Introdução à Estatística e Probabilidade

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08/08/2012
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ESTATÍSTICA E 
PROBABILIDADE 
2º/2012
 ENGENHARIA AMBIENTAL
 ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
rluisbarbosa@uol.com.br
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Objetivos
 Aplicar as ferramentas da estatística na análise de
dados
 Usar os métodos estatísticos para auxiliar a tomada
de decisões
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Conteúdo
 Introdução
 Síntese de dados: gráficos
 Medidas de tendência central
 Medidas de dispersão
 Noções de Probabilidade
 Variáveis aleatórias
 Modelos de probabilidade
 Distribuição amostral
 Inferência estatística
 Introdução aos testes de hipóteses
 Regressão linear simples e múltipla
 Análise de variância
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Avaliação
 Trabalhos Práticos (TP)
 Avaliação individual (P)
 Nota Bimestral (NB) = 0,8P + 0,2MTP
 Nota Final (NF): (NB1 + NB2)/2 
 MTP: média dos trabalhos práticos
 P1: 19/09/2012
 P2: 31/10/2012
 EXAME(P3): 21/11/2012
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Bibliografia
 MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. Estatística aplicada e
probabilidade para engenheiros. LTC, 2009.
 MORETTIN, L. G. Estatística básica. Pearson, 2005.
 LAPPONI, J. C. Estatística usando Excel. Campus, 2005.
 LANDIM, P. M. B. Análise estatística de dados geológicos. Unesp,
2003.
 MONTGOMERY, D. C., Design and analysis of experiments. John
Wiley, 2001.
 DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e
ciências. Thomson, 2006.
 FÁVERO, L. P. et al. Análise de dados: modelagem multivariada
para tomada de decisões. Elsevier, 2009.
 LATTIN, J. M., CARROL, J. D., GREE, P. E. Análise de dados
multivariados. Cengage Learning, 2011.
6
História da estatística
 MLODINOW, L. O andar do bêbado: como o acaso determina nossas 
vidas. Zahar, 2009.
 SALSBURG, D. Uma senhora toma chá: como a estatística revolucionou a 
a ciência no século XX. Zahar, 2009.
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Estatística
 Área da matemática que trata da coleta,
classificação, organização, análise e interpretação
de dados
 Palavra derivada do latim: status – estado
 Análise de dados sobre o estado
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Classificação
 Estatística descritiva
 Inferência estatística
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Estatística descritiva
 Organização dos dados em tabelas e/ou
gráficos
 Distribuições de frequências
 Medidas de tendência central
 Medidas de dispersão
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Inferência estatística
 Distribuições de probabilidade
 Distribuições amostrais
 Intervalos de confiança
 Testes de hipóteses
 Análise de variância
 Análise de regressão
 Estatística não-paramétrica
 Análise de séries temporais
 Técnicas de controle de qualidade
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Descrição dos dados
 Variáveis
 Tabelas
 Gráficos
 Distribuição de frequência
 Medidas de tendência central
 Medidas de dispersão
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Variáveis
 Variável é uma característica, propriedade ou
atributo de uma unidade da população, cujo valor
pode variar entre as unidades da população
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Tipos de variáveis
 Qualitativas ou categóricas: atributos ou qualidades,
como por exemplo: sexo, cor, escolaridade, marca,
tipo de defeito etc.
 Quantitativas ou de medidas: expressas em números:
altura, peso, número de filhos, tempo de
processamento etc.
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Variáveis qualitativas
 Ordinais: o atributo tem uma ordenação natural,
indicando intensidade crescente de realização. Ex:
grau de escolaridade, classe social, intensidade do
defeito, estado clínico etc.
 Nominais: quando o atributo não se estabelece
ordem. Ex: sexo, cor etc.
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Quantitativas
 Discretas: resultantes de contagens, assumindo assim, em
geral valores inteiros. Ex: número de filhos, número de
peças defeituosas etc.
 Contínuas: assumem valores em intervalos de números reais
e geralmente, são provenientes de uma mensuração. Ex:
peso, altura, tempo de processamento etc..
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Resumo
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Gráficos
 Muitas vezes as informações contidas em tabelas
podem ser melhor compreendidas se
acompanhadas de um gráfico
 O tipo de gráfico depende da variável em questão
 Variáveis qualitativas: gráfico de setores/pizza,
barras, diagrama de pareto
 Variáveis quantitativas: histograma, gráficos de
linha, diagrama de dispersão
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Gráfico de setores/pizza
• Usado para representar variáveis qualitativas,
quando os dados apresentam poucas
características
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Gráfico de setores
42%
58%
Pessoas que acessam internet - Brasil
SIM
NÃO
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Gráfico de barras
 Usado com variáveis qualitativas e quantitativas
discretas
 Várias classes de categorias
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Gráfico de barras
5085 5215
5685
6710
7015
6840 6879 6934 6874 7004 6944
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Q
ua
nt
ita
de
 
Ano
QUANTIDADE DE VAGAS DISPONÍVEIS - UNESP 
VAGAS
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Diagrama de Pareto
 Usado em controle de qualidade
 É um gráfico de barras ordenado
 Focaliza sobre as categorias mais importantes
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Diagrama de Pareto
4500
3600 3500
2578
2435
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
1 2 3 4 5
Q
ua
nt
id
ad
e 
(u
ni
da
de
s)
Produto
PRODUTOS EM ESTOQUE
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Histograma
• Para variáveis quantitativas contínuas
• Mostra a forma da distribuição da variável
• É fundamental na aplicação dos conceitos de
inferência estatística
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Histograma
0
5
10
15
20
25
30
750|--1000 1000|--1250 1250|--1500 1500|--1750 >1750
Q
ua
nt
id
ad
e
Faixa de preço
Histrograma do preço de computadores
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Gráfico de linhas
• Para estudos relacionados com a variação de
certa característica em função do tempo
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Gráfico de linha -série temporal
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Te
m
pe
ra
tu
ca
(o
C
)
dias do mês
TEMPERATURA MÉDIA DIÁRIA DA CIDADE - JULHO/2011
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Diagrama de dispersão
 Análise preliminar
 Auxiliar na verificação de associação entre duas
variáveis
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Diagrama de dispersão
0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
80
85
90
95
100
105
Dispersão
Nível de hidrocarboneto
P
ur
ez
a 
do
 o
xi
gê
ni
o 
(%
)
30
Tabelas de frequência
 Uma maneira de sintetizar
 Distribuição de frequências: consiste na
construção de uma tabela a partir dos dados brutos
em que se leva em conta a frequência com que cada
observação ocorre
 A interpretação dos resultados pode ser auxiliada
pela análise de gráficos
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Amostra de 100 operações de venda em um 
supermercado
267,80 92,86 34,33 427,93 42,35 105,89 410,73 341,22 31,81 209,03 
313,82 226,26 250,91 209,11 267,88 123,91 367,58 306,93 83,39 427,49 
269,06 130,57 257,23 224,81 158,75 58,07 307,21 245,41 381,38 228,89 
22,88 285,11 381,86 325,11 70,46 364,26 271,30 216,47 241,32 322,69 
373,85 416,81 79,48 236,36 121,76 220,57 362,28 169,49 229,22 32,85 
366,84 421,32 124,76 333,13 320,81 176,11 382,41 152,28 165,09 23,29 
71,30 34,11 218,02 274,82 351,56 76,71 5,75 326,95 374,00 32,97 
84,32 61,51 250,05 29,05 238,34 22,28 208,63 22,58 346,53 135,19 
371,74 341,88 229,03 280,35 28,95 208,63 386,98 76,03 336,97 336,65 
427,65 116,76 192,99 401,90 190,86 145,30 425,86 78,93 407,59 79,34 
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Etapas 
 Encontrar os valores máximo e o mínimo do
conjunto de dados
 Escolher um número de subintervalos ou classes,
em geral de mesma amplitude, que englobem todos
os dados sem haver superposição dos intervalos
 Contar o número de elementos que pertencem a
cada classe (freqüência absoluta)
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Regras práticas
 Número de classes entre 5 e 15
 Tamanho de cada classe é escolhido como o
quociente entre a amplitude (diferença entre o maior
e o menor números) do conjunto e o número de
classes escolhido
 O limite inferior e o limite superior da última classe
deve ser um pouco maior que a maior observação34
Resultado
Mínimo 5,75 
Máximo 427,93 
Amplitude 422,19 
Classes 5
Ampl. Classe 84,44 
Ampl. Classe 85
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Tabela de frequência
Classes de venda Freq. Abs Fre. Rel. Freq.Abs. Acum.Freq.Rel.Acum
5,00 |----- 90,00 24 0,24 24 0,24
90,00 |----- 175,00 13 0,13 37 0,37
175,00 |----- 260,00 22 0,22 59 0,59
260,00 |----- 345,00 19 0,19 78 0,78
345,00 |----- 430,00 22 0,22 100 1
Total 100 1
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Medidas de centralidade
 Média aritmética:
n
x
x
n
i
i
 1
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Exemplo
 Os valores em reais referentes ao preço de um notebook cotado
em algumas lojas da cidade foram: 2500, 2350, 2400, 2380, 2650,
2410 e 2510. Assim o preço médio cotado é calculado como:
14,2457
7
17200
7
2510...23502500


x
38
Medidas de centralidade
 Se os dados apresentam observações extremas, a média
pode não ser a medida mais indicada para centralidade, pois
sofre influência direta de observações extremas.
 Em uma pesquisa sobre salários de analistas ambientais
observamos os seguintes valores: 1000,00; 1200,00; 1800,00;
2500,00; 2700,00; 3200,00 e 15000,00
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…
 A média é: R$ 3.914,28
 Essa medida é representativa do conjunto de dados?
 Solução: o uso da mediana
 Mediana (Me) é o valor que divide a amostra ou
população em duas partes iguais
 Para o exemplo, Me = R$ 2.500,00
40
Gráfico – Salários, média e 
mediana
-1000
1000
3000
5000
7000
9000
11000
13000
15000
1 2 3 4 5 6 7
Funcionários
R
$
Salários
Mediana
Média
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Cálculo da mediana
 Se a quantidade de observações for ímpar:





 
2
1nxMe
42
Cálculo da mediana
 Se a quantidade de observações for par:
2
1
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




 




 

nn xx
Me
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Moda
 É o valor que aparece com a maior freqüência
 Exemplo: A relação da idade de alunos de uma turma: 21, 20,
18, 20, 19, 21, 26, 20, 18 e 20.
 Moda = 20
44
Medidas de dispersão
 Percentis
 Amplitude
 Variância
 Desvio padrão
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Separatrizes
 Mediana
 Quartis
 Decis
 Percentis
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Percentil
%100*
1
1



n
xP
1
100
*)1(  Pnx
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Problema
Grupos\Erros 1 2 3 4 5 6 7 Média
1 15 61 48 16 72 17 16 35
2 35 35 36 34 33 35 37 35
Erro x tempo
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tipo de erro
Te
m
po
 (m
in
)
48
Amplitude
 A = máximo – mínimo
 Grupo 1: A1 = 72 – 15 = 57
 Grupo 2: A2 = 37 – 33 = 4
 Dá uma idéia da dispersão
 Depende dos valores externos
 Não avalia a dispersão interna
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Dispersão em relação à média
Tempo desvio
15 -20
61 26
48 13
16 -19
72 37
17 -18
16 -19
Soma 0
Grupo 1
Tempo desvio
35 0
35 0
36 1
34 -1
33 -2
35 0
37 2
Soma 0
Grupo 2
50
Variância
1
)(
1
2
2





n
xx
s
n
i
i
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Variância dos grupos
Tempo desvio d^2 Tempo desvio d^2
15 -20 400 35 0 0
61 26 676 35 0 0
48 13 169 36 1 1
16 -19 361 34 -1 1
72 37 1369 33 -2 4
17 -18 324 35 0 0
16 -19 361 37 2 4
Soma 0 3660 Soma 0 10
610
6
36602 s 67,1
6
102 s
52
Observações
 A variância é sempre positiva
 Se todas as observações são iguais, a variância é
zero
 A unidade da variância é diferente da unidade das
observações
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Desvio padrão
2ss 
29,1
70,24
2
1


s
s
54
Coeficiente de variação
x
scv 