MD - Lista 2

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Segunda lista de exerc´ıcios de Matema´tica Discreta
Para as questo˜es 1 a 4 prove a proposic¸a˜o dada.
1. Para qualquer inteiro positivo n menor ou igual a 3, n! < 2n.
2. O nu´mero n e´ um inteiro par se, e somente se, 3n + 2 = 6k + 2 para algum in-
teiro k.
3. A diferenc¸a entre dois cubos consecutivos e´ ı´mpar.
4. A soma de treˆs inteiros consecutivos e´ divis´ıvel por 3.
Para as questo˜es 5 a 8 prove utilizando induc¸a˜o matema´tica (onde na˜o for
feita nenhuma considerac¸a˜o, n pode ser qualquer inteiro positivo)
5.
12 + 22 + ...+ n2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
6.
3 + 8 + 15 + ...+ n(n+ 2) =
n(n+ 1)(2n+ 7)
6
7.
n∑
i=1
i2i = (n− 1)2n+1
.
8.
72n + 16n− 1
e´ divisivel por 64.
9. Descreva cada um dos conjuntos a seguir:
a. {x | x�N / (∃q)(q�{2, 3}, x = 2q)}
b. {x | x�N / (∀y)(y par → x 6= y}
10. Quantos nu´meros de treˆs digitos menores do que 600 podem ser formados usando-se
os algarismos 8, 6, 4 e 2?
11. Um pre´dio comprou um novo sistema de fechaduras para seus 175 apartamentos.
Uma fechadura e´ aberta digitando-se um co´digo de dois algarismos. O s´ındico do edif´ıcio
fez uma compra inteligente? Justifique.
12. Foi realizada uma pesquisa com uma amostragem de 25 carros novos a` venda em
uma revendedora local para verificar quais dos teˆs opcionais populares, ar-condicionado
(A), ra´dio (R) e vidros ele´tricos (V), ja´ estavam instalados. A pesquisa concluiu que:
15 tinham ar-condicionado;
12 tinham ra´dio;
11 tinham vidros ele´tricos;
5 tinham ar-condicionado e vidros ele´tricos;
9 tinham ar-condicionado e ra´dio;
4 tinham ra´dio e vidros ele´tricos;
3 tinham as treˆs opc¸o˜es.
Qual o nu´mero de carros que teˆm:
a. Apenas ar-condicionado
b. Nenhuma das opc¸o˜es
13. Um servic¸o de empregados dome´sticos por computador tem uma lista contendo
50 homens e 50 mulheres. Sa˜o selecionados nomes aleatoriamente. Quantos nomes teˆm
que ser selecionados para se garantir que aparec¸a dois nomes de pessoas do mesmo sexo?
14. Um time de futebol tem 18 jogadores entre titulares (11) e reservas. De quan-
tas maneiras pode-se escolher o time titular?
15. Quantas soluc¸o˜es distintas inteiras na˜o-negativas existem para a equac¸a˜o
x1 + x2 + x3 = 7
com x1 ≥ 3?
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