,001 e x̄(0) = ȳ(0) =</p><p>0,001, z̄(0) = 50 com 0 < t < 50 s. (c) Sensibilidade às condições iniciais.</p><p>x(0) = y(0) = z(0) = 0,001 (azul) e x̄(0) = ȳ(0) = z̄ = 0,0011 (vermelho).</p><p>(d) Sensibilidade nos parâmetros.x(0) = y(0) = z(0) = x̄(0) = ȳ(0) = z̄(0) =</p><p>0,001e</p><p>numéricos e métodos analíticos</p><p>aproximados devido à dificuldade em se obter formas analíticas exatas (MONTEIRO, 2006).</p><p>Por meio do conjunto de pontos contidos na seção de Poincaré, é possível identificar</p><p>o comportamento que o sistema dinâmico apresenta. Se o sistema apresenta um comporta-</p><p>mento pontual, essa seção apresenta apenas um ponto. Para um comportamento períodico,</p><p>verifica-se uma quantidade finita de pontos na seção de Poincaré, conforme exemplificado</p><p>na Figura 13. Já em uma dinâmica caótica, verifica-se uma elevada quantidade de pontos,</p><p>espalhados de forma limitada e irregular no plano. Ressalta-se que é preciso ter cuidado</p><p>ao se escolher a seção de Poincaré. Uma escolha inapropriada da seção pode refletir no</p><p>aparecimento de poucos pontos quando na verdade poderão existir muito mais.</p><p>2.10 Expoentes de Lyapunov</p><p>Os expoentes característicos de Lyapunov são medidas assintóticas da taxa de con-</p><p>vergência/divergência de trajetórias próximas em diferentes direções no espaço de estados</p><p>(LAKSHMANAN; RAJASEEKAR, 2012; SAVI, 2006). Tais expoentes demonstram a extensão da</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 28</p><p>Figura 13 – Trajetória periódica tridimensional e a seção de Poincaré.</p><p>sensibilidade do sistema às condições iniciais. O valor do máximo expoente é um indicador</p><p>da natureza caótica ou regular das órbitas enquanto todo o espectro dos expoentes está</p><p>relacionado a entropia definida por Kolmogorov-Sinai (UPADHYAY; IYENGAR, 2013).</p><p>As equações apresentadas a seguir podem ser encontradas em (LAKSHMANAN; RAJA-</p><p>SEEKAR, 2012). Para definição dos expoentes, considere uma trajetória X(t ) = (x1(t ), x2(t ), . . . , xn(t ))</p><p>do sistema dinâmico. Tomando duas trajetórias em um espaço de fases n-dimensional inicia-</p><p>das com condições iniciais próximas X0 e X′</p><p>0 = X0 +δX0, sua norma Euclidiana é então</p><p>d(X0, t ) = ‖δX(X0, t )‖ =</p><p>√</p><p>δx2</p><p>1 +δx2</p><p>2 +·· ·+δx2</p><p>n , (2.31)</p><p>em que d(X0, t) é a distância entres as trajetórias X(t) e X′(t). A evolução temporal de δX é</p><p>encontrada a partir da linearização</p><p>δẊ = M(X(t )).δX, (2.32)</p><p>sendo M = ∂F/∂X|X=X0 a matriz jacobiana de F. A taxa média de divergência de duas trajetórias</p><p>próximas, definida como expoente de Lyapunov, é dado por</p><p>λ(X0,δX) = lim</p><p>t→∞</p><p>1</p><p>t</p><p>log</p><p>(</p><p>d(X0,t )</p><p>d(X0,0)</p><p>)</p><p>. (2.33)</p><p>Considerando que há n-vetores ortonormais vi de δX, para i = 1,2, . . . ,n, de modo que pode</p><p>ser escrita a seguinte relação</p><p>δv̇i = M(X0)vi , M = di ag (λ1,λ2, . . . ,λn), (2.34)</p><p>Há então n-expoentes de Lyapunov dados por</p><p>λi (X0) =λi (X0,vi ), (2.35)</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 29</p><p>que são ordenados em λ1 ≥ λ2 ≥ ·· · ≥ λn , sendo n a dimensão do sistema. Combinando as</p><p>Equações (2.33) e (2.35), chega-se a seguinte expressão</p><p>di (X0, t ) ≈ di (X0,0)eλi t . (2.36)</p><p>Conforme SAVI (2006), ao se avaliar os expoentes de Lyapunov descreve-se geometri-</p><p>camente como uma hiper-esfera se deforma em um elipsóide a medida que o tempo aumenta,</p><p>sendo esse efeito exemplificado na Figura 14. Em outras palavras, os expoentes de Lyapunov</p><p>avaliam a evolução no tempo dos eixos de um esfera d0 = di (X0,0) suficientemente pequena</p><p>de estados do sistema dinâmico.</p><p>Figura 14 – Representação geométrica dos expoentes de Lyapunov. Fonte: Adaptado de SAVI</p><p>(2006).</p><p>Se o máximo expoente de Lyapunov λm for negativo ou nulo, a trajetória X′(t) não</p><p>diverge em relação a X(t ). No entanto, se λm for positivo, a trajetória X(t ) diverge exponenci-</p><p>almente da órbita original. A partir dos expoentes de Lyapunov é possível identificar também</p><p>os tipos de atratores encontrados nesses sistemas. Considerando sistemas tridimensionais,</p><p>com expoentes (λ1,λ2,λ3) e seus respectivos sinais algébricos, para (+,0,−) o sistema é possi-</p><p>velmente caótico, para (0,−,−) um ciclo-limite, para (−,−,−) um ponto de equilíbrio e para</p><p>(0,0,−) um toro bidimensional.</p><p>Uma análise realizada a partir dos expoentes de Lyapunov consiste em traçar seus</p><p>valores em função de um ou mais parâmetros de bifurcação. Com esses valores é possível</p><p>identificar quando o comportamento da dinâmica muda e em quais intervalos de valores</p><p>determinada dinâmica se mantêm. Os resultados gráficos obtidos podem ser utilizados</p><p>juntamente ao diagrama de bifurcação para constatar regiões de caos, movimentos periódicos</p><p>e estacionários. Em algumas literaturas o diagrama mencionado é referido com diagrama de</p><p>bifurcação de Lyapunov.</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 30</p><p>2.11 Caos Determinístico</p><p>O caos é um fenômeno com várias particularidades e não é facilmente classificado ou</p><p>identificado. Conforme Lynch (2004), não existe uma definição universalmente aceita para o</p><p>caos, mas as seguintes características são quase sempre exibidas pelas soluções de sistemas</p><p>caóticos (LYNCH, 2004; BUSCARINO; FORTUNA; FRASCA, 2017; VELOSA, 2016):</p><p>• Oscilações aperiódicas das variáveis de estado;</p><p>• Alta sensibilidade às condições iniciais;</p><p>• Alta sensibilidade à alteração de parâmetros;</p><p>• Imprevisibilidade após um tempo relativamente curto;</p><p>• Espectro de frequência contínuo, de banda larga, porém limitado;</p><p>• Estacionaridade,isto é, embora aperiódico, os padrões tendem a se repetir;</p><p>• Presença do atrator estranho.</p><p>Uma dinâmica caótica geralmente exibe todos os comportamentos e características</p><p>listadas acima. Conforme Lynch (2004), é de extrema dificuldade distinguir entre comporta-</p><p>mento aperiódico e comportamento periódico com um período muito longo. Como exemplo,</p><p>é possível que um sistema caótico tenha uma solução periódica com período 10100. A alta</p><p>sensibilidade, ou também a alta dependência, às condições iniciais leva a imprevisibilidade de</p><p>longo prazo. Dois comportamentos dinâmicos originados por condições iniciais ligeiramente</p><p>diferentes divergem exponencialmente com o tempo e dessa forma qualquer tentativa de</p><p>previsão a longo prazo das soluções é comprometida em função de incertezas nas condições</p><p>iniciais.</p><p>Os sistemas caóticos possuem a característica especial de intensificar flutuações no</p><p>nível microscópico exponencialmente, de modo que se tornam visíveis no nível macroscópico</p><p>após um período de tempo finito. A discrepância entre as trajetórias das soluções com condi-</p><p>ções iniciais suficientemente próximas se dá a partir do que é chamado tempo de predição,</p><p>ou horizonte de previsibilidade, que pode ser estimado a partir do máximo expoente de</p><p>Lyapunov (SHIVAMOGGI, 2014). Durante esse tempo é possível fazer previsões do sistema</p><p>com incertas nas condições iniciais, mesmo o sistema sendo caótico.</p><p>O amplo espectro contínuo de frequência apresentado pelos sistemas caóticos se</p><p>deve pela aperiodicidade das soluções dinâmicas e o espectro de potência se assemelha a</p><p>de um ruído branco, cuja intensidade é igual em diferentes frequências. Uma importante</p><p>característica do espectro de frequência em sistemas caóticos é sua limitação em banda, o</p><p>que permite diferenciar um sinal caótico de um sinal periódico e de um sinal estocástico.</p><p>Sinais periódicos apresentam frequência bem definida, enquanto que sinais estocásticos</p><p>apresentam frequências distribuídas ao longo de todo o espectro.</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 31</p><p>Conforme Lü, Chen e Cheng (2004) expõe, para que um sistema apresente um atrator</p><p>caótico, são necessárias as seguintes condições:</p><p>• Possuir pelo menos três variáveis dinâmicas independentes ;</p><p>• Conter termos não lineares que acople várias das variáveis;</p><p>• Ser dissipativo;</p><p>• Instabilidade de todos os pontos de equilíbrio.</p><p>De acordo com Monteiro (2006), somente sistemas tridimensionais ou de ordem</p><p>superior podem apresentar comportamento caótico. Segundo o autor, o espaço tridimen-</p><p>sional é o mínimo espaço suficiente que permite a divergência entre trajetórias, limitação</p><p>das soluções e unicidade da trajetória, ou seja, características de um atrator estranho caótico.</p><p>Conforme Velosa (2016), sistemas de segunda ordem variantes no tempo podem apresentar</p><p>comportamento caótico, no entanto esses podem ser transformados em sistemas</p><p>invariantes</p><p>no tempo com acréscimo de uma variável de estado.</p><p>Apresentadas algumas características exibidas pelo comportamento caótico, neste</p><p>texto será utilizada a seguinte definição de caos:</p><p>Definição 2.11.1 (Caos). Um sistema é caótico se o Máximo Expoente de Lyapunov λm é</p><p>positivo e as soluções limitadas no espaço de estados.</p><p>2.12 Considerações Finais</p><p>Esse capítulo teve como finalidade apresentar ao leitor algumas definições e princí-</p><p>pios básicos que são geralmente empregados na análise de dinâmicos não lineares e caóticos.</p><p>Como não existem soluções analíticas para esses sistemas, a caracterização da dinâmica é</p><p>determinada em grande parte por aspectos qualitativos, como análise local das soluções</p><p>nas proximidades dos pontos de equilíbrio hiperbólicos, imposição da estabilidade pela</p><p>Função de Lyapunov, dissipatividade e convergência das soluções em um atrator. Conceitos</p><p>como Retrato de Fases, Diagrama de Bifurcação, Seção de Poincaré e em especial os Expo-</p><p>entes de Lyapunov serão extremamente úteis nesse texto com respeito a caracterização do</p><p>comportamento caótico a partir de métodos computacionais.</p><p>Vale ressaltar que esses sistemas têm sido estudados sobre diferentes óticas em função</p><p>da complexidade dinâmica que eles apresentam. Neste capítulo tratou-se de apresentar</p><p>as ferramentas que geralmente são utilizadas como ponto de partida para análises mais</p><p>complexas, como exemplo a combinação simultânea de tais ferramentas para determinação</p><p>do caos no espaço formado pelos parâmetros.</p><p>32</p><p>Capı́tulo 3</p><p>Análise dos Sistemas Tipo Lorenz</p><p>3.1 Introdução</p><p>Nesse capítulo são determinadas diversas características dinâmicas dos sistemas</p><p>não lineares sob análise. Como metodologia, primeiramente foi realizado uma análise local</p><p>das soluções nas proximidades dos pontos de equilíbrio a partir dos autovalores da matriz</p><p>Jacobiana. O método de análise pelo sistema linearizado permite determinar a estabilidade e</p><p>as bifurcações locais quando um parâmetro é variado.</p><p>Algumas características globais dos atratores são investigadas pela combinação da</p><p>análise no Retrato de Fases, Diagrama de Bifurcação, Seção de Poincaré e Expoentes de</p><p>Lyapunov. Cada uma dessas ferramentas permite identificar diferentes propriedades dos</p><p>sistemas, como limitação das soluções, aperiodicidade e a sensibilidade às condições iniciais,</p><p>isto é, características do comportamento caótico.</p><p>3.2 Sistema de Lorenz</p><p>De acordo com Hirsch, Smale e Devaney (2012), em 1963 o meteorologista Edward</p><p>Lorenz buscava compreender a dinâmica atmosférica por meio do estudo das soluções</p><p>de equações hidrodinâmicas com intuito de explicar o comportamento imprevisível do</p><p>clima. O modelo introduzido por Lorenz consiste em uma simplificação grosseira de uma</p><p>característica atmosférica conhecida como convecção. Em seu modelo, Lorenz procurou</p><p>descrever o movimento de convecção em uma célula de Rayleigh-Bérnard idealizada, o que</p><p>permitiu reduzir a complexidade de um modelo que envolvia equações diferenciais parciais a</p><p>um modelo descrito apenas por equações diferenciais ordinárias (CROSS, 2000). A formulação</p><p>completa desse modelo com base nos princípios físicos pode ser encontrada em (LAYEK,</p><p>2015; ARGYRIS et al., 2015).</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 33</p><p>Publicado originalmente em Lorenz (1963), seu modelo é descrito por</p><p>ẋ = σ(y −x)</p><p>ẏ = r x −xz − y</p><p>ż = x y −bz,</p><p>(3.1)</p><p>em que (x, y, z) ∈R3 são funções que fisicamente podem ser interpretadas da seguinte forma,</p><p>conforme Argyris et al. (2015) apresenta: x(t) é proporcional a intensidade da convecção,</p><p>y(t) é proporcional a diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendentes e</p><p>descendentes e z(t ) proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical relativo a um</p><p>perfil linear. Os parâmetros (σ,r,b) > 0 representam características físicas reais do sistema,</p><p>cujos valores originalmente abordados por Lorenz foram σ= 10, r = 28 e b = 8/3.</p><p>Figura 15 – Exemplificação de uma célula de Rayleigh-Bérnard. Fonte: adaptado de Layek</p><p>(2015).</p><p>Conforme apresentado em Hirsch, Smale e Devaney (2012), Cross (2000), o parâmetro</p><p>σ é conhecido como número de Prandtl e depende das propriedades do fluidos (para água</p><p>esse valor varia entre 1 e 4, para um gás ideal o valor é aproximadamente 0,7 e para óleos esse</p><p>valor encontra-se entre 10 e 1000). O parâmetro r é conhecido como número de Rayleigh e</p><p>representa a diferença de temperatura entre as paredes fria e quente da célula, sendo este</p><p>utilizado como parâmetro de controle na investigação do movimento convectivo (para r < 1 o</p><p>sistema não possui convecção e para r > 1 soluções interessantes ocorrem, como será tratado</p><p>posteriormente). Por fim, o parâmetro b depende do diâmetro de rolamento na célula e do</p><p>comprimento de onda horizontal, ou seja, características que dependem do tamanho físico</p><p>do sistema.</p><p>As características qualitativas importantes do Sistema de Equações (3.1) de Lorenz</p><p>são:</p><p>• O sistema é completamente autônomo, ou seja, a variável t não aparece explicitamente</p><p>nas equações;</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 34</p><p>• É constituído somente de derivadas de primeira ordem de modo que a evolução de-</p><p>pende apenas do valor instantâneo de (x, y, z);</p><p>• O sistema possui duas não linearidades, representadas pelo produto de xz e x y na</p><p>segunda e terceira equação respectivamente;</p><p>• O sistema é dissipativo;</p><p>• As soluções são limitadas.</p><p>Na Figura 16 são ilustrados os gráficos obtidos em software Wolfram Mathematica,</p><p>resultados da integração numérica do sistema de Lorenz. Em todas as figuras é possível ver a</p><p>posição dos pontos de equilíbrio e a evolução das soluções em torno deles. A escala de cor do</p><p>atrator tridimensional indica os níveis de amplitude da variável dinâmica z(t ).</p><p>Figura 16 – Atrator tridimensional, projeções bidimensionais e série temporal das solu-</p><p>ções (x(t), y(t), z(t)) do sistema de Lorenz para σ = 10,b = 8</p><p>3 e r = 28 com</p><p>pontos de equilíbrio P0 = (0,0,0) e P± = (±8,48;±8,48;27). Condições iniciais</p><p>(x(0), y(0), z(0)) = (1,1,1) e 0 < t < 30 segundos.</p><p>Antes de iniciar a análise matemática do sistema de Lorenz, serão explorados alguns</p><p>aspectos qualitativos observados a partir de gráficos no espaço de estados e das séries tem-</p><p>porais. Para isso será considerado os resultados exibidos na Figura 17. Primeiro chama-se a</p><p>atenção que a estrutura do atrator de Lorenz, que é delimitada no espaço de estados, pode</p><p>apresentar movimentos caóticos e não previsíveis. No atrator da Figura (a) é ilustrada a co-</p><p>mutação irregular das soluções em torno dos pontos de equilíbrio simétricos. Com escala de</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 35</p><p>cor do vermelho ao ciano que varia com a mudança gradativa do tempo, observa-se que não</p><p>há uma escala fixa ou previsível de tempo em que as trajetórias permanecem sob cada base</p><p>de atração, ou seja, as trajetórias saltam de forma irregular entre os dois pontos de equilíbrio</p><p>simétricos. No atrator da Figura (b) é ilustrado o efeito das bases de atração do sistema de</p><p>Lorenz para duas soluções com condições iniciais diferentes na variável z(t). Nessa figura</p><p>é possível observar os efeitos do ponto de sela em torno da origem. Há duas variedades</p><p>estáveis que atraem as soluções e uma variedade instável que as repele. Nas Figuras (c) e (d)</p><p>é explorado o conceito de sensibilidade as condições iniciais e aos parâmetros do sistema,</p><p>respectivamente. Na Figura (c), soluções com condições iniciais suficientemente próximas</p><p>divergem após um determinado tempo, conforme mostra a série temporal de x(t ) na Figura</p><p>(e). Na Figura (d), soluções com mesmas condições iniciais porém com uma mínima variação</p><p>no parâmetro divergem após determinado tempo, conforme a série temporal x(t ) da Figura</p><p>( f ).</p><p>A seguir são apresentados alguns resultados da análise desse sistema com objetivo de</p><p>descrever seu comportamento dinâmico e identificar algumas propriedades relacionadas a</p><p>ele.</p><p>Simetria e Invariância</p><p>O sistema de Lorenz é invariante sob a</p><p>transformação (x, y, z) → (−x,−y, z). Isso é</p><p>verificado invertendo-se todos os sinais das variáveis dinâmicas x e y em (3.1), resultando no</p><p>mesmo sistema de equações originais. Sendo assim, se (x, y, z) são soluções do sistema de</p><p>Lorenz, então (−x,−y, z) também é solução desse sistema. Logo essas soluções são simétricas</p><p>ou tem pares simétricos. Em consequência disso, a projeção das órbitas x e y no plano de</p><p>fases são simétricas em relação a origem. Por essa simetria, é possível que o sistema apresente</p><p>a bifurcação forquilha para as soluções de equilíbrio ou periódicas.</p><p>Outra propriedade desse sistema é a invariância sob o eixo z. Considerando que</p><p>x(0) = y(0) = 0, então x e y permanecem zero para todo t , pois P0 = (0,0,0) é um ponto de</p><p>equilíbrio do sistema. Assim o eixo z é uma órbita, na qual</p><p>ż =−bz ⇒ z(t ) = z(0)e−bt → 0 quando t →∞. (3.2)</p><p>Todas as soluções que se iniciam nesse eixo tendem a origem quando o tempo au-</p><p>menta, ou seja, esse eixo consiste de uma variedade estável para o ponto de equilíbrio da</p><p>origem.</p><p>Dissipatividade e Existência do Atrator</p><p>Uma das condições necessárias para existência de um atrator estranho é a dissipativi-</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 36</p><p>(a) (b)</p><p>(c) (d)</p><p>(e)</p><p>(f)</p><p>Figura 17 – Atrator de Lorenz (r = 28,σ = 10,b = 8/3): (a) Comutação Irregular. Condições</p><p>iniciais x(0) = y(0) = z(0) = 0,001 e 0 < t < 50s. (b) Base de atração para duas</p><p>condições iniciais, x(0) = y(0) = z(0) = 0,001 e x̄(0) = ȳ(0) = 0,001, z̄(0) = 50 com</p><p>0 < t < 50 s. (c) Sensibilidade às condições iniciais. x(0) = y(0) = z(0) = 0,001 (azul)</p><p>e x̄(0) = ȳ(0) = z̄ = 0,0011 (vermelho). (d) Sensibilidade nos parâmetros.x(0) =</p><p>y(0) = z(0) = x̄(0) = ȳ(0) = z̄(0) = 0,001e r1 = 28 (azul), r2 = 28,01 (vermelho). (e)</p><p>Sensibilidade às condições iniciais na série temporal x(t) do atrator em (c). (f)</p><p>Sensibilidade nos parâmetros na série temporal x(t ) do atrator em (d).</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 37</p><p>dade. Aplicando a Equação (2.27) em (3.1), obtêm-se</p><p>∇· f = ∂ f1</p><p>∂x</p><p>+ ∂ f2</p><p>∂y</p><p>+ ∂ f3</p><p>∂z</p><p>=−(σ+b +1). (3.3)</p><p>O sistema é dissipativo se ∇·f =−(σ+b+1) < 0. Nos parâmetros que tornam o sistema</p><p>de Lorenz caótico, confirma-se que esse sistema é dissipativo, pois, (10+28+8/3) > 0. Pode-se</p><p>afirmar então que o volume inicial V0 no espaço de estados é contraído exponencialmente</p><p>na forma V (t) =V0e−(σ+b+1)t quando t →∞. Observa-se que o divergente não depende do</p><p>parâmetro de bifurcação r . Dessa forma, desde que a dissipatividade seja garantida, a exis-</p><p>tência do atrator caótico pode ser buscada quando há instabilidade de todos os pontos de</p><p>equilíbrio, isto é, quando possuem pelo menos um autovalor com parte real positiva.</p><p>Pontos de Equilíbrio e Estabilidade</p><p>Assumindo ẋ = ẏ = ż = 0 no sistema (3.1), obtêm-se os seguintes pontos de equilíbrio</p><p>P0 = (0,0,0),</p><p>P+ = (</p><p>p</p><p>b(r −1),</p><p>p</p><p>b(r −1),r −1),</p><p>P− = (−pb(r −1),−pb(r −1),r −1).</p><p>(3.4)</p><p>Sabendo que os pontos de equilíbrio admitem somente valores reais, quando 0 < r ≤ 1</p><p>a origem é o único ponto de equilíbrio. Se r > 1, o sistema contem os três pontos de equilíbrio</p><p>descritos em (3.4).</p><p>Buscando estudar a estabilidade local dos pontos de equilíbrio do sistema (3.1), a</p><p>matriz Jacobiana obtida, resultado da linearização, é dada por:</p><p>Jf(x∗,y∗,z∗) =</p><p></p><p>−σ σ 0</p><p>r − z∗ −1 −x∗</p><p>y∗ x∗ −b</p><p> . (3.5)</p><p>É possível definir agora a estabilidade linear de cada ponto de equilíbrio em (3.4) por</p><p>meio da análise dos autovalores dessa matriz nas proximidades de cada um desses pontos.</p><p>A seguir, as análises de estabilidade serão realizadas em duas partes, uma referente ao</p><p>ponto de equilíbrio P0 e outra referênte aos pontos de equilíbrio P±, que devido a simetria do</p><p>sistema, resulta no mesmo polinômio característico dos autovalores para análise de estabili-</p><p>dade.</p><p>Estabilidade do Ponto de Equilíbrio P0</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 38</p><p>Analisando primeiramente a estabilidade do ponto de equilíbrio P0, o cálculo do</p><p>determinante nesse ponto</p><p>∣∣JP0</p><p>∣∣=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>−σ−λ σ 0</p><p>r −1−λ 0</p><p>0 0 −b −λ</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, (3.6)</p><p>fornece o polinômio característico</p><p>P0(λ) = [λ2 + (σ+1)λ+σ(1− r )](−b −λ) = 0. (3.7)</p><p>Pela forma como é escrito o polinômio (3.7), fica evidente que λ=−b é um autovalor.</p><p>Um valor negativo desse parâmetro torna o ponto de equilíbrio da origem instável, no entanto</p><p>fisicamente esse parâmetro é sempre positivo. Para análise da estabilidade assintótica a</p><p>equação envolvendo o termo ż pode ser desacoplada do sistema linear correspondente da</p><p>matriz Jacobiana, pois em P0 tem-se</p><p>ż =−bz ⇒ z(t ) = e−bt → 0 quando t →∞. (3.8)</p><p>Dessa forma, o polinômio característico de segunda ordem resultante de (3.7) repre-</p><p>senta a natureza do fluxo no plano formado por x y quando t →∞. As raízes obtidas desse</p><p>polinômio são dadas pela seguinte expressão</p><p>λ1,2 = 1</p><p>2</p><p>[−(σ+1)±</p><p>√</p><p>(σ+1)2 +4σ(r −1) ] → 1</p><p>2</p><p>(τ±</p><p>√</p><p>τ2 −4∆), (3.9)</p><p>sendo τ=−(σ+1) e∆=−σ(r −1). Conforme discutido anteriormente na Seção 2.5.2, se∆< 0</p><p>a origem é um ponto de sela, o que implica nesse caso em r > 1. Para ∆> 0 o sistema possui</p><p>apenas um ponto de equilíbrio, que é do tipo nó. A estabilidade desse ponto é determinada</p><p>aplicando-se o critério de Routh-Hurwitz. Analizando a Tabela 1, para os autovalores serem</p><p>negativos é necessário que os termos da primeira coluna tenham o mesmo sinal. Consi-</p><p>derando σ positivo, por meio da terceira linha dessa tabela determina-se que σ(1− r ) > 0,</p><p>portanto r < 1. Com essa restrição garante-se que a origem é um nó assintoticamente estável,</p><p>ou seja, todos os autovalores são negativos. Quando r = 1, λ1 = 0 e os outros dois autovalores</p><p>são λ2 =−(σ+1) e λ3 =−b. Na Figura 18 é ilustrada a convergência de algumas trajetórias</p><p>com condições iniciais diferentes para o ponto de equilíbrio da origem. Com r = 0,5 mostra-</p><p>se parte da bacia de atração da origem, que, pela equação escalar de Lyapunov, é global para</p><p>r < 1, ou seja, atrai toda solução em Rn .</p><p>Tabela 1 – Critério de Routh-Hurwitz para o polinômio de 2º ordem de (3.7).</p><p>λ2 1 −σ(r −1)</p><p>λ1 1+σ 0</p><p>λ0 σ(1− r ) 0</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 39</p><p>Figura 18 – Soluções do sistema de Lorenz (σ= 10,b = 8/3,r = 0,5) com diferentes condições</p><p>iniciais convergindo para o atrator global na origem.</p><p>Das considerações feitas anteriormente, percebe-se que o ponto r = 1 é um ponto de</p><p>bifurcação, pois a estrutura do sistema se altera, ou seja, a estabilidade da origem é perdida e</p><p>há a criação de dois novos pontos de equilíbrio estáveis. Esse tipo de bifurcação é conhecido</p><p>como bifurcação "pitchfork" (forquilha ou tridente) e só é possível em sistemas dinâmicos</p><p>com uma inversão ou simetria de reflexão. Para r > 1 a origem é um ponto de sela-nó, cujas</p><p>variedades são duas estáveis e uma instável.</p><p>Estabilidade Global do Ponto de Equilíbrio da Origem</p><p>Para análise da estabilidade global de P0, utiliza-se a função candidata de Lyapunov</p><p>proposta por Layek (2015). Essa função possui a seguinte forma</p><p>V (x, y, z) = x2</p><p>σ</p><p>+ y2 + z2. (3.10)</p><p>Por meio das definições apresentadas na Seção 2.5.3, a função de Lyapunov é positiva</p><p>definida, pois V (x, y, z) > 0 para (x, y, z) 6= 0 e V (0) = 0. Aplicando a derivada direcional obtém-</p><p>se</p><p>V̇ = 2xẋ</p><p>σ</p><p>+2y ẏ +2zż. (3.11)</p><p>Substituindo as expressões ẋ, ẏ , ż da Equação (3.1) na Equação (3.11) e realizando algumas</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 40</p><p>manipulações matemáticas chega-se na seguinte equação</p><p>V̇</p><p>2</p><p>=−x2 + (1+ r )x y − y2 −bz2. (3.12)</p><p>Utilizando o método de completar quadrados, a Equação (3.12) escrita em termos de produtos</p><p>notáveis é</p><p>V̇</p><p>2</p><p>=−</p><p>(</p><p>x − r +1</p><p>2</p><p>y</p><p>)2</p><p>−</p><p>(</p><p>1−</p><p>(</p><p>r +1</p><p>2</p><p>)2)</p><p>y2 −bz2. (3.13)</p><p>Por meio da expressão (3.13) verifica-se que V̇ é negativa se r < 1 para todo (x, y, z) 6=</p><p>(0,0,0). Nessa condição, a soma dos quadrados é sempre negativa. Portanto é obtido a pri-</p><p>meira condição de V̇ ser negativa definida. Na segunda condição, para a origem ser global-</p><p>mente estável, V̇ (0) = 0, o que é confirmado substituindox = y = z = 0 em (3.13). Conclui-se</p><p>que a origem é globalmente</p><p>estável para σ e b positivo e r < 1, ou seja, trajetórias que se</p><p>iniciam em um conjunto aberto de condições iniciais tendem a origem quando t →∞.</p><p>Limitação das Soluções no Sistema de Lorenz</p><p>Para r > 1 é possível demostrar que as soluções do sistema de Lorenz são limitadas.</p><p>Para isso considere agora a seguinte função de Lyapunov</p><p>V (x, y, z) = E = r x2 +σy2 +σ(z −2r )2 ≤ c <∞, (3.14)</p><p>tal que todas as soluções do sistema de Lorenz entram no elipsóide E em um tempo finito</p><p>e alí permanecem, conforme demostrado a seguir. É possível observar que (3.14) satisfaz</p><p>as condições impostas a essa função, ou seja, V (x) > 0 e V (x) = 0 em P0. A superfície de</p><p>nível V = c são elipsóides com centro em (0,0,2r ) e semi-eixos (</p><p>p</p><p>c/r ,</p><p>p</p><p>c/σ,</p><p>p</p><p>c/σ ). Para</p><p>demostrar tal limitação, aplica-se a derivada direcional em (3.14), resultando em</p><p>V̇ (x, y, z) = 2r xẋ +2σy ẏ +2σ(z −2r )ż. (3.15)</p><p>Substituindo (ẋ, ẏ , ż) de (3.1) em (3.15) e realizando algumas manipulações chega-se em</p><p>V̇ (x, y, z) = r x2 + y2 +bz2 −2r bz < 0. (3.16)</p><p>A trajetória é direcionada para dentro do elipsóide E se (x, y, z) estiver dentro do elipsóide D</p><p>obtido em (3.16), dado agora por sua limitação</p><p>D ≡ r x2 + y2 +b(z − r )2 = br 2. (3.17)</p><p>Reescrevendo (3.17) em termos dos parâmetros que definem um elipsóide têm-se</p><p>x2</p><p>(</p><p>p</p><p>br )2</p><p>+ y2</p><p>(r</p><p>p</p><p>b)2</p><p>+ (z − r )2</p><p>r 2</p><p>= 1, (3.18)</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 41</p><p>com centro em (0,0,r ) e semi-eixos (</p><p>p</p><p>br ,r</p><p>p</p><p>b,r ). Como as coordenadas x e y dos centros de</p><p>E e D são (0,0), a extensão do elipsóide E nas direções x e y excede a extensão do elipsóide D</p><p>na mesma direção se (</p><p>p</p><p>c/r >p</p><p>br ) e (</p><p>p</p><p>c/σ> r</p><p>p</p><p>b), isto é, (c > br 2) e (c > bσr 2). Ao longo do</p><p>eixo z, o elipsóide D é contido em (0 = r − r < z < r + r = 2r ), enquanto que para o elipsóide</p><p>E, o eixo z está contido em (2r −p</p><p>c/σ < z < 2r +p</p><p>c/σ). Verifica-se que (2r < 2r +p</p><p>c/σ)</p><p>para todo c. Assim, o ponto mais baixo (0,0,0) do Elipsóide D, ou seja, seu limite inferior,</p><p>encontra-se acima do ponto mais baixo (0,0,2r −p</p><p>c/σ) do elipsóide E se (2r −p</p><p>c/σ < 0),</p><p>isto é, se (c > 4σr 2). Seja c = ccr = max{br 2,bσr 2,4σr 2}, então D está inteiramente dentro de</p><p>Ecr . Assim, para qualquer ponto (x, y, x) exterior a D, a trajetória é direcionada para dentro</p><p>de E e alí permanecer, pois, V̇ (x) não pode ser positivo. Ao contrário do caso r < 1, não se</p><p>pode, nesse caso, tirar conclusões sobre um atrator global ou mesmo um ponto de equilíbrio</p><p>estável. Na Figura 19 é ilustrado uma representação gráfica da limitação das soluções para o</p><p>sistema de Lorenz.</p><p>Figura 19 – Representação gráfica de região limitada das soluções de Lorenz. Fonte: Layek</p><p>(2015).</p><p>Estabilidade dos Pontos de Equilíbrio P±</p><p>Aplicando o ponto P+ da Equação (3.4) na matriz Jacobiana (3.5), obtêm-se a seguinte</p><p>matriz para o cáculo dos autovalores</p><p>∣∣JP+</p><p>∣∣=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>−σ−λ σ 0</p><p>1 −1−λ −pb(r −1)p</p><p>b(r −1)</p><p>p</p><p>b(r −1) −b −λ</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, (3.19)</p><p>resultando no polinômio característico</p><p>P+(λ) =−λ3 − (σ+b +1)λ2 −b(σ+ r )λ−2σb(r −1) = 0. (3.20)</p><p>Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, pela Tabela 2 tem-se que o segundo elemento</p><p>da primeira coluna da tabela não deve trocar de sinal para haver estabilidade, logo −(a +b +</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 42</p><p>1) < 0, que é também é uma condição necessária para haver dissipatividade como mostrado</p><p>na Equação (3.1). O cálculo de b1 resulta em</p><p>b1 = 1</p><p>b +σ+1</p><p>[2σb(1− r )−b(σ+ r )(σ+b +1)] < 0. (3.21)</p><p>Expandindo o termo entre colchetes e resolvendo a desigualdade para r obtêm-se</p><p>rH < σ(σ+b +3)</p><p>σ−b −1</p><p>. (3.22)</p><p>Terminando de completar a tabela, o termo b2 = 0 e o termo c1 < 0, que implica em 2σb(1−</p><p>r ) < 0. Assumindo σ e b positivos, o intervalo 1 < r < rH garante a estabilidade do sistema.</p><p>Tabela 2 – Critério de Routh-Hurwitz para o polinômio de 3°ordem de (3.20).</p><p>λ3 −1 −b(σ+ r )</p><p>λ2 −(σ+b +1) −2σb(r −1)</p><p>λ1 b1 b2</p><p>λ0 c1 c2</p><p>Para 1 < r < rH , as três raízes da equação cúbica de (3.20) tem todas as partes reais</p><p>negativas, demonstrando assim um intervalo do parâmetro r no qual o sistema se mantêm</p><p>estável. Quando r = rH , dois autovalores são puramente imaginários, e assim ocorre a bi-</p><p>furcação Hopf. Nos parâmetros originais do sistema de Lorenz, rH ≈ 24,7368. Nesse ponto,</p><p>λ1 =−(1+σ+b) obtido pela relação de Girad no polinômio (3.20) e λ2,3 =±iω. Realizando</p><p>a expansão (λ− iω)(λ+ iω)(λ+σ+b +1), por igualdade de polinômio com (3.20), obtêm-</p><p>se λ2,3 = ±i</p><p>√</p><p>2σb(rH−1)</p><p>1+σ+b . Substituindo os valores dos parâmetros σ,r,b, os autovalores são</p><p>{λ1,λ2,3} = {−13,6667,±9,6245i }. Em r = rH , a estabilidade dos pontos de equilíbrio P± é</p><p>perdida, criando o ponto de equilíbrio do tipo sela-foco com uma variedade bidimensio-</p><p>nal instável e uma unidimensional estável, enquanto que a estrutura global é a do atrator</p><p>estranho de Lorenz.</p><p>Continuando a análise do polinômio de P+ em (3.20), sua forma reduzida pode ser</p><p>escrita como</p><p>P+(λ) =λ3 + Aλ2 +Bλ+C , (3.23)</p><p>em que A = (1+σ+b), B = b(σ+ r ) e C = 2σb(r −1). Pelo método de Tartaglia-Ferro-Cardano</p><p>(Anexo A), realizando a mudança de variável λ=Λ− A</p><p>3 em (3.23), o polinômio resultante é</p><p>agora escrito como</p><p>P (Λ) =Λ3 +pΛ+q, (3.24)</p><p>sendo os coeficientes</p><p>p = B − A2</p><p>3</p><p>= b(σ+ r )− (1+σ+b)2</p><p>3</p><p>, (3.25)</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 43</p><p>q = 2A3</p><p>27</p><p>− AB</p><p>3</p><p>+C = 2(1+σ+b)3</p><p>27</p><p>− b(σ+ r )(1+σ+b)</p><p>3</p><p>+2σb(r −1). (3.26)</p><p>O objetivo nessa análise é determinar a transição de um ponto de nó para um foco.</p><p>Nessa transição o polinômio associado aos pontos de equilíbrio P± altera de três raízes reais</p><p>distintas para uma raiz real e duas complexas conjugadas. Conforme descrito no Anexo A,</p><p>calculando-se D = q2</p><p>4 + p3</p><p>27 = 0, é possível encontrar o valor do parâmetro r onde isso ocorre.</p><p>Nos parâmetros σ= 10 e b = 8</p><p>3 , D é escrito agora como</p><p>D = ( 8r</p><p>3 − 961</p><p>27 )3</p><p>27</p><p>+ ( 1112r</p><p>27 + 10402</p><p>729 )3</p><p>4</p><p>= 0. (3.27)</p><p>Com auxílio computacional, os valores do parâmetro r que satisfazem a Equação</p><p>(3.27) são r ≈ {−562,037;−3,048;1,3456}. Assumindo que os parâmetros do sistema de Lorenz</p><p>são positivos e que há estabilidade para 1 < r < rH em P±, o ponto r ≈ 1,3456 representa</p><p>a transição de um ponto do tipo nó para um foco, ambos estáveis, a medida em que se</p><p>aumenta o parâmetro r . Na Figura 20 é ilustrado um gráfico formado pelas três raízes do</p><p>polinômio de (3.20), separadas em suas partes reais e imaginárias, em função do parâmetro</p><p>r . Observa-se no gráfico que em 1 < r < 1,34, o sistemas possui três raízes negativas reais e</p><p>distintas, 1,34 < r < 24,73 duas complexas conjugadas com parte real negativa e uma real</p><p>negativa, e para r > 24,73 a parte real das raízes complexas conjugadas possui valor positivo,</p><p>caracterizando assim a instabilidade do ponto.</p><p>Mostrou-se até aqui alguns pontos de bifurcações do sistema de Lorenz. Tais bifurca-</p><p>ções são ditas locais e são previstas, conforme mostrado através do cálculo dos autovalores</p><p>da matriz jacobiana. No sistema de Lorenz, ao se variar o parâmetro r , ocorre também uma</p><p>bifurcação que não pode ser prevista pelo cálculo dos autovalores. Essa bifurcação é referida</p><p>como global e a que ocorre é a do tipo homoclínica em r = 13,9264 (ARGYRIS et al., 2015). Na</p><p>Figura 21 ilustra-se a órbita homoclínica do sistema de Lorenz. Observa-se a trajetória que se</p><p>afasta da origem pela variedade instável tende a um dos pontos de equilíbrio simétricos e em</p><p>um amplo arco retorna a origem tangenciando o eixo z. Na Figura 22 é ilustrado duas soluções</p><p>com diferentes condições iniciais que demostram a ocorrência da bifurcação homoclínica.</p><p>Conforme constatado em simulações e consultado em algumas referências, é difícil construir</p><p>numericamente a órbita homoclínica devido a sua instabilidade.</p><p>Segundo Argyris et al. (2015), após a bifurcação global, as bacias de atração dos dois</p><p>focos em P± se alteram fundamentalmente. Na Figura 22 nota-se que a solução que parecia</p><p>convergir para um ponto de equilíbrio, na verdade é direcionada para a base de atração do</p><p>ponto de equilíbrio simétrico.</p><p>Como tratado até aqui, foi possível</p><p>observar diversas características qualitativas das</p><p>soluções do sistema de Lorenz em função do parâmetro r . Análises matemáticas mais so-</p><p>fisticadas mostraram o regime "pré-turbulento"(KAPLAN; YORKE, 1979) ou "metaestável</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 44</p><p>Parte real dos autovalores</p><p>Parâmetro r</p><p>1.34 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 24.73 27 28</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-14</p><p>-12</p><p>-10</p><p>-8</p><p>-6</p><p>-4</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>λ1</p><p>λ2</p><p>λ3</p><p>Parte imaginária dos autovalores</p><p>Parâmetro r</p><p>1,34 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 24,73 27 28</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-15</p><p>-10</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>λ1</p><p>λ2</p><p>λ3</p><p>Figura 20 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.20) para σ= 10,b = 8</p><p>3 e 1 < r < 28.</p><p>Figura 21 – Vistas da órbita homoclínica do sistema de Lorenz. Fonte: Argyris et al. (2015).</p><p>caótico"(YORKE; YORKE, 1979) para 13,926... < r < 24,06... e 24,06... < r < 24,74..., sendo que</p><p>nesse último há existência de dois pontos de equilíbrio estáveis e um atrator caótico.</p><p>Análises Numéricas</p><p>A seguir são avaliados os resultados obtidos por simulações numéricas do sistema de</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 45</p><p>Figura 22 – Padrão de duas trajetórias após a bifurcação homoclínica com r = 13,93 e x(0) =</p><p>y(0) = 0,001 (azul), x̄(0) = ȳ(0) =−0,001 (vermelho) e z(0) = z̄(0) = 0.</p><p>Lorenz. A partir das ferramentas associadas a análise de sistema dinâmicos não lineares será</p><p>possível compreender aspectos dessa dinâmica e do comportamento caótico.</p><p>Seção de Poincaré</p><p>Na Figura 23 são ilustradas algumas seções de Poincaré que interceptam transver-</p><p>salmente o fluxo das soluções do sistema de Lorenz. No topo de cada figura está indicado</p><p>o plano de intersecção e sua posição. Os pontos em vermelho indicam interseção do plano</p><p>com o fluxo em sentido crescente das variáveis e os pontos em azul o sentido decrescente das</p><p>variáveis. As seções de Poincaré do lado direito foram posicionadas nos pontos de equilíbrio</p><p>do sistema de Lorenz e as seções do lado esquerdo posicionadas na origem dos eixos x e y e</p><p>nas proximidades da extremidade superior do fluxo em z = 40.</p><p>Em todas as seções é possível observar uma característica típica de sistema caóticos</p><p>dissipativos, sendo ela a densidade elevada de pontos em uma região limitada, que indica um</p><p>movimento aperiódico das soluções.</p><p>Para plotar a seção de Poincaré, utilizou-se a função @ode45 do Matlab para integrar</p><p>o sistemas de equações diferenciais. Ao se detectar os pontos no plano, o que se obtêm</p><p>na verdade é uma aproximação dessa seção. O passo de integração numérica utilizado na</p><p>resolução das soluções introduzem pequenos erros na posição real dos pontos no plano.</p><p>Como as trajetórias no espaço de estados são limitadas e nunca repetem o mesmo</p><p>caminho duas vezes, dado um tempo suficiente, a trajetória acaba voltando arbitrariamente</p><p>próxima de qualquer ponto no espaço de estados. Em consequência disso, na seção de Poin-</p><p>caré a densidade de pontos em uma região aumenta a medida que o tempo aumenta.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 46</p><p>Eixo y</p><p>-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>x = 0</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo y</p><p>-10 -5 0 5 10 15 20</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>40</p><p>x = 8.48</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-15 -10 -5 0 5 10 15</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>40</p><p>45</p><p>y = 0</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>4 6 8 10 12 14 16 18</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>y = 8.48</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>y</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>z = 40</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>y</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>z = 27</p><p>-</p><p>+</p><p>Figura 23 – Seções de Poincaré do sistema de Lorenz para σ= 10,b = 8/3 e r = 28.</p><p>Diagrama de Bifurcação</p><p>Na Figura 24 são ilustrados diagramas de bifurcação do sistema de Lorenz traçados</p><p>a partir do parâmetro r e dos máximos das variáveis z(t) e x(t). É possível observar que</p><p>existem regiões do parâmetro em que a quantidade de picos cessa, dando lugar a um movi-</p><p>mento regular. Essas lacunas representam as janelas periódicas do sistema de Lorenz, ou seja,</p><p>intervalos do parâmetro em que as soluções são periódicas. Essas mesmas regiões podem</p><p>ser identificadas pelo diagrama de bifurcação de Lyapunov, sendo o movimento periódico</p><p>caracterizado pelo máximo expoente nulo.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 47</p><p>0 50 100 150 200 250 300 350</p><p>0</p><p>100</p><p>200</p><p>300</p><p>400</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>z</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>(a)</p><p>0 50 100 150 200 250 300 350</p><p>-60</p><p>-40</p><p>-20</p><p>0</p><p>20</p><p>40</p><p>60</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>x</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>r</p><p>(b)</p><p>90 92 94 96 98 100 102</p><p>0</p><p>50</p><p>100</p><p>150</p><p>200</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>z</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>(c)</p><p>92.0 92.1 92.2 92.3 92.4 92.5 92.6 92.7</p><p>40</p><p>60</p><p>80</p><p>100</p><p>120</p><p>140</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>z</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>(d)</p><p>150 152 154 156 158 160</p><p>50</p><p>100</p><p>150</p><p>200</p><p>250</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>z</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>(e)</p><p>220 225 230 235 240</p><p>100</p><p>150</p><p>200</p><p>250</p><p>300</p><p>350</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>z</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>(f)</p><p>Figura 24 – Diagramas de bifurcação do sistema de Lorenz com σ= 10, b = 8</p><p>3 e r variável. (a)</p><p>Máximos de z(t) para 1 < r < 350. (b) Máximos de x(t) para 1 < r < 350. (c), (d),</p><p>(e), (f) Zoom nas janelas periódicas de (a).</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 48</p><p>Expoentes de Lyapunov</p><p>Na Figura 25 é ilustrada a convergência dos expoentes de Lyapunov pelo método</p><p>proposto em Wolf et al. (1985). O algoritmo em Matlab pode ser encontrado em Lynch (2004)</p><p>e sua descrição em Lakshmanan e Rajaseekar (2012).</p><p>Utilizando a média da divergência entre trajetórias próximas para estimar os expo-</p><p>entes de Lyapunov, o método numérico leva um tempo para convergir. A condição inicial</p><p>também influencia no tempo de convergência dos expoentes. Na Figura 25, os expoen-</p><p>tes convergiram para (λ1,λ2,λ3) = (0,85922;−0,0015763;−14,5298) em t = 300 s. Aumen-</p><p>tando o tempo final do método para t = 10000 s, os valores obtidos para os expoentes foram</p><p>(λ1,λ2,λ3) = (0,901852;0,001825;−14,566753).</p><p>Tempo</p><p>0 50 100 150 200 250 300</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>os</p><p>E</p><p>xp</p><p>oe</p><p>nt</p><p>es</p><p>-16</p><p>-14</p><p>-12</p><p>-10</p><p>-8</p><p>-6</p><p>-4</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>λ</p><p>1</p><p>= 0.85922</p><p>λ</p><p>2</p><p>= -0.0015763</p><p>λ</p><p>3</p><p>= -14.5208</p><p>Dinâmica dos expoentes de Lyapunov</p><p>Figura 25 – Convergência dos expoentes de Lyapunov do sistema de Lorenz para σ= 10,b =</p><p>8/3,r = 28 e condição inicial x(0) = y(0) = z(0) = 1.</p><p>Na Figura 26 é ilustrado o diagrama dos expoentes de Lyapunov em função do pa-</p><p>râmetro de bifurcação r . O gráfico foi obtido variando-se o parâmetro r e plotando-se a</p><p>amplitude dos expoentes em um tempo de convergência t = 800 s. Na figura é possível ob-</p><p>servar intervalos do parâmetro em que a dinâmica deixa de ser caótica, ou seja, quando o</p><p>máximo expoente de Lyapunov vai a zero. Esses mesmos intervalos podem ser verificados no</p><p>diagrama de bifurcação da Figura 24.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 49</p><p>Parâmetro r</p><p>1 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300</p><p>E</p><p>xp</p><p>oe</p><p>nt</p><p>es</p><p>d</p><p>e</p><p>Ly</p><p>ap</p><p>un</p><p>ov</p><p>-16</p><p>-14</p><p>-12</p><p>-10</p><p>-8</p><p>-6</p><p>-4</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>λ</p><p>1</p><p>λ</p><p>2</p><p>λ</p><p>3</p><p>Figura 26 – Diagrama de bifurcação dos expoentes de Lyapunov do sistema de Lorenz para</p><p>σ= 10,b = 8/3 e 1 < r < 300. Tempo de convergência do método t = 800s, τ= 0,5s</p><p>e x(0) = y(0) = z(0) = 1.</p><p>3.3 Sistema de Chen</p><p>Proposto originalmente em Chen e Ueta (1999), o chamado sistema caótico de Chen</p><p>foi encontrado aplicando-se um controle por realimentação parcial de estados no sistema</p><p>de Lorenz. A técnica utilizada nesse processo conhecida com anti-controle do caos ou caoti-</p><p>ficação busca desestabilizar alguns pontos de equilíbrio estáveis existentes de um sistema</p><p>não caótico na tentativa de se obter uma dinâmica caótica. O método nem sempre é capaz</p><p>de produzir tais dinâmicas, contudo ele pode determinar se os equilíbrios têm estruturas</p><p>hiperbólicas em um sistema globalmente limitado (UETA; CHEN, 2000).</p><p>O sistema dinâmico de Chen é dado por</p><p>ẋ = a(y −x)</p><p>ẏ = (c −a)x −xz + c y</p><p>ż = x y −bz,</p><p>(3.28)</p><p>em que (x, y, z) ∈ R3 são funções que não possuem significado físico, assim como os parâ-</p><p>metros (a,b,c) ∈R3, cujos valores originais</p><p>propostos foram a = 35,b = 3 e c = 28. Avaliando</p><p>esse sistema percebe-se que a diferença para o sistema de Lorenz está na equação f2 = ẏ ,</p><p>modificada pela inserção de uma lei de controle (UETA; CHEN, 2000). Na Figura 27 é ilustrado</p><p>o atrator tridimensional desse sistema juntamente com as projeções bidimensionais e as</p><p>séries temporais.</p><p>O sistema de Chen também possui a propriedade de simetria comprovada pela subs-</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 50</p><p>Figura 27 – Atrator tridimensional, projeções bidimensionais e série temporal das soluções</p><p>(x(t ), y(t ), z(t )) do sistema de Chen para a = 35,b = 3 e c = 28 com pontos de equi-</p><p>líbrio P0 = (0,0,0) e P± = (±7,93;±7,93;21). Condições iniciais (x(0), y(0), z(0)) =</p><p>(1,1,1) e 15 < t < 50 segundos.</p><p>tituição (x, y, z) → (−x,−y, z). A dissipatividade é encontrada por</p><p>∇· f = ∂ f1</p><p>∂x</p><p>+ ∂ f2</p><p>∂y</p><p>+ ∂ f3</p><p>∂z</p><p>=−(a +b − c), (3.29)</p><p>sendo ela garantida se (a +b − c) > 0, ou em termos do parâmetro de bifurcação adotado na</p><p>análise, c < a +b. Nos parâmetros originais, c < 38 para ser dissipativo.</p><p>Pontos de Equilíbrio e Estabilidade</p><p>Assumindo ẋ = ẏ = ż = 0 no sistema (3.28), para ab 6= 0 e c 6= a, o sistema de Chen tem</p><p>os seguintes pontos de equilíbrio</p><p>P0 = (0,0,0)</p><p>P+ = (</p><p>p</p><p>b(2c −a),</p><p>p</p><p>b(2c −a),2c −a)</p><p>P− = (−pb(2c −a),−pb(2c −a),2c −a).</p><p>(3.30)</p><p>Quando b = 0, todos os pontos de equilíbrio são não-isolados e da forma P = (0,0, z), z ∈R, e</p><p>para a = 0, os pontos de equilíbrio também são não-isolados e da forma P = (x, bcx</p><p>x2−bc</p><p>, cx2</p><p>x2−bc</p><p>),</p><p>x ∈R com x2 −bc 6= 0. Em c = a é possível verificar também um ponto não isolado. Para os</p><p>pontos em (3.30) serem isolados, é necessário que ab 6= 0, b(2c −a) > 0 e c 6= a. A segunda</p><p>desigualdade é satisfeita se b > 0 e c > a</p><p>2 ou b < 0 e c < a</p><p>2 . Nas análises a seguir considera-se a</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 51</p><p>e b positivos. Nos parâmetros originais, as condições para que os pontos (3.30) sejam isolados</p><p>são c > 17,5 e c 6= 35.</p><p>Para análise da estabilidade local, a matriz Jacobiana do sistema (3.28) em função dos</p><p>pontos de equilíbrio é</p><p>Jf(x∗,y∗,z∗) =</p><p></p><p>−a a 0</p><p>c −a − z∗ c −x∗</p><p>y∗ x∗ −b</p><p> . (3.31)</p><p>Estabilidade do Ponto de Equilíbrio P0</p><p>O cálculo do determinante para solução dos autovalores avaliado no ponto de equilí-</p><p>brio da origem</p><p>∣∣JP0</p><p>∣∣=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>−(a +λ) a 0</p><p>c −a c −λ 0</p><p>0 0 −(b +λ)</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, (3.32)</p><p>fornece o polinômio característico</p><p>P0(λ) = [λ2 + (a − c)λ−2ac +a2](−b −λ) = 0, (3.33)</p><p>em que λ3 =−b é um autovalor evidente. Os autovalores restantes são determinados por</p><p>λ1,2 = 1</p><p>2</p><p>[−(a − c)±</p><p>√</p><p>(a − c)2 −4(−2ac +a2) ] → 1</p><p>2</p><p>(τ±</p><p>√</p><p>τ2 −4∆). (3.34)</p><p>Utilizando o critério de Routh-Hurwitz, pela Tabela 3 a primeira condição para estabilidade</p><p>é que (a − c) > 0, que implica em c < a. O cálculo de b1 na tabela fornece que a(a −2c) > 0,</p><p>logo, a > 0 e c < a</p><p>2 . Mantendo a condição mais restritiva, a origem é assintoticamente estável,</p><p>ou seja, possui todos os autovalores com parte real negativa quando b > 0, a > 0 e c < a</p><p>2 . Se</p><p>essas condições são satisfeitas P0 é também o único ponto de equilíbrio do sistema. A origem</p><p>é instável se qualquer uma das desigualdades anteriores for invertida.</p><p>Tabela 3 – Critério de Routh-Hurwitz para o polinômio de 2º ordem de (3.33).</p><p>λ2 1 −2ac +a2</p><p>λ1 a − c 0</p><p>λ0 a(a −2c) 0</p><p>Considerando c um parâmetro de bifurcação e a, b positivos, quando c f = a</p><p>2 ocorre</p><p>na origem a bifurcação forquilha cuja estabilidade do ponto é perdida e há a criação de dois</p><p>novos pontos de equilíbrio simétricos e estáveis para c > c f . Quando c f = a</p><p>2 , λ1 = 0 e os outros</p><p>dois autovalores são λ2 = −(a − c f ) = −(a/2) e λ3 = −b. O ponto de transição das soluções</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 52</p><p>tipo nó para soluções tipo foco podem ser determinadas fazendo D = τ2 −4∆= 0 em (3.34).</p><p>Expandindo o radicando chega-se a D = c2 +6ac −3a2. Resolvendo o polinômio de segunda</p><p>ordem em c, o ponto de transição das soluções ocorre em cT = (−3±2</p><p>p</p><p>3)a.</p><p>Considerando os parâmetros originais propostos por Chen (a = 35,b = 3) e c como</p><p>parâmetro de bifurcação, das considerações feitas anteriormente, o ponto de bifurcação</p><p>forquilha corresponde a c f = a</p><p>2 = 17,5 e o ponto de transição de um foco para um nó corres-</p><p>ponde a cT = 16,24. Na Figura 28 é ilustrado os valores numéricos das raízes do polinômio</p><p>(3.33) em função de c. Nos gráficos estão indicados pelo grid no eixo das abcissas os pontos</p><p>de transição de foco para nó, ou seja, a mudança de autovalores complexos conjugados</p><p>para autovalores puramente reais e também a bifurcação forquilha, caracterizado por um</p><p>autovalor λ= 0 em c f = 17,5.</p><p>Parte real dos autovalores</p><p>Parâmetro c</p><p>1 3 5 7 9 11 13 15 16.24 17.5 19 21 23 25 27</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-40</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>λ1</p><p>λ2</p><p>λ3</p><p>Parte imaginária dos autovalores</p><p>Parâmetro c</p><p>1 3 5 7 9 11 13 15 16,24 19 21 23 25 27</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>λ1</p><p>λ2</p><p>λ3</p><p>Figura 28 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.33) para a = 35,b = 3 e 1 < c < 28.</p><p>Estabilidade Global do Ponto de Equilíbrio da Origem</p><p>Para análise da estabilidade global de P0 será utilizada a função de Lyapunov proposta</p><p>por Ueta e Chen (2000), cuja forma é</p><p>V (x, y, z) = (a − c)</p><p>2a</p><p>x2 + y2 + z2. (3.35)</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 53</p><p>A função de Lyapunov é positiva definida se a > c , pois V (x, y, z) > 0 para (x, y, z) 6= 0 e</p><p>V (0) = 0. Aplicando a derivada direcional obtêm-se</p><p>V̇ = (a − c)</p><p>a</p><p>xẋ +2y ẏ +2zż. (3.36)</p><p>Substituindo as expressões ẋ, ẏ , ż da Equação (3.28) na Equação (3.36) e realizando algumas</p><p>manipulações matemáticas chega-se em</p><p>V̇</p><p>2</p><p>=−(a − c)x2 + c y2 −bz2. (3.37)</p><p>Para a origem ser globalmente, uniformemente e assintoticamente estável, a função</p><p>escalar (3.37) deve ser negativa e também, como comprova-se facilmente, V̇ (0) = 0. A primeira</p><p>condição requer que c < 0 < a e b > 0.</p><p>Estabilidade dos Pontos de Equilíbrio P±</p><p>A matriz para o cálculo dos autovalores associados ao ponto de equilíbrio P+</p><p>∣∣JP+</p><p>∣∣=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>−(a +λ) a 0</p><p>−c c −λ −pb(2c −a)p</p><p>b(2c −a)</p><p>p</p><p>b(2c −a) −(b +λ)</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, (3.38)</p><p>resulta no polinômio característico</p><p>P+(λ) =−λ3 + (c −a −b)λ2 −bcλ+2ab(a −2c) = 0. (3.39)</p><p>Tabela 4 – Critério de Routh-Hurwitz para o polinômio de 3°ordem de (3.39)</p><p>λ3 −1 −bc</p><p>λ2 c −a −b 2ab(a −2c)</p><p>λ1 b1 b2</p><p>λ0 c1 c2</p><p>Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, pela Tabela 4 a primeira condição de estabili-</p><p>dade requer que c −a −b < 0, ou c < a +b, sendo a mesma para o sistema ser dissipativo. No</p><p>entanto, outra condição mais restritiva é obtida encontrando-se e analisando o termo b1 da</p><p>tabela, que vale</p><p>b1 = 1</p><p>a +b − c</p><p>[2ab(2c −a)−bc(a +b − c)] < 0. (3.40)</p><p>Expandindo o termo entre colchetes obtêm-se</p><p>b1 = P (c) = bc2 +bc(3a −b)−2a2b < 0, (3.41)</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 54</p><p>que tem como solução dessa desigualdade</p><p>b > 0 ,</p><p>−3a +b −</p><p>p</p><p>17a2 −6ab +b2</p><p>2</p><p>< c < −3a +b +</p><p>p</p><p>17a2 −6ab +b2</p><p>2</p><p>, (3.42)</p><p>sendo esse intervalo de valores a condição que garante a existência de raízes com partes reais</p><p>negativas, ou seja, o intervalo do parâmetro que determina a estabilidade dos pontos P±.</p><p>Nos parâmetros a = 35 e b = 3 propostos por Chen, os pontos P± do sistema são</p><p>estáveis em −122,07 < c < 20,07, sendo o limite inferior atualizado no cálculo de c1 da tabela</p><p>de Routh. Com P± existindo somente se c > a</p><p>2 , ou seja, c > 17,5, o ponto de bifurcação é,</p><p>portanto, cH = 20,07, sendo cH o ponto onde ocorre a bifurcação Hopf. Para c > 20,07 a</p><p>estabilidade de P± é perdida e esses pontos são formados por duas variedades instáveis e uma</p><p>estável, um ponto de sela-foco que dá origem a dois ciclos-limite. No ponto de bifurcação,</p><p>λ1,2 =±iω e λ3 =−(a +b −c) pela relação de Girad. Substituindo λ1 = iω no polinômio, e por</p><p>comparação com os coeficientes originais, a parte imaginária das raízes satisfazω2(a+b−c) =</p><p>2ab(2c −a) e bcω=ω3.</p><p>Terminando de completar a Tabela 4, o termo b2 = 0 e o termo c1 < 0, que implica</p><p>em 2ab(2c −a) > 0 para P± ser estável.</p><p>Essa última condição é semelhante para a existência</p><p>desses pontos, lembrando também que ab 6= 0. Logo os pontos de equilíbrio simétricos do</p><p>sistema são estáveis quando 17,5 < c < 20,07.</p><p>Continuando a análise do polinômio de P+ em (3.39), sua forma reduzida pode ser</p><p>escrita como</p><p>P+(λ) =λ3 + Aλ2 +Bλ+C , (3.43)</p><p>em que A = (a +b − c), B = bc e C = 2ab(2c − a). Pelo método de Tartaglia-Ferro-Cardano</p><p>(AnexoA), realizando a mudança de variável λ=Λ− A</p><p>3 em (3.39), o polinômio resultante é</p><p>agora escrito como</p><p>P (Λ) =Λ3 +pΛ+q, (3.44)</p><p>sendo os coeficientes</p><p>p = B − A2</p><p>3</p><p>= bc − (a +b − c)2</p><p>3</p><p>, (3.45)</p><p>q = 2A3</p><p>27</p><p>− AB</p><p>3</p><p>+C = 2(a +b − c)3</p><p>27</p><p>− bc(a +b − c)</p><p>3</p><p>+2ab(2c −a). (3.46)</p><p>Calculando-se o radicando D conforme descrito no anexo, é possível determinar o</p><p>valor do parâmetro c em que os pontos P± mudam de nós para focos, ou seja, o ponto em que</p><p>os autovalores começam a apresentar raízes complexas conjugadas. Nos parâmetros a = 35 e</p><p>b = 3, D é escrito agora como</p><p>D = (3c − (c−38)2</p><p>3 )</p><p>27</p><p>3</p><p>+ (420c − 2(c−38)3</p><p>27 + c(c −38)−7350)2</p><p>4</p><p>= 0. (3.47)</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 55</p><p>Com auxílio computacional, os valores do parâmetro c que satisfazem a Equação</p><p>(3.47) são r ≈ {3,28;14,48;17,58;109,33}. Considerando o intervalo de análise de análise de</p><p>17,5 < c < 30, o ponto de interesse em que ocorre a mudança de um nó para um foco ao se</p><p>variar o parâmetro c ocorre em c = 17,58, que é basicamente nas proximidades do ponto de</p><p>bifurcação sela-nó dos pontos P±. Diferentemente da bifurcação forquilha considerando-se o</p><p>ponto P0, na bifurcação sela-nó de P±, em c < 17,5 esses pontos não eram reais, no ponto de</p><p>bifurcação c = 17,5 o ponto de equilíbrio é não hiperbólico e para c > 17,5 existe três pontos</p><p>de equilíbrio, um instável (origem) e dois estáveis (P±).</p><p>Na Figura 29 é ilustrado um gráfico formado pelas três raízes do polinômio de (3.39),</p><p>separadas em suas partes reais e imaginárias, em função do parâmetro c. Observa-se no</p><p>gráfico que em 17,5 < c < 17,56, o sistemas possui três raízes negativas reais e distintas,</p><p>17,56 < c < 20,07 duas complexas conjugadas com parte real negativa e uma real negativa, e</p><p>para c > 20,07 a parte real das raízes complexas conjugadas possui valor positivo, caracteri-</p><p>zando assim a instabilidade.</p><p>Parte real dos autovalores</p><p>Parâmetro c</p><p>17.56 20.07 23.5 26.5 29.5</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-20</p><p>-15</p><p>-10</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>λ</p><p>1</p><p>λ</p><p>2</p><p>λ</p><p>3</p><p>Parte imaginária dos autovalores</p><p>Parâmetro c</p><p>17.56 20.07 23.5 26.5 29.5</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-20</p><p>-15</p><p>-10</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>λ</p><p>1</p><p>λ</p><p>2</p><p>λ</p><p>3</p><p>Figura 29 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.39) para a = 35,b = 3 e 17,5 < c < 30.</p><p>Foi verificado em simulações que as soluções do sistema divergem exponencialmente</p><p>ao infinito a medida que o parâmetro c se aproxima do valor de a, cujo valor é 35.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 56</p><p>Seção de Poincaré</p><p>A Figura 30 ilustra algumas seções de Poincaré do sistema de Chen. O padrão de</p><p>interseção do fluxo com o plano possui características similares as seções de Poincaré do</p><p>sistema de Lorenz apresentadas anteriormente na Figura 23. Algumas diferenças também</p><p>são verificadas, como exemplo o surgimento de novas regiões no plano com densidade</p><p>de pontos. Novamente a principal característica dinâmica explorada nessas seções são as</p><p>elevadas densidades de pontos em regiões delimitadas, caracterizando assim movimentos</p><p>possivelmente aperiódicos.</p><p>Eixo y</p><p>-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>40</p><p>45</p><p>50</p><p>x = 0</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo y</p><p>-10 -5 0 5 10 15 20 25</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>x = 7.93</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>60</p><p>y = 0</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-15 -10 -5 0 5 10 15 20</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>60</p><p>y = 7.93</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>y</p><p>-40</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>z = 28</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>y</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>z = 21</p><p>-</p><p>+</p><p>Figura 30 – Seções de Poincaré do sistema de Chen para a = 35,b = 3,c = 28.</p><p>Diagrama de Bifurcação</p><p>Na Figura 31 é mostrado o diagrama de bifurcação do sistema de Chen para o má-</p><p>ximo das variável z(t) e x(t) em função do parâmetro c. Comparado ao sistema de Lorenz,</p><p>o diagrama de bifurcação do sistema de Chen possui menos regiões de comportamentos</p><p>dinâmicos periódicos, caracterizados pela baixas densidades de pontos no gráfico em deter-</p><p>minados valores do parâmetro. Nos diagramas de bifurcação do sistema de Lorenz da Figura</p><p>24 vê-se também uma região ampla do parâmetro na qual movimentos periódicos ocorrem,</p><p>o que não acontece nesse novo sistema.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 57</p><p>20 22 24 26 28 30</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>z</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>(a)</p><p>20 22 24 26 28 30</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>x</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>c</p><p>(b)</p><p>Figura 31 – Diagramas de bifurcação do sistema de Chen com a = 35, b = 3 e 19 < c < 30. (a)</p><p>Máximos de z(t ); (b) Máximos de x(t ).</p><p>Expoentes de Lyapunov</p><p>A Figura 32 exibe os resultados numéricos da convergência dos expoentes de Lyapunov</p><p>para o sistema de Chen. O expoente positivo indica o comportamento caótico desse sistema.</p><p>Para uma melhor precisão desses valores, considerando um tempo de convergência do mé-</p><p>todo em t = 10000 s, os valores obtidos foram (λ1,λ2,λ3)=(2,022624;0,001013;−12,019739).</p><p>Outras características dinâmicas são extraídas a partir do gráfico ilustrado na Figura</p><p>33. Enquanto o máximo expoente positivo indica caos, o máximo expoente nulo indica os</p><p>valores do parâmetro c em que a dinâmica deixa de ser caótica e passa a apresentar um</p><p>comportamento oscilatório regular. Essas mesmas regiões do parâmetro são verificadas no</p><p>diagrama de bifurcação da Figura 31.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 58</p><p>Tempo</p><p>0 50 100 150 200 250 300</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>os</p><p>E</p><p>xp</p><p>oe</p><p>nt</p><p>es</p><p>-14</p><p>-12</p><p>-10</p><p>-8</p><p>-6</p><p>-4</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>λ</p><p>1</p><p>= 1.9431</p><p>λ</p><p>2</p><p>= -0.0010779</p><p>λ</p><p>3</p><p>= -11.9385</p><p>Dinâmica dos expoentes de Lyapunov</p><p>Figura 32 – Convergência dos expoentes de Lyapunov do sistema de Chen para a = 35,b =</p><p>3,c = 28 e condição inicial x(0) = y(0) = z(0) = 1.</p><p>Parâmetro c</p><p>19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30</p><p>E</p><p>xp</p><p>oe</p><p>nt</p><p>es</p><p>d</p><p>e</p><p>Ly</p><p>ap</p><p>un</p><p>ov</p><p>-20</p><p>-15</p><p>-10</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>λ1</p><p>λ2</p><p>λ3</p><p>Figura 33 – Diagrama de bifurcação dos expoentes de Lyapunov do sistema de Chen para</p><p>a = 35,b = 3 e 19 < c < 30. Tempo de convergência do método t = 800s, τ= 0,5s e</p><p>x(0) = y(0) = z(0) = 1.</p><p>3.4 Sistema de Lü</p><p>Relatado pela primeira vez em Lü e Chen (2002), o sistema caótico de Lü é capaz de</p><p>reproduzir a estrutura do atrator de Lorenz e Chen, além de possuir uma estrutura interme-</p><p>diária que conecta os dois atratores. Assim como obtido o sistema de Chen, a mesma técnica</p><p>de anti-controle do caos foi empregada ao sistema de Lorenz para produzir esse novo sistema.</p><p>Como resultado, somente o termo ẏ entre as equações é alterado. A descrição de sintonia do</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 59</p><p>controlador que resulta no sistema de Lü é encontrado em Lü, Chen e Zhang (2002). Esse</p><p>sistema é dado por </p><p>ẋ = a(y −x)</p><p>ẏ = −xz + c y</p><p>ż = x y −bz,</p><p>(3.48)</p><p>em que (x, y, z) ∈ R3 são funções que, assim como as do sistema de Chen, não possuem</p><p>significado físico e também seus parâmetros (a,b,c) ∈R3, cujos valores originais propostos</p><p>foram a = 36,b = 3 e c = 20. Na Figura 34 é ilustrado o atrator tridimensional desse sistema</p><p>juntamente com as projeções bidimensionais e as séries temporais.</p><p>Figura 34 – Atrator tridimensional, projeções bidimensionais e série temporal das soluções</p><p>(x(t), y(t), z(t)) do sistema de Lü para a = 36,b = 3 e c = 20 com pontos de equi-</p><p>líbrio P0 = (0,0,0) e P± = (±7,74;±7,74;20). Condições iniciais (x(0), y(0), z(0)) =</p><p>(1,1,1) e 15 < t < 50 segundos.</p><p>Assim como nos outros sistemas, o sistema de Lü também possui a propriedade</p><p>matemática de simetria e invariância. Para verificar a dissipatividade, o divergente do campo</p><p>de vetores da</p><p>Equação (3.48) fornece</p><p>∇· f = ∂ f1</p><p>∂x</p><p>+ ∂ f2</p><p>∂y</p><p>+ ∂ f3</p><p>∂z</p><p>=−(a +b − c), (3.49)</p><p>sendo a condição para existência do atrator c < a +b, ou no valor dos parâmetros, c < 39.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 60</p><p>Pontos de Equilíbrio e Estabilidade</p><p>Assumindo ẋ = ẏ = ż = 0 no sistema (3.48), para abc 6= 0, os pontos de equilíbrio são</p><p>P0 = (0,0,0)</p><p>P+ = (</p><p>p</p><p>bc,</p><p>p</p><p>bc,c)</p><p>P− = (−pbc,−pbc,c).</p><p>(3.50)</p><p>Quando abc = 0, os pontos de equilíbrio do sistema de Lü são não isolados e dessa forma</p><p>a análise sob os pontos em (3.50) não é possível. Assumindo que os parâmetros a e b são</p><p>positivos e o parâmetro c variável, os pontos P± existem somente se c > 0.</p><p>A estabilidade local das soluções é determinada avaliando-se a matriz Jacobiana do</p><p>sistema (3.48), sendo ela</p><p>Jf(x∗,y∗,z∗) =</p><p></p><p>−a a 0</p><p>−z∗ c −x∗</p><p>y∗ x∗ −b</p><p> . (3.51)</p><p>Estabilidade do Ponto de Equilíbrio P0</p><p>Substituindo o ponto de equilíbrio P0 em (3.51), a matriz resultante para o cálculo dos</p><p>autovalores é</p><p>∣∣JP0</p><p>∣∣=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>−(a +λ) a 0</p><p>0 c −λ 0</p><p>0 0 −(b +λ)</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣= 0. (3.52)</p><p>Sendo essa uma matriz diagonal, os autovalores são diretamente determinados pe-</p><p>los elementos da diagonal principal. Seus valores são, portanto, λ1 = −a,λ2 = −b e λ3 = c.</p><p>Considerando a e b positivos, a origem é um sela se c > 0 e um nó estável quando c < 0.</p><p>Nessa última, a origem também é o único ponto de equilíbrio do sistema. Em c = 0 ocorre a</p><p>bifurcação forquilha, cuja característica é a perca de estabilidade do ponto e a criação de dois</p><p>novos pontos de equilíbrio, nesse caso os pontos P±.</p><p>Estabilidade Global do Ponto de Equilíbrio da Origem</p><p>A estabilidade assintótica global do ponto de equilíbrio da origem é determinada</p><p>considerando-se a função de Lyapunov proposta por Lü, Chen e Zhang (2002), sendo</p><p>V (x, y, z) = 1</p><p>2</p><p>(x2 + y2 + z2). (3.53)</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 61</p><p>Aplicando a derivada direcional obtêm-se</p><p>V̇ (x, y, z) = xẋ + y ẏ + zż. (3.54)</p><p>Substituindo as expressões do Sistema (34) na equação acima e utilizando o método de</p><p>completar quadrados, obtêm-se</p><p>V̇ (x, y, z) =−a</p><p>(</p><p>x − 1</p><p>2</p><p>y</p><p>)2</p><p>−</p><p>(a</p><p>4</p><p>− c</p><p>)</p><p>y2 −bz2 < 0. (3.55)</p><p>Pelas definições da função de Lyapunov a origem é um atrator global se c < a</p><p>4 , a > 0 e</p><p>b > 0.</p><p>Estabilidade dos Pontos de Equilíbrio P±</p><p>A matriz para o cálculo dos autovalores associados ao ponto de equilíbrio P+</p><p>∣∣JP+</p><p>∣∣=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>−(a +λ) a 0</p><p>−c c −λ −pbcp</p><p>bc</p><p>p</p><p>bc −(b +λ)</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, (3.56)</p><p>resulta no polinômio característico</p><p>P+(λ) =λ3 + (a +b − c)λ2 +abλ+2abc = 0. (3.57)</p><p>Tabela 5 – Critério de Routh-Hurwitz para o polinômio de 3º ordem de (3.57)</p><p>λ3 1 ab</p><p>λ2 (a +b − c) 2abc</p><p>λ1 b1 b2</p><p>λ0 c1 c2</p><p>Pelo critério de Routh-Hurwitz na Tabela 5, para que haja estabilidade dos pontos</p><p>P±, é necessário que i) c < (a +b), ii) c < ( b+a</p><p>3 ), iii) 2abc > 0, sendo ii) mais restritiva que i). A</p><p>bifurcação Hopf ocorre em ch = b+a</p><p>3 , sendo que nesse ponto os autovalores sãoλ1 =−(a+b−c)</p><p>e λ2,3 = ±iω. Substituindo a raiz λ2 = iω no polinômio (3.57), os valores de ω satisfazem</p><p>ω2(a +b − c) = 2abc e ω2 = ab. A amplitude das raízes complexas conjugadas em ch são,</p><p>portanto, λ2,3 =±pab. Em síntese, para (a,b) > 0, os pontos de equilíbrio P± do sistema são</p><p>estáveis para 0 < c < ch .</p><p>Nos parâmetros propostos por Lü (a = 36,b = 3), o sistema é assintoticamente estável</p><p>com 0 < c < 13. Na investigação do comportamento caótico, para que haja essa dinâmica é</p><p>necessário a divergência, c < a +b, e a instabilidade dos pontos, apresentando-se para c > ch .</p><p>Na Figura 35 é ilustrado o lugar geométrico das raízes do polinômio (3.57). Graficamente</p><p>é possível observar a transição de um ponto de nó para um foco em c ≈ 0,36, sendo esse</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 62</p><p>o ponto em que surge um par de raízes complexas conjugadas com parte real negativa. A</p><p>bifurcação Hopf, caracterizada por um par de raízes complexas conjugadas com parte real</p><p>nula, também pode ser constatada graficamente em c = 13. A partir dessa bifurcação, o ponto</p><p>de equilíbrio é do tipo sela-foco e a estrutura global a de um atrator estranho, verificado</p><p>posteriormente pelo máximo expoente de Lyapunov.</p><p>Parte real dos autovalores</p><p>Parâmetro c</p><p>0 3 6 9 12 13 15 18 21 24 27 30</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-40</p><p>-35</p><p>-30</p><p>-25</p><p>-20</p><p>-15</p><p>-10</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>λ1</p><p>λ2</p><p>λ3</p><p>Parte imaginária dos autovalores</p><p>Parâmetro c</p><p>0 3 6 9 12 13 15 18 21 24 27 30</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-20</p><p>-15</p><p>-10</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>λ1</p><p>λ2</p><p>λ3</p><p>Figura 35 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.57) para a = 36,b = 3 e 0 < c < 30.</p><p>Estrutura Dinâmica do Atrator</p><p>Uma característica interessante do sistema de Lü é a de possuir uma estrutura dinâ-</p><p>mica semelhante ao atrator de Lorenz e de Chen em determinadas regiões do parâmetro (LÜ;</p><p>CHEN; ZHANG, 2002). A Figura 36 ilustra os resultados das simulações e nelas verifica-se a</p><p>semelhança com o retrato de fases do sistema de Lorenz da Figura 16 e com o sistema de</p><p>Chen na Figura 27.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 63</p><p>(a) (b)</p><p>Figura 36 – Atratores do sistema (3.48) de Lü, com a = 36 e b = 3, topologicamente seme-</p><p>lhantes ao: (a) Atrator de Lorenz com c = 13,5; (b) Atrator de Chen com c = 24.</p><p>Condições iniciais (x(0), y(0), z(0)) = (1,1,1) e 20 < t < 50</p><p>Seção de Poincaré</p><p>A Figura 37 ilustra algumas seções de Poincaré do sistema de Lü. A elevada densidade</p><p>de pontos em regiões delimitadas indica a possível aperiodicidade das soluções.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 64</p><p>Eixo y</p><p>-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>x = 0</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo y</p><p>-4 -2 0 2 4 6 8 10 12</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>40</p><p>x = 7.74</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-15 -10 -5 0 5 10 15</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>40</p><p>y = 0</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>z</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>35</p><p>40</p><p>y = 7.74</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>y</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>z = 25</p><p>-</p><p>+</p><p>Eixo x</p><p>-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20</p><p>E</p><p>ix</p><p>o</p><p>y</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>z = 20</p><p>-</p><p>+</p><p>Figura 37 – Seções de Poincaré do sistema de Lü para a = 36,b = 3,c = 20.</p><p>Diagrama de Bifurcação</p><p>A Figura 38 ilustra os diagramas de bifurcação do sistema de Lü para os máximos de</p><p>z(t ) em (a) e máximos de x(t ) em (b). Observa-se que existem poucas regiões do parâmetro</p><p>em há movimentos periódicos, caracterizados pela baixa densidade de picos, como exemplo</p><p>em c ≈ 16,5.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 65</p><p>10 15 20 25 30</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>60</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>z</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>(a)</p><p>10 15 20 25 30</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>x</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>c</p><p>(b)</p><p>Figura 38 – Diagramas de bifurcação do sistema de Lü com a = 36, b = 3 e 10 < c < 30. (a)</p><p>Máximos de z(t ); (b) Máximos de x(t ).</p><p>Expoentes de Lyapunov</p><p>A Figura 39 exibe o espectro dos expoentes de Lyapunov em função da variação do</p><p>parâmetro c. Graficamente verifica-se que o sistema de Lü é caótico em uma ampla gama</p><p>de valores de c, exceto por janelas de comportamento periódico indicadas pelo máximo</p><p>expoente nulo.</p><p>Parâmetro c</p><p>12 14 16 18 20 22 24 26 28 30</p><p>E</p><p>xp</p><p>oe</p><p>nt</p><p>es</p><p>d</p><p>e</p><p>Ly</p><p>ap</p><p>un</p><p>ov</p><p>-30</p><p>-25</p><p>-20</p><p>-15</p><p>-10</p><p>-5</p><p>0</p><p>5</p><p>λ</p><p>1</p><p>λ</p><p>2</p><p>λ</p><p>3</p><p>Figura 39 – Diagrama de bifurcação dos expoentes de Lyapunov para o sistema de Lü.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 66</p><p>3.5 Sistema Caótico Unificado</p><p>Proposto por Lü et al. (2002), o chamado sistema caótico unificado é conhecido por</p><p>reproduzir as dinâmicas dos atratores de Lorenz, Chen e Lü, sendo as duas primeiras geradas</p><p>nos extremos do parâmetro de controle/bifurcação. Esse sistema representa uma transição</p><p>contínua entre esses dois atratores e é caótico em todo espectro do parâmetro variável. A</p><p>estrutura algébrica de EDO’s é dada por</p><p>ẋ = (25α+10)(y −x)</p><p>ẏ = (28−35α)x + (29α−1)y −xz</p><p>ż = x y − α+8</p><p>3 z,</p><p>(3.58)</p><p>com α ∈ [0,1]. Esse sistema tem como característica a presença de apenas um parâmetro o</p><p>que torna sua análise mais simples em relação aos sistemas anteriormente</p><p>abordados. Na</p><p>Figura 40 é ilustrado três atratores gerados por esse sistema.</p><p>(a) Atrator de Lorenz, α= 0. (b) Atrator de Lü, α= 0,8.</p><p>(c) Atrator de Chen, α= 1.</p><p>Figura 40 – Atratores do Sistema Caótico Unificado.</p><p>Algumas das propriedades básicas do sistema (3.58) são a simetria, que é facilmente</p><p>verificada pela transformação (x, y, z) → (−x,−y,−z), e também a invariância sob o eixo z,</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 67</p><p>que determina se x = y = 0 em t = t0, então x = y = 0 para todo t ≥ t0. Além disso, a trajetória</p><p>no eixo z tende a origem quando t →∞. O divergente do campo de (3.58) fornece</p><p>∇· f = ∂ f1</p><p>∂x</p><p>+ ∂ f2</p><p>∂y</p><p>+ ∂ f3</p><p>∂z</p><p>= 11α−41</p><p>3</p><p>, (3.59)</p><p>sendo a condição para existência do atrator α< 41</p><p>11 , garantida em α ∈ [0,1].</p><p>Pontos de equilíbrio e estabilidade</p><p>Assumindo ẋ = ẏ = ż = 0 no Sistema (3.58), os pontos de equilíbrio são</p><p>P0 = (0,0,0),</p><p>P+ = (</p><p>p</p><p>(α+8)(9−2α),</p><p>p</p><p>(α+8)(9−2α),27−6α),</p><p>P− = (−p(α+8)(9−2α),−p(α+8)(9−2α),27−6α).</p><p>(3.60)</p><p>Os três pontos são distintos se (α+8)(9−2α) > 0, que implica em −8 <α< 4,5. Para</p><p>análise da estabilidade local, a matriz Jacobiana correspondente ao sistema (3.58) é</p><p>Jf(x∗,y∗,z∗) =</p><p></p><p>−(25α+10) 25α+10 0</p><p>28−35α− z∗ 29α−1 −x∗</p><p>y∗ x∗ −α+8</p><p>3</p><p> . (3.61)</p><p>Estabilidade do ponto de equilíbrio P0</p><p>Substituindo o ponto de equilíbrio P0 em (3.61), a matriz resultante para o cálculo dos</p><p>autovalores é</p><p>∣∣JP0</p><p>∣∣=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>−(25α+10+λ) 25α+10 0</p><p>28−35α 29α−1−λ 0</p><p>0 0 −α+8</p><p>3 −λ</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, (3.62)</p><p>resultando no polinômio característico</p><p>P0(λ) = [λ2 + (11−4α)λ+ (25α+10)(6α−27)][−(α+8)/3−λ] = 0, (3.63)</p><p>em que λ3 =−α+8</p><p>3 é um autovalor evidente. A estabilidade do ponto de equilíbrio na origem</p><p>é analisada a partir da Tabela 6 aplicando-se o critério de Routh-Hurwitz. Pela tabela, esse</p><p>ponto é estável se (11−4α) > 0 e (25α+10)(6α−27) > 0. Combinando as restrições, a origem</p><p>é estável quando α < −2</p><p>5 e α > 4,5. Para α ∈ [0,1], os autovalores satisfazem λ2 > 0 > λ3,</p><p>caracterizando a origem como ponto de sela com duas variedades estáveis e uma instável.</p><p>Estabilidade dos pontos de equilíbrio P±</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 68</p><p>Tabela 6 – Critério de Routh-Hurwitz para o polinômio de 2º ordem de (3.63).</p><p>λ2 1 (25α+10)(6α−27)</p><p>λ1 11−4α 0</p><p>λ0 (25α+10)(6α−27) 0</p><p>A matriz para o cálculo dos autovalores associados ao ponto de equilíbrio P+</p><p>∣∣JP+</p><p>∣∣=</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣</p><p>−(25α+10+λ) 25α+10 0</p><p>1−29α 29α−1−λ −p(α+8)(9−2α)p</p><p>(α+8)(9−2α)</p><p>p</p><p>(α+8)(9−2α) −α+8</p><p>3 −λ</p><p>∣∣∣∣∣∣∣∣= 0, (3.64)</p><p>resulta no polinômio característico</p><p>P+(λ) =λ3 + 41−11α</p><p>3</p><p>λ2 + (38−10α)(α+8)</p><p>3</p><p>λ+2(25α+10)(α+8)(9−2α) = 0. (3.65)</p><p>Tabela 7 – Critério de Routh-Hurwitz para o polinômio de 3º ordem de (3.65)</p><p>λ3 1 (38−10α)(α+8)</p><p>3</p><p>λ2 41−11α</p><p>3 2(25α+10)(α+8)(9−2α)</p><p>λ1 b1 b2</p><p>λ0 c1 c2</p><p>A estabilidade de P± é determinada aplicando o critério de Routh-Hurwitz na Tabela 7.</p><p>A primeira condição para P± ser estável requer que 41−11α</p><p>3 > 0, implicando em α< 41</p><p>11 ≈ 3,72</p><p>(condição de dissipatividade). O cálculo de b1 fornece</p><p>b1 =−2(25α+10)(9−2α)+</p><p>(</p><p>(41−11α)(38−10α)</p><p>9</p><p>)</p><p>(α+8) > 0, (3.66)</p><p>ou de forma simplificada</p><p>2</p><p>9</p><p>(505α2 −2259α−31)(α+8) > 0. (3.67)</p><p>Resolvendo a desigualdade, α> 4,487 e −8 <α<−0,0137. O cálculo do elemento c1 na tabela</p><p>fornece</p><p>c1 = 2(25α+10)(α+8)(9−2α) > 0. (3.68)</p><p>Resolvendo a desigualdade obtêm-se −0,4 <α< 4,5 e α<−8. A solução para todas as restri-</p><p>ções é verificada diretamente pelo lugar geométrico das raízes na Figura 41. Por inspeção, o</p><p>ponto de equilíbrio P± do sistema é estável, isto é, possui todas as partes reais dos autovalores</p><p>menores que zero, quando −8 <α<−0,4. Para α ∈ [0,1], fica comprovada a instabilidades de</p><p>todos os pontos de equilíbrio do sistema.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 69</p><p>Parte real dos autovalores</p><p>Parâmetro α</p><p>-8 -6 -4 -2 -0.4 0 2 4 6 8</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-40</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>λ1</p><p>λ2</p><p>λ3</p><p>Parte imaginária dos autovalores</p><p>Parâmetro α</p><p>-8 -6 -4 -2 -0.455 0 2 4 4.45 6 8</p><p>A</p><p>m</p><p>pl</p><p>itu</p><p>de</p><p>d</p><p>as</p><p>r</p><p>aí</p><p>ze</p><p>s</p><p>-150</p><p>-100</p><p>-50</p><p>0</p><p>50</p><p>100</p><p>150</p><p>λ1</p><p>λ2</p><p>λ3</p><p>X: 4.515</p><p>Y: 0</p><p>Figura 41 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.65) para −8 <α< 8.</p><p>Diagrama de Bifurcação</p><p>Na Figura 42 é ilustrado o Diagrama de Bifurcação do Sistema Caótico Unificado.</p><p>Verifica-se pela elevado índice de pontos, indicando os picos do movimento oscilatório, que</p><p>as soluções tem características aperiódicas, exceto por uma estreita janela de movimento</p><p>periódico, que ocorrem em α≈ 0,58.</p><p>Capítulo 3. Análise dos Sistemas Tipo Lorenz 70</p><p>0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>z</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>(a)</p><p>0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0</p><p>-30</p><p>-20</p><p>-10</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>x</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>a</p><p>(b)</p><p>Figura 42 – Diagramas de bifurcação do Sistema Unificado com 0 < α < 1. (a) Máximos de</p><p>z(t ); (b) Máximos de x(t ).</p><p>3.6 Considerações Finais</p><p>Este capítulo apresentou resultados em relação a caracterização da dinâmica de</p><p>quatro sistemas caóticos. Determinou-se em cada um deles, por meio de um estudo analítico</p><p>e computacional, propriedades do comportamento dos sistemas em diferentes valores do</p><p>parâmetro.</p><p>Pela definição de caos utilizada nesse texto, isto é, o Máximo Expoente de Lyapunov</p><p>positivo e as soluções limitadas, comprovou-se que todos os sistemas são caóticos em de-</p><p>terminados valores do parâmetro. A limitação das soluções é verificada diretamente pelos</p><p>diagramas de bifurcação, que indicam neles picos de oscilação limitados.</p><p>71</p><p>Capı́tulo 4</p><p>Caos em um Circuito Eletrônico</p><p>4.1 Introdução</p><p>Estruturas algébricas de equações diferenciais ordinárias não lineares podem ser</p><p>reproduzidas a partir da combinação de componentes eletrônicos. Derivadas da análise de</p><p>circuitos elétricos, tais equações permitem descrever o comportamento dinâmico da tensão</p><p>em diferentes nós.</p><p>Este capítulo dedica-se a analisar o circuito eletrônico proposto em (SUN; WANG;</p><p>ZHU, 2013). Na investigação de dinâmicas caóticas, tal circuito tem a vantagem de possuir três</p><p>estruturas distintas de EDO’s não lineares que são caóticas em certos valores de parâmetros.</p><p>Como metodologia em sua análise, na Seção 4.2 realiza-se um estudo teórico do caos nos três</p><p>sistemas a partir dos expoentes de Lyapunov. Na Seção 4.3, por meio da Lei de Kirchoff das</p><p>correntes, são deduzidas as equações dinâmicas da tensão em determinados nós. Por fim, na</p><p>Seção 4.4 apresenta-se os resultados gráficos obtidos em simulação.</p><p>Na Figura 43 é ilustrado o circuito simulado em software Multsim. Seus componentes</p><p>básicos são: resistores, capacitores, amplificadores operacionais e multiplicadores analógicos.</p><p>Estão presentes também cinco chaves on-off (S1, . . . ,S5) que em determinadas posições</p><p>selecionam partes ativas do circuito, determinando assim as estruturas algébricas das EDO’s.</p><p>Há também três potenciômetros (R14,R17,R24) que possibilitam a variação de um parâmetro,</p><p>permitindo a investigação de diferentes dinâmicas.</p><p>4.2 Descrição e Análise dos Sistemas</p><p>Nesta seção são apresentadas considerações utilizadas na criação de três sistemas di-</p><p>nâmicos distintos a partir do sistema Caótico Unificado da Equação (3.58). São determinados</p><p>pela análise do máximo expoente de Lyapunov, intervalos de valores dos parâmetros em que</p><p>o comportamento caótico ocorre.</p><p>Capítulo 4. Caos em um Circuito Eletrônico 72</p><p>Figura 43 – Circuito eletrônico de três estruturas de EDO’s não lineares e caóticas. Sis-</p><p>tema I - S4 e S5 ativas; Sistema II - S1 e S2 ativas; Sistema III - S3 e S5 ati-</p><p>vas. Componentes: Multiplicador Analógico AD633, Amplificador Operacio-</p><p>nal TL084, R5 = R10 = R37 = 1 MΩ, C1 = C2 = C3 = 1 µF , Ri = 10 kΩ (i =</p><p>19, 20, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32), R4 = 30 kΩ, R j = 1 kΩ ( j = 1, 2, 8, 33), R9 =</p><p>R21 = R34 = 240 kΩ, R23 = 280 kΩ, R26 = 290 kΩ, R31 = 350 kΩ, R35 =</p><p>91 kΩ, R36 = 910 kΩ, R3 = 15 kΩ, R15 = R18 = 240 kΩ, Rk = 10 kΩ (k =</p><p>6, 7, 11, 12, 13, 16, 38, 39).</p><p>Sistema I</p><p>Fixandoα= 0,8 na primeira e terceira equação do Sistema (3.58), mantendo a segunda</p><p>Capítulo 4. Caos em um Circuito Eletrônico</p><p>73</p><p>inalterada, sua forma reescrita é dada por</p><p>ẋ = 30(y −x)</p><p>ẏ = (28−35β)x + (29β−1)y −xz</p><p>ż = x y − 8,8</p><p>3 z,</p><p>(4.1)</p><p>em que β, por associação ao sistema (3.58), é o novo e único parâmetro variável. O divergente</p><p>do campo fornece</p><p>∇· f = ∂ f1</p><p>∂x</p><p>+ ∂ f2</p><p>∂y</p><p>+ ∂ f3</p><p>∂z</p><p>=−33,93+29β= p (4.2)</p><p>Para β< 1,17, o sistema dinâmico é dissipativo e as soluções quando t →∞ se contraem a</p><p>uma taxa exponencial p em um atrator de volume zero que pode ser um ponto de equilíbrio,</p><p>um ciclo limite ou um atrator estranho. Na Figura 44 é ilustrado de forma gráfica os valores</p><p>do máximo expoente de Lyapunov em função da variação do parâmetro β. Verifica-se que o</p><p>Sistema I é caótico para β ∈ [0,1 0,85], exceto por várias pequenas janelas periódicas que</p><p>ocorrem quando λ1 = 0.</p><p>Parâmetro β</p><p>0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1</p><p>M</p><p>áx</p><p>im</p><p>o</p><p>E</p><p>xp</p><p>oe</p><p>nt</p><p>e</p><p>de</p><p>L</p><p>ya</p><p>pu</p><p>no</p><p>v</p><p>-0.5</p><p>0</p><p>0.5</p><p>1</p><p>1.5</p><p>2</p><p>2.5</p><p>3</p><p>λ</p><p>1</p><p>Figura 44 – Máximo expoente de Lyapunov do sistema Sistema I para 0 < β < 1. Tempo de</p><p>convergência do método t = 800s, τ= 0,5s e x(0) = y(0) = z(0) = 1.</p><p>Sistema II</p><p>Fixando α= 0 na primeira e terceira equação do Sistema (3.58) e substituindo o termo</p><p>y por x na segunda equação, o sistema reescrito é dado agora por</p><p>ẋ = 10(y −x)</p><p>ẏ = (27−6γ)x −xz</p><p>ż = x y − 8</p><p>3 z,</p><p>(4.3)</p><p>Capítulo 4. Caos em um Circuito Eletrônico 74</p><p>em que γ é o único parâmetro variável. O divergente do campo fornece</p><p>∇· f = ∂ f1</p><p>∂x</p><p>+ ∂ f2</p><p>∂y</p><p>+ ∂ f3</p><p>∂z</p><p>=−12,67, (4.4)</p><p>de forma que a constante negativa garante a dissipatividade do sistema para valores indepen-</p><p>dentes do parâmetro γ. A Figura 45 ilustra graficamente os valores do máximo expoente de</p><p>Lyapunov obtidos na variação do parâmetro γ. Verifica-se que o sistema é caótico para γ ∈</p><p>[-23,2 1,8], exceto por algumas janelas de movimento periódico das soluções.</p><p>Parâmetro γ</p><p>-25 -23 -21 -19 -17 -15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3</p><p>M</p><p>áx</p><p>im</p><p>o</p><p>E</p><p>xp</p><p>oe</p><p>nt</p><p>e</p><p>de</p><p>L</p><p>ya</p><p>pu</p><p>no</p><p>v</p><p>-0.5</p><p>0</p><p>0.5</p><p>1</p><p>1.5</p><p>2</p><p>2.5</p><p>λ</p><p>1</p><p>Figura 45 – Máximo expoente de Lyapunov do sistema Sistema II para −25 < γ< 3. Tempo de</p><p>convergência do método t = 800s, τ= 0,5s e x(0) = y(0) = z(0) = 1.</p><p>Sistema III</p><p>Fixando α = 0,8 na primeira e terceira equação do sistema (3.58) e substituindo o</p><p>termo x por y na segunda equação, esse sistema é representado agora da seguinte forma</p><p>ẋ = (30)(y −x)</p><p>ẏ = (27−6θ)y −xz</p><p>ż = x y − 8,8</p><p>3 z,</p><p>(4.5)</p><p>em que θ é o parâmetro variável. O divergente do campo fornece</p><p>∇· f = ∂ f1</p><p>∂x</p><p>+ ∂ f2</p><p>∂y</p><p>+ ∂ f3</p><p>∂z</p><p>=−5,93−6θ. (4.6)</p><p>Para θ >−0,99, o divergente torna-se negativo, garantindo a dissipatividade e a con-</p><p>vergência das soluções para um atrator. Na Figura 46 é ilustrado de forma gráfica os valores do</p><p>máximo expoente de Lyapunov obtidos na variação do parâmetro θ. Verifica-se pelo expoente</p><p>Capítulo 4. Caos em um Circuito Eletrônico 75</p><p>positivo que o sistema é caótico para θ ∈ [0,58 2,7], exceto por algumas pequenas janelas</p><p>periódicas.</p><p>Parâmetro θ</p><p>0.5 1 1.5 2 2.5 3</p><p>M</p><p>áx</p><p>im</p><p>o</p><p>E</p><p>xp</p><p>oe</p><p>nt</p><p>e</p><p>de</p><p>L</p><p>ya</p><p>pu</p><p>no</p><p>v</p><p>-0.5</p><p>0</p><p>0.5</p><p>1</p><p>1.5</p><p>2</p><p>2.5</p><p>λ</p><p>1</p><p>Figura 46 – Máximo expoente de Lyapunov do sistema Sistema III para 0,5 < θ < 3. Tempo de</p><p>convergência do método t = 800s, τ= 0,5s e x(0) = y(0) = z(0) = 1.</p><p>4.3 Modelagem do Circuito</p><p>Considerando o circuito ilustrado na Figura 43, juntamente com as indicações dos</p><p>potenciais e o sentido convencionado das correntes que saem e entram dos nós, realizou-se</p><p>sua modelagem com base na análise do circuito por meio da Lei de Kirchoff das correntes. Tal</p><p>lei permite dizer que a soma das correntes que entram em um nó deve ser igual a soma das</p><p>correntes que saem do mesmo nó.</p><p>A corrente que flui em um ramo do circuito é determinada pelo valor da diferença de</p><p>potencial entre dois nós dividido pelo valor do elemento resistivo entre tais nós, isto é, a Lei</p><p>de Ohm. No circuito há vários nós de potencial nulo (ou de referência). Isso ocorre devido a</p><p>conexão com o terra virtual de todas as entradas positivas dos amplificadores operacionais, o</p><p>que permite reduzir a complexidade da análise em diversas etapas da modelagem. As equa-</p><p>ções diferenciais obtidas derivam, em parte, pela expressão diferencial da corrente em um</p><p>capacitor, dado por ic =C d vc</p><p>d t . Os termos não lineares presentes nos sistemas de equações são</p><p>obtidos eletronicamente por meio do multiplicador analógico AD633. As variáveis de estado,</p><p>isto é, as tensões V1 = x(t )</p><p>24 ,V2 = y(t )</p><p>24 e V3 = z(t )</p><p>24 são normalizadas para evitar níveis de tensão</p><p>elevada nos componentes. A normalização das tensões juntamente com o ganho de saída</p><p>do multiplicador k = 1</p><p>10 permitem reproduzir no circuito as mesmas estruturas algébricas de</p><p>EDO’s dos Sistemas I, II e III.</p><p>Capítulo 4. Caos em um Circuito Eletrônico 76</p><p>4.3.1 Modelagem Sistema I</p><p>No circuito da Figura 43, o primeiro sistema de equações é obtido quando as chaves</p><p>on-off S4 e S5 estão fechadas e S1,S2 e S3 abertas. Fazendo a análise do nó V1 obtêm-se as</p><p>seguintes equações</p><p>V2</p><p>R1</p><p>− V1</p><p>R2</p><p>= −Va</p><p>R4</p><p>, ic = Va</p><p>R5</p><p>, ic =C1</p><p>d vc</p><p>d t</p><p>, V1 =−vc , (4.7)</p><p>que combinadas resultam em</p><p>V̇1 = R4</p><p>C1R5</p><p>(−V1</p><p>R2</p><p>+ V2</p><p>R1</p><p>)</p><p>. (4.8)</p><p>A análise do nó V2 fornece</p><p>Vd</p><p>R21</p><p>− V1V3</p><p>R8</p><p>+=−Vb</p><p>R9</p><p>, ic = Vb</p><p>R10</p><p>, ic =−C2V̇2,</p><p>V2</p><p>R19</p><p>+ Vh</p><p>R24</p><p>+ V f</p><p>R29</p><p>=− Vd</p><p>R20</p><p>,</p><p>V1</p><p>R22</p><p>=− Vh</p><p>R23</p><p>,</p><p>Ve</p><p>R27</p><p>+ Vg</p><p>R32</p><p>=− V f</p><p>R28</p><p>,</p><p>V2</p><p>R25</p><p>= Ve</p><p>R26</p><p>,</p><p>V1</p><p>R30</p><p>=− Vg</p><p>R31</p><p>,</p><p>(4.9)</p><p>resultando em</p><p>V̇2 = R9R20</p><p>R10R21C2</p><p>[(</p><p>R23</p><p>R22R24</p><p>− R28R31</p><p>R29R30R32</p><p>)</p><p>V1 +</p><p>(</p><p>R26R28</p><p>R25R27R29</p><p>− 1</p><p>R19</p><p>)</p><p>V2</p><p>]</p><p>− 0,1R9</p><p>R8R10C2</p><p>V1V3. (4.10)</p><p>Pela análise do nó V3 obtêm-se</p><p>V1V2</p><p>R33</p><p>−V3</p><p>(</p><p>1</p><p>R36</p><p>+ 1</p><p>R35</p><p>)</p><p>=− Vc</p><p>R34</p><p>, ic = Vc</p><p>R37</p><p>, ic =−C3V̇3, (4.11)</p><p>resultando em</p><p>V̇3 = R34</p><p>R37C3</p><p>[</p><p>0,1V1V2</p><p>R33</p><p>−</p><p>(</p><p>R35 +R36</p><p>R35R36</p><p>)</p><p>V3</p><p>]</p><p>. (4.12)</p><p>Utilizando os valores de cada respectivo componente nas Equações (4.8), (4.10) e</p><p>(4.12), o sistema de EDO’s correspondente é</p><p>V̇1 = 30(V2 −V1)</p><p>V̇2 = (28−0,0035R28)V1 + (0,0029R28 −1)V2 −24V1V3</p><p>V̇3 = 24V1V2 − 264</p><p>91 V3.</p><p>(4.13)</p><p>O parâmetroβ referente ao Sistema da Equação (4.1), por equivalência ao novo sistema, exceto</p><p>pela normalização das tensões, é descrito agora por β= R28</p><p>104 . Utilizando um potenciômetro</p><p>R28 = 10 kΩ, têm-se β ∈ [0 1]. Isso permite gerar diferentes dinâmicas com a variação de uma</p><p>resistência elétrica.</p><p>4.3.2 Modelagem Sistema II</p><p>O segundo sistema de equações é obtido quando S1 e S2 estão fechadas e S3, S4 e S5</p><p>abertas. Pela análise do nó V1 chega-se as seguintes equações</p><p>V2</p><p>R1</p><p>− V1</p><p>R2</p><p>=−Va</p><p>(</p><p>1</p><p>R3</p><p>+ 1</p><p>R4</p><p>)</p><p>, ic = Va</p><p>R5</p><p>, ic =−C1V̇1, (4.14)</p><p>Capítulo 4. Caos em um Circuito Eletrônico 77</p><p>que combinadas resultam em</p><p>V̇1 = R3R4</p><p>(R3 +R4)R5C1</p><p>[</p><p>V2</p><p>R1</p><p>− V1</p><p>R2</p><p>]</p><p>. (4.15)</p><p>Analisando o nó V2 obtêm-se</p><p>Vi</p><p>R15</p><p>− V1V3</p><p>R8</p><p>=−Vb</p><p>R9</p><p>, ic = Vb</p><p>R10</p><p>, ic =−C2V̇2,</p><p>V1</p><p>R13</p><p>= Vi</p><p>R14</p><p>, (4.16)</p><p>resultando em</p><p>V̇2 = R9</p><p>R10C2</p><p>[</p><p>R14</p><p>R13R15</p><p>V1 − 0,1</p><p>R8</p><p>V1V3</p><p>]</p><p>. (4.17)</p><p>As equações obtidas pela análise do nó V3</p><p>V1V2</p><p>R33</p><p>− V3</p><p>R35</p><p>=− Vc</p><p>R34</p><p>, ic = Vc</p><p>R37</p><p>, ic =−C3V̇3, (4.18)</p><p>fornecem</p><p>V̇3 = R34</p><p>R37C3</p><p>[</p><p>0,1</p><p>R33</p><p>V1V2 − V3</p><p>R35</p><p>]</p><p>. (4.19)</p><p>.</p><p>Utilizando os valores de cada respectivo componente nas Equações (4.15), (4.17) e</p><p>(4.19), o sistema de EDO’s correspondente é</p><p>V̇1 = 10(V2 −V1)</p><p>V̇2 = R14</p><p>104 V1 −24V1V3</p><p>V̇3 = 24V1V2 − 240</p><p>91 V3</p><p>(4.20)</p><p>O parâmetro γ referente ao Sistema II descrito na Equação (4.3) é encontrado fazendo</p><p>(27−6γ) = R14</p><p>104 , que resulta em γ = 27</p><p>6 − R14</p><p>6(104)</p><p>. Escolhendo o potenciômetro R14 = 1,5 MΩ,</p><p>γ ∈ [−20,5 4,5].</p><p>4.3.3 Modelagem Sistema III</p><p>O terceiro sistema de equações é obtido quando S3 e S5 estão fechadas e S1,S2 e S4</p><p>abertas. Fazendo a análise do nó V1 obtêm-se as seguintes equações</p><p>V2</p><p>R1</p><p>− V1</p><p>R2</p><p>=−Va</p><p>R4</p><p>, ic = Va</p><p>R5</p><p>, ic =−C1V̇1, (4.21)</p><p>que combinadas resultam em</p><p>V̇1 = R4</p><p>R5C1</p><p>[</p><p>1</p><p>R1</p><p>V2 − 1</p><p>R2</p><p>V1</p><p>]</p><p>. (4.22)</p><p>Analisando no nó V2 obtêm-se</p><p>V j</p><p>R18</p><p>− V1V3</p><p>R8</p><p>=−Vb</p><p>R9</p><p>, ic = Vb</p><p>R10</p><p>, ic =−C2V̇2,</p><p>V j</p><p>R17</p><p>= V2</p><p>R16</p><p>, (4.23)</p><p>Capítulo 4. Caos em um Circuito Eletrônico 78</p><p>resultando em</p><p>V̇2 = R9</p><p>R10C2</p><p>[</p><p>R17</p><p>R16R18</p><p>V2 − 0,1</p><p>R8</p><p>V1V3</p><p>]</p><p>. (4.24)</p><p>As equações do nó V3</p><p>0,1V1V2</p><p>R33</p><p>−</p><p>(</p><p>1</p><p>R35</p><p>+ 1</p><p>R36</p><p>r1 = 28 (azul), r2 = 28,01 (vermelho). (e) Sensibilidade às condi-</p><p>ções iniciais na série temporal x(t ) do atrator em (c). (f) Sensibilidade nos</p><p>parâmetros na série temporal x(t ) do atrator em (d). . . . . . . . . . . . . . 36</p><p>Figura 18 – Soluções do sistema de Lorenz (σ = 10,b = 8/3,r = 0,5) com diferentes</p><p>condições iniciais convergindo para o atrator global na origem. . . . . . . . 39</p><p>Figura 19 – Representação gráfica de região limitada das soluções de Lorenz. Fonte:</p><p>Layek (2015). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41</p><p>Figura 20 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.20) para σ= 10,b = 8</p><p>3 e 1 < r <</p><p>28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44</p><p>Figura 21 – Vistas da órbita homoclínica do sistema de Lorenz. Fonte: Argyris et al. (2015). 44</p><p>Figura 22 – Padrão de duas trajetórias após a bifurcação homoclínica com r = 13,93 e</p><p>x(0) = y(0) = 0,001 (azul), x̄(0) = ȳ(0) =−0,001 (vermelho) e z(0) = z̄(0) = 0. 45</p><p>Figura 23 – Seções de Poincaré do sistema de Lorenz para σ= 10,b = 8/3 e r = 28. . . . 46</p><p>Figura 24 – Diagramas de bifurcação do sistema de Lorenz com σ = 10, b = 8</p><p>3 e r va-</p><p>riável. (a) Máximos de z(t) para 1 < r < 350. (b) Máximos de x(t) para</p><p>1 < r < 350. (c), (d), (e), (f) Zoom nas janelas periódicas de (a). . . . . . . . . 47</p><p>Figura 25 – Convergência dos expoentes de Lyapunov do sistema de Lorenz para σ=</p><p>10,b = 8/3,r = 28 e condição inicial x(0) = y(0) = z(0) = 1. . . . . . . . . . . . 48</p><p>Figura 26 – Diagrama de bifurcação dos expoentes de Lyapunov do sistema de Lorenz</p><p>para σ = 10,b = 8/3 e 1 < r < 300. Tempo de convergência do método</p><p>t = 800s, τ= 0,5s e x(0) = y(0) = z(0) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</p><p>Figura 27 – Atrator tridimensional, projeções bidimensionais e série temporal das so-</p><p>luções (x(t), y(t), z(t)) do sistema de Chen para a = 35,b = 3 e c = 28 com</p><p>pontos de equilíbrio P0 = (0,0,0) e P± = (±7,93;±7,93;21). Condições inici-</p><p>ais (x(0), y(0), z(0)) = (1,1,1) e 15 < t < 50 segundos. . . . . . . . . . . . . . . 50</p><p>Figura 28 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.33) para a = 35,b = 3 e 1 < c < 28. 52</p><p>Figura 29 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.39) para a = 35,b = 3 e 17,5 <</p><p>c < 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55</p><p>Figura 30 – Seções de Poincaré do sistema de Chen para a = 35,b = 3,c = 28. . . . . . . 56</p><p>Figura 31 – Diagramas de bifurcação do sistema de Chen com a = 35, b = 3 e 19 < c < 30.</p><p>(a) Máximos de z(t ); (b) Máximos de x(t ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57</p><p>Figura 32 – Convergência dos expoentes de Lyapunov do sistema de Chen para a =</p><p>35,b = 3,c = 28 e condição inicial x(0) = y(0) = z(0) = 1. . . . . . . . . . . . . 58</p><p>Figura 33 – Diagrama de bifurcação dos expoentes de Lyapunov do sistema de Chen</p><p>para a = 35,b = 3 e 19 < c < 30. Tempo de convergência do método t = 800s,</p><p>τ= 0,5s e x(0) = y(0) = z(0) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58</p><p>Figura 34 – Atrator tridimensional, projeções bidimensionais e série temporal das so-</p><p>luções (x(t), y(t), z(t)) do sistema de Lü para a = 36,b = 3 e c = 20 com</p><p>pontos de equilíbrio P0 = (0,0,0) e P± = (±7,74;±7,74;20). Condições inici-</p><p>ais (x(0), y(0), z(0)) = (1,1,1) e 15 < t < 50 segundos. . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>Figura 35 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.57) para a = 36,b = 3 e 0 < c < 30. 62</p><p>Figura 36 – Atratores do sistema (3.48) de Lü, com a = 36 e b = 3, topologicamente</p><p>semelhantes ao: (a) Atrator de Lorenz com c = 13,5; (b) Atrator de Chen</p><p>com c = 24. Condições iniciais (x(0), y(0), z(0)) = (1,1,1) e 20 < t < 50 . . . . 63</p><p>Figura 37 – Seções de Poincaré do sistema de Lü para a = 36,b = 3,c = 20. . . . . . . . . 64</p><p>Figura 38 – Diagramas de bifurcação do sistema de Lü com a = 36, b = 3 e 10 < c < 30.</p><p>(a) Máximos de z(t ); (b) Máximos de x(t ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>Figura 39 – Diagrama de bifurcação dos expoentes de Lyapunov para o sistema de Lü. 65</p><p>Figura 40 – Atratores do Sistema Caótico Unificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66</p><p>Figura 41 – Lugar geométrico das raízes do polinômio (3.65) para −8 <α< 8. . . . . . . 69</p><p>Figura 42 – Diagramas de bifurcação do Sistema Unificado com 0 <α< 1. (a) Máximos</p><p>de z(t ); (b) Máximos de x(t ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70</p><p>Figura 43 – Circuito eletrônico de três estruturas de EDO’s não lineares e caóticas.</p><p>Sistema I - S4 e S5 ativas; Sistema II - S1 e S2 ativas; Sistema III - S3 e</p><p>S5 ativas. Componentes: Multiplicador Analógico AD633, Amplificador</p><p>Operacional TL084, R5 = R10 = R37 = 1 MΩ, C1 = C2 = C3 = 1 µF , Ri =</p><p>10 kΩ (i = 19, 20, 22, 24, 25, 27, 29, 30, 32), R4 = 30 kΩ, R j = 1 kΩ ( j =</p><p>1, 2, 8, 33), R9 = R21 = R34 = 240 kΩ, R23 = 280 kΩ, R26 = 290 kΩ, R31 =</p><p>350 kΩ, R35 = 91 kΩ, R36 = 910 kΩ, R3 = 15 kΩ, R15 = R18 = 240 kΩ, Rk =</p><p>10 kΩ (k = 6, 7, 11, 12, 13, 16, 38, 39). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72</p><p>Figura 44 – Máximo expoente de Lyapunov do sistema Sistema I para 0 <β< 1. Tempo</p><p>de convergência do método t = 800s, τ= 0,5s e x(0) = y(0) = z(0) = 1. . . . 73</p><p>Figura 45 – Máximo expoente de Lyapunov do sistema Sistema II para −25 < γ < 3.</p><p>Tempo de convergência do método t = 800s, τ= 0,5s e x(0) = y(0) = z(0) = 1. 74</p><p>Figura 46 – Máximo expoente de Lyapunov do sistema Sistema III para 0,5 < θ < 3.</p><p>Tempo de convergência do método t = 800s, τ= 0,5s e x(0) = y(0) = z(0) = 1. 75</p><p>Figura 47 – Retratos de fase das variáveis V1 ×V2 do Sistema I. . . . . . . . . . . . . . . . 79</p><p>Figura 48 – Retratos de fase das variáveis V1 ×V2 do Sistema II. . . . . . . . . . . . . . . 79</p><p>Figura 49 – Retratos de fase das variáveis V1 ×V2 do Sistema III. . . . . . . . . . . . . . . 80</p><p>Sumário</p><p>1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2</p><p>1.3 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>2 Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>2.2 Um Breve Histórico do Surgimento da Teoria do Caos . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>2.3 Sistemas Dinâmicos Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>2.4 Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>2.5 Teoria da Estabilidade e Comportamento das Soluções . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>2.5.1 Equilíbrio do Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>2.5.2 Estabilidade de Trajetórias e Órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>2.5.2.1 Sistemas Lineares e Classificação no Plano de Fases . . . . . . 11</p><p>2.5.2.2 Linearização em Torno de um Ponto de Equilíbrio . . . . . . 13</p><p>2.5.2.3 Conceito de Variedades de um Sistema Dinâmico . . . . . . . 14</p><p>2.5.2.4 Pontos de Equilíbrio Hiperbólicos e a Relação entre o Sistema</p><p>Não Linear e o Linearizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>2.5.3 Funções de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>2.6 Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>2.7 Comportamento Assintótico e Atratores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>2.7.1 Atratores e Repulsores em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>2.8 Estabilidade Estrutural e Bifurcações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>2.8.1 Diagrama de Bifurcação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>2.9 Seção de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>2.10 Expoentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>)</p><p>V3 =− Vc</p><p>R34</p><p>; ic = Vc</p><p>R37</p><p>; ic =−C3V̇3 (4.25)</p><p>resultam na equação de estado</p><p>V̇3 = R34</p><p>R37C3</p><p>[</p><p>0,1</p><p>R33</p><p>V1V2 −</p><p>(</p><p>R35 +R36</p><p>R35R36</p><p>)</p><p>V3</p><p>]</p><p>. (4.26)</p><p>Substituindo os valores dos componentes nas Equações (4.22), (4.24) e (4.26), o sis-</p><p>tema de EDO’s torna-se </p><p>V̇1 = 30(V2 −V1)</p><p>V̇2 = R17</p><p>104 V2 −24V1V3</p><p>V̇3 = 24V1V2 − 264</p><p>91 V3</p><p>(4.27)</p><p>O parâmetro θ referente ao Sistema III descrito na Equação 4.5 é encontrado fazendo</p><p>(27− 6θ) = R17</p><p>104 , que resulta em γ = 27</p><p>6 − R17</p><p>6(104)</p><p>. Escolhendo o potenciômetro R17 = 250 kΩ,</p><p>θ ∈ [0,33 4,5].</p><p>4.4 Resultados Gráficos</p><p>Nesta seção são apresentados resultados obtidos em Multsim a partir da simulação</p><p>do circuito ilustrado na Figura 43. Realizando a medida dos estados V1 e V2 por meio do osci-</p><p>loscópio, gerou-se diferentes retratos de fases em cada um dos três sistemas para diferentes</p><p>valores do parâmetro variável.</p><p>A Figura 47 ilustra os retratos de fases referentes ao Sistema I descrito na Equação</p><p>(4.13). A análise do máximo expoente de Lyapunov mostrou que tal sistema é caótico para β ∈</p><p>[0,1 0,85]. A Figura (a) ilustra uma solução de equilíbrio, enquanto as Figuras (b), (c) e (d)</p><p>ilustram a estrutura dinâmica de um atrator caótico.</p><p>Na Figura 48 exibe-se os retratos de fases referentes ao Sistema II, representado pela</p><p>Equação (4.20). O comportamento caótico, determinado pelo máximo expoente de Lyapunov</p><p>desse sistema, ocorre quando γ ∈ [-23,2 1,8]. Na Figura (a) as soluções convergem para um</p><p>ponto de equilíbrio, em (b) e (d) para um atrator caótico. Em (c) é verificada a existência de</p><p>uma solução de equilíbrio com período 1T , um ciclo limite estável, contido no intervalo do</p><p>parâmetro γ em que o máximo expoente de Lyapunov ilustrado na Figura 45 é nulo.</p><p>Na Figura 48 são ilustrados os retratos de fases do Sistema III descrito na Equação</p><p>(4.20). Para γ ∈ [0,58 2,7], a dinâmica desse sistema é caótica, cujos seus atratores são</p><p>ilustrados em (b) e (c). Em (a) e (b) são ilustradas duas soluções de equilíbrio, convergindo</p><p>em (a) para um ponto de equilíbrio e em (b) para um ciclo limite estável de período 2T .</p><p>Capítulo 4. Caos em um Circuito Eletrônico 79</p><p>(a) R28 = 0,9 kΩ, β= 0,09. (b) R28 = 1 kΩ, β= 0,1.</p><p>(c) R28 = 5 kΩ, β= 0,5. (d) R28 = 8 kΩ, β= 0,8.</p><p>Figura 47 – Retratos de fase das variáveis V1 ×V2 do Sistema I.</p><p>(a) R14 = 130 kΩ, γ= 2,33. (b) R14 = 250 kΩ, γ= 0,33.</p><p>(c) R14 = 1170 kΩ, γ=−15. (d) R14 = 1530 kΩ, γ=−21.</p><p>Figura 48 – Retratos de fase das variáveis V1 ×V2 do Sistema II.</p><p>Capítulo 4. Caos em um Circuito Eletrônico 80</p><p>(a) R17 = 100 kΩ, θ = 2,83. (b) R17 = 135 kΩ, θ = 2,25.</p><p>(c) R17 = 200 kΩ, θ = 1,166. (d) R17 = 238 kΩ, θ = 0,53.</p><p>Figura 49 – Retratos de fase das variáveis V1 ×V2 do Sistema III.</p><p>4.5 Comentários Finais</p><p>Nesse capítulo foram estudados três sistemas dinâmicos distintos que são caóticos</p><p>em determinados intervalos de valores do parâmetro. A partir de um circuito eletrônico,</p><p>descreveu-se seus três diferentes modos de operação e suas equações dinâmicas associadas,</p><p>obtidas na modelagem pela teoria de análise de circuitos elétricos. O intuito foi mostrar uma</p><p>possível representação física real de sistemas caóticos.</p><p>A consistência entre as dinâmicas obtidas em simulação eletrônica com os resultados</p><p>esperados a partir do máximo expoente de Lyapunov permitem, então, a investigação teórica e</p><p>prática de uma infinidade de dinâmicas do circuito apenas mudando-se a posição das chaves</p><p>e variando-se os potenciômetros. Dentre as possíveis dinâmicas, destaca-se nos retratos</p><p>de fases obtidos em simulação estruturas semelhantes ao atrator de Lorenz (Figura 48-(b)),</p><p>Atrator de Chen (Figura 47-(d), Figura 47-(c)) e o Atrator de Lü (Figura 49-(b)).</p><p>81</p><p>Capı́tulo 5</p><p>Conclusões e Trabalhos Futuros</p><p>O presente trabalho teve como proposta a realização de um estudo aplicado a quatro</p><p>sistemas não lineares com intuito de descrever seus possíveis comportamentos dinâmicos</p><p>em diferentes valores dos parâmetros. Como objetivo principal, buscou-se caracterizar o</p><p>caos presentes nesses sistemas e explorar algumas de suas características essenciais, como</p><p>o padrão dinâmico dos atratores e sua delimitação no espaço de estados, a aperiodicidade</p><p>do movimento, a instabilidade dos pontos de equilíbrio e a sensibilidade desses sistemas às</p><p>condições iniciais.</p><p>Para descrever o comportamento dos sistemas, no Capítulo 3 foi realizado um estudo</p><p>local das soluções que consistiu na análise de raízes polinomiais. Com isso, foi possível deter-</p><p>minar em quais valores do parâmetro determinado tipo de comportamento local acontece</p><p>e sua estabilidade associada. Contudo, tal análise não permite identificar dinâmicas como</p><p>ciclos limite ou atratores caóticos. Para isso, foram utilizadas ferramentas computacionais</p><p>que fornecem informações do comportamento global das soluções. Pelo máximo expoente de</p><p>Lyapunov foram determinados nos sistemas regiões do parâmetro no qual o comportamento</p><p>é caótico ou regular. De forma complementar, com os Diagramas de Bifurcação observou-se</p><p>a característica da aperiodicidade dos sistemas em diferentes valores do parâmetro. Os Retra-</p><p>tos de Fases apresentados permitem uma visualização direta dos atratores caóticos e outra</p><p>evidência de seu movimento aperiódico é exibida nas Seções de Poincaré.</p><p>Buscando reproduzir a dinâmica caótica em um sistema físico real, no Capítulo 4</p><p>apresentou-se um circuito eletrônico cujas equações que o descrevem foram obtidas na</p><p>modelagem pela teoria da análise de circuitos elétricos. A partir de um estudo prévio da</p><p>dinâmica por meio dos Expoentes de Lyapunov, buscou-se reproduzir nesse circuito atratores</p><p>caóticos e soluções periódicas estáveis. Os resultados da simulação, exibidos em forma do</p><p>Retrato de Fases, servem para validar não só o perfeito funcionamento do circuito pelo modelo</p><p>que o descreve, como também as dinâmicas reproduzidas e indicadas pelos Expoentes de</p><p>Lyapunov.</p><p>Uma proposta de trabalho futuro seria a implementação prática do circuito eletrônico</p><p>tratado nesse texto. Conforme a metodologia utilizada em (VELOSA, 2016), poderia-se tam-</p><p>Capítulo 5. Conclusões e Trabalhos Futuros 82</p><p>bém desenvolver técnicas de detecção e controle do caos em tempo real. Outra interessante</p><p>aplicação desse sistema baseia-se na criptografia de sinais por meio da sincronização de osci-</p><p>ladores caóticos, conforme abordado em (GRZYBOWSKI; RAFIKOV, 2008). Nessas aplicações,</p><p>uma gama de novos conceitos e ferramentas são utilizados como informação para leis de</p><p>controle, como exemplo a detecção de órbitas periódicas instáveis em um atrator caótico,</p><p>utilizadas no controle do caos pela técnica de OGY.</p><p>83</p><p>Referências</p><p>ALGABA, A. et al. Chen’s attractor exists if lorenz repulsor exists: The chen system is a special</p><p>case of the lorenz system. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, AIP, v. 23,</p><p>n. 3, p. 033108, 2013. 2</p><p>ALGABA, A. et al. The lü system is a particular case of the lorenz system. Physics Letters A,</p><p>Elsevier, v. 377, n. 39, p. 2771–2776, 2013. 2</p><p>ANISHCHENKO, V. S. et al. Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems: tutorial and</p><p>modern developments. [S.l.]: Springer Science & Business Media, 2007. 7</p><p>ARGYRIS, J. et al. An Exploration of Dynamical Systems and Chaos: Completely Revised and</p><p>Enlarged Second Edition. [S.l.]: Springer, 2015. 8, 1, 6, 24, 32, 33, 43, 44</p><p>BUSCARINO, A.; FORTUNA, L.; FRASCA, M. Essentials of Nonlinear Circuit Dynamics with</p><p>MATLAB® and Laboratory Experiments. [S.l.]: CRC Press, 2017. 30</p><p>ČELIKOVSKỲ, S.; CHEN, G. Hyperbolic-type generalized lorenz chaotic system and its canoni-</p><p>cal form. IFAC Proceedings Volumes, Elsevier, v. 35, n. 1, p. 203–208, 2002. 2</p><p>ČELIKOVSKÝ, S.; CHEN, G. On a generalized lorenz canonical form of chaotic systems. Inter-</p><p>national Journal of Bifurcation and Chaos, World Scientific, v. 12, n. 08, p. 1789–1812, 2002.</p><p>2</p><p>ČELIKOVSKỲ, S.; CHEN, G. On the generalized lorenz canonical form. Chaos, Solitons &</p><p>Fractals, Elsevier, v. 26, n. 5, p. 1271–1276, 2005. 2</p><p>CHEN, G. The chen system revisited.</p><p>Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems,</p><p>v. 20, p. 691–696, 2013. 2</p><p>CHEN, G.; UETA, T. Yet another chaotic attractor. 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A new chaotic attractor coined. International Journal of Bifurcation and</p><p>chaos, World Scientific, v. 12, n. 03, p. 659–661, 2002. 1, 2, 58</p><p>LÜ, J.; CHEN, G.; CHENG, D. A new chaotic system and beyond: the generalized lorenz-</p><p>like system. International Journal of Bifurcation and Chaos, World Scientific, v. 14, n. 05, p.</p><p>1507–1537, 2004. 31</p><p>LÜ, J. et al. Bridge the gap between the lorenz system and the chen system. International</p><p>Journal of Bifurcation and Chaos, World Scientific, v. 12, n. 12, p. 2917–2926, 2002. 2, 66</p><p>LÜ, J.; CHEN, G.; ZHANG, S. Dynamical analysis of a new chaotic attractor. International</p><p>Journal of Bifurcation and chaos, World Scientific, v. 12, n. 05, p. 1001–1015, 2002. 59, 60, 62</p><p>LYNCH, S. Dynamical systems with applications using MATLAB. [S.l.]: Springer, 2004. 30, 48</p><p>MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinâmicos. [S.l.]: Editora Livraria da Física, 2006. 6, 7, 8, 23, 24,</p><p>25, 27, 31</p><p>SAVI, M. A. 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Introduction to mathematical modeling and chaotic dyna-</p><p>mics. [S.l.]: CRC press, 2013. 23, 28</p><p>VANĚČEK, A.; ČELIKOVSKỲ, S. Control systems: from linear analysis to synthesis of chaos. [S.l.]:</p><p>Prentice Hall International (UK) Ltd., 1996. 2</p><p>VELOSA, C. M. N. Análise e controlo robusto de modos de funcionamento caóticos em</p><p>sistemas aeroespaciais. 2016. 30, 31, 81</p><p>VILLATE, J. Introdução aos sistemas dinâmicos: uma abordagem prática com maxima. 2005.</p><p>7, 13</p><p>WANG, X.; CHEN, G. A gallery of lorenz-like and chen-like attractors. International Journal of</p><p>Bifurcation and Chaos, World Scientific, v. 23, n. 04, p. 1330011, 2013. 2</p><p>WIGGINS, S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. [S.l.]: Springer</p><p>Science & Business Media, 2003. v. 2. 7, 10, 14, 16, 17, 20, 21, 86</p><p>WOLF, A. et al. Determining lyapunov exponents from a time series. Physica D: Nonlinear</p><p>Phenomena, Elsevier, v. 16, n. 3, p. 285–317, 1985. 48</p><p>YANG, Q.; CHEN, G.; ZHOU, T. A unified lorenz-type system and its canonical form. Inter-</p><p>national Journal of Bifurcation and Chaos, World Scientific, v. 16, n. 10, p. 2855–2871, 2006.</p><p>2</p><p>YORKE, J. A.; YORKE, E. D. Metastable chaos: the transition to sustained chaotic behavior in</p><p>the lorenz model. Journal of Statistical Physics, Springer, v. 21, n. 3, p. 263–277, 1979. 44</p><p>ZHANG, H.; LIU, D.; WANG, Z. Controlling chaos: suppression, synchronization and chaotifi-</p><p>cation. [S.l.]: Springer Science & Business Media, 2009. 7, 1, 9, 10, 14, 16, 17, 21, 24</p><p>86</p><p>ANEXO A</p><p>Ferramentas de Análise de Polinômios</p><p>As ferramentas apresentadas nesse anexo foram retiradas de (WIGGINS, 2003; LIMA</p><p>et al., 1987). Descrevê-las permitirá uma melhor compreensão dos métodos utilizados para</p><p>estudar a dinâmica de sistemas lineares por meio de equações polinomiais.</p><p>Considere a princípio um polinômio de coeficientes reais da forma:</p><p>p(λ) = anλ</p><p>n +an−1λ</p><p>n−1, . . . ,+a1λ+a0, ai ∈R, a0 6= 0. (A.1)</p><p>Teorema A.0.1 (Teorema Fundamental da Algebra). O polinômio (A.1) tem exatamente n</p><p>raízes reais ou complexas, λ1, . . . ,λn , onde a repetição de raízes é possível, i.e., λi = λ j , para</p><p>algum i e j.</p><p>Considerando apenas o caso de polinômios com coeficientes reais, é possível verificar</p><p>que se λ é uma raiz de (A.1), seu conjugado complexo λ̄ também é raiz. Sendo assim, para</p><p>polinômios com coeficientes reais, as raízes ocorrem em pares complexos conjugados.</p><p>A seguir é descrito um resultado útil que permite obter algumas informações das</p><p>raízes desse polinômio apenas analisando os coeficientes.</p><p>Teorema A.0.2 (Regra dos sinais de Descartes). Considere a sequência de coeficientes de (A.1):</p><p>an , an−1, . . . , a1, a0.</p><p>Seja k o número total de mudanças de sinal de um coeficiente para o seguinte na sequência.</p><p>Então, o número de raízes reais positivas do polinômio é igual a k, ou k menos um inteiro par</p><p>positivo.(Nota: se k = 1, então existe exatamente uma raiz real positiva.)</p><p>A localização no plano complexo das partes reais das raízes do polinômio (A.1) pode</p><p>ser determinada pelo critério de Routh-Hurwitz. Primeiramente constrói-se a tabela de Routh</p><p>(8) associada a esse polinômio. As duas primeiras linhas da tabela são preenchidas direta-</p><p>ANEXO A. Ferramentas de Análise de Polinômios 87</p><p>Tabela 8 – Tabela de Routh-Hurwitz</p><p>λn an an−2 an−4 an−6 . . .</p><p>λn−1 an−1 an−3 an−5 an−7 . . .</p><p>λn−2 b1 b2 b2 . . .</p><p>λn−3 c1 c2 c3 . . .</p><p>λn−4 ...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>λ1</p><p>λ0</p><p>mente com os coeficientes do polinômio de acordo com a sequência apresentada. Para a</p><p>segunda linha em diante, os coeficientes da tabela são obtidos por</p><p>b1 = −1</p><p>an−1</p><p>∣∣∣∣∣ an an−2</p><p>an−1 an−3</p><p>∣∣∣∣∣ , b2 = −1</p><p>an−1</p><p>∣∣∣∣∣ an an−4</p><p>an−1 an−5</p><p>∣∣∣∣∣ , b3 = −1</p><p>an−1</p><p>∣∣∣∣∣ an an−6</p><p>an−1 an−7</p><p>∣∣∣∣∣ , . . .</p><p>.c1 = −1</p><p>b1</p><p>∣∣∣∣∣an−1 an−3</p><p>b1 b2</p><p>∣∣∣∣∣ , c2 = −1</p><p>b1</p><p>∣∣∣∣∣an−1 an−5</p><p>b1 b3</p><p>∣∣∣∣∣ , . . . .</p><p>Teorema A.0.3 (Teste de Routh-Hurwitz). Todas as raízes do polinômio (A.1) têm partes reais</p><p>estritamente menores que zero se, e somente se, todos os elementos na primeira coluna da</p><p>tabela Routh forem diferentes de zero e tiverem o mesmo sinal.</p><p>Uma outra relação útil aplicada na análise dos coeficientes de um polinômio consiste</p><p>no que é conhecido como relação de Girard. Seja um polinômio de terceira ordem com seu</p><p>primeiro coeficiente normalizado</p><p>p(λ) =λ3 +a2λ</p><p>2 +a1λ+a0, (A.2)</p><p>com raízes λ1,λ2,λ3. Expandindo (λ−λ1)(λ−λ2)(λ−λ3) chega-se a seguinte relação dos</p><p>coeficientes desse polinômio com suas raízes</p><p>p(λ) =λ3 − (λ1 +λ2 +λ3)λ2 + (λ1λ2 +λ1λ3 +λ2λ3)λ−λ1λ2λ3, (A.3)</p><p>Quando existe um par de raízes complexas conjugadas de parte real zero, ou seja,</p><p>λ1,2 =±iλ, uma das raízes pode ser determinada diretamente a partir do negativo do coefici-</p><p>ente a2.</p><p>As soluções de um polinômio cúbico na forma de (A.2) podem ser obtidas pelas</p><p>expressões analíticas de Tartaglia-Ferro-Cardano. Realizando uma mudança de coordenada,</p><p>λ=Λ− a2</p><p>3 , o polinômio (A.2) transforma-se em</p><p>Λ3 + (a1 −</p><p>a2</p><p>2</p><p>3</p><p>)Λ+ 2a3</p><p>2</p><p>27</p><p>− a1a2</p><p>3</p><p>+a0 = 0, (A.4)</p><p>ANEXO A. Ferramentas de Análise de Polinômios 88</p><p>que é uma equação que não possui o termo de grau 2. A análise da equação de terceiro grau</p><p>pode ser feita pela equação resultante</p><p>Λ3 +pΛ+q = 0, (A.5)</p><p>em que p = (a1 − a2</p><p>2</p><p>3 ) e q = (</p><p>2a3</p><p>2</p><p>27 − a1a2</p><p>3 +a0). Uma raiz desse polinômio é obtida diretamente</p><p>por</p><p>Λ1 =</p><p>3</p><p>√√√√−q</p><p>2</p><p>+</p><p>√</p><p>q2</p><p>4</p><p>+ p3</p><p>27</p><p>+ 3</p><p>√√√√−q</p><p>2</p><p>−</p><p>√</p><p>q2</p><p>4</p><p>+ p3</p><p>27</p><p>. (A.6)</p><p>Destacando o radicando D = q2</p><p>4 + p3</p><p>27 , o polinômio (A.5) terá as seguintes raízes:</p><p>• D > 0 : uma raíz real e duas raízes complexas conjugadas;</p><p>• D = 0 : três raízes reais, sendo uma repetida;</p><p>• D < 0 : três raízes reais e distinta.</p><p>Para determinar a raiz do polinômio original (A.2), utiliza-se a transformada λ=Λ− a2</p><p>3</p><p>que resultou no polinômio em estudo. As outras duas raízes do polinômio original poderão</p><p>ser determinadas por divisão de polinômios, resultando na análise das raízes pela equação de</p><p>Báskara.</p><p>Folha de rosto</p><p>Epígrafe</p><p>Resumo</p><p>Abstract</p><p>Lista de Ilustrações</p><p>Sumário</p><p>Introdução</p><p>Motivação</p><p>Objetivos</p><p>Estrutura do Trabalho</p><p>Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos</p><p>Introdução</p><p>Um Breve Histórico do Surgimento da Teoria do Caos</p><p>Sistemas Dinâmicos Contínuos</p><p>Espaço de Estados</p><p>Teoria da Estabilidade e Comportamento das Soluções</p><p>Equilíbrio do Campo Vetorial</p><p>Estabilidade de Trajetórias e Órbitas</p><p>Sistemas Lineares e Classificação no Plano de Fases</p><p>Linearização em Torno de um Ponto de Equilíbrio</p><p>Conceito de Variedades de um Sistema Dinâmico</p><p>Pontos de Equilíbrio Hiperbólicos e a Relação entre o Sistema Não Linear e o Linearizado</p><p>Funções de Lyapunov</p><p>Sistemas Conservativos</p><p>Comportamento Assintótico e Atratores</p><p>Atratores e Repulsores em R3</p><p>Estabilidade Estrutural e Bifurcações</p><p>Diagrama de Bifurcação</p><p>Seção de Poincaré</p><p>Expoentes de Lyapunov</p><p>Caos Determinístico</p><p>Considerações Finais</p><p>Análise dos Sistemas Tipo Lorenz</p><p>Introdução</p><p>Sistema de Lorenz</p><p>Sistema de Chen</p><p>Sistema de Lü</p><p>Sistema Caótico Unificado</p><p>Considerações Finais</p><p>Caos em um Circuito Eletrônico</p><p>Introdução</p><p>Descrição e Análise dos Sistemas</p><p>Modelagem do Circuito</p><p>Modelagem Sistema I</p><p>Modelagem Sistema II</p><p>Modelagem Sistema III</p><p>Resultados Gráficos</p><p>Comentários Finais</p><p>Conclusões e Trabalhos Futuros</p><p>Referências</p><p>Ferramentas de Análise de Polinômios</p><p>. . . . . . . 27</p><p>2.11 Caos Determinístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30</p><p>2.12 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>3 Análise dos Sistemas Tipo Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>3.2 Sistema de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>3.3 Sistema de Chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</p><p>3.4 Sistema de Lü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58</p><p>3.5 Sistema Caótico Unificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66</p><p>3.6 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70</p><p>4 Caos em um Circuito Eletrônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71</p><p>4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71</p><p>4.2 Descrição e Análise dos Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71</p><p>4.3 Modelagem do Circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75</p><p>4.3.1 Modelagem Sistema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76</p><p>4.3.2 Modelagem Sistema II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76</p><p>4.3.3 Modelagem Sistema III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77</p><p>4.4 Resultados Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>4.5 Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80</p><p>5 Conclusões e Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81</p><p>Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83</p><p>ANEXO A Ferramentas de Análise de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . 86</p><p>1</p><p>Capı́tulo 1</p><p>Introdução</p><p>Na teoria de sistemas dinâmicos não lineares caos é um determinado tipo de com-</p><p>portamento que possui algumas características universais. Dentre elas, a alta sensibilidade</p><p>às condições iniciais é responsável em tornar esses sistemas praticamente imprevisíveis.</p><p>Quando um modelo determinístico exibe caos, soluções dinâmicas com estados iniciais pró-</p><p>ximos divergem após um horizonte de previsibilidade. Assim, incertezas inerentes a qualquer</p><p>medida física de um sistema real comprometem as tentativas de previsibilidade do seu estado</p><p>futuro.</p><p>Em relação as suas implicações, a teoria do caos pode ser considerada a terceira</p><p>revolução da física no século XX, depois da teoria da relatividade e da mecânica quântica</p><p>(ARGYRIS et al., 2015). O determinismo buscado por gerações de pesquisadores encerra-</p><p>se nos movimentos caóticos e a nova possibilidade de comportamento dinâmico torna-se</p><p>responsável pelo surgimento de novas metodologias e ferramentas de análise dos sistemas</p><p>dinâmicos não lineares.</p><p>Em geral, o comportamento caótico pode ocorrer em diversos sistemas. Exemplos</p><p>aplicam-se a física (turbulência fluida, laser, circuitos eletrônicos, etc.), em química (reação</p><p>de Belouzov-Zhabotinsky, etc.), biologia (processos bioquímicos, sistemas neurais e cardía-</p><p>cos), ciências sociais (mercado de ações, propagação de doenças, etc.), dentre tantos outros</p><p>(LAYEK, 2015). Aplicações envolvendo o controle e a sincronização do caos estão presentes</p><p>em diferentes processos, como exemplo, na mistura de fluidos de forma a consumir o mínimo</p><p>de energia, na estabilização de órbitas de satélites com mínimo esforço na ação controle, na</p><p>criptografia de informações digitais utilizando a sincronização de circuitos eletrônicos com</p><p>dinâmica caótica, dentre várias (ZHANG; LIU; WANG, 2009).</p><p>O presente trabalho tem como motivação a crescente aplicabilidade dos sistemas caó-</p><p>ticos e seu recente desenvolvimento a partir de novas ferramentas teóricas, computacionais e</p><p>práticas. Em consequência disso, são analisadas algumas características dinâmicas de quatro</p><p>sistemas caóticos relacionados entre si e que vêm sendo abordados em diversas publicações</p><p>científicas nos últimos 20 anos, os chamados Sistema de Lorenz (LORENZ, 1963), sistema de</p><p>Chen (CHEN; UETA, 1999), Sistema de Lü (LÜ; CHEN, 2002) e o denominado Sistema Caótico</p><p>Capítulo 1. Introdução 2</p><p>Unificado (LÜ et al., 2002). Por fim, é feita a implementação de um circuito eletrônico em</p><p>um ambiente de simulação capaz de reproduzir a estrutura dinâmica dos quatro sistemas</p><p>estudados.</p><p>1.1 Motivação</p><p>Dadas as razões supracitadas pela escolha de abordar um estudo sobre dinâmica não</p><p>linear e sistemas caóticos, propõe-se aplicar algumas ferramentas oriundas de tal teoria em</p><p>um sistema unificado. A motivação em sua escolha deve-se ao fato de que tal sistema possui</p><p>relações fundamentais compartilhadas entre os sistemas de Lorenz, Chen e Lü.</p><p>A publicação original relatando o que ficou conhecido com Sistema de Lorenz (LO-</p><p>RENZ, 1963) abriu espaço para a descoberta de diversos outros sistemas caóticos com atrato-</p><p>res semelhantes, como o Sistema de Chen (CHEN; UETA, 1999), Sistema de Lü (LÜ; CHEN,</p><p>2002) e o Sistema Caótico Unificado (LÜ et al., 2002). Este último é na verdade uma combi-</p><p>nação convexa dos sistemas de Lorenz e Chen, e representa uma família inteira de infinitos</p><p>sistemas caóticos entre eles, com as dinâmicas dos sistemas de Lorenz e Chen ocorrendo nos</p><p>extremos do parâmetro variável.</p><p>Na publicação de Vaněček e Čelikovskỳ (1996) foi proposto um sistema chamado de</p><p>Forma Canônica Generalizada de Lorenz capaz de reproduzir uma classe ampla de sistemas</p><p>caóticos. Os autores deram uma classificação a esse sistema em termos de a12a21, em que</p><p>a12 e a21 são entradas correspondentes a parte linear de um sistema descrito por uma matriz</p><p>constante A = [ai j ]3×3. De acordo com esta condição, o Sistema de Lorenz satisfaz a12a21 > 0,</p><p>o Sistema de Chen a12a21 < 0 e o Sistema de Lü a12a21 = 0. Classificações mais gerais desses</p><p>sistemas foram posteriormente propostas em (ČELIKOVSKÝ; CHEN, 2002; ČELIKOVSKỲ;</p><p>CHEN, 2002; ČELIKOVSKỲ; CHEN, 2005; YANG; CHEN; ZHOU, 2006). Os autores Wang e Chen</p><p>(2013) apresentam um compilado de sistemas autônomos tridimensionais não lineares classi-</p><p>ficados em diferentes famílias de acordo com os padrões dinâmicos caóticos, encontrados</p><p>em publicações de diferentes autores ao longo dos anos.</p><p>Ainda, recentemente publicações envolvendo a análise dos sistemas de Lorenz, Chen</p><p>e Lü têm gerado discussões a respeito de uma equivalência entre estes (ALGABA et al., 2013a;</p><p>ALGABA et al., 2013b; CHEN, 2013; LEONOV; KUZNETSOV, 2015), tratando-se ainda de um</p><p>campo promissor para investigação científica.</p><p>1.2 Objetivos</p><p>Neste trabalho, como objetivo geral empregam-se conceitos e ferramentas da análise</p><p>de sistemas não lineares com intuito de caracterizar alguns dos seus vários padrões dinâmicos,</p><p>em especial o caos. Estudando quatro tipos diferentes de sistemas caóticos, questões como</p><p>Capítulo 1. Introdução 3</p><p>estabilidade, pontos de bifurcação, regiões de parâmetros que os tornam caóticos, dentre</p><p>outras, são determinadas.</p><p>Empregando a teoria de circuitos elétricos são deduzidas as equações dinâmicas do</p><p>circuito que pode operar em três situações distintas. A dinâmica caótica da tensão em alguns</p><p>pontos deste circuito para cada situação é investigada no ambiente de simulação Multsim.</p><p>Em síntese, os objetivos específicos do presente trabalho consistem em:</p><p>• Definir sistemas dinâmicos não lineares e as condições de estabilidade assintótica no</p><p>sentido de Lyapunov das soluções de equilíbrio;</p><p>• Aplicar ferramentas matemáticas de análise como Funções de Lyapunov, divergência</p><p>do campo e evolução de volumes e também ferramentas computacionais utilizadas</p><p>na obtenção do Diagrama de Bifurcação, Seção de Poincaré e Expoentes de Lyapunov</p><p>utilizando os softwares Wolfram Mathematica e Matlab.</p><p>• Caracterizar o comportamento dinâmico dos sistemas de Lorenz,</p><p>Chen, Lü e do Sistema</p><p>Caótico Unificado;</p><p>• Empregar as leis da física de Kirchoff para obtenção de um modelo para o circuito</p><p>eletrônico operando em três modos distintos;</p><p>• Implementar o circuito em ambiente de simulação computacional utilizando o software</p><p>Multsim e realizar a análise dos resultados.</p><p>1.3 Estrutura do Trabalho</p><p>O presente trabalho está organizado da seguinte forma:</p><p>No Capítulo 1, é fornecida uma breve introdução sobre sistemas dinâmicos caóticos e</p><p>algumas aplicações que servem de motivação em seu estudo.</p><p>O Capítulo 2, traz uma revisão de algumas ferramentas usualmente empregadas na</p><p>análise de sistemas não lineares autônomos. São apresentados conceitos e definições impor-</p><p>tantes na metodologia deste trabalho e que vêm à auxiliar na compreensão e caracterização</p><p>de comportamento dinâmico caótico.</p><p>No Capítulo 3, são determinadas propriedades e características dinâmicas dos quatro</p><p>sistemas não lineares, utilizando ferramentas matemáticas e computacionais. A primeira</p><p>delas determina em grande parte a natureza local das soluções nas proximidades dos pontos</p><p>de equilíbrio e sua estabilidade associada enquanto a segunda permite descrever o comporta-</p><p>mento global das soluções, como exemplo, caos a partir da análise do máximo expoente de</p><p>Lyapunov.</p><p>O Capítulo 4, por sua vez, trata da modelagem e análise do caos no circuito eletrônico.</p><p>Deduzidas as equações dinâmicas, determina-se as regiões dos parâmetros associadas aos</p><p>Capítulo 1. Introdução 4</p><p>valores de potenciômetros em que o caos se manifesta, cujos resultados são verificados pelo</p><p>retrato de fases gerados em osciloscópio durante a simulação.</p><p>Por fim, o Capítulo 5 apresenta as conclusões, considerações finais e as propostas</p><p>para pesquisas futuras.</p><p>5</p><p>Capı́tulo 2</p><p>Fundamentos de Dinâmica Não Linear e</p><p>Caos</p><p>2.1 Introdução</p><p>Neste capítulo alguns fundamentos teóricos, no que diz respeito a dinâmica não</p><p>linear, são apresentados. Na Seção 2.2 é feita uma contextualização teórica relatando as</p><p>motivações que levaram a descoberta dos sistemas caóticos. Na Seção 2.3 define-se o conceito</p><p>de sistemas dinâmicos autônomos e o modelo de equações que os descrevem. A Seção 2.4</p><p>explora o conceito de soluções e campo de vetores contidos no espaço formado pelos estados</p><p>dinâmicos. A Seção 2.5 apresenta definições e ferramentas utilizadas na determinação da</p><p>estabilidade de soluções. Apresenta-se também a classificação das soluções dos sistemas</p><p>lineares no plano de fases e a estabilidade local de soluções próximas aos pontos de equilíbrio</p><p>hiperbólicos de um sistema não linear. Na Seção 2.6 é definido o conceito da dissipatividade</p><p>de sistemas autônomos a partir do divergente do campo de vetores. A Seção 2.7 apresenta</p><p>algumas terminologias e definições geralmente utilizadas na descrição de atratores em um</p><p>sistema dinâmico não linear tridimensional. A Seção 2.8 define o conceito de bifurcação e</p><p>também a metodologia utilizada nesse trabalho para construção do diagrama de bifurcação.</p><p>Na Seção 2.9 é apresentado o conceito da Seção de Poincaré, uma ferramenta que permite</p><p>analisar certas características das soluções, como exemplo a aperiodicidade. Na Seção 2.10</p><p>é apresentada a definição dos expoentes de Lyapunov, a principal ferramenta utilizada na</p><p>determinação do comportamento caótico dos sistemas estudados no Capítulo 3. Definidos</p><p>conceitos importantes acerca dos sistemas não lineares, na Seção 2.11 são apresentadas as</p><p>características buscadas na investigação dos comportamentos caóticos.</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 6</p><p>2.2 Um Breve Histórico do Surgimento da Teoria do Caos</p><p>A primeira evidência de uma dinâmica caótica foi constatada no final do século XIX</p><p>pelo matemático Jules H. Poincaré (1854-1912) ao estudar o problema dos três corpos (MON-</p><p>TEIRO, 2006; ARGYRIS et al., 2015). Nesse problema, pretendia-se determinar o movimento</p><p>descrito pelos planetas quando sujeitos a força de atração gravitacional mútua.</p><p>Motivados sobre a questão da estabilidade do sistema solar, gerações de físicos e</p><p>matemáticos após Newton tentaram solucionar o problema não linear dos três corpos, o qual</p><p>mostrou-se ser impossível obter uma solução analítica exata que descreva o movimento de</p><p>tais corpos (MONTEIRO, 2006). Ao tratar esse problema, Poincaré desenvolveu métodos pio-</p><p>neiros na análise de sistemas dinâmicos não lineares, percebendo que era possível determinar</p><p>propriedades qualitativas das soluções de um sistema sem resolvê-lo analiticamente. As técni-</p><p>cas geométricas e topológicas utilizadas por Poincaré provaram ser uma poderosa ferramenta</p><p>na análise de sistemas dinâmicos não lineares, o que levou ao seu reconhecimento como</p><p>o “Pai da dinâmica não linear” (LAYEK, 2015). Apesar de não determinar a estabilidade do</p><p>sistema solar, Poincaré visualizou que pequenas diferenças nas condições iniciais poderiam</p><p>produzir grandes diferenças no fenômeno final, o que mais tarde ficaria conhecido como</p><p>comportamento dinâmico caótico.</p><p>Ainda no final do século XIX, o matemático Aleksandr M. Lyapunov (1857-1918) con-</p><p>tribui significativamente para análise de sistemas dinâmicos ao desenvolver sua teoria da</p><p>estabilidade (MONTEIRO, 2006). As ferramentas matemáticas desenvolvidas por Lyapunov</p><p>passaram a ser amplamente utilizadas na análise de uma classe particular de sistemas, como</p><p>por exemplo, os que apresentam comportamento caótico, cuja dinâmica pode ser quantifi-</p><p>cada através do expoente de Lyapunov (LAYEK, 2015).</p><p>O desenvolvimento na compreensão e análise de sistemas dinâmicos caóticos só</p><p>foi possível graças as descobertas feitas pelo metereologista Edward N. Lorenz (1917-2008)</p><p>no início da década de 1960. Com o auxílio computacional, Lorenz estudou a convecção</p><p>atmosférica utilizando um modelo simplificado de equações não lineares e concluiu que</p><p>mesmo condições iniciais suficientemente próximas produziam divergências nas soluções</p><p>das variáveis dinâmicas (LAYEK, 2015). A sensibilidade às condições iniciais do modelo de</p><p>equações atmosféricas ficou conhecida como efeito borboleta (MONTEIRO, 2006). Lorenz</p><p>concluiu que o tempo, no sentido metereológico, agiria de forma imprevisível, pois um erro</p><p>nas medidas das condições climáticas devido a imprecisão comprometeria a validade de</p><p>qualquer previsão futura.</p><p>2.3 Sistemas Dinâmicos Contínuos</p><p>Um sistema dinâmico pode ser definido como um conjunto de objetos de qualquer</p><p>natureza agrupados por alguma interdependência (MONTEIRO, 2006). Seus estados evoluem</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 7</p><p>no tempo de acordo com alguma lei dinâmica, ou seja, resultado da ação de um operador de</p><p>evolução determinista (ANISHCHENKO et al., 2007).</p><p>O estudo teórico de sistemas dinâmicos consiste basicamente na construção e análise</p><p>de modelos matemáticos. Em geral, é possível representar um sistema dinâmico a partir</p><p>de diferentes modelos, cada qual dependente do propósito e da precisão esperada de suas</p><p>previsões (MONTEIRO, 2006).</p><p>No presente trabalho aborda-se uma classe específica de sistemas dinâmicos, cujo</p><p>modelo matemático é descrito por um conjunto de equações diferenciais ordinárias, não</p><p>lineares, contínuas e de primeira ordem, com parâmetros fixos no tempo (autônoma) e sem</p><p>interferência de efeitos aleatórios, ou seja, EDO’s (Equação Diferencial Ordinária) não lineares</p><p>autônomas e deterministas.</p><p>Em geral, uma EDO autônoma de ordem n pode ser escrita como,</p><p>y (n) = f (y, ẏ , ..., y (n−1)). (2.1)</p><p>Em que y (n) é a n-enésima derivada de y = y(t ) em relação à t . A EDO é linear se f for</p><p>linear nas variáveis y, ẏ , · · · , y (n−1) e é não linear caso contrário.</p><p>Definição 2.3.1 (Sistema Linear). Um sistema é linear se as seguintes condições forem satisfei-</p><p>tas:</p><p>f (x + y) = f (x)+ f (y), x, y ∈Rn .</p><p>(2.2)</p><p>f (αx) =α f (x), x ∈Rn , α ∈Rp .</p><p>Neste trabalho os sistemas abordados não satisfazem as propriedades matemáticas</p><p>de (2.2). Conforme apresentado em Silva (2006), sistemas dinâmicos não lineares são mais</p><p>complexos que os sistemas lineares e</p><p>apresentam alguns fenômenos que esta última classe</p><p>não apresenta, como: Dependência da amplitude de excitação; Tempo de escape infinito; Pon-</p><p>tos de equilíbrio múltiplos; Não unicidade da solução; Dependência crítica dos parâmetros;</p><p>Bifurcações; Caos ou dependência crítica às condições iniciais; Ciclos limite ou oscilações;</p><p>Existência de harmônicas e de sub-harmônicas (SILVA, 2006).</p><p>Uma EDO autônoma de ordem n ≥ 2 pode ser representada por meio de um sistema</p><p>de n equações diferenciais de primeira ordem a partir da seguinte mudança de variáveis</p><p>x1 = y, x2 = ẏ , x3 = ÿ , · · · , xn = y (n−1), (2.3)</p><p>resultando no sistema:</p><p>ẋ1 = x2</p><p>ẋ2 = x3</p><p>...</p><p>ẋn−1 = xn</p><p>ẋn = f (x1, x2, ...xn).</p><p>(2.4)</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 8</p><p>O sistema (2.4) pode ser escrito genericamente na seguinte forma:</p><p>ẋ = f(x), x ∈Rn , (2.5)</p><p>em que</p><p>x(t ) =</p><p></p><p>x1(t )</p><p>x2(t )</p><p>...</p><p>xn(t )</p><p> e f(x) =</p><p></p><p>f1(x1, · · · , xn)</p><p>f2(x1, · · · , xn)</p><p>...</p><p>fn(x1, · · · , xn)</p><p> . (2.6)</p><p>As n-equações diferenciais de (2.5) constituem a representação genérica do modelo</p><p>matemático que será utilizado na análise dos sistemas caóticos propostos.</p><p>2.4 Espaço de Estados</p><p>O estado de um sistema dinâmico pode ser representado por meio de um ponto com</p><p>coordenadas x1(t ), x2(t ), · · · , xi (t ), determinadas em um tempo t . As xi (t ) coordenadas que</p><p>compõem o ponto são conhecidas como variáveis de estado e o espaço n-dimensional ao</p><p>qual pertencem é denominado espaço de estados ou espaço de fases (MONTEIRO, 2006).</p><p>No espaço de estados, a dinâmica dos pontos é dada pelo conjunto de equações</p><p>diferenciais (2.5) e a dimensão do espaço equivale à quantidade de variáveis de estado. As</p><p>fi funções representam as variações temporais das xi (t) variáveis de estado e determinam</p><p>o campo de velocidades de um sistema, também chamado de campo vetorial, em que a</p><p>velocidade instantânea é dada por dx</p><p>dt = f(x).</p><p>A solução x(t ) de um sistema que evolui no tempo, também chamada de curva integral,</p><p>percorre uma trajetória no espaço de estados e em tal percurso sua velocidade em cada</p><p>ponto coincide com o campo de velocidade f(x). Dessa forma, um sistema dinâmico pode</p><p>ser compreendido como sendo a evolução de um campo vetorial x que é continuamente</p><p>modificado por uma função f.</p><p>Na Figura 1, exemplifica-se a trajetória de uma solução no espaço de estados tridi-</p><p>mensional, dada uma condição inicial e seu campo velocidade associado. Ao conjunto de</p><p>curvas obtidas pela evolução temporal do sistema no espaço de estados, dá-se o nome de</p><p>retrato de fases (MONTEIRO, 2006).</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 9</p><p>Figura 1 – Campo de velocidade f(x) (−→) e trajetórias X(t) e Y(t) (−) no espaço de estados</p><p>tridimensional com diferentes condições iniciais em t = t0.</p><p>2.5 Teoria da Estabilidade e Comportamento das Soluções</p><p>2.5.1 Equilíbrio do Campo Vetorial</p><p>Para os pontos de equilíbrio, considere a seguinte definição:</p><p>Definição 2.5.1 (Ponto de equilíbrio). Um ponto x̄ = (x̄1, x̄2, · · · , x̄3) é um ponto de equilíbrio</p><p>do sistema autônomo (2.5) se fi (x̄i ) = 0, i = 1,2, · · · ,n.</p><p>Soluções que iniciam no ponto de equilíbrio permanecem estacionárias independen-</p><p>temente do tempo. A estabilidade do ponto de equilíbrio está de certa forma associada a</p><p>estabilidade do campo vetorial.</p><p>2.5.2 Estabilidade de Trajetórias e Órbitas</p><p>O primeiro método de análise de estabilidade de Lyapunov, também chamado de</p><p>método indireto de Lyapunov, é usado para estudar a estabilidade das soluções de um sistema</p><p>dinâmico por meio do cálculo dos autovalores de um sistema linearizado em torno dos pontos</p><p>de equilíbrio (ZHANG; LIU; WANG, 2009). Dessa forma, o primeiro método de Lyapunov</p><p>consiste estritamente de uma análise de estabilidade local nas proximidades de um ponto.</p><p>Considere a solução x̄(t ) que se mantêm no ponto de equilíbrio e sofre alguma pertur-</p><p>bação, ou então uma trajetória y(t ) que encontra-se nas proximidades desse ponto, ou seja,</p><p>nas proximidades da solução estacionária x̄(t). A solução y(t) no espaço de estados pode:</p><p>aproximar-se de x̄(t ) à medida que o tempo aumenta, afastar-se o ou então mover-se próximo</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 10</p><p>a x̄(t ), mas sem voltar a ele. Dessa forma, seja o sistema autônomo descrito na Equação (2.5),</p><p>têm-se as seguintes definições:</p><p>Definição 2.5.2 (Estabilidade de Lyapunov). Uma solução x̄(t ) é estável no sentido de Lyapunov</p><p>se, dado ε> 0, existe δ= δ(ε) > 0 de modo que, para qualquer outra solução y(t) de (2.5) que</p><p>satisfaz</p><p>∥∥x̄(t0)−y(t0)</p><p>∥∥ < δ (sendo ‖.‖ a norma em Rn ), têm-se</p><p>∥∥x̄(t )−y(t )</p><p>∥∥ < ε para t > t0,</p><p>t0 ∈R. Além disso, x̄(t ) é assintoticamente estável se existir uma solução y(t ) e uma constante</p><p>b > 0 tal que, se</p><p>∥∥x̄(t0)−y(t0)</p><p>∥∥< b, então limt→∞</p><p>∥∥x̄(t )−y(t )</p><p>∥∥= 0. Uma solução é instável se</p><p>ela não for estável no sentido de Lyapunov.</p><p>Por meio da Figura 2 é possível fazer uma interpretação geométrica das duas defini-</p><p>ções apresentadas. Em (a), y(t) permanece próxima a x̄(t) para todo t e em (b), x̄(t) = y(t)</p><p>quando t → ∞. Essas definições são válidas para soluções de equilíbrio, mas não neces-</p><p>sariamente para soluções próximas. Na Figura 2 (c) e (d) dois retratos de fase mostram a</p><p>propriedade de que as soluções delimitadas em uma pequena vizinhança deixam tal vizi-</p><p>nhança, mas, devido a topologia global das trajetórias, aproximam-se do ponto de forma</p><p>assintótica quando t →∞. Dessa forma, as soluções podem ser atraídas para uma vizinhança</p><p>do ponto, mas não ser estável no sentido de Lyapunov .</p><p>Figura 2 – Ponto de Equilíbrio: (a) Estável no sentido de Lyapunov; (b) Assintoticamente</p><p>estável; (c) e (d) Instável no sentido de Lyapunov com trajetória que tende ao ponto</p><p>quando t →∞. Fonte: Zhang, Liu e Wang (2009), Wiggins (2003).</p><p>Outra importante noção de estabilidade refere-se a estabilidade orbital. Um órbita</p><p>pode ser entendida como uma curva fechada formada por uma trajetória no espaço de</p><p>estados, sendo definida como</p><p>O+(x0, t0) = {x ∈Rn |x = x̄(t ), t ≥ t0, x̄(t0) = x0}. (2.7)</p><p>É necessário definir a distância de um ponto a um conjunto. Então, toma-se S ∈Rn um</p><p>conjunto arbitrário e p ∈Rn como um ponto arbitrário. A distância entre o ponto e o conjunto</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 11</p><p>é definida por:</p><p>d(p,S) = inf</p><p>x∈S</p><p>|p−x|. (2.8)</p><p>Definição 2.5.3 (Estabilidade Orbital). Uma solução x̄(t) é orbitalmente estável se, dado</p><p>ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 de modo que, para qualquer outra solução y(t) de (2.5) que satis-</p><p>faz</p><p>∥∥x̄(t0)−y(t0)</p><p>∥∥ < δ, então d(y(t),O+(x0, t0)) < ε para t > t0. Além disso, x̄(t) é assintoti-</p><p>camente orbitalmente estável se existir uma solução y(t) e uma constante b > 0 tal que, se∥∥x̄(t0)−y(t0)</p><p>∥∥< b, então limt→∞ d(y(t ),O+(x0, t0)) = 0.</p><p>2.5.2.1 Sistemas Lineares e Classificação no Plano de Fases</p><p>Na análise de sistemas lineares bidimensionais, as possíveis soluções são responsáveis</p><p>em formar diferentes padrões geométricos no plano de fases. Sendo assim, identificar esses</p><p>padrões permite descobrir de forma rápida a natureza as soluções.</p><p>Sendo o foco principal deste trabalho a análise de sistemas não lineares, neste tópico</p><p>aborda-se de forma rápida alguns conceitos úteis de sistemas lineares que são aplicados no</p><p>estudo da dinâmica não linear.</p><p>Seja um sistema linear que tem a origem como ponto de equilíbrio, e a representação</p><p>do sistema de EDO’s autônomas de (2.5) da seguinte forma:</p><p>ẋ = Ax, (2.9)</p><p>em que A é uma matriz constante n ×n não-singular e x = (x1, x2, · · · , xn). A solução analítica</p><p>desse sistema é dada por:</p><p>x(t ) = e At x0. (2.10)</p><p>As soluções expressas em (2.10) do sistema da Equaçõe (2.9) são obtidas utilizando-se</p><p>a propriedade da exponencial matricial, sendo e At avaliada da seguinte forma (SAVI, 2006):</p><p>e At = I + tA+ t 2</p><p>2!</p><p>A+·· ·+ t n</p><p>n!</p><p>An =</p><p>∞∑</p><p>k=0</p><p>t k</p><p>k !</p><p>Ak . (2.11)</p><p>Calcular a expressão (2.11) pode ser extremamente trabalhoso. Uma forma simples</p><p>consiste em realizar uma mudança de coordenadas de forma</p><p>que a solução final é dada por:</p><p>x(t ) = T di ag (e tλi )T −1x0. (2.12)</p><p>A matriz T é escolhida de forma que a operação T −1AT = di ag (λi ), onde λi são os</p><p>autovalores de A. A matriz A diagonaliza-se nessa operação quando T for a matriz formada</p><p>pelos autovetores linearmente independentes de A. Dessa forma, considere que a solução do</p><p>sistema (2.9) é dada por</p><p>x = eλt v. (2.13)</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 12</p><p>Substituindo (2.13) em (2.9) e realizando algumas manipulações obtêm-se o seguinte</p><p>sistema linear homogêneo de equações</p><p>(A−λI)v = 0, (2.14)</p><p>em que λ são os autovalores da matriz A , v = (v1, v2, · · · , vn) o autovetor associado a cada</p><p>autovalor e I a matriz identidade. As soluções não-triviais de (2.14) existem quando</p><p>det [A−λI] = 0 ou P (λ) = anλ</p><p>n +an−1λ</p><p>n−1 +·· ·+a0 = 0. (2.15)</p><p>O polinômio (2.15) é chamado de polinômio característico e suas raízes são os auto-</p><p>valores da matriz A. Considerando o sistema de Equação (2.9) bidimensional, para n = 2 o</p><p>polinômio (2.15) tem como solução a seguinte expressão</p><p>λ1,2 = τ±</p><p>p</p><p>τ2 −4∆</p><p>2</p><p>= τ±p</p><p>D</p><p>2</p><p>, (2.16)</p><p>em que τ é o traço da matriz A e ∆ seu determinante. Com base nos parâmetros τ e ∆, que</p><p>determinam os autovalores em (2.16), é possível classificar os padrões dinâmicos em regiões</p><p>conforme descrito a seguir.</p><p>1) Sela: Um ponto de equilíbrio recebe esta designação se ∆< 0. Este ponto é classifi-</p><p>cado como instável e possui autovalores reais e de sinais opostos.</p><p>2) Nó: Quando ∆> 0 e D > 0. Os autovalores neste caso são reais e de mesmo sinal. Se</p><p>τ> 0 o nó é instável e se τ< 0 o nó é dito assintoticamente estável.</p><p>3) Foco: Quando ∆> 0 e D < 0. Os autovalores são pares complexos conjugados. Se</p><p>τ> 0 o foco é instável e se τ< 0 o foco é assintoticamente estável.</p><p>4) Centro: Quando τ= 0. Esse ponto é classificado como marginalmente estável.</p><p>5) Nó impróprio: Quando ∆> 0 e D = 0. Nesse caso existem autovalores repetidos e o</p><p>ponto pode ser estável se τ< 0.</p><p>No diagrama da Figura 3 ilustra-se as regiões de estabilidade dos pontos de equilíbrio,</p><p>como também o formato geométrico das soluções no plano de fases. Em um ponto de sela as</p><p>soluções se aproximam em uma direção e se afastam por outra. Em pontos do tipo nós e focos</p><p>estáveis as soluções se aproximam assintoticamente do ponto quando t →∞, sendo que</p><p>no último as soluções se aproximam em formas de espirais. Para soluções instáveis desses</p><p>pontos, o mesmo padrão ocorre quando t →−∞. No ponto denominado centro, as soluções</p><p>não são atraídas nem repelidas para o ponto e seu comportamento dinâmico é descrito por</p><p>curvas fechadas no retrato de fases.</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 13</p><p>Figura 3 – Formato geométricos das soluções e classificação dos pontos de equilíbrio de um</p><p>sistema bidimensional em função de τ,∆ e D . Fonte: Villate (2005).</p><p>2.5.2.2 Linearização em Torno de um Ponto de Equilíbrio</p><p>Considere o sistema da Equação (2.5) e a seguinte mudança de coordenadas:</p><p>x = x̄(t)+y, (2.17)</p><p>em que y é uma pequena variação da solução. Substituindo (2.17) em (2.5) e aplicando-se</p><p>linearização por meio da série de Taylor a expansão pode ser descrita por</p><p>ẋ = ˙̄x(t )+ ẏ = f(x̄(t ))+Df(x̄(t ))y+ϑ(‖y‖2), (2.18)</p><p>em que Df é a derivada de f, também chamada de matriz Jacobiana de f, ‖.‖ é a norma em Rn .</p><p>Usando-se o fato de que ˙̄x(t ) = f(x̄(t )), a Equação (2.18) torna-se</p><p>ẏ = Df(x̄(t ))y+ϑ(‖y‖2). (2.19)</p><p>O intuito é analisar o comportamento das soluções arbitrárias próximas a x̄. Isso é</p><p>realizado através do estudo do sistema linear associado</p><p>ẏ = Df(x̄(t ))y. (2.20)</p><p>Como x̄(t) é uma solução de equilíbrio, x̄(t) = x̄, então Df(x̄(t))=Df(x̄) é uma matriz</p><p>com entradas constantes, ou seja, um sistema linear. Uma notação mais apropriada para a</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 14</p><p>matriz Jacobiana avaliada no ponto de equilíbrio é dada por</p><p>J = Df(x̄)|y=0 = J(x̄) =</p><p></p><p>∂ f1</p><p>∂x1</p><p>∂ f1</p><p>∂x2</p><p>· · · ∂ f1</p><p>∂xn</p><p>∂ f2</p><p>∂x1</p><p>∂ f2</p><p>∂x2</p><p>· · · ∂ f2</p><p>∂xn</p><p>...</p><p>...</p><p>. . .</p><p>...</p><p>∂ fn</p><p>∂x1</p><p>∂ fn</p><p>∂x2</p><p>· · · ∂ fn</p><p>∂xn</p><p></p><p>, (2.21)</p><p>ẏ = Jy. (2.22)</p><p>A solução analítica da Equação (2.22) pode ser escrita a partir do ponto inicial y0 ∈Rn</p><p>em t = 0 como (WIGGINS, 2003; ZHANG; LIU; WANG, 2009):</p><p>y(t ) = e Jt y0. (2.23)</p><p>Vê-se, portanto, que a princípio a análise local de um sistema não linear reduz-se</p><p>à análise de um sistema linear cujas propriedades básicas foram anteriormente definidas.</p><p>Dessa forma, a solução y(t ) é assintoticamente estável se a parte real de todos os autovalores</p><p>da matriz Jacobiana forem negativos. O teorema a seguir garante a estabilidade assintótica</p><p>das soluções nas vizinhanças do ponto de equilíbrio do sistemas não linear correspondente</p><p>(WIGGINS, 2003).</p><p>Teorema 2.5.1. Suponha que todos os autovalores de J tenham partes reais negativas. Então, a</p><p>solução de equilíbrio x = x̄ do campo vetorial não linear de (2.5) é assintoticamente estável.</p><p>2.5.2.3 Conceito de Variedades de um Sistema Dinâmico</p><p>As características de movimento nas proximidades do ponto de equilíbrio podem</p><p>ser determinadas a partir da análise dos autovalores de J. De forma geral, as características</p><p>referentes a estabilidade de um ponto de equilíbrio podem ser divididas em três conjuntos</p><p>conforme o espectro de autovalores da Jacobiana. Os conjuntos são definidos conforme a</p><p>parte real dos autovalores λ da seguinte forma:</p><p>σs = {λ t al que Re(λ) < 0},</p><p>σu = {λ t al que Re(λ) > 0}, (2.24)</p><p>σc = {λ t al que Re(λ) = 0},</p><p>sendo σs responsável pelas partes estáveis, σu as partes instáveis e σc as centrais (SAVI, 2006).</p><p>Variedades (do inglês manifolds) de um dado sistema dinâmico são superfícies pre-</p><p>sentes no espaço de estados que tem como propriedade a de que órbitas que nelas se iniciam,</p><p>nelas permanecem ao decorrer do tempo. Como exemplo, têm-se o ponto de sela da Figura 4</p><p>com as seguintes variedades:</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 15</p><p>• Variedade estável W s : formada por um conjunto de pontos x que determinam valores</p><p>iniciais de trajetórias que convergem para x̄ quanto t →∞;</p><p>• Variedade instável W u : de forma análoga, é formada por um conjunto de pontos x que</p><p>determinam valores iniciais de trajetórias que convergem para x̄ quanto t →−∞, ou</p><p>seja, se afastam do ponto de equilíbrio quando t →∞;</p><p>• Variedade central W c : são formadas por órbitas neutras, i.e., trajetórias que não são</p><p>atraídas e nem repelidas por x̄.</p><p>Figura 4 – Trajetória das soluções P (t ) e Q(t ) iniciadas em diferentes pontos nas proximidades</p><p>das variedades invariantes de um ponto de sela.</p><p>Nas vizinhanças do ponto de equilíbrio, o espaço Rn é representado pela soma direta</p><p>de subespaços que são obtidos a partir de todas as combinações lineares dos autovetores</p><p>associados a cada conjunto de autovalores, conforme</p><p>E s = span{e1, . . . ,es},</p><p>E u = span{es+1, . . . ,es+u}, (2.25)</p><p>E c = span{es+u+1, . . . ,es+u+c },</p><p>onde s+u+c = n. O primeiro tipo de subespaço E s é estável e relaciona-se com os autovalores</p><p>λ ∈σs . O segundo subespaço é instável e está associado aos autovalores λ ∈σu . O terceiro</p><p>tipo de subespaço E c é o central e esta relacionado aos autovalores λ ∈σc</p><p>A Figura 5 ilustra as variedades e os subespaços correspondentes. Em (a) exemplifica-</p><p>se um subespaço tangente a superfície de uma variedade instável nas proximidades do ponto</p><p>de equilíbrio do tipo sela-nó. O subespaço estável também é tangente a variedade estável</p><p>na vizinhança do ponto. Em (b) todas as variedades e subespaços tangentes são estáveis. O</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 16</p><p>exemplo em (c) é simular ao (a), no entanto as soluções se afastam na superfície formada</p><p>pela variedade instável na forma de um foco e são atraídas pela outra direção, isto é, um</p><p>ponto de sela-foco.</p><p>O teorema da variedade central (SAVI, 2006) diz que as variedades do problema line-</p><p>arizado resultante W s ,W u são tangentes a E s ,E u respectivamente (ver Figura 5) , de classe</p><p>diferenciável C n (enésima derivada for uma função contínua), sendo</p><p>elas únicas e a variedade</p><p>central W c também tangente a E c , mas não é única.</p><p>Sendo assim, somente pontos de equilíbrio hiperbólicos podem ser utilizados para</p><p>análise do sistema não linear nas proximidades do ponto de equilíbrio. As ferramentas para</p><p>análise de estabilidade dos pontos não-hiperbólicos podem ser encontradas em (WIGGINS,</p><p>2003).</p><p>Figura 5 – Variedades e subespaços estáveis e instáveis emR3. Fonte: Zhang, Liu e Wang (2009)</p><p>2.5.2.4 Pontos de Equilíbrio Hiperbólicos e a Relação entre o Sistema Não Linear e o</p><p>Linearizado</p><p>Se os autovalores do campo vetorial linear associado possuem partes reais diferentes</p><p>de zero, então a estrutura da órbita nas proximidades do ponto de equilíbrio do campo</p><p>vetorial não linear é a mesma do campo vetorial linear.</p><p>Definição 2.5.4. Seja x = x̄ um ponto de equilíbrio de ẋ = f(x) . Então, x̄ é chamado de ponto</p><p>de equilíbrio hiperbólico se nenhum dos autovalores de J(x̄) tiver parte real nula, i.e., Re{λk } 6=</p><p>0 ∀k.</p><p>O estudo da estabilidade de sistema não linear por meio de linearização em torno</p><p>do(s) ponto(s) de equilíbrio(s) se resume a um estudo da natureza das raízes do polinômio</p><p>característico associadas a matriz Jacobiana e resultado da operação descrita na Equação</p><p>(2.15). No Anexo A são apresentadas algumas ferramentas para análise de polinômios que</p><p>podem ser empregadas na investigação do comportamento dos sistemas propostos.</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 17</p><p>De forma análoga ao sistema bidimensional, os pontos de equilíbrio hiperbólicos de</p><p>sistemas tridimensionais ou de ordem superior apresentam padrões geométricos das soluções</p><p>na vizinhança do ponto semelhantes ao caso de sistemas bidimensional, cuja relação pode</p><p>ser entendida pelo conceito das variedades e seus subespaços associados. Sendo assim, um</p><p>ponto de equilíbrio é chamado de sela se pelo menos um dos autovalores, mas não todos,</p><p>possuir parte real maiores que zero. Se todos autovalores tiverem parte real negativa, os</p><p>pontos de equilíbrio são chamado de "sinks", cuja natureza é estável. Se todos autovalores</p><p>são positivos, os pontos são chamados de "sources", que são de natureza instáveis. De forma</p><p>geral, os pontos de equilíbrio hiperbólicos podem ser classificados em atratores, repulsores</p><p>ou selas (WIGGINS, 2003).</p><p>Utilizando a ideia de ponto de equilíbrio hiperbólico, o seguinte teorema (ZHANG;</p><p>LIU; WANG, 2009) diz em quais situações é possível fazer uma análise local do sistema não</p><p>linear por meio da linearização nas vizinhanças do ponto de equilíbrio. Pontos de equilíbrio</p><p>não-hiperbólicos, ou seja, com pelo menos um autovalor de J com parte real igual a zero,</p><p>o sistema linearizado não descreve suficientemente a dinâmica do problema não linear</p><p>(ZHANG; LIU; WANG, 2009).</p><p>Teorema 2.5.2 (Hartman-Grobman). Seja x̄ é um ponto de equilíbrio hiperbólico de (2.5), então</p><p>existe um homeomorfismo h definido em alguma vizinhança N de x̄ , localmente tomando</p><p>as órbitas do fluxo não linear ao fluxo linear. O homeomorfismo preserva a órbita e pode ser</p><p>escolhido para preservar a parametrização no tempo.</p><p>O teorema descrito apresenta uma definição topológica1. No contexto deste trabalho,</p><p>pode-se imaginar um tipo de figura no espaço de estados que se modifica a medida que o</p><p>tempo evolui devido a ação de f no campo vetorial x.</p><p>Teorema 2.5.3 (Difeomorfismo/Homeomorfismo). Considere o mapeamento: X → F (X ). O</p><p>mapeamento é difeomórfico de classe C n se F (x) é inversível e se F (X ) e F−1(X ) são de classe</p><p>diferenciável C n . Se n = 0, o mapeamento é dito um homeomorfismo.</p><p>Teorema 2.5.4 ( Equivalência topológica). Se dois espaços são topologicamente equivalente</p><p>há um homeomorfismo entre eles.</p><p>Tais teoremas são úteis não só na validação da análise local de sistemas não lineares</p><p>por meio de seu sistema linear associado, mas também na compreensão das bifurcações dos</p><p>sistemas estudados. Antecipadamente, quando um sistema sofre uma bifurcação, devido a</p><p>variação de um parâmetro, sua estabilidade estrutural é perdida e a nova estrutura da solução</p><p>do espaço de estados é topologicamente não equivalente ao sua formato anterior. Em outras</p><p>palavras, uma bifurcação pode destruir um ponto de sela e criar um ponto do tipo nó estável,</p><p>que estruturalmente não são topologicamente equivalentes.</p><p>1 Por topologia compreendesse subárea da matemática que estuda as transformações contínuas e as proprie-</p><p>dades geométricas de objetos sujeitos a tais transformações (SAVI, 2006).</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 18</p><p>2.5.3 Funções de Lyapunov</p><p>A estabilidade das soluções podem ser determinadas pelo segundo método de Lya-</p><p>punov, também chamado de método indireto de Lyapunov. Nesse método utiliza-se uma</p><p>função escalar, chamada de função de Lyapunov, que permite fazer uma análise global das</p><p>soluções e determinar seu comportamento assintótico mesmo quando as informações obti-</p><p>das pela linearização são inconclusivas, ou seja, casos em que os pontos de equilíbrio são</p><p>não-hiperbólicos.</p><p>O método consiste em verificar se as órbitas que iniciam na vizinhança U de um</p><p>ponto de equilíbrio nela permanecem a medida que o tempo evolui. Se o campo vetorial for</p><p>tangente ou apontar em direção ao interior do contorno U , a trajetória ficará limitada nessa</p><p>região, impondo assim uma condição de estabilidade.</p><p>Figura 6 – Campo vetorial no limite de U .</p><p>Para chegar a definição final de estabilidade, considere um sistema dinâmico de</p><p>dimensão n qualquer e seu ponto de equilíbrio x̄. A estabilidade pode ser determinada</p><p>utilizando-se a função escalar de Lyapunov representada por V (x), com as propriedades de</p><p>que V (x̄) = 0, V (x) > 0 e também que seu lugar geométrico V (x) =C forme uma curva fechada</p><p>com o ponto de equilíbrio em seu interior.</p><p>Sendo V (x) definida positiva (i.e., V (x) > 0), o gradiente ∇V é perpendicular ao vetor</p><p>tangente da curva V (x) =C , dessa forma, existem três possibilidades possíveis resultantes</p><p>do produto escalar entre ∇V • ẋ, conforme equacionado em (2.26) e representado de forma</p><p>geométrica na Figura 7. O próximo teorema garante as condições necessárias para determinar</p><p>a estabilidade de um sistema.</p><p>V̇ =∇V • ẋ =∇V • f < 0</p><p>V̇ =∇V • ẋ =∇V • f = 0 (2.26)</p><p>V̇ =∇V • ẋ =∇V • f > 0</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 19</p><p>Figura 7 – Representação de uma curva de nível definida pela função de Lyapunv e as possibi-</p><p>lidades de projeções de f em ∇V . Fonte: SAVI (2006)</p><p>Teorema 2.5.5 (Estabilidade do ponto de equilíbrio pelo segundo método de Lyapunov). Seja</p><p>V : U → R1 uma função C 1 definida em alguma vizinhança U de x̄.</p><p>O ponto de equilíbrio é estvável se:</p><p>(i) V (x̄) = 0 e V (x) > 0 se x 6= x̄</p><p>(ii) V̇ (x) ≤ 0 em U − x̄</p><p>O ponto de equilíbrio é assintoticamente estável se:</p><p>(iii) V̇ (x) < 0 em U − x̄</p><p>Ressalta-se que a função de Lyapunov é uma dentre as várias funções possíveis que</p><p>podem ser construídas para a análise da estabilidade global de um sistema. Segundo Silva</p><p>(2006), uma função de Lyapunov é condição suficiente para determinar-se a estabilidade</p><p>do sistema, mas não é condição necessária, pois um sistema pode ser estável sem que sua</p><p>função de Lyapunov seja conhecida.</p><p>2.6 Sistemas Conservativos</p><p>Um sistema é chamado de conservativo se o volume no espaço de estados é mantido</p><p>a medida que o tempo evolui (SAVI, 2006). Seja um sistema dinâmico autônomo onde é</p><p>definido um volume V0 de condições iniciais no espaço de fases, tomando uma superfície</p><p>fechada S(t ) de volume V (t ) no espaço de estados, em que os pontos em S e no seu interior</p><p>são as condições iniciais das trajetórias, é possível determinar a taxa de variação desse volume</p><p>através do divergente do campo de velocidades f. O divergente desse campo é expresso por</p><p>div f =∇.f = ∂ f1</p><p>∂x1</p><p>+ ∂ f2</p><p>∂x2</p><p>+·· ·+ ∂ fn</p><p>∂xn</p><p>. (2.27)</p><p>Um sistema dinâmico é conservativo se o divergente do campo de velocidades f é</p><p>nulo, dissipativo se é menor que zero e expansivo quando o divergente é maior que zero.</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos</p><p>20</p><p>Intuitivamente, um sistema é conservativo se o volume V0 é preservado ao longo tempo e é</p><p>dissipativo quando esse volume é contraído. O conceito de dissipatividade é útil na análise de</p><p>atratores.</p><p>Em certos casos é possível resolver explicitamente equações para evolução no tempo</p><p>de volumes (WIGGINS, 2003). Se ∇.f = c =constante, a equação para evolução de volume é</p><p>descrita por</p><p>V̇ = cV , (2.28)</p><p>quem tem como solução</p><p>V (t ) = ect V (0). (2.29)</p><p>A partir da Equação (2.29) verifica-se que a taxa de expansão ou contração do volume</p><p>depende do sinal resultante da constante obtida pelo divergente do campo. Em um sistema</p><p>dissipativo, i.e. c < 0, um elemento de volume V0 é contraído pelo fluxo em um elemento de</p><p>volume V0ect no tempo t . Isso significa que cada volume contendo as trajetórias do sistema se</p><p>reduz a zero quando t →∞ em uma taxa exponencial c . Portanto, todas as órbitas do sistema</p><p>estão limitadas a um subconjunto específico de volume zero e o movimento assintótico se</p><p>instala em um atrator.</p><p>2.7 Comportamento Assintótico e Atratores</p><p>O comportamento assintótico das soluções aparece tipicamente em sistemas dissi-</p><p>pativos e é caracterizado pela existência de atratores (SAVI, 2006). Em termos simples, um</p><p>atrator pode ser definido como um conjunto invariante em que órbitas próximas convergem</p><p>após um tempo suficientemente longo. A ideia de atrator remete a noção de estabilidade</p><p>quando o interesse é analisar o comportamento assintótico das soluções. Conforme SAVI</p><p>(2006), esse tipo de comportamento possui algumas características próprias, e para isso são</p><p>utilizadas algumas novas definições com objetivo de classificar os tipos de respostas e de</p><p>atratores que um sistema dinâmico pode apresentar. As definições apresentadas a seguir</p><p>podem ser encontradas em (WIGGINS, 2003; SAVI, 2006).</p><p>Definição 2.7.1 (Ponto ω limite). Um ponto q ∈ Rn é um ponto ω-limite de um ponto p se</p><p>existe uma sequência φ(t1, t0,p),φ(t2, t0,p), . . . tal que φ(t , t0,p) → q quando t →∞.</p><p>O conjunto formado por todos os pontos ω-limite de um sistema recebe o nome de</p><p>conjunto ω-limite e é denotado por ω(p).</p><p>Definição 2.7.2 (Ponto α limite). Um ponto q é um ponto α-limite de um ponto p se existe</p><p>uma sequência φ(t1, t0,p),φ(t2, t0,p), . . . tal que φ(t , t0,p) → q quando t →−∞.</p><p>Similarmente, o conjunto formado por todos os pontosα-limite de um sistema recebe</p><p>o nome de conjunto α-limite e é denotado por α(p).</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 21</p><p>Os conceitos definidos estão relacionados com os regimes permanentes do sistema.</p><p>Para exemplificar esses conceitos, considere o ponto de equilíbrio do tipo sela da Figura 8.</p><p>Figura 8 – Ponto de equilíbrio como ponto ω-limite e α-limite.</p><p>O ponto q é um pontoω-limiteω(p) se p ∈W s(q). Da mesma forma, um ponto q é um</p><p>ponto α-limite α(p) se p ∈W u(q). Para compreensão da sequencia de pontos ti , de modo que</p><p>um ponto p evolui para o ponto q quando t →∞, considere a órbita limite da ilustrada na</p><p>Figura 9. Nessa figura, q é um exemplo de ponto ω-limite de p. Os conjuntos ω e α− l i mi te</p><p>são uma propriedade da órbita ou da trajetória de um ponto e não do ponto em si.</p><p>Figura 9 – Ciclo limite com ponto ω-limite . Fonte: SAVI (2006)</p><p>Em Wiggins (2003), Zhang, Liu e Wang (2009) um atrator é definido por meio de outras</p><p>definições como conjuntos invariantes, conjuntos atrativos e transitividade topológica. A</p><p>definição de atrator utilizada aqui é apresentada em (SAVI, 2006).</p><p>Definição 2.7.3 (Atrator). Um conjunto invariante fechado L ⊂ Rn é chamado de Atrator se</p><p>existir uma vizinhança U de L tal que:</p><p>∀x ∈U e ∀t ≥ 0 ⇒φ(x, t ) ∈U e limt→∞φ(x, t ) → L.</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 22</p><p>Em um conjunto invariante, qualquer trajetória x(t ) que começa em L, permanece em</p><p>L para todo tempo. O conjunto L atrai um conjunto aberto de condições iniciais. Em outras</p><p>palavras, existe um hipervolume U que contém L, tal que, para qualquer condição inicial x(0)</p><p>pertencente a U, a distância entre a trajetória x(t ) e L tende a zero quanto t →∞.</p><p>Em sistemas com mais de um ponto de equilíbrio, a solução pode ir em direção a</p><p>diferentes atratores dependendo da condição inicial. A bacia de atração é definida por um</p><p>conjunto de condições iniciais onde a trajetória do fluxo se acumula, conforme (SAVI, 2006)</p><p>define.</p><p>Definição 2.7.4 (Bacia de atração). A bacia de atração de um atrator L é dada por:⋃</p><p>t≤0φ(U , t ), onde U é uma vizinhança de L.</p><p>A Figura 10 ilustra duas regiões de atração distintas associadas aos dois atratores do</p><p>sistemas. Soluções com condições iniciais contidas na região hachurada são atraídas para</p><p>o atrator presente no semi-plano esquerdo, enquanto que soluções iniciam na região em</p><p>branco são atraídas para o atrator do semi-plano esquerdo.</p><p>Figura 10 – Bacias de Atração distintas identificadas pelas regiões A (branca) e B (hachurada).</p><p>2.7.1 Atratores e Repulsores em R3</p><p>Os atratores e repulsores de um sistema dinâmico podem possuir qualquer dimensão,</p><p>desde que estejam contidos em Rn . As possibilidades de existência em um sistema tridimen-</p><p>sional são:</p><p>(i) Pontos de Equilíbrio</p><p>Os pontos de equilíbrio são atratores ou repulsores de dimensão zero (SAVI, 2006).</p><p>Viu-se que é possível determinar a estabilidade local de sistemas dinâmicos não lineares a</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 23</p><p>partir da análise dos pontos de equilíbrio hiperbólicos.</p><p>(ii) Ciclo Limite</p><p>Ciclos limite são atratores ou repulsores unidimensionais e as soluções ao longo do</p><p>tempo são caracterizadas por um comportamento oscilatório e periódico com amplitude e</p><p>frequências bem definidas. Monteiro (2006) define um ciclo limite da seguinte forma:</p><p>Definição 2.7.5 (Ciclo Limite). Um ciclo limite é um órbita associada a uma trajetória fechada</p><p>e isolada, que pode ocorrer no retrato de fases de sistemas não lineares.</p><p>Conforme Upadhyay e Iyengar (2013) expõe, normalmente é difícil dizer se um dado</p><p>sistema tem um ciclo limite ou quaisquer órbitas fechadas a partir do estudo das equações</p><p>por métodos analíticos. Segundo o autor, sistemas linearizados podem não fornecer qualquer</p><p>indicação da existência de ciclos limite.</p><p>Conforme apresentado em Monteiro (2006), existem alguns critérios e teoremas,</p><p>como exemplo o teorema de Poincaré-Bendixon, que fornecem pistas sobre a localização do</p><p>ciclo limite em um espaço bidimensional caso ele exista. Para sistemas tridimensionais a</p><p>constatação da existência desse atrator será verificada por simulações numéricas.</p><p>No retrato de fases, as trajetórias próximas a um ciclo limite podem aproximar-se ou</p><p>afastar-se de sua órbita, diferentemente dos pontos de equilíbrio de dimensão zero, em que</p><p>as trajetórias aproximam-se ou afastam-se de um ponto, e não de uma órbita. De acordo</p><p>com Monteiro (2006), um ciclo limite pode ser classificado conforme sua estabilidade. Ele</p><p>é dito assintoticamente estável se as trajetórias próximas, internamente ou externamente,</p><p>se aproximam de sua órbita. Instável se as trajetórias próximas se afastam. Semiestável se</p><p>as trajetórias vizinhas se aproximam de sua órbita por um lado, seja externo ou externo, e</p><p>afastam-se pelo outro lado. A Figura 11 ilustra a forma de um ciclo limite e suas estabilidades</p><p>conforme apresentado em Monteiro (2006).</p><p>Figura 11 – Ciclo Limite: (a) Assintoticamente estável; (b) Instável; (c) Semi-estável. Fonte:</p><p>Layek (2015).</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 24</p><p>(iii) Superfície Toroidal</p><p>A dinâmica de um toro é caracterizado por um comportamento periódico e quase-</p><p>periódico. Diferentemente do ciclo-limite, a evolução desse sistema é composta por duas</p><p>frequências fundamentais independentes cuja razão é irracional (ZHANG; LIU; WANG, 2009).</p><p>(iv) Atrator Estranho</p><p>O conceito de atrator estranho foi introduzido por Ruelle e Takens em 1971 em estudos</p><p>sobre a natureza do fenômeno de turbulência (ARGYRIS et al., 2015). A palavra "estranho"</p><p>tem o intuito de deixar claro que esse atrator não é um ponto de equilíbrio,</p><p>um ciclo limite e</p><p>nem um toro.</p><p>Conforme SAVI (2006), a estranheza de um atrator está relacionada com sua dimensão</p><p>fractal. As trajetórias de um sistema podem convergir para atratores que são caóticos e</p><p>estranhos, para atratores caóticos que não são estranhos ou para atratores estranhos que não</p><p>são caóticos. Usualmente nas literaturas abordadas é feita a associação de atratores caóticos</p><p>que são estranhos, e sua dimensão fractal consiste em uma propriedade básica de um atrator</p><p>(SAVI, 2006). Ainda segundo o autor, a estranheza consiste de uma característica geométrica,</p><p>enquanto o caos é uma característica física. Conforme Shivamoggi (2014), a dimensão fractal</p><p>de um atrator é uma condição necessária para o caos, e como será visto posteriormente,</p><p>um expoente positivo de Lyapunov uma condição suficiente, desde que as soluções sejam</p><p>limitadas no espaço de estados. Dessa forma é possível distinguir um atrator estranho caótico</p><p>ou não pelo máximo expoente de Lyapunov.</p><p>2.8 Estabilidade Estrutural e Bifurcações</p><p>A estabilidade estrutural é diferente da estabilidade dos pontos de equilíbrio no sen-</p><p>tido de suas análises. Enquanto a estabilidade dos pontos de equilíbrio é analisada através de</p><p>perturbações nas condições iniciais, a análise da estabilidade estrutural é feita no retrato de</p><p>fases quando um sistema sofre alguma perturbação em seus parâmetros. Assim, um sistema</p><p>dinâmico é estruturalmente estável se o retrato de fases de sua versão perturbada é topo-</p><p>logicamente orbitalmente equivalente ao retrato de fases do sistema original (MONTEIRO,</p><p>2006).</p><p>A estabilidade estrutural está diretamente relacionada com o conceito de bifurcação.</p><p>A bifurcação refere-se à mudança qualitativa das soluções no retrato de fases quando um ou</p><p>mais parâmetros do sistema passam por determinados valores críticos (MONTEIRO, 2006).</p><p>Para exemplificar o conceito de bifurcação, considere o sistema da Equação (2.5)</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 25</p><p>representado agora por</p><p>ẋ = fµ(x) (2.30)</p><p>em que fµ são funções que dependem do parâmetro µ= (µ1,µ2, · · · ,µn). As soluções desse</p><p>sistema, assim como a Jacobiana e consequentemente seus autovalores e autovetores estão</p><p>diretamente relacionadas com esse parâmetro. Segundo Monteiro (2006), ao variar os valores</p><p>desses parâmetros, pode haver a criação ou destruição de pontos de equilíbrio ou ciclos limite,</p><p>ou então uma mudança em suas estabilidades, modificando assim a estrutura topológica</p><p>do retrato de fases, tornado o sistema estruturalmente instável. O ponto onde ocorre essa</p><p>mudança é chamado ponto de bifurcação.</p><p>Um sistema dinâmico que possui um comportamento caótico apresenta bifurcações.</p><p>Conforme Hilborn (2000) expõe, existe uma universalidade em comportamentos caóticos,</p><p>sendo ela as rotas ou transições para o caos que ocorrem por meio das bifurcações, que são</p><p>divididas em dois grupos, as Bifurcações Locais e as Bifurcações Globais.</p><p>As bifurcações locais são aquelas que podem ser previstas através do cálculo dos</p><p>autovalores da matriz Jacobiana e tratam das mudanças qualitativas de um sistema dinâmico</p><p>nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio. Já as bifurcações globais provocam uma mudança</p><p>qualitativa na estrutura das órbitas em uma região do espaço de estados e sua análise não é</p><p>possível a partir de análises locais (SAVI, 2006).</p><p>Segundo Hilborn (2000), nas transições via bifurcação local, ciclos-limite que existem</p><p>em uma faixa de valores do parâmetro desaparecem dando lugar ao atrator caótico. Nas</p><p>transições via bifurcações globais o comportamento a longo prazo do sistema é influenciado</p><p>por pontos de equilíbrio ou ciclos instáveis, bem como por um atrator (ou vários atratores).</p><p>Quando um parâmetro é alterado, as trajetórias transitórias, que acabariam por se aproximar</p><p>do ponto de equilíbrio (ou ciclo), tornam-se cada vez mais complicadas, produzindo o que</p><p>é chamado de transitórios caóticos. Esses transitórios caóticos eventualmente duram para</p><p>sempre e o comportamento a longo prazo do sistema é caótico (HILBORN, 2000).</p><p>No propósito deste trabalho não é detalhado os tipos de bifurcação e as transições</p><p>para o caos, mas recomenda-se a leitura do capítulo 8 de Monteiro (2006), tópico 3 de Silva et</p><p>al. (2015), capítulo 5 de Hilborn (2000) e o sub-capítulo 3.5 de SAVI (2006).</p><p>2.8.1 Diagrama de Bifurcação</p><p>Uma importante ferramenta de análise de sistemas dinâmicos não lineares é o di-</p><p>agrama de bifurcação. Através dele é possível identificar a mudança no comportamento</p><p>dinâmico global do sistema em função da variação de algum parâmetro. Esse diagrama é</p><p>um gráfico que relaciona o comportamento estacionário dos estados com o parâmetro de</p><p>bifurcação.</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 26</p><p>Existem diferentes métodos computacionais de se obter o diagrama de bifurcação. O</p><p>método de força bruta consiste em obter várias soluções do sistema em uma faixa de valores</p><p>do parâmetro. Quanto menor for a escala de variação desse parâmetro melhor é a resolução</p><p>na detecção dos pontos de bifurcação. Um dos procedimentos para se traçar o diagrama de</p><p>bifurcação consiste em tomar uma seção de Poincaré adequada para avaliar a quantidade de</p><p>pontos a medida que o parâmetro se altera, sendo os dados transitórios descartados (SAVI,</p><p>2006). Utilizando a mesma condição inicial para cada valor do parâmetro, o diagrama captura</p><p>atratores estáveis coexistentes. Utilizando como condições iniciais da próxima iteração os</p><p>valores finais dos estados da iteração anterior, reduz-se o transiente do sistema devido ao</p><p>confinamento das trajetórias no atrator limitado.</p><p>Segundo SAVI (2006), um atrator caótico apresenta a característica de possuir uma</p><p>infinidade de órbitas periódicas instáveis (OPIs) imersas em si e o método de análise do</p><p>sistema pelo diagrama de bifurcação, obtido por algoritmos de força bruta, não é capaz</p><p>de detectá-las (SAVI, 2006). Para análise dessas órbitas algoritmos mais sofisticados devem</p><p>ser utilizados, como exemplo o método de continuação numérica que utiliza algoritmos de</p><p>predição e correção para determinar as bifurcações (SILVA et al., 2015)</p><p>O método numérico utilizado neste trabalho para traçar o diagrama de bifurcação</p><p>consiste em obter soluções do sistema em cada valor do parâmetro de bifurcação, utilizando</p><p>como condição inicial da iteração seguinte os últimos valores dos estados da iteração passada.</p><p>O pontos que formam o gráfico correspondem aos valores de pico das variáveis de estado</p><p>em função do parâmetro de bifurcação. Detectando os picos é possível observar como a</p><p>dinâmica se altera variando-se o parâmetro. Em um movimento periódico, a quantidade</p><p>de picos está relacionado com a presença de diferentes componentes oscilatórias, sendo o</p><p>período resultado do mínimo múltiplo comum dos períodos de cada oscilação independente.</p><p>Uma densidade elevada de pontos indica vários picos e consequentemente o movimento</p><p>quase-periódico ou aperiódico, sendo esse último a consequência de uma dinâmica caótica.</p><p>Na Figura 12 é ilustrado o diagrama de bifurcação do sistema de Lorenz em termos dos valores</p><p>máximos de z(t ) em função do parâmetro de bifurcação b.</p><p>Capítulo 2. Fundamentos de Dinâmica Não Linear e Caos 27</p><p>0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>Parâmetro de Bifurcação</p><p>M</p><p>á</p><p>x</p><p>im</p><p>o</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>z</p><p>(</p><p>t</p><p>)</p><p>Figura 12 – Diagrama de bifurcação do sistema de Lorenz para σ= 10,r = 28 e 0 < b < 1.</p><p>2.9 Seção de Poincaré</p><p>A seção de Poincaré consiste em um plano que intercepta de forma transversal as tra-</p><p>jetórias no espaço de estados de um sistema contínuo. Sua finalidade, conforme apresentado</p><p>em Monteiro (2006), é reduzir o estudo de um sistema contínuo de dimensão N no estudo de</p><p>um mapa em um espaço de estados de dimensão N −1. O mapa de Poincaré é uma função</p><p>discreta que descreve as sucessivas posições dos pontos onde o fluxo intercepta a seção e</p><p>pode ser utilizada para determinar a estabilidade de trajetórias fechadas de período T . A</p><p>utilidade desse mapa, no entanto, restringe-se a cálculos</p>Mais conteúdos dessa disciplina
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