Exercícios de Séries Numéricas

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MAT 002 2o¯ Sem. 2013 Prof. Rodrigo
Lista 2: Se´ries Nume´ricas
1. Exerc´ıcios selecionados do livro texto – 6a¯ edic¸a˜o em portugueˆs:
� Sec¸a˜o 11.2 - pa´g. 658: 1, 9, 10, 14, 17, 18, 20, 22, 25, 28, 29, 31, 33, 35, 40, 41,
47, 50, 55, 58, 59, 63, 64, 66, 70, 71, 72, 75
� Sec¸a˜o 11.3 - pa´g. 661: 5, 7, 11, 18, 19, 23, 24, 27, 42
� Sec¸a˜o 11.4 - pa´g. 672: 5, 7, 10, 12, 15, 21, 26, 30, 37, 38, 39, 40, 42, 46
� Sec¸a˜o 11.5 - pa´g. 677: 5, 6, 9, 10, 12, 14, 15, 19, 20, 32
� Sec¸a˜o 11.6 - pa´g. 683: 3, 5, 6, 10, 15, 21, 27, 29, 32, 33
� Sec¸a˜o 11.7 - pa´g. 686: todos os exerc´ıcios da sec¸a˜o
2. Encontre uma se´rie cuja n-e´sima soma parcial seja dada por sn =
3n
2n+ 5
.
3. Encontre a soma de cada se´rie abaixo forc¸ando os termos atrave´s de somas parciais a
formar uma se´rie telesco´pica:
a)
∞∑
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
b)
∞∑
k=1
√
k + 1−√k√
k2 + k
c)
∞∑
k=1
sen
(
1
k
)
− sen
(
1
k + 1
)
4. Seja M seu nu´mero de matr´ıcula. Calcule a soma da se´rie
∞∑
k=M
1
k(k + 1)
.
5. Calcule a soma da se´rie
∞∑
k=1
[
e−k + cos(kpi)
e
2k
]
.
6. Prove que para todo a ∈ R a se´rie a2 + a
2
1 + a2
+
a2
(1 + a2)2
+ . . . e´ convergente e calcule
sua soma.
1
7. Suponha an > 0 para todo n e que a se´rie
∑
an convirja. Prove que as se´ries
∑ an
1 + an
e
∑
a2n tambe´m convergem.
8. Prove que para todo polinoˆmio p(x) de grau superior a 1, a se´rie
∞∑
k=1
1
p(k)
converge.
9. Seja λ > 0 um real dado. A se´rie
∞∑
k=0
kλ
2k
e´ convergente ou divergente? Justifique.
10. Mostre que, para todo a > 0, a se´rie
∞∑
n=0
an
n!
e´ convergente. Conclua que lim
n→∞
an
n!
= 0.
2