Aula 6

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UNESP – SOROCABA – 23/08/2012 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
ENGENHARIA AMBIENTAL 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA UMA VARIÁVEL 
CONTÍNUA 
 
 
 Na distribuição de probabilidade para uma variável contínua, a variável aleatória 
pode assumir qualquer valor em um intervalo especificado. As observações de uma 
variável contínua pode ser representada através de um histograma. Quando um grande 
número de observações é determinado o os intervalos de classes são reduzidos, o 
histograma tende para uma curva suave chamada curva de frequência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se a altura da curva é padronizada de tal forma que a área abaixo é igual a 1, o 
gráfico é chamado curva de probabilidade. A altura da curva de probabilidade em 
qualquer ponto x é denotada por f(x), e sua função é chamada função densidade de 
probabilidade (f.d.p.). 
 Esta função descreve a distribuição de probabilidade para uma variável contínua 
X e tem as seguintes propriedades: 
i) a área total sob a curva é igual a 1; 
ii)  bXaP  = área sob a curva de densidade de probabilidade entre as duas 
constantes a e b; 
iii)   xxf  ,0 
 
Em termos de integrais, as seguintes propriedades são válidas: 
i)   1


dxxf 
 
ii)    
b
a
dxxfbXaP 
 
iii)   xxf  ,0 
0
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4 5 6 7 8 9
 
A probabilidade de X = x é sempre igual a zero, pois somente tem sentido 
calcular probabilidades em intervalos: 
     bXaPbXaPbXaP  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que  bXaP  = (área à esquerda de b) - (área à esquerda de a). 
 
Função distribuição acumulada 
 
Um outro modo de descrever uma distribuição de probabilidade é 
especificar uma função chamada de Função Distribuição Acumulada, ou 
simplesmente f.d. representada por F(x) e dada por: 
 
 
   xXPxF  = área sob a curva à esquerda de x. 
 
As seguintes propriedades para a função distribuição acumulada são 
válidas: 
 
i)    


0
0
x
dxxfxF 
 
ii)      1221 xFxFxXxP  
 
iii)     1 e 0  FF 
 
 
 
 
 
 
 
 bXaP  
 bXP  
 xf 
a b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Considere a variável X com distribuição uniforme no intervalo [a, b]. 
A sua função densidade de probabilidade é dada por: 
 
 
 






 


contráriocaso
bxase
ab
xf
 ,0
 ,1
 
 
determine a função distribuição acumulada de f. 
 
 
Média e variância 
 
 A média ou esperança de uma distribuição contínua é dada por: 
 
   


 dxxxfXE 
 A variância de uma distribuição contínua é dada por: 
 
        


 dxxfxxEXVar 222  
 
Exemplo: Calcule a média e a variância para a distribuição uniforme com f.d.p. 
dada por: 
 
 
1 
x 
 






 

contráriocaso
xse
xf
 ,0
11- ,
2
1
 
 
DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 
 
 Uma distribuição muito usada para descrever tempos de vida quando se estuda a 
confiabilidade de um produto é dada pela distribuição exponencial. A sua função 
densidade de probabilidade é dada por: 
 
 
 




 


contrário caso 0
0 se , xe
xf
x
 
 
 O parâmetro  é maior do que zero. A função distribuição acumulada da 
distribuição exponencial é dada por: 
 
 
 









0 , 0
0 ,1
x
xe
xF
x
 
 
a média da distribuição exponencial é dada por: 
 
 
  

 
0
1

  dxexXE x 
 
A variância da distribuição exponencial é dada por: 
 
 
  

 




 













 
0
2
22 111



 dxexXEXVar x 
 
 
Exercícios: 
01) Os tempos de vida de componentes eletrônicos fabricados numa linha de produção 
tem distribuição exponencial com média igual a 100 horas. Qual proporção de 
componentes falhará antes de 50 horas de uso? 
02) Suponha que o tempo de resposta em um terminal de computador on-line tenha 
distribuição exponencial com tempo de resposta esperado igual a 5 s. Qual a 
probabilidade de o tempo de resposta ser no máximo 10 segundos? Qual a probabilidade 
do tempo de resposta estar entre 5 e 10 segundos? 
03) Em uma grande rede de computadores, as conexões dos usuários ao sistema tem 
parâmetro de 25 conexões por hora. Qual é a probabilidade de não haver conexões em 
um intervalo de 6 minutos? Qual é a probabilidade de que o tempo até a próxima 
conexão esteja entre 2 e 3 minutos? Determine o intervalo de tempo tal que a 
probabilidade de nenhuma conexão ocorrer no intervalo seja 0,90. 
04) Seja X a distância (m) que ratos-cangurus de rabo de bandeira viajam desde o local 
de seu nascimento até o primeiro local vago que encontram, possui uma distribuição 
exponencial com parâmetro  = 0,01386. Calcule: a) probabilidade da distância ser no 
máximo 100m; b) no máximo 200m? c) entre 100 e 200m? d) Qual é a probabilidade da 
distância exceder a média por mais de 2 desvios padrão? e) Qual é o valor da mediana 
da distância? 
 
 
Distribuição Normal 
 
A distribuição normal ou distribuição Gaussiana é a mais importante de todas as 
distribuições pois ela tem grande aplicação nas mais diversas áreas. A função densidade 
de probabilidade da variável aleatória X com distribuição normal é dada por: 
 
 
2
2
1
2
1 



 
 


x
exf 
onde . 0 e que talparâmetros são e ,  x 
O gráfico da distribuição gaussiana com média zero e desvio padrão igual a 1: 
 
 
 
 Para uma distribuição normal, tem-se que: 
1)  XE 
2)  Xvar2  
3) 
 
 
  997,033
954,022
683,0






XP
XP
XP
 
 
A distribuição normal com média  e desvio padrão  é denotada por N(,). 
 
Distribuição normal padronizada 
 
 Uma variável aleatória Z tem distribuição normal padronizada se  = E(Z) = 0 e 
2 = var(Z) = 1, isto é, Z ~ (0, 1). 
 
 A distribuição normal padronizada é tabelada. Essas tabelas são dadas em 
termos da função distribuição acumulada. Assim, se Z ~ (0, 1), P(Z  z) = área sob a 
curva à esquerda de z e P(a  Z  b) =(área sob a curva à esquerda de b) – (área sob a 
curva à esquerda de a). 
 
Observe que P(Z  0) = 0,5 e que P(Z  -z) = 1 – P(Z  z) 
 
Exemplo: Usando uma tabela de uma distribuição normal padronizada: P(Z  1,37) = 
0,9147 
 
Portanto, P(Z > 1,37) = 1 – P(Z  1,37) = 1 – 0,9147 = 0,0853. 
 
Exemplo. Dado que Z ~ N(0, 1), determinar P(-0,155 < Z < 1,6). 
 
 
Probabilidade para distribuições normais 
 
 Seja X uma variável aleatória com distribuição N(, ), então a variável 
padronizada 




 

XZ , tem distribuição normal padronizada N(0,1). 
 
Exemplo: Seja X ~N(60, 4). Determine P(55  X  63). 
 
 Se X ~ N(, ), então 
 
 
  




 





 bXaPbXaP 
 
onde Z ~ N(0, 1). 
 
Exemplo: Os pesos de latas de conservas fabricadas numa linha de produção de 
uma indústria tem média de 200 gramas e desvio padrão de 5 gramas. Determine a 
probabilidade de que uma lata selecionada aleatoriamente contenha: i) mais de 208 
gramas; ii) entre 190 e 200 gramas. 
 
 
 
Exercícios 
1) Se X é uma v.a. normal com parâmetros  = 3 e 2 = 9, determine: 
a) P(2 < X < 5) b) P(X > 0) c) P(X < -3) 
2) Uma população normal tem média 50 e desvio padrão 3. Determine os valores 
correspondentes a Z e sua área percentual de probabilidade para os itens abaixo, entre a 
média e: a) 40 b) 55,5 c) 50,9 d) 47,0 
3) Em um exame de Estatística, a média foi 7,2 e o desvio padrão foi de 1,5. Determinar 
Z e sua área de probabilidade dos estudantes que obtiveram as seguintes notas menores 
que: a) 6,0 b) 7,0 c) 8,0 d) 5,0 
4) As lâmpadas de um automóvel, tem vida útil média de 4500 horas com desvio padrão 
de 200 horas. Calcular a probabilidade de que uma lâmpada qualquer, tenha vida útil de: 
a) igual ou maior que 4000 horas b) igual ou maior que 4750 horas c) se um 
vendedor comprar 3500 lâmpadas, quantas terão vida útil superior a 4380 horas? 
5) Suponha que no dia de pagamento de mensalidade da faculdade, o tempo de esperana fila seja de 42 minutos com desvio padrão de 4 minutos. Se você que tiver que pagar 
a mensalidade nesse dia, qual a probabilidade de ter que esperar: a) 35 minutos ou mais? 
b) 45 minutos ou mais c) entre 36 e 44 minutos d) 40 minutos ou 
menos? 
6) Sabe-se que, em média, em 25% dos carros acidentados sofrem perda total, com 2% 
de desvio padrão. Supondo que num certo mês tenha ocorrido 200 acidentes, qual a 
probabilidade que: a) menos que 53 carros tenham perda total? b) mais que 48 carros 
tenham perda total? c) entre 43 e 48 carros tenham perda total? 
7) Dadas as distribuições, calcule as probabilidades: 
a) N(30,9) e P(25 < X < 31) b) N(10,100) e P(X > 30), P(10 < X < 20) 
c) N(5, 16) e P(X < 3) e P(3 < X < 9) 
8) Achar z que satisfaça P(Z > z) = 0,025 e Z ~N(0, 1). 
9) Obter z tal que P(-z  Z  z) = 0,90. 
10) Os componentes eletrônicos fabricados numa indústria tem tempos de vida 
normalmente distribuídos com média de 506 horas e desvio padrão de 81 horas. 
i) Qual proporção dos componentes tem tempos de vida menores do que 574 horas? ii) 
Achar o valor x tal que 30% dos componentes falham antes de atingi-lo; 
11)Se X é uma variável aleatória com distribuição normal com média  = 200 e desvio 
padrão  =5, achar b tal que: i) P(X < b) = 0,6700; ii) P(X > b) = 0,0110. 
12) Supor que os tempos de vida de um lote com 1000 componentes para rádio tem uma 
distribuição normal com média de 500 horas e desvio padrão de 50 horas. Um 
comprador requer que pelo menos 955 dos componentes tenham uma durabilidade 
maior do que 400 horas de funcionamento. Você acha que o lote estará de acordo com 
as especificações do comprador? 
13) O tempo para uma ambulância chegar a um determinado lugar em uma grande 
cidade tenha distribuição normal com  = 17 minutos e  = 3 minutos. Determinar a 
probabilidade que o tempo de percurso seja: i) maior do que 22 minutos; ii) entre 13 e 
21 minutos; iii)entre 15,5 e 18,5 minutos; iv) em qual período de percurso, de duração 
de um minuto, tem a maior probabilidade dada pela distribuição normal? 
14) Um teste para pilotos de aviões requer uma série de operações para serem realizadas 
numa sucessão rápida. Supor que o tempo necessário para completar o teste é 
normalmente distribuído com média  = 90 minutos e desvio padrão = 20 minutos. ii) 
para ser aprovado no teste um candidato deve completá-lo em 80 minutos. Qual a 
porcentagem de aprovados? ii) se os 5% melhores recebem um certificado de mérito, 
qual deve ser o tempo do candidato para receber este certificado? 
15) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma 
certa máquina é 0,502 polegada e o desvio padrão 0,005 polegada. A finalidade para a 
qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro de 
0,496 e 0,508 polegada; se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas 
defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela 
máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. 
16) O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino, de uma universidade é de 
75,5kg e o desvio padrão é 7,5kg. Supondo que os pesos são distribuídos normalmente, 
determinar: i) quantos estudantes pesam entre 60 e 77,5kg; ii) mais do que 92,5 kg. 
17) Se as alturas de 300 estudantes são normalmente distribuídas, com média 172,72 cm 
e desvio padrão 7,62 cm, quantos estudantes têm altura: i) superiores a 182,88 cm; ii) 
iguais a 162,65 ou menores; iii) entre 165,10 cm e 180,34 cm inclusive; iv) iguais a 
172,72 cm. 
18) Suponha que o número de acessos a internet no horário de pico em uma provedora, 
tenha uma distribuição Normal com média 1000 e desvio padrão de 100. A provedora 
consegue atender até 1200 acessos simultâneos. Qual é a probabilidade de um usuário 
conseguir acesso no horário de pico? 
19) Suponha que outra provedora tenha essa mesma demanda, no entanto consegue 
atender somente 1100 acessos simultâneos. Qual é a probabilidade de um usuário não 
conseguir acesso no horário de pico? 
20) Suponha que o número de acessos no horário de pico seja uma distribuição Normal 
com média 500 e desvio padrão de 50 acessos. Com o intuito de minimizar o custo, o 
dono busca uma configuração que atenda a 95% dos acessos em horário de pico. 
Quantos acessos deve comportar essa configuração? 
21) O tempo de vida de um determinado processador segue uma distribuição Normal 
com média de 20000 horas e desvio de 1000 horas. Qual é a probabilidade de um 
processador falhar após 22000 horas de uso? 
22) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma 
certa máquina é 0,502 polegadas e o desvio padrão 0,005 polegadas. A finalidade para a 
qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro de 
0,496 e 0,508 polegadas; se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas 
defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela 
máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. 
23) Medidas da corrente em um pedaço de fio têm distribuição normal, com média de 
10 mA e variância de 4 mA2. Qual a probabilidade da medida exceder 13 mA? 
Qual a probabilidade da medida da corrente estar entre 9 e 11 mA? 
24) A detecção de um sinal digital, o ruído tem distribuição normal com média de 0 volt 
e desvio padrão de 0,45 V. Se o sistema considerar que um sinal digital seja transmitido 
quando a voltagem exceder 0,9 V., qual será a probabilidade de detectar um sinal digital 
quando nada tiver sido enviado? Determine os limites simétricos, em torno de 0, que 
incluam 99% de todas as leituras do ruído. 
25) O diâmetro de um eixo de um drive óptico de armazenagem é normalmente 
distribuído com média 0,2508” e desvio padrão de 0,0005”. As especificações do eixo 
são 0,2500” ± 0,0015”. Que proporção de eixos obedece às especificações?