Sequências de Números Reais - Exercícios

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MAT 002 2o¯ Sem. 2013 Prof. Rodrigo
Lista 1: Sequeˆncias de Nu´meros Reais
1. Exerc´ıcios selecionados do livro texto – 6a¯ edic¸a˜o em portugueˆs:
� Sec¸a˜o 11.1 - pa´g. 650: 17, 18, 21, 23, 28, 29, 32, 38, 39, 45, 57, 58, 59, 61, 64, 67,
69, 71.
� Exerc´ıcios de Revisa˜o - pa´g. 722: 2, 5, 8, 9.
2. Calcule, caso exista (e se na˜o existir, justifique) o limite da sequeˆncia de termo geral:
an =
√
n + 1−√n, bn = (−1)n + (−1)
n
n
.
3. Calcule e interprete geometricamente o limite das sequeˆncias abaixo:
an =
∫ n
1
1
x
dx, bn =
∫ n
1
1
x2
dx.
4. Calcule lim
n→∞
an+1
an
, sendo an =
n!
nn
.
5. Considere a sequeˆncia de termo geral sn =
n∑
k=0
rk, onde r ∈ R.
a) Suponha r 6= 0 e r 6= 1. Mostre que sn = 1− r
n+1
1− r .
b) Suponha que 0 < r < 1. Mostre que lim
n→∞
n∑
k=1
rk =
r
1− r .
c) O que ocorre com o limite do item anterior quando r < 0, r = 0, r = 1 e r > 1?
6. Suponha que, para todo n ≥ 1, |an − a| ≤ 1
n
, onde a ∈ R e´ fixo. Encontre lim an.
7. Sejam (an)n e (bn)n duas sequeˆncias tais que |an − bn| ≤ e−n para todo n. Suponha
que bn → b. Mostre que an → b.
8. Mostre que a convergeˆncia de (an)n implica na convergeˆncia de (|an|)n. A rec´ıproca e´
verdadeira?
9. Suponha que an → 0. Para cada n, tome bn = min{|a1|, |a2|, . . . , |an|}. Prove que
bn → 0.
1
10. Verifique se as sequeˆncias abaixo sa˜o convergentes ou divergentes. Justifique.
a) sn =
n∑
k=1
1√
k
b) sn =
n∑
k=1
1
2k
11. Suponha que, para todo natural k, o termo ak pertenc¸a ao conjunto {0, 1, 2, . . . , 9}. A
sequeˆncia de termo geral sn =
n∑
k=1
ak
10k
e´ convergente ou divergente? Justifique.
12. Prove que e´ convergente a sequeˆncia de termo geral an =
∫ n
1
sen2 x
x2
dx.
2