Mec-Geral-ApB_C

Prévia do material em texto

<p>242 Vetores APÊNDICE P2 y B Geometria das Curvas P X 11) Sabendo que o vetor posição de um ponto é dado por: cost) (ver exercício 7 da lista de exercícios), calcule a sua aceleração na base A.8.2 Respostas 1) - e B.1 Introdução 2) Nesse item, serão estudadas as "ferramentas" analíticas básicas para o estudo de curvas no espaço tridimensional. 3) a) b) 0=45° Serão apresentados os principais sistemas de coordenadas "fixos" em Mecânica: cartesiano, 4) cilíndrico e esférico. bem como um sistema de coordenadas função do ponto da curva, determinado pelo Triedro de Frenet. 5) a) (-10,-2,-14) b) (10,2,14) Espera-se que o texto apresente algumas representações analíticas para a descrição de uma curva, assim como as vantagens e desvantagens que cada uma delas fornece quando da 6) = 139 /139 9- 139 417 solução de um problema de Mecânica. 7) a) podem forman uma base; b) B.2 Sistemas de Coordenadas B.2.1 Coordenadas cartesianas 8) a) 30 Seja o espaço tridimensional e O um ponto qualquer desse espaço, sobre o qual será estabelecido o sistema de coordenadas. Assim, o ponto 0 receberá a denominação de origem. 13 b 89 3 9) com qualquer; b) conjunto de versores K com origem em formam uma base ortonormal positiva. No 175 + 5 175 + 5 sistema de coordenadas cartesiano, um ponto P qualquer do espaço é definido suas X, y, Z nas direções k respectivamente, conforme mostrado na Fig. 1. 10) = 4 3 3 + ( 2 3 + 2 3 3 3 f3 1 de um Z ponto no sistema de coordenadas cartesiano k y</p><p>244 Geometria das Curvas 245 Assim, a posição do ponto P pode ser representado por: B.2.2.1 Comprimento de arco em coordenadas cilíndricas ou, mais simplificadamente, P = y, z) Das relações anteriores entre (x, y, e Q, z) obtém-se: B.2.1.1 Comprimento de arco em coordenadas cartesianas É intuitivo que corda e arco tendem a se no limite As 0. Assim, indicando esse limite pela diferencial ds, tem-se que esta é a diagonal principal de um prisma cujas dimensões Substituindo em são os diferenciais dx, dy, e dz dos eixos coordenados, como ilustrado pela Fig. 2. Observação: P+As Considerando um ponto P(q, Q, z) livre no espaço, obtém-se: arco Z ds S As para q constante, variando Q e a superfície gerada é uma superfície cilíndrica. corda z+dz Z para Q constante, variando e z, a superfície gerada é um plano, perpendicular ao P dz ds y plano xy. y dx x+dx para Z constante, variando e Q, a superfície gerada é um plano paralelo a xy. X B.2.2.2 Coordenadas polares Figura 2 Diferencial ds sistema de coordenadas polares constitui um caso particular do sistema de coordenadas Chega-se então à seguinte expressão para a medida do comprimento ds: cilíndricas, onde Z = cte, isto é, a curva é plana e paralela ao plano xy. Para este caso particular A Fig. 4 mostra uma representação de curva em coordenadas polares. Figura 4 B.2.2 Coordenadas cilíndricas Representação do y ponto em coordenadas polare Sejam a origem do sistema a distância entre a projeção do ponto considerado sobre o plano xy e a origem 0 e o ângulo que q faz com o eixo X do sistema de coordenadas, conforme apresentado na Fig. 3. r Assim sendo, valem as seguintes relações: Q 0 novo sistema de coordenadas definido pelas grandezas Q e z, é denominado sistema de coordenadas cilíndrico, ou seja, z). Nesse caso, dz = 0, o que implica que a relação para medida do comprimento de arco em coordenadas polares é a seguinte: 3 Z do em coordenadas cilíndricas B.2.3 Coordenadas esféricas P Sejam a origem do sistema da coordenadas, a distância do ponto P à origem ângulo entre o eixo X e a projeção de no plano xy e o ângulo que faz com o y conforme a Fig. 5. Assim sendo, valem as seguintes relações: Q 0 novo sistema de coordenadas, definido pelas grandezas r. Q e é denominado sistema de coordenadas esféricas, ou seja, P = P(r, Q, 0).</p><p>246 Exemplos: y Figura 5 Representação do ponto P AZ em coordenadas i) t X P y (circunferência) q ii) y Observações: X Fixando-se r, variando Q e 0, a superfície gerada é uma superfície esférica. (parábola no plano xy) Fixando-se variando r e 0, a superfície gerada é um plano perpendicular ao plano Z xy. Fixando-se 0, variando e a superfície gerada é uma superfície cônica. B.2.3.1 Comprimento de arco em coordenadas esféricas: y Os diferenciais para esse sistema são: X dx = dr - COSQ + sen (espiral em torno do eixo z) dy = + sen ode) dz = + r Substituindo em Dadas as equações paramétricas de uma curva, a equação da curva pode ser determinada eliminando-se o parâmetro, embora nem sempre uma curva possa ser expressa em uma única equação. Considerando os exemplos anteriores, obtém-se: i) B.3 Equações Paramétricas de uma Curva (circunferência) As coordenadas de um ponto, no espaço tridimensional (x, y, Z; por exemplo) de uma curva são muitas vezes representadas por um parâmetro. Assim, para o sistema de coordenadas cartesiano: (parábola) y=y(u) onde u pode ser um parâmetro qualquer. A espiral, no entanto, não pode expressa em uma única equação: Desse modo, curva é o lugar geométrico dos pontos tais que as condições iii) acima sejam satisfeitas. As expressões acima são denominadas equações paramétricas da curva, justamente por serem funções de um parâmetro. 0 parâmetro u normalmente representa uma grandeza física em Mecânica, embora ele possa ser de qualquer Na cinemática, em particular, o parâmetro normalmente usado é o tempo, representado pela letra t. Assim: ou As equações juntas, representam curvas no espaço, onde cada ponto é função do tempo.</p><p>248 das Equacoes B.3.1 Abscissa curvilínea Considerando que para Na Fig. 6, tem-se a representação de uma curva qualquer no espaço. símbolo S representa a abscissa ao longo da curva considerada. Esta é chamada abscissa curvilínea, por fornecen a = medida do comprimento sobre a curva, compreendendo uma distância e um sinal (sentido). 0 0 Para o sistema de coordenadas cartesianas: Notar que S = (comprimento de Figura 6 S Abscissa z+dz dz X ds y ii) x+dx y senu du du du Mas se as coordenadas (x, y, z) dos pontos da curva são funções de um parâmetro u qualquer, conclui-se que tendo assim, pela definição de diferencial, que: Considerando-se que para du e portanto: iii) z=0 Para se determinar a abscissa curvilínea de uma posição S = s(u), conhecendo-se as equações paramétricas (x(u), y(u), z(u)), basta integrar: Considerando-se que para = 0 = So = De uma tabela de integrais, obtém-se que: Exemplos i) Assim, z=0 dx senu du du du Substituindo em: Jo du</p><p>250 das 25 B.4 Geometria Diferencial Figura 9 Com o intuito de facilitar a representação gráfica, e assim facilitando o correto entendimento A dos conceitos envolvidos, considerar-se-ão neste item apenas curvas planas. Entretanto, notar para um mesmo que as expressões resultantes são gerais e portanto válidas para curvas no espaço. As em Seja P = P(u) = + + a equação vetorial de uma curva plana. A de curvaturas 0 distintas: derivada de P será, pela sua definição, o vetor: t dP dO dP = = lim du du du du Au-0 Au dO Notar que a parcela é nula pois o ponto é ponto fixo e, portanto, não varia com o du parâmetro u. A Fig. 7 ilustra esta situação. Notar ainda que a diferença entre os pontos P(u) e P(u+Au) determina um vetor AP definido numa direção secante da curva e distinto ao vetor Assim, pode-se definir a curvatura K como: dP de du K lim = As ds dP Notar que a unidade de curvatura é rad [L] ou ainda o vetor AP du P(u+Au) B.4.2 Raio de Curvatura (u) AP Define-se raio de curvatura de uma curva no ponto P. uma vez que uma curva pode ter (u+Au) vários raios de curvatura distintos, como sendo o inverso da curvatura para aquele ponto: r (u) p = K m B.4.3 Centro de Curvatura Círculo Osculador A partir da Fig. 8 observa-se, por sua vez, que à medida que se aproxima Au de 0, isto é, que se faz os vetores também se aproximam. Em cada ponto de uma curva plana, pode-se determinar dois conjuntos de círculos tangentes à curva. Para curvas no espaço, infinitos conjuntos de círculos podem ser encontrados. Figura 8 Define-se círculo osculador de uma curva num ponto P como sendo o círculo tangente à dP Aproximação quando 0 nesse ponto, e que tenha a mesma curvatura da curva nesse ponto. du Para se determinar este círculo, no caso das curvas planas, basta que se trace a reta normal a ela no ponto P considerado, do lado côncavo da curva. centro desse círculo, que é P(u) chamado centro de curvatura, encontra-se nessa reta, à distância: 1 PC K Figura Circulo dP AP S Assim, pode-se também usar a definição: = lim que será o vetor diretor da reta Centro de Curvatura du Au tangente à curva no ponto P(u). B.4.1 Curvatura P dP Seja o verson tangente à curva, ou seja, o vetor de módulo unitário, paralelo a i' du Chama-se de curvatura, representada pela letra grega K (kappa), a "rapidez" com que t varia com o deslocamento As do ponto na curva. Notar pela Fig. 9 que a variação da inclinação do verson para um mesmo As é maior em curvas de maior curvatura.</p><p>252 Geometria das Curvas B.5 Versor Tangente dP dP du dP du Dada uma curva de equação vetorial P = P(u), partir de um ponto qualquer da curva, ds du ds ds fixa-se um sistema de abscissas curvilíneas S ao longo da curva considerada, de modo que P du fique perfeitamente determinado por S. 2 2 Desta maneira, P também é função de S e logo se pode escrever: onde evidentemente S também é função de u. isto é: S = s(u). Mas du ds = du = du dP logo: Figura 11 + A abscissa S t = dP = dP du ds sobre a dP du B.6 Normal Principal Inicialmente, é importante que um círculo, tangente à curva no ponto considerado e que tenha a mesma curvatura da curva neste ponto, é chamado círculo osculador. dP 0 vetor derivada além de da propriedade de ser tangente à curva em cada Considerando agora uma curva no espaço, uma maneira de determinar qual dos círculos ds tangentes (existem infinitos no espaço) é o osculador, basta três pontos vizinhos P. ponto, goza também da propriedade de módulo unitário. Esse fato pode ser demonstrado, e P2 na curva considerada e notar que estes sempre determinam uma circunferência. Quando mas é intuitivo se notarmos a definição de derivada: P. e tendem para ponto P. o círculo, no limite, tende para o círculo osculador, cujo raio de dP P(s AP curvatura é o inverso da curvatura K. plano que contém este círculo é denominado plano lim lim osculador. ds As As Na definição acima, P(s + As) P(s) AP representa a corda e As o arco entre os pontos 13 P(s) e P(s + As). Ao fazer-se o arco e a corda tendem a se confundir, de modo que, em dP módulo, seus valores se igualam, ou seja: dP ds = 1, o que mostra que dP osculador é o verson ds ds P P tangente no ponto P(s). 12 o arco As e AP As S P(s) AP Por outro lado, todas as retas no espaço que passam pelo ponto P e são perpendiculares à direção da tangente da curva neste ponto são normais à curva. Entre essa infinidade de retas, existem duas que são muito importantes para o estudo das propriedades das curvas (e portanto para a análise cinemática e dinâmica de um ponto) no espaço euclidiano tridimensional. A primeira, que pertence ao plano osculador, é chamada normal principal. A segunda, perpendicular ao plano osculador, é chamada binormal. Quando a curva é plana, o plano osculador é, evidentemente, próprio plano da curva. Portanto, indicando-se por o verson tangente, chega-se à seguinte definição: Sabe-se que It = então 1. Derivando-se esse produto em relação à abscissa dP curvilínea S, obtém-se: ds Para o sistema de coordenadas cartesiano, segundo a base i.j. dt ds dt ds ds ds Vê-se pela relação acima que é normal a Portanto, chama-se essa derivada de vetor ds Desenvolvendo-se agora o verson em relação ao parâmetro u: normal, representado por N.</p><p>254 K= = = N ds que N tem dimensão Chamando de o versor normal ao verson tangente, chega-se, finalmente a: Para a análise do módulo do vetor será considerada a representação da Fig. 14. Nela, = são considerados dois pontos P e P*, infinitamente próximos, sobre a curva: K Agora é necessário determinar qual a direção deste vetor normal N (e a Figura 14 do ou seja, precisa-se descobrir se este veton encontrado é o pertencente ao At plano osculador. Sabe-se que: P* A ds As As t Nota-se que At pertence ao plano definido pelas duas tangentes e ou seja, At está t dt P contido no plano osculador. Como é perpendicular à tangente, este será paralelo ao plano 0 ds dt osculador. Portanto, = será a normal principal (a que pertence ao plano osculador) e ds seu sentido será para o centro de curvatura (o sentido sai da própria derivada ds Notan que o triângulo da figura é isósceles, pois, It + At = = 1, já que ambos são versores. Logo; para chega-se à seguinte relação trigonométrica: Figura 15 Os versores ten At t sen = S módulo de é dado por: ds dt = lim At lim ds As As A expressão: dt ds = = 1 é a chamada fórmula de Frenet. At Desenvolvendo agora : As B.7 Versor Binormal 2 ser sen At 2 2 = Vê-se que, para curvas planas, os versores e formam uma base plana. Se a curva for As As As 2 respacial, será necessária a definição de um terceiro versor, linearmente independente aos dois primeiros, para fixar uma base no no qual está contida essa curva. Indo mais adiante, esse Assim: verson também deverá ser perpendicular aos outros para forman uma base ortonormal, mais simples de ser manuseada. ser At 2 lim lim Esse versor, chamado versor binormal e representado por é então definido como sendo: = As As 2 sen X 0 versor b será, portanto, perpendicular à tangente e ao plano osculador. Notar que a Visto que: lim = 1. Logo: X ordem na definição acima forma uma base positiva. Partindo de: deriva-se implicitamente essa relação: At sen 2 At lim = lim lim lim = lim = K dt como dt = : 0 As As As 0 As ds ds 2 mas portanto Vê-se, portanto, que o módulo da derivada, em relação a S, do verson t é a curvatura K. ds ds</p><p>$256 Geometria das Curvas db Triedro de Frenet é uma base positiva, ou seja, valem as seguintes relações: Assim, é normal a E. Mas pela própria definição de derivada de vetor, este é também ds normal a be assim, paralelo a Logo, ele pode ser definido como: db ds Figura 18 0 é chamado de torção da curva, tendo como unidade e expressa a taxa de os versores Triedro variação de b ao longo da curva em função de S. Seu inverso é denominado raio de torção. Y A torção é, portanto, uma medida da variação do plano osculador (definido por e em torno da direção da reta tangente, definida pelo verson t. Ou seja, é uma medida da taxa de b rotação do verson binormal b em torno de E. Figura Rotação do binormal A b b * São denominadas fórmulas de Frenet as derivadas dos versores e (triedro de Frenet) n com relação à abscissa curvilínea ds. As duas primeiras fórmulas já foram apresentadas nesse texto. = plano osculador A fórmula de Frenet é obtida a partir da relação: derivando-a implicitamente: ds = ds dt tendo em vista as duas primeiras fórmulas de Frenet: ds que se b é girado em torno de (torção), em um pequeno ângulo seguindo a db e como = regra da mão direita, a projeção de sobre a direção normal se dá no sentido inverso da ds ds db normal Assim, justifica-se o emprego do sinal negativo na expressão: que é a cha- ds ds mada fórmula de Frenet. Assim. as três fórmulas de Frenet dt = db yb + B.8 Triedro de Frenet ds ds ds A base formada pelos versores t. e constitui chamado Triedro de Frenet, que tem Essas fórmulas expressam, em sua essência, como os versores da base definida pelo Triedro de Frenet (t, b) variam ao longo da curva. como principal característica o fato de ser uma base móvel, ou seja, é função do ponto da curva. como ilustrado na Fig. 17: B.9 Exemplos Resolvidos Figura 17 Triedro de b sobre curva Exemplo 1: Descrever a curva (equações paramétricas) y = sen 2u U no sistema de coordenadas esférico. Solucao Das relações entre os sistemas de coordenadas esférico e cartesiano: P círculo osculador = curva obtêm se as seguintes expressões</p><p>258 Geometri Logo: valor da velocidade nesse instante, ou seja, é dado por: c) = Resposta: Exemplo 2: As coordenadas cartesianas de um ponto que se move no espaço tridimen- Portanto: a(2) = sional são dadas por: Resposta: a) = x(t) = onde o parâmetro t é o tempo, medido em segundos, e y e Z são medidos 3: Dadas as equações paramétricas da curva: em metros. Pede-se: a) 0 posição r(t) para um instante genérico em seguida, o vetor para Pede-se: b) Determinar o vetor velocidade e seu valor para a) Expressar o vetor posição b) Verificar se a curva pode ser reduzida a uma única equação. Determiná-la, c) Determinar vetor aceleração e seu t = em caso afirmativo. a) Para o sistema de coordenadas cartesiano: = Assim: a) uj b) Para verificar se a curva pode ser reduzida a uma equação, tenta-se eliminar Para parâmetro, reduzindo o sistema: (elipse) z=0 Resposta: a) uj 4: Calcular a abscissa curvilínea S da curva a seguir em função do parâmetro considerando z=0</p><p>260 Geometma das Curvas 261 Para o sistema de coordenadas cartesiano: du 1 2 2 ds ds = dt dx 2 Partindo da relação trigonométrica, = em termos de u: du dx dy dy 2 dt dx du = du dt Fazendo a substituição dos termos: Realizando agora uma troca de variável: X 0 = arctgw Derivando-se em relação a u: = 4 de d dw du dw du = d0 du = dw du Resposta: du = 1 2 Encontrar a expressão da curvatura K para uma curva plana dada em termos de suas equações paramétricas, ou seja: e a seguir a expressão encontrada para uma curva dada em coordenadas retangulares, ou seja: Finalmente, Seja uma curva dada pela suas funções componentes: y=y(u) K= de du = 1 yx-yx => K = de Sua curvatura é dada pela relação ds Notar que é sempre positivo, e portanto pode sain do módulo. Como se está trabalhando com equações paramétricas, 0 e S também serão Portanto: funções de u, logo: 0=0(u) S K = - Deixando agora as derivadas em relação à variável u, chega-se à seguinte expressão para a curvatura (regra da cadeia): A partir dessa expressão, para as coordenadas retangulares, visto que 1 e chega-se à seguinte relação: de du K = du ds K = ly Analisando cada um dos termos do segundo membro desta expressão: 2 Resposta: Para uma curva dada por equações paramétricas: K du ds Sabe se que para curvas planas: = + ds du Para uma curva em coordenadas retangulares: K = Portanto,</p><p>262 das 263 B.10 Lista de Exercícios onde a e k são constantes positivas Determinar: a) vetor posição do ponto móvel: B.10.1 Enunciado b) 0 verson tangente; 1) as seguintes curvas no sistema de coordenadas pedido: c) A abscissa curvilínea s(t), sabendo que s(0) = d) A expressão da trajetória (Dado: = (1/2) (1 2a)) a) X coordenadas polares. em 8) Dada a curva Y por suas equações paramétricas: q=u y b) em.coordenadas esféricas. 7 at Determinar os versores da tangente, da normal principal e da binormal e o raio de curvatura p. 2) movimento de um ponto no plano vertical xy é dado por suas coordenadas polares: r(t)=3t2 onde r é medido em metros, A em radianos e t em segundos. Determinar a velocidade V 3) Dadas as curvas em termos de suas equações paramétricas, expressar os respectivos vetores 2) posição P-O. A seguir, verificar se as curvas podem ser reduzidas a uma única equação. 3) b) = ucosui U sen uj + auk a) y=2u-5 4) Calcular a abscissa curvilínea S das curvas a seguir para um instante genérico t, considerando 5) X a) y = b) b) p=a z=0 7) a) 5) Encontrar a expressão da curvatura k para uma curva dada em coordenadas polares, ou b) c) d) 6) Determinar o raio de curvatura p em função do parâmetro u para as curvas dadas: a) + 7 8) b) 7) Um ponto P move-se no espaço segundo suas equações paramétricas: +cost) z=k</p><p>265 Figura Z C Momentos de Inercia y y X Obtém-se: pxdc C.1 pzdc 0 campo gravitacional na superfície terrestre pode ser considerado constante. Assim as X pdc y = pdc IN = C pdc = forças-peso contituem um sistema de forças paralelas. centro deste sistema de forças paralelas C é denominado de centro de gravidade ou baricentro do corpo. As coordenadas do baricentro do corpo, num sistema de coordenadas cartesianas, são Para corpos homogêneos (p constante): dadas por: X= y = C ydc dc IN = zdc dc xdc C C C Onde m são as massas associadas a cada "ponto" i do corpo. Chamando = m (massa total do corpo), obtém-se: C.1.1 Propriedade fundamental m ; y m IN = m Em notação vetorial o ponto G, correspondente à posição do baricentro, é dado por: Passando-se para o caso contínuo, a somatória pela integral, obtém-se: G-O= xdm ydm zdm Desenvolvendo: dm dm dm C C C Onde C (dimensão representa todo corpo. Lembrando da definição de densidade (p), relação entre massa e volume do corpo: dm Ou seja, "a somatória das distâncias dos pontos multiplicadas pelas respectivas massas dc em relação ao baricentro G é nula". *Adaptação de Albanese, B. e Matsumura, A.Z. (1979). Valem as seguintes propriedades:</p><p>266 Momentos se os pontos de um corpo forem coplanares, seu baricentro pertence ao plano; se um corpo possuir um plano de simetria, então seu baricentro pertence a esse plano o baricentro de um corpo é interno a qualquer superfície fechada convexa que envolva se um corpo possuir dois planos de simetria, seu baricentro pertence à corpo. se um corpo possui três planos de simetria, seu baricentro é o ponto comum planos; C.1.2 Propriedade distributiva do baricentro Seja C um corpo de massa m e baricentro composto de duas partes C1 e A primeira composta dos pontos P1 de massa e a segunda composta dos pontos de massa C.1.4 Baricentros de algumas figuras geométricas Sejam G1, e G2, os baricentros e as massas das partes C1 e C2. Assim segundo a propriedade C.1.4.1 Figuras homogêneas possuindo centro geométrico fundamental: Valem as seguintes propriedades para as figuras geométricas homogêneas que possuam para a parte um centro geométrico. para a parte C2 baricentro de uma esfera é o seu centro. baricentro de um paralelepípedo é o ponto de intersecção de suas diagonais. Para o corpo C inteiro sabe-se que: 0 baricentro de um paralelogramo é o ponto de de suas diagonais. 0 baricentro de um segmento de reta é o seu ponto médio. expandindo a somatória para os corpos e C2 obtém-se: C.1.4.2 Baricentro de um arco de circunferência homogêneo Seja AB um arco homogêneo de centro raio R e comprimento l. Sendo M o ponto médio do arco AB, seu baricentro G pertence ao raio OM, pois ele é o eixo de simetria do arco. Figura Arco y M P de G A de B Analisando o resultado anterior, nota-se que o baricentro G do corpo C pode ser obtido -a considerando as massas das partes C1 e C2 concentradas respectivamente nas posições dos X baricentros G1 e G2 das mesmas. Este resultado pode ser generalizado para um conjunto de partes conforme a expressão a seguir: A partir da figura: yde Onde, o comprimento do arco é dado por l = 2aR. Seja 0 o ângulo entro eixo y e o raio Sabendo que y = R e de = Rd0, obtém- se: C.1.3 Propriedade de simetria Para um corpo C, diz-se que um plano é plano de simetria quando a toda massa m localizada R num ponto P corresponder, no semi-espaço oposto, uma massa localizada no ponto tal que: = e o ponto médio M do segmento P pertence ao plano. Valem as seguintes propriedades: Onde a é a semi-abertura do arco AB, de raio R e comprimento l.</p><p>268 Para o caso particular da semi-circunferência tem-se que: Figurar 4 Sólido E portanto: revolucao y y A dx TO Notar que AB = 2R sen assim, pode-se escrever: y y = a = l = R l AB y R = AB l y Isto é, a distância do baricentro ao centro do arco está para o seu raio, assim como o comprimento da corda está para 0 comprimento do arco. A B X1 dx X2 C.1.4.3 Baricentro de um polígono homogêneo a) Triângulo Um sólido de revolução homogêneo sempre tem um eixo de simetria. Seja X este eixo. Num triângulo toda mediana é eixo de simetria associada à direção do lado oposto; portanto, Notar que por X ser eixo de simetria y seu baricentro G coincide com a intersecção das três medianas. da definição de mediana, que é a reta que une o vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. Da geometria sabe- A coordenada X do baricentro é dada por: se que o ponto de intersecção está a 2/3 do vértice. X2 b) Quadrilátero xdV No quadrilátero ABCD, a diagonal AC divide-o em dois triângulos de baricentros e G2 X = dV respectivamente e a diagonal BD em dois triângulos de baricentros G3 e G4 respectivamente. baricentro G do quadrilátero deverá estar simultâneamente sobre e G3G4. Portanto, o baricentro G é a intersecção de com G3G4 Esta expressão pode ser muito útil em várias aplicações, pois, devido aos processos de fabricação, vários produtos são sólidos de revolução. Notar a forma de componentes usinados. Figura 3 Polígono homogeneo D C.1.5 Teorema de Pappus-Guldin "O volume de sólido gerado pela rotação de uma superfície plana, ao de um eixo G2 contido no seu plano e que não a atravessa, é obtido pelo produto de sua área pelo comprimento A C do arco de circunferência descrito pelo baricentro dessa superfície." G4 G3 Seja S uma superfície de área A. Seja Oxy um sistema de eixos coordenados coplanares a S com o eixo y sobre o eixo de rotação. Um elemento de área dA = dx.dy forma um anel de raios X, X + dx e altura dy. B Figura 5 Elemento de areat y dx Utilizando o mesmo procedimento é possível de ser obtido o baricentro de um polígno X qualquer. Notar que este é um procedimento essencialmente gráfico. C.1.4.4 Baricentro de sólidos de revolução Um retângulo elementar de altura y e base dx, na rotação em torno do eixo X gera um disco de raio y e altura dx, cujo volume (diferencial) é dado por dV = dx.</p><p>270 Exemplos diferencial do volume é dado por: y 2xxdA M P Integrando, obtém-se: V X = A G B A D Observa-se que 2 é o comprimento da circunferência descrita pelo baricentro de S numa rotação completa em torno do eixo. No caso de S em torno do eixo uma rotação parcial de um ângulo a, obtém-se: o De modo análogo, pode-se que a área da superfície gerada pela rotação de um Desenvolvendo: arco plano em torno de um eixo que lhe é coplanar mas não o atravessa é obtida pelo produto a do comprimento do arco pelo comprimento do arco de circunferência descrito pelo baricentro 2R ydA 3 desse arco gerador. R 2R A 3 a 3a 6 Curva y baricentro G do OAB coincidirá com o baricentro do arco CD. 2R G 3a Exemplo 2 Determinar o baricentro da figura abaixo, supondo-a homogênea y 4 2 C.2 Exemplos Resolvidos de Cálculo de Baricentro 2 2 6 Exemplo Determinar o baricentro de um circular homogêneo de ângulo 2a e raio R. y 2 M X Para a resolução a figura será decomposta em vários retângulos. Os baricentros A B desses retângulos serão os próprios centros geométricos. Através da G propriedade distributiva do baricentro pode-se obten então baricentro R figura inteira. O X y y y Da simetria nota-se que G deve estan sobre o eixo y. Assim X = 0. Am=4p Considerar um elementar de ângulo central assimilável a um Am=8p G2 (1,3) baricentro encontra-se sobre o raio bissetor e a 2/3 do centro (lembrar da posição do baricentro de um triângulo isósceles em relação à base). Dessa maneira os baricentros de todos os setores elementares que constituem o setor o o X X OAB determinam um arco CD de raio 2/3R. + Am=16p X</p><p>272 Exemplos Resolvidos Sendo p uma densidade de área (massa por área), obtém-se para a abscissa X De forma análoga para a ordenada y do baricentro, do baricentro G: m 34,7 1 = m 1 Como a figura é homogênea (p cte) Exemplo 4 Qual é a posição do baricentro de uma semi-elipse homogênea de 28 e b? De forma análoga para a ordenada y do baricentro G: Considere-se a semi-elipse homogênea de semi-eixos a e b conforme a figura. m y j 1 = 8p+4p+16p m b 1 Resposta: X Determinar o baricentro da superfície indicada na figura abaixo. a y 4 Girando a superfície em torno do eixo y de uma volta completa, obtém-se um elipsóide de revolução cujo volume é dado por: 4 2 A área dessa semi-elipse é Pelo teorema de Pappus-Guldin obtém- se: 3 X Analogamente ao realizado no exercício anterior, a figura acima será desmembrada em três figuras: um quadrado de lado 4, um triângulo retângulo de base 3 e altura 4 e um semicírculo de raio 2. Nesse caso, o semicírculo será tratado da mesma forma que as outra figuras; apenas indicaremos sua massa "negativamente", por ser um "furo". Assim sendo: k Resposta = m exemplo 5: Determine o baricentro do sólido gerado pela rotação da superfície assinalada 1 na figura ao lado em torno do eixo X. volume e a posição do baricentro de Como a figura é homogênea cte) um cone são dados por: 15,7</p><p>274 C.3 Momentos e Produtos de Inércia y Gx=h/4 A grandeza física que fornece a informação da inércia a translação é a massa. De forma análoga a grandeza física que expressa a inércia à rotação é o momento de inércia. Ou seja, como o próprio nome expressa, quanto maior é momento de inércia de um corpo, maior é o 4 momento a ser aplicado ao mesmo para se obter uma determinada aceleração angular. Seja uma massa m, inicialmente em repouso, situada a uma distância do eixo de rotação, sujeita à aplicação de um momento M. tempo para se atingir uma determinada velocidade de 3 rotação é diretamente proporcional à própria massa e ao quadrado da distância da mesma ao eixo de rotação. Assim o momento de inércia J, em relação ao eixo AA', é definido por: 3 Passando-se para o caso contínuo de um corpo rígido de massa m define-se o momento de Como o sólido é formado pela rotação da figura em torno do eixo X, o próprio inércia em relação ao eixo AA' como: eixo X é eixo de simetria. Portanto, o baricentro pertence a esse eixo. Basta então calcular Então, considerando a figura dada como a subtração de um cone de outro, vem: raio de giração k, do corpo de massa em relação ao eixo AA' é definido como a distância na qual pode se toda a massa do corpo de forma a se ten o mesmo momento y y y de inércia. Assim: = m ou k 4 7 3 3 A' M o 3 X 9/4 M 21/4 X X Lembrando que as massas de cada uma das partes são os volumes multiplicados por uma densidade volumétrica p (massa por volume), obtém-se: k m m A A Assim: Figura: Momento desinercia e giracao 269,40p 16 21 - 21,21p 9 (353,59) (75,56) 278,03 = = 269,40p-21,21 248,19 248,19 A unidade do momento de inércia J no Sistema Internacional de unidades é kg e do raio de giração k é m. Notar ainda que o momento da inércia é sempre uma grandeza positiva, Devido às condições de simetria: ao contrário do produto de inércia que pode ser negativo, como será visto adiante. 0 momento de inércia de um corpo em relação a um eixo de um sistema de coordenadas cartesiano em função das coordenadas y e do diferencial dm é dado por (Fig. 8) Resposta:</p><p>276 Bancentro de Momentos de 277 Analogamente obtém-se as expressões dos momentos de inércia para os outros dois eixos: Figura 10 Momento polar de Z planos Figura 8 Coordenadas do y dm P dm y X a C.3.1 Teorema dos eixos paralelos Z Sejam: um corpo de massa o sistema de coordenadas cartesianas Oxyz com origem num ponto arbitrário 0, e Gx'y'z' um sistema de eixos paralelos a X, y e Z e com origem no baricentro G corpo. Assim sendo, y e Z são as coordenadas de G em relação a Oxyz figura 11). As momento de inércia de um corpo em relação a um pólo (Fig. 9.) denominado de entre as coordenadas de um ponto P qualquer nos dois sistemas é dada por: momento polar de inércia, é definido por: 2 y y 9 y dm # P(x,y,z) (P-O) y X X X Da definição de momento de inércia de um corpo em relação ao eixo X, obtém-se: Jx = Das definições de momentos de inércia em relação aos eixos coordenados, verifica-se que: = Notar que para o caso particular de (por exemplo plano xy), = Jz (ver fig. 10). Assim a relação acima reduz-se a: Pois = definição de baricentro (propriedade fundamental). Notar que y2 + é a distância entre os eixos</p><p>278 279 Analogamente, Figura 13 Momentos de inercia de superficies planas y 1/2 A' eixo central paralelos d dA A Jy como já visto; e ainda que = obtém-se: Notar que esta relação só é válida para os momentos de inércia de uma chapa delgada plana. Assim sendo, a relação entre o momento de inércia J de um corpo em relação a um eixo AA' que está distante de uma distância d de um eixo paralelo que passa pelo baricentro G é dada C.3.2.1 Chapa retangular por: Figura 14 a Analisando a expressão anterior, nota-se que para um conjunto de eixos paralelos, o eixo em relação ao qual o momento de inércia é mínimo é o eixo que passa pelo baricentro G do retangular corpo. y b Momentos de inércia de chapas delgadas Seja uma chapa plana delgada (fina) de espessura constante t, e densidade em massa constante p. momento de inércia da chapa em relação a um eixo X que pertence ao plano da chapa é dado por: Seja uma chapa retangular delgada de lados a e b. Os momentos de inércia em relação aos Como dm = ptdA, obtém-se: eixos apresentados na figura (passando por G) são dados por: Considerando a chapa delgada (t pequeno) tem-se que: E portanto: Analogamente: Mas pabt é igual à massa m da placa. Assim: Seja z, o eixo perpendicular à chapa, e que passa pelo ponto de intersecção de X e y. Sendo o momento polar de inércia da superfície da chapa em relação ao ponto e portanto,</p><p>280 C.3.3 Momento de inércia de corpos de revolução C.3.4 Momentos de inércia de corpos compostos Seja um disco delgado perpendicular ao eixo X como mostra a figura 15. Notar que o disco As tabelas 1-3 fornecem a massa, o baricentro, o momento de inércia e o produto de representa uma "fatia" do corpo de revolução. Assim sendo obtém-se as seguintes expressões inércia (será definido a seguir) para alguns corpos de geometria usual. momento de inércia (diferenciais) para o elemento disco delgado de largura dx situado a uma distância X da origem de um corpo composto formado por vários destes corpos mais simples pode ser obtido pela soma dos momentos de cada um dos corpos isoladamente. É importante notar que a posição do eixo em relação ao qual se deseja determinar o momento de inércia deve ser o mesmo para cada um dos corpos individuais. Este aspecto será explorado mais nos exemplos resolvidos. dm Tabela 1 de = densidade Notar a aplicação do teorema dos eixos paralelos para a obtenção dos momentos de inércia Massa, Momento/de em relação aos eixos y e z. Integrando as expressões ao longo de todo o corpo obtém-se os Centro de gravidade momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados do corpo de revolução. L G Figura 15 Momento de inercial y Haste delgada X y' 0 Anel delgado G 0 Segmento de anel delgado</p><p>Momentos Tabela 2 Tabela 3 densidade superficial densidade Forma Produto de Massas Centro dè gravidade Centro de gravidade y Chapa retangular fina Prisma retangular y Disco fino Cilindro circular 3h/4 G=(0,0,0) h/4 G=(0,0,0) Chapa triangular fina Cone circular Setor circular de uma chapa Esfera y para os eixos principais: G=(0,0,0) Casca esférica Elipsóide para os eixos principais: C.3.5 Produtos de inércia de corpos Cilindro de parede delgada Seja o eixo OA de direção qualquer dada pelo como apresentado na Fig. 16. Aplicando-se a definição de momento de inércia para o corpo em relação a OA obtém-se: analisando a figura nota-se que: Chapa anular</p><p>285 Substituindo na expressão anterior, obtém-se: Figura A À y De forma análoga a para os momentos de inércia a aplicação do teorema dos eixos paralelos fornece: a dm onde IN são as coordenadas do baricentro G do corpo em relação ao sistema Oxyz, e A designam os produtos de inércia em relação aos eixos que passam pelo baricentro # G. X Elipsóide de inércia Seja P um ponto definido sobre o eixo OA a uma distância de 0 dada pela a expressão: Fazendo-se o eixo OA, obtém-se para o lugar geométricos dos pontos P assim Lembrando ainda que o módulo do verson é um e ainda a definição de módulo de produto vetorial, obtém-se: determinados, uma superfície (elipsóide) como mostra a figura 17. e portanto Elipsoide de y A Substituindo desenvolvendo o quadrado do módulo, obtém-se: X Lembrando Retomando a equação: Define-se como produto de inércia do corpo em relação aos eixos y, aos eixos y e Z e aos eixos Z e X, respectivamente como: Substituindo-se as coordenadas cartesianas É importante notar que os momentos de inércia são sempre grandezas positivas. Só os do ponto P da superfície: produtos de inércia podem ser positivos ou negativos. Para algumas condições de simetria os produtos de inércia são nulos. Também nota-se que dimensionalmente eles são iguais, ou seja, tem a dimensão A equação obtida é uma quádrica na forma de um elipsóide.</p><p>286 Bancentrole Momentos 287 Escrevendo a equação anterior na forma matricial, obtém-se: 19 -Jxy -Jxz de [x z] xy -Jyz =1 y' Jxz -Jyz J, -Jxy A matriz -Jxy -Jyz que é simétrica quadrada de ordem 3 é denominada de -Jyz J, "matriz de associada ao referencial Oxyz- Notar que os termos da diagonal (momentos de inércia) são sempre diferentes de zero e positivos. z' C.3.5.2 Eixos principais e centrais de inércia Notar que ao se girar os eixos da Figura 17 os coeficientes Jx, Jy, Jz. Jxy, Jxz e Jyz C.3.5.3 Simetria variam. Para uma posição específica ocorre que os produtos de inércia se anulam. Esta posição determina os eixos principais de inércia, e z' e a equação do elipsóide fica: Notar que a determinação dos eixos principais de inércia de um corpo de forma arbitrária pode ser complicada. Entretanto, na prática da resolução de problemas de mecânica é conveniente utilizar os Os coeficientes e são em correspondência denominados de momentos principais eixos principais de inércia, pois em tal caso, as expressões simplificam-se bastante. Basta olhar de inércia. a matriz de inércia que se torna uma matriz diagonal. Para a escolha dos eixos principais de inércia, convém observar algumas propriedades decorrentes de simetrias: Notar que dado um corpo qualquer e uma origem é sempre possível determinar eixos que são eixos principais de inércia do corpo em Lembran ainda que os produtos de inércia em se um corpo for simétrico em termos de distribuição de massa, em relação a um dos relação a estes eixos são nulos. planos coordenados, então são nulos os produtos de inércia que envolvam a coordenada não pertencente a esse plano; se um corpo for simétrico em relação a um dos eixos coordenados, então serão nulos Figura 18 todos os seus produtos de inércia; este resultado é muito importante para os corpos que Eixos principais de y apresentam um eixo de simetria. y' Figura 20 Tomando-se como pólo ou origem dos eixos o baricentro G do corpo, ou seja, G como o centro do obtém-se os eixos centrais de inércia e os momentos respectivos são denominados de momentos centrais de</p><p>288 Momentoside Exemplos Momentos e Produtos 289 C.4 Exemplos Resolvidos de Cálculo de Momentos e Produtos de Inércia Exemplo Qual é o momento de inércia de um disco delgado de raio r? y 60 mm 20 mm 50 mm 2 y X 50 mm Z 1 40 mm 20 mm Solucao Para um disco de raio obtém-se: = Massas: Mas = 7,85 X (0,1 kg + + M3 = 8,164 10-1 kg onde m é a massa do disco. Assim: Momentos de inércial Os momentos de inércia de cada componente são calculados usando a tabela 3 e quando necessário o teorema dos eixos paralelos (corpos 1 e 3) Devido a simetria obtém-se: Corpo 1 12 1 Resposta Corpo 2 2 Determinar o momento de inércia em relação aos eixos coordenados para a peça de aço com as dimensões mostradas na figura. Sabe-se que a densidade 1 do aço é p = 7,85 X 12</p><p>290 Exemplos Momentos Produtos Corpo 3 Exemplo 4: arame mostrado na figura tem a forma de um semi-anel de raio r e massa m. Determine o seu momento de inércia em relação aos eixos e z' y Corpo inteiro. Somando os resultados obtidos, notando que os momentos de inércia dos corpos 1 e 3 são iguais, obtém-se: Z = Jy = = Estando o anel equidistante do eixo z, obtém-se: = 6,071 = = Resposta: Como: = Então: Exemplo 3 0 arame, de densidade (massa/comprimento) 2 kg/m, é usado para fazer a peça da figura. Determine os seus produtos de inércia Jxy, Jyz e Jxz. y Lembrando a posição do baricentro de um arame fino em forma de semi-anel e aplicando teorema dos eixos paralelos, obtém-se: m m Jx X Z Solucao 0 anel é simétrico em relação ao eixo y. Assim para o anel Jxy = Jxz = E finalmente: Para as barras tem-se que ambas estão posicionadas na origem do eixo Z (coordenada Z =0). Assim Jxz = Jyz = 0. = = 0 Resposta Resposta</p><p>292 Momentos Exemplos de 293 Exemplo 5: Determine momento de inércia e o raio de giração em relação aos eixos X e Exemplo 6 Determinar os produtos de inércias Jxy e Jxy da chapa fina de massa m y da figura abaixo, sendo a densidade superficial do corpo. São dados os representada na figura em relação aos eixos e respectivamente. momentos de inércia indicados. que a geometria da chapa é de um triângulo retângulo e o ponto G é o baricentro do mesmo. y Y Dados: r 2a I y X b b 4a X X a Solucao que, devido à simetria do problema, tem-se que Jx = e que a resolução Para calcular o produto de inércia da chapa tem-se que calcular a integral do problema pode ser feita através de uma composição entre um setor circular de raio 4a e um quadrado de lado 6a. Utilizando-se o teorema dos eixos paralelos Então: para obter o momento de inércia do quadrado em relação ao eixo X passando por sua base, obtém-se: dm = que Portanto: Como elemento de área dA, escolhe-se o elemento de lados infinitesimais dx e dy. = Então: Com isso a integral simples se torna uma integral dupla = offxy dx dy Eixos OXY Jxy Jx 3 4 Extremos de integração: X varia de até a e varia de 0 até a reta Portanto: Raio de Giração: = dX 9- + 8 = 24 mab 12 Notar que o raio de giração independe da densidade superficial do corpo. mab 12 Eixos Gxy Jxy Resposta Extremos de integração: X varia de -a/3 até 2a/3 e y varia de -b/3 até a reta -bx/a + b/3.</p><p>3) Determine o baricentro do sólido gerado pela rotação da superfície ao lado, em torno do = J-s/3 3 y dx = eixo X. y 4 1 16a4 81 81 3a 3 1 27 27 mab 36 mab 36 b Notar que o produto de inércia em relação aos eixo Gxy é um valor negativo. a X Resposta: mab 12 -mab 36 4) Determine o baricentro da figura abaixo, sabendo que a densidade da porta = Lista de Exercícios a densidade da maçaneta é de = 4800 C5 Enunciado 1) Determine o baricentro da superfície indicada na figura abaixo. 0,04 m m y 2 m 3 4 3 X Z 0,9 m 2) Determine o baricentro da figura abaixo, sabendo que os cilindros são compostos de um material uniforme de densidade Z Determinar o momento de inércia do prisma retangular homogêneo ilustrado, em relação 0,2 m ao eixo z. 1m y 1,5 b 1,6 X 0,4 m a 3 m</p><p>296 Momentos 6) Para a estrutura de três barras da figura, cada uma de comprimento 2a e massa calcular 9) Sabendo que a concha hemisférica fina mostrada tem massa m e espessura determine o os produtos e momentos de inércia e os raios de giração, relativos aos três eixos de momento de inércia da concha em relação ao eixo X. coordenadas. y y t 2 a r a a a X O a a 3 10) Determinar o momento de inércia e o raio de giração da área abaixo em relação ao eixo X, 7) A peça mostrada na figura é feita em chapa de 2 mm. Sabendo que a densidade do material determine o momento de inércia da peça em relação aos eixos coordenados sendo a densidade superficial da figura. da figura. Sugestão: Adotar a técnica de composição dos momentos. São dados o momento de inércia de um triângulo retângulo e do y h 100 b X 50 100 y, 100 100 100 h Dimensões em mm Resposta: 8) Sabendo que o momento de inércia do braço de conexão de 3.1 kg da figura, em relação ao 11) Sabendo que a placa da figura é feita de um material uniforme de densidade superficial o eixo é igual a determine seu momento de inércia em relação ao eixo determinar o baricentro e seus momentos e produtos de inércia: sendo m = 204 mm e n = 126 mm. 2R y X y G m X n X b x"</p><p>Moment de 12) Determine o baricentro, os momentos e os produtos de inércia da barra da figura, supondo- a homogênea e de espessura desprezível. As barras 1 e 2 tem massa m e a barra 3 tem m 2 y Bibliografia L L 2 L C.5 Respostas Albanese, B.: Matsumura, A. Z.: Mecânica Estática, Escola de Engenharia Mauá, 1979. 1) Albanese, Matsumura, A. Mecânica Cinemática, Escola de Engenharia Mauá, 2) 1987 3) Albanese, B.: Matsumura, A. Z.: Mecânica - Dinâmica, Escola de Engenharia Mauá, 4) 1987. Boulos, P.: Geometria Analítica: um tratamento vetorial, McGraw-Hill, 1986. 5) Boulos, P.: Introdução à Geometria Analítica, Makron Books, 1997. Boulos, P.: Zagottis D. L. de: Mecânica e Cálculo: um curso integrado, Edgard Blüchen 6) 1991. Beer, Johnston, E. R. Jr.: Mecânica Vetorial para Engenheiros Cinemática e Dinâmica, Makron, McGraw-Hill, 5.ed., São Paulo, 1994. Bronson, R.: McGraw-Hill, 1993. Donha, D.: Kaminski, Dinâmica do Ponto - Teoria, Monografia 82-92 do Depar- tamento de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP, 1992. 7) Jz = Fonseca, Curso de Mecânica - Dinâmica, Livros Técnicos e Científicos, Vol. III, 8) ed., Rio de Janeiro, 1977. 9) Giacaglia, G. E. O.; Mecânica Geral, Editora Campus, ed., 1982. Giacaglia, G. E. Mecânica Geral, Livraria Nobel, ed., 1973. Giacaglia, G. E. O.: Alquéres, H.: Mecânica: um curso de mecânica aplicada, Colégio Bandeirantes, ed., São Paulo, 1985. Giacaglia, G. E. O: Problemas de Mecânica Geral Colégio Bandeirantes, ed., Gy=0 São Paulo, 1985. Hagedorn, Technische Mechanik - Band 1: Statik, Verlag Harri Deutsch, 1993. 4 4 Hibeler, R.C.: Mecânica: Estática, Editora Campus, vol. Rio de Janeiro, 1985. Kaminski, P. Notas de aula da Disciplina Mecânica Geral, EPUSP, 1996. E.: The Science of Mechanics, The Open Court Publishing CO, ed., London, 1942. 12) Magnus, K.: Müller, H. H.: Grundlagen der Technischen Mechanik, B.G. Teubner, ed., Stuttgart, 1990.</p><p>Bibliogbrafia Markert, Einführung in die Technische Mechanik, Technische Hochschule 1995. C.A.: Notas de Aula da Disciplina Mecânica Geral, EPUSP, 1996. Mechtcherski, I.V.; Problemas de Mecânica Teórica, Editora Mir, Moscovo, 1986. Medina, W.; Curso de Balanceamento de Rotores Rofmann de Brasil Ltda, São Paulo. NBR-8008; Balanceamento de Corpos Rígidos Rotativos Qualidade, Associação Brasi- leira de Normas Técnicas ABNT, 1983. Nigro, F.E. B.: Notas de Aula da Disciplina Vibrações em Sistemas Mecânicos EPUSP 1990. Padovese, 1. R.: Notas de Aula da Disciplina Mecânica Geral, 1987. Salvagni, R. Notas de Aula da Disciplina Mecânica Geral, EPUSP, 1987. Schenberg, M.; Princípios da Mecânica, Tese de concurso da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Universidade de São Paulo, 1944 - São Sears, F.; Zemansky, M. W.; Young, H. Física 1 Mecânica da Partícula e dos Corpos Rígidos, Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, ed., Rio de Janeiro, 1985. Shigley, J. E. Dinâmica das Máquinas McGraw-Hill, Edgard Ltda, ed., 1969. Tambor, Notas de Aula da Disciplina Mecânica Geral, EPUSP, 1987. Targ, S.; Curso breve de mecânica teórica, Editora Mir, Moscovo, ed., 1979 Timoshenko, Young D. H.: Mecânica Técnica - Dinâmica, McGraw-Hill, ed., Rio de Janeiro, 1959.</p>