Aula 1

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1 
 Cálculo I 
Projeto Integrador ( AV2) 
 
• Inscrições: 26-08 à 21-09 
• Entrega do pré projeto: 23 à 27-09 
• Apresentação do 2º ao 4º semestre: 31-10 ( quinta feira) 
• Apresentação do 5º ao 8º semestre: 01-11 ( sexta feira) 
• Apresentação de Sumô de Robô : 03-12 ( no dia da amostra 
de projeto) 
 
• Todas as informações estarão disponíveis no site: 
www.unijorge.edu.br/sistemas/projetointegrador a apartir do 
dia 12-08. 
 Cálculo I 
Datas de provas e 
atividades 
• Atividade AV1 ( Pontuação 3,0 pontos): 05/09 
• AV1( pontuação 7,0 pontos): 26/09 
• AV2 ( Apresentação do projeto integrador do 2º ao 4º semestre): 
31/10( quinta feira). 
• Atividade AV3 ( Pontuação 3,0 pontos): à definir 
• AV3( pontuação 7,0 pontos): 28/11 
• Atividade AV4( APED): semana de 18/11 até 22/11 
Obs: Data ainda será divulgada 
• Segunda Chamada AV1: 05-12-2013 
• Segunda Chamada AV3: 07-12-2013 
• Prova Final: 19-12-2013 
 
 
 Cálculo I 
•BOYCE, W. E. Equações diferenciais elementares e problemas 
•de valor de contorno. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
 
•ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais com Aplicações em 
Modelagem. São Paulo: Thomson Learning, 2003. 
 
•FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A. F.. Equações diferenciais 
 aplicadas. Rio de Janeiro: Impa, 2005. 
 Cálculo I 
•ABUNAHMAN, Sérgio. Equações Diferenciais. Rio de Janeiro: 
ÉRCA, 1989. 
 
•PISKOUNOV, N.. Cálculo diferencial e integral v.2. São Paulo: 
 Lopes da Silva, 1977. 
 
•STEWART, James. Cálculo, vol. 2. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003. 
 
• ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais com Aplicações em 
 Modelagem. São Paulo: Thomson Learning, 2003. 
 
Contatos 
• Professora : Andréa Souza 
• ead.batista@gmail.com ou portal com 
avisos. 
 
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 Cálculo I 
Projeto Integrador ( AV2) 
 
• Inscrições: 26-08 à 21-09 
• Entrega do pré projeto: 23 à 27-09 
• Apresentação do 2º ao 4º semestre: 31-10 ( quinta feira) 
• Apresentação do 5º ao 8º semestre: 01-11 ( sexta feira) 
• Apresentação de Sumô de Robô : 03-12 ( no dia da amostra 
de projeto) 
 
• Todas as informações estarão disponíveis no site: 
www.unijorge.edu.br/sistemas/projetointegrador a apartir do 
dia 12-08. 
CONTEÚDO 
PROGRAMÁTICO 
1. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 1.1 Definição. 
 1.2 Derivadas parciais 
 1.3 Diferenciabilidade 
2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 2.1Definição, ordem, grau e classificação. 
 2.2 Curvas integrais 
 3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 1a ORDEM 
 3.1 Equações de Variáveis separáveis – problemas geométricos, trajetórias 
ortogonais, 
 aplicações diversas. 
 3.2 Equações homogêneas 
 3.3 Equações redutíveis a homogêneas 
 3.4 Equações diferenciais exatas – fatores de integração 
 3.5 Equações diferenciais lineares 
 3.6 Envoltórias das curvas planas, soluções singulares, interpretação geométrica. 
 3.7 Equações de grau maior do que 1 
4. EQUAÇÕES DE ORDEM SUPERIOR À PRIMEIRA 
 4.1 Redução de ordem de uma equação diferencial. Aplicações 
 4.2 Tipos especiais de equações de 2a ordem 
 4.3 Equações diferenciais lineares. Propriedades gerais 
 4.4 Equações lineares de coeficientes constantes, homogêneas e não-homogêneas 
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDP) 
 5.1 Resolução de EDP lineares de 1o ordem pelos métodos de Lagrange 
 5.2 EDP de 2a ordem: Equação de Laplace, da onda e do calor. Método de separação 
de variáveis. 
A derivada de uma função 
constante é zero. 
f(x) c (c ) 
f '(x) 0
Derivada da função Potência 
nf(x) x n 1f '(x) n x  
3 
f(x) 6 f (x) 0  
4 4 1 3f(x) x f (x) 4.x 4.x   
A derivada da soma é a soma 
das derivadas. 
f(x) g(x) h(x) 
f '(x) g'(x) h'(x) 
4f(x) x x 6  
Vamos encontrar a derivada da 
função: 
4f(x) x x 6  
4 1f '(x) 4x  1 11x 
  4f '(x) (x )' (x)' (6)'
0
3f '(x) 4x
0x 0
3f '(x) 4x 1 
f(x) g(x) h(x) 
 f '(x) g'(x)h(x) g(x)h'(x)
A derivada do produto 
Vamos derivar a função: 
  3 2 5 2f(x) 2x 4x 3x x  
4 
  3 2 5 2f(x) 2x 4x 3x x  
           3 2 5 2 3 2 5 2f '(x) 2x 4x ' 3x x 2x 4x 3x x '
     2 5 2 3 2 46x 8x 3x X 2x 4x 15x 2X     
       7 4 6 3 7 4 6 318x 6x 24x 8x 30x 4x 60x 8x
7 6 4 348x 84x 10x 16x   
g(x)
f(x)
h(x)

2
g'(x)h(x) g(x)h'(x)
f '(x)
[h(x)]


, h(x) 0
A derivada do quociente 
3 2
5 2
2x 4x
f(x)
3x x



Encontre a derivada da função 
3 2
5 2
2x 4x
f(x)
3x x



u
f(x)
v

 
2
u'v uv '
f '(x)
v


  
      
 
3 2 5 2 3 2 5 2
2
5 2
2x 4x ' 3x x 2x 4x 3x x '
f '(x)
3x x
    

 
 
     
 
2 5 2 3 2 4
2
5 2
6x 8x 3x x 2x 4x 15x 2x
3x x
    

 
 
     
 
2 5 2 3 2 4
2
5 2
6x 8x 3x x 2x 4x 15x 2x
3x x
    

 
 
 
7 4 6 3 7 4 6 3
2
5 2
18x 6x 24x 8x 30x 4x 60x 8x
3x x
      

 
 
7 6 4
10 7 4
12x 36x 2x
9x 6x x
  

 
3
3
4 2
64
( 12x 36x 2)
( )x 9x 6 1
x
x
  
 

Sejam 
 f : I e g : J
tal que 
f(I) J
5 
Se f é derivável em 
a I
e g é derivável em f(a), então 
g f
é derivável em a, e 
(g f)'(a) g'(f(a)) f '(a) 
I
J


f(I)
f
g

g f
a
f(a)
(g f)'(x) g'(f(x)) f '(x) 
   
y f(x)
g f (x) g f(x) g(y)

 
Vamos encontrar a derivada da função 
4 23f(x) (3x 4x) 
4 23f(x) (3x 4x) 
2
4 3f(x) (3x 4x) 
 
1
4 33
2
f '(x) (3x 4x) 12x 4
3

  
 3
43
2 12x 4
f '(x)
3 (3x 4x)



Dadas as funções e 
 
 , vamos calcular 
3( )f x x
4( ) 4g x x 
( ) (1).f g 
uf(x) a uf '(x) a lna u'  
u u(x)
Caso particular 
uf(x) e
uf '(x) e lne u'
1
ue u' 
6 
Vamos encontrar a derivada da função 
23x 5f(x) 8 
 
23x 5 2f '(x) 8 ln8 3x 5 ' 
 
23x 5f '(x) 8 ln8 6x  
uf '(x) a lna u'  
u
af(x) log u'
f '(x)
u lna


u u(x)
Caso particular 
u
ef(x) log u'
f '(x)
u lne


1
u'
u

Vamos calcular a derivada da função 
3 2f(x) ln(5x 4x 9)  
3 2f(x) ln(5x 4x 9)  
3 2
3 2
(5x 4x 9)'
f '(x)
(5x 4x 9)lne
 

 
1
2
3 2
(15x 8x)
f '(x)
(5x 4x 9)


 
(´ ) cos( )sen x x
cos (´ ) ( )x sen x 
7 
3 (2 )
( ) cos(2 )
sen x
f x x
x
 
Vamos calcular a derivada da função 
3 (2 )
( ) cos(2 )
sen x
f x x
x
 
   
 2
3 (2 ) ' 3 (2 ) '
'( ) (2 ) (2 ) '
sen x x sen x x
f x sen x x
x

  
2
   
 2
3cos(2 ) 2 ' 3 (2 ) 1
(2 ) 2
x x x sen x
sen x
x
     
 
2
6 cos(2 ) 3 (2 )
2 (2 )
x x sen x
sen x
x

 
2
( )
( )
cos( )
sen x
tg x
x

2
cos( )cos( ) ( )( ( ))
(´ )
cos ( )
x x sen x sen x
tg x
x
 

2
(´ )cos( ) ( )cos (´ )
(´ )
cos ( )
sen x x sen x x
tg x
x


 
( )
( ) ´
cos( )
´
sen x
tg x
x
 
  
 
2 2
2
cos ( ) ( )
(´ )
cos ( )
x sen x
tg x
x


2
1
(´ )
cos ( )
tg x
x

2(´ ) sec ( )tg x x
8 
 f f 
 f f 
Sendo a derivada de temos que 
f f
 A derivada segunda de é 
dada por: 
f
 A derivada terceira de é 
dada por: 
f
Seja calcule 
2( ) ln(1 )f x x  (2)f 
2 2
2
2 2
1
( ) ln(1 ) (1 )
1
1 2
2
1 1
f x x x
x
x
x
x x
         
  
 
          
 
2 2( ) cos cos
cos 2cos .
f x sen x x sen x x
x x sen x
Seja calcule 
2( ) cosf x sen x x  )(f 
2)1.(20.20
cos22)(
cos22
)cos.cos..(2)(
2
22
22




 sensenf
xxsenxsen
xxxsenxsenxsenxf