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UNESP – SOROCABA – 23/08/2012 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE ENGENHARIA AMBIENTAL DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA UMA VARIÁVEL CONTÍNUA Na distribuição de probabilidade para uma variável contínua, a variável aleatória pode assumir qualquer valor em um intervalo especificado. As observações de uma variável contínua pode ser representada através de um histograma. Quando um grande número de observações é determinado o os intervalos de classes são reduzidos, o histograma tende para uma curva suave chamada curva de frequência: Se a altura da curva é padronizada de tal forma que a área abaixo é igual a 1, o gráfico é chamado curva de probabilidade. A altura da curva de probabilidade em qualquer ponto x é denotada por f(x), e sua função é chamada função densidade de probabilidade (f.d.p.). Esta função descreve a distribuição de probabilidade para uma variável contínua X e tem as seguintes propriedades: i) a área total sob a curva é igual a 1; ii) bXaP = área sob a curva de densidade de probabilidade entre as duas constantes a e b; iii) xxf ,0 Em termos de integrais, as seguintes propriedades são válidas: i) 1 dxxf ii) b a dxxfbXaP iii) xxf ,0 0 10 20 30 40 50 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A probabilidade de X = x é sempre igual a zero, pois somente tem sentido calcular probabilidades em intervalos: bXaPbXaPbXaP Observe que bXaP = (área à esquerda de b) - (área à esquerda de a). Função distribuição acumulada Um outro modo de descrever uma distribuição de probabilidade é especificar uma função chamada de Função Distribuição Acumulada, ou simplesmente f.d. representada por F(x) e dada por: xXPxF = área sob a curva à esquerda de x. As seguintes propriedades para a função distribuição acumulada são válidas: i) 0 0 x dxxfxF ii) 1221 xFxFxXxP iii) 1 e 0 FF bXaP bXP xf a b Exemplo: Considere a variável X com distribuição uniforme no intervalo [a, b]. A sua função densidade de probabilidade é dada por: contráriocaso bxase ab xf ,0 ,1 determine a função distribuição acumulada de f. Média e variância A média ou esperança de uma distribuição contínua é dada por: dxxxfXE A variância de uma distribuição contínua é dada por: dxxfxxEXVar 222 Exemplo: Calcule a média e a variância para a distribuição uniforme com f.d.p. dada por: 1 x contráriocaso xse xf ,0 11- , 2 1 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL Uma distribuição muito usada para descrever tempos de vida quando se estuda a confiabilidade de um produto é dada pela distribuição exponencial. A sua função densidade de probabilidade é dada por: contrário caso 0 0 se , xe xf x O parâmetro é maior do que zero. A função distribuição acumulada da distribuição exponencial é dada por: 0 , 0 0 ,1 x xe xF x a média da distribuição exponencial é dada por: 0 1 dxexXE x A variância da distribuição exponencial é dada por: 0 2 22 111 dxexXEXVar x Exercícios: 01) Os tempos de vida de componentes eletrônicos fabricados numa linha de produção tem distribuição exponencial com média igual a 100 horas. Qual proporção de componentes falhará antes de 50 horas de uso? 02) Suponha que o tempo de resposta em um terminal de computador on-line tenha distribuição exponencial com tempo de resposta esperado igual a 5 s. Qual a probabilidade de o tempo de resposta ser no máximo 10 segundos? Qual a probabilidade do tempo de resposta estar entre 5 e 10 segundos? 03) Em uma grande rede de computadores, as conexões dos usuários ao sistema tem parâmetro de 25 conexões por hora. Qual é a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos? Qual é a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos? Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer no intervalo seja 0,90. 04) Seja X a distância (m) que ratos-cangurus de rabo de bandeira viajam desde o local de seu nascimento até o primeiro local vago que encontram, possui uma distribuição exponencial com parâmetro = 0,01386. Calcule: a) probabilidade da distância ser no máximo 100m; b) no máximo 200m? c) entre 100 e 200m? d) Qual é a probabilidade da distância exceder a média por mais de 2 desvios padrão? e) Qual é o valor da mediana da distância? Distribuição Normal A distribuição normal ou distribuição Gaussiana é a mais importante de todas as distribuições pois ela tem grande aplicação nas mais diversas áreas. A função densidade de probabilidade da variável aleatória X com distribuição normal é dada por: 2 2 1 2 1 x exf onde . 0 e que talparâmetros são e , x O gráfico da distribuição gaussiana com média zero e desvio padrão igual a 1: Para uma distribuição normal, tem-se que: 1) XE 2) Xvar2 3) 997,033 954,022 683,0 XP XP XP A distribuição normal com média e desvio padrão é denotada por N(,). Distribuição normal padronizada Uma variável aleatória Z tem distribuição normal padronizada se = E(Z) = 0 e 2 = var(Z) = 1, isto é, Z ~ (0, 1). A distribuição normal padronizada é tabelada. Essas tabelas são dadas em termos da função distribuição acumulada. Assim, se Z ~ (0, 1), P(Z z) = área sob a curva à esquerda de z e P(a Z b) =(área sob a curva à esquerda de b) – (área sob a curva à esquerda de a). Observe que P(Z 0) = 0,5 e que P(Z -z) = 1 – P(Z z) Exemplo: Usando uma tabela de uma distribuição normal padronizada: P(Z 1,37) = 0,9147 Portanto, P(Z > 1,37) = 1 – P(Z 1,37) = 1 – 0,9147 = 0,0853. Exemplo. Dado que Z ~ N(0, 1), determinar P(-0,155 < Z < 1,6). Probabilidade para distribuições normais Seja X uma variável aleatória com distribuição N(, ), então a variável padronizada XZ , tem distribuição normal padronizada N(0,1). Exemplo: Seja X ~N(60, 4). Determine P(55 X 63). Se X ~ N(, ), então bXaPbXaP onde Z ~ N(0, 1). Exemplo: Os pesos de latas de conservas fabricadas numa linha de produção de uma indústria tem média de 200 gramas e desvio padrão de 5 gramas. Determine a probabilidade de que uma lata selecionada aleatoriamente contenha: i) mais de 208 gramas; ii) entre 190 e 200 gramas. Exercícios 1) Se X é uma v.a. normal com parâmetros = 3 e 2 = 9, determine: a) P(2 < X < 5) b) P(X > 0) c) P(X < -3) 2) Uma população normal tem média 50 e desvio padrão 3. Determine os valores correspondentes a Z e sua área percentual de probabilidade para os itens abaixo, entre a média e: a) 40 b) 55,5 c) 50,9 d) 47,0 3) Em um exame de Estatística, a média foi 7,2 e o desvio padrão foi de 1,5. Determinar Z e sua área de probabilidade dos estudantes que obtiveram as seguintes notas menores que: a) 6,0 b) 7,0 c) 8,0 d) 5,0 4) As lâmpadas de um automóvel, tem vida útil média de 4500 horas com desvio padrão de 200 horas. Calcular a probabilidade de que uma lâmpada qualquer, tenha vida útil de: a) igual ou maior que 4000 horas b) igual ou maior que 4750 horas c) se um vendedor comprar 3500 lâmpadas, quantas terão vida útil superior a 4380 horas? 5) Suponha que no dia de pagamento de mensalidade da faculdade, o tempo de esperana fila seja de 42 minutos com desvio padrão de 4 minutos. Se você que tiver que pagar a mensalidade nesse dia, qual a probabilidade de ter que esperar: a) 35 minutos ou mais? b) 45 minutos ou mais c) entre 36 e 44 minutos d) 40 minutos ou menos? 6) Sabe-se que, em média, em 25% dos carros acidentados sofrem perda total, com 2% de desvio padrão. Supondo que num certo mês tenha ocorrido 200 acidentes, qual a probabilidade que: a) menos que 53 carros tenham perda total? b) mais que 48 carros tenham perda total? c) entre 43 e 48 carros tenham perda total? 7) Dadas as distribuições, calcule as probabilidades: a) N(30,9) e P(25 < X < 31) b) N(10,100) e P(X > 30), P(10 < X < 20) c) N(5, 16) e P(X < 3) e P(3 < X < 9) 8) Achar z que satisfaça P(Z > z) = 0,025 e Z ~N(0, 1). 9) Obter z tal que P(-z Z z) = 0,90. 10) Os componentes eletrônicos fabricados numa indústria tem tempos de vida normalmente distribuídos com média de 506 horas e desvio padrão de 81 horas. i) Qual proporção dos componentes tem tempos de vida menores do que 574 horas? ii) Achar o valor x tal que 30% dos componentes falham antes de atingi-lo; 11)Se X é uma variável aleatória com distribuição normal com média = 200 e desvio padrão =5, achar b tal que: i) P(X < b) = 0,6700; ii) P(X > b) = 0,0110. 12) Supor que os tempos de vida de um lote com 1000 componentes para rádio tem uma distribuição normal com média de 500 horas e desvio padrão de 50 horas. Um comprador requer que pelo menos 955 dos componentes tenham uma durabilidade maior do que 400 horas de funcionamento. Você acha que o lote estará de acordo com as especificações do comprador? 13) O tempo para uma ambulância chegar a um determinado lugar em uma grande cidade tenha distribuição normal com = 17 minutos e = 3 minutos. Determinar a probabilidade que o tempo de percurso seja: i) maior do que 22 minutos; ii) entre 13 e 21 minutos; iii)entre 15,5 e 18,5 minutos; iv) em qual período de percurso, de duração de um minuto, tem a maior probabilidade dada pela distribuição normal? 14) Um teste para pilotos de aviões requer uma série de operações para serem realizadas numa sucessão rápida. Supor que o tempo necessário para completar o teste é normalmente distribuído com média = 90 minutos e desvio padrão = 20 minutos. ii) para ser aprovado no teste um candidato deve completá-lo em 80 minutos. Qual a porcentagem de aprovados? ii) se os 5% melhores recebem um certificado de mérito, qual deve ser o tempo do candidato para receber este certificado? 15) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é 0,502 polegada e o desvio padrão 0,005 polegada. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro de 0,496 e 0,508 polegada; se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. 16) O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino, de uma universidade é de 75,5kg e o desvio padrão é 7,5kg. Supondo que os pesos são distribuídos normalmente, determinar: i) quantos estudantes pesam entre 60 e 77,5kg; ii) mais do que 92,5 kg. 17) Se as alturas de 300 estudantes são normalmente distribuídas, com média 172,72 cm e desvio padrão 7,62 cm, quantos estudantes têm altura: i) superiores a 182,88 cm; ii) iguais a 162,65 ou menores; iii) entre 165,10 cm e 180,34 cm inclusive; iv) iguais a 172,72 cm. 18) Suponha que o número de acessos a internet no horário de pico em uma provedora, tenha uma distribuição Normal com média 1000 e desvio padrão de 100. A provedora consegue atender até 1200 acessos simultâneos. Qual é a probabilidade de um usuário conseguir acesso no horário de pico? 19) Suponha que outra provedora tenha essa mesma demanda, no entanto consegue atender somente 1100 acessos simultâneos. Qual é a probabilidade de um usuário não conseguir acesso no horário de pico? 20) Suponha que o número de acessos no horário de pico seja uma distribuição Normal com média 500 e desvio padrão de 50 acessos. Com o intuito de minimizar o custo, o dono busca uma configuração que atenda a 95% dos acessos em horário de pico. Quantos acessos deve comportar essa configuração? 21) O tempo de vida de um determinado processador segue uma distribuição Normal com média de 20000 horas e desvio de 1000 horas. Qual é a probabilidade de um processador falhar após 22000 horas de uso? 22) A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é 0,502 polegadas e o desvio padrão 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro de 0,496 e 0,508 polegadas; se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente. 23) Medidas da corrente em um pedaço de fio têm distribuição normal, com média de 10 mA e variância de 4 mA2. Qual a probabilidade da medida exceder 13 mA? Qual a probabilidade da medida da corrente estar entre 9 e 11 mA? 24) A detecção de um sinal digital, o ruído tem distribuição normal com média de 0 volt e desvio padrão de 0,45 V. Se o sistema considerar que um sinal digital seja transmitido quando a voltagem exceder 0,9 V., qual será a probabilidade de detectar um sinal digital quando nada tiver sido enviado? Determine os limites simétricos, em torno de 0, que incluam 99% de todas as leituras do ruído. 25) O diâmetro de um eixo de um drive óptico de armazenagem é normalmente distribuído com média 0,2508” e desvio padrão de 0,0005”. As especificações do eixo são 0,2500” ± 0,0015”. Que proporção de eixos obedece às especificações?
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