Manual do Professor - Fundamentos da matematica elementar- vol 2

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2
10ª edição | São Paulo – 2013
FUNDAMENTOS 
DE MATEMÁTICA 
ELEMENTAR
GELSON IEZZI 
OSVALDO DOLCE
CARLOS MURAKAMI
Logaritmos
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
001-004-Manual-FME2.indd 1 24/07/13 09:30
© Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Carlos Murakami, 2013
Copyright desta edição:
SARAIVA S.A. Livreiros Editores, São Paulo, 2013
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1. Matemática : Ensino Médio 510.7
 Gerente editorial: Lauri Cericato
 Editor: José Luiz Carvalho da Cruz
 Editores-assistentes: Fernando Manenti Santos/Juracy Vespucci/Guilherme Reghin Gaspar
 Auxiliares de serviços editoriais: Daniella Haidar Pacifico/Rafael Rabaçallo Ramos/Margarete Aparecida de Lima/
Vanderlei Aparecido Orso
 Digitação e cotejo de originais: Guilherme Reghin Gaspar/Elillyane Kaori Kamimura
 Pesquisa iconográfica: Cristina Akisino (coord.)/Enio Rodrigo Lopes
 Revisão: Pedro Cunha Jr. e Lilian Semenichin (coords.)/Renata Palermo/Rhennan Santos/
Felipe Toledo/Simone Garcia/Tatiana Malheiro/Fernanda Guerriero
 Propostas de textos e atividades: Rosineide de Melo e Norberto Lourenço Nogueira Júnior
 Gerente de arte: Nair de Medeiros Barbosa
 Supervisor de arte: Antonio Roberto Bressan
 Projeto gráfico: Carlos Magno
 Capa: Homem de Melo & Tróia Design
 Imagem de capa: Vetta/Getty Images
 Diagramação: TPG
 Assessoria de arte: Maria Paulo Santo Siqueira
 Encarregada de produção e arte: Grace Alves
Iezzi, Gelson
 Fundamentos de matemática elementar, 2 : logaritmos / Gelson Iezzi, 
Osvaldo Dolce, Carlos Murakami. — 10. ed. — São Paulo : Atual, 2013.
 ISBN 978-85-357-1682-5 (aluno)
 ISBN 978-85-357-1683-2 (professor)
 1. Matemática (Ensino médio) 2. Matemática (Ensino médio) — Problemas 
e exercícios etc. 3. Matemática (Vestibular) — Testes I. Dolce, Osvaldo. 
II. Murakami, Carlos. III. Título. IV. Título: Logaritmos.
12-12851 CDD-510.7
001-004-Manual-FME2.indd 2 23/07/13 16:13
729. .0 .00
Rua Henrique Schaumann, 270 Ð Cerqueira CŽsar Ð S‹o Paulo/SP Ð 05413-909
210185
Coordenadora de editoração eletrônica: Silvia Regina E. Almeida
Produção gráfica: Robson Cacau Alves
 Impressão e acabamento:	
Complemento para o Professor — Fundamentos de Matemática Elementar — vol. 2
Este livro é o Complemento para o Professor do volume 2, 
Logaritmos, da coleção Fundamentos de Matemática Elementar.
Cada volume desta coleção tem um complemento para o pro-
fessor, com o objetivo de apresentar a solução dos exercícios mais 
complicados do livro e sugerir sua passagem aos alunos.
É nossa intenção aperfeiçoar continuamente os Complementos. 
Estamos abertos a sugestões e críticas, que nos devem ser encami-
nhadas através da Editora.
Agradecemos aos professores David Mauro Degenszajn e Erileide 
de Souza a colaboração na redação das soluções que são apresen-
tadas neste Complemento.
Os Autores.
Apresentação 
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Sumário
CAPÍTULO I — Potências e raízes ............................................................. 1
CAPÍTULO II — Função exponencial ......................................................... 7
CAPÍTULO III — Logaritmos ..................................................................... 41
CAPÍTULO IV — Função logarítmica .......................................................... 54
CAPÍTULO V — Equações exponenciais e logarítmicas .............................. 58
CAPÍTULO VI — Inequações exponenciais e logarítmicas .......................... 114
CAPÍTULO VII — Logaritmos decimais ....................................................... 148
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1
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
CAPÍTULO I — Potências e raízes
 3. A  (1)2n  (1)2n  (1)3  (1)2n  (1)n  (1)n 
 1  1  (1) + (1)n  (1)n  2
 7. (a  b)2  a2 + 2ab  b2  a2  b2 ⇔ a  b  0 
 a  b  0 ⇒ a  0 ou b  0 
 8. (22  31  51  72)x  M3 ⇒ x  23  2  33  1  53  1  73 2 
 21  32  52  71  3 150
 9. Examinando os valores de 14n, com n  *, vemos que: 
se n é ímpar, 14n tem como algarismo das unidades o 4
se n é par, 14n tem como algarismo das unidades o 6. 
Assim, 1414 termina em 6; portanto 1414 é par e daí 141414 termina 
em 6. 
 12. 
x  1  y  1
(xy) 1  
1
x 
 
1
y
1
xy
  x  y
 15. f) (a1  b1)  (a  b)1  
a  b
a  b
 
1
a  b
  a1  b1
g) (a2  b2)(a1  b1)1  
b2  a2
a2  b2 
b  a
ab
1

 
(b  a)(b  a)
a2  b2  
ab
b  a
  
a  b
ab
 16. d) 
an  4  a3  an
a4  an  
an  4 
an  4  
a3  n 
an  4  1  
1
a
  
a  1
a
 18. a) x4
 (x2)2  x2  x2, ∀ x   (V)
b) x10
 (x5)2  x5  x5, ∀ x   (F)
c) x6
 (x3)2  x3  x3, ∀ x  

 (V)
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2
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
d) (x  1)2  x  1  x  1, ∀ x   e x  1 (V)
e) (x  3)2  x  3  3  x, ∀ x   e x  3 (V)
 20. a) (x  2)2  x  2  
x  2, se x   2
0, se x   2
 x  2, se x   2
b) (2x  3)2  2x  3  
2x  3, se x  
3
2
0, se x  3
2
3  2x, se x  
3
2
c) (x  3)2  x  3  
x  3, se x  3
0, se x  3
3  x, se x  3
d) (2x  1)2  2x  1  
2x  1, se x  
1
2
0, se x  
1
2
2x  1, se x  
1
2
 30. b) ( 20 - 45 + 3 125 ) : 2 5  
1
2
 
20
5
  
45
5
  3 
125
5
 
 
2  3  15
2
  7
k) (1  2)4  [(1  2)2] 2  (3  2 2)2  17  12 2
 32. a) 2  1  2  1  ( 2  1)( 2  1)  1
b) 7  24  7  24  (7  24)  (7  24)  5 
c) 5  2 6  5  2 6  (5  2 6)(5  2 6)  1 
d) 2 2  2  2  2  2  2  2  2  
  2(2  2)  (2  2  2 )(2  2  2 )
 
  (4  2 2)(4  (2  2))  2(2  2)(2  2)  2
 33. a) a  b  a  b  a2  b  (a  b)(a  b)(a2  b) 
 (a2  b)2  a2  b
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3
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
b) (2 xy  x y  y x ) : xy  2  
xy
xy
  
x2y
xy
  
xy2
xy
  2  x  y
c) a
a
b
  2 ab  b
b
a
  ab  
a3
b
  2 ab  
b3
a
  ab  
 
a4b
b
  2 (ab)2  
b3ab
a
  a2  2|ab|  b2  (a  b)2
d) p  p2  1  p  p2  1  p2  ( p2  1)2
 
 p2  p2  1  1
e) x  x2  y33
  x  x2  y33
  
3
x2  (x2  y3)  y
 
36. o) 
1
(2  3 )  5
  
1
(2  3 )  5 
 
(2 + 3  5)
(2  3 )  5 
 
(2  3)  5
7  4 3  5 
 
 
(2 + 3  5 )(2  4 3 )
(2  4 3 )(2  4 3 )
  
4  3 3  5  2 15
22
 
p) 
5
(2  5 )  2
  
5
(2  5 )  2 
 
(2  5 )  2
(2  5 )  2 
 
10  5 5  5 2
9  4 5  2 

 
(10  5 5  5 2 )(7  4 5 )
(7  4 5 )(7  4 5 )
  
30  5 5  35 2  20 10
31
 
q) 
3
( 3  2 )  1
  
3( 3  2  1)
[( 3  2 )  1][( 3  2 )  1] 
 
3 3  3 2  3
5  2 6  1 

 
(3 3  3 2  3)(4  2 6 )
(4  2 6 )(4  2 6 )
  
6  3 2  3 6
4
r) 
3
9  1
3
3  1
  
(3
3 )2  1
3
3  1
  
(3
3  1)(3
3  1)
(3
3  1)
  
3
3  1
 
37. 
3
4  1
3
2  1
  
(3
2 )2  1
3
2  1
  
(3
2  1)(3
2  1)
(3
2  1)
  1  
3
2
 
38. a) 
2  3
2  3
  
2  3
2  3
  
(2  3)  (2  3 )
(2  3 )(2 + 3 )
  4
b) Notemos inicialmente que
( 2  3  2  3 )2  6 ⇒ 2  3  2  3  6
e
( 2  3  2  3 )2  2 ⇒ 2  3  2  3  2 .
Vamos agora fazer a simplificação pedida:
2  3
2  2  3
  
2  3
2  2  3

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4
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 
(2  3)( 2  2  3 )
( 2  2  3 )( 2  2  3 )
  
(2  3)( 2  2  3 )
( 2  2 3 )( 2  2  3 )
 
 
2 2  6  2 2  3  3  2  3
 3
  
 
2 2  6  2 2  3  3  2  3
3 

 
2 6  2( 2  3  2  3 )  3( 2  3  2  3 )
3
 
 
2 6  2 6  3  2
3
  2
c) 
48 27 125
12 108 180
  
7 3  5 5
8 3 6 5
  
(7 3  5 5 )
(8 3 6 5 )
  
(8 3  6 5 )
(8 3 6 5 )
 
 
9  15
6
d) 
3  2 2
17  12 2
  
3  2 2
17  12 2
 
 
(3  2 2)(17  12 2)
(17  12 2)(17  12 2)
  
(3  2 2)(17  12 2)
(17  12 2)(17  12 2)
 
 3  2 2  3  2 2  (1  2)2  (1  2)2
Notamos que 1  2  0, temos: (1  2)2  |1  2|  2  1.
Daí, o valor da expressão é: 1  2  ( 2  1)  2.
 
39. 
x  x2  1
x  x2  1
  
x  x2  1
x  x2  1
  
(x  x2  1 )2  (x  x2  1 )2
(x  x2  1 )(x  x2  1 )
 
 4x x2  1
 
40. x  
1
2 
a
b
 
b
a
  
1
2 
a2  b2
ab
  
a  b
2 ab
 (A)
1  x2  1  
a  b
2 ab
2
  
(a  b)2
4ab
 (B)
2a 1  x2
x  1  x2
  
(2a 1  x2 )(x  1  x2 )
(x  1  x2 )(x  1  x2 )
 
 2a(1  x2)  2ax 1  x2 
(A) e (B)
 2a  
(a  b)2
4ab
  2a  
(a  b)
2 ab
  (a  b)2
4ab
  
(a  b)2
2b
  
a2  b2
2b 
 a  b
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5
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 41. Fazendo X = 
3
9(3
2  1) e Y = 1  
3
2  
3
4 e lembrando as 
identidades:
a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2)
a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2)
temos:
X3  9(3
2  1)  
9(3
2  1)(3
4  3
2  1)
3
4  3
2  1
  
9  [(3
2 )3  13]
3
4  3
2  1
 
 
9
3
4  3 2  1
 e Y3  
(1  
3
2  
3
4 )(1  3 2 )
1  3
2
3
  
13  ( 3 2 )3
1  3 2
3
 
 
27
1  3
3
2  33
4  2
  
9
1  
3
2  3
4
então, X3  Y3 e daí X  Y.
 
42. 
3
7  2 10
  
3  7  2 10
7  2 10 7  2 10
  7  2 10
 
 ( 2  5 )2 
 2  5 (A)
4
8  4 3
  
4 8  4 3
8  4 3 8  4 3
  8  4 3  ( 6  2 )2 
  6  2 (B)
1
11  2 30
  
11  2 30
11  2 30 11  2 30
  11  2 30 ( 6  5 )2 
  6  5 (C)
(A)  (B)  2  5  6  2  6  5  (C)
 43. x  2  2  2  2  ... ⇒ x2  2  2  2  2  2  ... ⇒
⇒ x2  2  x ⇒ x2  x  2  0 ⇒ x  
1  3
2
 ⇒ x  2 (pois x  0)
 
44. 
12
7  3
  
5
8  3 7
  
12(8  3 7 )  5( 7  3)
( 7  3)(8  3 7 )
  
  
81  41 7
(3  7 )
  
(3  7 )
(3  7 )
  22  21 7
 
49. f) 27
2
3
  27

2
3
 16
3
4
  16

3
4
  (32  32)(23  23)  9  
1
9 
8  
1
8
  70
 
g) 125
2
3  16
1
2  343
1
3
1
2
  52  22  7
1
2
  6
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6
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 
50. 0,064
1
3
 0,0625
1
4
  
64
1 000
1
3
 
625
10 000
1
4
  
4
10
  
5
10
  
20
100
  0,2
 53. a) a2n1
  a1n1n3 n2
1
 a
2
n1
  a

1
n1
1
n3
  n2  1 
 a
n3
n2
1
  n2
1
n3
  a
 b) a
5
6  b
1
2 a

1
2  b13
  a1  b
2
3
  a
5
6  b
1
2  a

1
2  b1
1
3
  a1  b
2
3
1
2
  a
1
6  b
1
2
 c) (a
2
3  2
1
3)(a3
a  
3
2a2  
3
4 )  (a
2
3  2
1
3)(a
4
3  2
1
3  a
2
3  2
2
3) 
  a2  2
1
3  a
4
3  a
2
3  2
2
3  2
1
3  a
4
3  2
2
3  a
2
3  2  a2  2
 
d) 
b  a
a  b
 
a
1
2  a
1
2  b
1
2
1
  
a
1
2  b
1
2
b
1
2
1
  
b  a
a  b
 
a
1
2
a
1
2  b
1
2
  
b
1
2
a
1
2  b
1
2
 
 
 
 
b  a
a  b
 
a  (ab)
1
2  (ab)
1
2  b
a
1
2
2
  b
1
2
2
  1
 
e) 1
2 
a
b

1
2
  
1
2 
b
a

1
2
2
  1  
b
1
2
2a
1
2
  
a
1
2
2b
1
2
2
  1 
 
b  a
2(a  b)
1
2
2
  1  
2(a  b)
1
2
b  a 
2
  1  
(a 
 b)2
(b  a)2
  
a  b
|a  b|
 
f) [(a ab b)( a b )1  3 ab]
1
2  a
3
2  b
3
2
 
1
a
1
2  b
1
2
 3a
1
2  b
1
2
 
1
2
 

 
 
a
3
2  b
3
2  3ab
1
2  3a
1
2b
a
1
2  b
1
2 
1
2
Lembrando que (x  y)3  x3  y3  3x2y  3xy2, temos que a 
expressão pedida se reduz a:
a
1
2  b
1
2
3
a
1
2  b
1
2 
1
2
  a
1
2  b
1
2  a  b
 
54. 
1
4
a  8
a  1
  
1
4
a  8
a  1
  
2(4
a  1)
a  4
a  1
  
  
(4
a  1  8
a  4
a  1  8
a )
(4
a  1  8
a )(4
a  1  8
a )
  
2(4
a  1)
a  4
a  1
 
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7
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
  
2(4 a  1)
a  4 a  1
  
2(4 a  1)
a  4 a  1
  
  
(24 a  2)( a  1  
4 a )  (24 a  1)( a  1  
4 a )
( a  1  4 a )( a  1  4 a )
  
4
a  a  1
56. 
2n  4  2  2n
2  2n  3
  
2n  24  2  2n
2  2n  23
  
2n(24  2)
2  2n  23
  
7
8
57. (2n  2n  1)(3n  3n  1)  2n  
2n
2 
3n  
3n
3
  
2n(2  1)
2
  
3n(3  1)
6
  6n
58. (cosh x)2  (senh x)2  
ex  ex
2
2
  
ex  ex
2
2
  
  
(ex  ex)2  (ex  ex)2
4
  
 
e2x  2  ex  ex  e2x  (e2x  2  ex  ex  e2x)
4
  
2  e0  2  e0
4
  1
CAPÍTULO II — Função exponencial
 
59. A expressão 
1
2
y
 é decrescente com y. Seu menor valor é o que se 
obtém para o máximo valor de y  4x  x2. O valor de x que acarreta 
o máximo de y é x  
b
2a
  
4
2
  2 e ymáx  4  2  22  4.
 
Portanto, o menor valor de 
1
2
4x  x2
 
é: 
1
2
4
  
1
16
.
 60. a) x y  3x
3
1
27
2
1
9
1
1
3
0 1
1 3
2 9
3 27
 
– 1
1
1
y
y = 3x
x
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8
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 b) 
x y  
1
3
x
2 9
1 3
0 1
1
1
3
2
1
9
 
y 5 
x1
3
3
1
121
y
x
 c) x y  4x
2
1
16
1
1
4
0 1
1 4
2 16
 y
y = 4x
1
– 1 1 x
 d) x y  10x
2
1
100
1
1
10
0 1
1 10
2 100
 
y = 10x
1
– 1 1
y
x
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9
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 e) x y  10x
2 100
1 10
0 1
1
1
10
2
1
100
 
y = 10 – x
y
– 1 1
1
x
 f) 
x y  
1
e
x
2 7,39
1 2,72
0 1
1 0,36
2 0,14
 
y
1
– 1 x1
y = 
x1
e
 62. a) 
x 1  x f(x)  21  x
3 2
1
4
2 1
1
2
1 0 1
0 1 2
1 2 4
 
f(x) = 21 – x
y
2
1
– 1 1 2 3 x
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10
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 b) 
x
x  1
2
f(x)  3
x  1 
2
5 2
1
9
3 1
1
3
1 0 1
1 1 3
3 2 9
 
y
2
1
– 1 1 x
f(x) = 3
x + 1
2
 c) x |x| f(x)  2|x|
1 1 2
1 1 2
0 0 1
2 2 4
2 2 4
 
x
3
2
1
– 1 1
y
f(x) = 2|x|
 d) 
x 2x  1 f(x)  
1
2
2x  1

3
2
2 4
1 1 2

1
2
0 1
0 1
1
2
 
– 1 1
y
2
1
x
f(x) = 
1
2
2x + 1
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11
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 e) 
x |x| f(x)  
1
2
|x|
1 1
1
2
1 1
1
2
0 0 1
2 2
1
4
2 2
1
4
 
– 1
2
1
y
f(x) = 
| x |1
2
1 x
 63. 
x x2 f(x)  ex2
1 1 2,72
2 2 7,39
 2 2 7,39
0 0 1
 
– 1
y
1
1
f(x) = ex2
x
 64. 
x x2 f(x)  ex2
1 1 0,36
1 1 0,36
0 0 1
2 4 0,018
2 4 0,018
 
– 1
f(x) = e – x2
y
1
1 x
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12
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 66. a) x 2x f(x)  2x  3
2
1
4

11
4
1
1
2

5
2
0 1 2
1 2 1
2 4 1
 
– 3
– 2
– 1
– 1
1
1 x
y y = 2x
f(x) = 2x – 3
 b) 
x
1
3
x
f(x)  
1
3
x
  1
2 9 10
1 3 4
0 1 2
1
1
3
4
3
2
1
9
10
9
 
f(x) = 
x1
3
+ 1
y
2
1
– 1
x
 c) 
x 3x f(x)  2  3x
0 1 1
1 3 1
1
1
3
5
3
2
1
9
17
9
2 9 7
 
f(x) = 2 – 3x
– 1
– 1
y
2
1
1 x
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13
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 d) 
x
1
2
x
f(x)  3  
1
2
x
0 1 2
1
1
2
5
2
1 2 1
2 4 1
 
– 1 1 x
1
2
3
y
 67. a) x 2x 2x f(x)  2x  2x2
1
4
4
17
4
1
1
2
2
5
2
0 1 1 2
1 2
1
2
5
2
2 4
1
4
17
4
f(x) = 2x + 2 – x
2
– 1– 2 1 2 x
y
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14
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 b) x 2x 2x 2x  2x
2
1
4
4 
15
4
1
1
2
2 
3
2
0 1 1 0
1 2
1
2
3
2
2 4
1
4
15
4
 
– 1
1
1
–
f(x) = 2x – 2 – x
x
3
2
3
2
y
 69. a) 
x 3x f(x)  
1
2
  3x
0 1
1
2
1
1
3
1
6
2
1
9
1
18
1 3
3
2
2 9
9
2
 
3
2
– 1
1
1 x
1
2
f(x) = · 3x
y
 b) x 2x  3 22x  3 f(x)  0,1  22x  3
1
2
2
1
4
0,025
1 1
1
2
0,05
3
2
0 1 0,1
2 1 2 0,2
5
2
2 4 0,4
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15
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
y
3
1
1 2 3 x
f(x) = 0,1 · 22x – 3
 c) 
x 2x  1 32x  1 f(x)  
1
5
  32x  1

1
2
2
1
9
0,02
0 1
1
3
0,07
1
2
0 1 0,2
1 1 3 0,6
3
2
2 9 1,8
y
2
1
– 1 1 2 x
1
5
f(x) = · 32x – 1
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16
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 d) 
x
x  1
2
2
x  1 
2 3  2
x  1 
2
5 2
1
4
0,75
3 1
1
2
1,5
1 0 1 3
1 1 2 6
3 2 4 12
f(x) = 3 · 2
x + 1
2
y
6
3
1
– 5 – 3 – 1 1 3 x
 71. e) (
3
2 )x  8 ⇔ 2
x
3  23 ⇔ x  9, S  {9}
f) (
4
3 )x  
3
9 ⇔ 3
x
4  3
2
3 ⇔ x  
8
3
, S  
8
3
j) (
5
4 )x  
1
8
 ⇔ 2
2x
5  2

3
2 ⇔ x  
15
4
, S  
15
4
k) 100x  0,001 ⇔ 102x  103 ⇔ x  
3
2
, S  
3
2
l) 8x  0,25 ⇔ 23x  22 ⇔ x  
2
3
, S  
2
3
m) 125x  0,04 ⇔ 53x  52 ⇔ x  
2
3
, S  
2
3
n) 
2
3
x
  2,25 ⇔ 
2
3
x
  
225
100
 ⇔ 
2
3
x
  
2
3
2
 ⇔ x  2, S  {2}
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17
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 
72. i) 53x  1  
1
25
2x  3
 ⇔ 53x  1  54x  6 ⇔ x  
5
7
, S  
5
7
j) ( 2 )3x  1  (3
16 )2x  1 ⇔ 2
3x
2  
1
2  2
8x
3  
4
3 ⇔ x  
5
7
, S  
5
7
k) 82x  1  
3
4x  1 ⇔ 26x  3  2
2x  2
3 ⇔ x  
11
16
, S  
11
16
l) 4x2  1  8x ⇔ 22x2  2  23x ⇔ x  2 ou x  
1
2
, S  2, 
1
2
m) 27x2  1  95x ⇔ 33x2  3  310x ⇔ x  3 ou x  
1
3
, S  3, 
1
3
n) 8x2  x  4x  1 ⇔ 23x2  3x  22x  2 ⇔ x  2 ou x  
1
3
,
 S  2,  
1
3
 73. 4x2  4x  412 ⇔ 22x2  8x  224 ⇔ (x  6 ou x  2), S  {6, 2}
 74. 100  10x  
x
1 0005 ⇔ 102  x  10
15
x ⇔ x2  2x  15  0 ⇔
 ⇔ (x  5 ou x  3), S  {5, 3}
 76. a) (2x)x  4  32 ⇔ 2x2  4x  25 ⇔ (x  5 ou x  1), S  {5, 1}
 b) (9x  1)x  1  3x2  x  4 ⇔ (32x  2)x  1  3x2  x  4 ⇔ x2  x  6  0 ⇔
 ⇔ (x  3 ou x  2), S  {2, 3}
c) 23x  1  42x  3  83  x ⇔ 23x  1  24x  6  29  3x ⇔ x  
2
5
, S  
2
5
d) (32x  7)3 : 9x  1  (33x  1)4 ⇔ 34x  23  312x  4 ⇔ 
 ⇔ x  
19
8
, S  
19
8
e) 23x  2 : 82x  7  4x  1 ⇔ 23x  23  22x  2 ⇔ x  5, S  {5}
f) 
3x  2  9x
2435x  1
  
812x
273  4x
 ⇔ 
33x  2
325x  5
  
38x
39  12x
 ⇔ 322x  3  320x  9 ⇔
 
 ⇔ x  
1
7
, S  
1
7
g) 
x  4
23x  8  2x  5 ⇔ 2
3x  8
x  4  2x  5 ⇔ x2  4x  12  0 ⇔
 ⇔ (x  6 ou x  2), S  {2, 6}
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18
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
h) 83x  
3
32x : 4x  1 ⇔ 29x  2
5x
3 : 22x  2 ⇔ 29x  2
x  6
3 ⇔
 ⇔ x  
3
14
, S  
3
14
i) 
x  1 3
23x  1  
3x  7
8x  3  0 ⇔ 
3x  3
23x  1  
3x  7
23x  9 ⇔ 
 
⇔ 2
3x  1
3x  3  2
3x  9
3x  7 ⇔ x  
5
3
 não serve, pois x   e x  2. S  
j) 8x  1  
x  1
42x  3  
6
25x  3 ⇔ 2
3x  3
2  2
4x  6
x  1  2
5x  3
6 ⇔ 
 ⇔ 
3x  3
2
  
4x  6
x  1
  
5x  3
6
 ⇔ 4x2  16x  48  0 ⇔
 
⇔ (x  6 ou x  2)
 x  6 não serve, pois x  . S  {2}
 77. (43  x)2  x  1 ⇔ (26  2x)2  x  20 ⇔ (6  2x)(2  x)  0 ⇔
⇔ (x  3 ou x  2), S = {2, 3}
 79. a) 3x  1  3x  3x  1  3x  2  306 ⇔ 3x  1(1  3  9  27)  306 ⇔
 ⇔ 3x  1  32 ⇔ x  3, S  {3}
b) 5x  2  5x  5x  1  505 ⇔ 5x  2(1  25  125)  505 ⇔
 ⇔ 5x  2  51 ⇔ x  3, S  {3}
c) 23x  23x  1  23x  2  23x  3  240 ⇔ 23x(1  2  4  8)  240 ⇔
 ⇔ 23x  24 ⇔ x  
4
3
, S  
4
3
d) 54x  1  54x  54x  1  54x  2  480 ⇔ 54x  1(1  5  25  125)  480 ⇔
 ⇔ 54x  1  5 ⇔ x  
1
2
, S  
1
2
e) 3  2x  5  2x  1  5  2x  3  2x  5  2 ⇔ 2x(3  10  40  32)  2 ⇔
 ⇔ 2x  2 ⇔ x  1, S  {1}
f) 2  4x  2  5  4x  1  3  22x  1  4x  20 ⇔
 ⇔ 22x  5  5  22x  2  3  22x  1  22x  20 ⇔
 ⇔ 22x(32  20  6  1)  20 ⇔ 22x  22 ⇔ x  1, S  {1}
 81. a) 4x  2x  2  0 ⇔ 22x  2x  2  0
 Fazendo 2x  y, temos:
 y2  y  2  0 ⇔ (y  2 ou y  1).
 y  1 não convém, pois 2x  0.
 De y  2 vem: 2x  2 ⇔ x  1.
 S  {1}
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19
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
b) 9x  3x  90 ⇔ 32x  3x  90  0
 Fazendo 3x  y, temos:
 y2  y  90  0 ⇔ (y  10 ou y  9).
 y  10 não convém, pois 2x  0.
 De y  9 vem: 3x  32 ⇔ x  2.
 S  {2}
c) 4x  20  2x  64  0 ⇔ 22x  20  2x  64  0
 Fazendo 2x  y, temos:
 y2  20y  64  0 ⇔ (y  16 ou y  4).
 De y  16 vem: 2x  24 ⇔ x  4; de y  4 vem: 2x  2 ⇔ x  2.
 S  {2, 4}
d) 4x  4  5  2x ⇔ 22x  4  5  2x  0
 Fazendo 2x  y, temos:
 y2  5y  4  0 ⇔ (y  4 ou y  1).
 De y  4 vem: 2x  22 ⇔ x  2; de y  1 vem: 2x  20 ⇔ x  0.
 S  {0, 2}
e) 9x  3x  1  4 ⇔ 32x  3  3x  4  0
 Fazendo 2x  y, temos:
 y2  3y  4  0 ⇔ (y  4 ou y  1).
 y  4 não convém, pois 2x  0.
 De y  1 vem: 2x  20.
 S  {0}
f) 52x  5x  6  0
 Fazendo 5x  y, temos y2  y  6  0 ⇔ y  .
 S  
g) 22x  2x  1  80  0
 Fazendo 2x  y, temos:
 y2  2y  80  0 ⇔ (y  10 ou y  8).
 y  10 não convém.
 De y  8 vem: 2x  23 ⇔ y  3.
 S  {3}
h) 102x  1  11  10x  1  1  0
 Fazendo 10x  y, temos:
 
y2
10
  
11y
10
  1  0 ⇔ (y  10 ou y  1).
 De y  10 vem: 10x  10 ⇔ x  1; de y  1 vem: 10x  100 ⇔ x  0.
 S  {0, 1}
i) 4x  1  43  x  257
 Fazendo 4x  y, temos:
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 4y  
64
4
  257  0 ⇔ 4y2  64  257y  0 ⇔ y  64 ou y  
1
4
.
 
De y  64 vem: 4x  43 ⇔ x  3; de y  
1
4
 vem: 4x  41 ⇔ x  1.
 S  {1, 3}.
j) 5  22x  4
2x  1
2  8  0 ⇔ 5  22x  4
4x  1
  8  0
 Fazendo y  22x, temos:
 5y  
y2
2
  8  0 ⇔ y2  10y  16  0 ⇔ (y  8 ou y  2).
 
De y  8 vem: 22x  23 ⇔ x  
3
2
; de y  2 vem: 22x  2 ⇔ x  
1
2
.
 
S  
1
2
,
 
3
2
 82. 25 x  124  5 x  125 ⇔ 52 x  124  5 x  125  0
Fazendo 5 x  y, vem: y2  124y  125  0 ⇔ (y  125 ou y  1).
y  1 não convém.
De y  125 vem: 5 x  53 ⇔ x  3 ⇔ x  9. S  {9}.
 83. 4x2  2  3  2x2  3  160 ⇔ 22x2  4  3  2x2  3  160  0
Fazendo 2x2
  y, temos:
16y2
  24y  160  0 ⇔ y  4 ou y  
5
2
. y  
5
2 
não convém.
De y  4 vem: 2x2
  22 ⇔ x2  2 ⇔ (x  2 ou x   2 ).
O produto é  2  2  2.
 84. a) 3x  
15
3x  1
  3x  3  
23
3x  2
 ⇔ 3x  
15
3x
3
  
3x
33
  
23
3x
32
 Seja 3x  t. Temos:
 
t  
45
t
  
t
27
  
207
t
 ⇒ t2  243 ⇒ t  9 3
 Desprezando a raiz negativa, pois t  3x  0, ∀x  , temos t  9 3, 
 isto é, 3x  9 3 ⇔ 3x  3
5
2 ⇒ x  
5
2
. S  
5
2
b) 2x  1  2x  2  
3
2x  1
  
30
2x
 ⇔ 2x  2  
2x
22
  
3
2x
2
  
30
2x
 Fazendo 2x  t, temos:
 
2t  
t
4
  
6
t
  
30
t
 ⇒ t2  16 ⇒ t  4 (nãoconvém) ou t  4,
 
isto é, 2x  4 ⇒ x  2. S = {2}
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21
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
c) 162x  3  162x  1  28x  12  26x  5 ⇔
 ⇔ 28x  12  28x  4  28x  12  26x  5  0 ⇔
 
⇔ 26x  5  28x  4 ⇔ x  
1
2
, S  
1
2
 
85. Seja x  
1
x
  t ⇒ x  
1
x
2
  t2 ⇒ x2  
1
x2  t2  2
Então, temos:
3
x2  
1
x2
  
81
3
x 
 
1
x
 ⇔ 3t2  2  
81
3t
 ⇔ 3t2  2  34  t ⇒ t2  t  6  0 ⇒
⇒ (t  3 ou t  2).
1ª possibilidade: t  3 ⇒ x  
1
x
  3 ⇒ x2  3x  1  0 ⇒
⇒ x  
3  5
2
2ª possibilidade: t  2 ⇒ x  
1
x
  2 ⇒ x2  2x  1  0 ⇒ x  1
S  
3  5
2
, 
3  5
2
, 1
 
86. 2x  
1
2x  k ⇔ 22x  k  2x  1  0
Pondo 2x  y, temos y2  ky  1  0.
Examinando D  k2  4, notamos que D  0, ∀k  .
Então essa equação tem, para todo k, duas raízes reais e de sinais 
contrários, pois seu produto é 1.
Conclusão: para qualquer k, a equação dada só admite uma única solução
y  2x  
k  k2  4
2
  0.
 
87. 
3x  3x
3x  3x
  2 ⇔ 3x  3x
  2  3x  2  3x ⇔ 
 ⇔ 3x(1  2)  3x (1  2) ⇔ 32x  3 ⇔ x  
1
2
, S  
1
2
 88. 4x  3
x  
1
2  3
x  
1
2  22x  1 ⇔ 22x  22x  1  3
x  
1
2  3
x  
1
2 ⇔
⇔ 
 
22x 
3
2
  3x 
1
3 
 3 ⇔ 
22x
3x
  
2
3
 
4
3
 ⇔ 
⇔ 
4
3
x
  
43
33
 ⇔ 
4
3
x
  
4
3
3
2
 ⇔ x  
3
2
, S  
3
2
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22
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 
89. 3x  1  
5
3x  1  4  31  3x ⇔ 3x  1  5  3x  1  4  31  3x  0 ⇔
⇔ 
3x
3
  
5
3  3x  
4  3
33x  0
Pondo y  3x, temos:
y
3
  
5
3y
  
12
y3  0 ⇔ y4  5y2  36  0.
Fazendo y2  t, temos: t2  5t  36  0 ⇔ (t  9 ou t  4).
t  4 não convém. De t  9 vem: y2  9 ⇒ y  3, pois y  3 não convém.
De y  3 vem: 3x  3 ⇔ x  1.
S  {1}
 90. 8x  3  4x  3  2x  1  8  0 ⇔ 23x  3  22x  3  2x  2  8  0
Fazendo 2x  y, vem:
y3  3y2  6y  8  0. Lembrando da identidade:
a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2), temos:
(y  2)(y2  2y  4)  3y(y  2)  0 ⇒ (y  2)  (y2  5y  4)  0 donde:
y  2  0 ⇒ y  2, não convém pois y  2x  0, ∀x  .
ou
y2  5y  4  0 ⇒ (y  1 ou y  4) ⇔ (2x  1 ou 2x  4) ⇔ (x  0 ou x  2)
S = {0, 2}
 92. a) x2  3x  1. Para x  0, temos 02  1 (falso); x  0 não é solução; 
para x  1, temos 11  1 (verdadeiro); x  1 é solução. Supondo 
0  x  1, temos: x2  3x  x0 ⇔ x  
2
3
.
 
S  1, 
2
3
b) x2x  5  1. x  0 não é solução, pois 05  1 (falso); x  1 é 
solução, pois 17  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos:
 x2x  5  x0 ⇔ x  
5
2
 não convém.
 S  {1}
c) xx2  2  1. x  0 não é solução, pois 02  1 (falso); x  1 é 
solução, pois 11  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos:
 xx2  2  x0 ⇔ x  2 .
 S  1, 2
d) xx2  7x  12  1. x  0 não é solução, pois 012  1 (falso); x  1 é 
solução, pois 16  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos:
 xx2  7x  12  x0 ⇔ (x  4 ou x  3).
 S  {1, 3, 4}
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23
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
e) xx2  3x  4  1. x  0 não é solução, pois 04  1 (falso); x  1 é 
solução, pois 16  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos:
 xx2  3x  4  x0 ⇔ (x  4 ou x  1), mas x  1 não convém.
 S  {1, 4}
 93. a) xx  x. x  0 não é solução, pois 00  0 (falso); x  1 é solução, pois 
 11  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos: xx  x1 ⇔ x  1.
 S  {1}
b) xx  1  x. x  0 é solução, pois 01  0 (verdadeiro); x  1 é 
solução, pois 12  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos:
 xx  1  x ⇔ x  1  1 ⇔ x  0.
 S  {0, 1}. Como U  
 
⇒ S  {1}.
c) x4  2x  x. x  0 é solução, pois 04  0 (verdadeiro); x  1 é 
solução, pois 12  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos:
 x4  2x  x ⇔ x  
3
2
. S  0, 1, 
3
2
. Como U  
 
⇒ S  1, 
3
2
.
d) x2x2  5x  3  x. x  0 é solução, pois 03  0 (verdadeiro); x  1 
é solução, pois 10  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos:
 x2x2  5x  3  x ⇔ 2x2  5x  2  0 ⇔ x  2 ou x  
1
2
.
 
S  0, 1, 2, 
1
2
. Como U  
 
⇒ S  1, 2, 
1
2
.
e) xx2  2x  7  x. x  0 não é solução, pois 07  0 (falso); x  1 
é solução, pois 18  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos:
 xx2  2x  7  x ⇔ x2  2x  8  0 ⇔ (x  4 ou x  2).
 S  {1, 4}
 94. (x2  x  1)(2x2  3x  2)  1. x  0 é solução, pois 12  1 (verdadeiro); 
x  1 é solução, pois 13  1 (verdadeiro).
Supondo 0  x2  x  1  1 ⇔ 
x2  x  1  0 (é satisfeita para ∀x  )
e
x2  x  0 ⇔ x  0 e x  1
temos:
(x2  x  1)(2x2  3x  2)  1 ⇔ (x2  x  1)(2x2  3x  2)  (x2  x  1)0 ⇔
⇔ 2x2  3x  2  0 ⇔ x  
1
2
 ou x  2 . S  
1
2
, 0, 1, 2
 95. xx3  8  1. x  0 não é solução, pois 08  1 (falso); x  1 é 
solução, pois 17  1 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos:
xx3  8  x0 ⇔ x3  8  0 ⇔ x  2.
S  {1, 2}
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24
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 96. x 2x
22
1
4
21
1
2
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
x x2
22 4
21 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
 
– 2 – 1
1
2
4
y
1 2 3 4 x
São duas soluções.
 97. x2x 2 (x2 1 x)xx 1 x3 5 0. x 5 0 não é solução, pois 00 5 0 (falso); x 5 1 
é solução, pois 1 2 2 1 1 5 0 (verdadeiro). Supondo 0  x  1, temos 
(xx)2 2 (x2 1 x)xx 1 x3 5 0; fazendo xx 5 y, temos:
y2 2 (x2 1 x)y 1 x3 5 0 ⇔ (y 5 x2 ou y 5 x).
De y 5 x2 vem xx 5 x2 ⇔ x 5 2; de y 5 x vem xx 5 x ⇔ x 5 1.
S 5 {1, 2}
 
99. a) 4x 1 2 ? 14x 5 3 ? 49x ⇔ 
4x
49x
 1 
2 ? 14x
49x
 5 
3 ? 49x
49x
 ⇔ 
 ⇔ 
2
7
2x
 1 2 ? 
2
7
x
 2 3 5 0
 
Fazendo 
2
7
x
 5 y, temos:
 y2 1 2y 2 3 5 0 ⇔ (y 5 23 ou y 5 1).
 y 5 23 não serve.
 De y 5 1 vem:
 
2
7
x
 5 1 ⇔ 
2
7
x
 5 
2
7
0
 ⇔ x 5 0.
 S 5 {0}
b) 22x 1 2 2 6x 2 2 ? 32x 1 2 5 0 ⇔ 4 ? 22x 2 2x ? 3x 2 18 ? 32x 5 0 ⇔ 
 ⇔ 
4 ? 22x
2x ? 3x 2 
2x ? 3x
2x ? 3x 2 
18 ? 32x
2x ? 3x 5 0 ⇔ 4 ? 
3
2
2x
 2 18 ? 
3
2
x
 2 1 5 0.
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25
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Fazendo 
3
2
x
  y, vem:
4
y
  18y  1  0 ⇔ 18y2  y  4  0 ⇔
⇔ y  
1
2
 ou y  
4
9
.
y  
1
2
 não convém.
De y  
4
9
 vem 
3
2
x
  
4
9
 ⇔ x  2.
S  {2}
100. a) 
4x  16y ⇔ 22x  16y  0
2x  1  4y ⇔ 2  2x  4y  0
Fazendo 2x  z, vem:
z2  16y  0 (1)
2z  4y  0 ⇔ z  2y (2)
De (2) em (1) vem 4y2  16y  0 ⇔ (y  0 ou y  4).
Para y  0, temos z  0; portanto, 2x  0 impossível.
Para y  4, temos z  8; portanto, 2x  23 ⇔ x  3.
S  {(3, 4)}
b) 
22(x2  y)  100  52(y  x2)
x  y  5
 ⇔ 
22(x2  y)  22  52(x2  y)  2
y  5  x
 ⇔ 
⇔ 
22x2  2y  2  52x2  2y  2 (1)
y  5  x (2)
De (2) em (1) vem 22x2  2x  12  52x2  2x  12.
Fazendo 2x2  2x  12  z, vem:
2z  5z ⇔ 2z  5z  1 ⇔ 10z  1 ⇔ z  0.
Sendo assim: 2x2  2x  12  0 ⇔ (x  3 ou x  2).
Para x  3 temos y  8; para x  2, temos y  3.
S  {(2, 3), (3, 8)}
c) 
2x  2y  24 (1)
x  y  8 ⇔ x  8  y (2)
De (2) em (1) vem:
28  y  2y  24 ⇔ 28  22y  24  2y  0.
 Fazendo 2y  z, vem:
z2  24z  256  0 ⇔ (z  32 ou z  8).
z  32 não convém.
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
De z  8 vem 2y  23 ⇔ y  3.
Para y  3 ⇒ x  5.
S  {(5, 3)}
d) 
3x  2(y2)  77
3
x
2
  2
y2
2  7
Fazendo 3x  a e 2(y2)  b, temos:
a  b  77 ⇔ a  77  b (1)
a  b  7 ⇔ ( a )2  (7  b )2 ⇔ a  b  49  14 b (2)
De (1) em (2) vem 77 b  b  49  14 b ⇔ b  4 (3).
De (3) em (1) vem a  81. Como 3x  a ⇔ 3x  34 ⇔ x  4.
Como 2(y2)  b ⇔ 2(y2)  4 ⇔ y   2 .
S  {(4,  2 ), (4,  2 )}
101. 
3x  y  1
2x  2y  2
 ⇔ 
x  y  0 (1)
x  2y  1 (2)
De (2)  (1) vem y  1 e x  1, então x  y  2.
102. 
2x  3y  108 ⇔ 2x  3y  22  33 ⇔ (x  2 e y  3)
4x  2y  128 ⇔ 22x  y  27 ⇔ 2x  y  7 (que aceita a solução (2, 3))
O produto é 2  3  6.
103. 
xy2  15y  56  1
y  x  5 ⇔ y  5  x
x  0 não é solução, pois 0y2  15y  56  1 (falso).
x  1 é solução, pois 1y2  15y  56  1 (verdadeiro).
Como y  5  x ⇒ y  6 ⇒ (1, 6). Supondo 0  x  1, temos:
xy2  15y  56  x0 ⇔ y2  15y  56  0 ⇔ (y  8 ou y  7).
Para y  8, temos x  3 ⇒ (3, 8).
Para y  7, temos x  2 ⇒ (2, 7).
S  {(1, 6), (3, 8), (2, 7)}
104. a) 
xx  y  yx  y (1)
x2y  1 ⇔ y  x2 (2)
x  0 não é solução, pois 0y  yy e y  0, pois x2  y  1.
x  1 é solução, pois 12 
 y  1 ⇒ y  1 e 12  10 (verdadeiro).
De (2) em (1) vem:
xx  x2
  (x2)x  x2
 ⇔ x  x2  2x  2x2 ⇔
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇔ x  
1
x2
  2x  
2
x2
 ⇔ x  3

1
3.
Como y  x2 ⇒ y  3

1
3
2
 ⇔ y  3
2
3
.
S  (1, 1) 3

1
3, 3
2
3
b) 
xy  yx (1)
x3  y2 ⇔ y  x
3
2
 (2)
De (2) em (1) vem xx
2
3
  x
3x
2
.
x  0 é solução, pois 00  00 (verdadeiro); então, x  0 e y  0 
satisfazem.
x  1 é solução, pois 11  1
3
2
 (verdadeiro); então, x  1 e y  1 
satisfazem.
Supondo 0  x  1, temos:
x
3
2
  
3x
2
 ⇔ x 2x
1
2
  3  0 ⇔ x  0 ou x  
9
4
.
Como y  x3 ⇒ y  
9
4
3
 ⇒ y  
27
8
.
 
S  (0, 0), (1, 1), 
9
4
, 
27
8
. Como U  
 
⇒ S  (1, 1), 
9 
4
, 
27 
8
.
105. 
xy  yx ⇔ x  y
x
y
xm  yn ⇔ x  y
n
m (2)
 ⇒ y
x
y  y
n
m ⇒ mx  ny (1)
x  1 é solução, pois 1y  y1 ⇒ y  1; então, 1m  1n (verdade)  
 (1, 1) é solução. De (2) em (1) vem:
m  y
n
m  ny ⇔ y  
n
m 
m
n  m
.
Como x  y
n
m ⇒ x  
n
m 
m
n  m
 
n
m
 ⇔ x  
n
m 
n
n  m
.
S  (1, 1), 
n
m 
n
n  m, 
n
m 
n
n  m
107. a) 32x  (2m  3)  3x  (m  3)  0
 Fazendo y  3x, temos y2  (2m  3)y  (m  3) = 0. Como 
y  0, f(y) = y2  (2m  3)y  (m  3) deve admitir pelo menos 
uma raiz real e positiva.
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
1) as duas raízes são positivas:
y1  y2  0 ⇒   0, S  0 e a  f(0)  0
  0 ⇒ 4m2  8m  3  0 ⇒
⇒ m  
2  7
2
 ou m  
2  7
2 
I
S  0 ⇒ 2m  3  0 ⇒ m   
3
2
 II
a  f(0)  0 ⇒ m  3  0 ⇒ m  3 III
S1  I  II  III  m   | m  
2  7
2
2) somente uma raiz é positiva:
y1  0  y2 ⇒ 
y1  0  y2 ⇒ a  f(0)  0 ⇒ m  3,
S2  {m   | m  3}
y1  0 e y2  0 ⇒ (S  0 e f(0)  0) ⇒
m  
3
2
 e m  3 , S
3
  
S  S1  S2  S3  m   | m  3 ou m  
2  7
2
b) 22x  1  (2m  3)  2x  1  (7  2m)  0
 Fazendo 2x  y, temos: 2y2  (2m  3)  2y  (7  2m)  0.
 Como y  0, temos:
1) as duas raízes são positivas: y1  y2  0 ⇒   0, S  0 e 
a  f(0)  0
  0 ⇒ 4m2  8m  5  0 ⇒ m   
1
2
 ou m  
5
2 
I
S  0 ⇒ 
2(2m  3)
2
  0 ⇒ m  
3
2
 II
a  f(0)  0 ⇒ 2(7  2m)  0 ⇒ m  
7
2 
III
S1  I  II  III  m   | 
5
2
  m  
7
2
2) somente uma raiz é positiva:
y1  0  y2 ⇒ 
 
y1  0  y2 ⇒ a  f(0)  0 ⇒ 14  4m  0 ⇒
⇒ m  
7
2
, S2  m   | m  
7
2
y1  0 e y2  0 ⇒ (S  0 e f(0)  0) ⇒ (2m  3  0 e
7  2m  0) ⇒ m  
3
2
 e m  
7
2
, S
3
  
7
2
S  S1  S2  S3  m   | m  
5
2
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
c) m  9x  (2m  1)  3x  (m  1)  0
 Fazendo y  3x, temos:
 my2  (2m  1)  y  (m  1)  0.
 Como y  0, temos:
1) as duas raízes são positivas: y1  y2  0 ⇒   0, S  0 e 
a  f(0)  0
  0 ⇒ (2m  1)2  4m2  4m  0 ⇒ m  
1
8 
I
S  0 ⇒ 
2m  1
m
  0 ⇒ m  
1
2
 ou m  0 II
a  f(0)  0 ⇒ m(m  1)  0 ⇒ (m  1 ou m  0) III
S1  I  II  III  {m   | m  1}
2) somente uma raiz é positiva:
y1  0  y2 ⇒ 
y1  0  y2 ⇒ a  f(0)  0 ⇒ m(m  1)  0 ⇒
⇒ 0  m  1, S2  {m   | 0  m  1}
y1  0 e y2  0 ⇒ (S  0 e f(0)  0) ⇒
⇒ 
2m  1
m
  0 e m  1  0 ⇒ m  
1
2
 ou
m  0) e (m  1), S3  {1}
S  S1  S2  S3  {m   | m  0}
108. m(2x  1)2  2x(2x  1)  1  0
Fazendo 2x  y, temos: m(y  1)2  y(y  1)  1  0 ⇒
⇒ (m  1)y2  (2m  1)y  (m  1)  0, mas y  0, então:
As duas raízes são positivas:
y1  y2  0 ⇒   0, S  0 e a  f(0)  0
  0 ⇒ (2m  1)2  4(m  1)(m  1)  0 ⇒ m  
5
4 
I
S  0 ⇒ 
2m  1
m  1
  0 ⇒ m  
1
2
 ou m  1 II
a  f(0)  0 ⇒ m2  1  0 ⇒ (m  1 ou m  1) III
S1  I  II  III  m   | m  1 ou 1  m  
5
4
Somente uma raiz é positiva:
y1  0  y2 ⇒ 
y1  0  y2 ⇒ a  f(0)  0 ⇒ m2  1  0 ⇒
⇒ 1  m  1, S2  {m   | 1  m  1}
y1  0 e y2  0 ⇒ (S  0 e f(0)  0) ⇒
⇒ m  
1
2
 ou m  1 e (m  1), S3  {1}
Notemos que, para m  1, a equação proposta se reduz a:
2x  2  0, que apresenta uma raiz real (x  1). Assim,
S  S1  S2  S3  m   | m  
5
4
.
 
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
109. 2x  2 x  m ⇔ 22x  m  2x
  1  0
 Fazendo 2x  y, temos: y2   my  1 0, mas y  2x  0, então:
As duas raízes são positivas: 
 y1  y2  0 ⇒   0 e S  0 e a  f(0)  0
   0 ⇒ m2  4  0 ⇒ (m   2 ou m  2) I
 S  0 ⇒ m  0 II
 a  f(0)  0 ⇒ 1  0 (V)
 S1  I  II  {m   | m  2}
Somente uma raiz é positiva:
 y1  0  y2 ⇒ 
y1  0  y2 ⇒ a  f(0)  1  0 (F), S2 
y1  0 e y2  0 ⇒ (S  0 e f(0)  0) ⇒ 
⇒ m  0 e f(0)  1  0, S3 
S  S1  S2  S3  {m   | m  2} 
110. 
ax  ax
ax  ax  m ⇔ (m  1)a2x  m  1  0
Fazendo y  ax, temos (m  1)y2  (m  1) 0.
As duas raízes são positivas:
   0 ⇒ 4(m  1)(m  1)  0 ⇒ 4m2  4  0 ⇒
 ⇒ (m   1 ou  1) I
 S  0 ⇒ 0  0 (F); m   que satisfaz II
 a  f(0)  0 ⇒ (m  1)(m  1)  0 ⇒ m2  1  0 ⇒ 
 ⇒ ( 1  m  1) III
 Tendo em vista I , II , III , segue que S1  .
Somente uma raiz é positiva:
 y1  0  y2 ⇒ y1  0  y2 ⇒ a  f(0)  0 ⇒ m2  1  0
S2  {m   | m   1 ou m  1}
y1  0 e y2  0 ⇒ (S  0 e f(0)  0) ⇒ 
⇒ (0  0 (F) e m  1  0) ⇒
⇒ S3 
S  S1  S2  S3  {m   | m   1 ou m  1} 
111. a2x  (m  1)ax  (m  1)  0 
 Fazendo ax  y, temos:
y2  (m  1)y  (m  1)  0
As duas raízes são positivas:
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 
D  0 ⇒ m2  2m  5  0 ⇔ ∀m   I
S  0 ⇒ m  1  0 ⇒ m  1 II 
a  f(0)  0 ⇒ m  1  0 ⇒ m  1 III
S1  I  II  III  
 {m   | m  1}
Somente uma raiz é positiva:
 
y1  0  y2 
 
y1  0  y2 ⇒ a  f(0)  0 ⇒ m  1  0 ⇒ m  1
S2  {m   | m  1}
y1  0 e y  0 ⇒ (S  0 e f(0)  0) ⇒ 
⇒ (m  1 e m  1)
S3  {1}
 S  S1  S2  S3  
119. a) 8  2x  32 ⇔ 23  2x  25 ⇔ 3  x  5 
 S  {x   | 3  x  5} 
b) 0,0001  (0,1)x  0,01 ⇔ 104  10x  102 ⇔ 2  x  4
 S  {x   | 2  x  4}
c) 
1
27
  3x  81 ⇔ 33  3x  34 ⇔ 3  x  4
 S  {x   | 3  x  4}
d) 
1
8
  4x  32 ⇔ 23  22x  25 ⇔ 
3
2
  x  
5
2
 S  x   | 
3
2
  x  
5
2
e) 
8
27
  
4
9
x
  
3
2
 ⇔ 
2
3
3
  
2
3
2x
  
2
3
1
 ⇔ 
1
2
  x  
3
2
 S  x   |  
1
2
  x  
3
2
f) 0,1  100x  1 000 ⇔ 101  102x  103 ⇔  
1
2
  x  
3
2
 S  x   |  
1
2
  x  
3
2
g) 4  8x  32 ⇔ 22  23 x  25 ⇔ 2  3 x  5
 sex  0 ⇒ x  x, então: 2  3x  5 ⇔ 
2
3
  x  
5
3
 ou
 se x  0 ⇒ x  x, então: 2  3x  5 ⇔ 
5
3
  x  
2
3
 .
 S  x   | 
5
3
  x  
2
3
 ou 
2
3
  x  
5
3
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32
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
h) 25  1252x  1  125 ⇔ 52  56x  3
  53
 ⇔ 
5
6
  x  1
 S  x   | 
5
6
  x  1
i) (0,3)x  5  (0,09)2x  3  (0,3)x  6 ⇔ 
 (0,3)x  5  (0,3)4x  6  (0,3)x  6 ⇔ 
 (x  5  4x  6 e 4x  6  x  6) ⇔ x  
11
3
 e x  0 
 S  
j) 1  7x2  4x  3  343 ⇔ 70  7x2  4x  3  73 ⇔ 0  x2  4x  3  3 ⇔
 ⇔ (x2  4x  3  0 e x2  4x  3  3)
 S  {x   | 0  x  1 ou 3  x  4} 
k) 3x2  3  3x2  5x  6  9 ⇔ 3x2  3  3x2  5x  6  32 ⇔
 ⇔ (x2 5x  6  x2  3 e x2  5x  6  2) ⇔ x  
9
5
 e 1  x  4
 S  x   | 1  x  
9
5
121. a) (2x  1)2x  3  128 ⇔ 22x2  3x  2x  3  27 ⇔ 2x2  x  10  0 ⇔ 
 ⇔  2  x  
5
2
 S  x   |  2  x  
5
2
b) (27x  2)x  1  (9x  1)x  3 ⇔ (33x  6)x  1  (32x  2)x  3 ⇔ x2  x  0 ⇔
 ⇔ (x  1 ou x  0)
 S  {x    x  1 ou x  0}
c) 
2
3
 
3x  2
  
4
9
 2x  1
  
8
27
 x  3
 ⇔ 
2
3
 
3x  2
  
2
3
 4x  2
  
2
3
 3x  9
 ⇔
 ⇔ x   
9
4
 S  x   | x   
9
4
d) 253  4x : 1252  x  53x  1 ⇔ 55x  53x  1 ⇔ x   
1
8
 S  x   | x  
1
8
e) 
0,043x  2  251 4x
0,0083  x  1254 3x  1 ⇔ 
(5  2)3x  2  (52)1  4x
(5  3)3  x  (53)4  3x  1 ⇔ 
 ⇔ 
514x  2
56x  3
  1 ⇔
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33
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇔ 58x  5
  50 ⇔ x   
5
8
S  x   | x   
5
8
f) 2
2x  3
x  1 : 32
1
x  1  4 ⇔ 2
2x  3
x  1
 
:
 2
5
x  1  22 ⇔
⇔ 
2x  3
x  1
  
5
x  1
  2  0 ⇔ 
 6x  4
(x  1)(x  1)
  0 ⇔
⇔ x   1 ou 
2
3
  x  1 
S  x   | x  1 ou 
2
3
  x  1
g) (0,1) 
1
x  1  (0,01) 
1
x  3  (0,001) 
1
x  2 ⇔ (0,1) 
1
x  1  (0,1) 
2
x  3  (0,1) 
3
 x  2 ⇔
⇔ 
1
x  1
  
2
x  3
  
3
x  2
 ⇔ 
x  1
(x  1)(x  3) (x  2)
  0 ⇔
⇔ (3  x  2 ou 1  x  1)
S  {x   | 3  x  2 ou 1  x  1} 
h) 
3
2
1
x  1
 : 
3
2
1
x  2
  
27
8
1
x  3
 
1
x
 ⇔ 
3
2
1
x  1  
1
x  2
 
3
2
3
x2  3x 
⇔
⇔ 
1
x  1
  
1
x  2
  
3
x2  3x
 ⇔ 
6x  6
(x2  3x)(x  1) (x  2)
  0 
S  {x   | x  3 ou 2  x  1 ou 0  x  1}
123. a) 2x  1  2x  2x  1  2x  2  2x  3  240 ⇔
⇔ 2x 
1
2
  1  2  4 8  240 ⇔ 2x  25 ⇔ x  5
S  {x   | x  5}
b) 3x  5  3x  4  3x  3  3x  2  540 ⇔
 ⇔ 3x(243  81  27  9)  540 ⇔ 3x  3 ⇔ x  1
S  {x    x  1}
c) 4x  1  22x  1  4x  22x  1  4x  1  144 ⇔
⇔ 22x 4  2  1  
1
2
  
1
4
  144 ⇔ 22x  26 ⇔ x  3
S  {x   | x  3}
d) 32x  1  9x  32x  1  9x  1  42 ⇔
 ⇔ 32x 3  1  
1
3
  
1
9
  42 ⇔ 32x  33 ⇔ x  
3
2
S  x   | x  
3
2
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34
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
e) 3  22x  5
  9  22x  3  5  4x  1  7  22x  1  3  4x  60 ⇔
⇔ 22x(3  25  9  23  5  4  7  2  3)  60 ⇔
⇔ 22x 

 22 ⇔ x  1
S  {x   | x  1}
f) 3(x2)
  5  3(x2  1)
  2  3(x2  2)  4  3(x2  3)  3(x2  4)  63 ⇔
⇔ 3(x2)
  (1  5  3  2  32  4  33  34)  63 ⇔ 3(x2)  7  63 ⇔
⇔ 3(x2)  9 ⇔ x2  2  0 ⇔ ( 2  x  2)
S  {x   |  2  x  2 }
125. a) 4x  6  2x  8  0 ⇔ 22x  6  2x  8  0
Fazendo 2x  y, temos:
y2  6y  8  0 ⇔ 2  y  4 ⇔ 2  2x  4 ⇔ 1  x  2.
S  {x   | 1  x  2}
b) 9x  4  3x  1 
 27  0 ⇔ 32x  12  3x  27  0
Fazendo 3x  y, temos:
y2  12y  27  0 ⇒ (y  3 ou y  9) ⇔
⇔ (3x  3 ou 3x  9) ⇔ (x  1 ou x  2).
S  {x   | x  1 ou x  2}
c) 52x  1  26  5x  5  0 ⇔ 5  52x  26  5x  5  0
Fazendo 5x  y, temos:
5y2  26y  5  0 ⇔ 
1
5
  y  5 ⇒ 51  5x  5 ⇒ 1  x  1.
S  {x   | 1  x  1}
d) 22x  2x  1  8  0 ⇔ 22x 
 2  2x  8  0
Fazendo 2x  y, temos:
y2  2y  8  0 ⇔ 2  y  4 ⇒ 2  2x  22 ⇔ x  2, pois
2x  2, ∀x  .
S  {x   | x  2}
e) 32x  3x  1  3x  3 ⇔ 32x 
 3  3x  3x  3  0
Fazendo 3x  y, temos:
y2  3y  y  3  0 ⇔ (y  1 ou y  3) ⇒ (3x  1 ou 3x  3) ⇔
⇔ (x  0 ou x  1)
S  {x   | x  0 ou x  1}
f) 2x(2x  1)  2 ⇔ 22x 
 2x  2  0
Fazendo 2x  y, temos:
y2  y  2  0 ⇔ 2  y  1 ⇒ 2  2x  20 ⇔ x  0, pois
2x   2, ∀x  
S  {x   | x  0}
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35
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
g) 25x  6  5x
  5  0 ⇔ 52x  6  5x
  5  0
Fazendo 5x  y, temos:
y2  6y  5  0 ⇔ (y  5 ou y  1) ⇒ (5x
  5 ou 5x  1),
5x
   5 impossível e 5x
  1, ∀x  .
S  
h) 3x(3x  6)  3(2  3x  1  3) ⇔ 32x  4  3x  9  0
Fazendo 3x  y, temos:
y2  4y  9  0; ∀y   y2  4y  9  0.
S  ∅
i) 2x  3  2x 
 6 ⇔ 8  22x  6  2x  1  0
Fazendo 2x  y, temos:
8y2  6y  1  0 ⇒ 
1
4
  y  
1
2
 ⇒ 22
  2x
  21 ⇔ 2  x  1.
S  {x   | 2  x  1}
j) 3(3x  1)  1  3x ⇔ 3  32x  4  3x  1  0
Fazendo 3x  y, temos:
3y2  4y  1  0 ⇒ y  
1
3
 ou y  1 ⇒ 3x  
1
3
 ou 3x  1 ⇔
⇔ (x  1 ou x  0).
S  {x   | x  1 ou x  0}.
k) 4x  
3
2  2x  2  2x  1 
 1 ⇔ 8  22x 
 4  2x  2  2x  1  0
Fazendo 2x  y, temos:
8y2  6y  1  0 ⇒ y  
1
4
 ou y  
1
2
 ⇒ 2x  22 ou 2x  21 ⇔
⇔ (x  2 ou x  1).
S  {x   | x  2 ou x  1}
l) e2x  ex  1  ex  e  0 ⇔ e2x 
 (e  1)ex  e  0
Fazendo ex  y, temos:
y2  (e  1)y  e  0 ⇒ 1  y  e ⇒ e0  ex  e ⇔ 0  x  1.
S  {x   | 0  x  1}
126. 22x  2  0,75  2x  2  1 ⇔ 4  22x 
 3  2x  1  0
Fazendo 2x  y, temos:
4y2  3y  1  0 ⇒  
1
4
  y  1 ⇒  
1
4
  2x  1 ⇒ x  0, pois 
2x   
1
4
 ∀x  .
S  {x   | x  0}
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36
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
127. 2x  5  3x  3x  2  2x  2  2x ⇔ 2x (25  22  1)  3x (1  32)  0 ⇔
⇔ 
2
3
x
  
2
3
3
 ⇔ x  3
S  {x   | x  3}
128. 
ex  1
1  x2  0
Como ex  1  0 ∀x  , devemos ter: 1  x2  0 ⇒
 ⇒ (x  1 ou x  1)
S  {x   | x  1 ou x  1}
130. a) x5x  2  1
1º caso: 
x  0 ⇒ 02  1 (não se define)
x  1 ⇒ 13  1 (falso)
 ⇒ S1  ∅ 
2º caso: Se x  1 I , temos:
x5x  2  x0 ⇔ x  
2
5
 II
I  II ⇒ x  1
S2  {x   | x  1}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
 x5x  2  x0 ⇔ 5x  2 

 0 ⇒ x  
2
5
 IV
III  IV ⇒ 0  x  
2
5
S3  x   | 0  x  
2
5
S  S1  S2  S3  x   | 0  x  
2
5
 ou x  1
b) x4x  3  1
1º caso: 
x  0 ⇒ 03  1 (não se define)
x  1 ⇒ 11  1 (falso)
 ⇒ S1  ∅
2º caso: Se x  1 I , temos:
x4x  3  x0 ⇔ x  
3
4
 II
I  II ⇒ S2
 
 ∅
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x4x  3  x0 ⇔ x  
3
4
 IV
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
III  IV ⇒ 
3
4
  x  1
S3
 
 x   | 
3
4
  x  1
S  S1  S2  S3  x   | 
3
4
  x  1
c) x2x2  x  1  1
1º caso: 
x  0 ⇒ 01  1 (não se define)
x  1 ⇒ 12  1 (falso)
 ⇒ S1  ∅ 
2º caso: Se x  1 I , temos:
x2x2  x  1 
 x0 ⇔ 1  x  
1
2
 II
I  II ⇒ S2  ∅
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x2x2  x  1 
 x0 ⇔ x  
1 ou x  
1
2
 IV
II  IV ⇒ S3
 

 x   | 
1
2
  x  1
S  S1  S2  S3  x   | 
1
2
  x  1
d) x2x2  5x  3  1
1º caso: 
x  0 ⇒ 03  1 (não se define)
x  1 ⇒ 16  1 (falso)
 ⇒ S1  ∅
2º caso: Se x  1 I , temos:
x2x2  5x  3  x0 ⇔ x  
1
2
 ou x  3 II
I  II ⇒ S2
 
 {x   | x  3}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x2x2  5x  3  x0 ⇔
1
2
  x  3 IV
III  IV ⇒ S3
 
 {x   | 0  x  1}
S  S1  S2  S3  {x   | 0 x  1 ou x  3}
e) x3x2  7x  2  1
1º caso: 
x  0 ⇒ 02  1 (verdadeiro)
x  1 ⇒ 12  1 (verdadeiro)
 ⇒ S1  {0, 1}
2º caso: Se x  1 I , temos:
x3x2  7x  2  x0 ⇔ 
1
3
  x  2 II
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38
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
I  II ⇒ S2  {x   | 1  x  2}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x3x2  7x  2  x0 ⇔ x  
1
3
 ou x  2 IV
III  IV ⇒ S3
  x   | 0  x  
1
3
S  S1  S2  S3  x   |0  x  
1
3
 ou 1  x  2
f) x4x2  11x  6  1
1º caso: 
x  0 ⇒ 06  1 (falso)
x  1 ⇒ 11  1 (verdadeiro)
 ⇒ S1  {1}
2º caso: Se x  1 I , temos:
x4x2  11x  6  x0 ⇔ x  
3
4
 ou x  2 II
I  II ⇒ S2  {x    x  2}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x4x2  11x  6  x0 ⇔ 
3
4
  x  2 IV
III  IV ⇒ S3
  x   | 
3
4
  x  1
S  S1  S2  S3  x   | 
3
4
  x  1 ou x  2
131. x3x2  4x  4  1
1º caso: 
x  0 ⇒ 04  1 (F)
x  1 ⇒ 15  1 (F)
 ⇒ S1  ∅
2º caso: x  1, ou seja, x  1 ou x  1 I
Temos:
x3x2  4x  4  1 ⇔ 3x2 
 4x  4  0 ⇔ x   
2
3
 ou x  2 II
I  II ⇒ S2
  {x   | x  1 ou x  2}
3º caso: 0  x  1, ou seja, 1  x  1 e x  0 III
Temos:
x3x2  4x  4  1 ⇔ 3x2 
 4x  4  0 ⇔  
2
3
  x  2 IV
III  IV ⇒ S3
  x   |  
2
3
  x  1 e x  0
S  S1  S2  S3  x   | x  1 ou  
2
3
  x  1 e x  0 ou x  2
001-156-Manual-FME2.indd 38 23/07/13 16:16
39
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
132. a) x2x  4  x
1º caso: 
x  0 ⇒ 04  0 (F)
x  1 ⇒ 16  1 (F)
 ⇒ S1  ∅ 
2º caso: Se x  1 I , temos:
x2x  4 
 x1 ⇔ x   
3
2
 II
I  II ⇒ S2  ∅
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x2x  4  x1 ⇔ x   
3
2
 IV
III  IV ⇒ S3
 

 {x  

 | 0  x  1}
S  S1  S2  S3  {x  

 | 0  x  1}
b) x4x  1  x
1º caso: 
x  0 ⇒ 01  0 (F)
x  1 ⇒ 13  1 (V)
 ⇒ S1  {1}
2º caso: Se x  1 I , temos:
x4x  1  x1 ⇔ x  
1
2
 II
I  II ⇒ S2
 
 {x  

 | x  1}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x4x  1  x1 ⇔ x  
1
2
 IV
III  IV ⇒ S3
 
 x  

 | 0  x  
1
2
S  S1  S2  S3  x  

 | 0  x  
1
2
 ou x  1
c) x4x2  17x  5  x
1º caso: 
x  0 ⇒ 05  0 (F)
x  1 ⇒ 18  1 (F)
 ⇒ S1  ∅
2º caso: Se x  1 I , temos:
x4x2  17x  5  x1 ⇔ 
1
4
  x  4 II
I  II ⇒ S2
 
 {x  

 | 1  x  4}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
4x2  17x  4  0 ⇔ x  
1
4
 ou x  4 IV
001-156-Manual-FME2.indd 39 23/07/13 16:16
40
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
III  IV ⇒ S3
 

 x  

 | 0  x  
1
4
S  S1  S2  S3  x  

 | 0  x  
1
4
 ou 1  x  4
d) x5x2  11x  3 
 x
1º caso: 
x  0 ⇒ 03  0 (F)
x  1 ⇒ 13  1 (F)
 ⇒ S1  ∅ 
2º caso: Se x  1 I , temos:
x5x2  11x  3  x1 ⇔ x  
1
5
 ou x  2 II
I  II ⇒ S2  {x  

 | x  2}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
5x2 
 11x  2  0 ⇔ 
1
5
  x  2 IV
III  IV ⇒ S3
 

 x  

 | 
1
5
  x  1
S  S1  S2  S3  x  

 | 
1
5
  x  1 ou x  2
e) xx2  5x  7  x
1º caso: 
x  0 ⇒ 07  0 (V)
x  1 ⇒ 13  1 (V)
 ⇒ S1  {0,1}
2º caso: Se x  1 I , temos:
xx2  5x 7  x1 ⇔ 2  x  3 II
I  II ⇒ S2
 
 {x  

 | 2  x  3}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x2 
 5x  6  0 ⇔ (x  2 ou x  3) IV
III  IV ⇒ S3
 
 {x  

 | 0  x  1}
S  S1  S2  S3  {x  

 | 0  x  1 ou 2  x  3}
133. a) x(x2) 
 x2x
1º caso: 
x  0 ⇒ 00  00 (F)
x  1 ⇒ 11  11 (F)
 ⇒ S1  ∅
2º caso: Se x  1 I , temos:
xx2  x2x ⇔ x2  2x  0 ⇔ (x  0 ou x  2) II
001-156-Manual-FME2.indd 40 23/07/13 16:16
41
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
I  II ⇒ S2  {x  

 | x  2}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
xx2  x2x ⇔ 0  x  2 IV
III  IV ⇒ S3
 

 {x  

 | 0  x  1}
S  S1  S2  S3  {x  

 | 0  x  1 ou x  2}
b) x2  xx2  7x  8 
1º caso: x  0 ⇒ 02  08 (F)
x  1 ⇒ 12  12 (F)
 ⇒ S1  ∅
2º caso: Se x  1 I , temos:
x2  xx2  7x  8 ⇔ x2  7x  6  0 ⇔ (x  1 ou x  6) II
I  II ⇒ S2
 
 {x  

 | x  6}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x2  xx2  7x  8 ⇔ 1  x  6 IV
III  IV ⇒ S3
 
 ∅
S  S1  S2  S3  {x  

 | x  6}
c) xx2  x  2  x4
1º caso: x  0 ⇒ 02  04 (F)
x  1 ⇒ 1  1 (V)
 ⇒ S1  {1}
2º caso: Se x  1 I , temos:
xx2  x  2  x4 ⇔ (x  2 ou x  3) II
I  II ⇒ S2
 
 {x  

 | x  3}
3º caso: Se 0  x  1 III , temos:
x2  x  6  0 ⇔ (2  x  3) IV
III  IV ⇒ S3
 

 {x  

 | 0  x  1}
S  S1  S2  S3  {x  

 | 0  x  1 ou x  3}
CAPÍTULO III — Logaritmos
135. a) log4 16  x ⇔ 4x  16 ⇔ 4x  42 ⇔ x  2
001-156-Manual-FME2.indd 41 23/07/13 16:16
42
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
b) log
3
 
1
9
  x ⇔ 3x  
1
9
 ⇔ 3x  32
 ⇔ x  2
c) log
81
 3  x ⇔ 81x  3 ⇔ 34x  3 ⇔ x  
1
4
 
d) log
1
2
 8  x ⇔ 
1
2
x
  8 ⇔ 2x  23 ⇔ x   3
e) log
7
 
1
7
  x ⇔ 7x  
1
7
 ⇔ 7x
 
  71 ⇔ x   1
f) log
27
 81  x ⇔ 27x  81 ⇔ 33x  34 ⇔ x  
4
3
g) log
125
 25  x ⇔ 125x  25 ⇔ 53x  52 ⇔ x  
2
3
h) log
1
4
 32  x ⇔ 
1
4
x
  32 ⇔ 22x  25 ⇔  x   
5
2
i) log
9
 
1
27
  x ⇔ 9x  
1
27
 ⇔ 32x  33 ⇔ x   
3
2
j) log
0,25
 8  x ⇔ (0,25)x  8 ⇔ 
1
4
x
  8 ⇔ x   
3
2
k) log
25
 0,008  x ⇔ 25x  0,008 ⇔ 52x  53 ⇔ x   
3
2
l) log
0,01
 0,001  x ⇔ (0,01)x  0,001 ⇔ 102x  103 ⇔ x  
3
2
136. log
10
 
M
1
M
2
  R
1
  R
2
  8  6  2 ⇒ 
M
1
M
2
  102  100
137. a) log
2
 
2  x ⇔ 2x  2
1
2 ⇔ x  
1
2
b) log
7
3 49  x ⇔ ( 7
3 )x  72 ⇔ x  6
c) log
100
 10
3
  x ⇔ 100x  10
3
 ⇔ 102x  10
1
3 ⇔ x  
1
6
d) log
8
 32  x ⇔ ( 8)x  32 ⇔ 2
3x
2 

 2
5
2 ⇔ x  
5
3
e) log
5
3 5
4
  x ⇔ ( 5
3 )x  5
4
 ⇔ 5
x
3
  5
1
4
 ⇔ x  
3
4
 
f) log
27
 9
3
  x ⇔ ( 27)x  9
3
 ⇔ 3
3x
2  3
2
3 ⇔ x  
4
9
g) log
1
3
 27  x ⇔ 
1
3
x
  27  ⇔ 3

x
2  3
3
2 ⇔ x  3
001-156-Manual-FME2.indd 42 23/07/13 16:16
43
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
h) log
4
3 
 
1
8
  x ⇔ ( 4
3 )x  
1
8
 ⇔ 2
2x
3  2

3
2
 
⇔ x   
9
4
i) log
3
4 
 
3
3
3  x ⇔ ( 3
4 )x 
 
3
3
3 ⇔ 3
x
4  3
2
3 ⇔ x  
8
3
138. log
3
5
 3
25
9
  x ⇔ 
3
5
x
  3
25
9
  
3
5

2
3
 
⇔ x  
 
2
3
V  
 
2
3
139. a) log
100 0,001  x ⇔ 100x  0,001 ⇔ 102x
 
  103 ⇔ x  
3
2
log
1,5
 
4
9
  y ⇔ (1,5)y  
4
9
 ⇔ 
3
2
y
  
3
2
2
 ⇔ y  2
log
1,25
 0,64  z ⇔ (1,25)z  0,64 ⇔ 
5
4
z
  
16
25
  
5
4
2
 ⇔ z  2
S  x  y  z  
 
3
2
  2  2  
3
2
b) log8
 
2  x ⇔ 8x  2 ⇔ 23x  2
1
2 ⇔ x  
1
6
log
2
 8  y ⇔ ( 2)y  8 ⇔ 2
y
2 

 23 
⇔
 y  6
log
2
 8
 
 z ⇔ ( 2)z  8 ⇔ 2
z
2 

 2
3
2 ⇔ z  3
S  x  y  z  
1
6
  6  3  
19
6
c) log
9
3 
1
27
  x ⇔ ( 9
3
)x  
1
27
 ⇔ 3
2x
3  2
3
2 ⇔ x 
 
9
4
log 0,5
3 8
 
 y ⇔ ( 0,5
3
)y  8 ⇔ 2
y
3  2
3
2 ⇔ y  
 
9
2
 
log
100
3 0,1
6 
 z ⇔ ( 100
3
)z  0,1
6
 ⇔ 10
2z
3 

 10
1
6 ⇔ z 
 
1
4
 
S  x  y  z   
9
4
  
9
2
  
1
4
  2
140. log4
 (log3 9)  log4
 2  
1
2
log2
 (log81 3)  log2
  
1
4
  2
001-156-Manual-FME2.indd 43 23/07/13 16:16
44
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
log
0,8
 (log
16
32)  log
0,8 
5
4
  x ⇔ 
4
5
x
  
5
4
 ⇔ x   1
S  
1
2
 2  1   
5
2
 
141. a) antilog
3
 4
 
 x ⇔ log
3
 x  4 ⇔ x  34
 81
b) antilog
16
 
1
2
  x ⇔ log
16
x  
1
2
 ⇔ x 16
1
2  4
c) antilog
3
 (2)  x ⇔ log
3
x  2 ⇔ x  32 

 
1
9
 
d) antilog
1
2
 (4)  x ⇔ log
1
2
x  4 ⇔ x  
1
2
4
  16 
142. 2log
3
(x  4)  8  23 ⇔ log
3
 (x  4)
 
  3 ⇔ x  4  33⇔ x  23
144. a) 3log
3
2  2
b) 5log
2
 3  (22)log
2
 3  (2log
2
 3)2 

 32 

 9
c) 5log
25
 2  25
1
2
 log25 2
 
 (25log
25
2)
1
2 

 2
1
2 

 
2
d) 8log
4
 5  4
3
2
 log
4 
5
 
 (4log
4
 5)
3
2 

 5
3
2 
5 5
e) 21  log
2
 5 
 21  2log
2
 5 
 2  5  10
f) 32  log
3
 6  32  3log
3
 6  32  (3log
3
 6)1  32  61 
 
3
2
g) 81  log
2
 3  81  8log
2
 3  81  (2log
2
 3)3  8  33 
 216
h) 92  log
3
 2  92  9 log
3
 2 
 92  (3log
3
 2)2
  92  ( 2)2
  
81
2
145. a) antilog
2
 (log
2
 3)  x ⇔ log
2
 x  log
2
 3 ⇔ x  3
b) antilog
3
 (log
3
 5)  x ⇔ log
3
 x  log
3
 5 ⇔ x  5
146. A  5log
25
 2
  ( 25)log
25 2
  (25log
25
 2)
1
2 
 2
1
2
A3  2
1
2
3
  2
3
2  2 2
147. 4log
2
 A
  (22)log
2
 A 

 (2log
2
 A)2  A2
então
A2  2A  2  0 ⇒ A   1  3
mas A  0, então A   1  3.
001-156-Manual-FME2.indd 44 23/07/13 16:16
45
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
148. log
9
3 x  0,75 ⇔ x  ( 9
3
)0,75  3
2
3
3
4
 
 3
1
2
x2  1  3  1  2
149. log
16
 x  
2
3
 ⇔ x  (16)
2
3
 
 (24)
2
3
 
 2
8
3
 
log
1
4
 x  log
1
4
 2
8
3
 
 y ⇔ 
1
4
y 
 2
8
3 ⇔ 22y 
 2
8
3 ⇔ y   
4
3
150. log
a
 x  4 ⇔ a4  x (1)
log
a
3
 x  8 ⇔ 
a
3
8 

 
x ⇔ a8 
 38x (2)
Substituindo (1) em (2), vem:
x2 
 38x ⇒ (x  0 ou x  38)
Como x  0 não convém, x  38 
 6 561.
151. log
2 3
 144  x ⇔ (2 3)x  144 ⇔ 2x  3
x
2
 
 24  32 
⇔ x  4 
152. log
x 2  1 ⇔ x1  2 
 2
1
2 ⇔ x  2
1
2  
2
2 
154. a) log
5
 
5a
bc
  log
5
 (5a)  log
5
 (bc)  1  log
5
 a  log
5
 b
 
log
5
 c
b) log
3
 
ab2
c
  log
3
 (ab2)  log
3
 c  log
3
 a  2  log
3
 b 
 
log
3
 c
c) log
2
 
a2 b
c
3  log
2
 (a2 b )  log
2
 c 
3
 
 2  log
2 
a  
1
2
  log
2 
b  
1
3
  log
2
 c
d) log
3
 
ab3 
c  a23  log
3 
(ab3)  log
3
 (c a23
) 
 log
3 
a  3  log
3 
b  log
3 
c  
2
3
  log
3 
a 
 
1
3
  log
3 
a  3  log
3 
b  log
3 
c
e) log ab3 
c2  
1
2
  log 
ab3
c2  
1
2
  log (ab3)  
1
2
  log c2 
 
1
2
  log a  
3
2
  log b  log c
001-156-Manual-FME2.indd 45 23/07/13 16:16
46
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
f) log 3
a
b2 c
  
1
3
  log 
a
 
b2 c
  
1
3
  log a  
1
3
  log (b2 c )
 
1
3
  log a  
2
3
  log b  
1
6
  log c
g) log
2
 4a ab
b a2b
3
  
1
2
  log
2
 
4a ab
b a2b
3 
  
1
2
  log
2
 (4a ab)
1
2
  log
2
(b a2b
3
) 
 
1
2
  log
2
 4  
1
2
  log
2
 a  
1
2
  log
2
ab  
1
2
  log
2 
b  
1
2
  log
2 
 a2b
3

 1  
1
2
  log
2
 a  
1
4
  log
2
 a  
1
4
 
 log
2
 b  
1
2
  log
2
 b  
2
6
 
 log
2
 a 
 
1
6
  log
2
 b  1  
5
12
  log
2
 a  
5
12
 
 log
2
 b 
h) log 3 a4 ab
b2 bc
3
2
  
2
3
  log 
a4 ab
b2 bc
3  
2
3
  log (a4 ab)  
2
3
  log (b2 bc
3 ) 
 
2
3
  log a4  
2
3
  log ab  
2
3
  log
 
b2  
2
3
  log bc
3
 
 
8
3
  log a  
2
6
  log a  
2
6
  log
 
b  
4
3
  log b 
2
9
  log b  
2
9
  log c 
 3  log a  
11
9
  log
 
b  
2
9
  log c
155. log m
 
 log 
bc
d2 
 log (bc)  log d2 
 log b  log c  2  log d
156. log x  log 
a
bc
  log a
 
  log (bc)  
1
2
  log a  log b  log c
157. a) log
2
 
 2a
(a  b)(a  b)
  log
2 
(2a)  log
2
 [(a  b)(a  b)] 
 1  log
2
 a  log
2
 (a  b)  log
2
 (a  b)
b) log
3
 
a2 ab
(a  b)3
5  log
3
 (a2 bc )
 
 log
3
 (a  b)3
5
 
 log
3
 a2  log
3 bc  
3
5
  log
3
 (a  b) 
 2  log
3
 a  
1
2
  log
3
 b  
1
2
  log
3
 c  
3
5
  log
3
 (a  b)
001-156-Manual-FME2.indd 46 23/07/13 16:16
47
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
c) log c  3
a(a  b)2
b
  log c  log 3
a(a  b)2
b
 
 log c  
1
3
  log 
a(a  b)2
b
 
 log c  
1
3
  log [a(a  b)2]  
1
3
  log b
 

 log c  
1
3
  log a  
2
3
 
 log (a  b)  
1
6
  log b
d) log 
a(a  b)2
5
 a2  b2  log a(a  b)2
5
  log a2  b2 
 
1
5
  log (a(a  b)2)  
1
2
  log (a2  b2) 
 
1
5
  log a  
2
5
  log (a  b)  
1
2
  log (a2  b2)
159. a) log
2
 a
 
 log
2
 b  log
2
 c  log
2
 (ab)
 
 log
2
 c 
 log
2
 
ab
c
, então E  
ab
c
.
b) 2  log a
 
 log b  3  log c  log
 
a2
 
 log b  log c3 
 log
 
a2
 
 log
 
(bc3)  log 
a2
bc3 , então E  
a2
bc3 .
c) 2  log
3
 a  3  log
 3
 b  2  log
 3
 c 
 log
3 
32
 
 log
3 
a
 
 log
3 
b3
 
 log
3
 c2
 

 log
3 
(32
 
 b3)  log
3
 (ac2)  log
3 
 
9b3
ac2 , então E  
9b3
ac2 . 
d) 
1
2
  log a  2  log b  
1
3
  log c 
 log a
 
 log b2 log c
3
 
 log a
 
 log (b2 c
3
)  log 
a
b2 c
3 ,
então E  
a
b2 c
3 .
e) 
1
3
  log a  
1
2
  log c  
3
2
  log b 
 log a 
3
 log c
 
 log b3 
 log a 
3
 log cb3
 log 
3
a
b3c
,
001-156-Manual-FME2.indd 47 23/07/13 16:16
48
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
então E  a
3
b3c
.
f) 2  
1
3
  log
2
 a  
1
6
  log
2
 b  log
2
 c 
 log
2
 4  log
2
 a
3
 log
2
 b
6
  log
2 
c 
 
 log
2
 (4 a
3
b
6
)  log
2 
c  log
2
 
4 a
3
b 
c
, então E  
4 a
3
b 
c
.
g) 
1
4
 (log a
 
 3  log b
 
 2  log c)
 
 
1
4
 (log a
 
 log b3
 
 log c2)
 

 
1
4
 [log a
 
 log (b3
 
c2)]
 
 
1
4
  log 
a
b3
 
c2  log 4
a
b3
 
c2
,
então E  4
a
b3
 
c2
.
160. a) 1  log
2
 (a
 
 b)  log
2
 (a
 
 b) 
 log
2
 2  log
2
 (a
 
 b)  log
2
 (a
 
 b)  log
2
 
2(a  b)
a  b
,
então E  
2(a  b)
a  b
. 
b) 2  log (a
 
 b)  3  log a  log (a
 
 b) 
 log (a
 
 b)2  log a3  log (a
 
 b) 
 log 
(a  b)2 
a3(a  b)
, então E  
(a  b)2
a3(a  b)
. 
c) 
1
2
  log (a
 
 b)  log
 
a  log (a
 
 b) 
 log a  b  log a  log (a
 
 b)  log a a  b 
a  b
,
então E  
a a  b 
a  b
.
d) 
1
2
  log (a2
 
 b2)  
1
3
  log
 
(a
 
 b)  log
 
(a
 
 b) 
 log a2  b2  log a  b
3
  log (a
 
 b) 
 log (a 
 b) a2  b2 
a  b
3
, então E  (a 
 b) a2  b2 
a  b
3
.
e) 
3 log (a  b)  2 log (a  b)  4 log b
5
 
 log (a  b)
3
5  log (a  b)
2
5  log b
4
5
 

 log 
(a  b)
3
5  b
4
5
(a  b)
2
5
  log 
(a  b)3
5
  b4
5
(a  b)2
5  log 5
(a  b)3 
 b4
(a 

 
b)2
001-156-Manual-FME2.indd 48 23/07/13 16:16
49
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
161. log x  log b  log c2  log a
3
  log 
bc2
a
3 ,
então, x  
bc2
a
3 .
162. a) log 6
 
 log (2  3)  log 2
 
 log 3  a  b
b) log 4
 
 log 22  2  log 2
 
 2a
c) log 12
 
 log (4  3)  log 4
 
 log 3  2a  b
d) log 2
 
 
1
2
  log 2  
a
2
.
e) log 0,5  log 
1
2
  log 21  log 2  a
f) log 20  log (2  10)  log 2
 
  log 10  a  1
g) log 5  log 
10
2
  log
 
10  log 2  1  a
h) log 15  log 
 3  10 
2
  log 3  log 10  log 2  b  1  a
163. pH  log 
1
H
  log
 
 
1
10 8  log 108 

 8
164. log 
125
2
5  log
 
53
2
5  3  log 5  
1
5
  log 2  
 3  log 
10
2
  
1
5
  log 2  3 
 3 
 log 2  
1
5
  log 2 
 3  
16
5
  log 2  3 
 
16
5
 
 (0,3010)  3  0,9632  2,0368
165. log 20  log 40  log 800  log (2  10)  log (4  10)  log (8  100) 
 log (2  22  23  10  10  100)  log (26  104)  6  log 2  4  
 5,806
166. Fazendo log
a
 16  x, vem:
ax  16 ⇒ log
2
 ax  log
2
 16 ⇒ x  log
2
 a  4 (1)
Fazendo log
a
 4  y, vem:
ay  4 ⇒ log
2
 ay  log
2
 4 ⇒ y  log
2
 a  2 (2)
Dividindo (1) por (2), vem:
x 
y
  
4 
2
  2.
167. log 
1
a
  log 
1
b
  log a  logb  p
168. log
2 
(a2  b2)  log
2
 [(a  b)(a  b)]  log
2
 (a  b)  log
2
 (a  b) 
 log
2
 8  log
2 
(a  b)  3  m
001-156-Manual-FME2.indd 49 23/07/13 16:16
50
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
169. log
9
 x  log
9
 y  
1
2
 ⇒ log
9
 (xy)  
1
2
 ⇒ xy
 
  9
1
2
 
 3
170. log
a
 x2 y
3
  
1
3
  log
a
 (x2y)  
1
3
  log
a
 x2
  
1
3
  log
a
 y  
 
2
3
  log
a
 x  
1
3
  log
a
 y  
2n
3
  
6n
3
  
8n
3
171. log
m
 
64
2,7
  log
m
 60  log
m 
64  log
m 
2,7  log
m 
60 
 log
m
 26  log
m 
 
33
10  log
m 
(2  3  
 
10) 
 6  log
m
 2  3 log
m
 3  log
m 
10  log
m 
2  log
m 
3  log
m 
10 
 6a  3b  a  b  5a  4b
172. colog
2
 
1
32
  x ⇒ log
2
 
1
32
   x
 
⇒ 2x  
1
32
 ⇒ x  5
log
y 
256  4 ⇒ y4 
 256  28 
⇒
 y 
 22 

 4, então x  y  9.
173. log 220  20  log 2  20  0,3010300  6,0206
174. 2n 

 104 ⇒ log 2n 

 log 104 
⇒
 n  log 2 

 4 ⇒
⇒ n 
 
4 
log 2
  
40 
3
 ⇒ n  14
176. log
6 
5  
log20 5
log
20 
6
  
log
20
 
20
4 
log
20
 (2  3) 
  
log20 20  log20 4
log
20
 2  log
20
 3
  
1  2a
a  b
177. log
ab 
a  4 ⇒ log
a
 (ab)  
1
4
 ⇒ 1  log
a
 b  
1
4
 ⇒ log
a
b   
3
4
log
ab
 
a
3
b
  
loga 
a
3
b 
loga (ab)
  
1
3
  log
a
 a  
1
2
  log
a
 b  4 
 
1
3
  
1
2
  
3
4
  4  
17
6
 
178. log
12
 27  a ⇒ 3  log
12
 3  a ⇒ log
12
 3  
a
3
 ⇒ log
3
 12  
3
a
⇒ 2  log
3
 2  log
3
 3  
3
a
 ⇒ log
3
 2  
3  a 
2a
 
log
6
 16  4  log
6
 2  
4  log3 2
log
3
 6
  
4  log 3 2 
log
3
 2  1
  
4 (3  a)
a  3
179. log
0,04
 125  log
52 53  x ⇔ 52x 
 53 
⇔
 x   
3
2
001-156-Manual-FME2.indd 50 23/07/13 16:16
51
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
180. log
8
 m  
log2 
m
log
2 
8
  
k
3
181. log
9
 20  
log
 
20
log
 
9
  
log
 
2  log
 
10
2  log
 
3
  
a  1
2b
182. log
3
 5  log
25
 27  log
3
 5  
log
 3 
27
log
 3
25
 log
3
 5  
 3
2  log
3
 5
  
3
2
183. log
1
2
 b2  
log 
b 
b2
log
b 
1
a
  
2
 log
 b 
a
   
2
m
184. log
3
 2  log
4
 3  log
5
 4  log
6
 5  log
7
 6  log
8
 7  log
9
 8  log
10
 9 
 
log 2 
log 3
  
log 3 
log 4
  
log 4 
log 5
  
log 5 
log 6
  
log 6 
log 7
  
log 7 
log 8
  
log 8 
log 9
  log 9 
 log 2
185. logb a  
1
2
  log
b
 a  
1
2
  log
b
 
1
b
   
1
2
186. log
35 
28  
log14 28
log14 35 
 
log
14
 
142
7 
log14 (7  5)
  
2  log14 7
log14 7  log14 
5 

 
2  a
a  b 
187. A  
log 5 
log 3
  
log 27 
log 4
  
log
 2
log 25
  
(log 5)  (3  log 3)  
1
2
  log 2
 
(log 3)  (2  log 2)  (2  log 5)
  
3
8
188. A  (aloga b) logb c  logc d  (blogb c) logc d  clogc d  d
189. Fazendo x  a
log (log a)
log a , vem: 
 log x  log a
log (log a)
log a  
log
 
(log a)
log
 
a
  log a  log (log a),
então x  log a.
190. Sejam x e y dois números positivos e diferentes de 1 e seja a a base 
do sistema de logaritmos. Temos: 
 
loga x
loga y
 
 logy 
x para todo a com 0  a e  1.
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52
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
191. (log
ac
 b)(1 
 log
a
 c)  (log
ac
 b)(log
a
 ac) 
logac 
b
log
ac 
a
  log
a 
b
192. a  b  c ⇒ log
c
 a  log
c
 (b  c) ⇒ log
c
 a  log
c
 b  log
c
 c ⇒
⇒ 
1
log
a 
c
  
1
log
b 
c
  1
193. Escrevendo os logaritmos em base a temos: 
loga c  logb c 
(log
ab
 c)2
  
loga c  logb c 
log
ab
 c  log
ab
 c
  
log
a
 c  
loga c
log
a
 b 
loga 
c
log
a 
(ab)
  
loga 
c
log
a 
(ab)
 

 
(loga 
(ab))2
log
a
 b
 
 
(1  loga 
b)2
log
a
 b
, que é o que queríamos demonstrar. 
194. loga d  logb d  logb d  logc d  logc d  loga d 
 
1
log
d 
a
  
1
log
d 
b
  
1
log
d 
b
  
1
log
d 
c
  
1
log
d 
c
  
1
log
d 
a

 
logd 
c  logd 
a  logd 
b
log
d 
a  log
d 
b  log
d 
c
  
log 
d 
 (abc)
log
d 
a  log
d 
b  log
d 
c
 
 
loga 
d  logb 
d  logc 
d
log
abc 
d
195. alog b 

 a
log b
log a 

 log a 

 alog
a
 b  log a 

 (alog
a
 b)log a 

 blog a
196. loga 
b(log
c
 d)  (log
c
 d)(log
a
 b)  (log
a
 b)(log
c
 d)  logc 
d(log
a
 b)
197. 
1
1 
 
x
  
1
1 
 
y
  
1
1 
 
z
  
1
1  log
c
 (ab)
  
1
1  log
b
 (ac)
  
1
1  log
a
 (bc)
 
 
1
log
c 
c  log
c
 (ab)
  
1
log
b 
b  log
b
 (ac)
  
1
log
a 
a  log
a
 (bc)
 
 
1
log
c 
(abc)
  
1
log
b 
(abc)
  
1
log
a 
(abc)
  log
abc 
a  log
abc 
b
 
 log
abc 
c
 

 log
abc 
(abc)
 
 1
198. 
loga d 
logc d
  
loga d  logb d
logb d  logc d
 ⇔ log
a
 c  
loga d  logb d
logb d  logc d
 ⇔
 ⇔ log
a
 c  log
b
 d  log
a
 c  log
c
 d  log
a
 d  log
b
 d ⇔
⇔ log
a
 c  log
b
 d  log
b
 d  log
a
 c  log
c
 d  log
a
 d ⇔
⇔ (log
b
 d)(1  log
a
 c)  2  log
a
 d ⇔ 
logb d 
loga d
  (1  log
a
 c) 2 ⇔
⇔ (log
b
 a)(log
a
 ac)  2 ⇔ log
a
 ac  2  log
a
 b ⇔ ac  b2 
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53
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
199. log
q
 aa 
 log
q
 bb 
 log
q
 ab 
 log
q
 ba 

 a  log
q
 a  b  log
q
 b  b  log
q
 a  a  log
q
 b 
 (a  b)(log
q
 a  log
q
 b)  (a  b)  log
q
 (ab)  p  log
q
 q  p
200. De fato,
log
a  b 
c  log
a  b 
c  
1
log
c
 (a  b)
  
1
log
c
 (a  b)
 
 
log
c
 (a  b)  log
c
 (a  b)
log
c
 (a  b)  log
c
 (a  b)
  
log
c
 [(a  b) (a  b)] 
log
c
 (a  b)  log
c
 (a  b)
 
 
log
c
 (a2  b2) 
log
c
 (a  b)  log
c
 (a  b)
 
Pitágoras
 
log
c
 c2 
log
c
 (a  b)  log
c
 (a  b)
 

 
2
log
c
 (a  b)  log
c
 (a  b)
 
 2 log
a  b 
c  log
a  b 
c, que é o que 
queríamos demonstrar. 
201. De acordo com o exercício 195, sabemos que xlog y 

 ylog x, para 
quaisquer x  0, e y  0. Temos, então:
a
b
log c
  
b
c
log a
 
 
c
a
log b 
 
alog c
blog c  
blog a
clog a  
clog b
alog b  1,
pois alog c 

 clog a, blog a 

 alog b e clog b 

 blog c.
202. x  10
1
1  log z ⇔ log x  
1
1 
 log z
 (1)
y  10
1
1  log x ⇔ log y  
1
1 
 log x
 (2) 
Substituindo (1) em (2), vem:
log y  
1 
 log z
log z
 ⇔ log z  
1
1 
 log y
 ⇔ z  10
1
1  log y .
203. De ab  ba 

 bc 
 cb resulta: 
ab
cb
  
bc
ba
 ⇒ 
a
c
b
  bc  a ⇒ 
ab
c
b
 

 bb  c  a ⇒
⇒ b  log 
ab
c
  (b  c  a)  log b ⇒ log 
ab
c
  
(b  c  a)  log b
b
 (I).
Analogamente, de ab  ba
  ac  ca resulta:
log 
ab
c
  
(a  c  b)  log a
b
 (II).
Comparando (I) e (II), resulta:
(b  c  a)  log b
b
  
(a  c  b)  log a
a
001-156-Manual-FME2.indd 53 23/07/13 16:16
54
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
e daí vem a tese:
a(b  c a)
log a
  
b(a  c b)
log b
.
204. Notemos que cada parcela do 1º membro é da forma
1
logx 2
p  1  logx 2
p 
  
1
p(p  1)
  
1
(logx 2)2
, em que p varia de 2 até n. 
Temos, usando a sugestão dada:
1
logx 2  logx 4 
  
1
2  1
  
1
(logx 2)2
  1  
1
2
  
1
(logx 2)2
1
logx 4  logx 8 
  
1
3  2
  
1
(logx 2)2
  
1
2
  
1
3
  
1
(logx 2)2
1
logx 8  logx 16 
  
1
4  3
  
1
(logx 2)2
  
1
3
  
1
4
  
1
(logx 2)2
 
etc. 
1
logx 2
n  1  logx 2
n 
  
1
n  (n  1)
  
1
(logx 2)2
  
1
n  1
  
1
n
  
1
(logx 2)2
Somando essas igualdades membro a membro, temos:
1
logx 2
 
 logx 4 
  
1
logx 4
 
 logx 8 
  
1
logx 8
 
 logx 16 
  …  
1
logx 2
n  1  logx 2
n 
 
 1  
1
2
  
1
2
  
1
3
  
1
3
  
1
4
  …  
1
n  1
  
1
n
 1
(logx 2)2
 
 1  
1
n
  
1
(logx 2)2
CAPÍTULO IV — Função logarítmica
206. Permutando as variáveis x  ey , então y  loge
 x, em que x  +
*.
207. f(e3)  loge
 
1
e3
  loge e
3  3. 
208. A função f é definida pela lei f(x2)  log2 x
2.
Se f(x2)  2, então log2 x
2 

 2 ⇒ x2 

 4 ⇒ x 

 

 2. 
209. O domínio de cada uma das funções dadas é x  0 (pois para que 
o logaritmo seja real devemos ter logaritmando positivo). Assim, em 
cada uma das funções propostas, basta construir uma tabela de 
valores de x e y  f(x), atribuindo valores convenientes de x e tais 
que x  0. 
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55
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
210. a) Basta construir a tabela de valores de x e y, lembrando que o 
domínio de y  log
2
 x é: x  0 ⇔ x  0.
b) Construímos inicialmente o gráfico de y  log
2
 x; x  0.
Como queremos o gráfico de y  log
2 
x , basta “rebater” a parte 
do gráfico y  log
2 
x em que y  0. Vejamos: 
y = |log
2
 x|
x
y
y = log
2
 x
y
1
– 1
1 2 x
“rebatendo”
Notemos que “rebater a parte do gráfico em que y  0” equivale 
a fazer uma nova construção simétrica à anterior em relação ao 
eixo das abscissas. 
c) Construímos inicialmente o gráfico da função g(x)  log
2
 x (item 
a) e a partir dele “rebatemos” a parte do gráfico em que y  0, 
obtendo o gráfico de y  log
2
 x .
211. Análogo ao item a do exercício anterior. 
212. a) Como o domínio dessa função é: x  1  0 ⇔ x  1, devemos 
construir a tabela atribuindo valores convenientes para x e tais que 
x  1. 
b) O domínio da função é: 2x  1  0 ⇔ x  
1
2
. A partir dessa 
condição, construímos a tabela. 
c) Notemos que f(x)  log
2
 x2  2 log
2
 x2. O gráfico de f é obtido 
diretamente do gráfico g(x)  log
2 
x, notando que, se, por 
exemplo, o ponto (4, 2) pertence ao gráfico de g, então o ponto 
(4, 4) pertence ao gráfico de f (isto é, a ordenada de cada ponto 
do gráfico de g fica multiplicada por 2). 
d) Notemos que f(x)  log
2 x  log
2
x
1
2  
1
2
  log
2 
x. Procede-se de 
forma análoga ao anterior. 
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56
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
213. a) Construímos inicialmente o gráfico de g(x)  log
2
 x. 
Para obtermos o gráfico de f(x)  2  g(x), deslocamos cada 
ponto do gráfico da função g duas unidades “para cima”. 
Por exemplo, se (2, 1) pertence ao gráfico de g, então (2, 3) 
pertence ao gráfico de f. 
b) Análogo ao anterior. 
214. A função f está definida por
f(x)  
0 se  1  x  1
log
a
 x se x  1 ou x  1 (com a  1) 
O gráfico de log
a
 x, com a  1, é semelhante ao exercício 210. 
O gráfico de log
a
 x é tal que as ordenadas de seus pontos são as 
raízes quadradas das ordenadas dos pontos do anterior. 
215. Construímos inicialmente o gráfico de g(x)  log
2
 x  2, notando 
que o domínio dessa função é: x  2  0 ⇔ x  2.
Para obtermos o gráfico de f(x) g(x), basta “rebater” a parte em 
que y  0 do gráfico de g(x). 
216. Vamos construir o gráfico das duas funções num mesmo plano 
cartesiano.
P Q
y
x
f(x) = ex
Assim, há 2 pontos comuns (P e Q) aos gráficos das funções dadas. 
001-156-Manual-FME2.indd 56 23/07/13 16:16
57
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
218. a) Devemos ter: 1  2x  0 ⇒ x  
1
2
, D  x   | x  
1
2
. 
b) Devemos ter: (4x  3)2  0 ⇒ x  
3
4
, D    
3
4
. 
c) Devemos ter: 
x  1
1  x
  0. Fazendo o quadro-quociente, temos: 
f(x) = x + 1
g(x) = 1 – x
g(x)
f(x)
–
–
– –
+ +
+ +
+
– 1 1
x
d) Devemos ter: x2  x  12  0 ⇒ x   4 ou x  3, 
 D  {x   | x   4 ou x  3}. 
219. Devemos ter: x2  6x  9  0 ⇒ (x  3)2  0 ⇒ x  3,
 D  {x   | x  3}. 
220. Como queremos que o domínio da função f seja , devemos ter:
 x2  Kx  K  0, ∀x   ⇔ a  1  0 e D  0, isto é: 
 K2  4  1  K  0 ⇒ K2  4K  0 ⇒ 0  K  4.
222. a) Devemos ter: 
x  2  0
e
0  3  x  1
 ⇒ 
x  2 (I)
e
x  3 e x  2 (II)
Fazendo a interseção, vem:
(I)
(II)
(I) > (II)
– 2 2 3
x
 
b) Devemos ter: 
x2  x  2  0
e
0  x  1
 ⇒ 
x  2 ou x  1 (I)
e
0  x  1 (II)
Fazendo a interseção, vem:
D  {x   |  1  x  1}.
D  {x   | 2  x  3 e
x  2}.
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58
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
(I)
(II)
(I) > (II)
– 2
0
1
x
c) Devemos ter: 
3  2x  x2  0
e
0  2x  3  1
 ⇒ 
1  x  3 (I)
e
3
2
  x  2 (II)
Fazendo a interseção, vem:
(I)
(II)
(I) > (II)
– 1 3
x
x
x
3
2
3
2
2
2 3
 
CAPÍTULO V — Equações exponenciais e logarítmicas
224. a) 5x  4 ⇒ x  log5 4, S  {log5 4}
b) 3x  
1
2
 ⇒ x  log3 
1
2
, S  log3 
1
2
c) 7 x  2 ⇒ log7 2 ⇒ x ⇒ x  (log7 2)2, S  {(log7 2)2}
d) 3(x2)  5 ⇒ log3 5  x2 ⇒ x   log3 5
 S   log3 5 ;  log3 5 
e) 54x  3  0,5 ⇔ 
54x
53  0,5 ⇔ (54)x  62,5 ⇒
 ⇒ x log625 62,5, S  log625 62,5
f) 32x  1  2 ⇔ 32x  31  2 ⇔ (32)x  
2
3
 ⇒
 ⇒ x  log9 
2
3
, S  log9 
2
3
D  {x   | x  1}.
D  {x   | 
3
2
  x  3 e
x  2}.
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59
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
g) 72  3x  5 ⇔ 
72
73x
  5 ⇔ (73)x  
49
5
 ⇒
 
⇒ x  log
343 
49
5
, S  log
343 
49
5
225. Aplicando o logaritmo decimal a ambos os membros, vem:
 
log ax  log b ⇔ x  log a  log b ⇒ x  
log b
log a
 
S  
log b
log a
227. Devemos ter: A(t)  
A(0)
2
.
 
Daí,
 
A(0)
2
  A(0)  e3t ⇔ 
1
(et)3
  
1
2
 ⇔ et  
3
2 ⇔
 ⇔ t  log
e
3
2  n
3
2 .
228. A quantidade inicial de rádium é:
 M(0)  C  e0  C.
 
Do enunciado, após 1 600 a quantidade de rádium é 
C
2
, isto é, 
C
2 
 C eK  1 600 ⇒ K  n 2
1
1 600
 Após 100 anos, a quantidade de rádium é:
 M(100)  C  e100  n 2
1
1 600
  C  en 2
1
1 600
100
 
  C  2
1
1 600
100
  C  2

1
16
 Assim, a quantidade perdida em 100 anos é dada pela diferença.
 M(0)  M(100)  C  C  2

1
16  C  1  2

1
16 , isto é, 1  2

1
16 
da quantidade inicial.
230. a) 2x  3x  2 ⇒ 2x  3x  32 ⇒ 
2x
3x  32 ⇒ 
2
3
x
  9 ⇒ x  log2
3
 9
 S  log2
3
 9
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60
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
b) 72x  1  33x  4 ⇒ 
72x
7
  33x  34 ⇒ 
(72)x
(33)x
  567 ⇒
 ⇒ 
49
27
x
  567 ⇒ x  log49
27
 567
 S  log49
27
 567
c) 5x  1  34  2x ⇒ 
5x
5
  
34
32x ⇒ 5x  9x  405 ⇒
 ⇒ 45x  405 ⇒ x  log
45 
405
 S  {log
45 
405}
231. a) 3x  2x  2x  1 ⇒ 3x  2x  2x 
 2 ⇒ 3x  2x(1  2) ⇒ 
 ⇒ 
3
2
x
  3 ⇒ x  log3
2
 3
 S  log3
2
 3
 b) 5x  5x  1  3x  3x  1  3x  2 ⇒ 
 ⇒ 5x  5x  5  3x  3x  3  3x  32 ⇒
 ⇒ 5x(1  5)  3x(1  3  9) ⇒ 
5
3
x
  
13
6 ⇒ x  log5
3
 
13
6
 S  log5
3
 
13
6
 c) 2x  1  2x  3x  2  3x ⇒ 2x  2  2x  3x  32  3x ⇒
 ⇒ 2x(2  1)  3x(9  1) ⇒ 
2
3
x
  8 ⇒ x  log2
3
 8
 S  log2
3
 8
232. 23x  2  32x  1  8 ⇒ 23x  22  32x  31  8 ⇒
⇒ 8x  9x  6 ⇒ 72x  6 ⇒ x  log
72 
6
S  {log
72 
6}
233. a) (2x)2  5  2x  6  0. Seja 2x  t. Temos:
 t2  5t  6  0 ⇒ (t  2 ou t  3) ⇔ (2x  2 ou 2x  3) ⇒
 ⇒ (x  1 ou x  log
2 
3).
 S  {1, log
2 
3}
b) (2x)2  6  2x  5  0. Seja 2x  t. Temos:
 t2  6t  5  0 ⇒ (t  1 ou t  5) ⇒ (2x  1 ou 2x  5) ⇒
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61
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 ⇒ (x  0 ou x  log
2 
5).
 S  {0, log
2 
5}
c) (3x)2  3x  3  4  0. Seja 3x  t, vem:
 t2  3t  4  0 ⇒ (t  4 ou t  1).
 Como 3x  0 para todo x  , vem que 3x  4 ⇒ x  log
3 
4.
 S  {log3 
4}
d) 32x  3  3x  3  2  0. Seja 3x  t. Temos: 3  t2  3t  2  0. 
Como essa equação não tem raízes reais, resulta que não existe 
x que a satisfaz. Logo, S  .
e) (2x)2  4  2x  24  15  0. Fazendo 2x  t, vem:
 4t2  16t  15  0 ⇒ t  
5
2
 ou t  
3
2
 ⇔ 
 ⇔ 2x  
5
2
 ou 2x  
3
2
 ⇒ x  log
2 
5
2
 ou x  log
2
 
3
2
.
 S  log
2 
5
2
, log
2
 
3
2
f) 3x  1  
18
3x  29 ⇒ 3x  3  
18
3x  29
 Seja 3x  t. Temos:
 3t  
18
t
  29 ⇔ 3t2  29t  18  0 ⇒ t  
2
3
 ou t  9 ⇔ 
 ⇔ 3x  
2
3
 ou 3x  9 ⇒ x  log
3 
2
3
 ou x  2 .
 S  log
3
2
3
, 2
234. Como 9x  0, ∀x  , podemos dividir ambos os membros por 9x. 
Temos:
4x
9x
 
 
6x
9x
 
 
9x
9x
 ⇒ 
2
3
x
 
2
 
 
2
3
x
  1.
Fazendo 
2
3
x
 
 t, temos:
t2  t  1  0 ⇒ t  
1  5
2 
ou t 
 
1  5
2
.
Desprezando a raiz negativa (pois 
2
3
x
 
 0, ∀x  ), temos:
2
3
x
  
1  5
2 
⇒ x  log2
3
1  5
2
.
S  log2
3
1  5
2
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62
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
235. Dividindo ambos os membros por 49x, temos:
4
49
x
 
 2  
14
49
x
 
 3 ⇒
 
2
7
x 2
 
 2 
 
2
7
x
 
 3.
Seja 
2
7
x
 
 t. Temos:
t2  2t  3 ⇒ (t  1 ou t  3), donde
 
2
7
x
 
 3 ⇒ x  log2
7
 3.
S  log2
7
 3
236. Fazendo a2x  t, vem:
t2  t  1 ⇒ t  
1  5
2 
(não convém) ou t  
1  5
2
.
Daí, a2x  
1  5
2
. Aplicando logaritmo de base a a ambos os 
membros, vem: 2x  log
a
1  5
2 
⇒ x 
 
1
2
  log
a
1  5
2
.
S  
1
2 
 log
a
1  5
2
237. 
(64x)2  (64y)2  40
64x  64y  12
Fazendo 64x  a e 64y  b, temos: 
a2  b2  40
ab  12 ⇒ a 
 
12
b 
Substituindo na 1ª equação, temos:
b4  40b2  144  0 ⇒ b  6 ou b  2.
Lembrando que b deve ser estritamente positivo, temos 2 possi-
bilidades:
(I) (b  6 e a  2) ⇒ (64y  6 e 64x  2) ⇒ y  log
64 
6 e x  
1
6
(II) (b  2 e a  6) ⇒ (64y  2 e 64x  6) ⇒ y  
1
6 
e x  log
64 
6
Assim, S  
1
6
, log
64 
6 ;
 
log
64 
6,
 
1
6
238. a) log
4 
(3x  2)  log
4 
(2x  5) ⇒ 3x  2  2x  5  0
 Resolvendo 3x  2  2x  5, vem x  3, que convém, pois 
 3  3  2  0.
 S  {3}.
b) Devemos ter: 5x  6  3x  5  0.
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63
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 
De 5x  6  3x  5 segue que x  
1
2 
.
 
x  
1
2 
não é solução, pois 5  
1
2 
 6  0. Daí, S  .
c) Devemos ter: 5x2  14x  1  4x2  4x  20  0.
 De 5x2  14x  1  4x2  4x  20 ⇒ x2  10x  21  0 ⇒
 ⇒ (x  7 ou x  3).
 x  7 é solução, pois 5  72  14  7  1  148  0.
 x  3 é solução, pois 5  32  14  3  1  4  0.
 S  {3, 7}
d) Devemos ter: 3x2  4x  17  2x2  5x  3  0.
 3x2  4x  17  2x2  5x  3 ⇔ x2  x  20  0 ⇒
 ⇒ (x  4 ou x  5).
 x  4 é solução, pois 3  42  4  4  17  15  0.
 x  5 é solução, pois 3  (5)2  4  (5)  17  78  0.
 S  {5, 4}
e) Devemos ter: 4x2  13x  2  2x  5  0.
 4x2  13x  2  2x  5 ⇔ 4x2  11x  3  0 ⇒
 
x  3 ou x  
1
4
 x  3 não é solução, pois 4  (3)2  13  (3)  2  1  0.
 
x  
1
4
 é solução, pois 4  
1
4
2
  13  
1
4
  2  
11
2
  0.
 S  
1
4
f) Devemos ter: 5x2  3x  11  3x2  2x  8  0.
 5x2  3x  11  3x2  2x  8 ⇔ 2x2  x  3  0 ⇒
 
⇒ x  1 ou x  
3
2
.
 x  1 não é solução, pois 5  (1)2  3  (1)  11  3  0.
 
x  
3
2 
não é solução, pois 5  
3
2
2
  3  
3
2 
 11  
17
4
  0.
 Daí, S  .
239. a) log
5 
(4x  3)  1 ⇒ 51  4x  3 ⇒ x  2
 S  {2}
b) log1
2
 (3  5x)  0 ⇒ 
1
2
0
 
 3  5x ⇒ x  
2
5
 S  
2
5
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64
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
c) log 2 (3x2  7x  3)  0 ⇒ ( 2 )0  3x2  7x  3 ⇒
 ⇒ x  2 ou x  
1
3
 
S  2, 
1
3
d) log
4 
(2x2  5x  4)  2 ⇒ 42  2x2  5x  4 ⇔
 ⇔ 2x2  5x  12  0 ⇒ x  4 ou x  
3
2
 
S  4, 
3
2
e) log1
3
 (2x2  9x  4)  2 ⇒ 
1
3
2
 
 2x2  9x  4 ⇔ 
 ⇔ 2x2  9x  5  0 ⇒ x  
1
2 
ou x  5
 
S  
1
2
, 5
f) log
3
 (x  1)2  2 ⇒ 32  (x  1)2 ⇒ (x  1  3 ou x  1  3) ⇔
 ⇔ (x  2 ou x  4)
 S  {2, 4}
g) log
4
 (x2  4x  3)  
1
2
 ⇒ 4
1
2  x2  4x  3 ⇔ x2  4x  1  0 ⇒
 ⇒ (x  2  3 ou x  2  3 )
 S  {2  3 , 2  3 }
240. Temos: log
3
 x  y (1).
Do enunciado: log
3
 (x  16)  y  2 (2).
De (1) vem que 3y  x e de (2) vem que:
3y  2  x  16 ⇒ 3y  32  x  16 ⇒ 9x  x  16 ⇒ x  2.
241. Notemos inicialmente que:
log1
8
 
1
32
  y ⇒ 
1
8
y
  
1
32
 ⇒ y  
5
3
.
Então, podemos escrever:
log1
2
 x  
5
3
  
5
3
 ⇔ log1
2
 x  1 ⇒ x  
1
2
.
 
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65
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
242. a) log
3 (log
2
 x)  1 ⇒ 31  log
2
 x ⇒ 23  x ⇒ x  8 
b) log1
2
 [log
3
(log
4
 x)]  0 ⇒ 
1
2
0
 
 log
3 
(log
4
 x) ⇒ 31  log
4
 x ⇒ 
 ⇒ x  43  64 
 S  {64}
c) log1
4
 {log
3 
[log
2
 (3x  1)]}  0 ⇒ 
1
4
0
 
 log
3 
[log
2
 (3x  1)] ⇒
 ⇒ 31  log
2
 (3x  1) ⇒ 8  3x  1 ⇔ x  3
 S  {3}
d) log
2
 [1  log
3
 (1  log
4
 x)]  0 ⇒ 20  1  log
3
 (1  log
4
 x) ⇒
 ⇒ 30  1  log
4
 x ⇒ 40  x ⇔ x  1
 S  {1}
e) log 2 {2  log
3 
[1  log
4 
(x  3)]}  2 ⇒ 
 ⇒ ( 2 )2  2  log
3 
[1  log
4 
(x  3)] ⇒ log
3 
[1  log
4 
(x  3)]  1 ⇒ 
 ⇒ 31  1  log
4
 (x  3) ⇒ 42  x  3 ⇒ x  13
 S  {13}
f) log
3
 [1  2  log
2
 (3  log
4
 x2)]  1 ⇒ 31  1  2  log
2
 (3  log
4
 x2) ⇒
 ⇒ 1  log
2
 (3  log
4
 x2) ⇒ 21  3  log
4
 x2 ⇔ log
4
 x2  1 ⇒
 ⇒ 41  x2 ⇒ x  2
 S  {2, 2}
g) log
2 
{2  3  log
3
 [1  4  log
4
 (5x  1)]}  3 ⇒
 ⇒ 23  2  3  log
3
 [1  4  log
4
 (5x  1)] ⇒
 ⇒ 2  log
3
 [1  4  log
4
 (5x  1)] ⇒ 32  1  4  log
4
 (5x  1) ⇒
 ⇒ 2  log
4
 (5x  1) ⇒ 42  5x  1 ⇒ x  3
 S  {3}
243. log
3 [log
2
 (3x2  5x  2)]  log
3
 2 ⇒ log
2
 (3x2  5x  2)  2 ⇒
⇒ 22  3x2  5x  2 ⇔ 3x2  5x  2  0 ⇒
 
x  
1
3 
ou x  2 , 
 que satisfazem a condição de existência.
 S  
1
3
, 2
244. a) xlogx (x  3)  7 ⇒ log
x
 7  log
x
 (x  3) ⇒ 7  x  3  0; x  0 e x  1.
 Daí, x  4, que satisfaz as condições de existência.
 S  {4}
b) xlogx (x  5)2  9 ⇒ log
x
 9  log
x
 (x  5)2 ⇒
 ⇒ 9  (x  5)2  0, x  1 e x  0.
 De 9  (x  5)2, segue que x  2 ou x  8.
 S  {2, 8}
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66
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
c) xlogx (x  3)2  16 ⇒ log
x
 16  log
x
 (x  3)2 ⇒ 16  (x  3)2  0, 
x  0 e x  1. De 16  (x  3)2, segue que x  1 (não convém) 
ou x  7 (não convém).
 Daí, S  .
d) Notemos que log
3
27  y ⇒ 3y  3
3
2 ⇒ y  
3
2
.
 Então, podemos reescrever a equação na forma:
 x
1
3
 logx (x
2  2)  2  
3
2
 ⇒ xlogx (x
2  2)  33 ⇒
 ⇒ log
x
 33  log
x
 (x2  2) ⇒ x2  2  33, x  0 e x  1.
 De x2  2  27 vem que x  5. Desprezando a raiz negativa, 
segue que x  5.
 S  {5}
245. Da 2ª equação, temos:
log
2
 y  x ⇒ (log
2
 y)2  x para x  0 e y  0 (1).
Substituindo esse valor de x na 1ª equação, temos:
2  [(log
2
 y)2]y  
1
[(log
2
 y)2]y
  1.
Fazendo (log
2
 y)2y  t, vem:
2t  
1
t
  1 ⇔ 2t2  t  1  0 ⇒ t  1 ou t  
1
2
.
Como t  0, segue que:
t  1 ⇔ (log
2
 y)2y  1 ⇔
2y  0
 log
2
 y  1 ⇒ y  2.
Em (1) temos:
x  (log
2
 y)2  (log
2
 2)2  1.
S  {(1, 2)}
246. a) log
4
2 x  2 log
4
 x  3  0 ⇔ (log
4
 x)2  2 log
4
 x  3  0
 Fazendo log
4
 x  t, vem: 
 t2  2t  3  0 ⇒ (t  1 ou t  3) ⇔
 ⇔ (log
4
 x  1 ou log
4
 x  3) ⇒ (41  x ou 43  x) ⇒
 ⇒ x  
1
4 
ou x  64 , que satisfazem a condição de existência.
 
S  
1
4
, 64
b) 6 log
22 x  7 log
2
 x  2  0 ⇔ 6 (log
2
 x)2  7 log
2
 x  2  0
 Fazendo log
2
 x  t, vem:
 
6t2  7t  2  0 ⇒ t 
 
1
2 
ou t  
2
3
 ⇔ 
 
⇔ log
2
 x  
1
2 
ou log
2
 x  
2
3 
⇒ x  2
1
2 ou x  2
2
3 , isto é,
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67
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 x  2 ou x  
3
4 .
 Como x  0, vem:
 S   2 , 
3
4 
c) log x(log x  1)  6
 Fazendo log x  t, vem:
 t(t  1)  6 ⇔ t2  t  6  0 ⇒ (t  2 ou t  3) ⇔
 ⇔ (log x  2 ou log x  3) ⇒ (x  102 ou x  103), que são 
raízes da equação proposta, pois x  0.
 
S  
1
100
, 1 000
d) log
2
 x  (2 log
2
 x  3)  2
 Fazendo log
2
 x  t, temos:
 
t(2t  3)  2 ⇔ 2t2  3t  2  0 ⇒ t  
1
2
 ou t  2 ⇔ 
 
⇔
 
log
2
 x  
1
2
 ou log
2
 x  2 ⇒
 
x  
1
2 
ou x  4 , que satisfazem 
a condição x  0.
 
S  
1
2
, 4
e) 2 log
4
2 x  2  5 log
4
 x ⇔ 2 (log
4
 x)2  2  5 log
4
 x
 Fazendo log
4
 x  t, vem:
 2t2  2  5t ⇒ t 
 
1
2 
ou t  2 ⇔ log
4
 x  
1
2
 ou log
4
 x  2 ⇒
 ⇒ (x  2 ou x  16), que satisfazem a condição x  0.
 S  {2, 16}
f) log3 x  4 log x ⇔ (log x)3  4 log x
 Fazendo log x  t, vem:
 t3  4t ⇔ t(t2  4)  0 ⇒ (t  0 ou t  2 ou t  2) ⇔
 ⇔ (log x  0 ou log x  2 ou log x  2) ⇒ 
 
⇒ x  1 ou x  
1
100
 ou x  100 , que satisfazem a condição x  0.
 
S  
1
100
, 1,100
247. 
x
3  
2x
3  2 ⇔ 3
1
x  3
1
x  
1
2  2
Fazendo 
1
x
  2y, temos:
32y  3
2y
  
1
2  2 ⇔ (3y)2  3y  2  0.
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68
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Fazendo 3y  t, vem:
t2  t  2  0 ⇒ (t  1 ou t  2).
Como 3y  0, ∀y  , segue que t  1 não convém. Daí, 3y  2 ⇒
⇒ log
3
 2  y.
Logo, 
1
x
  2 log
3
 2 ⇔ 
1
x 
 log
3
 22 ⇔ x  
1
log
3
 4
.
Transformando o logaritmo para a base 10, vem:
x  
1
log 4
log 3
  
log 3
log 4
, não convém pois x  *.
S  
248. a) Fazendo log x  t, temos:
 
1
5  t
  
2
1  t 
 1 ⇔ t2  5t  6  0 ⇒ (t  2 ou t  3) ⇒
 ⇒ (log x  2 ou log x  3) ⇒ (x  100 ou x  1 000), que 
satisfazem a condição x  0.
 S  {100, 1 000}
b) Fazendo log
2
 x  t, vem:
 
3  t
t
  
2  t
3  t
  
5
2
 ⇔ t2  11t  18  0 ⇒ (t  2 ou t  9) ⇒
 ⇒ (log
2
 x  2 ou log
2
 x  9) ⇒ (x  4 ou x  29  512), que 
satisfazem a condição x  0.
 S  {4, 512}
c) Fazendo log
3
 x  t, vem:
 
t
1  t 
 
t  2
t  3
 
 
5
4 
⇔ 3t2  4t  7  0 ⇒ 
 
⇒ t  1 ou t  
7
3 
⇒
 
log
3
 x  1 ou log
3
 x  
7
3
 ⇒ 
 ⇒ x  3 ou x  3
 
7
3 , que satisfazem a condição x  0.
 
S  3, 3
 
7
3 
d) Fazendo log x  t, temos:
 
1  t
2  t
  
1  t
2  t 
 2 ⇔ t2  3t  4  0 ⇒ (t  1 ou t  4) ⇒
 ⇒ (log x  1 ou log x  4) ⇒ (x  101 ou x  104), que 
satisfazem a condição x  0.
 S  {101, 104}
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69
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
e) Fazendo log
2
 x  t, segue que:
 
1  t
2  t 

 
2  t
3  t 
 
4  t
5  t
 
 
5  t
6  t 
⇔
 ⇔
 
1
t2  5t  6 
 
1
30  11t  t2 
⇔ t  4.
 Então, log
2
 x  4 ⇒ x  16.
 Como x  0, x  16 é solução.
 S  {16}
250. a) Devemos ter:
 0  x  1 (I) e 3x2  13x  15  x2 (II).
 De (II) temos que x  5 ou x 
 
3
2
, que são soluções, pois satisfazem (I).
 
S  
3
2
, 5
b) Devemos ter:
 0  x  1 (I) e 4  3x  x2 (II).
 De (II) temos que x  1 ou x  4, que não satisfazem (I).
 S  
c) Devemos ter:
 0  x  2  1 ⇔ 2  x  3 (I) e 2x2  11x  16  (x  2)2 (II).
 De (II) temos que x2  7x  12  0 ⇒ x  4 ou x  3. Somente 
x  4 satisfaz (I). Então, S  {4}.
d) Devemos ter:
 0  x  1 (I) e ( x )4  2x2  5x  6 (II).
 De (II) temos que x  2 ou x  3, que não satisfazem (I).
 Assim, S  .
e) Devemos ter:
 0  x  1  1 ⇔ 1  x  2 (I) e x3  x2  x  3  (x  1)3 (II).
 De (II) temos que:
 
x2  x  1  0 ⇒ x 
 
1  5
2
 ou x  
1  5
2 
.
 
Somente x  
1  5
2 
é solução, pois satisfaz (I).
 
S  1  5
2
f) Devemos ter:
 0  x  2  1 ⇔ 2  x  1 (I) e x3  7x2  8x  11  (x  2)3 (II).
 De (II) temos que x2  4x  3  0 ⇒ (x  1 ou x  3), que são 
soluções pois satisfazem (I).
 S  {1, 3}
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70
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
g) Devemos ter:
 0  2  x  1 ⇔ 2  x  1 (I) e 2x3  x2  18x  8  (2  x)3 (II).
 De (II) temos que:
 3x3  7x2  6x  0 ⇔ x(3x2  7x  6)  0 ⇒
 ⇒
 
x  0 ou x  3 ou x   
2
3
.
 x  3 não é solução, pois não satisfaz (I).
 S  0,  
2
3
251. Devemos ter:
0  x  1  1 ⇔ 1  x  0 (I) e x2  x  6  (x  1)3 (II).
De (II) temos que x3  2x2  2x  5  0. As possíveis raízes 
racionais dessa equação pertencem ao conjunto {1, 1, 5, 5}.
x  1 é raiz da equação, pois 13  2  12  2  1 5  0 (V).
Logo, o polinômio x3  2x2  2x  5 é divisível por x  1. Efetuando 
a divisão, podemos escrever:
x3  2x2  2x  5  (x  1)(x2  3x  5)
Como x2  3x  5  0 não admite raízes reais, segue que a única 
solução real de (II) é x  1, que satisfaz (I). 
S  {1}
253. a) Devemos ter:
 0  x  1 (I) e 4x  3  2x  1  0 (II). 
 De (II) temos que x  2.
 x  2 é solução, pois satisfaz (I) e (II), pois 4  2  3  0.
 S  {2}
 b) Devemos ter:
 0  x  1 (I) e 5x  2  3x  4  0 (II). 
 Resolvendo (II), temos que x  1, que não é solução, pois não satisfaz (I).
 S 
 c) Devemos ter:
 0  x  1  1 ⇔ 1  x  0 (I) e 3x  14  2  x  0 (II). 
 Resolvendo (II), temos que x  3 que não é solução, pois não 
satisfaz (I).
 S 
 d) Devemos ter:
 0  x  5  1 ⇔ 5  x  4 (I) e 3x2  5x  8  2x2  3x  0 (II).
 Resolvendo (II), temos que x  2 ou x  4.
 x  2 satisfaz (II), pois 3  (2)2  5(2)  8  14  0 e satisfaz (I).
 Logo, x  2 é solução. 
 x  4 satisfaz (II), pois 3  42  5  4  8  20  0 e satisfaz (I).
 Logo, x  4 é solução.
 S  { 2, 4}
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71
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
e) Devemos ter: 
 0  2x  4  1 ⇔
 ⇔ 2  x  
5
2
 (I) e 5x2  15x  7  x2  3x  2  0 (II).
 Resolvendo (II), temos que x  
1
2
 ou x  
5
2
.
 x  
1
2
 não é solução, pois não satisfaz (I).
 x  
5
2
 não é solução, pois não satisfaz (I).
 Daí, S  .
f) Devemos ter: 
 0  x  2  1 ⇔ 
 ⇔ 2  x  1 (I) e 3x2  8x  2  2x2  5x  2  0 (II).
 Resolvendo (II), temos que x  1 ou x  4.
 x  1 não é solução, pois não satisfaz (I).
 x  4 satisfaz (II), pois 3  42  8  4  2  14  0 e satisfaz (I). 
Assim, x  4 é solução.
 S  {4}
254. a) Fazendo log
x
 (5x  6)  t, vem:
 t2  3t  2  0 
⇒ (t  1 ou t  2), isto é,
 (1) log
x
 (5x  6)  1 ⇒ 
0  x  1 (I)
e
5x  6  x (II)
 De (II), x  
3
2
, que é solução, pois satisfaz (I).
 (2) log
x
 (5x  6)  2 ⇒ 
0  x  1 (I)
5x  6  x2 (II)
 De (II), segue que x  2 ou x  3, que são soluções, pois satisfazem (I).
 Assim, de (1) e (2), temos que:
 S  
3
2
, 2, 3
b) Fazendo log
x
 (x  1)  t, temos:
 t2  2  t ⇒ t  1 ou t  2, isto é,
 (1) log
x
 (x  1)  1 ⇒ 
 
0  x  1 (I)
e
x  1  x1  0 (II)
 Resolvendo (II), temos que x  
1  5 
2
 ou x  
1  5 
2
.
 x  
1  5 
2
 não é solução, pois não satisfaz (I).
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72
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
x  
 1  5 
2
 é solução, pois satisfaz (I).
(2) log
x
 (x  1)  2 ⇒ 
0  x  1 (I)
e
x  1  x2 (II)
 
Resolvendo (II), temos que: x  
1  5 
2
 ou x  
1  5 
2
. 
Somente x  
1  5 
2
 é solução, pois deve satisfazer (I).
Assim, de (1) e (2) segue que: 
S  
1  5 
2
, 
1  5 
2
c) Fazendo log
3x  2(4  x)  t, vem:
 2t2  5t  2  0 ⇒ t  2 ou t  
1
2
, isto é:
(1) log
3x  2
 (4  x)  2 ⇒ 
0  3x  2  1 ⇔ 
2
3
  x  1 (I)
e
4  x  (3x  2)2 (II)
Resolvendo (II), temos que:
9x2  11x  0 ⇒ x  0 ou x  
11
9
 .
x  0 não é solução, pois não satisfaz (I).
x  
11
9
 é solução, pois satisfaz (I).
(2) log
3x  2
 (4  x)  
1
2
 ⇒ 
0  3x  2  1 ⇔ 
2
3
  x  1 (I)
e
4  x  (3x  2)
1
2 (II)
Resolvendo a equação irracional em (II), vem que
x  2, que é solução, pois satisfaz (I).
De (1) e (2) vem:
S  
11
9
, 2
256. A condição de existência dos logaritmos é x  
1
3
 (I). 
Para x  
1
3
, temos:
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73
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
log x  
1
3
  log 
 
x  
1
3
  log 
24
9
 ⇒ log x  
1
3
x  
1
3
  log 
24
9
 ⇔
⇔ log 
 
x2  
1
9
  log 
24
9
 ⇒ x2  
1
9
  
24
9
 ⇔ x2  
25
9
 ⇒ 
⇒ 
 
x   
5
3
 ou x  
5
3
.
Como somente x  
5
3
 satisfaz (I), vem que: S  
5
3
.
257. Notemos que as condições 2x  0 e 1  2x  0 são satisfeitas para 
∀x  . Temos:
log 2x  log (1  2x)  log 6 ⇒ log [2x  (1  2x)]  log 6 ⇒ 2x  (1  2x)  6.
Fazendo 2x  t, vem: t(1  t)  6 ⇒ t  3 ou t  2.
Como t  0, vem que 2x  2 ⇒ x  1.
S  {1}
258. Notemos inicialmente que 1  2x  0, ∀x  .
Temos: 
x  log (1  2x)  x log 5  log 6 ⇒
⇒ x  log (1  2x)  x  log 
10
2
  log 6 ⇒
⇒ x  log (1  2x)  x  [log 10  log 2]  log 6 ⇒
⇒ x  log (1  2x)  x  x log 2  log 6 ⇔ log (1  2x)  log 6  log 2x ⇒ 
 log (1  2x) log 
6
2x
 ⇒ 1  2x 
 
6
2x
.
Fazendo 2x  t, vem:
1  t  
6
t
 ⇒ (t  3 ou t  2).
Como 2x  0, segue que 2x  2 ⇒ x  1.
S  {1}
259. a) A condição de existência dos logaritmos é x  3 (I). 
 Para x  3, temos:
 log
2
 (x  3)  log
2
 (x  3)  4 ⇒ log
2
 [(x  3)(x  3)]  4 ⇒ 
 ⇒ x2  9  24 ⇒ x2  25 ⇒ x   5 ou x  5.
 Somente x  5 é solução, pois deve satisfazer (I). 
 S  {5}
b) A condição de existência dos logaritmos é x  2 (I).
 Para x  2, temos:
 log
2
 (x  1)  log
2
 (x  2)  2 ⇒ log
2
 [(x  1)  (x  2)]  2 ⇒ 
 ⇒ (x  1)(x  2)  22 ⇔ x2  x  6  0 ⇒ x  2 ou x  3.
 Somente x  3 é solução, pois deve satisfazer (I). 
 S  {3}
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74
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
c) A condição de existência dos logaritmos é x  21 (I).
 Para x  21, temos:
 log
 
x  log (x  21)  2 ⇒ log [x  (x  21)]  2 ⇒
 ⇒ x (x  21)  102 ⇔ x2  21x  100  0 ⇒ x  4 ou x  25.
 Como somente x  25 satisfaz (I), S  {25}.
d) A condição de existência dos logaritmos é x  1 (I).
 Para x  1, temos:
 log
2
 (5x  2)  [log
2
 x  log
2
 (x  1)]  2 ⇒
 ⇒ log
2
 (5x  2)  log
2
 [x  (x  1)]  2 ⇒ log
2 
5x  2
x(x  1)
  2 ⇒
 ⇒ 
5x  2
x(x  1)
  22 ⇒ 4x2  9x  2  0 ⇒ x  
1
4
 ou x  2.
 Somente x  2 é solução, pois deve satisfazer (I).
 S  {2}.
e) A condição de existência dos logaritmos é x  2 (I).
 Para x  2, temos:
 log
3
 (5x  4)  [log
3
 x  log
3 
(x  2)]  1 ⇒
 ⇒ log
3
 (5x  4)  log
3
 [x  (x  2)]  1 ⇒ log
3 
5x  4
x(x  2)
  1 ⇒
 ⇒ 
5x  4
x(x  2)
  31 ⇒ 3x2  11x  4  0 ⇒ x  
1
3
 ou x  4.
 Somente x  4 é solução, pois deve satisfazer (I).
 S  {4}.
f) A condição de existência dos logaritmos é x  
2
3
 e x  
3
2
 (I). 
 Para x  
2
3
 e x  
3
2
, temos:
 log
1
2
 (3x  2)2  log
1
2
 (2x  3)2  4 ⇒ log
1
2
 
(3x  2)2
(2x  3)2
  4 ⇒ 
 ⇒ 
3x  2
2x  3
2
  
1
2
4
 ⇒ 
3x  2
2x  3
2
  24 ⇒ 
3x  2
2x  3
  4 ⇒
 ⇒ 
3x  2
2x  3
  4 ⇒ x  14
5
ou
3x  2
2x  3
  4 ⇒ x  10
11
 0s dois valores encontrados são soluções, pois satisfazem (I).
 S  
14
5
, 
10
11
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75
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
g) A condição de existência dos logaritmos é x  2 e x  3 (I).
 Para x  2 e x  3, temos:
 log
36
 (x  2)2  log
36
 (x  3)2  1 ⇒ log
36
 [(x  2)2 (x  3)2]  1 ⇒
 ⇒ (x  2)2 (x  3)2  36 ⇒ (x2  x  6)   6
 x2  x  6  6 ⇒ x  3 ou x  4
 x2  x  6  6 ⇒ x  0 ou x  1
 Esses quatro valores são soluções, pois satisfazem (I).
 S  { 3, 0, 1, 4}
260. A condição de existência dos logaritmos é x  0.
(0,4)log2 x  1  (6,25)2  log x3
 ⇒ 
4
10
log2
 x  1
  
25
4
2  3 log x 
⇒
⇒ 
2
5
log2
 x  1
  
5
2
2
 
2  3 log x
 ⇒ 
5
2
log2
 x  1
  
5
2
4  6 log x 
⇒ 
⇒ log2 x  1  4  6 log x ⇒ log2 x  6 log x  5  0.
Fazendo log x  t, vem: 
t2  6t  5  0 ⇒ (t  1 ou t  5) ⇒ (log x  1 ou log x  5) ⇒
⇒ (x  101 ou x  105).
S  {10, 105}
261. Notemos que 9x  1  7  0 e 3x  1  1  0 são satisfeitas para todo x 
real. Temos:
log
2
 (9x  1  7)  log
2
 (3x  1  1)  2 ⇒ log
2
 
9x  1  7
3x  1  1
  2 ⇒
⇒ 
9x  1  7
3x  1  1
  22 ⇒ 9x  1  4  3x  1  3  0 ⇒ 
⇒ 
9x
9
  4  
3x
3
  3  0.
Fazendo 3x  t, vem:
t2
9
  
4t
3
  3  0 ⇒ t2  12t  27  0 ⇒ (t  3 ou t  9) ⇒
⇒ (3x  3 ou 3x  9) ⇒ (x  1 ou x  2).
S  {1, 2}
262. a) A condição de existência dos logaritmos é x  
15
4
 (I). 
Temos:
 
log3 (2x)
log
3
 (4x  15)
  2 ⇒ log3 2x  2  log3 (4x  15) ⇒
⇒ log3 2x  log3 (4x  15)2 ⇒ 2x  (4x  15)2 ⇒
⇒ 16x2  122x  225  0 ⇒ x  
9
2
 ou x  25
8
.
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76
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 Como x
 
 
25
8
 não satisfaz (I) e x  
9
2
 satisfaz, a única solução é x  
9
2
.
 S  
9
2
b) 
log2 (35  x3) 
log
2
 (5  x)
  3 ⇒ log2 (35  x3)  3 log2 (5  x) ⇒ 
 ⇒ log
2
 (35  x3)  log
2
 (5  x)3 ⇒ 35  x3  (5  x)3 ⇒
 ⇒ x2  5x  6  0 ⇒ x  2 ou x  3.
 Verificando x  2: 35  23  0 e 5  2  0.
 Verificando x  3: 35  33  0 e 5  3  0.
 S  {2, 3}
c) 
log ( x  1  1) 
log x  40
3  3 ⇒ log ( x  1  1)  3 log x  40
3
 ⇒
 ⇒ log ( x  1  1)  log ( x  40
3 )3 ⇒ x  1  1  x  40 ⇒
 ⇒ x  1  x  41 ⇒ x2  83x  1 680  0 ⇒ (x  48 ou x  35) 
 (x  35 não convém, pois 35  1  35  41). 
 Verificando x  48: 48  1  1  0 e 48  40
3
  0.
 S  {48}
263. A condição de existência dos logaritmos é x  16 (I).
1
2
 log
3
 (x  16)  log
3 
( x  4)  1 ⇒ log
3 
(x  16)
1
2  log
3 
( x  4)  1 ⇒ 
⇒ log
3
 
(x  16)
1
2
x  4
  1 ⇒
 
x  16
x  4
  31 ⇒ 3 x  12  x  16.
Resolvendo essa equação irracional, temos x  25 ou x  16.
x  25 é solução dessa equação irracional, pois:
3  25  12  25  16 (V), mas não satisfaz (I).
x  16 é solução da equação irracional, pois:
3  16  12  16  16 (V), mas não satisfaz (I).
Daí, S  {25}.
264. A condição de existência dos logaritmos é 2x  2  3  0, pois 
 4x  15  2x  27  0 para todo x   (I).
Temos:
log
3
 (4x  15  2x  27)  2 log
3
 (2x  2  3) ⇒
⇒ log
3
 (4x  15  2x  27)  log
3
 (2x  2  3)2 ⇒
⇒ 4x  15  2x  27  (2x  2)2  6  2x  2  9 ⇒ 
⇒ 4x  15  2x  27  22x  24  6  2x  22  9.
Fazendo 2x  t, vem:
t2  15t  27  16t2  24t  9 ⇒ 15t2  39t  18  0 ⇒
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77
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 ⇒ t
 
 
2
5
 (não convém, pois t  0) ou t  3.
 Daí, 2x  3 ⇒ x  log
2
 3, que satisfaz (I), pois:
 2log
2
3  2  3  2log2 3  22  3  3  4  3  0.
 S  {log
2
 3}
266. a) A condição de existência dos logaritmos é x  3 (I).
 Temos:
 log
2
 (x  4)  log
2
 (x  3)  log
2
 18 ⇒ 
 ⇒ log
2
 [(x  4)(x  3)]  log
2
 18 ⇒
 ⇒ (x  4)(x  3)  18 ⇒ x2  x  30  0 ⇒ x  5 ou x  6.
 Somente x  5 satisfaz (I).
 S  {5}
b) A condição de existência dos logaritmos é x  1 (I).
 Temos:
 log
5
 (1  x)  log
5
 (2  x)  log
5
 (8  2x) ⇒ 
 ⇒ log
5
 [(1  x)(2  x)]  log
5
 (8  2x) ⇒⇒ (1  x)(2  x)  8  2x ⇒ x2  x  6  0 ⇒ x  2 ou x  3. 
 Somente x  2 é solução, pois satisfaz (I).
 S  {2}
c) A condição de existência dos logaritmos é x  5 (I).
 Temos:
 log
1
2
 (x  1)  log
1
2
 (x  5)  log
1
2
 (2x  3) ⇒
 ⇒ log
1
2
 [(x  1)(x  5)]  log
1
2
 (2x  3) ⇒
 ⇒ (x  1)(x  5)  2x  3 ⇒ x2  6x  2  0 ⇒
 ⇒ x  3  11 ou x  3  11.
 Somente x  3  11 satisfaz (I).
 S  {3 11}
 d) A condição de existência dos logaritmos é x  
1  17 
4
 (I).
 Temos:
 log (2x  1)  log (4x  3)  log (2x2  x  2) ⇒
 ⇒ log [(2x  1)(4x  3)]  log (2x2  x  2) ⇒
 ⇒ (2x  1)(4x  3)  2x2  x  2 ⇒ 6x2  x  1  0 ⇒ 
 ⇒ x  
1
3
 ou x  
1
2
, que não satisfazem (I).
 S  
 e) A condição de existência dos logaritmos é 
1
2
  x  
4
3
 (I).
 Temos:
 log
2
 (4  3x)  log
2
 (2x  1)  log
2
 (3  x)  log
2
 (x  1) ⇒
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78
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 ⇒ log
2
 
4  3x
2x  1
  log
2
 
3  x
x  1
 ⇒ 
4  3x
2x  1
  
3  x
x  1
 ⇒
 ⇒ x2 
 6x  7  0 ⇒ x  7 ou x  1.
 Somente x  1 satisfaz (I).
 S  {1}
 f) A condição de existência dos logaritmos é x  
1
3
 (I).
 Temos:
 log
1
3
 (x2  13x)  colog
1
3
 (x  3)  log
1
3
 (3x  1) ⇒
 ⇒ log
1
3
 (x2  13x)  log
1
3
 (x  3)  log
1
3
 (3x  1) ⇒
 ⇒ log
1
3
 
x2  13x
x  3
  log
1
3
 (3x  1) ⇒ 
x2  13x
x  3
  3x  1 ⇒
 ⇒ 2x2  5x  3  0 ⇒ x  
1
2
 ou x  3.
 Somente x  3 satisfaz (I).
 S  {3}
 g) A condição de existência dos logaritmos é x  1  3 (I).
 Temos:
 log (2x2  4x  4)  colog (x  1)  log 4 ⇒
 ⇒ log (2x2  4x  4)  log (x  1)  log 4 ⇒
 ⇒ log 
2x2  4x  4
x  1
  log 4 ⇒ 
2x2  4x  4
x  1
  4 ⇒
 ⇒ 2x2  8  0 ⇒ x  2 ou x  2.
 Somente x  2 satisfaz (I).
 S  {2}
267. Fazendo log x  y, vem:
 2 log y  log (7  2y)  log 5 ⇒ log y2  log 
7  2y
5
 ⇒ 
⇒ y2 

 
7  2y
5
 ⇒ 5y2 
 2y  7  0 ⇒ y  
7
5
 ou y  1.
Daí, log x  
7
5
 ou log x  1.
Notemos que, se x  
7
5
 no primeiro membro, teremos:
log (log x)  log 
7
5
  !
Então, log x  1 ⇒ x  10.
S  {10}
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79
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
268. A condição de existência dos logaritmos é x  
5
7
 (I). 
Temos:
log 7x  5  
1
2
 log (2x  7)  1  log 
9
2
 ⇒
⇒ log 7x  5  log (2x  7)
1
2  log 10  log 
9
2
 ⇒
⇒ log [ 7x  5  2x  7 ]  log 10  
9
2
 ⇒
⇒ (7x  5)(2x  7)  45 ⇒ 14x2  59x  1 990  0 ⇒
⇒ x  
199
14
 ou x  10.
Somente x  10 satisfaz (I).
S  {10}
269. a) Temos:
 log x  log x ⇒ log x 
 
1
2
  log x
 Fazendo log x 
 t, vem:
 t  
1
2
 t ⇒ 
1
4
 t2  t ⇒ (t  0 ou t  4) ⇒
 ⇒ (log x  0 ou log x  4) ⇒ (x  100 ou x  104).
 Verificando x  1: log 1  log 1. (V)
 Verificando x  104: log 104  104 . (V)
 S  {1, 104}
b) log1 x  2  log x1 ⇒ (log x)1  2  log x
 Fazendo log x 
 t, vem:
 t1  2  t ⇒ t2  2t  1  0 ⇒ (t  1)2  0 ⇒ t  1.
 Então, log x  1 ⇒ x  101  10.
 x  10 é solução, pois x  0. 
 S  {10}
c) A condição de existência dos logaritmos é x  0.
 Temos:
 log
8
 x3  5  
12
log
8 
x
 ⇒ 3 log
8
 x  5  
12
log
8 
x
.
 Fazendo log
8 
x  t, vem:
 3t  5  
12
t
 ⇒ t  
4
3
 ou t  3 ⇒ 
 ⇒ log
8
 x  
4
3
 ou log
8
 x  3 ⇒ x  8

4
3 ou x  83 ,
 x  
1
16
 ou x  512, que satisfazem a condição de existência. 
 S  
1
16
, 512
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80
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
270. log
3
 (3x  1)  log
3
 (3x  1  3)  6 ⇒ 
 ⇒ log
3
 (3x  1)  log
3
 (3x  3  3)  6 ⇒
⇒ log
3
 (3x  1) · log
3
 [3 · (3x  1)]  6 ⇒
⇒ log
3
 (3x  1)  [log
3
 3  log
3
 (3x  1)]  6
Fazendo log
3
 (3x  1)  t, vem:
t  [1  t]  6 ⇒ t2  t  6  0 ⇒ (t  3 ou t  2).
Daí, 
log
3
 (3x  1)  3 ⇒ 3x  1  33 ⇒ 3x  
28
27 
 ⇒ x  log
3
 
28
27
ou 
(3x  1)  2 ⇒ 3x  1  9 ⇒ 3x  10 ⇒ x  log
3
 10.
Os valores encontrados garantem a existência dos logaritmos acima 
e são, portanto, soluções.
S  log
3
 
28
27
, log
3
 10
271. a) A condição de existência dos logaritmos é x > 0. Temos:
 log2 x3  20  log x  1  0 ⇔ (log x3)2  20  log x
1
2  1  0 ⇒
 ⇒ (3  log x)2  20  1
2
  log x  1  0.
 Fazendo log x  t, vem:
 (3  t)2  10t  1  0 ⇒ t  1
9
 ou t  1. Daí,
 log x  1
9
 ⇒ x  10
1
9  
9
10 
 ou
 log x  1 ⇒ x  10.
 Os dois valores encontrados satisfazem a condição de existência.
 S  {
9
10, 10}.
 b) A condição de existência dos logaritmos é 0  x  1. Temos:
 log 
x
 5 5  1,25  log2
x
 5 ⇒ log
x
 5  log
x
 5  1,25  (log
x
 5 )2 ⇒
 ⇒ log
x
 5  log
x
 5
1
2  1,25  log
x
 5
1
2 
2 
⇒
 ⇒ log
x
 5  1
2
 log
x
 5  1,25  1
2
  log
x
 5 
2 
 Fazendo log
x
 5  t, vem:
 t  1
2
 t  1,25  1
2
 t 
2
 ⇒ t2  6t  5  0 ⇒ (t  5 ou t  1) ⇒
 ⇒ (log
x
 5  5 ou log
x
 5  1) ⇒ (x5  5 ou x1  5) ⇒
 ⇒ (x  
5
5 ou x  5), que satisfazem a condição de existência.
 S  
5
5 , 5
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81
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 c) A condição de existência dos logaritmos é x > 0 (I). Temos:
 
log
8
 
8
x2
log
8
2 x
  3 ⇒ 
log
8
 8  log
8
 x2
(log
8
 x)2
  3 ⇒ 
1  2 log
8
 x
(log
8
 x)2
  3.
 Fazendo log
8
 x  t, vem: 
 
1  2t
t2
  3 ⇒ 3t2  2t  1  0 ⇒ t  1 ou t  
1
3
 , isto é,
 log
8
 x  1 ou log
8
 x  
1
3
 ⇒ x  81 ou x  8
1
3 ⇔
 ⇔ x  
1
8
 ou x  2, que satisfazem (I).
 S  
1
8
, 2 
272. Escrevendo log 5 como log 
10
2
 , temos:
 log 5  log 
10
2
  log 10  log 2  1  log 2.
 A equação proposta é, então, x2  x  (1  log 2)  log 2  0. Temos:
   (1  log 2)2  4 log 2  (1  log 2)2.
 Daí,
 x  
 (1  log 2)  (1  log 2)2
2
  
(log 2  1)  (1  log 2)
2
,
 donde x'  log 2 e x''  1.
 S  {log 2, 1}
274. a) Devemos ter x  0 e y  0.
 Aplicando a propriedade dos logaritmos na 2a
 equação, temos:
 log
2
 x  log
2
 y  log
2
 8 ⇒ log
2
 (x  y)  log
2
 8 ⇒ xy  8.
 Então o sistema fica: 
x  y  6
xy  8
, cujas soluções são
 (x  4 e y  2) ou (x  2 e y  4).
 S  {(4, 2); (2,4)}
 b) Devemos ter x  0 e y  0.
 Da 1a
 equação temos:
 4x  y  8 ⇒ 22x  2y  23 ⇒ 2x  2y  3.
 Da 2a
 equação, aplicando a propriedade dos logaritmos, vem:
 log
2
 x  log
2
 y  2 ⇒ log
2
 
x
y
  2 ⇒ 
x
y
  22 ⇒ x  4y.
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82
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 Então o sistema proposto fica reduzido a 
2x  2y  3
x  4y
 cuja solução é x  2 e y  
1
2
.
 S  2, 
1
2
 
 c) Devemos ter: x  0 e y  0.
 Aplicando a propriedade dos logaritmos na 2.a equação, temos:
 log x  log y  2 ⇒ log (x  y)  2 ⇒ x  y  102  100.
 Então, o sistema proposto fica reduzido a 
x2  y2  425
xy  100
 cujas soluções são (x  20 e y  5) ou (x  5 e y  20).
 S  {(20, 5); (5, 20)}
 d) Devemos ter: x  0 e y  0.
 Aplicando as propriedades dos logaritmos na 2.a equação, vem:
 2 log x  log y  2 log 2  log 3 ⇒ log x2  log y  log 22  log 3 ⇒ 
 ⇒ log 
x2
y
  log (22  3) ⇒ 
x2
y
  12 ⇒ x2  12y.
 Assim, o sistema proposto fica reduzido a 
2x2  y  75
x2  12y
 cujas soluções são (x  6 e y  3) ou (x  6 e y  3).
 (Note que x  6 não convém.)
 S  {(6, 3)}
 e) Devemos ter: x  0 e y  0. Da 1.a equação vem:
 2 x  y  512 ⇒ 2 x  y  29 ⇒ x  y  9.
 Da 2.a equação, aplicando as propriedades dos logaritmos, vem:
 log xy  1  log 2 ⇒ log xy  log 10  log 2 ⇒
 ⇒ log xy  log (10  2) ⇒ xy  20.
 Assim, o sistema proposto fica reduzido a x  y  9
xy  20
, cujassoluções são (x  25 e y  16) ou (x  16 e y  25).
 S  {(25, 16); (16, 25)}
275. Devemos ter x  y  0, x  y  0, x  0 e y  0 (I).
 Da 1.a equação segue que:
 2log 1
2
 (x  y)  5log
5 
(x  y) ⇒ 
1
2
1  log 1
2
 (x  y)
  5log
5 
(x  y) ⇒ 
 ⇒ 
1
2
 log 1
2
 (x  y) 1
  5log
5 
(x  y) ⇒ (x  y)1  x  y ⇒ x2  y2  1.
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83
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 Da 2.a equação vem:
 log
2
 x  log
2
 y  
1
2
 ⇒ log
2
 (x  y)  
1
2
 ⇒ xy  2
1
2  2
 Assim, o sistema proposto fica reduzido a 
x2  y2  1
xy  2
 cuja única solução é x  2 e y  1, pois deve satisfazer (I).
 S  {( 2 , 1)}.
277. a) Devemos ter x  0 e y  0. 
 Fazendo log x  a e log y  b, vem: 
3a  2b  0
4a  3b  17
 que resolvido fornece a  2 e b  3, isto é,
 (log x  2 e log y  3) ⇒ (x  102 e y  103).
 S  {(100, 1 000)}
 b) Devemos ter x  0 e y  0. 
 Fazendo log
2
 x  a e log
2
 y  b, vem 
2a  3b  27
5a  2b  1
 que resolvido dá a  3 e b  7. Então:
 (log
2
 x  3 e log
2
 y  7) ⇒ (x  23  8 e y  27  128).
 S  {(8, 128)}
278. Devemos ter x  0 e y  0. 
 Aplicando propriedades na 1.a equação, temos:
 log
2
 (xy)  log
2
 
x
y
  3 ⇒ (log
2
 x  log
2
 y)  (log
2
 x  log
2
 y)  3 ⇒ 
 ⇒ (log
2
 x)2  (log
2
 y)2  3.
 Então, o sistema proposto fica reduzido a 
(log
2
 x)2  (log
2
 y)2  3
(log
2
 x)2  (log
2
 y)2  5
 
 Somando membro a membro as equações acima, vem:
 (log
2
 x)2  1 ⇒ (log
2
 x  1 ou log
2
 x  1) ⇒ x  21  
1
2
 ou x  2 . 
 • Se x  
1
2
, na 1.a equação, segue que: 
 (log
2
 y)2  4 ⇒ (log
2
 y  2 ou log
2
 y  2) ⇒ y  
1
4
 ou y  4 .
 • Se x  2, na 1.a equação, temos novamente y  
1
4
 ou y  4.
 S  
1
2
, 
1
4
; 
1
2
, 4 ; 2, 
1
4
; (2; 4)
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84
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
280. a) Aplicando logaritmo de base 3 a ambos os membros, temos:
 9  xlog3 x  x3 ⇒ log
3
 (9  xlog3 x)  log
3
 x3 ⇒ 
 ⇒ log
3
 9  log
3
 xlog3 x  3 log
3
 x ⇒ 2  (log
3
 x)  (log
3
 x)  3 log
3
 x.
 Fazendo log
3
 x  t, vem:
 2  t2  3t ⇒ (t  1 ou t  2) ⇒ (log
3
 x  1 ou log
3
 x  2) ⇒ 
 ⇒ (x  3 ou x  9), que satisfazem a condição x  0.
 S  {3, 9}
 b) Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, temos:
 xlog x  100  x ⇒ log (xlog x)  log (100  x) ⇒ 
 ⇒ (log x)  (log x)  log 100  log x.
 Fazendo log x  t, vem:
 t  t  2  t ⇒ t2  t  2  0 ⇒ (t  1 ou t  2) ⇒ 
 ⇒ (log x  1 ou log x  2) ⇒ x  
1
10
 ou x  100 , que 
satisfazem a condição x  0. 
 S  
1
10
, 100
 c) A condição de existência do logaritmo é 0  x  1.
 Aplicando logaritmo de base x a ambos os membros, temos:
 16logx 2  8x ⇒ log
x
 (16logx 2)  log
x
 (8  x) ⇒ 
 ⇒ (log
x
 2)  (log
x
 16)  log
x
 8  log
x
 x ⇒ (log
x
 2)  (log
x
 24)  log
x
 23  1 ⇒ 
 ⇒ (log
x
 2)  4  log
x
 2  3  log
x
 2  1.
 Fazendo log
x
 2  t, temos:
 t  4t  3t  1 ⇒ t   
1
4
 ou t  1 ⇒ log
x
 2   
1
4
 ou log
x
 2  1 ⇒ 
 ⇒ x

1
4  2 ou x  2 ⇒ (x  161 ou x  2).
 S  2, 
1
16
 d) A condição de existência do logaritmo é: 0  x  1.
 Aplicando logaritmo de base x a ambos os membros, temos:
 9log x
3  27x ⇒ log
x
 (9log x
3)  log
x
 (27x) ⇒ 
 ⇒ (log
x
 3)  (log
x
 9)  log
x
 27  log
x
 x ⇒ 
 ⇒ (log
x
 3)  (2 log
x
 3)  3 log
x
 3  2.
 Fazendo log
x
 3  t, vem:
 2t2  3t  2 ⇒ t   
1
2
 ou t  2 ⇒ 
 ⇒ log
x
 3   
1
2
 ou log
x
 3  2 ⇒ x  
1
81
 ou x  3 .
 S  
1
81
, 3
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85
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 e) A condição de existência do logaritmo é: 0  x  1. Temos:
 32 logx 3  xlogx 3x ⇒ 3logx 3
2
  3x
 Aplicando logaritmo de base x a ambos os membros, vem:
 3logx 9  3x ⇒ log
x
 (3logx 9)  log
x
 (3x) ⇒ 
 ⇒ (log
x
 9)  (log
x
 3)  log
x
 3  log
x
 x ⇒ 2 log
x
 3  log
x
 3  log
x
 3  1.
 Fazendo log
x
 3  t, vem:
 2t2  t  1  0 ⇒ t   
1
2
 ou t  1 ⇒ 
 ⇒ log
x
 3   
1
2
 ou log
x
 3  1 ⇒ x  
1
9
 ou x  3 .
 S  
1
9
, 3
281. A condição de existência dos logaritmos é 0  x  1 e x  3 (I).
 Notemos inicialmente log
x
 x  
1
2
. Então, a equação proposta pode 
ser escrita como:
 2logx (x
2  6x  9)  3
2  
1
2  1
 ⇒ 2logx (x  3)
2
  1 ⇒ log
x
 (x  3)2  0 ⇒ 
 ⇒ (x  3)2  x0 ⇒ (x  3)2  1 ⇒ (x  3  1 ou x  3  1) ⇒ 
 ⇒ (x  2 ou x  4), que satisfazem (I).
 S  {2, 4}
282. a) A condição de existência dos logaritmos é x  0 (I). Temos:
 log (xlog x)  1 ⇒ (log x)  (log x)  1 ⇒ (log x)2  1 ⇒ 
 ⇒ (log x  1 ou log x  1) ⇒ x  
1
10
 ou x  10 , que satisfazem (I).
 S  
1
10
, 10
 b) A condição de existência dos logaritmos é 0  x  1 (I). Temos:
 xlog x  1  100 ⇒ log
x
 100  log x  1.
 Escrevendo log
x
 100 na base 10, temos:
 
log 100
log x
  log x  1 ⇒ 
2
log x
  log x  1.
 Fazendo log x  t, vem:
 
2
t
  t  1 ⇒ t2  t  2  0 ⇒ (t  1 ou t  2) ⇒ 
 ⇒ (log x  1 ou log x  2) ⇒ x  
1
10
 ou x  100 , que satisfazem (I).
 S  
1
10
, 100
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86
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 c) Temos:
 xlog x  10 ⇒ xlog x  100 ⇒ log
x
 100  log x ⇒ 
 ⇒ log
x
 100  
1
2
 log x.
 Escrevendo log
x
 100 em base 10, vem:
 
log 100
log x
  
1
2
 log x ⇒ 
2
log x
  
log x
2
 ⇒ (log x)2  4 ⇒ 
 ⇒ (log x  2 ou log x  2) ⇒ x  
1
100
 ou x  100 .
 Verificando x  
1
100
 , temos:
 
1
100
log 1
100  
1
100
1
  10.
 Verificando x  100, temos:
 100log 100  1001  10.
 S  
1
100
, 100
283. a) A condição de existência do logaritmo é: 0  x  1. Temos:
 x3 log2 x  
2
3
 log x  100  
3
10 ⇒ x3 log2 x  
2
3
 log x  10
7
3 ⇒ 
 ⇒ log
x
 10
7
3  3 log2 x  
2
3
 log x ⇒ 
7
3
 log
x
 10  3 log2 x  
2
3
 log x.
 Escrevendo log
x
 10 em base 10, vem:
 
7
3
  
log 10
log x
  3 log2 x  
2
3
 log x ⇒ 
7
3 log x
  3 log2 x  
2
3
 log x.
 Fazendo log x  t, vem:
 
7
3t
  3t2  
2t
3
 ⇒ 9t3  2t2  7  0 ⇒ 7t3  2t3  2t2  7  0.
 Fatorando por agrupamento, vem:
 7(t  1) (t2  t  1)  2t2(t  1)  0 ⇔
 ⇔ (t  1)(7t2  7t  7  2t2)  0 ⇒ (t  1)(9t2  7t  7)  0, 
donde t  1  0 ou 9t2  7t  7  0 ⇒ t  1.
 Daí, log x  1 ⇒ x  10, que é solução, pois satisfaz (I).
 S  {10}
 b) Notemos inicialmente que: log
2 2
 4  y ⇒ (2 2 )y  4 ⇒ y  
4
3
.
 Então:
  0
(t ∉ )
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87
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 xlog3
3 x  log
3
 x3  3
3  
4
3  8
 ⇒ x(log3 x)
3  3 log3 x  34 ⇒ 
 ⇒ log
x
 34  (log
3
 x)3  3 log
3
 x ⇒ 4 log
x
 3  (log
3
 x)3  3 log
3
 x
 Escrevendo log
x
 3 em base 3, vem:
 4  log
3
 3
log
3
 x
  (log
3
 x)3  3 log
3
 x.
 Fazendo log
3
 x  t, vem:
 4  
1
t
  t3  3t ⇒ t4  3t2  4  0 ⇒ (t  2 ou t  2) ⇒ 
 ⇒ (log
3
 x  2 ou log
3
 x  2) ⇒ x  
1
9
 ou x  9 .
 S  
1
9
, 9
 c) Devemos ter: 0  x  1.
 xlog2 x  3 log x  1  1 000 ⇒ log
x
 1 000  log2 x  3 log x  1.
 Escrevendo log
x
 1 000 em base 10, temos:
 log 1 000
log x
  log2 x  3 log x  1 ⇒ 3
log x
  (log x)2  3 log x  1.
 Fazendo log x  t, temos:
 
3
t
  t2  3t  1 ⇒ t3  3t2  t  3  0 ⇒ t2 (t  3)  (t 3)  0 ⇒ 
 ⇒ (t  3)(t2  1)  0 ⇒ (t  3  0 ou t2  1  0) ⇒ t  3.
 Daí, log x  3 ⇒ x  1 000.
 S  {1 000}
284. log
x
 (2  xx  2  1)  2x  4 ⇒ 2  xx  2  1  x2x  4 ⇒ 
 ⇒ 2  x x  2  1  x2  (x  2).
 Fazendo xx  2  t, vem:
 2  t  1  t2 ⇒ t2  2t  1  0 ⇒ (t  1)2  0 ⇒⇒ t  1, isto é, xx  2  1.
 Como 0  x  1, temos: x x  2  1 ⇒ x  2  0 ⇒ x  2.
 S  {2}
285. Devemos ter: 0  x  1.
 3  log
x
 
x4x  6  1
2
  2x ⇒ log
x
 
x4x  6  1
2
  2x  3 ⇒ 
 ⇒ 
x4x  6  1
2
  x2x  3 ⇒ 
x2  (2x  3)  1
2
  x2x  3
 Fazendo x 2x  3  t, vem:
(t ∉ )
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88
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 
t2  1
2
  t ⇒ t2  2t  1  0 ⇒ (t  1)2  0 ⇒ 
 ⇒ t  1 ⇒ x2x  3  1.
 Como 0  x  1, temos:
 x2x  3  1 ⇒ 2x  3  0 ⇒ x  
3
2
.
 S  
3
2
286. a) Devemos ter: x  0 e y  0.
 Aplicando a propriedade dos logaritmos à 2.a equação, temos:
 log
2
 x  log
2
 y  2 ⇒ log
2
 
x
y
  2 ⇒ 
x
y
  22 ⇒ x  4y.
 Então, o sistema proposto fica reduzido a 
x  y  16
x  4y
 donde y  2 (não convém) ou y  2 e x  8.
 S  {(8, 2)}
 b) Devemos ter 0  x  1 e y  0.
 Da 2.a equação temos:
 xlog2 y  64 ⇒ log 
x
 64  log
2
 y (I).
 Da 1.a equação vem y  
32
x
 (II).
 Substituindo (II) em (I), vem:
 log
x
 64  log
2
 
32
x
 ⇒ log
x
 64  log
2
 32  log
2
 x.
 Passando log
x
 64 para a base 2, vem:
 
log
2
 64
log
2
 x
  5  log
2
 x.
 Fazendo log
2
 x  t, vem:
 
6
t
  5  t ⇒ t2  5t  6  0 ⇒ (t  2 ou t  3) ⇒ 
 ⇒ (log
2
 x  2 ou log
2
 x  3) ⇒ (x  4 ou x  8).
 Se x  4, de (II), segue que y  8.
 Se x  8, de (II), segue que y  4.
 S  {(4, 8); (8, 4)}
 c) Devemos ter: 0  x  1 e y  0.
 Da 1.a equação temos:
 log
5
 x  3log3 y  7 ⇒ log
5
 x  y  7.
 Da 2.a equação temos:
 xy  512 ⇒ log
x
 512  y.
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89
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 Então, o sistema proposto fica reduzido a 
log
5
 x 1 y 5 7 (I)
y 5 log
x
 512 (II)
 Substituindo (II) em (I), vem:
 log
5
 x 1 log
x
 512 5 7 ⇒ log
5
 x 1 12 log
x
 5 5 7.
 Escrevendo log
x
 5 em base 5, vem:
 log
5
 x 1 12 ? log
5
 5
log
5
 x
 5 7.
 Fazendo log
5
 x 5 t, vem:
 t 1 12
t
 5 7 ⇒ t2 2 7t 1 12 5 0 ⇒ t 5 3 ou t 5 4, isto é,
 t 5 3 ⇔ log
5
 x 5 3 ⇒ x 5 53. Em (II): y 5 log
53 512 ⇒ y 5 4.
 t 5 4 ⇔ log
5
 x 5 4 ⇒ x 5 54. Em (II): y 5 log
54 512 ⇒ y 5 3.
 S 5 {(125, 4); (625, 3)}
288. a) A condição de existência dos logaritmos é x  6 (I).
Escrevendo log 1
3
 (x 2 6) em base 3 e aplicando propriedades 
dos logaritmos, vem:
 log
3
 (x 1 2) 2 log 1
3
 (x 2 6) 5 log
3
 (2x 2 5) ⇒ 
 ⇒ log
3
 (x 1 2) 2 
log
3
 (x 2 6)
log
3
 1
3
 5 log
3
 (2x 2 5) ⇒ 
 ⇒ log
3
 (x 1 2) 1 log
3
 (x 2 6) 5 log
3
 (2x 2 5) ⇒ 
 ⇒ log
3
 [(x 1 2) (x 2 6)] 5 log
3
 (2x 2 5) ⇒ (x 1 2) (x 2 6) 5 2x 2 5 ⇒ 
 ⇒ x2 2 6x 2 7 5 0 ⇒ (x 5 21 ou x 5 7).
 Apenas x 5 7 satisfaz (I).
 S 5 {7}
 b) A condição de existência dos logaritmos é 1  x  5 (I).
 Aplicando propriedades e escrevendo os logaritmos em base 2, vem:
 log
2
 (x 1 2) 1 log 1
2
 (5 2 x) 1 colog 1
2
 (x 2 1) 5 log
2
 (8 2 x) ⇒ 
 ⇒ log
2
 (x 1 2) 1 
log
2
 (5 2 x)
log
2
 1
2
 2 
log
2
 (x 2 1)
log
2
 1
2
 5 log
2
 (8 2 x) ⇒ 
 ⇒ log
2
 (x 1 2) 2 log
2
 (5 2 x) 1 log
2
 (x 2 1) 5 log
2
 (8 2 x) ⇒ 
 ⇒ log
2
  (x 1 2)(x 2 1)
5 2 x  5 log
2
 (8 2 x) ⇒ (x 1 2)(x 2 1)
5 2 x
 5 8 2 x ⇒
 ⇒ x 5 3, que é solução, pois satisfaz (I).
 S 5 {3}
 c) A condição de existência dos logaritmos é x  4 (I). 
 Aplicando propriedades e escrevendo os logaritmos em base 3, vem:
001-156-Manual-FME2.indd 89 01/08/13 10:10
90
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 log
3
 (x2  2x  2)  log 1
3
 (2x  1)  log
3
 (x  4) ⇒ 
 ⇒ log
3
 (x2  2x  2)  
log
3
 (2x  1)
log
3
 1
3
  log
3
 (x  4) ⇒ 
 ⇒ log
3
 (x2  2x  2)  log
3
 (2x  1)  log
3
 (x  4) ⇒ 
 ⇒ log
3
 
x2  2x  2
2x  1
  log
3
 (x  4) ⇒ 
 ⇒ 
x2  2x  2
2x  1
  x  4 ⇒ x2  5x  6  0 ⇒ x  1 ou x  6.
 Apenas x  6 satisfaz (I).
 S  {6}
290. a) Devemos ter x  0.
 Escrevendo log
9
 x em base 3, vem:
 log
3
2 x  5 log
9
 x  1  0 ⇒ (log
3
 x)2  5  
log
3
 x
log
3
 9
  1  0 ⇒ 
 ⇒ (log
3
 x)2  
5
2
 log
3
 x  1  0.
 Fazendo log
3
 x  t, temos:
 t2  
5
2
 t  1  0 ⇒ t  
1
2
 ou t  2 ⇒ 
 ⇒ log
3
 x  
1
2
 ou log
3
 x  2 ⇒ (x  3 ou x  9).
 S  { 3 , 9}
 b) Devemos ter x  0.
Aplicando propriedades dos logaritmos e passando-os para a 
base 2, vem:
 log
2
2 x  log
8
 x8  1 ⇒ (log
2
 x)2  8  log
8
 x  1 ⇒ 
 ⇒ (log
2
 x)2  8  
log
2
 x
log
2
 8
  1 ⇒ (log
2
 x)2  
8
3
 log
2
 x  1.
 Fazendo log
2
 x  t, vem:
 t2  
8
3
 t  1  0 ⇒ t   
1
3
 ou t  3 ⇒ 
 ⇒ log
2
 x   
1
3
 ou log
2
 x  3 ⇒ x  2

 
1
3 ou x  8 .
 S  
1
3
2
, 8
 c) Devemos ter x  0.
Aplicando propriedades dos logaritmos e escrevendo-os em base 
3, vem:
 log
3
2 x  2  log
9
 x2 ⇒ (log
3
 x)2  2  2 log
9
 x ⇒ 
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91
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 ⇒ (log
3
 x)2  2  2  
log
3
 x
log
3
 9
 ⇒ (log
3
 x)2  2  2  
log
3
 x
2
.
 Fazendo log
3
 x  t, vem:
 t2  2  t ⇒ (t  1 ou t  2) ⇒ (log
3
 x  1 ou log
3
 x  2) ⇒ 
 ⇒ x  
1
3
 ou x  9 .
 S  
1
3
, 9
291. a) Aplicando propriedades dos logaritmos e passando-os para a 
base 2, podemos escrever:
 log
2
 x4  4  log
4
 
2
x
  2 ⇒ 4  log
2
 x  4  log
4
 
2
x
 
1
2
  2 ⇒ 
 ⇒ 4 log
2
 x  2 log
4
 
2
x
  2 ⇒ 4 log
2
 x  2  (log
4
 2  log
4
 x)  2 ⇒ 
 ⇒ 4 log
2
 x  2 
1
2
  log
4
 x  2 ⇒
 ⇒ 4 log
2
 x  1  2  
log
2
 x
log
2
 4
  2 ⇒
 ⇒ 4 log
2
 x  1  log
2
 x  2
 Fazendo log
2
 x  t, vem: 4t  1  t  2 ⇒ 4t  1  t ⇒ 
 ⇒ t2  2t  1  0 ⇒ (t  1)2  0 ⇒ t  1 ⇒ log
2
 x  1 ⇒ x  2, 
 que de fato é solução, por verificação.
 S  {2}
 b) Escrevendo log
4
 x em base 2, vem:
 1  log
2
 x  4 log
4
 x  2  4 ⇒ 
 ⇒ 1  log
2
 x  
4  
log
2
 x
log
2
 4
  2
  4 ⇒ 
 ⇒ 1  log
2
 x  2  log
2
 x  2  4.
 Fazendo log
2
 x  t, vem:
 1  t  2t  2  4 ⇒ (t  99 ou t  3).
 Verificando t  99: 100  196  4 (F).
 Verificando t  3: 4  4  4 (V).
 Assim, t  3 ⇔ log
2
 x  3 ⇒ x  8, que é de fato solução, pois:
 1  log
2
 8  4  log
4
 8  2  4  4  4 (V)!
 S  {8}
292. 
1  log
2
 (x  4)
log
2
 ( x  3  x  3)
  1 ⇒ 
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92
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 ⇒ 1  log
2
 (x  4)  log
2
 ( x  3  x  3 ) ⇒ 
 ⇒ log
2
 2  log
2
 (x  4)  log
2
 ( x  3  x  3 ).
 Aplicando a propriedade dos logaritmos e escrevendo-os em base 2, vem:
 log
2
 [2  (x  4)]  
log
2
 ( x  3  x  3 )
log
2
 2
 ⇒
 ⇒ log
2
 (2x  8)  2 log
2
 ( x  3  x  3 ) ⇒ 
 ⇒ log
2
 (2x  8)  log
2
 ( x  3  x  3 )2 ⇒ 
 ⇒ 2x  8  ( x  3  x  3 )2 ⇒ (x  5 ou x  5).
 Como x  5 não convém, a única solução é x  5.
 S  {5}
293. a) Devemos ter y  0 e x  y. 
 Da 1.a equação, vem:
 log 1
2
 (y  x)  log
2
 1
y
  2 ⇒ 
log
2
 (y  x)
log
2
 
1
2
  log
2
 
1
y
  2 ⇒
 ⇒ log
2
 (y  x)  log
2
 
1
y
  2 ⇒ log
2
 
1
y
y  x
  2 ⇒ 
 ⇒ 
1
y
y  x
  22 ⇒ x  
y2  4
y
 (I). 
 Substituindo esse valor de x na 2.a equação, vem y2  4
y
2
  y 2  25.
 Fazendo y 2  t, segue que:
 (t  4)2
t
  t  25 ⇒ 2t2  33t  16  0 ⇒ t  16 ou t  1
2
 ⇒
 ⇒ y2  16 ou y2  
1
2
 y  4 ou y  
2
2
.
 Em (I), temos que:
 y  4 ⇒ x  
42  4
4
  3 e y  
2
2
 ⇒ 
 ⇒ x  
2
2
2
 
 4
2
2
  
7 2
2
 
 S  (3, 4); 
7 2
2
 , 2
2
 b) Devemos ter y  2 e x2  2y2  10y  7  0 (I).
 Da 1.a equação, vem:
 log
9
 ( x2  1)  log3 (y  2)  0 ⇒ 
log
3
 (x2  1)
log
3
 9
  log
3
 (y  2) ⇒
y  0
001-156-Manual-FME2.indd 92 23/07/13 16:16
93
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR |MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 ⇒ log
3
 (x2  1)  2 log
3
 (y  2) ⇒ log
3
 (x2  1)  log
3
 (y  2)2 ⇒
 ⇒ x2  1  (y  2)2 ⇒ x2  y2  4y  3 (II).
 De 2.a equação vem:
 log
2
 (x2  2y2  10y  7)  2 ⇒ x2  2y2  10y  7  22.
 Por (II): (y2  4y  3)  2y2  10y  7  4  0 ⇒ y2  6y  8  0 ⇒ 
 ⇒ y  2, que não convém, pois não satisfaz (I), ou y  4. 
 Substituindo y  4 em (II), temos:
 x2  42  4  4  3 ⇒ x   3 ou x  3 .
 S  {( 3 ,4); ( 3 ,4)}
 c) Devemos ter x  y  0 e x  y  0 (I). 
 Da 1.a equação temos que:
 log
9
 (x2  2)  log
81
 (y2  9)  2 ⇒ log
9
 (x2  2)  
log
9
 (y2  9)
log
9
 81
  2 ⇒ 
 ⇒ log
9
 (x2  2)  
1
2
 log
9
 (y2  9)  2 ⇒ 
 ⇒ log
9
 (x2  2)  (y2  9)
1
2  2 ⇒ (x2  2)  (y2  9)
1
2  81 (II). 
 Da 2.a equação temos que:
 2  log
4
 (x  y)  log
2
 (x  y ) ⇒ 2  
log
2
 (x  y)
log
2
 4
  log
2
 (x  y) ⇒ 
 ⇒ x  y  x  y ⇒ y  0.
 Substituindo y  0 em (II), vem:
 (x2  2)  9
1
2  81 ⇒ x  5 ou x  5.
 x  5 e y  0 não satisfazem (I).
 x  5 e y  0 satisfazem (I).
 S  {(5, 0)}
 d) Da 1.a equação vem:
 log
3
 (log
2
 x)  log 1
3
 log 1
2
 y  1 ⇒ 
 ⇒ log
3
 (log
2
 x)  
log
3
 log 1
2
 y
log
3
 
1
3
  1 ⇒ 
 ⇒ log
3
 (log
2
 x)  log
3
 log 1
2
 y  1 ⇒ log
3
 log
2
 x
log 1
2
 y
  1 ⇒ 
 ⇒ log
2
 x
log 1
2
 y
  3 ⇒ log
2
 x  3 log 1
2
 y (I).
Da 2.a equação, aplicando logaritmo de base 2 a ambos os mem-
bros, vem:
 xy2  4 ⇒ log
2
 (x  y2)  log
2
 4 ⇒ log
2
 x  log
2
 y2  2 ⇒ 
 ⇒ log
2
 x  2 log
2
 y  2. 
001-156-Manual-FME2.indd 93 23/07/13 16:16
94
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 Por (I), podemos escrever:
 3  log 1
2
 y  2 log
2
 y  2 ⇒ 3  log
2
 y
log
2
 
1
2
  2 log
2
 y  2 ⇒
 ⇒ 3 log
2
 y  2 log
2
 y  2 ⇒ log
2
 y  2 ⇒ y  
1
4
.
 Substituindo y  
1
4
 em (I) segue que:
 log
2
 x  3  log 1
2
 
1
4
 ⇒ log
2
 x  6 ⇒ x  26  64.
 S  64, 
1
4
 e) Devemos ter: x  0 e y  0.
 Escrevendo os logaritmos das duas equações em base 2, vem:
 
log
2
 x  log
4
 y  a
log
4
 x  log
8
 y  b
  
log
2
 x  
log
2
 y
log
2
 4
  a
log
2
 x
log
2
 4
  
log
2
 y
log
2
 8
  b
 ⇔
 ⇔ 
log
2
 x  
1
2
 log
2
 y  a (I)
1
2
 log
2
 x  
1
3
 log
2
 y  b
 Somando à 2.a equação a 1.a multiplicada por  
1
2
 , vem:
 
1
4
  
1
3
 log
2
 y   
a
2
  b ⇒ 
1
12
 log
2
 y  
a  2b
2
 ⇒
 ⇒ log
2
 y  6a  12b ⇒ y  26a  12b.
 Substituindo y  26a  12b em (I), segue que:
 log
2
 x  
1
2
 log
2
 26a  12b  a ⇒ log
2
 x  
1
2
  (6a  12b)  a ⇒
 ⇒ log
2
 x  4a  6b ⇒ x  24a  6b.
 S  {(24a  6b, 26a  12b)}
295. Escrevendo log
16
 (x  3) em base 4, vem:
 log
4
 (x  3)  log
16
 (x  3)  1 ⇒ log
4
 (x  3)  
log
4
 (x  3)
log
4
 16
  1.
 Fazendo log
4
 (x  3)  t, vem:
 t  
t
2
  1 ⇒ t  2, isto é, log
4
 (x  3)  2 ⇒ x  3  42 ⇒ x  19,
001-156-Manual-FME2.indd 94 23/07/13 16:16
95
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 que é solução, pois satisfaz a condição x  3.
 S  {19}
296. A equação x2  x  (log
b
 a)  2 log
a
 b  0 tem duas raízes reais e 
iguais se, e somente se, D  0, isto é,
 (log 
b
 a)2  4  2 log
a
 b  0 ⇒ (log
b
 a)2  8 log
a
 b  0.
 Lembrando que log
a
 b  
1
log
b
 a
, temos: (log
b
 a)2  8 
1
log
b
 a
  0.
 Fazendo log
b
 a  t, vem:
 t2  
8
t
  0 ⇒ t  2, isto é, log
b
 a  2 ⇒ a  b2.
297. A condição de existência dessa equação é: 0  x  1.
 Notemos inicialmente que:
 log x x
2  y ⇒ ( x )
y
  x2 ⇒ y  4 e log
x
 2  
1
log
2
 x
.
 Então, temos:
 log
2
 x  log x x
2  log
x
 2 ⇒ log
2
 x  4  
1
log
2
 x
.
 Fazendo log
2
 x  t, temos:
 t  4  
1
t
 ⇒ t2  4t  1  0 ⇒ t  2  5 ou t  2  5,
 isto é, log
2
 x  2  5 ou log
2
 x  2  5 ⇒ x  22  5 ou x  22  5.
 S  {22  5, 22  5}
298. Como sabemos, log
a2 x  
1
log
X
 a2
  
1
2 log
X
 a
.
 Escrevendo log
x 2
 a em base x, vem:
 log
x 2
 a  
log
x
 a
log
X
 x2  
log
x
 a
2
.
 Então, temos:
 log
a2 x  log
x 2
 a  1 ⇒ 
1
2 log
x
 a
  
log
x
 a
2
  1.
 Fazendo log
x
 a  t, temos:
 
1
2t
  
t
2
  1 ⇒ t2  2t  1  0 ⇒ (t  1)2  0 ⇒ t  1 ⇒
 ⇒ log
x
 a  1 ⇒ x  a.
299. A condição de existência dessa equação é 0  x  1 (I).
 Expressando log
(x  1)
 x em base x, temos:
 log
x
 (x  1)  log
(x  1)
 x ⇒ log
x
 (x  1)  
log
x
 x
log
x
 (x  1)
 ⇒
 ⇒ log
x
 (x  1)  
1
log
x
 (x  1)
 ⇒
001-156-Manual-FME2.indd 95 23/07/13 16:16
96
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 ⇒ (log
x
 (x  1))2  1 ⇒ log
x
 (x  1)  1 ou log
x
 (x  1)  1.
 Se log
x
 (x  1)  1 ⇒ x1  x  1 ⇒ x  
1  5
2
, que não 
 convém, pois não satisfaz (I), ou x  
1  5
2
 (satisfaz (I)).
 Se log
x
 (x  1)  1 ⇒ x  1  x ⇒ 0  1, absurdo!
 S  1  5
2
300. a) Devemos ter: 0  x  1.
 log
2
 x  log
x
 2 ⇒ log
2
 x  
log
2
 2
log
2
 x
 ⇒ (log
2
 x)2  1 ⇒ 
 ⇒ (log
2
 x  1 ou log
2
 x  1) ⇒ x  
1
2
 ou x  2 .
 S  
1
2
, 2
 b) Devemos ter: 0  x  1.
 log
3
 x  1  log
x
 9 ⇒ log
3
 x  1  
log
3
 9
log
3
 x
.
 Fazendo log
3
 x  t, vem:
 t  1  
2
t
 ⇒ t2  t  2  0 ⇒ (t  1 ou t  2) ⇒ 
 ⇒ (log
3
 x  1 ou log
3
 x  2) ⇒ x  
1
3
 ou x  9 .
 S  
1
3
, 9
 c) Devemos ter: 0  x  1.
 log
2
 x  8 log
x2 2  3 ⇒ log
2
 x  8  
log
2
 2
log
2
 x2  3 ⇒ 
 ⇒ log
2
 x  
8
2 log
2
 x
  3.
 Fazendo log
2
 x  t, vem:
 t  
8
2t
  3 ⇒ 2t2  6t  8  0 ⇒ (t  4 ou t  1) ⇒ 
 ⇒ (log
2
 x  4 ou log
2
 x  1) ⇒ x  16 ou x  
1
2
.
 S  
1
2
, 16
001-156-Manual-FME2.indd 96 23/07/13 16:16
97
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 d) Devemos ter: 0  x  1.
 log x 2  4  2 log
4
 x  9  0 ⇒ 
log
2
 2
log
2
 x
  8  
log
2
 x
log
2
 4
  9  0 ⇒
 ⇒ 
1
log
2
 x
1
2
  4 log
2
 x  9  0 ⇒ 
1
1
2
 log
2
 x
  4 log
2
 x  9  0.
 Fazendo log
2
 x  t, vem:
 
2
t
  4t  9  0 ⇒ 4t2  9t  2  0 ⇒ t   
1
4
 ou t  2 ⇒
 ⇒ log
2
 x   
1
4
 ou log
2
 x  2 ⇒ x  
1
4
2
 ou x  
1
4
.
 S  
1
4
2
, 
1
4
301. a) Notemos inicialmente que:
 log 5 5 5  y ⇒ ( 5 )
y
  5 5 ⇒ 5
y
2  5
3
2 ⇒ y  3.
 Então: log 5 x  log
x
 5 5  log 5 5 5   6 ⇒ 
 ⇒ log 5 x  log
x
 5 5  3   6 ⇒
 ⇒ log 5 x  
log 5 5 5
log 5 x
  3   6 .
 Fazendo log 5 x  t, vem:
 t  
3
t
  3   6 ⇒ t2  t  2  0 ⇒ (t  1 ou t  2).
 t  1 não é solução da equação irracional, pois 
 1  
3
1
  3   6 . (F)
 t  2 é solução da equação irracional, pois
 (2)  3
3
2
   6 . (V)
 Assim, t  2 ⇒ log 5 x  2 ⇒ x  ( 5 )
2
  
1
5
.
 S  
1
5
 b) Escrevendo log
x
 27 em base 3, vem: 
 1  log
x
 27  log
3
 x  1  0 ⇒ 
log
3
 27
log
3
 x
1   log
3
 x  1  0.
 Fazendo log
3
 x  t e lembrando que log
3
 27  
3
2
 , vem:
 1  
3
2t
  t  1  0 ⇒ t2  
3
2
 t  1  0 ⇒ t  2 ou t  
1
2
.
 t  2 é solução da equação irracional, pois:
 1  
3
2(2)
  (2)  1  0. (V)
001-156-Manual-FME2.indd 97 23/07/13 16:16
98
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 t  
1
2
 não é solução da equação irracional, pois:
 
1  
3
2  1
2
  
1
2
  1  0. (F)
 Daí, t  2 ⇒ log
3
 x  2 ⇒ x  
1
9
.
 S  
1
9
302. Devemos ter 0  x  10 e x  1 (I).
 1  2 log
x
 2  log
4
 (10  x)  
2
log
4
 x
 ⇒
 ⇒ 1  2  
log
4
 2
log
4
 x
  log
4
 (10  x)  
2
log
4
 x
.
 Fazendo log
4
 x  a e log
4
 (10  x)  b (II), temos:
 1  2  
1
2
a
  b  
2
a
 ⇒ a  b  2 ⇒ a  2  b (III).
 De (II) segue que: 
4a  x
4b  10  x
 Utilizando(III) na 1ª. equação, vem:
 42  b  x ⇔ 
42
4b
  x ⇒ 
16
10  x
  x ⇒ x2  10x  16  0 ⇒
 ⇒ (x  2 ou x  8), que são soluções, pois satisfazem (I).
 S  {2, 8}
303. a) Devemos ter 0  x  1 e 0  y  1.
Como log
y
 x  
1
log
x
 y
, temos na 1ª. equação:
log
y
 x  log
x
 y  
5
2
 ⇒ 
1
log
x
 y
  log
x
 y  
5
2
 (I).
Aplicando logaritmo de base x à 2ª. equação, vem: 
xy  8 ⇒ log
x
 (x  y)  log
x
 8 ⇒ 1  log
x
 y  log
x
 8 ⇒
⇒ log
x
 y  log
x
 8  1 (II).
Substituindo (II) em (I), temos: 
1
log
x
 8  1
  log
x
 8  1  
5
2
.
Fazendo log
x
 8  t, vem:
1
t  1
  t  1  
5
2
 ⇒ 2t2  9t  9  0 ⇒ t  3 ou t  
3
2
.
Se t  3, log
x
 8  3 ⇒ x3  8 ⇒ x  2.
Em (II): log
2
 y  log
2
 8  1 ⇒ log
2
 y  2 ⇒ y  4.
Se t  
3
2
, log
x
 8  
3
2
 ⇒ x  4.
001-156-Manual-FME2.indd 98 23/07/13 16:16
99
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 Em (II): log
4
 y  log
4
 8  1 ⇒ log
4
 y  
1
2
 ⇒ y  2.
 S  {(2, 4); (4, 2)}
 b) Devemos ter: 0  x  1 e 0  y  1.
 Expressando os logaritmos da 1ª. equação em base x, vem:
 3  log
y2 x  log 1
x
 y  10 ⇒ 3  2  
log
x
 x
log
x
 y2  
log
x
 y
log
x
 1
x
  10 ⇒
 ⇒ 3  
2
2 log
x
 y
  log
x
 y  10 ⇒ 
1
log
x
 y
  log
x
 y  
10
3
 (I).
 Aplicando logaritmo de base x a ambos os membros da 2ª. equa-
ção, temos:
 xy  81 ⇒ log
x
 (xy)  log
x
 81 ⇒ 1  log
x
 y  log
x
 81 ⇒
 ⇒ log
x
 y  log
x
 81  1 (II).
 Substituindo (II) em (I), vem:
 
1
log
x
 81  1
  log
x
 81  1  
10
3
.
 Fazendo log
x
 81  t, temos:
 
1
t  1
  t  1  
10
3
 ⇒ 3t2  16t  16  0 ⇒ t  4 ou t  
4
3
.
 1ª. possibilidade: t  4
 Temos: log
x
 81  4 ⇒ x4  81 ⇒ x  3 (não convém) ou x  3.
 Se x  3, em (II), temos: log
3
 y  log
3
 81  1 ⇒ y  33  27.
 2a. possibilidade: t  
4
3
 Temos: log
x
 81  
4
3
 ⇒ x  27. Se x  27, em (II) temos:
 log
27
 y  log
27
 81  1 ⇒ log
27
 y  
1
3
 ⇒ y  3.
 S  {(3, 27), (27, 3)}
304. Devemos ter 
4  x  0
x  3  0
⇒ 3  x  4. 
 Expressando os logaritmos em base 2, temos:
 log
6
 (x  3)  
log
2
 (x  3)
log
2
 6
; log
0,25
 (4  x)  
log
2
 (4  x)
log
2
 0,25
  
   
1
2
 log
2
 (4  x).
 Então, voltando à equação, temos:
 
1
log
6
 (x  3)
  
2 log 
0,25
 (4  x)
log
2
 (x  3)
  1 ⇒
 ⇒ 
log
2
 6
log
2
 (x  3)
  
2 
1
2
 log
2
 (4  x)
log
2
 (x  3)
  1 ⇒
001-156-Manual-FME2.indd 99 23/07/13 16:16
100
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 ⇒ 
log
2
 6  log
2
 (4  x)
log
2
 (x  3)
  1 (*) ⇒ log
2
 
6
4  x
  log
2
 (x  3) ⇒
 ⇒ 
6
4  x
  x  3 ⇒ x2 
 x  6  0 ⇒ (x  2 ou x  3).
 Notemos, porém, que x  2 não convém, pois x  2 anula o 
denominador de (*).
 Logo, a única solução da equação é x  3.
 S  {3}
306. a) log
x
 3  log x
3
 3  log x
81
 3  0 ⇒ 
1
log
3
 x
  
1
log
3
 x
3
  
1
log
3
 x
81
  0 ⇒
 ⇒ 
1
log
3
 x
  
1
log
3
 x  1
  
1
log
3
 x  4
  0.
 Fazendo log
3
 x  t, vem:
 
1
t 
  
1
t  1
  
1
t 4
  0 ⇒ t2  4  0 ⇒ (t  2 ou t  2) ⇒
 ⇒ (log
3
 x  2 ou log
3
 x  2) ⇒ x  9 ou x  
1
9 
.
 S  9, 
1
9 
 b) log
3x
 
3
x 
  log
3
 27x2  5 ⇒ 
log
3
 
3
x 
log
3
 3x
  log
3
 27x2  5 ⇒
 ⇒ 
1  log
3
 x
1  log
3
 x
  (3  2  log
3
 x)  5
 Fazendo log
3
 x  t, vem:
 
1  t
1  t
  (3  2t)  5 ⇒ (1  t)  (3  2t)(1  t)  5 (1  t) ⇒
 ⇒ 2t2  t 1  0 ⇒ t  1 ou t   
1
2 
 ⇒
 ⇒ log
3
 x  1 ou log
3
 x   
1
2 
 ⇒ x  3 ou x  
1
3 
  
3
3
.
 S  3, 
3
3
 c) Expressando os logaritmos em base 2, vem:
 log
x
 8  
log
2
 8
log
2
 x
  
3
log
2
 x
; log
2x
 8  
log
2
 8
log
2
 2x
  
3
1  log
2
 x
;
 log
4x
 8  
log
2
 8
log
2
 4x
  
3
2  log
2
 x
.
001-156-Manual-FME2.indd 100 23/07/13 16:16
101
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 Temos:
 
1
log
x
 8
  
1
log
2x
 8
  
1
log
4x
 8
  2 ⇒
 ⇒ 
1
3
log
2
 x
  
1
3
1  log
2
 x
  
1
3
2  log
2
 x
  2
 Fazendo log
2
 x  t, vem:
 
t
3
  
1  t
3
  
2  t
3
  2 ⇒ t  1 ⇒ log
2
 x  1 ⇒ x  2, que 
 é, de fato, solução.
 S  {2}
 d) Notemos que x  1 é solução particular da equação.
 Expressando os logaritmos em base x, vem:
 log x
2
 x2  14  log
16x
 x3  40  log
4x
 x  0 ⇒
 ⇒ 2 log x
2
 x  42  log
16x 
x  20  log
4x
 x  0 ⇒
 ⇒ 2  
log
x
 x
log
x
 x
2
  42  
log
x
 x
log
x
 (16x)
  20  
log
x
 x
log
x
 4x
  0 ⇒
 ⇒ 
2
1  log
x
 2
  
42
log
x
 24  1
  
20
log
x
 22  1
  0 ⇒
 ⇒ 
2
1  log
x
 2
  
42
4 log
x
 2  1
  
20
2 log
2
 x  1
  0.
 Fazendo log
x
 2  t, vem:
 
2
1  t
  
42
4t  1
  
20
2t  1
  0 ⇒
 
1
1  t
  
10
2t  1
  
21
4t  1
 ⇒ 2t2  3t  2  0 ⇒
 ⇒ t  
1
2
 ou t  2 , isto é,
 log
x
 2  
1
2
 ⇒ x  2 ⇒ x  4 ou
 log
x
 2  2 ⇒ 
1
x2
  2 ⇒ x   
1
2
.
 Como x   
1
2
 não convém, x  
1
2
.
 S  1, 4, 
1
2
001-156-Manual-FME2.indd 101 23/07/13 16:16
102
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
307. Como log 1
1  x
 10  
1
log 
1
1  x
, podemos escrever:
 
1
log 
1
1  x
  log (x2  3x  2)  2  
1
log 
1
1  x
  log (x  3) ⇒
 ⇒ 
log (x2  3x  2)
log 
1
1  x
  
log (x  3)
log 
1
1  x
  2 ⇒
 ⇒ 
log 
x2  3x  2
x  3
log 
1
1  x
  2 ⇒ log 
x2  3x  2
x 3
  2 log 
1
1  x
 ⇒
 ⇒ log 
x2  3x  2
x  3
  log 
1
1  x
 2
⇒ log 
x2  3x  2
x  3
  log (1  x) ⇒
 ⇒ 
x2  3x  2
x  3
  1  x ⇒ x  5.
 S  {5}
308. Lembrando que aloga b  b, temos:
 xlog2
2
 x
2
  log2 (2x)  2  (x  2)2 
log(x  2)2 4
 
1
2
  3 ⇒
 ⇒ x(2 log
2
 x)2  [log
2
 2  log
2
 x]  2  4
1
2  3 ⇒
 ⇒ x(2 log
2
 x)2  log
2
 x  3  1
 Notando que x  1 é solução particular dessa equação exponencial, 
para x  1 temos:
 (2 log
2
 x)2  log
2
 x  3  0.
 Fazendo log
2
 x  t, vem:
 4t2  t  3  0 ⇒ t   
3
4
 ou t  1, isto é,
 log
2
 x   
3
4
 ou log
2
 x  1 ⇒ x  2

3
4 ou x  2.
 S  1, 2

3
4 , 2
309. a) log
a
 (ax)  log
x
 (ax)  log
a2
 
1
a
 ⇒ log
a
 (ax)  
loga (ax)
log
a
 x
   
1
2
 ⇒
 ⇒ (log
a
 x  1)  
(1  loga x)
log
a
 x
   
1
2
 
001-156-Manual-FME2.indd 102 23/07/13 16:16
103
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 Fazendo log
a
 x  t, vem:
 (t  1)  
(1  t)
t
  
1
2
 ⇒ 2t2  5t  2  0 ⇒ t   
1
2
 ou t  2 ⇒
 ⇒ log
a
 x   
1
2
 ou log
a
 x  2 ⇒ x  a
 
1
2 ou x  a2 .
 S  a
 
1
2 , a2
 b) 2 log
x
 a  log
ax
 a  3 log
a2x
 a  0 ⇒
 ⇒ 2 log
x
 a  
log
x
 a
log
x
 (ax)
  3  
log
x
 a
log
x
 (a2  x)
  0 ⇒
 ⇒ 2 log
x
 a  
log
x
 a
1  log
x
 a
  3  
log
x
 a
1  2 log
x
 a
  0
 Fazendo log
x
 a  t, vem:
 2t  
t
1  t
  
3t
1  2t
  0 ⇒ 4t3  11t2  6t  0 ⇒
 ⇒ t(4t2  11t  6)  0.
 1ª. possibilidade: t  0, isto é, log
x
 a  0 ⇒ a  1, o que é 
impossível por hipótese.
 2ª. possibilidade: 4t2  11t  6  0 ⇒ (t  2 ou t   
3
4
). Daí,
 t  2, log
x
 a  2 ⇒ x2  a ⇒ x  a
 
1
2
 ou t   
3
4
, log
x
 a   
3
4
 ⇒ x
 
3
4  a ⇒ x  a
 
4
3
 S  a
 
1
2 , a
 
4
3
 c) Como log
a
 x  
1
log
x
 a
, podemos escrever:
 log
x
 (ax)  
1
log
x
 a
  1  log
x
 a ⇒ 
 ⇒ (log
x
 a  1)  
1
log
x
 a
  1  log
x
 a
1
2 ⇒
 ⇒ (log
x
 a  1)  
1
log
x
 a
  1  
1
2
 log
x
 a.
 Fazendo log
x
 a  t, vem:
 (t  1)  
1
t
  1  
t
2
 ⇒ 
t  1
t
  
2  t
2
 ⇒
 ⇒ t2  2  0 ⇒ (t   2 ou t  2 ).
 Se t   2 , log
x
 a   2 ⇒ a  x 2 ⇒ x  a

1
2.
 ou
001-156-Manual-FME2.indd 103 23/07/13 16:16
104
MANUAL | COMPLEMENTO PARAO PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 Se t  2 , log
x
 a  2 ⇒ a  x 2 ⇒ x  a
1
2.
 S  a

1
2, a
1
2
 d) Expressando os logaritmos em base x, 0  x  1, vem:
 log
a2 x
 a  
log
x
 a
log
x
 (a2 x )
  
log
x
 a
log
x
 a2  log
x
 x
  
log
x
 a
2log
x
 a  
1
2
 log
2x
 a  
log
x
 a
log
x
 (2x)
  
log
x
 a
1  log
x
 2
; a  0 e 0  x  
1
2
 (*).
 log
ax
 a  
log
x
 a
log
x
 (ax)
  
log
x
 a
1  log
x
 a
 log 1
a
 2x  
log
x
 (2x)
log
x
 1
a
  
log
x
 2  1
 log
x
 a
.
 Fazendo log
x
 a  m e log
x
 2  n, a equação pode ser reescrita 
como:
 
m
2m  
1
2
m
1  n
  
m
1  m
  
n  1
 m
  0 ⇒ 
1  n
2m  
1
2
  
n  1
m  1
  0 ⇒
 ⇒ (n  1) 
1
2m  
1
2
  
1
m  1
  0
 1ª. possibilidade: n  1  0 ⇒ n  1 ⇒ log
x
 2  1 ⇒ x  
1
2
,
 não convém, pois não satisfaz (*).
 2ª. possibilidade: 
1
2m  
1
2
  
1
m  1
  0 ⇒ m  
1
2
 ⇒
 ⇒ log
x
 a  
1
2
 ⇒ x 
1
2  a ⇒ x  a2.
 S  {a2}
310. Expressando os logaritmos em base 2, temos:
 
log
2
 x
log2
2
 a
  2 
log
a
 x
log 1
b
 a
  log 3
a
 x  log
a
 x ⇒
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105
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 ⇒ 
log
2
 x
log2
2
 a
  2  
log
2
 x
log
2
 a
log
2
 a
log
2
 
1
b
  
log
2
 x
log
2
 
3
a
  
log
2
 x
log
2
 a
 ⇒
 ⇒ 
log
2
 x
(log
2
 a)2
  2  
log
2
 x  log
2
 b
(log
2
 a)2
  3  
(log
2
 x)2
(log
2
 a)2
 ⇒
 ⇒ log
2
 x  2  log
2
 x  log
2
 b  3(log
2
 x)2
 Fazendo log
2
 x  t, vem:
 t  2t  log
2
 b  3t2 ⇒ 3t2  t  2t log
2
 b  0 ⇒
 ⇒ t(3t  1  2 log
2
 b)  0 ⇒ t  0 ou 3t  1  2 log
2
 b  0.
 1ª. possibilidade: t  0
 t  0 ⇒ log
2
 x  0 ⇒ x  1
 2ª. possibilidade: 3t  1  2 log
2
 b  0 ⇒ t  
1  2 log
2
 b
3
. Daí, 
 log
2
 x  
1  2 log
2
 b
3
 ⇒ 3 log
2
 x  1  2 log
2
 b ⇒
 ⇒ 3 log
2
 x  log
2
 2  log
2
 b2 ⇒ log
2
 x3  log
2
 (2  b2) ⇒ x3  2b2 ⇒
 ⇒ x  
3
2b2 .
 S  {1, 
3
2b2 }
311. Devemos ter: x  0.
 Expressando os logaritmos em base 2, vem:
 log
2
 x  log
3
 x  log
4
 x  1 ⇒ log
2
 x  
log
2
 x
log
2
 3
  
log
2
 x
log
2
 4
  1.
 Fazendo log
2
 x  t, temos:
 t  
t
log
2
 3
  
t
2
  1 ⇒ t 1  
1
log
2
 3
  
1
2
  1 ⇒
 ⇒ t  
2 log
2
 3  2  log
2
 3
2 log
2
 3
  1 ⇒ 
 ⇒ t  (2 log
2
 3  2  log
2
 3)  2 log
2
 3 ⇒
 ⇒ t  (log
2
 32  log
2
 4  log
2
 3)  log
2
 32 ⇒ t [log
2
 (32  4  3)]  log
2
 9 ⇒
 ⇒ t  
log
2
 9
log
2
 108
  log
108
 9.
 Então,
 log
2
 x  log
108
 9 ⇒ x  2log
108
 9.
 S  {2log
108
 9}
312. 10loga (x
2 3x  5)  3loga 10 ⇒ log
10
 3loga 10  log
a
 (x2  3x  5) ⇒
001-156-Manual-FME2.indd 105 23/07/13 16:16
106
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 ⇒ log
a
 10  log
10
 3  log
a
 (x2  3x  5) ⇒ 
 ⇒ log
10
 3  
log
a
 (x2  3x  5)
log
a
 10
 ⇒ log
10
 3  log
10
 (x2  3x  5) ⇒ 
 ⇒ x2  3x  5  3 ⇒ (x  1 ou x  2).
 S  {1, 2}
313. Escrevendo os logaritmos em base 10, temos:
 1  
log (a  x)
log (x  b)
  
2  log
(a  b)
 4
log
(a  b)
 (x  b)
 ⇒ 1  
log (a  x)
log (x  b)
 
  
2  
log
 
4
log (a  b)
log (x  b)
log (a  b)
 ⇒ 
log (x  b)  log (a  x)
log (x  b)
 
  
2 log (a  b)  log 4
log (a  b)
log (x  b)
log (a  b)
 ⇒ 
log [(x  b)  (a  x)]
log (x  b)
 
  
log 
(a  b)2
4
log (x  b)
 
x  (1  b)
 log [(x  b)(a  x)]  log 
(a  b)2
4
 ⇒ 
 ⇒ (x  b)(a  x)  
(a  b)2
4
 ⇒
 ⇒ 4x2  4x (a  b)  (a2  6ab  b2)  0, cujo discriminante é:
 D  [4(a  b)]2  4  4  (a2  6ab  b2)
 D  64ab
 Logo,
 x  
4a  4b  8 ab
8
, donde x  
a  b
2
  ab ou x  
a  b
2
  ab.
 S  
a  b
2
  ab ; 
a  b
2
  ab
314. a) Expressando os logaritmos da 2ª. equação em base 2, vem:
 log 
y2 2  log
xy
 4 ⇒ 
log
2
 2
log
2
 y2
  
log
2
 4
log
2
 (xy)
 ⇒
 ⇒ 
1
2 log
2
 y
  
2
log
2
 x  log
2
 y
 ⇒ 4 log
2
 y  log
2
 x  log
2
 y ⇒
 ⇒ 3 log
2
 y  log
2
 x  log
2
 y3  log
2
 x ⇒ x  y3 (I).
 Substituindo (I) na 1ª. equação, vem:
 x2  4y3  96 ⇒ x2  4  x  96  0 ⇒ x  12 ou x  8.
 Se x  12, em (I), vem: y3  12 ⇒ y  
3
12.
 Se x  8, em (I), vem: y3  8 ⇒ y  2.
 S  {(12, 
3
12); (8, 2)}
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107
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 b) Da 2ª. equação vem:
 log
4
 y  log
y
 (y  3x)  1 ⇒ 
1
log
y
 4
  log
y
 (y  3x)  1 ⇒
 ⇒ log
y
 (y  3x)  log
y
 4 ⇒ y  3x  4 (I).
 Aplicando logaritmo de base y a ambos os membros da 1a. 
equação, vem:
 y  xlogy x  x
5
2 ⇒ log
y
 (y  xlogy x)  log
y
 x
5
2 ⇒
 ⇒ 1  (log
y
 x)  (log
y
 x)  
5
2
 (log
y
 x).
 Fazendo log
y
 x  t, vem:
 1  t2  
5t
2
 ⇒ t  
1
2
 ou t  2 , isto é,
 log
y
 x  
1
2
 ou log
y
 x  2 ⇒ x  y ou x  y2 (II).
 Substituindo (II) em (I), temos:
 1º. caso: x  y e y  3x  4 ⇒ y  3 y  4 ⇒ y  1 (não 
convém, pois y é base do sistema de logaritmo) ou y  16.
 Se y  16, x  16  4.
 2º. caso: x  y2 e y  3x  4 ⇒ y  3y2  4 ⇒ 3y2  y  4  0,
 que não apresenta raízes reais.
 S  {(4, 16)}
 c) Escrevendo os logaritmos da 1ª. equação em base y (0  y  1), 
vem:
 x  log
2
 y  log 1
x
 2  y y  (1  log
x
 2) ⇒
 ⇒ x  
log
y
 y
log
y
 2
  
log
y
 2
log
y
 
1
x
  y
3
2  1  
log
y
 2
log
y
 x
 ⇒
 ⇒ 
x
log
y
 x
  y
3
2  
(log
y
 x  log
y
 2)
log
y
 x
 (I).
 Escrevendo os logaritmos da 2ª. equação em base 2, vem:
 log
y3 2  log
2
 x  1 ⇒ 
log
2
 2
log
2
 y3  
log
2
 x
log
2
 2
  1 ⇒
 ⇒ 
1
3 log
2
 y
  
log
2 
x
1
2
  1 ⇒ 
2
3
  
log
2
 x
log
2
 y
  1 ⇒
 ⇒ 
2
3
 log
y
 x  1 ⇒ log
y
 x  
3
2
 (II).
 Substituindo (II) em (I) e notando que, por (II), x  y
3
2 , vem:
001-156-Manual-FME2.indd 107 23/07/13 16:16
108
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
  
x
log
y
 x
  y
3
2  
log
y
 x  log
y
2
log
y
 x
 ⇒
 ⇒ 
x
3
2
  x  
3
2
  log
y
 2
3
2
 
x  0
 1  
3
2
  log
y
 2 ⇒
 ⇒ log
y
 2  
5
2
 ⇒ y
5
2  2 ⇒ y  2
2
5.
 De (II), x  y
3
2  2
2
5
3
2
  2
3
5.
 S  2
3
5, 2
2
5
315. Da 2ª. equação vem:
 x2  y2  2 ⇒ log
2
 (x2  y2)  log
2
 2 ⇒ log
2
 [(x  y)(x  y)]  1 ⇒
 ⇒ log
2
 (x  y)  log
2
 (x  y)  1 ⇒ log
2
 (x  y)  1  log
2
 (x  y).
 Substituindo essa expressão na 1ª. equação, vem:
 log
2
 (x  y)  log
3
 (x  y)  1 ⇒ 1  log
2
 (x  y)  log
3
 (x  y)  1 ⇒
 ⇒ log
2
 (x  y)  log
3
 (x  y) ⇒ log
2
 (x  y)  log
3
 (x  y)1.
 Transformando para a base 2, vem:
 log
2
 (x  y)  log
3
 
1
x  y
 ⇒ log
2
 (x  y)  
log
2
 
1
x  y
log
2
 3
 ⇒
 ⇒ log
2
 (x  y)  
log
2
 (x  y)
log
2
 3
 ⇒ log
2
 (x  y)  log
2
 3  log
2
 (x  y) ⇒
 ⇒ log
2
 (x  y)  log
2
 3  log
2
 (x  y)  0 ⇒ log
2
 (x  y)  [log
2
 3  1]  0 ⇒
 ⇒ log
2
 (x  y)  0 ou log
2
 3  1  0 (F)!
 Então: log
2
 (x  y)  0 ⇒ x  y  1 (I)
 Como x2  y2  (x  y)(x  y), vem:
 2  (x  y)  1 ⇒ x  y  2 (II)
 De (I) e (II) vem que x  
3
2
 e y  
1
2
 .
 S  
3
2
, 
1
2
316. Escrevendo cada um dos logaritmos das três equações em base 2, vem:
log
2
 x  log
4
 y  log
4
 z  2
log
3
 y  log
9
 z  log
9
 x  2
log
4
 z  log
16
 x  log
16
 y  2
log
2
 x  
log
2
 y
log
2
 4
  
log
2
 z
log
2
 4
  2
log
2
 y
log
2
 3
  
log
2
 z
log
2
 9
  
log
2
 x
log
2
 9
  2
log
2
 z
log
2
 4
  
log
2
 x
log
2
 16
  
log
2
 y
log
2
 16
  2
⇔
⇔
001-156-Manual-FME2.indd 108 23/07/13 16:16
109
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
log
2
 x  
log
2
 y
2
  
log
2
 z
2
  2
log
2
 y
log
2
 3
 log
2
 z
2 log
2
 3
  
log
2
 x
2 log
2
 3
  2
log
2
 z
2
  
log
2
 x
4
  
log
2
 y
4
  2
⇔
 Fazendo log
2
 x  a, log
2
 y  b e log
2
 z  c, vem:
 Resolvendo o sistema acima por Cramer, temos:
 D  
 2 1 1
 1 2 1
 1 1 2
  4; a  
D
A
D
  
 4 1 1
 4 log
2
 3 2 1
 8 1 2
4
 ⇒
 ⇒ a  
4  log
2
 81
4
  
log
2
 16  log
2
 81
4
  
log
2
 
16
81
4
  
  
log
2
 
2
3
4
4
  log
2
 
2
3
.
 Analogamente,
 b  
12 log
2
 3  12
4
  
12(log
2
 3  1)
4
  3(log
2
 3  log
2
 2) 
  3  log
2
 
3
2
  log
2
 
27
8
;
 c  
20  4 log
2
 3
4
  
4(5  log
2
 3)
4
  log
2
 32  log
2
 3  log
2
 
32
3
.
 Dessa forma, temos:
 log
2
 x  a ⇒ log
2
 x  log
2
 
2
3
 ⇒ x  
2
3
 log
2
 y  b ⇒ log
2
 y  log
2
 
27
8
 ⇒ y  
27
8
 log
2
 z  c ⇒ log
2
 z  log
2
 
32
3
 ⇒ z  
32
3
.
 S  
2
3
, 
27
8
, 
32
3
a  
b
2
  
c
2
  2
b
log
2
 3
  
c
2 log
2
 3
  
a
2 log
2
 3
  2
c
2
  
a
4
  
b
4
  2
⇔
2a  b  c  4
a  2b  c  4 log
2
 3
a  b  2c  8
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110
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
317. Aplicando logaritmo de base a (0  a  1) a ambos os membros da 
1ª. equação, vem:
 ax  by  ab ⇒ log
a
 (ax  by)  log
a
 (ab) ⇒ x  y log
a
 b  1  log
a
 b ⇒
 ⇒ x  1  (1  y) log
a
 b (I).
 Transformando para a base a os logaritmos da 2ª. equação, temos:
 2 log
a
 x  log 1
b
 y  log
a
 b ⇒ 2 log
a
 x  
log
a
 y
log
a
 
1
b
  
log
a
 b
log
a
 a
 ⇒
 ⇒ log
a
 x2  
log
a
 y
log
a
 b
  
log
a
 b
1
2
 ⇒ log
a
 x2  2 log
a
 y ⇒
 ⇒ log
a
 x2  log
a
 y2 ⇒ x2  y2 ⇒ x  
1
y
 ou x  
1
y
.
 Voltando a (I), temos:
 1º. caso: x  
1
y
, isto é,
 x  1  (1  y) log
a
 b ⇒ 
1
y
  1  (1  y) log
a
 b ⇒ 
1  y
y
  (1  y) log
a
 b
 (1  y)  
1
y
  log
a
 b  0 ⇒ y  1 ou y  
1
log
a
 b
  log
b
 a
 Se y  1, x  
1
y
  1.
 Se y  log
b
 a, x  
1
log
b
 a
  log
a
 b.
 2º. caso: x  
1
y
 não ocorre, pois, para garantir a existência dos 
logaritmos do sistema devemos ter x  0 e y  0.
 S  [(1, 1); (log
a
 b, log
b
 a)]
318. Da 1ª. equação temos:
 log
12
 x  (log
2
 x  log
2
 y)  log
2
 x ⇒ log
12
 x  log
2
 (xy)  log
2
 x ⇒
 ⇒ log
12
 x  
log
2
 x
log
2
 (xy)
, xy  1.
 Por outro lado, escrevendo log
12
 x em base 2, temos:
 log
12
 x  
log
2
 x
log
2
 (xy)
 ⇒ 
log
2
 x
log
2
 12
  
log
2
 x
log
2
 (xy)
 ⇒
 ⇒ log
2
 x 
1
log
2
 12
  
1
log
2
 (xy)
  0 ⇒ log
2
 x  0 ou log
2
 12  log
2
 (xy) ⇒
 ⇒ x  1 (não convém)
 ou 
 log
2
 12  log
2
 (xy) ⇒ xy  12 (I).
 Da 2ª. equação temos que:
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111
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 log
2
 x  log
3
 (x  y)  3 log
3
 x ⇒ log
2
 x  
log
3
 x3
log
3
 (x  y)
  log
x  y
 x3.
 Passando para a base 2, vem:
 log
2
 x  
log
2
 x3
log
2
 (x  y)
 ⇒ log
2
 x  
3 log
2
 x
log
2
 (x  y)
 
por (I)
 ⇒ log
2
 x  
3 log
2
 x
log
2
 x  
12
x
 
x  1
 log
2
 x  
12
x
  3 ⇒ x  
12
x
  8 ⇒
 ⇒ x2  8x  12  0 ⇒ x  2 ou x  6.
 Se x  2, por (I), vem que y  6.
 Se x  6, por (I), vem com y  2.
 S  {(2, 6); (6, 2)}
319. a) Notemos que x  y  1 é solução particular desse sistema.
 Para 0  x  1 e 0  y  1, aplicando logaritmo decimal a ambos 
os membros da 1ª. e da 2ª. equações, vem:
 
xx  y  y12
yx  y  x3
log (xx  y)  log y12
log (yx  y)  log x3
⇒
(x  y)  log x  12 log y
(x  y)  log y  3 log x
⇒
 Dividindo membro a membro, temos que:
 
log x
log y
  4  
log y
log x
 ⇒ (log x)2  4 (log y)2 ⇒
 ⇒ (log x  2 log y ou log x  2 log y) ⇔
 ⇔ (log x  log y2 ou log x  log y2) ⇒ x  y2 ou x  
1
y2
.
 1º. caso: Se x  y2, substituindo na 1ª. equação (original), vem:
 (y2)y
2  y  y12 ⇒ 2y2  2y  12  0 ⇒ y  3 (não convém) 
 ou y  2, donde x  22  4.
 2º. caso: Se x  
1
y2
, vem, na 1ª. equação:
 
1
y2
1
y2  y
  y12 ⇒ (y2)
1
y2  y
  y12 ⇒ 
2
y2  2y  12 ⇒
 ⇒ 
1
y2  y  12 ⇒ y3  6y2  1  0, que não apresenta raiz 
real positiva.
 S  {(1, 1); (4, 2)}
 b) Notemos que x  y  1 é solução particular desse sistema.
 Para 0  x  1 e 0  y  1, aplicando logaritmo de base x a 
ambos os membros da 1ª. e da 2ª. equações, vem:
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112
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 
xx  y  y3
yx  y  x6y3
log
x
 (xx  y)  log
x
 y3
log
x
 (yx  y)  log
x
 (x6y3)
⇒
 
⇒
 ⇒ 
x  y  3 log
x
 y
(x  y) log
x
 y  6  3 log
x
 y
 Dividindo membro a membro, vem:
 
1
log
x
 y
  
3 log
x
 y
6  3 log
x
 y
. Fazendo log
x
 y  t, vem:
 
1
t
  
3t
6  3t
 ⇒ t2  t  2  0 ⇒ t  1 ou t  2.
 1ª. possibilidade: t  1
 Temos: log
x
 y  1 ⇒ y  
1
x
. Substituindo esse valor de y na 1ª. 
equação, temos:
 xx  y  y3 ⇒ x
x  
1
x
 
  x3 ⇒ x2  3x  1  0
 x  
3  5
2
  0 (não convém) e x  
3  5
2
  0 (não convém)
 2ª. possibilidade: t  2
 Temos: log
x
 y  2 ⇒ y  x2. Na 1ª. equação temos:
 xx  y  y3 ⇒ xx  x2
  x6 ⇒ x2  x  6  0,
 que, desprezando a raiz negativa, fornece x  2 e y  4.
 S  {(1, 1); (2, 4)}
c) x  y  1 não é solução desse sistema. Para 0  x  1 e 
0  y  1, aplicando logaritmo de base x a ambos os membros 
da 1ª. equação, temos:
 xy  yx ⇒ log
x
 (xy)  log
x
 (yx) ⇒ y  x log
x
 y (I).
 Aplicando logaritmo de base 2 a ambos os membros da 2ª. 
equação, vem:
 2x  3y ⇒ log
2
 (2x)  log
2
 (3y) ⇒ x  y  log
2
 3.
 Vamos chamar log
2
 3  a; daí x  y  a (II).
 Substituindo (I) em (II), vem:
 x  x  log
x
 y  a 
x  0
 log
x
 y  a  1 ⇒ log
x
 y  
1
a
 ⇒ y  x
1
a (III).
 Em (II) temos:
 x  y  a ⇒ x  x
1
a  a ⇒ x
a  1
a  a ⇒ x  a
a
a  1 ,
 que, substituído em (III), fornece:
 y  a
a
a  1 
1
a ⇒ y  a
1
a  1 .
 S  a
a
a  1 , a
1
a  1 , em que a  log
2
 3
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
320. a) Aplicando logaritmo decimal a ambos os membro da 2ª. equação, vem:
 xlog y
  ylog x  y ⇒ xlog y
  ylog x  y2 ⇒ log (xlog y
  ylog x)  log y2 ⇒
 ⇒ log xlog y  log ylog x  2 log y ⇒
 ⇒ (log y)  (log x)  (log x)  (log y)  2 log y ⇒
 ⇒ 2 log x log y  2 log y  0 ⇒ 2 log y (log x  1)  0 ⇒
 ⇒ log y  0 ou log x  1.
 1ª. possibilidade: Se log y  0 ⇒ y  1. Na 1ª. equação teremos:
 x0  1log x  200, o que é absurdo!
 2ª. possibilidade: log x  1 ⇒ x  10. Na 1ª. equação teremos:
 10log y  y log 10  200 ⇒ 10 log y  200  y ⇒ log
10
 ( 200  y)  log
10
 y ⇒
 ⇒ 200  y  y ⇒ y  100.
 S {(10, 100)}
 b) Da 2ª. equação vem:
 
x
(log x  log y)y  1 024 ⇒ log x  log y  1 024
x
y .
 Aplicando logaritmo de base 2 a ambos os membros dessa 
última expressão, vem:
 log
2
 [log x  log y]  log
2
 1 024
x
y ⇒ log
2
 (log x)  log
2
 (log y)  
x
y
 log
2
 210 ⇒
 ⇒ log
2
 (log x)  log
2
 (log y)  
10x
y
.
 Fazendo log x  a e log y  b (x  10a e y  10b), temos:
 log
2
 a  log
2
 b  10  
10a
10b
 ⇒ log
2
 (ab)  10a  1  b (I).
 Em termos das novas variáveis, a 1ª. equação pode ser escrita como:
 xlog y  ylog x  200 ⇒ (10a)b  (10b)a  200 ⇒
 ⇒ 10ab  10ab  200 ⇒ 2  10ab  200 ⇒ 
 ⇒ 10ab  100 ⇒ ab  2 (II). 
 Substituindo (II) em (I), vem:
 log
2
 (ab)  10a  1  b ⇒ log
2
 2  10a  1  b ⇒ 10a  1  b  1 ⇒
 ⇒ a  1  b  0 ⇒ a  b  1 (III)
 De (II) e (III) temos: 
ab  2 
a  b  1
, que resolvido fornece
 (a  1 e b  2 ) ou (a  2 e b  1).
 1ª. possibilidade: a  1 e b  2, isto é, log x  1 e log y  2 ⇒
 ⇒ x  10 e y  100.
 2ª. possibilidade:a  2 e b  1, isto é, log x  2 e log y  1 ⇒
 ⇒ x  
1
100
 e y  
1
10
 (não convém, pois x deve ser natural, já que 
é índice de raiz).
 S  {(10, 100)}
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114
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 c) Da 2ª. equação vem:
 log xy  1 ⇒ xy  10 ⇒ xy  100 (I).
 Fazendo log x  a e log y  b (x  10a e y  10b) e tendo em vista 
(I), o sistema pode ser reescrito da forma:
 (10a)b  (10b)a  20 
10a
  10b  100
 ⇒ 2  10ab  20 
10a  b  100
 ⇒
 ⇒ ab  1 
a  b  2
, que resolvido fornece a  1 e b  1 isto é,
 log x  1 e log y  1 ⇒ x  10 e y  10.
 S  {(10, 10)}
CAPÍTULO VI — Inequações exponenciais e logarítmicas
322. a) 4x  7 ⇒ log4 4
x  log4 7 ⇒ x  log4 4  log4 7 ⇒ x  log4 7
 S {x   | x  log4 7}
 b) 
1
3
x
  5 ⇒ log1
3
 
1
3
x
  log1
3
 5 ⇒ x  log1
3
 
1
3
  log1
3
 5 ⇒ x  log1
3
 5
 S x   | x  log1
3
 5
 c) 23x  2  9 ⇒ 23x
  22  9 ⇒ 8x
  
9
4
 ⇒ log8 8
x  log8 
9
4
 ⇒
 ⇒ x  log8 
9
4
 S  x   | x  log8 
9
4
 d) 54x 1  3 ⇒ 
54x
5
  3 ⇒ 625x  15 ⇒ log625 625x  log625 15 ⇒
 ⇒ x  log625 625  log625 15 ⇒ x  log625 15
 S  {x   | x  log625 15}
 e) 32  3x  
1
4
 ⇒ 
32
33x  
1
4
 ⇒ 27x  36 ⇒ log27 27x  log27 36 ⇒
 ⇒ x  log27 27  log27 36 ⇒ x  log27 36
 S {x   | x  log27 36}
 f) 3 x  4 ⇒ log3 3
x  log3 4 ⇒ x  log3 4 ⇒ x  log2
3 4
 S  {x   | x  log2
3 4}
 g) 2(x2)  5 ⇒ log2 2
x2  log2 5 ⇒ x2
  log2 2  log2 5 ⇒
 ⇒ x2  log2 5 ⇒ x2  log2 5  0 ⇒  log2 5  x  log2 5
 S  x   |  log2 5  x  log2 5 
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
324. a) 2x  3x  1 ⇒ 2x  
3x
3
 ⇒ 
2x
3x
 
 
1
3
 ⇒ 
2
3
x
  
1
3
 ⇒
 ⇒ log2
3
 
2
3
x
  log2
3
 
1
3
 ⇒ x  log2
3
 
2
3
  log2
3
 
1
3
 ⇒ x  log2
3
 
1
3
 b) 23x  1  
1
3
2x  3
⇒ 
23x
2
  
1
3
2x
1
3
3
 ⇒ 
(23)x
 1
3
2

x  
2
1
27
 
8x
1
9
x
  54 ⇒ 72x  54 ⇒ log72 72x  log72 54 ⇒ x  log72 54
 S  {x   | x  log72 54}
 c) 
1
5
2x  3
  24x  3 ⇒ 
1
5
2x
 
1
5
3
 
24x
23 ⇒ 
1
25
x
16x
  
1
23  
1
5
3
 ⇒
 ⇒ 
1
400
x
 
125
8
 ⇒ 400x  
8
125
 ⇒ log400 400x  log400 
8
125
 ⇒
 ⇒ x  log400 
8
125
 S  x   | x  log400 
8
125
 d) 2x  2  32x  1 ⇒ 
2x
22  
32x
3
 ⇒ 
2x
9x
  
4
3
 ⇒ 
2
9
x
  
4
3
 ⇒
 ⇒ log
2
9
 
2
9
x
  log2
9
 
4
3
 ⇒ x  log
2
9
 
4
3
 S  x   | x  log
2
9
 
4
3
325. a) 5x  3x  3x  1 ⇒ 5x  3x  3x
  3 ⇒ 5x  3x  (1  3) ⇒
 ⇒ 
5x
3x  4 ⇒ 
5
3
x
  4 ⇒ log
5
3
 
5
3
x
  log
5
3
 4 ⇒ x  log
5
3
 4
 S  x   | x  log
5
3
 4
 b) 3x  3x  1  2x  2x  1 ⇒ 3x  3x
  3  2x  
2x
2
 ⇒
 ⇒ 3x
  (1  3 )  2x
  1  
1
2
 ⇒ 
3x
2x  
1
2
4
 ⇒ 
3
2
x
  
1
8
 ⇒
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116
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 ⇒ log3
2
 
3
2
x
  log3
2
 
1
8
 ⇒ x  log3
2
 
1
8
 S  x   | x  log3
2
 
1
8
 c) 2x  2x  1  2x  2  3x  1  3x ⇒ 2x  2x  2  2x  22  3x  3  3x ⇒
 ⇒ 2x (1  2  4)  3x (3  1) ⇒ 
2x
3x  
2
7
 ⇒ 
2
3
x
  
2
7
 ⇒
 ⇒ log2
3
 
2
3
x
  log2
3
 
2
7
 ⇒ x  log2
3
 
2
7
 S  x   | x < log2
3
 
2
7
 d) 3x  3x  1  3x  2  2x  2  2x ⇒ 3x  3x  3  3x  32  
2x
22  2x ⇒
 ⇒ 3x  (1  3  9)  2x  
1
4
  1 ⇒ 
3x
2x  

3
4
13
 ⇒ 
3
2
x
  
3
52
.
 Como 
3
2
x
 > 0, ∀x  , a desigualdade acima nunca é satisfeita.
 S  
 e) 2x  2x  1  2x  3  5x  2  5x  1 ⇒
 ⇒ 2x  2x  2  2x  23  5x  52  
5x
5
 ⇒
 ⇒ 2x  (1  2  8)  5x  25  
1
5
 ⇒ (5)  2x  
124
5
  5x.
 Multiplicando a desigualdade acima por (1), vem:
 5  2x  
124
5
  5x ⇒ 
2x
5x  
124
25
 ⇒ 
2
5
x
 > 
124
25
.
 Como 
2
5
x
  0, ∀x  , a desigualdade acima é sempre satisfeita.
 S  
326. a) 23x  1  52x  3  6 ⇒ 23x  2  
52x
53  6 ⇒
 ⇒ 8x  25x  375 ⇒ 200x  375 ⇒ log200 200x  log200 375 ⇒ 
 ⇒ x  log200 375
 S  {x   | x  log200 375}
 b) 32x  1  25  4x  5 ⇒ 
32x
3
  
25
24x  5 ⇒ 
9x
16x  
15
32
 ⇒
001-156-Manual-FME2.indd 116 23/07/13 16:16
117
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 ⇒ 
9
16
x
  
15
32
 ⇒ log
9
16
 
9
16
x
  log
9
16
 
15
32
 ⇒ x  log
9
16
 
15
32
 S 5 x   I x < log
9
16
 
15
32
327. a) 9x 2 5 ? 3x 1 6  0 ⇒ (3x)2 2 5 ? 3x 1 6  0.
 Fazendo 3x 5 t, temos:
 t2 2 5t 1 6  0 ⇒ (t  2 ou t  3) ⇒ (3x  2 ou 3x  3 ) ⇒
 ⇒ (log3 3
x  log3 2 ou x  1) ⇒ (x  log3 2 ou x  1).
 S 5 {x   | x  log3 2 ou x  1 }
 b) 4x 2 2x 1 2 1 3  0 ⇒ (22)x 2 2x ? 22 1 3  0.
 Fazendo 2x 5 t, vem:
 t2 2 4t 1 3  0 ⇒ 1  t  3 ⇒ 1  2x  3 ⇒
 ⇒ log2 1  log2 2
x  log2 3 ⇒ 0  x  log2 3.
 S 5 {x   | 0  x  log2 3}
 c) 25x 2 5x 2 6  0 ⇒ (5x)2 2 5x 2 6 > 0.
 Fazendo 5x 5 t, temos:
 t2 2 t 2 6 > 0 ⇒ t < 22 ou t > 3.
 Se t < 22, vem: 5x < 22 nunca é satisfeita.
 Se t >3, vem: 5x > 3 ⇒ log5 5x > log5 3 ⇒ x > log5 3.
 S 5 {x   | x  log5 3}
 d) 4
x 1 
1
2 2 2x 2 3 < 0 ⇒ 4x ? 4
1
2 2 2x 2 3 < 0.
 Fazendo 2x 5 t, vem: 
 t2 ? 2 2 t 2 3 < 0 ⇒ 21 < t < 
3
2
 ⇒ 21 < 2x < 
3
2
.
 Como 2x > 21, ∀x  , temos:
 2x < 
3
2
 ⇒ log2 2
x < log2 
3
2
 ⇒ x < log2 
3
2
 .
 S 5 x   | x < log2 
3
2
 e) 25x 1 5x 1 1 1 4 < 0 ⇒ (5x)2 1 5x ? 5 1 4 < 0.
 Fazendo 5x 1 t, vem:
 t2 1 5t 1 4 < 0 ⇒ 24 < t < 21, isto é, 24 < 5x < 21.
 Como a 2ª. parte da inequação simultânea nunca é satisfeita, 
pois 5x  0, ∀x  , não há solução.
 S 5 
 f) 2 ? 9x 1 3x 1 2 1 4  0 ⇒ 2 ? (32)x 1 3x ? 32 1 4  0.
001-156-Manual-FME2.indd 117 25/07/13 10:52
118
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 Fazendo 3x  t, vem:
 2t2  9t  4  0 ⇒ t  4 ou t  
1
2
 ⇒ 
 ⇒ 3x  4 ou 3x  
1
2
.
 A 1ª. desigualdade nunca é satisfeita e a 2ª. desigualdade é 
satisfeita ∀x  .
 S  
328. 9x  6x  4x  0 ⇒ 9x  6x  4x. 
 Como 4x  0, ∀x  , podemos dividir membro a membro por 4x:
 
9x  6x
4x  
4x
4x ⇒ 
9
4
x
  
6
4
x
  1 ⇒ 
3
2
2x
  
3
2
x
  1.
 Fazendo 
3
2
x
  t, temos:
 t2  t  1  0 ⇒ t  
1  5
2
 ou t  
1  5
2
 ⇒
 ⇒ 
3
2
x
  
1  5
2
 (absurdo!) ou 
3
2
x
  
1  5
2
 ⇒
 ⇒ log3
2
 
3
2
x
  log3
2
 
1  5
2
 ⇒ x  log3
2
 
1  5
2
.
 S  x   | x  log3
2
 
1  5
2
329. Como 25x  0, ∀x  , podemos dividir ambos os membros por 25x:
 4x  6  10x  8  25x  0 ⇒ 
4x  6  10x  8  25x
25x  0 ⇒ 
 ⇒ 
4
25
x
  6  
10
25
x
  8  0 ⇒ 
2
5
2x
  6  
2
5
x
  8  0.
 Fazendo 
2
5
x
  t, temos:
 t2  6t  8  0 ⇒ 2  t  4 ⇒ 
 ⇒ 2  
2
5
x
  4 ⇒ log2
5
 2  log2
5
 
2
5
x
  log2
5
 4 ⇒ 
 ⇒ log2
5
 4  x  log2
5
 2.
 S  x   | log2
5
 4  x  log2
5
 2
330. 4x  1  8  6x  9
x  
1
2  0 ⇒ 4x
  4  8  6x  9x
  9
1
2  0.
 Como 9x  0, ∀x  , podemos dividir os membros por 9x:
001-156-Manual-FME2.indd 118 23/07/13 16:16
119
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 
4x
  4  8  6x  9x
  3
9x
  0 ⇒ 4  
4
9
x
  8  
6
9
x
  3  0 ⇒ 
 ⇒ 4  
2
3
2x 
 8  
2
3
x
  3  0.
 Fazendo 
2
3
x
  t, temos:
 4t2  8t  3  0 ⇒ t  
1
2
 ou t  
3
2
 ⇒ 
 ⇒ 
2
3
x
  
1
2
 ou 
2
3
x
  
3
2
 ⇒ 
 ⇒ log
2
3
 
2
3
x
  log
2
3
 
1
2
 ou log
2
3
 
2
3
x
  log
2
3
 
3
2
 ⇒
 ⇒ x  log
2
3
 
1
2
 ou x  1 .
 S  x   | x  1 ou x  log
2
3
 
1
2
331. a) log3 (5x  2)  log3 4 ⇒ 0  5x  2  4 ⇒ 
2
5
  x  
6
5
.
 S  x   | 
2
5
  x  
6
5
 b) log0,3 (4x  3)  log0,3 5 ⇒ 4x  3  5 ⇒ 4x  8 ⇒ x  2.
 S  {x  | x  2}
 c) log
1
2
 (3x  1)  log
1
2
 (2x  3) ⇒ 0  3x  1  2x  3 ⇒ 
1
3
  x  4.
 S  x   | 
1
3
  x  4
 d) log2 (2x2  5x)  log2 3 ⇒ 0  2x2  5x  3 ⇔ 
 ⇔ (2x2  5x  0 e 2x2  5x  3) ⇒ 
 ⇒ x  0 ou x  
5
2
 (I) e 
1
2
  x  3 (II)
 Determinando (I)  (II), temos:
 S  x   | 
1
2
  x  0 ou 
5
2
  x  3
 e) log
1
2
 (x2  1)  log
1
2
 (3x  9) ⇒ 0  x2  1  3x  9 ⇔ 
 ⇔ (x2  1  3x  9 e 0  x2  1) ⇒ 
 ⇒ (2  x  5 (I) e x  1 ou x  1 (II)) 
001-156-Manual-FME2.indd 119 23/07/13 16:16
120
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 Determinando (I)  (II), temos:
 S  {x   | 2  x  1 ou 1  x  5}
 f) log
1
10
 (x2  1)  log
1
10
 (2x  5) ⇒ x2  1  2x  5  0 ⇒ 
 ⇒ (x2  1  2x  5 e 2x  5  0) ⇒ x  
5
2
.
 S  x   | x  
5
2
 g) log (x2  x  2)  log (x  4) ⇒ 0  x2  x  2  x  4 ⇔ 
 ⇔ (x2  x  2  0 e x2  x  2  x  4) ⇒
 ⇒ (x  1 ou x  2) e (x2  2x  2  0) 
 Como a 2ª. desigualdade não é nunca satisfeita, pois ∀x  , 
 tem-se x2  2x  2  0, segue que não há solução.
 s  
332. a) log5 (x
2  x)  log0,2 
1
6
 ⇒ log5 (x
2  x)  log
1
5
 
1
6
 ⇒
 ⇒ log5 (x
2  x)  log5 
1
6
 ⇒ log5 (x
2  x)  log5 
1
6
1
 ⇒ 
 ⇒ x2  x  6 ⇒ x2  x  6  0 ⇒ (x  2 ou x  3).
 S  {x   | x  2 ou x  3} 
 b) log
1
2
 x2  x  
3
4
  2  log2 5 ⇒ 
 ⇒ log
1
2
 x2  x  
3
4
  log2 4  log2 5 ⇒ 
 ⇒ log
1
2
 (x2  x  
3
4
  log2 
4
5
 ⇒ log
1
2
 x2  x  
3
4
  log
1
2
 
4
5
1
 ⇒ 
 ⇒ 0  x2  x  
3
4
  
5
4
 ⇒ 
 ⇒ x2  x  
3
4
  0 e x2  x  
3
4
  
5
4
 ⇒ 
 ⇒ x  
1
2
 ou x  
3
2
 (I) e 1  x  2 (II) 
 Determinando (I)  (II), temos:
 S  x   | 1  x  
1
2
 ou 
3
2
  x  2
333. log x  colog (x  1 )  log 12 ⇒ log x  log (x  1 )  log 12 
 Lembrando que as propriedades operatórias só podem ser aplicadas 
se estabelecermos a condição de existência dos logaritmos, temos: 
x  0 e x  1  0 ⇒ x  0 (I). Então:
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121
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 log x  log (x  1 )  log 12 ⇒ log [ x  (x  1)]  log 12 ⇒ x2  x  12 ⇒
 ⇒ (x  4 ou x  3) (II).
 Fazendo (I)  (II), temos:
 S  {x   | x  3}
334. a) Para mudarmos de base precisamos garantir a existência dos 
logaritmos, isto é, 2  x  0 e x  1  0 ⇒ 1  x  2 (I). 
Assim, temos:
 log2 (2  x)  log 1
2
 (x  1) ⇒ log2 (2  x)  log2 (x  1)1 ⇒
 ⇒ 2  x  
1
x  1
 ⇒ (2  x)(x  1)  1 (esta passagem é 
garantida por (I)) ⇒
 ⇒ x2  x  1  0 ⇒ x  
1  5
2
 ou x  
1  5
2
 (II).
 De (I) e (II) vem:
 S  x   | 1  x  
1  5
2
 ou 
1  5
2
  x  2 
 b) 1º caso: log2 x  0 ⇒ x  1 (I)
 Temos: 
 
1
log2 x
  
1
log2 x  2
 ⇒ 1  
log2 x
log2 x  2
 ⇒ log2 x  log2 x  2 ⇒ 
 ⇒ x  x  2 ⇒ x2  x  2  0 ⇒ (x  1 ou x  2) (II).
 De (I)  (II) temos: x  2.
 2º. caso: log2 x  0 ⇒ 0  x  1 (I)
 Temos:
 
1
log2 x
  
1
log2 x  2
 ⇒ 1  
log2 x
log2 x  2
 ⇒ log2 x  log2 x  2 ⇒
 ⇒ x2  x  2  0 ⇒ 1  x  2 (II).
 De (I)  (II) resulta 0  x  1. 
 Juntando os dois casos, temos: S  {x   | x  2 ou 0  x  1}.
335. a) log2 (3x  5)  3 ⇒ 3x  5  23 ⇒ 3x  5  8 ⇒ x  1.
 S  {x   | x  1}
 b) log
1
3
 (4x  3)  2 ⇒ 0  4x  3  
1
3
2
 ⇒ 
3
4
  x  
7
9
. 
 S  x   | 
3
4
  x  
7
9
 c) log2 (x
2  x  2)  2 ⇒ 0  x2  x  2  4 ⇒ 
x2  x  2  0
e
x2  x  6  0
 ⇒ 
001-156-Manual-FME2.indd 121 23/07/13 16:16
122
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 ⇒ 
x  2 ou x  1 (I)
e
3  x  2 (II)
 Fazendo (I)  (II), vem:
 S  {x   | 3  x  2 ou 1  x  2}
 d) log
1
2
 (2x2  6x  3)  1 ⇒ 2x2  6x  3  
1
2
1
 ⇒ 2x2  6x  
5
2
  0 ⇒
 ⇒ x  
1
2
 ou x  
5
2
.
 S  x   | x  
1
2
 ou x  
5
2
 e) log
1
2
 (x2  4x  5)  4 ⇒ 0  x2  4x  5  
1
2
4
 ⇒ 
 ⇒ 
x2  4x  5  0
e
x2  4x  21  0
 ⇒ 
x  5 ou x  1 (I)
e
7  x  3 (II)
 Fazendo (I)  (II), vem:
 S  {x   | 7  x  5 ou 1  x  3}
 f) log
5
8
 2x2  x  
3
8
  1 ⇒ 0  2x2  x  
3
8
  
5
8
 ⇒ 
 ⇒ 
2x2  x  
3
8
  0
e
2x2  x  1  0
 ⇒ 
x  
1
4
 ou x  
3
4
 (I)
e

1
2
  x  1 (II)
 Fazendo (I)  (II), vem:
 S  x   | 
1
2
  x  
1
4
 ou 
3
4
  x  1
 g) log (x2  3x  3)  0 ⇒ x2  3x  3  1 ⇒ x2  3x  2  0 ⇒ 
 ⇒ x  2 ou x  1.
 S  {x   | x  2 ou x  1}
 h) log0,3 (x
2  4x  1 )  0 ⇒ 0  x2  4x  1  0,30 ⇒ 
 ⇒ 
x2  4x  1  0
e
x2  4x  0
 ⇒ 
x  2  3 ou x  2  3 (I)
e
0  x  4 (II)
 Fazendo (I)  (II) vem:
 S  {x   | 0  x  2  3 ou 2  3  x  4}
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
336. loga (2x  3)  0 
0  a  1
 0  2x  3  a0 ⇒ 0  2x  3  1 ⇒ 
 ⇒ 
3
2
  x  2. 
 S  x   | 
3
2
  x  2
337. a) 2  log2 (3x  1)  4 ⇒ 22  3x  1  24 ⇒ 4  3x  1  16 ⇒
 ⇒ 1  x  5.
 S  {x   | 1  x  5}
 b) 2  log2 (3  2x)  3 ⇒ 4  3  2x  8 ⇒ 
5
2
  x  
1
2
. 
 S  x   | 
5
2
  x  
1
2
 c) 
1
2
  log
1
2
 (2x)  1 ⇒ 
1
2
  2x  
1
2
 ⇔ 
 ⇔ 
1
2
  2x  
1
2
 ⇒ 
1
4
  x  
1
2 2
. 
 S  x   | 
1
4
  x  
1
8
 d) 0  log3 (x
2  4x  3)  1 ⇒ 1  x2  4x  3  3 ⇒ 
 ⇒ 
x2  4x  2  0
e
x2  4x  0
 ⇒ 
x  2  2 ou x  2  2 (I)
e
0  x  4 (II)
 Fazendo (I)  (II), vem;
 S  {x   | 0  x  2  2 ou 2  2  x  4}
338. Temos: 1  log10 (x  1)  2 ⇒ 10  x  1  100 ⇒ 11  x  101. 
 S  {x   | 11  x  101}
339. a) |log2 x|  1 ⇒ (log2 x  1 ou log2 x  1 ⇒ 
 ⇒ 0  x  
1
2
 ou x  2 . 
 S  x   | 0  x  
1
2
 ou x  2
 b) |log3 (x  3)|  2 ⇒ (log3 (x  3)  2 ou log3 (x  3)  2) ⇒ 
 ⇒ 0  x  3  
1
9
 ou x  3  9) ⇒ ( 3  x  
28
9
 ou x  12 .
 S  x   | 3  x  
28
9
 ou x  12
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 c) |log x|  1 ⇒ 1  log x  1 ⇒ 101  x  10 ⇒ 
1
10
  x  10. 
 S  x   | 
1
10
  x  10
 d) |2  log2 x|  3 ⇒ (2  log2 x  3 ou 2  log2 x  3) ⇒
 ⇒ (log2 x  5 ou log2 x  1) ⇒ (0  x  25 ou x  2). 
 S  x   | 0  x  
1
32
 ou x  2
 e) |log3 (x
2  1)|  1 ⇒ 1  log3 (x
2  1)  1 ⇒ 31  x2  1  3 ⇒ 
 ⇒ 
x2  1  
1
3
e
x2  1  3
 ⇒ 
x  
2
3
 ou x  
2
3
 (I)
e
2  x  2 (II)
 Fazendo (I)  (II), vem:
 S  x   | 2  x  
2
3
 ou 
2
3
  x  2
340. a) Fazendo log3 x  t, vem:
 3 log2
3 x  5 log3 x  2  0 ⇒ 3t2  5t  2  0 ⇒ 2  t  
1
3
 ⇒
 ⇒ 2  log3 x  
1
3
 ⇒ 32  x  3
1
3 ⇒ 
1
9
  x  3
3
.
 S  x   | 
1
9
  x  3
3
 b) Fazendo log
1
2
 x  t, vem:
 log
1
2
2 x  3 log
1
2
 x  4  0 ⇒ t2  3t  4  0 ⇒ (t  1 ou t  4) 
 (log
1
2
 x  1 ou log
1
2
 x  4) ⇒ x  
1
2
1
 ou 0  x  
1
2
4
 ⇒ 
 ⇒ x  2 ou 0  x  
1
16
. 
 S  x   | 0  x  
1
16
 ou x  2
 c) log2
2 x  4. 
 Fazendo log2 x  t, vem:
 t2  4  0 ⇒ 2  t  2 ⇒ 2  log2 x  2 ⇒ 
1
4
  x  4. 
 S  x   | 
1
4
  x  4
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 d) 1  log2 x  3 ⇒ 
log2 x  1 
e 
log2 x  3
 Fazendo log x  t, temos:
 
t2  1 
e 
t2  3
 ⇒ 
t  1 ou t  1 (I)
e
 3  t  3 (II)
 De (I) e (II) vem:
 ( 3  t  1 ou 1  t  3 ) ⇒
 ⇒ ( 3  log x  1 ou 1  log x  3 ) ⇒ 
 ⇒ (10 3  x  101 ou 10  x  10 3 ). 
 S  x   | 
1
10 3
  x  
1
10
 ou 10  x  10 3
 e) Fazendo log2 x  t, temos: 
 log4 x  5 log2 x  4  0 ⇒ t2  5t  4  0 ⇒ 1  t  4,isto é, 
 1  log2 x  4. 
 Se fizermos log x  v, teremos:
 1  v2  4 ⇒ 
v2  1 
e 
v2  4
 ⇒ 
v  1 ou v  1
e
2  v  2
 ⇒
 ⇒ (2  v  1 ou 1  v  2) ⇒ 
 ⇒ (2  log x  1 ou 1  log x  2) ⇒ 
 ⇒ (102  x  101 ou 10  x  102). 
 S  {x   | 102  x  101 ou 10  x  102} 
 f) Fazendo log2 x  t, vem:
 
1
t
  
1
t  1
  1 ⇒ 
t2  t  1
t2  t
  0. 
 Fazendo o quadro-quociente, temos:
 (t  0 ou t  1) ⇒ (log2 x  0 ou log2 x  1) ⇒ 
 ⇒ (0  x  1 ou x  2). 
 S {x   | 0  x  1 ou x  2} 
341. Fazendo loge x  t, temos:
 2 (loge x)
2  loge x  6 ⇒ 2t2  t  6  0 ⇒ t  
3
2
 ou t  2 ⇒
 ⇒ loge x  
3
2
 ou loge x  2 ⇒ 0  x  e
3
2 ou x  e2 . 
 S  x   | 0  x  e
3
2 ou x  e2
342. a) Como logx 2  
1
log2 x
, temos:
 log2 x  6 logx 2  1  0 ⇒ log2 x  6  
1
log2 x
  1  0.
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126
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 Fazendo log2 x  t, vem:
 t  
6
t
  1  0 ⇒ 
t2  t  6
t
  0. 
 Fazendo o quadro-quociente, temos:
 (3  t  0 ou t  2) ⇒ (3  log2 x  0 ou log2 x  2) ⇒
 ⇒ 
1
8
  x  1 ou x  4 . 
 S  x   | 
1
8
  x  1 ou x  4
 b) log2 x  logx 8  2  0 ⇒ log2 x  
log2 8
log2 x
  2  0. 
 Fazendo log2 x  t, vem:
 t  
3
t
  2  0 ⇒ 
t2  2t  3
t
  0.
 Fazendo o quadro-quociente, temos:
 (1  t  0 ou t  3) ⇒ (1  log2 x  0 ou log2 x  3) ⇒ 
 ⇒ 
1
2
  x  1 ou x  8 . 
 S  x   | 
1
2
  x  1 ou x  8
 c) Como sabemos, log
1
2
 
x5
4
  
log2 
x5
4
log2 
1
2
  log2 
x5
4
  
 [log2 x
5  log2 4]  2  5 log2 x. 
 Então, a desigualdade proposta é equivalente a:
 (log2 x)
4  (2  5 log2 x)
2  20 log2 x  148  0.
 Fazendo log2 x  t, vem:
 t4  (2  5t)2  20t  148  0 ⇒ t4  25t2  144  0.
 Fazendo t2  v, temos:
 v2  25v  144  0 ⇒ 9  v  16 ⇒ 9  t2  16 ⇒ 
 ⇒ (4  t  3 ou 3  t  4) ⇒ (4  log2 x  3 ou 
3  log2 x  4) ⇒ 
 ⇒ 
1
16
  x  
1
8
 ou 8  x  16 .
 S  x   | 
1
16
  x  
1
8
 ou 8  x  16
343. Como logx e  
1
loge x
, podemos escrever:
 
1
loge x
  
1
1
loge x
  1
  1. 
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 Fazendo loge x  t, vem:
 
1
t
  
1
1
t
  1
  1 ⇒ 
2t2  2t  1
t  t2
  0.
 Fazendo o quadro-quociente, temos:
 0  t  1 ⇒ 0  loge x  1 ⇒ 1  x  e. 
 S {x   | 1  x  e}
344. A condição de existência dos logaritmos é 1  8(log
1
4
 x)2  0 e x  0. 
 Fazendo log
1
4
 x  t, vem:
 1  8t2  0 ⇒ 
1
2 2
  t  
1
2 2
 ⇒ 
1
2 2
  log
1
4
 x  
1
2 2
 ⇒ 
 ⇒ 
1
2
 
1
2  x  
1
2

1
2 e x  0 ⇒ 
1
2
 
1
2  x  
1
2

1
2 (I).
 Voltando à desigualdade proposta, temos: 
 1  1  8(log
1
4
 x)2  3 log
1
4
 x ⇒ 1  1  8t2  3t ⇒ 
 ⇒ 1  3t  1  8t2 ⇒ 0  (1  3t)2  1  8t2. 
 Como (1  3t)2  0, ∀t  , temos apenas:
 (1  3t)2  1  8t2 ⇒ 17t2  6t  0 ⇒ 
 ⇒ 0  t  
6
17
 ⇒ 0  log
1
4
 x  
6
17
 ⇒ 
1
2
 
12
17  x  1 (II).
 A solução da inequação é dada pela interseção de (I) e (II):
 
(I)
1
2
1
2 1
2
1
2
–
(II)
1
(I) > (II)
1
2
12
17
 S  x   | 
1
2
 
12
17  x  1
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
345. Escrevendo os logaritmos em base 2, temos: 
 log
x
2
 8  log
x
4
 8  
log2 x
4
log2 x
2  4
 ⇒ 
log2 8
log2 
x
2
  
log2 8
log2 
x
4
  
4 log2 x
2 log2 x  4
.
 Fazendo log2 x  t, temos:
 
3
t  1
  
3
t  2
  
4t
2t  4
 ⇒ 
2t2  8t  9
t2  3t  2
  0. 
 Fazendo o quadro-quociente, obtemos:
 (t  1 ou t  2) ⇒ (log2 x  1 ou log2 x  2) ⇒ (0  x  2 ou x  4). 
 S  {x   | 0  x  2 ou x  4}
346. Fazendo loga x  t, temos:
 
1  log2
a x
1  loga x
  1 ⇒ 
1  t2
1  t
  1 ⇒ 
t2  t
1  t
  0. 
 Fazendo o quadro-quociente, obtemos: 1  t  0 ou t  1, isto é:
 1  loga x  0 
0  a  1
 1  x  
1
a
 
 ou 
 loga x  1 
0  a  1
 0  x  a. 
 S x   | 1  x  
1
a
 ou 0  x  a
348. a) A condição de existência dos logaritmos é x  
1
2
 (I). 
 Temos: 
 log3 (3x  4)  log3 (2x  1)  1 ⇒ log3 
3x  4
2x  1
  1 ⇒ 
 ⇒ 
3x  4
2x  1
  3 
x 
 
1
2
 3x  4  3(2x  1) ⇒ x  
7
3
 (II). 
 A solução da inequação é dada por (I)  (II):
 S  x   | 
1
2
  x  
7
3
 b) A condição de existência dos logaritmos é x  0 (I). 
 Temos:
 log2 x  log2 (x  1)  log2 (2x  6) ⇒ log2 [x  (x  1)]  log2 (2x  6) ⇒ 
 ⇒ x2  x  2x  6 ⇒ x2  x  6  0 ⇒ 2  x  3 (II). 
 De (I)  (II) vem: 0  x  3. 
 S  {x   | 0  x  3}
 c) A condição de existência dos logaritmos é 
2
3
  x  
1
2
 (I). 
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129
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 Temos: 
 log2 (3x  2)  log2 (1  2x)  2 ⇒ log2 
3x  2
1  2x
  2 ⇒ 
 ⇒ 
3x  2
1  2x
  4 
1  2x  0
 3x  2  4  8x ⇒ x  
2
11
 (II). 
 De (I)  (II) segue que: 
2
11
  x  
1
2
. 
 S  x   | 
2
11
  x  
1
2
 
 d) A condição de existência dos logaritmos é x  
1
2
 (I). 
 Temos:
 log (2x  1)  log (x  2)  log 3 ⇒ log 
2x  1
x  2
  log 3 ⇒ 
 ⇒ 
2x  1
x  2
  3 
x  2  0
 2x 1  3x  6 ⇒ x  7 (II). 
 De (I)  (II) temos: x  
1
2
. 
 S  x   | x  
1
2
 e) A condição de existência dos logaritmos é x  2 (I). 
 Temos: log3 (x
2  x  6)  log3 (x  1)  log3 4 ⇒ 
 ⇒ log3 
x2  x  6
x  1
  log3 4 ⇒ 
 ⇒ 
x2  x  6
x  1
  4 
(I)
 x2  x  6  4x  4 ⇒ x2  3x 10  0 ⇒
 ⇒ x  2 ou x  5 (II).
 (I)  (II): x  5.
 S  {x   | x  5}
 f) A condição de existência dos logaritmos é x  1 (I). 
 Temos:
 log
1
2
 (x  1)  log
1
2
 (3x  2 )  2 ⇒ log
1
2
 [(x  1)(3x  2 )]  2 ⇒
 ⇒ (x  1)(3x  2)  4 ⇒ 3x2 
 5x  2  0 ⇒
 ⇒ 
1
3
  x  2 (II)
 De (I)  (II) temos 1  x  2. 
 S  {x   | 1  x  2}
349. A condição de existência dos logaritmos é x  0 (I).
 Temos:
 log10 x  log10 (x  3)  1 ⇒ log10 [x  (x  3)]  1 ⇒ x2  3x  10 ⇒
 ⇒ x2  3x  10  0 ⇒ 5  x  2 (II).
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130
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
De (I)  (II) vem: 0  x  2.
S  {x   | 0  x  2}
350. a) A condição de existência dos logaritmos é x   
1
6
 (I).
 Temos:
 log2 6x  1  log2 x  1  log4 3 ⇒ 
 ⇒ log2 [ 6x  1  x  1 ]  
log2 3
log2 4
 ⇒
 ⇒ log2 6x2  7x  1  
1
2
  log2 3 ⇒ 
 ⇒ 2  log2 6x2  7x  1  log2 3 ⇒
 ⇒ log2 ( 6x2  7x  1)2 
 log2 3 ⇒ 6x2 
 7x  1  3 ⇒
 ⇒ 6x2 
 7x  2  0 ⇒ x  
7  97 
12
 ou x  
7  97 
12
 (II).
 De (I)  (II) temos: x  
7  97 
12
.
 S  x   | x  
 7  97 
12
 
b) A condição de existência dos logaritmos é x  1 (I).
 Como log4 (8x)  
log2 (8x)
log2 4
  
1
2
  log2 (8x)  log2 (8x)
1
2  log2 
8x , 
podemos escrever:
 log4 (8x)  log2 x  1  log2 x  1  log2 3 ⇒ 
 ⇒ log2 8x  log2 3  log2 x  1  log2 x  1 ⇒
 ⇒ log2 8x  log2 (3  x  1
  
x  1 ) ⇒
 ⇒ log2 
8x  log2 (3  
x  1
 ) ⇒ 
 ⇒ 8x  9(x2  1) ⇒ 9x2  8x  9  0 ⇒
 ⇒ x  
4  97 
9
 ou x  
4  97 
9
 (II).
 Fazendo (I)  (II), obtemos: x  
4  97 
9
. 
 S  x   | x  
4  97 
9
 
351. A condição de existência dos logaritmos é:
2x2  x  1  0 (é satisfeita para ∀x  )
e
2x  1  0
 ⇒ x  
1
2
 (I)
Como log4 (2x2  x  1)  
log2 (2x2  x  1) 
log2 4
  
1
2
  log2 (2x2  x  1)  
 log2 (2x2  x  1)
1
2  log2 2x2  x  1 , podemos escrever:
log4 (2x2  x  1)  log2 (2x  1)  1 ⇒
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131
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
⇒ log2 2x2  x  1  log2 (2x  1) 1 ⇒
⇒ log2 
2x2  x  1
2x  1
  1 ⇒ 0  
2x2  x  1
2x  1
  2 
(I)
⇒ 2x2  x  1  2(2x  1) ⇒ 2x2  x  1  [2(2x  1)]2 ⇒
⇒ 14x2  17x  3  0 ⇒ x  
3
14
 ou x  1 (II).
Fazendo (I)  (II), temos: x  1.
S  {x   | x  1}
353. a) log1
3
 (log2 x)  0 ⇒ log2 x  
1
3
0
 ⇒ log2 x  1 ⇒ x  2.
 S  {x   | x  2}
b) log1
2
 (log1
3
 x)  0 ⇒ 0  log1
3
 x  1 ⇒ 
1
3
  x  1.
 S  x   | 
1
3
  x  1 
c) log2 log1
2
 x  1 ⇒ log1
2
 x  2 ⇒ 0  x  
1
4
.
 S  x   | 0  x  
1
4
 
d) log2 [log3 (log5 x)]  0 ⇒ log3 (log5 x)  1 ⇒ log5 x  3 ⇒ x  125.
 S  {x   | x  125}
e) log1
2
 log3 log1
2
 x   0 ⇒ log3 log1
2
 x  1 ⇒ log1
2
 x  3 ⇒
 ⇒ 0  x  
1
8
.
 S  x   | 0  x  
1
8
 
f) log2 [log1
2
 (log3 x)]  1 ⇒ log1
2
 (log3 x)  2 ⇒ 0  log3 x  
1
2
2
 ⇒
 ⇒ 0  log3 x  
1
4
 ⇒ 1  x  3
4
.
 S  x   | 1  x  3
4 
354. log1
3
 log1
3
 x  0 ⇒ 0  log1
3
 x  1 ⇒ 
1
3
  x  1.
S  x   | 
1
3
  x  1 
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132
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
355. Temos:
loga (loga x)  0 
a  1
 0  loga x  1 
a  1
 1  x  a.
S  {x   | 1  x  a}
356. Temos:
loga (log1
a
 x)  0 
0  a  1
 log1
a
 x  1 
 1
1
a
 x  
1
a
.
S  x   | x  
1
a
 
357. Temos:
loga log1
a
 (loga x)  0 
a  1
 log1
a
 (loga x)  1 
 10 
1
a
 0  loga x  
1
a
 ⇒
a  1
 1  x  a
1
a.
S  x   | 1  x  a
a

358. Temos:
log1
a
 [loga (loga x)]  0 
 1
1
a
 0  loga (loga x)  1 
0  a  1
⇒ a  loga x  1 
0  a  1
 a  x  aa.
S  {x   | a  x  aa}
359. a) log2 {1  log3 [log2 (x
2  3x  2)]}  0 ⇒
 ⇒ 1  log3 [log2 (x
2  3x  2)]  1 ⇒ log3 [log2 (x
2  3x  2)]  0 ⇒
 ⇒ log2 (x
2  3x  2)  1 ⇒ x2  3x  2  2 ⇒
 ⇒ x2  3x  0 ⇒ x  0 ou x  3.
 S  {x   | x  0 ou x  3}
b) log1
3
 [log4 (x
2  5)]  0 ⇒ 0  log4 (x
2  5)  1 ⇒ 1  x2  5  4 ⇒
 ⇒ 
x2  5  1
e
x2  5  4
 ⇒ 
x   6 ou x  6 (I)
e
3  x  3 (II)
 Fazendo (I)  (II), vem:
 S  {x   | 3  x   6 ou 6  x  3}
c) log2 log1
3
 
1
x  1
  0 ⇒ 0  log1
3
 
1
x  1
  1 ⇒
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133
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 ⇒ 
1
3
  
1
x  1
  1 ⇒ 
1
x  1
  
1
3
e
1
x  1
  1
 ⇒ 
4  x
x  1
  0 (I)
e
2  x
x  1
  0 (II)
 Fazendo o quadro-quociente para (I), decorre 1  x  4, e para (II) 
decorre x  1 ou x  2.
 Fazendo a interseção desse intervalos, vem:
 S  {x   | 2  x  4}
d) log1
2
 log8 
x2  2x
x  3
  0 ⇒ log8 
x2  2x
x  3
  1 ⇒ 
x2  2x
x  3
  8 ⇒
 ⇒ 
x2  10x  24
x  3
  0.
 Fazendo o quadro-quociente, temos:
 S  {x   | 3  x  4 ou x  6}
360. a) Devemos ter: log2 x  0 ⇒ x  1.
 D  {x   | x  1}
b) Devemos ter: log1
2
 x  0 ⇒ 0  x  1.
 D  {x   | 0  x  1}
c) Devemos ter: log2 log1
2
 x  0 ⇒ log1
2
 x  1 ⇒ 0  x  
1
2
.
 D  x   | 0  x  
1
2
 
d) Neste caso, precisamos garantir somente a existência do 
logaritmo, isto é, log2 x  0 ⇒ x  1.
 D  {x   | x  1}
e) Devemos ter: log3 
x2  2x  7
x  1
  0 ⇒ 
x2  2x  7
x  1
  1 ⇒
 ⇒ 
x2  x  6
x  1
  0.
 Fazendo o quadro-quociente, temos:
 D  {x   | 3  x  1 ou x  2}
f) Devemos ter: log1
2
 
x
x2  1
  0 ⇒ 0  
x
x2  1
  1 ⇒
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134
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 ⇒ 
x
x2  1
  0
e
x
x2  1
  1
 ⇒ 
x
x2  1
  0 (I)
e
x2  x  1
x2  1
  0 (II)
 Fazendo o quadro-quociente para (I) e (II), obtemos:
(I)
(II)
(I) > (II)
0 151 –
2
51 +
2
x
–1
 D  x   | 
1  5 
2
  x  0 ou x  
1  5 
2
 
361. Devemos ter: log1
2
 (x  1)  0 ⇒ 0  x  1  1 ⇒ 1  x  2.
D  {x   | 1  x  2}
362. A desigualdade 
3  2x
1  x
loga  1 é equivalente à desigualdade
0  loga 
3  2x
1  x
  1.
1º caso: 0  a  1
0  loga 
3  2x
1  x
  1 ⇒ a  
3  2x
1  x
  1 ⇒ 
3  2x
1  x
  a (I)
e
3  2x
1  x
  1 (II)
⇒ 
(2  a)x  3  a
1  x
  0 (I)
e
x  2
1  x
  0 (II)
Para resolver (I), notemos que, como 0  a  1, 2  a  0 e, 
portanto, a função f (x)  (2  a)x  3  a é decrescente. Então, 
fazendo o quadro-quociente, temos:
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135
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
f(x) = (– 2 + a)x + 3 – a
g(x) = 1 – x
g(x)
f(x)
–
––
–
+ +
+
+ +
1
x
a – 3
a – 2
f(x) = – x + 2
g(x) = 1 – x
g(x)
f(x)
–
––
–
+ +
+
+ +
1 2
x
(I) > (II)
(II)
(I)
a – 3
a – 2
1 2
x
Fazendo o quadro-quociente para (II), obtemos:
Fazendo (I)  (II), vem:
2º caso: a  1 e 2  a  0, isto é, 1  a  2
Temos:
0  log
a
 
3  2x
1  x
  1 ⇒ 1  
3  2x
1  x
  a ⇒
⇒ 
3  2x
1  x
  1
e
3  2x
1  x
  a
 ⇒ 
x  2
1  x
  0 (I)
e
(2  a)x  3  a
1  x
  0 (II)
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136
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Utilizando o quadro-quociente anterior para (I) e (II) (notemos que a 
função f (x)  (2  a)x  3  a neste caso também é decrescente), 
temos:
(I): x  1 ou x  2 e (II): 1  x  
a  3
a  2
.
Fazendo (I)  (II), temos:
(Notemos que para 1  a  2, 
a  3
a  2
  2.)
3º caso: a  1 e 2  a  0, isto é, a  2
Temos:
0  log
a
 
3  2x
1  x
  1 ⇒ 1  
3  2x
1  x
  2 ⇒
⇒ 
3  2x
1  x
  1
e
3  2x
1  x
  2
 ⇒ 
x  2
1  x
  0 (I)
e
1
1  x
  0 (II)
Temos:
(I) > (II)
(II)
(I)
a – 3
a – 2
1 2
x
x(I) > (II)
(II)
(I)
1 2
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137
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
f(x) = (– 2 + a)x + 3 – a
g(x) = 1 – x
g(x)
f(x)
+
–+
+
– +
+
– –
1
x
(II)
a – 3
a – 2
a – 3
a – 2
1 2
x
(I)
(II)
(I) > (II)
4º caso: a  1 e 2  a  0, isto é, a  2
Temos:
0  loga 
3  2x
1  x
  1 ⇒ 1  
3  2x
1  x
  a ⇒
⇒ 
3  2x
1  x
  1
e
3  2x
1  x
  a
 ⇒ 
x  2
1  x
  0 (I)
e
(2  a)x  3  a
1  x
  0 (II)
Para resolvermos (II), notemos que, como a  2, a função
f (x)  (2  a)x  3  a é crescente. Fazendo o quadro-quociente, 
temos:
(Notemos também que para a  2, 
a  3
a  2
  1.)
Fazendo, então, (I)  (II), temos:
Agrupando os 4 casos, temos:
0  a  1 ⇒ S  x   | 
a  3
a  2
  x  2 
1  a  2 ⇒ S  x   | 2  x  
a  3
a  2
 
a  2 ⇒ S  {x   | x  2};
a  2 ⇒ S  x   | x  
a  3
a  2
 ou x  2
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138
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
363. a) 
1
2
log 1
3
(4x2  9x  5)
  2 ⇒ 
1
2
log 1
3
(4x2  9x  5)
  
1
2
1
 ⇒
 log1 
3
 (4x2  9x  5)  1 ⇒ 4x2  9x  5  3 ⇒ 4x2  9x  2  0 ⇒
 ⇒ x  
1
4
 ou x  2
 S  x   | x  
1
4
 ou x  2 
b) 3
log 1
2
(x2  6x)
  
1
81
 ⇒ 3
log 1
2
(x2  6x)
  34 ⇒ log1
2
 (x2  6x)  4 ⇒
 ⇒ x2  6x  16 ⇒ x2  6x  16  0 ⇒ x  8 ou x  2
 S  {x   | x  8 ou x  2}
c) 
1
2
log3 log 1
2
x  
1
x
  1 ⇒ log3 log1
2
x  
1
x
  0 ⇒ 
 ⇒ log1
2
x  
1
x
  1 ⇒
 ⇒ 0  x  
1
x
  
1
2
 ⇒ 
x  
1
x
  0
e
x  
1
x
  
1
2
 ⇒ 
x2  1
x
  0
e
2x2  x  2
2x
  0
 Fazendo o quadro-quociente, vem:
 ⇒ 
1  x  0 ou x  1 (I)
x  
1  17
4
 ou 0  x  
1  17
4
 (II).
 Fazendo (I)  (II), vem:
 S  x   | 1  x  
1  17
4
 ou 1  x  
1  17
4
 
d) (1,25)1  log
2
2x  (0,64)2  log 2
 
x ⇒ 
5
4
1  log2
2 x
  
4
5
2 (2  log 2 x)
 ⇒
 ⇒ 
5
4
1  log2
2 x
  
4
5
4  2 log 2 x
 ⇒ 
4
5
1 1  log2
2 x
  
4
5
4  2 log 2 x
 ⇒
 ⇒ 
4
5
log2
2 
x  1
  
4
5
4  2 log 2 x
 ⇒ log2
2 x  1  4  2 log
2
 x
 Como log
2
 x  
log2 x
log2 2 
log2 x
1
2
  2 log2 x, podemos escrever:
 (log2 x)
2  1  4  4 log2 x.
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139
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Fazendo log2 x  t, vem:
t2  1  4  4t ⇒ t2  4t  5  0 ⇒ (t   1 ou t  5), isto é,
log2 x   1 ⇒ 0  x  
1
2
 ou (log2 x  5 ⇒ x  32)
S  x   | 0  x  
1
2
 ou x  32
364. 1º caso: 0  x  1 (I)
x2 log2
2 x  log x2
  x1 ⇒ 2  log
2
2 x  log2 x
2 
  1 ⇒ 
⇒ 2  (log2 x)
2  2  log2 x   1.
Fazendo log2 x  t, vem:
2  t2  2t   1 ⇒ t2  2t  3  0 ⇒ (t   3 ou t  1) ⇒
⇒ (log2 x  3 ou log2 x  1) ⇒ 0  x  
1
8
 ou x  2 (II).
A solução do 1º caso é dada por (I)  (II), isto é: 0  x  
1
8
.
2º caso: x  1 (I)
x2 log2
2 x  log2 x2
  x1 ⇒ 2  log
2
2 x  log2 x
2 
  1 ⇒
⇒ 2  (log2 x)
2  2  log2 x  1  0.
Fazendo log2 x  t, vem:
2  t2  2t  1  0 ⇒  t2  2t  3  0 ⇒ 3  t  1, isto é,
 3  log2 x  1 ⇒ 
1
8
  x  2 (II).
A solução do 2º caso é dada por (I)  (II), isto é: 1  x  2.
S  x   | 0  x  
1
8
 ou 1  x  2 
366. a) Devemos ter D  0, isto é:
 4  4 log2 a  0 ⇒ log2 a  1 ⇒ a  
1
2
.
b) Devemos ter D  0, isto é:
 36  4  3  log a  0 ⇒ log a  3 ⇒ 0  a  103.
c) Devemos ter D  0, isto é:
 (log3 a)2 
 4  1  4  0 ⇒ (log3 a)2 
 16  0.
 Fazendo log3 a  t, vem:
 t2 
 16  0 ⇒ (t  4 ou t  4), isto é, 
 (log3 a  4 ou log3 a  4) ⇒ 0  a  
1
81
 ou a  81.
d) Devemos ter D  0, isto é:
 (log2 a)2 
4  1  log2 a  0 ⇒ (log2 a)2 
 4 log2 a  0.
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140
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Fazendo log
2
 a  t, vem:
t2  4t  0 ⇒ (t  0 ou t  4), isto é,
(log
2
 a  0 ou log
2
 a  4) ⇒ 0  a  1 ou a  16.
367. Devemos ter   0, isto é,
(2)2  4  1 (log
10
m)  0 ⇒ 4  4 log
10 
m  0 ⇒ log
10 
m   1 ⇒
⇒ 0  m  
1
10
.
368. A equação admitirá raízes de sinais contrários se o produto das 
raízes for negativo, isto é, P  
c
a
  0.
Temos, então:
log
10
 N
1
  0 ⇒ log
10
 N  0 ⇒ 0  N  1.
369. Devemos ter   0, isto é,
[(log
e
 t  3)]2  4  1  (log
e
 t)  0 ⇒ (log
e
 t)2  10 log
e
 t  9  0.
Fazendo log
e
 t  y, vem:
y2  10y  9  0 ⇒ y  9 ou y  1, isto é, 
log
e
 t  9 ou log
e
 t  1 ⇒ 0  t  e9 ou t  
1
e
.
370. Devemos ter P  
c
a
  0, isto é, 
log (2a2  9a  10)
3
  0 ⇒ log (2a2  9a  10)  0 ⇒
0  2a2  9a  10  1 ⇒ 
2a2  9a  10  0
2a2  9a  9  0
 ⇒
⇒ 
a  2 ou a  
5
2
 (I)
3
2
  a  3 (II)
Devemos ter 
3
2
  a  2 ou 
5
2
  a  3 para satisfazer (I) e (II).
371. a) 1º caso: Se log
2
(1  x)  0, isto é, 1  x  1 ⇒ x  0 (I).
 Temos:
 (4  x2)  log
2
 (1  x)  0 
(I)
 4  x2  0 ⇒ x   2 ou x  2 (II).
 Fazendo (I)  (II), temos x   2.
 2º caso: Se log
2 
(1  x)  0, isto é, 0  1  x  1 ⇒ 0  x  1 (I). 
Temos:
 (4  x2)  log
2
 (1  x)  0 
(I)
 4  x2  0 ⇒ 2  x  2 (II).
 Fazendo (I)  (II), temos 0  x  1.
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 Assim, agrupando as 2 possibilidades, vem:
 S  {x   | x  2 ou 0  x  1}
b) 1º caso: Se log1
2
(3x  4)  0 ⇒ 0  3x  4  1 ⇒ 
4
3
  x  
5
3
 (I)
 Temos:
 (5x2  x  6)  log1
2
 (3x  4)  0 
(I)
 5x2  x  6  0 ⇒
 ⇒ x  
6
5
 ou x  1 (II).
 Fazendo (I)  (II), temos: 
4
3
  x  
5
3
.
 2º caso: log1
2
 (3x  4)  0 ⇒ 3x  4  1 ⇒ x  
5
3
 (I).
 Temos:
 (5x2  x  6)  log1
2
 (3x  4)  0 
(I)
 5x2  x  6  0 ⇒
 ⇒ 
6
5
  x  1 (II).
 Fazendo (I)  (II), temos: (I)  (II)  .
 Assim, temos soluções apenas no 1º caso.
 S  x   | 
4
3
  x  
5
3
 
372. A condição de existência dos logaritmos é x  0.
Fazendo log x  t(x  10t), vem:
x
1
log x  log x  1 ⇒ (10t)
1
t  t  1 ⇒ t  
1
10
 ⇒ log x  
1
10
 ⇒
⇒ 0  x  10
1
10.
S  x   | 0  x  10
10
374. a) A condição de existência do logaritmo é
 x  2 e x  0 e x  1 e x  1 (I).
 1º caso: x2  1, isto é, x  1 ou x  1 (II).
 Temos: 
 logx2 (x  2)  1 ⇒ x  2  x2 ⇒ x2  x  2  0 ⇒
 ⇒ x  1 ou x  2 (II).
 A solução é dada por (I)  (II)  (III): 2  x  1 ou x  2.
 2º caso: 0  x2  1, isto é, 1  x  1 e x  0 (IV).
 Temos:
 logx2 (x  2)  1 ⇒ x  2  x2 ⇒ x2  x  2  0 ⇒ 1  x  2 (V).
 A solução, neste caso, é dada por (I)  (IV)  (V): 1  x  1 e 
x  0.
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 Considerando as duas possibilidades, temos:
 S  {x   | 2  x  1 ou x  2 ou (1  x  1 e x  0)},
 que é equivalente a S  {x   | (2  x  1 e x  0 e x  1) 
ou x  2}.
b) A condição de existência do logaritmo é x  
3
2
 e x  1 e 
x  0 (I).
 1º caso: Se 2x  3  1, isto é, x  1 (II).
 Temos: log2x  3 x
2  1 ⇒ x2  2x  3 ⇒ x2  2x  3  0 ⇒
 ⇒ 1  x  3 (III).
 A solução S1 neste caso é dada por (I)  (II)  (III):
 S1  {x   | x  0 e 1  x  3}.
 2º caso: Se 0  2x  3  1, isto é, 
3
2
  x  1 (IV).
 Temos: log2x  3 x
2  1 ⇒ x2  2x  3 ⇒ x2  2x  3  0 ⇒
 ⇒ x  1 ou x  3 (V).
 A solução S2 neste caso é dada por S2  (I)  (IV)  (V).
 S  x   | 
3
2
  x  1 
 A solução da inequação proposta é:
 S  S1  S2  x   | 
3
2
  x  3 e x  0 e x  1
c) A condição de existência do logaritmo é (x  1 e x  0 e x  1) 
ou x  4 (I).
 1º caso: Se x2  1, isto é, x  1 ou x  1 (II), temos:
 logx2 (x2  5x  4)  1 ⇒ x2  5x  4  x2 ⇒ x  
4
5
 (III).
 A solução S1 neste caso é dada por (I)  (II)  (III):
 S1  {x   | x  4}
 2º caso: Se x2  1, isto é, 1  x  1 e x  0 (IV), temos:
 logx2 (x
2  5x  4)  1 ⇒ x2  5x  4  x2 ⇒ x  
4
5
 (V).
 A solução S2 neste caso é dada por (I)  (IV)  (V), isto é,
 S2  x   | 1  x  
4
5
 e x  0 .
 A solução da inequação proposta é: S  S1  S2, isto é, 
 S  x   | 1  x  
4
5
 e x  0 ou x  4 .
d) A condição de existência do logaritmo é 0  x  
6
5
 e x  1 (I).
 1º caso: Se x  1 (II), então:
 logx 
4x  5
6  5x
  1 ⇒ 
4x  5
6  5x
  x1 ⇒ 2x2  5x  3  0 ⇒
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 ⇒ 3  x  
1
2
 (III).
 A solução S1 neste caso é dada por (I)  (II)  (III), isto é, S1  .
 2º caso: Se 0  x  1 (IV), então:
 logx 
4x  5
6  5x
  1 ⇒ 
4x  5
6  5x
  x1 ⇒ 2x2  5x  3  0 ⇒
 ⇒ x  3 ou x  
1
2
 (V).
 A solução S2 neste caso é dada por (I)  (IV)  (V), isto é:
 S2  x   | 
1
2
  x  1 .
 A solução da inequação proposta é: S  S1  S2  S2  
  x   | 
1
2
  x  1 .
e) A condição de existência do logaritmo é 0  3x2  1  1. Como 
∀x  , 3x2  1  0, devemos ter: 3x2  1  1 ⇒ x  0 (I). 
Notemos que, para ∀x  *, vem 3x2  1  1. Assim, há um 
único caso a considerar:
 log3x2  1 2  
1
2
 ⇒ 2  (3x2  1)
1
2, isto é, 2  3x2  1 ⇒
 ⇒ 4  3x2  1 ⇒ x  1 ou x  1 (II).
 A solução da inequação proposta é: S  (I)  (II), isto é:
 S  {x   | x  1 ou x  1}. 
f) A condição de 
 existência do 
x  3
x  1
  0
e
0  x  1
(x  3 ou x  1)
e
0  x  1
⇒ x  1 (I).⇒
 logaritmo é
 Como x  1, temos:
 logx 
x  3
x  1
  1 ⇒ 
x  3
x  1
  x ⇒ 1  x  3 (II).
 A solução S neste caso é dada por: (I)  (II), isto é,
 S  {x   | 1  x  3}. 
g) A condição de existência do logaritmo é (6  x  1 e x  5) 
ou x  2 (I).
 1º caso: Se x  6  1, isto é, x  5 (II), temos:
 logx  6 (x
2  x  2)  1 ⇒ x2  x  2  x  6 ⇒ x  2 ou 
x  4 (III).
 A solução S1 neste caso é dada por (I)  (II)  (III):
 S  {x   | 5  x  2 ou x  4}. 
 2º caso: Se 0  x  6  1, isto é, 6  x  5 (IV), temos:
 logx  6 (x
2  x  2)  1 ⇒ x2  x  2  x  6 ⇒ 2 x  4 (V).
 A solução S2 neste caso é dada por: (I)  (IV)  (V), isto é, S2  .
 A solução da inequação proposta é S  S1  S2  S1, isto é:
 S  {x   | 5  x  2 ou x  4}
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144
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
h) A condição de existência do logaritmo é x  2
5
2
 e x  
3
2
 e 
 x  5 e x  2
3
2
 (I).
 1º caso: Se 
2x 1 5
2
  1 ⇒ x  2
3
2
 (II), temos:
 log 2x 1 5
2
 
x 2 5
2x 2 3
2
  0 ⇒ 
x 2 5
2x 2 3
2
  1 ⇒ 
23x2 1 2x 1 16
(2x 2 3)2
  0 ⇒
	
x 
3
2
 23x2 1 2x 1 16  0 
x 
3
2
 22  x  
8
3
 (III).
 A solução S1 neste caso é dada por (I)  (II)  (III), isto é:
 S1 5 x   | 2
3
2
  x  
8
3
 e x  
3
2
 .
 2º caso: Se 0  
2x 1 5
2
  1 ⇒ 2
5
2
  x  2
3
2
 (IV), temos:
 log 2x 1 5
2
 
x 2 5
2x 2 3
2
  0 ⇒ 
x 2 5
2x 2 3
2
  1 ⇒
	 ⇒ 
23x2 1 2x 1 16
(2x 2 3)2
  0 ⇒
 ⇒ 23x2 1 2x 1 16  0 ⇒ x  22 ou x  
8
3
 (V).
 A solução S2 neste caso é dada por: (I)  (IV)  (V), isto é:
 S2 5 x   | 2
5
2
  x  22 .
 A solução S da inequação proposta é S 5 S1  S2, isto é:
 S 5 x   | 2
3
2
  x  
8
2
 e x  
3
2
 ou 2
5
2
  x  22 .
i) A condição de existência do logaritmo é
 
x
3
  0
e
0  2x2 2 7x 1 6  1
x  0
e
x  
3
2
 ou x  2 e x  
5
2
 e x  1 ⇒
⇒
 ⇒ 0  x  
3
2
 e x  1 ou x  2 e x  
5
2
.
 1º caso: Se 2x2 2 7x 1 6  1 ⇒ 2x2 2 7x 1 6  1 ⇒ x  1 ou
 x  
5
2
 (II), temos: log 2x2 2 7x 1 6 
x
3
  0 ⇒ 
x
3
  1 ⇒ x  3 (III).
 A solução S1 neste caso é dada por (I)  (II)  (III), isto é:
 S1 5 {x   | x  3}. 
 2º caso: Se 0  2x2 2 7x 1 6  1 ⇒ 1  x  
5
2
 (IV), temos:
 log 2x2 2 7x 1 6 
x
3
  0 ⇒ 
x
3
  1 ⇒ x  3 (V).
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145
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
 A solução S2 neste caso é dada por (I)  (IV)  (V):
 S2  x   | 1  x  
3
2
 ou 2  x  
5
2
 .
 A solução da inequação proposta é S  S1  S2, isto é:
 S  x   | 1  x  
3
2
 ou 2  x  
5
2
 ou x  3 .
375. A condição de existência do logaritmo é 
1
2
  x  1 (I).
1º caso: Se x  1 (II), temos:
logx (2x  1)  2 ⇒ 2x  1  x2 ⇒ x2  2x  1  0 ⇒
⇒ x2  2x  1  0 ⇒ (x  1)2  0, que é satisfeita ∀x   (III).
A solução S1 neste caso é dada por (I)  (II)  (III), isto é:
S1  {x   | x  1}.
2º caso: Se 0  x  1 (IV), temos:
logx (2x  1)  2 ⇒ 2x  1  x2 ⇒ x2  2x  1  0 ⇒
⇒ x2  2x  1  0 ⇒ x  
1
2
 (V).
A solução S2 neste caso é dada por (I)  (IV)  (V), isto é, S2  .
A solução da inequação proposta é S  S1  S2  S1  {x    x  1}.
376. A condição de existência da equação é: 
a2b  0
0  a  1 (I)
0  b  1Temos:
loga (a
2b)  logb a
5 ⇒ 2  loga b  5 logb a.
Como logb a  
1
loga b
, temos: 2  loga b  
5
loga b
.
Fazendo loga b  t, vem:
2  t  
5
t
 ⇒ 
t2  2t  5
t
  0.
Como para ∀t  , temos t2  2t  5  0, devemos ter t  0, isto é, 
loga b  0.
1º caso: a  1 ⇒ loga b  0 ⇒ b  1 (II).
De (I)  (II) resulta que a  1 e b  1.
2º caso: 0  a  1 ⇒ loga b  0 ⇒ 0  b  1 (III).
De (I)  (II) resulta que 0  a  1 e 0  b  1.
Assim há 2 possibilidades 
a  1 e b  1
ou
0  a  1 e 0  b  1
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146
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
377. Como log1
2
 (3x  4)  log2(3x  4), a inequação proposta equivale a:
log2 (x  1)  [log2 (3x  4)]  0 ⇒ log2 (x  1)  log2 (3x  4)  0.
Vamos obter graficamente a solução. Para isso, precisamos construir 
os gráficos de f (x)  log2 (x  1) e g(x)  log2 (3x  4).
Temos:
y
2
1
– 1
1 2 3 4 5 x
f(x) = log
2
 (x – 1)
g(x) = log
2
 (3x – 4)
3
4
3
5
Notemos que 
3
2
, 1 é o ponto de interseção das duas curvas, 
pois corresponde à solução da equação: log2 (x  1)  log2 (3x  4).
O que desejamos encontrar são os valores de x tais que f (x)  g(x)  0.
Notemos que para 
5
3
  x  2 temos g(x)  0 e f (x)  0, de modo que 
f (x)  g(x)  0.
S  x   | 
5
3
  x  2 
378. Aplicando logaritmo de base a(a  1) a ambos os membros da 
desigualdade, vem:
xloga x  1  a2x 
a  1
 loga (x
loga x  1)  loga (a
2x) ⇒
⇒ (loga x  1)  loga x  2  loga x.
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147
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
Fazendo loga x  t, vem:
(t  1)t  2  t ⇒ t2  2  0 ⇒ t   2 ou t  2 , isto é,
loga x   2 ou loga x  2 
a  1
 0  x  a 2 ou x  a 2 .
S  x   | 0  x  a 2 ou x  a 2 
379. Escrevendo os logaritmos em base 2, temos:
log1
2
 x  log3 x  1 ⇒ 
log2 x
log2 
1
2
  
log2 x
log3 2
  1 ⇒
⇒ log2 x  
log2 x
log3 2
  1.
Fazendo log2 x  t, vem:
t  
t
log3 2
  1 ⇒ t  
1
log3 2
 1 
 0
  1 ⇒ t  
log2 3
1  log2 3
 ⇒
⇒ t  
log2 3
log2 2  log2 3
 ⇒ t  
log2 3
log2 
2
3
 ⇒ t  log2
3
 3, isto é:
log2 x  log2
3
 3 ⇒ 0  x  2
log 2
3
3
.
S  x   | 0  x  2
log 2
3
3
380. A condição de existência é x  0 (I)
Temos:
log2 (2
x  1)  log1
2
 (2x  1  2)  2 ⇒
⇒ log2 (2
x  1)  log1
2
 (2x  2  2)  2 ⇒
⇒ log2 (2
x  1)  log1
2
 [2(2x  1)]  2.
Fazendo 2x  1  t, vem:
log2 t  log1
2
 (2t)  2 ⇒ log2 t  log1
2
 2  log1
2
 t  2 ⇒
⇒ log2 t  (1  log2 t)  2.
Fazendo log2 t  r, vem:
r  (1  r)  2 ⇒ r2  r  2  0 ⇒ r2  r  2  0 ⇒
⇒ 2  r  1, isto é,
2  log2 t  1 ⇒ 
1
4
  t  2, isto é,
1
4
  2x  1  2 ⇒ 
5
4
  2x  3 ⇒ log2 
5
4
  x  log2 3 (II). 
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148
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
A solução da inequação proposta é dada por (I)  (II), isto é,
S  x   | log2 
5
4
  x  log2 3 .
381. Como log3 27  3 e log2 8  
3
2
, a desigualdade proposta equivale a:
(x  3)  x  
3
2
  0.
Fazendo o quadro-produto, temos:
S  x   | 
3
2
  x  3 .
382. 1º caso: Se log1
2
 (x  1)  0, isto é, 0  x  1  1 ⇒ 1  x  2 (I), temos:
x  log1
2
 (x  1)  0 ⇒ x  0 (II).
A solução neste caso é dada por (I)  (II), isto é, S1  .
2º caso: Se log1
2
 (x  1)  0, isto é, x  1  1 ⇒ x  2 (I), temos:
x  log1
2
 (x  1)  0 ⇒ x  0 (II).
A solução neste caso é dada por (I)  (II), isto é,
S  {x   | x  2}.
A solução da inequação proposta é S  S1  S2  S2  {x   | x  2}.
CAPÍTULO VII — Logaritmos decimais
383. Utilizando as regras (I) e (II), temos:
log 7 → C  0
log 0,032 → C  2
log 105 → C  5
log 0,00010 → C  4
384. a) A característica é 3 e a mantissa é 0,5065.
 Temos, então: log 3 210  3  0,5065  3,5065.
b) A característica é 1 e a mantissa é 0,4048.
 Assim, log 25,4  1  0,4048  1,4048.
c) A característica é 0 e a mantissa é 0,7574.
 Assim, log 5,72  0  0,7574  0,7574.
d) A característica é 1 e a mantissa é 0,8692.
 Assim, log 0,74  1  0,8692  1,8692.
e) A característica é 3 e a mantissa é 0,5527.
 Assim, log 0,00357  3  0,5527  3,5527.
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149
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
385. a) x  antilog 3,8768 ⇒ log x  3,8768  3  0,8768.
 Com a mantissa 0,8768 encontramos o número 753, mas, como 
a característica de log x é 3, temos x  7 530.
b) x  antilog 1,8035 ⇒ log x  1,8035  1  0,8035.
 Com a mantissa 0,8035 encontramos o número 636, mas, como 
a característica de log x é 1, temos x  63,6.
c) x  antilog 0,9175 ⇒ log x  0,9175  0  0,9175.
 Com a mantissa 0,9175 encontramos o número 827, mas, como 
a característica de log x é 0, temos x  8,27.
d) x  antilog 1,5145 ⇒ log x  1,5145  1  0,5145.
 Com a mantissa 0,5145 encontramos o número 327, mas, como 
a característica de log x é 1, temos x  0,327.
e) antilog 3,6693  x ⇒ log x  3,6693  3  0,6693.
 Com a mantissa 0,6693 encontramoso número 467, mas, como 
a característica de log x é 3, temos x  0,00467.
f) x  antilog 2,1271 ⇒ log x  2,1271 ⇒ log x  2  0,1271.
 Com a mantissa 0,1271 encontramos o número 134, mas, como 
a característica de log x é 2, temos x  0,0134.
386. a) antilog 2,0899  x ⇒ log x  2,0899  2  0,0899  
  2  1  1  0,0899   3  0,9101.
 Com a mantissa 0,9101 encontramos o número 813, mas, como 
a característica de log x é  3, temos x  0,00813.
b) antilog 3,2147  x ⇒ log x  3,2147  3  0,2147 
  3  1  1  0,2147  4  0,7853.
 Com a mantissa 0,7853 encontramos o número 610, mas, como 
a característica de log x é 4, temos x  0,00061.
c) antilog 0,4473  x ⇒ log x  0,4473  1  1  0,4473 
  1  0,5527.
 Com a mantissa 0,5527 encontramos o número 357, mas, como 
a característica de log x é 1, temos x  0,357.
d) antilog 1,6517  x ⇒ log x  1,6517  1  0,6517 
  1  1  1  0,6517  2  0,3483.
 Com a mantissa 0,3483 encontramos o número 223, mas, como 
a característica de log x é 2, vem que x  0,0223.
387. a) Considerando a função y  log x, temos:
 
x y  log x
x
1
  3270
x
3
  3275
x
2
  3280
y
1
  3  0,5145  3,5145
y
3
  ?
y
2
  3  0,5159  3,5159
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150
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
A
C
B
D
F E log 3 280 = y
2
lo
g
 3
 2
7
0
 =
 y
1
y
3
x
3
 = 3 275x
1
 = 3 270 x
2
 = 3 280
 Utilizando a aproximação linear para a função logarítmica, temos:
 AFD  AEB, donde:
 
x
3
  x
1
x
2
  x
1
  
y
3
  y
1
y
2
  y
1
 ⇒ 
5
10
  
y
3
  3,5145
3,5159  3,5145
 ⇒ 
 ⇒ y
3
  3,5152, isto é, log 3275  3,5152.
b) Considerando a função y  log x, temos:
 
x y  log x
x
1
  23,7 y
1
  1  0,3747  1,3747
x
3
  23,72 y
3
  ?
x
2
  23,8
2
  1  0,3766  1,3766
 Por raciocínio idêntico ao anterior, temos:
 y
3
  log 23,72  1,3751.
c) Considerando a função y  log x, temos:
 
x y  log x
x
1
  0,0457 y
1
  2  0,6599
x
3
  0,04576 y
3
  ?
x
2
  0,0458 y
2
  2  0,6609
 Por raciocínio idêntico aos anteriores, vem:
 y
3
  log 0,04576  1,3395  2,6605.
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151
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
d) Considerando a função y  log x, temos:
 
x y  log x
x
1
  0,835 y
1
  1  0,9217
x
3
  0,8358 y
3
  ?
x
2
  0,836 y
2
  1  0,9222
 Analogamente aos anteriores, segue que:
 y
3
  log 0,8358  0,0779  1,9221.
e) Considerando a função y  log x, temos:
 
x y  log x
x
1
  2,71 y
1
  0  0,4330
x
3
  2,718 y
3
  ?
x
2
  2,7 y
2
  0  0,4346
 Analogamente aos anteriores, vem:
 y
3
  log 2,718 ≅ log e ≅ 0,4343.
388. a) x  antilog 1,3552 ⇒ log x  1,3552  1  0,3552.
 A mantissa 0,3552 não aparece na tábua, porém está 
compreendida entre as mantissas 0,3541 e 0,3560.
 Considerando a função y  log x, temos:
 
x y  log x
x
1
  22,6 y
1
  log 22,6  1,3541
x
3
  ? y
3
  log x
3
  1,3552
x
2
  22,7 y
2
  log 22,7  1,3560
 Analogamente ao exercício anterior, temos que x
3
 ≅ 22,65.
 Assim, antilog 1,3552 ≅ 22,65.
b) x  antilog 0,4357 ⇒ log x  04357  0  0,4357.
 A mantissa 0,4357 não aparece na tábua, porém está 
compreendida entre as mantissas 0,4346 e 0,4362. Temos:
 
x y  log x
x
1
  2,72 y
1
  log 2,72  0,4346
x
3
  ? y
3
  log x
3
  0,4357
x
2
  2,73 y
2
  log 2,72  0,4362
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152
MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
 Analogamente ao anterior, vem:
 x
3
  2,727, isto é, antilog 0,4357  2,727.
c) x  antilog 1,7383 ⇒ log x  1,7383  1  0,7383.
 A mantissa 0,7383 não aparece na tábua, porém está 
compreendida entre as mantissas 0,7380 e 0,7388. Temos:
 
x y  log x
x
1
  0,547 y
1
  log 0,547  0,262
x
3
  ? y
3
  log x
3
  0,2617
x
2
  0,548 y
2
  0,548  0,261
 Do raciocínio anterior, vem:
 x
3
  0,5474, isto é, antilog 1,7383  0,5474.
d) x  antilog 1,6336 ⇒ log x  1,6336 ⇒ log x  1  0,6336 
  1  1  1  0,6336  2  0,3664.
 A mantissa 0,3664 não aparece na tábua, porém está compreendida 
entre as mantissas 0,3655 e 0,3674. Temos:
 
x y  log x
x
1
  0,0232 y
1
  log 0,0232  1,6345
x
3
  ? y
3
  log x
3
  1,6336
x
2
  0,0233 y
2
  log 0,0233  1,6326
 Teremos: x
3
  0,02325, isto é, antilog 1,6336  0,02325.
389. (I) Para calcularmos a
1
, notemos que:
 log 12 300  4  0,0899  4,0899
 e
 log 12 400  4  0,0934  4,0934
 Por interpolação linear, temos que a
1
  log 12 345  4,0909.
(II) Para calcularmos a
2
, notemos que:
 log 4  0  0,6021  0,6021
 e
 log 4,1  0  0,6128  0,6128
 Por interpolação linear, temos que a
2
  log 4,0909  0,6118.
(III) Para calcularmos a
3
, notemos que:
 log 0,61  1  0,7853  0,2147
 e
 log 0,62  1  0,7924  0,2076
 Por interpolação linear, temos que a
3
  log 0,6118  0,2134.
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153
COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
(V) Como a
4
 5 log a
3
 e a
3
  0, a
4
 não está definido em , pois 
precisamos ter logaritmando positivo.
 Assim, o maior valor de n é n 5 3.
391. a) log
3
 2 5 
log 2
log 3
 5 
0,3010
0,4771
 5 0,6309
b) log
2
 5 5 
log 5
log 2
 5 
0,6990
0,3010
 5 2,3222
c) log
5
 3 5 
log 3
log 5
 5 
0,4771
0,6990
 5 0,6825
d) log
5
 6 5 
log 6
log 5
 5 
0,7782
0,6990
 5 1,1133
e) log
6
 4 5 
log 4
log 6
 5 
0,6021
0,7782
 5 0,7737
392. Temos:
log
3
 800 5 
log 800
log 3
 5 
2 1 0,9031
0,4771
 5 6,084.
Assim, log
3
 800 5 6,084; temos então característica 6.
393. Seja N 5 5050. Temos:
N 5 5050 ⇒ log N 5 log(5050) ⇒ log N 5 50 ? log 50 ⇒
⇒ log N 5 50 ? (1 1 0,699) ⇒ log N 5 84,95 5 
c
84 1 
m
0,95.
Como a característica de log N é 84, pela regra I, segue que N 5 5050 
possui 85 algarismos.
394. a) 5x 5 100 ⇒ log 5x 5 log 100 ⇒ x ? log 5 5 2 ⇒ x 5 
2
0,699
 ≅ 2,86. 
b) 3x 5 20 ⇒ log 3x 5 log 20 ⇒ x ? log 3 5 log 20 ⇒
 ⇒ x ? 0,4771 5 (1 1 0,3010) ⇒ x ≅ 2,73.
c) 2x 5 30 ⇒ log 2x 5 log 30 ⇒ x ? log 2 5 log 30 ⇒
 ⇒ x 5 
(1 1 0,4771)
0,3010
 ≅ 4,91.
d) 7x 5 0,3 ⇒ log 7x 5 log 0,3 ⇒ x ? log 7 5 log 0,3 ⇒
 ⇒ x ? 0,8451 5 (21 1 0,4771) ⇒ x ≅ 20,62.
e) ex 5 50 ⇒ log ex 5 log 50 ⇒ x ? log e 5 log 50.
 Pelo item e do exercício 387, log e ≅ 0,4343.
 Então, x 5 
1,6990
0,4343
 ≅ 3,91.
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
395. a) Fazendo 2x  t, equação proposta é equivalente a:
 t2  8t  15  0 ⇒ (t  3 ou t  5), isto é:
 2x  3 ⇒ log 2x  log 3 ⇒ x  
log 3
log 2
  1,58
 ou
 2x  5 ⇒ log 2x  log 5 ⇒ x  
log 5
log 2
  2,32.
 S  {1,58; 2,32}
b) Fazendo 3x  t, a equação proposta é equivalente a:
 t2  5t  4  0 ⇒ (t  1 ou t  4), isto é:
 3x  1 ⇒ x  0
 ou
 3x  4 ⇒ x  
log 4
log 3
  1,26.
 S  {0; 1,26}
c) Fazendo 10x  t, a equação proposta é equivalente a:
 t2  7t  10  0 ⇒ (t  2 ou t  5), isto é:
 10x  2 ⇒ x  log 2  0,30
 ou
 10x  5 ⇒ x  log 5  0,69
 S  {0,30; 0,69}
d) Fazendo ex  t, a equação proposta é equivalente a:
 t2  5t  6  0 ⇒ (t  2 ou t  3), isto é:
 ex  2 ⇒ x  log e  log 2 ⇒ x  0,69
 ou
 ex  3 ⇒ x  log e  log 3 ⇒ x  1,10
 S  {0,69; 1,10}
396. Inicialmente, notemos que:
log
10
 6  log
10
 (2  3)  log
10
 2  log
10
 3  0,30  0,48  0,78
e
log
10
 12  log
10
 (22  3)  2 log
10
 2  log
10
 3  2  0,30  0,48  1,08
Então, temos:
3x  23x  1  62x  1 ⇒ 3x  
23x
2
  62x  6 ⇒ 3x  23x  12  62x ⇒
⇒ log
10
 (3x  23x)  log
10
 ((12  62x) ⇒
⇒ x  log
10
 3  3x  log
10
 2  log
10
 12  2x  log
10
 6 ⇒
⇒ x  0,48  3x  0,30  1,08  2x  0,78 ⇒
⇒ 1,38x  1,08  1,56x ⇒ x  6.
S  {6}
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COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR | MANUAL
2 | Fundamentos de Matemática Elementar
398. a) x  3
6
 ⇒ log x  log 3
6
 ⇒ log x  log 3
1
6 ⇒
 ⇒ log x  
1
6
  log 3 ⇒ log x  
1
6
  0,4771  0,0795
 Por interpolação linear, x  1,201.
b) x  10
4
 ⇒ log x  log 10
4
 ⇒ log x  log10
1
4 ⇒
 ⇒ log x  
1
4
  log 10 ⇒ log x  0,25.
 Por interpolação linear, x  1,778.
c) x  23,4 ⇒ log x  log 23,4 ⇒ log x  3,4  log 2 ⇒
 ⇒ log x  3,4  0,3010  1,0234.
 Por interpolação linear, x  10,554.
d) x  52,3 ⇒ log x  2,3  log 5 ⇒ log x  2,3  0,6990 ⇒
 ⇒ log x  1,6077.
 Por interpolação linear, x  40,520.
399. Temos:
V  
4R3
3
 ⇒ R3  
3V
4
 ≅ 
3  20
4  3,14
 ≅ 4,78.
Assim,
R3  4,78 ⇒ log R3  log 4,78 ⇒ 3 log R  log 4,78.
Da tábua, log 4,78  0  0,6794, isto é, log 4,78 ≅ 0,6794, donde 
log R ≅ 0,2264,
Novamente por interpolação linear, vem que R ≅ 1,68 cm.
400. Temos:
A  (3,4)3  (1,73)2
5
 ⇒ A  [(3,4)3  (1,73)2]
1
5 ⇒
⇒ log A  
1
5
  log [(3,4)3  (1,73)2] ⇒
⇒ log A  
1
5
  [3 log 3,4  2 log 1,73].
Da tábua temos:
log 3,4  0,5315 e log 1,73  0,2380, donde:
log A  
1
5
  [3  0,5315  2  0,2380] ⇒ log A  0,414.
Por interpolação linear, A  2,60.
402. Devemos ter: C  3Co, isto é:
C  Co  (1  i)t ⇒ 3  Co  Co  (1  0,03)t ⇒ (1,03)t  3 ⇒
⇒ t  log 1,03  log 3 ⇒ t  0,0128  0,4771 ⇒ t  37,2.
Resposta: 38 meses.
403. Devemos ter: C  2Co, isto é:
C  Co  (1  i)t ⇒ 2  Co  Co  (1  0,105)t ⇒ 2  1,105t ⇒
⇒ log 2  t  log 1,105.
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MANUAL | COMPLEMENTO PARA O PROFESSOR
Fundamentos de Matemática Elementar | 2
Como log 1,1  0,0414 e log 1,2  0,0792, por interpolação linear,
log 1,105  0,0433.
Daí, t  
0,301
0,0433
  6,95.
Resposta: 7 trimestres.
404. Temos: Co  106, i  0,03 e t  18.
Daí,
C  Co  (1  i)t ⇒ C  106  (1  0,03)18 ⇒ C  106  1,0318 ⇒
⇒ log C  log (106  1,0318) ⇒ log C  6  18  log 1,03.
Da tábua, log 1,03  0,0128.
Daí, log C  6  18  0,0128  6,2304  6  0,2304.
Com a mantissa 0,2304 encontramos na tábua o número 170. 
Como a característica de log C é 6, segue que C  1 700 000.
Resposta: R$ 1 700 000,00.
405. Temos: Co  5  105, i  0,04 e t  48 trimestres.
Daí,
C  Co  (1  i)t ⇒ C  5  105  (1,04)48 ⇒
⇒ log C  log [5  105  (1,04)48] ⇒ log C  log 5  5  48  log 1,04.
Como 
log 1,04  0,017
e
log 5  0,699
, vem que log C  6,515.
Por interpolação linear, segue que C  3 273 000.
Resposta: R$ 3 273 000,00.
406. O número de bactérias após 3 horas é dado por:
N(3)  2 000  10
3
36 ⇒ log N(3)  log (2 000  10
3
36) ⇒
⇒ log N(3)  log 2 000  
1
12
 log 10.
Como log 2 000  3,3010, vem que:
log N(3)  3,3010  
1
12
 ≅ 3,3843.
Por interpolação linear, N(3)  2 422.
Resposta: Após 3 horas, haverá 2 422 bactérias.
407. Temos:
Q(t)  Qo  10Kt ⇒ Q(20)  Qo  1020K ⇒ 
⇒ 400  500  1020K ⇒ 
4
5
  1020K ⇒ 0,8  1020K ⇒
⇒ log 0,8  log 1020K 
tábua
 (1  0,9031)  20K ⇒
⇒ 20K  0,0969 ⇒ K  0,004845.
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Fundamentos 
de matemática 
elementar
Logaritmos
novAS QUESTÕES dE vESTibUlArES
G
el
so
n
 ie
zz
i 
o
sv
a
ld
o
 d
o
lc
e 
c
a
rl
o
s 
m
u
ra
ka
m
i
2
Fundamentos de matemática elementar 
é uma coleção consagrada ao longo dos 
anos por oferecer ao estudante o mais 
completo conteúdo de Matemática 
elementar. Os volumes estão organizados 
da seguinte forma:
VOLUME 1 conjuntos, funções
VOLUME 2 logaritmos
VOLUME 3 trigonometria
VOLUME 4
sequências, matrizes, 
determinantes, sistemas
VOLUME 5
combinatória, 
probabilidade
VOLUME 6
complexos, polinômios, 
equações
VOLUME 7 geometria analítica
VOLUME 8
limites, derivadas, 
noções de integral
VOLUME 9 geometria plana
VOLUME 10 geometria espacial
VOLUME 11
matemática comercial, 
matemática financeira, 
estatística descritiva
A coleção atende a alunos do ensino 
médio que procuram uma formação 
mais aprofundada, estudantes em fase 
pré-vestibular e também universitários que 
necessitam rever a Matemática elementar.
os volumes contêm teoria e 
exercícios de aplicação, além 
de uma seção de questões de 
vestibulares, acompanhadas de 
respostas. Há ainda uma série 
de artigos sobre história da 
matemática relacionados aos 
temas abordados.
na presente edição, a seção 
de questões de vestibulares foi 
atualizada, apresentando novos 
testes e questões dissertativas 
selecionados a partir dos 
melhores vestibulares do país.
2
Fu
n
d
a
m
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	Verso