Aula 4 - Continuum e Propriedades Físicas

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Fenômenos de Transportes Aula 04 Profª. Daniela Araújo 
 
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Hipótese do contínuo 
 
 Na definição de um fluido não foi mencionada a estrutura 
molecular dos fluidos, apesar de todos serem compostos de 
moléculas em movimento constante. 
 
 No entanto, na maior parte das aplicações de engenharia, é 
de interesse somente os efeitos médios de um conjunto de 
moléculas. 
 
 São estes efeitos macroscópicos que podemos perceber e 
medir. Então o fluido é tratado como uma substância infinitamente 
divisível, um contínuo. 
 
 O conceito de CONTINUUM é a base da Mecânica dos 
Fluidos clássica e como a Mec. Flu. consiste fundamentalmente na 
aplicação das leis da Mecânica ao movimento de fluidos, é 
evidentemente impraticável aplicar essas leis para cada molécula 
do fluido. 
 
Por exemplo: a velocidade em um ponto do espaço é 
indefinida em um meio molecular, pois seria zero o tempo todo 
exceto quando uma molécula ocupasse exatamente esse ponto, e 
aí seria a velocidade da molécula e não a velocidade média das 
partículas na vizinhança do ponto. 
 
 Esse dilema é evitado se for considerada a velocidade em um 
ponto como sendo a média das velocidades de todas as moléculas 
existentes em torno do ponto, ou seja, dentro de uma pequena 
esfera com raio grande se comparado com a “distância média entre 
as moléculas”. 
 
 Procura-se então os valores médios (relativos ao espaço e 
tempo) das grandezas que caracterizam o comportamento de 
porções de fluidos, de dimensões mínimas arbitrárias, de tal 
maneira que seja então possível a aplicação daquelas leis, 
mediante hipóteses restritivas e extrapolação adequadas. 
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 O significado atribuído à maioria das propriedades dependem 
da existência do CONTINUUM no sistema considerado. 
 
 Por exemplo: o significado da pressão em um tanque fechado 
é freqüentemente explicado como a força total por unidade de área 
aplicada na parede do tanque, devido aos impactos contínuos das 
moléculas sobre as paredes. 
 
 “Uma dada massa de gás contida em um volume constante e 
sujeito a uma temperatura constante, apresenta sempre a mesma 
pressão”. 
 
 Esta conhecida lei começa a perder seu significado quando o 
volume considerado passa a conter uma quantidade de massa tão 
pequena que apenas algumas moléculas se encontram presentes. 
 
 Se a pressão é ainda definida como acima, com o número 
muito reduzido de moléculas, o seu valor irá depender da 
probabilidade das moléculas se chocarem com a parede num 
determinado instante. 
 
 Deste modo a pressão não será contínua (constante) variando 
de tempo em tempo. 
 
 O mesmo argumento é valido para volumes muito pequenos 
de substâncias diversas onde somente algumas moléculas estão 
presentes. 
 
 Cabe então uma pergunta: Até que magnitude, um volume 
contendo uma certa substância pode ser considerado um 
contínuo? 
 
 Ou o que é a mesma coisa: Qual o menor número de 
moléculas de uma substância que deve conter um dado volume 
para que este seja considerado um contínuo? 
 
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 O contínuo é dito existir num dado volume de uma substância 
quando o volume contém um número de moléculas suficiente para 
que os efeitos médios das moléculas nas propriedades, dentro do 
volume, sejam constantes ou variem continuamente com o tempo e 
a dimensão do volume. 
 
 Em um contínuo a molécula não tem significado; a menor 
divisão permissível da substância é um volume contendo um 
número considerável de moléculas. 
 
 
Propriedades Físicas dos Fluidos 
 
 
 Certas propriedades físicas dos fluidos são envolvidas no 
estudo da mecânica dos fluidos e processos de transporte de 
quantidade de movimento, calor e massa. 
 
 Entre estas propriedades pode-se incluir: 
 densidade 
 calor específico 
 tensão superficial 
 condutividade térmica 
 difusividade mássica 
 viscosidade 
 
Estas propriedades são funções da pressão e da temperatura a 
que estão submetidos os fluidos. 
 
 Os valores dessas propriedades têm sido medido por diversos 
pesquisadores e os resultados podem ser encontrados em Hand 
Books como por exemplo o Perry, sob a forma de ábacos, tabelas 
ou correlações empíricas. 
 
 
 
 
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Massa específica: 
 
 A massa específica de um fluido é definida como sua 
massa por unidade de volume, ou seja, representa a massa do 
fluido contida num volume unitário: 
 
3LM
 
 
Exemplo: 
Para água a 4
o
C e pressão de 1 atm. 3cm/g1 
 
 Matematicamente a massa específica em um ponto do fluido é 
dada por: 
 
V
m
lim
VV
 
 
onde 
m
 é a massa do fluido nas vizinhanças do ponto 
considerado 
V
 é o volume 
ou seja, a massa de um pequeno volume 
V
 circundando um 
ponto. 
V
 é o volume mínimo em torno do ponto para o qual é 
aplicável a teoria do contínuo. 
 
 
 
Volume específico: 
s
 
 
 O volume específico 
s
 é o inverso da massa específica , 
ou seja é o volume ocupado pela unidade de massa do fluido. 
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1
s
 
 
31
3
s LM
M
L 
 
 
Peso específico: 
 
 O peso específico de uma substância é o seu peso por 
unidade de volume. 
 
 Pode ser obtido pelo produto da massa específica pela 
aceleração da gravidade. 
 
g
 
 
Demonstração: 
 
gg
volume
massa
volume
peso
volume
gmassa
volume
peso
volumeV
gmpeso
amF
 
22
3
2
23
TLM
L
TLM
T
L
L
M 
 
 
Densidade Relativa: d (adimensional) 
 
Refs. 
 Propriedades físicas da água – Crane A-6 
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 Relação densidade-temperatura para óleos derivados do 
petróleo – Crane A-7 
 Densidade e peso específico de vários líquidos – Crane A-7 
 Propriedades físicas dos gases – Crane A-8 
 Densidade de combustíveis gasosos – Crane A-8 
 Peso específico e densidade de gases e vapores – Crane A-
10 
 Crane, página 1-3, Conversão de d(60F/60F) para grau API e 
grau Baumé. 
 
É a relação entre a massa específica de um fluido e a massa 
específica da água a 4 
o
C e 1 atm. de pressão (ou 15 
o
C = 60 
o
F) 
 
.atm1eC4
d
o
OH
f
f
2
 
 
f
- qualquer líquido a uma temperatura especificada. 
 
 A densidade relativa é também conhecida como gravidade 
específica pois, também representa a relação entre o peso 
específico da substância em questão e o peso específico da água 
nas condições citadas acima. 
 
gff
 
gOHOH 22
 
 
.atm1eC4g
g
d
o
OH
f
OH
f
f
22
 
f
- qualquer líquido a uma temperatura especificada. 
Exemplo: 
 
6,13
cmg1
cmg6,13
d
3
3
OH
Hg
Hg
2
 
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Pressão de vapor: pv 
 
Quando uma pequena quantidade de líquido é colocado em 
um recipiciente fechado, uma certa fração do líquido vaporizará. A 
vaporização terminará quando é atingido o equilíbrio entre os 
estados líquido e gasoso da substância no recipiente, ou seja, 
quando o nº de moléculas escapando da superfície da água é igual 
ao nº de moléculas entrando. 
 
 Os líquidos evaporam por causa de moléculas que escapam 
pela superfície livre. As moléculas de vapor exercem uma pressão 
parcial no espaço, conhecida como pressão de vapor. 
 
 Se o espaço acima do líquido for confinado, depois de um 
certo tempo o número de moléculas de vapor atingindo a superfície 
do líquido e condensando é exatamente igual ao número de 
moléculas que escapam em qualquer intervalo de tempo, e existe 
equilíbrio. 
 
 Como este fenômeno depende da atividade molecular a qual é 
função da temperatura, a pressão de vapor deum líquido depende 
da temperatura e aumenta com a mesma. 
 
 
Tensão superficial: 
 
 Da experiência pode ser observada a tendência que tem as 
superfícies livres e as interfaces dos líquidos imiscíveis de se 
contraírem e formarem uma película ou camada de líquido 
especial. 
Exemplos: 1) formação de gotas esféricas de líquidos não sujeitos 
à ação de forças externas; 
2) sustentação de uma pequena agulha na superfície 
da água em repouso. 
 
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O efeito da tensão superficial se manifesta em superfícies 
curvas, exigindo diferenças de pressões entre os lados côncavo e 
convexo da superfície, para manter o equilíbrio de forças, e 
conseqüentemente dando origem a uma série de fenômenos 
bastante interessantes. 
 
 A força de tensão superficial (necessária para manter o citado 
equilíbrio) está associada às interações entre as moléculas do 
fluido. Essa interação decresce com a distância entre as moléculas 
e pode ser desprezada para os gases. 
 
 No interior dos líquidos as forças intermoleculares se 
compensam entre si mas, para as moléculas da superfície existem 
forças que evitam que elas se separem. 
 
 Estas forças são responsáveis por manter, por exemplo, uma 
bolha de sabão sem se arrebentar, bem como por manter a 
pressão da coluna de líquido de um capilar. 
 
 Tensão superficial é então a força de coesão necessária, 
obtida pela divisão da “energia de superfície” pela unidade de 
comprimento da película em equilíbrio. 
 
 Energia de superfície – trabalho por unidade de área, 
necessário para trazer as moléculas à superfície. 
 
 Tensão superficial – pode ser definida também como a força 
por unidade de comprimento de qualquer linha na superfície livre, 
necessária para manter a superfície junta através desta linha. 
 
L
F 
 A tensão superficial depende da superfície livre do líquido 
e das suas vizinhanças. 
 
 
 
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Capilaridade: 
 
 A atração capilar é causada pela tensão superficial e pela 
relação entre a adesão líquido-sólido e a coesão do líquido. 
 
 Um líquido que molha o sólido tem uma adesão maior que a 
coesão. 
 
 A ação da tensão superficial neste caso obriga o líquido a 
subir dentro de um pequeno tubo vertical que esteja parcialmente 
imerso nesse líquido. 
 
 
 
Tensão em um ponto: 
 
Grandezas escalares, vetoriais e tensoriais: 
 
 Como já foi visto, as propriedades de um campo de 
escoamento podem ser de três tipos: 
 
a) Grandeza escalar – é aquela que requer apenas a 
especificação de seu valor numérico para que seja 
perfeitamente determinada. 
 
Exemplo: temperatura 
 
b) Grandeza vetorial – é aquela que, em adição ao seu valor 
numérico, requer também uma completa especificação da sua 
direção. As grandezas vetoriais devem ser somadas de 
acordo com a regra do paralelogramo. Em geral, 3 valores 
associados com as direções dos eixos coordenados são 
necessários para especificar uma grandeza vetorial. Estes três 
valores são chamados componentes escalares de um vetor. 
 
Exemplo: velocidade 
 
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c) Grandeza tensorial – é de natureza física mais complexa e 
requer 9 ou mais componentes escalares para a sua 
especificação. Precisa de 2 direções mais o módulo. 
 
Exemplo: tensão de cisalhamento 
 
 Escalares e vetores são considerados um caso particular de 
tensores. 
 
 Escalar é um tensor de ordem zero. 
 Vetor é um tensor de ordem um. 
 
 O número de componentes escalares necessário para definir 
um tensor é dado pela seguinte relação: 
Número de componentes de um tensor de ordem i3i 
Assim: 
 Escalar: 
130ordem 0
 
 Vetor: 
331ordem 1
 
 Tensor de 2
a
 ordem: 
932ordem 2
 
 
Campos escalares, vetoriais e tensoriais: 
 
 A palavra campo descreve a distribuição contínua de uma 
grandeza escalar, vetorial ou tensorial que são, por sua vez, 
descritas por funções contínuas das coordenadas espaciais e do 
tempo. 
 
 Assim, podemos descrever a temperatura de todos os pontos 
de um corpo em qualquer tempo, por um campo escalar expresso 
matematicamente por: 
 
t,z,y,xTT
 
 
 Um campo vetorial, como por exemplo um campo de 
velocidades é dado por: 
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t,z,y,xVV
 
 
 No entanto pode-se usar 3 campos escalares que descrevem 
o valor das componentes do vetor velocidade na direção de cada 
eixo coordenado: 
 
t,z,y,xVV xx
 
 
t,z,y,xVV yy
 
 
t,z,y,xVV zz
 
 
 Esta mesma técnica pode ser estendida para os campos 
tensoriais onde 9 ou mais campos escalares são usados para 
descrever os componentes do tensor. 
 
 
Campo de velocidade: 
 
 Na secção anterior, vimos que a suposição do continuum 
conduziu à representação de campo das propriedades do fluido. 
Analisamos especificamente o campo de massa específica. 
 
 Sempre que trabalhamos com fluidos em movimento, estamos 
necessariamente ligados à descrição de um campo de velocidades. 
 
 A velocidade em qualquer ponto de um campo de fluxo é 
definida da seguinte forma: em um dado instante de tempo, o 
campo de velocidade V é uma função das coordenadas do espaço 
x, y, z, ou seja: 
 
z,y,xVV
 
 A velocidade em um dado ponto no campo de fluxo pode, no 
entanto, variar de um instante de tempo para outro. Então a 
representação completa do campo de velocidade é dada por: 
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t,z,y,xVV
 
 Se as propriedades de um ponto no campo não variam com o 
tempo, o fluxo é chamado de estacionário (regime permanente). 
 Matematicamente, esta definição é escrita: 
0
t
 
onde 
z,y,x
 representa qualquer propriedade do fluido. 
 
0
t
 ou 
z,y,x
 
0
t
V ou 
z,y,xVV
 
 No fluxo estacionário, as propriedades podem variar de ponto 
para ponto, porém devem permanecer constantes com o tempo em 
um dado ponto. 
 
 
 
Fluxos uni, bi e tridimensionais: 
 
 Vimos que a expressão geral para o campo de velocidade, 
indica que o referido campo é uma função das três coordenadas e 
do tempo. 
 
 Tal campo de fluxo é chamado tridimensional (e é também 
não estacionário) porque o valor da velocidade em qualquer ponto 
do fluxo depende das três coordenadas requeridas para localizar o 
ponto no espaço. 
 
 Nem todos os fluxos são tridimensionais. Considerando por 
exemplo, o fluxo de água através um longo tubo reto de seção 
transversal constante. 
 
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 A um ponto distante da entrada do tubo, a distribuição de 
velocidade pode ser dada por: 
2
max
R
r
1uu 
 
para 
 r = R u = 0 
 r = 0 u = umax 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS CILÍNDRICAS: (x, r, ) 
 
 Como o campo de velocidade é uma função somente de r, ou 
seja é independente das coordenadas x e , este é um fluxo 
unidimensional. 
 
“Um fluxo é classificado em uni, bi ou tridimensional, 
dependendo do número de coordenadas no espaço, 
requeridas para especificar o campo de velocidade” 
 
Exemplo de um fluxo bidimensional – fluxo entre duas paredes 
retas divergentes e infinitas em extensão (direção z). 
 
 Se o canal é considerado infinito na direção z, o campo de 
velocidades deverá ser idêntico em todos os planos 
perpendiculares ao eixo z. Conseqüentemente, o campo de 
velocidade é uma função somente das coordenadas x e y e por isto 
o fluxo é considerado bidimensional. 
 
 
 
 
 
r 
x 
r R 
u 
x 
z 
y 
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 A complexidade da análise aumenta consideravelmente com o 
número de dimensões do escoamento.O caso mais simples é o 
fluxo unidimensional. 
 
 
 
Campo de tensões: 
 
 Tensões em um meio resultam de forças atuando em alguma 
porção do meio. 
 O conceito de tensões fornece uma maneira conveniente de 
descrever os modos pelos quais as forças agindo sobre os limites 
(fronteiras) do meio são transmitidas através do meio. 
 Desde que força e área são ambas quantidades vetoriais, o 
campo de tensões não será um campo vetorial. 
 Em geral, nove quantidades são requeridas para especificar o 
estado da tensão em um fluido e portanto a tensão é uma 
quantidade tensorial de segunda ordem. 
 
 
Forças de superfície e de campo: 
 
 Forças de superfície e de campo são encontradas no estudo 
da mecânica dos fluidos do CONTINUUM. 
 
Forças de superfície incluem todas as forças agindo sobre a 
periferia de um meio através de contato direto. 
Forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas sobre o 
volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças 
gravitacional e eletromagnética são exemplos de forças de campo 
que ocorrem em um fluido. 
 
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 A força de campo gravitacional agindo sobre um elemento de 
volume, 
d
, é dada por 
dg
, onde é a massa específica e 
g
 
é a aceleração gravitacional local. 
 Assim, a força de campo gravitacional por unidade de volume 
é 
g
 e a força de campo gravitacional por unidade de massa é 
g
.