Inferência Estatística: Média, Proporção e Intervalo de Confiança

Prévia do material em texto

23/09/2012
1
1
Unesp - Sorocaba
 Distribuição amostral
– Média
– Proporção
 Intervalo de confiança
– Média
– Proporção
 Teste de hipótese
2
Distribuição amostral da média
 Inferência: envolve a utilização de uma estatística para
concluir, ou inferir, sobre o parâmetro correspondente
 O valor da estatística depende de como a amostra é
coletada
 Para uma população de tamanho N é possível selecionar
muitas amostras diferentes de tamanho n
 Essas amostras diferentes podem ter médias diferentes
23/09/2012
2
3
Para simplificar
 Suponha uma população com N = 4 mensalidades
para quatro colégios
 Essas mensalidades são: R$ 100,00, R$ 200,00 R$
300,00 e R$ 400,00.
 A média da mensalidade (população) é de:
 µ = R$ 250,00
4
Amostra Elementos Média da amostra
1 100, 200 150
2 100,300 200
3 100,400 250
4 200,300 250
5 200,400 300
6 300,400 350
Todas as amostras possíveis de tamanho 2 
23/09/2012
3
5
 Qual a probabilidade de uma amostra
aleatória dessa população ter média R$
250,00?
 33,33%
 66,67% apresentarão erro
 Esse é o erro amostral
 Erro amostral é a diferença entre o parâmetro
populacional e a estatística da amostra usada
para estimá-lo
6
Distribuição amostral da 
média
Número de amostras Probabilidade
150 1 1/6
200 1 1/6
250 2 2/6
300 1 1/6
350 1 1/6
X
23/09/2012
4
7
Gráfico da distribuição da média 
amostral
Distribuição de probabilidade da média amostral
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
150 200 250 300 350
Média amostral
Pr
ob
ab
ili
da
de
8
Média das médias amostrais
k
X
X
k
i
i
 1
23/09/2012
5
9
Variância da distribuição amostral
 
k
X
k
i
i
X
2
12






10
Erro padrão da distribuição 
amostral da média amostral
2
XX  
n
EPX
2
 
23/09/2012
6
11
Teorema central do limite
 As médias de todas as amostras possíveis, de igual
tamanho, retiradas aleatoriamente de uma
população, têm distribuição Gaussiana, não
importando como se distribuem os dados na
população original
12
Característica da DAM
 1) Se a variável X tem distribuição Gaussiana, as
médias de todas as amostras aleatórias de igual
tamanho, originárias dessa população, também têm
distribuição Gaussiana.
23/09/2012
7
13
 2) ERRO PADRÃO DA MÉDIA
 
n
x  
14
Exemplo
 Uma companhia eletrônica fabrica resistores que
têm uma resistência média de 100Ω e um desvio
padrão de 10Ω. A distribuição das resistência é
normal. Encontre a probabilidade de uma amostra
aleatória de n = 25 resistores ter uma resistência
média menor do que 95Ω.
23/09/2012
8
15
Exercícios
 Uma empresa de telecomunicações planeja instalar novos
equipamentos que trarão melhorias as suas operações.
Contudo, antes dos executivos decidirem se as novas
instalações serão um investimento eficaz, eles precisam
determinar a probabilidade de que a média de uma amostra
de tamanho n = 35:
 a) o tempo de transmissão esteja entre 145 e 150 segundos
 b) o tempo de transmissão seja maior do que 145 segundos
 c) o tempo de transmissão seja menor do que 155 segundos
 A média de transmissão é de 150 segundos com desvio de 15
segundos.
16
 É necessário estabelecer critérios científicos para
estabelecer a diferença ou desvio significativo:
1) A distribuição seja gaussiana
2) Os valores que se desviam devem ser uma fração
pequena da população e que seja determinada a
priori
23/09/2012
9
17
 Partindo desses pressupostos, uma atitude
razoável é considerar como estatisticamente não-
significativos os desvios apresentados por valores
ao redor da média populacional
18
 Em geral estipula-se que tal fração seja de 95%, já 
que um valor discrepante deve ser raro.
 47,5% adjacente e acima da média
 47,5% adjacente e abaixo da média
23/09/2012
10
19
 Fica então estabelecido um intervalo ao redor da
média, o intervalo de desvios não-significativos, que
corresponde a 95% dos valores da população
 A fração de 95% é arbitrária e denomina-se região
de não-significância
20
REGIÕES DE SIGNIFICÂNCIA E 
NÃO-SIGNIFICÂNCIA
-1,96 1,96
23/09/2012
11
21
95,096,196,1 








n
XP


22
Definições
 Nível de confiança: é a probabilidade de que o valor procurado
esteja dentro do intervalo de confiança;
 Nível de significância: é a probabilidade de que o valor
procurado esteja fora do intervalo de confiança.
 Essas medidas são complementares e o nível de
significância é denotado por  e o nível de confiança por 1 -
:
23/09/2012
12
23
24
INTERVALO DE CONFIANÇA
n
zX
n
zX   2/12/ 
23/09/2012
13
25
 Os tempos amostrais de montagem para uma
determinada peça fabricada foram 8, 10, 10, 12, 12,
14 e 17 minutos. Se a média da amostra é usada
para estimar a média da população dos tempos de
montagem, forneça um intervalo de confiança de
95% para a média da população, considerando que
ela tem distribuição normal.

26
Distribuição amostral da 
proporção
 Em muitas situações nas ciências, usa-se a proporção para
fazer inferências estatísticas sobre a proporção da população
p.
 Seleciona-se em um amostra aleatória n elementos e calcula-
se a proporção amostral que serve para fazer inferências
sobre o valor de p na população.
 A distribuição de probabilidade para todos os valores
possíveis da proporção da amostra é chamada de
distribuição amostral da proporção
23/09/2012
14
27
 A distribuição amostral da proporção pode ser
aproximada por uma distribuição normal de
probabilidade sempre que o tamanho da amostra é
grande
 Para verificar isso, as duas condições devem ser
satisfeitas:
 np≥ 5 e n(1-p)≥ 5
28
Distribuição amostral da proporção
 Erro padrão para a proporção
n
pq
p 
 96,1 p e 96,1 ppp  
23/09/2012
15
29
Exemplo
 A BellLabs obtém componentes para seus telefones
celulares em lotes de 200 de uma firma em Palo
Alto. Um componente tem uma taxa de defeito de
10%. As normas, recentemente estabelecidas, são:
30
 Se houver mais de 12% de componentes defeituosos,
implicará em contratar um novo fornecedor
 Se houver de 10% a 12% de componentes defeituosos,
implicará em considerar um novo fornecedor
 Se houver de 5% a 10% implicará em continuar com o
fornecedor
 Se houver menos de 5% implicará em aumentar as
encomendas
 Qual a decisão mais provável?
23/09/2012
16
31
Outro exemplo
 O processo de produção das unidades de caixa
de controle de um tipo específico de motor foi
modificado recentemente. Antes dessa
modificação, os dados históricos sugeriam que a
distribuição dos diâmetros do orifício dos
mancais nas caixas eram normais, com um
desvio padrão de 0,10mm. Acredita-se que a
modificação não tenha afetado o formato da
distribuição ou o desvio padrão, mas que o valor
médio do diâmetro médio possa ter mudado. Uma
amostra de 40 unidades da caixa é selecionada e
o diâmetro médio foi de 5,426mm. Qual o
intervalo de confiança para a nova média
populacional com um nível de confiança de 90%?
32
Se o desvio padrão da 
população é desconhecido?
 Usar o desvio padrão da amostra
23/09/2012
17
33
 Correção para uma população finita
 n>0,05N
n
pq
N
nN
X 1


34
Intervalo de confiança para 
proporção
 De maneira análoga a média
pp
pp
zppzp
zpzpIC




2
1
2
2
1
2
],[




23/09/2012
18
35
Exemplo
 O gerente de uma estação de televisão deve
determinar qual a porcentagem de moradias da
cidade que tem mais de uma televisão. Uma
amostra de 500 casas revelou que 275 têm dois ou
mais aparelhos de televisão. Qual é o intervalo de
confiança de 95% para a proporção de casas com
dois ou mais aparelhos? E com 90%?
36
Exercício
 Uma revista especializada reportou que um de cada
quatro executivos é estrangeiros. Se, em uma
amostra de 350 empresas, 77 têm executivos
estrangeiros, estime o intervalo de confiança de
99% da proporção na população de executivos
estrangeiros e se a afirmação da revista é
justificável.
23/09/2012
19
37
TESTES DE HIPÓTESES
38
Teste de hipótese
 Análise estatística:reduzir o grau de incerteza no
processo de tomada de decisões
 Inferência para determinar se uma declaração sobre
o valor de um parâmetro da população pode ser
rejeitado
23/09/2012
20
39
Exemplos
 Um produtor de hardware deseja certificar-se de
que a proporção de unidades defeituosas é menor
do que 3%
 Uma indústria quer saber se há evidências de que o
processo de produção reduziu o custo médio de
produção que era de R$ 5,00 por unidade
40
Hipótese estatística
 Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre os
parâmetros de uma ou mais populações
 Essa afirmação é provisória
 Após a formulação da hipótese, são realizados
levantamentos de dados que são analisados
estatisticamente, buscando resultados que
confirmem ou não a hipótese
23/09/2012
21
41
 Como os dados provêm de amostras, a decisão está
associada a uma probabilidade de erro
 O erro de decisão não pode ser evitado, mas sua
probabilidade pode ser controlada ou mensurada
 A estatística inferencial fornece métodos para se tomar
decisão a respeito de hipóteses formuladas, informando
também o risco de erro que acompanha a decisão
42
Hipóteses estatísticas
 Hipótese nula ou de nulidade Ho: estabelece a
ausência de diferença entre os parâmetros. É
sempre a primeira a ser formulada
 Hipótese alternativa H1: é a hipótese contrária a
hipótese nula. Geralmente é a que o pesquisador
quer ver confirmada
23/09/2012
22
43
Etapas do teste
 1) Estabelecimento das hipóteses
 2) Escolha do nível de significância
 3) Determinação do valor crítico do teste
 4) Determinação do valor calculado do teste
 5) Decisão
44
Exemplo
 Um fabricante alega que a vida média das pilhas
AA, por ele fabricadas, é de 300 minutos. Para testar
a alegação do fabricante de pilhas foi obtida uma
amostra aleatória com 100 pilhas. A média obtida foi
de 294 minutos com desvio padrão de 20 minutos.
Qual a confiança na afirmação do fabricante?
Karol
Realce
23/09/2012
23
45
Etapa-1
min300:0 H
min300:1 H
46
Etapa-2
 α=5%
23/09/2012
24
47
Etapa-3
 Valor crítico
96,1025,0
2
 zzzcrítico 
48
Etapa-4
 Valor calculado do teste
3
2
6
100
20
300294







n
s
xzcalculado

23/09/2012
25
49
Etapa-5-Decisão
0
0
H se-rejeita , Se
H rejeita se não , Se
críticocalculado
críticocalculado
zz
zz


50
Decisão
 A hipótese nula não é aceita
 A amostra é não usual ou
 Hipótese é falsa
23/09/2012
26
51
REGIÕES DE SIGNIFICÂNCIA E 
NÃO-SIGNIFICÂNCIA
52
REGIÕES DE SIGNIFICÂNCIA E 
NÃO-SIGNIFICÂNCIA
-1,96 1,96 3-3
23/09/2012
27
53
Tipos de erro
 Erro tipo I: Rejeitar a hipótese nula quando ela é 
verdadeira
 Erro tipo II: Aceitar a hipótese nula quando ela é 
falsa
54
  = probabilidade de se cometer um erro do tipo I
 = probabilidade de se cometer um erro do tipo II
23/09/2012
28
55
Conclusão H0 Verdadeira H1 Verdadeira
Aceitar H0 Conclusão correta Erro do tipo II
Rejeitar H0 Erro do tipo I Conclusão correta
Condição na população