Aritmética de computadores - Aula 3

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Capítulo 3
Aritmética de Computadores 
Aritmética para Computadores
� Operações com inteiros
� Adição e subtração
� Multiplicação e divisão
� Lidado com estouro aritmético
� Números reais em ponto flutuante
� Representação e operações
Adição de Inteiros
� Exemplo: 7 + 6
� Estouro se o resultado estiver fora do intervalo
� Somando operandos +ve e –ve, não existe estouro
� Somando dois operandos +ve
� Estouro se o resultado do bit de sinal é 1
� Somando dois operandos –ve
� Estouro se o resultado do bit de sinal é 0
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 = 0 + 
carry de 1 p/ 
próxima posição
Subtração de Inteiros
� Adiciona negação do segundo operando
� Exemplo: 27 – 13 = 27 – (13) = 14
27: 11011
13: - 01101
14: 01110
Estouro se o resultado estiver fora do intervalo
0 – 0 = 0
1 – 1 = 0
1 – 0 = 1
0 – 1 → toma emprestado → 10–1=1
� Estouro se o resultado estiver fora do intervalo
� Subtraindo dois operandos +ve ou dois operandos –
ve, não existe estouro (lembrete: x – y = x + (-y))
� Subtraindo operando +ve de –ve
� Estouro se o resultado do bit de sinal for 0
� Subtraindo operando –ve de +ve
� Estouro se o resultado do bit de sinal for 1
Condições de Estouro
� Combinação de operações, operandos e 
resultados que indicam estouro
Lidando com Estouro
� Algumas linguagens (e.g., C) ignoram estouro
� Use as instruções do MIPS addu, addui, subu para
ignorar o estouro
� Outras linguagens (e.g., Ada, Fortran) exigem
lançar uma exceção
Use as instruções do MIPS , , para� Use as instruções do MIPS add, addi, sub para
considerar estouro
� No estouro, invocar o manipulador de exceção
� Salvar PC no registrador do contador de programa da
exceção (EPC)
� Salta para o endereço do tratador pré-definido
� Instrução mfc0 (move do coprocessador reg) pode acessar
o valor do EPC, para retornar depois da ação corretiva
Exercício
� Efetue as seguintes operações
a) 1012 + 112
b) 10110112 + 10110102
c) 10012 – 1012
d) 110102 – 100112
Aritmética para Multimedia
� Processamento gráfico e de mídia opera em 
vetores de dados de 8 e 16 bits
� Use somador de 64 bits, com cadeia de carry
particionado
� Opera em vetores de 8×8-bit, 4×16-bit, ou 2×32-bit
SIMD (single-instruction, multiple-data)� SIMD (single-instruction, multiple-data)
� Saturando operações
� Para overflow, o resultado é o maior valor 
representável
� c.f. módulo aritmético de complemento de 2
� E.g., botão com saturação pararia no volume mais 
alto
Multiplicação
� Começe com a abordagem de multiplicação 
longa
1000
× 1001
1000
0000 
multiplicando
multiplicador
Copia multiplicando 
se o dígito for 1
0000 
0000 
1000 
1001000
Comprimento do 
produto é a soma 
dos comprimentos 
do operando
produto
O comprimento da multiplicação de um 
multiplicando n e um multiplicador m é um 
produto n + m
Exercício
� Efetue as seguintes multiplicações:
a) 11012 × 10102
b) 101012 × 1102
c) 100110101102 × 11112
Hardware de Multiplicação
O LSB do multiplicador determina se o multipicando é 
adicionado ao registrador do produto
Inicialmente 0
Se cada passo consome 1 ciclo de relógio, este algoritmo 
levaria 100 ciclos para multiplicar dois números de 32 bits
Exemplo
� Usando números de 4 bits para salvar espaço, 
multiplique 210 × 310 ou 00102 × 00112 usando o 
algoritmo de multiplicação
Exercício
� Usando números de 4 bits para salvar espaço, 
multiplique 310 × 410 ou 00112 × 01002 usando o 
algoritmo de multiplicação
Multiplicador Otimizado
� Executa os passos em paralelo: soma/desloca
� O multiplicador e o multiplicando são deslocados 
enquanto o multiplicando é adicionado ao produto 
� Caso o bit do multiplicador seja um
O produto é deslocado 
para direita
M: 1000
P: 1000
M: 10000 para direita
Testa o bit direito do 
multiplicador e obtém a 
versão pré-deslocada do 
multiplicando
O multiplicador é 
colocado no MSB do 
registrador de produto
Um ciclo por soma do produto parcial
M: 10000
M: 100000
M: 1000000
P: 1001000
Multiplicador Mais Rápido
� Usa somadores múltiplos
� Balanceamento de custo/desempenho
� Este hardware “desenrola o laço” para usar 31 
somadores
� Várias multiplicação executadas em paralelo para 
minimizar tempo
Multiplicação do MIPS
� Dois registradores de 32 bits para o produto
� HI: 32 bits mais significante
� LO: 32 bits menos significante
� Instruções
� mult rs, rt / multu rs, rt� mult rs, rt / multu rs, rt
� Produto de 64 bits em HI/LO
� mfhi rd / mflo rd
� Move de HI/LO para rd
� Pode tesar o valor de HI para checar se o produto estourou 
os 32 bits
� mul rd, rs, rt
� 32 bits menos significante do produto –> rd
Divisão
� Checa por divisor 0
� Abordagem da divisão longa
� Se os bits do divisor ≤ dividendo
� 1 bit no quociente, subtrai
� Caso contrário
� 0 bit no quociente, abaixa próximo bit 
de dividendo
1001
1000 1001010
-1000
quociente
dividendo
divisor
divid
e
nd
o
de dividendo
� Restaurando a divisão
� Faz a substração, e se o resto for < 0, 
adiciona o divisor de volta
� Divisão com sinal
� Divide usando valores absoluto
� Ajusta o sinal do quociente e resto 
quando necessário
-1000
10
101 
1010
-1000
10
operandos de n-bit produz 
quociente e resto de n-bit
resto
divisor
Dividendo=Quociente×Divisor+Resto ∴Dividendo=9×8+2=74 
divid
e
nd
o
Exercício
� Realize a divisão de 01112 por 00102
111 10
-10 11 
11
-10
1
� Realize a divisão de 1101002 por 1002
110100 100
-100 1101
101
-100
10
100
-100
0
1
Hardware da Divisão
Inicialmente 
divisor na metade 
esquerda
Inicialmente 
dividendo
Exemplo
� Usando uma versão de 4 bits do algoritmo, tente 
dividir 710 por 210 ou 01112 por 00102
Exercício
� Usando uma versão de 4 bits do algoritmo, tente 
dividir 610 por 210 ou 0000 01102 por 00102
Divisor Otimizado
Combina o registrador do 
quociente com a metade 
direita do registrador do resto
� Um ciclo por subtração do resto parcial
� Parece bastante como um multiplicador!
� Mesmo hardware pode ser usado para ambos
Divisão Mais Rápida
� Não pode usar hardware paralelo como no 
multiplicador
� Subtração está condicionada no sinal do resto
� Divisores mais rápidos geram mútiplos bits do 
quociente por passoquociente por passo
� Ainda exige múltiplos passos
Divisão do MIPS
� Usa registradores HI/LO para resultado
� HI: resto de 32 bits
� LO: quociente de 32 bits
� Instruções
� div rs, rt / divu rs, rt� div rs, rt / divu rs, rt
� Sem estouro ou checagem de divisão por 0
� Software deve executar checagens se necessário
� Usa mfhi, mflo para acessar resultado
Ponto Flutuante
� Representação de números não-inteiros
� Incluindo números muito pequenos e muito grandes
� Como notação científica (um dígito à esquerda 
do ponto decial)
� –2.34 × 1056 normalizado� –2.34 × 10
� +0.002 × 10–4
� +987.02 × 109
� Em binário
� ±1.xxxxxxx2 × 2yyyy
� Tipos float e double em C
normalizado
não normalizado
Normalizado: um 
número em notação 
de ponto flutuante que 
não tem líder 0s
Padrão de Ponto Flutuante
� Definido pela IEEE Std 754-1985
� Desenvolvido em resposta a divergência de 
representações
� Problemas de portabilidade de código científico
� Agora, quase universalmente adotado� Agora, quase universalmente adotado
� Duas representações
� Precisão simples (32-bit)
� Precisão dupla (64-bit) 
Formato de Ponto Flutuante IEEE
S Expoente Fração
r. simples: 8 bits
r. dupla: 11 bits
r. simples: 23 bits
r. dupla: 52 bits
Viés)(ExpoenteS 2Fração)(11)(x −×+×−=
O significante 
representa o número de 
24- ou 53-bits que é 1 
mais a fração; e a fração 
quando referimos o 
número de 23- e 52-bits
� S: bit de sinal (0 ⇒ positivo, 1 ⇒ negativo)
� Para suportar ainda mais bits, IEEE 754 faz o uso implícito
do líder 1-bit dos números binários normalizados
� precisãosimples: o númeroé 24 bits (implica 1+uma fraçãode 23 bits)
� Precisãodupla: o númeroé 53 bits (implica 1+uma fraçãode 52 bits)
� Expoente: excesso de representação: expoente real+viés
� Assegure que o expoente é não sinalizado� Simples: Viés = 127; Duplo: Viés = 1023
Formato de Ponto Flutuante IEEE
� Os bits da fração representam um número entre 0 
e 1 e E representa o valor no campo do expoente
� Se numerarmos os bits da fração da esquerda para 
direita s1, s2, s3,…, então o valor é
( ) ( ) ( ) ( )( ) VES sss −−−− ×+×+×+×+×− 223222111 321 K
� A notação desejável deve representar o expoente 
mais negativo como 00..002 e o mais positivo 
como 11..112
� Esta convenção é chamda notação de viés
� Expoente sendo subtraído do viés para representar o 
maior e menor valor do expoente real
� Se usarmos o bit de sinal em E, diminuiríamos o intervalo de 
número que podem ser representados
( ) ( ) ( ) ( )( )
Intervalo da Precisão Simples
� Expoentes 00000000 e 11111111 reservado
� Menor valor
� Expoente: 00000001
⇒ expoente real = 1 – 127 = –126
� Fração: 000…00⇒ significante = 1.0
� ±1.0 × 2–126 ≈ ±1.2 × 10–38
� Maior valor
� Expoente: 11111110
⇒ expoente real = 254 – 127 = +127
� Fração: 111…11⇒ significante ≈ 2.0
� ±2.0 × 2+127 ≈ ±3.4 × 10+38
Intervalo da Precisão Dupla
� Expoentes 0000…00 e 1111…11 reservado
� Menor valor
� Expoente: 00000000001
⇒ expoente real = 1 – 1023 = –1022
� Fração: 000…00⇒ significante = 1.0
� ±1.0 × 2–1022 ≈ ±2.2 × 10–308
� Maior valor
� Expoente: 11111111110
⇒ expoente real = 2046 – 1023 = +1023
� Fração: 111…11⇒ significante ≈ 2.0
� ±2.0 × 2+1023 ≈ ±1.8 × 10+308
Precisão do Ponto Flutuante
� Precisão relativa
� Todos os bits de fração são significativos
� Simples: aproximadamente 2–23
� Equivalente a 23 × log102 ≈ 23 × 0.3 ≈ 6 dígitos decimais de 
precisão
Duplo: aproximadamente 2–52� Duplo: aproximadamente 2–52
� Equivalente a 52 × log102 ≈ 52 × 0.3 ≈ 16 dígitos decimais de 
precisão
Exemplo de Ponto Flutuante (1)
� Representar –0.75
� O número -0.7510 é também -3/410 ou -3/2210
� Representado pela fração binária -112/2210 ou -1.12×2-1
� –0.75 = (–1)1 × 1.12 × 2–1, onde S = 1
� 1 + Fração = .1000…002
� Expoente Real (i.e., ER = E - V) deve ser igual a –1
� Simples: E = –1 + 127 = 126 = 011111102
� Duplo: E = –1 + 1023 = 1022 = 011111111102
� Simples: 1011111101000…00
� Duplo: 1011111111101000…00
sinal expoente fração
Exemplo de Ponto Flutuante (2)
� Qual número é representado pelo seguinte 
flutuante de precisão simples
11000000101000…00
� S = 1 (representa número negativo)
� Fração = 01000…002 = 1×2-2 = 0.25
Expoente = 10000001 = 129� Expoente = 100000012 = 129
� x = (–1)1 × (1 + 0.25) × 2(129 – 127)
= (–1) × 1.25 × 22
= –5.0
Exercício (1)
� Representar -0.5 em ponto flutuante com 
precisao simples e dupla
� Representar 0.25 em ponto flutuante com 
precisao simples e dupla
� Representar -0.4375 em ponto flutuante com � Representar -0.4375 em ponto flutuante com 
precisao simples e dupla
Exercício (2)
� Qual número é representado pelo seguinte 
flutuante de precisão simples
11111111100000…00
10000000100000…00
Adição de Ponto Flutuante
� Consideremos um exemplo decimal de 4 dígitos
� 9.999 × 101 + 1.610 × 10–1
� 1. Alinhas os pontos decimais
� Deslocar número com expoente menor
� 9.999 × 101 + 0.016 × 101
2. Adicionar significante� 2. Adicionar significante
� 9.999 × 101 + 0.016 × 101 = 10.015 × 101
� 3. Normalizar o resultado & checar estouro 
positivo/negativo
� 1.0015 × 102
� 4. Arredondar e normalizar, se necessário
� 1.002 × 102
127 ≥ 2 ≥ -126
Adição de Ponto Flutuante
� Agora consideremos um exemplo binário de 4 digitos
� 1.0002 × 2–1 + –1.1102 × 2–2 (0.5 + –0.4375)
� 1. Alinhar pontos binários
� Deslocar número com expoente menor
� 1.0002 × 2–1 + –0.1112 × 2–1
� 2. Adicionar significante� 2. Adicionar significante
� 1.0002 × 2–1 + –0.1112 × 2–1 = 0.0012 × 2–1
� 3. Normalizar resultado & checar estouro 
positivo/negativo
� 1.0002 × 2–4, sem estouro positivo/negativo
� 4. Arredondar e renormalizar, se necessário
� 1.0002 × 2–4 (sem mudança) 
� 0.0001000 = 8 / 27 = 0.0625
127 ≥ -4 ≥ -126
Hardware para Adicionar PF
� Muito mais complexo do que o somador de 
inteiros
� Fazê-lo em um ciclo de relógio levaria muito 
tempo
� Muito mais longo do que operações com números � Muito mais longo do que operações com números 
inteiros
� Relógio mais lento penaliza todas as instruções
� Somador de ponto flutuante geralmente leva 
mais ciclos de relógio
� Pode ser pipelined
Algoritmo do Somador de PF
� Passo 1 e 2 similar ao exemplo 
do slide anterior
� Adicionar o significante do 
número com o menor expoente e 
então somar os dois significantes
� Passo 3 normaliza os � Passo 3 normaliza os 
resultados, forçando a 
verificação do estouro
� Precisão simples: o máximo 
exp. é 127 e o mínimo é -126
� Precisão dupla: o máximo exp. 
é 1023 e o mínimo é -1022
Hardware para Somador de PF
Passo 1
⇒ subtrai expoentes
⇒ multiplexador
Passo 2
Passo 3
Passo 4
⇒ multiplexador
Exercício
� Tente somar os números 0.2510 e 0.12510 em 
binário usando o algoritmo do somador em 
ponto flutuante
Multiplicação de Ponto Flutuante
� Consideremos um exemplo decimal de 4 dígitos
� 1.110 × 1010 × 9.200 × 10–5
� 1. Adicionar expoentes
� Para expoentes negativos, subtrair viés de soma
� Novo expoente = 10 + (–5) = 5
� 2. Multiplicar significantes
1.110 × 9.200 = 10.212 ⇒ 10.212 × 105� 1.110 × 9.200 = 10.212 ⇒ 10.212 × 105
� 3. Normalizar o resultado & checar estouro
� 1.0212 × 106
� 4. Arredondar e renomalizar, se necessário
� 1.021 × 106
� 5. Determinar o sinal do resultado apartir dos sinais dos 
operandos
� +1.021 × 106
Multiplicação de Ponto Flutuante
� Agora consideremos um exemplo binário de 4 bits
� 1.0002 × 2–1 × –1.1102 × 2–2 (0.5 × –0.4375)
� 1. Adicionar expoentes
� Novo expoente: –1 + (–2) = –3
� Viés: (–1 + 127) + (–2 + 127) = –3 + 254 – 127 = –3 + 127
� 2. Multiplicar significantes
1.000 × 1.110 = 1.1102 ⇒ 1.110 × 2–3
ER = E - V
� 1.0002 × 1.1102 = 1.1102 ⇒ 1.1102 × 2–3
� 3. Normalizar o resultado & checar estouro
� 1.1102 × 2–3 sem estouro positivo/negativo
� 4. Arredondar e renormalizar, se necessário
� 1.1102 × 2–3 (nenhuma mudança)
� 5. Determinar o sinal: +ve × –ve ⇒ –ve
� –1.1102 × 2–3
� 0.001110 = 14 / 26 = –0.21875
Algoritmo do Multiplicador de PF
� Inicia com o cálculo do novo do 
produto, seguido da 
multiplicação dos significantes 
e por uma normalização
� Checa se houve estouro no 
tamanho do expoente, e então tamanho do expoente, e então 
o produto é arredondado
� Se o arredondamento levar a 
normalização, checa-se 
novamente o tamanho dos 
expoentes 
Hardware para Aritmética de PF
� Multiplicador de ponto flutuante é de 
complexidade similar ao somador
� Mas usa um multiplicador para o significante em vez 
de um somador
� Hardware de ponto flutuante geralmente realiza
� Adição, subtração, multiplicação, divisão, raiz � Adição, subtração, multiplicação, divisão, raiz 
quadrada
� Conversão entre ponto flutuante ↔ inteiro
� Operações geralmente levam vários ciclos de 
relógio
� Pode ser pipelined
Instruções de PF no MIPS
� Hardware de PF é o coprocessador 1
� Processador adjunto que estende o ISA
� Registradores de PF são separados
� Precisão simples de 32: $f0, $f1, … $f31
� Pareado para decisão dupla: $f0/$f1, $f2/$f3, …
� Versão 2 do MIPs ISA suporta reg’s de PF de 32 × 64-bit
Instruções de PF operam somente em � Instruções de PF operam somente em 
registradoresde PF
� Programas geralmente não realizam operações de 
inteiro em PF, ou vice-versa
� Mais registradores com impacto mínimo no tamanho 
do código
� Instruções de load e store de PF
� lwc1, ldc1, swc1, sdc1 w ⇒ word
d ⇒ double word
Instruções de PF no MIPS
� Aritmética de precisão simples
� add.s, sub.s, mul.s, div.s
� e.g., add.s $f0, $f1, $f6
� Aritmética de precisão dupla
� add.d, sub.d, mul.d, div.d
� e.g., mul.d $f4, $f4, $f6e.g., 
� Comparação de precisão simples e dupla
� c.xx.s, c.xx.d (xx representa eq, lt, le, …)
� Seta ou limpa bit do código de condição do PF
� e.g. c.lt.s $f3, $f4
� Desvia num código de condição de PF (true ou 
false)
� bc1t, bc1f
� e.g., bc1t TargetLabel
Exemplode PF: °F para °C
� Código C :
float f2c (float fahr) {
return ((5.0/9.0)*(fahr - 32.0));
}
� fahr em $f12, resultado em $f0, literais no espaço de 
memória global
Código MIPS compilado:� Código MIPS compilado:
f2c: lwc1 $f16, const5($gp)
lwc1 $f18, const9($gp)
div.s $f16, $f16, $f18
lwc1 $f18, const32($gp)
sub.s $f18, $f12, $f18
mul.s $f0, $f16, $f18
jr $ra
0($gp)
4($gp)
8($gp)
Interpretação de Dados
� Bits não têm significado inerente
� Eles podem representar inteiros com/sem sinal, 
números de ponto flutuante e instruções
The BIG Picture
� Interpretação depende das instruções aplicadas
� Representações computacionais de números
� Intervalo e precisão finita
� Necessário levar em conta o tamanho finito das 
palavras nos programas
Associatividade
� Programas paralelos podem intercalar
operações em ordens inesperadas
� Suposição da associatividade pode falhar devido as 
aproximações e a precisão limitada
(x+y)+z x+(y+z) O número(x+y)+z x+(y+z)
x -1.50E+38 -1.50E+38
y 1.50E+38
z 1.0 1.0
1.00E+00 0.00E+00
0.00E+00
1.50E+38
� Precisa validar programas paralelos sob 
diferentes níveis de paralelismo
O número
1.5010x1038 é 
muito maior do 
que 1
Divisão e Deslocamento para Direita
� Deslocamento para esquerda por i multiplica um 
inteiro por 2i
� Deslocamento para direita divide por 2i?
� Somente para inteiros sem sinal
� Para inteiros com sinal
� Deslocamento à direita aritmético: replica o bit de 
sinal
� e.g., –5 / 4
� 111110112 >> 2 = 111111102 = –2
� O resultado é -210 em vez de -110; próximo, mas não exato
� c.f. 111110112 >>> 2 = 001111102 = +62
Observações Finais (1)
� Aritmética de suporte dos ISAs
� Inteiros com sinal e sem sinal
� Aproximação de ponto flutuante para números reais
� Intervalo e precisão limitada
� Operações podem causar estouro positivo e negativo
� ISA do MIPS
� Instruções do núcleo: 54 mais frequentemente usadas
(próximo slide)
� 100% do SPECINT, 97% do SPECFP
� Outras instruções: menos frequente
Observações Finais (2)
Exercício 1
� Tente multiplicar os números 0.2510 e 0.12510
em binário usando o algoritmo do multiplicador 
em ponto flutuante
Exercício 2
� Emule o código assembly da conversão de 
Farenheit para Celsius usando o emulador Mars
� Dica: converta os números para ponto flutuante, antes 
de inserir nos registradores $f0, $f1, etc
Exercício 3
� Escreva um programa em assembly do MIPS 
que capture o valor do raio de uma esfera e 
exiba o valor do volume e da área da superfície 
da esfera. Sabe-se que o volume da esfera é 
dado por (4/3) ×pi×r3 e que a área da superfície é 
dada por 4×pi ×r2. Assuma pi=3.14dada por 4×pi ×r2. Assuma pi=3.14
� Dica: transforme o valor de pi em uma fração