LISTA4-CAL-II

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UNIVERSIDADE	
  TIRADENTES	
  PROFa:	
  ERICA	
  DANTAS	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  IV	
  LISTA	
  DE	
  CÁLCULO	
  II	
  (Derivas	
  Parciais	
  e	
  derivada	
  direcional)	
  	
  	
   	
  	
  	
  1-­‐	
  Ache	
  as	
  derivadas	
  parciais	
  de	
  f.	
  	
  	
  	
  	
  a)
€ 
f (r,s) = r2 + s2 R : fr =
r
(r2 + s2)
1
2
; f s =
s
(r2 + s2)
1
2
,	
  b)
€ 
f (x,y) = xey + ysenx R : fx = ey + y cos x; fy = xey + senx 	
  c)	
  
€ 
f (t,v) = ln t + vt − v R : f t =
v
t 2 − v 2 ; fv =
t
t 2 − v 2 	
  	
  d)	
  
€ 
f (r,s,t) = r2e2s cos t R : f r = 2re2x cos t; f s = 2r2e2x cos t; f t = −r2e2ssent 	
  	
  	
  2-­‐	
  Verifique	
  que	
  
€ 
wxy = wyx .	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
€ 
a)w = xy 4 − 2x 2y 3 + 4x 2 − 3y
b)w = x 3e−2y + y −2 cos x
c)w = x 2 + y 2 + z2
d)w = y 2ex 2 + 1x 2y 3
	
  
	
  3-­‐	
  Se	
  	
  
€ 
w = y ln(x 2 + z4 ), ache wzzy 	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  	
   	
  	
  	
  
4-­‐	
  Se	
  
€ 
w = senxyz, ache ∂
3w
∂z∂y∂x
R : (1− x 2y 2z2)cos xyz − 3xyzsenxyz
	
  
5-­‐Uma	
  função	
  f	
  de	
  x	
  e	
  y	
  é	
  harmônica	
  se	
  
€ 
∂ 2 f
∂x 2 +
∂ 2 f
∂y 2 = 0 	
  em	
  todo	
  domínio	
  de	
  f.	
  Mostre	
  que	
  a	
  função	
  	
  
€ 
f (x,y) = ln x 2 + y 2 	
  é	
  harmônica.	
  	
  6-­‐	
  Se	
  
€ 
w = cos(x − y) + ln(x + y) ,	
  mostre	
  que	
  
€ 
∂ 2w
∂x 2 −
∂ 2w
∂y 2 = 0	
  
7-­‐	
  Mostre	
  que	
  v	
  satisfaz	
  a	
  equação	
  da	
  onda:	
  
€ 
∂ 2v
∂t 2 = a
2 ∂
2v
∂x 2 	
  
€ 
a)v = (senakt).(senkx)
b)v = (x − at)4 + cos(x + at) 	
  	
  8-­‐	
  Calcule	
  
€ 
∂ r
∂u ,
∂ r
∂v e
∂r
∂t ,	
  onde:	
  	
  
€ 
a)x ln y; x = 3u + vt e y = uvt
R : 3ln(uvt) + 3+ vtu ; t ln(uvt) +
3u
u + t; v ln(uvt) +
3u
t + v
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  b)	
  Se	
  
€ 
p = u2 + 3v 2 − 4w2, em que u = x − 3y + 2r − s, v = 2x + y − r + 2s e w = −x + 2y + r + sache	
  
€ 
∂p
∂r . R : −34y + 6r − 24s	
  	
  9-­‐Calcule	
  
€ 
dw
dt ,	
  onde:	
  	
  
	
  
€ 
a)w = x 3 − y 3; x = 1t +1; y =
t
t +1
R : −3(1+ t
2)
(t +1)4
	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
€ 
b)w = r2 − stgu; r = sen2t; s = cos t; u = 4t
R : 4sen3t cos t + tg4t.sent − 4cos t sec2 4t
	
  	
   	
  10-­‐	
  Se	
  w=f(x,y),	
  em	
  que	
  x=rcos
€ 
θ 	
  e	
  y	
  =	
  rsen
€ 
θ ,	
  mostre	
  que:	
  	
  	
  
€ 
∂w
∂x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
+
∂w
∂y
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
=
∂w
∂r
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
+
1
r2
∂w
∂θ
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2	
  	
   	
  11-­‐	
  Se	
  w	
  =	
  f(x,y),	
  em	
  que	
  
€ 
x = er cosθ e y = ersenθ ,	
  mostre	
  que:	
  	
  	
  
€ 
∂ 2w
∂x 2 +
∂ 2w
∂y 2 = e
−2r ∂
2w
∂r2 +
∂ 2w
∂θ 2
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 	
  	
  12-­‐	
  Utilize	
  derivadas	
  parciais	
  para	
  calcular	
  
€ 
dy
dλ 	
  se	
  y=f(x)	
  é	
  definida	
  implícitamente	
  pela	
  equação	
  dada:	
  	
  
€ 
a)2x 3 + x 2y + y 3 =1 R : 6x
2 + 2xy
x 2 + 3y 2 	
  
€ 
b)6x + xy = 3y − 4 R : 12 xy + y6 xy − x 	
  13-­‐	
  Calcule	
  
€ 
∂z
∂x e
∂z
∂y se	
  z=f(x,y)	
  é	
  definida	
  implícitamente	
  pela	
  equação	
  dada:	
  
€ 
a)2xz3 − 3yz2 + x 2y 2 + 4z = 0 R : zx =
−2z3 + 2xy 2
6xz2 − 6yz + 4 ; zy =
−2x 2y − 3z2
6xz2 − 6yz + 4 	
  	
  
€ 
b)xeyz − 2yexz + 3zexy =1 R : zx =
eyz − 2yzexz + 3yzexy
xyeyz − 2xyexz + 3exy ; zy = −
xzeyz − 2exz + 3xzexy
xyeyz − 2xyexz + 3exy 	
  	
  14-­‐	
  Ache	
  o	
  gradiente	
  de	
  f	
  em	
  P.	
  	
  
€ 
a) f (x,y) = x 2 + y 2 ;P(−4,3) R : −45 i +
3
5 j 	
  
€ 
b) f (x,y) = e3xtgy;P(0,π4 ) R : 3i + 2 j 	
  
€ 
a) f (x,y,z) = yz3 − 2x 2;P(2,−3,1) R : −8i + j − 9k 	
  	
  15-­‐	
  Ache	
  a	
  derivada	
  direcional	
  de	
  f	
  em	
  P	
  na	
  direção	
  indicada:	
  	
  
€ 
a) f (x,y) = x 2 − 5xy + 3y 2;P(3,−1); u = ( 22 )(i + j)R :
−10
2 	
  
€ 
b) f (x,y) = arctg yx ;P(4,−4); a = 2i − 3 j;R :
−1
8 3 	
  
€ 
c) f (x,y) = 9x 2 − 4y 2 −1;P(3,−2); a = i + 5 j;R : 678 26 	
  
€ 
d) f (x,y) = x cos2 y ;P(2, π /4); a =< 5, 1 > R : 12 76 	
  
€ 
d) f (x,y) = xy 2z2 ;P(2, −1, 4); a = i + 2 j − 3k; R :16 14