Prova 01-07-05

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UNIDADE DIFERENCIADA DE SOROCABA/IPERÓ
3ª PROVA DE CÁLCULO III - 01 / 07 / 05.
PROF. JOSÉ ARNALDO ROVEDA
INÍCIO DA PROVA: 8:30h. TÉRMINO DA PROVA: 11:30h.
NOME:____________________________________________. MATRÍCULA:______________.
OBS! Todas as Respostas devem ser JUSTIFICADAS.
Questão 1. ( pontos) Considere as seguintes funções: f�x, y� � e x�y , e g�x, y� � 1
36 � 4x2 � 3y2
. Para
cada uma destas funções responda os itens abaixo:
a) ( ponto) Encontre e desenhe o domínio da função.
b) ( ponto) Onde está a imagem desta função?
c) ( ponto) Calcule a sua fronteira �Fr� .
d) ( ponto) O domínio é um conjunto aberto ou fechado? Justifique sua resposta.
e) ( ponto) O domínio é limitado ou ilimitado? Porquê?
f) ( ponto) Desenhe 2 (duas) curvas de nível para cada função. Estabeleça quais valores a constante c pode
assumir.
Questão 2. ( pontos) Resolva os itens abaixo:
a) ( ponto) Sendo w � w�x, y, z�, x � x�r, s�, y � y�r, s�, r � r�t�, s � s�t�, faça um diagrama para o
cálculo de todas as possíveis derivadas de w. Depois escreva quem são essas derivadas.
b) ( ponto) Faça o mesmo procedimento do item (a) para z � z�x, y�, x � x�t, u�, y � y�t, u�.
c) ( pontos) Agora, sendo z � x2 � y2, x � cos�t� sin�u�, e y � sin�t�cos�u�, calcule efetivamente todas as
derivadas de z, usando a letra (b) como apoio.
Questão 3. ( pontos) Dada a função f�x, y� � x3 � y, escreva a sua curva de nível 1 juntamente com o seu
vetor gradiente no ponto P�2, 7�. Depois encontre a reta tangente à curva neste ponto. Finalmente, faça um
esboço de tudo que foi calculado.
Questão 4. ( pontos) Resolva os itens abaixo:
a) ( pontos) Dada a função f�x, y, z� � x.y.z � ex.y.z, encontre a direção em que f�x, y, z� cresce e decresce mais
rapidamente no ponto P0�0, 1, 1�. Depois calcule a derivada de f�x, y, z� no ponto dado e nas direções
encontradas.
b) ( ponto) Mostre que � fq � g.�f � f.�gg2 e ��f.g� � g.�f � f.�g.
BOA PROVA!!!!!