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02_Algebra_booleana_portas_logicas

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Não é trivial)
Exemplo: A = 1
Exemplo: A = 0
1 = 1
0
0 0
= 0
S depende só de A
S = A + A.B
S = A 
101
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Absorção
† X + X.Y = X (Cuidado! Não é trivial)
† Prova
„ F = X + X.Y
„ F = X.1 + X.Y (propriedade do AND: X.1 = X)
„ F = X.(1 + Y) (distributividade)
„ F = X.(1) (propriedade do OR: X + 1 = 1)
„ F = X (propriedade do AND: X.1 = X)
102
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exemplos
† F = A.B.C + A.B.!C
† F = A.B.(C + !C) (distributividade)
† F = A.B.(1) (propriedade do OR: X + !X = 1)
† F = A.B (propriedade do AND: X.1=X)
103
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exemplos
† F = H.!C + !H.P.!C
† F =!C.H + !C.!H.P (comutatividade)
† F = !C.(H + !H.P) (distributividade)
† F = !C.( (H + !H) . (H + P) ) (distributividade)
† F = !C.( (1) . (H + P) ) (propriedade do OR: X + !X = 1)
† F = !C.(H + P) (propriedade do AND: X.1 = X)
104
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exemplos
† F = (!A + B).(A + B) (versão 1)
† F = A.(!A + B) + B.(!A + B) (distributividade)
† F = A.!A + A.B + B.!A + B (distributividade)
† F = 0 + A.B + B.!A + B (propriedade do AND: X.!X = 0)
† F = A.B + B.!A + B (propriedade do OR: X + 0 = X)
† F = B + A.B + !A.B (comutatividade)
† F = B.1 + A.B + !A.B (propriedade do AND: X.1 = X)
† F = B.(1 + A) + !A.B (distributividade)
† F = B.(1) + !A.B (propriedade do OR: X + 1 = 1)
† F = B + !A.B (propriedade do AND: X.1 = 1)
† F = B.1 + !A.B (propriedade do AND: X.1 = 1)
† F = B.(1 + !A) (distributividade)
† F = B.(1) (propriedade do OR: X + 1 = 1)
† F = B (propriedade do AND: X.1 = 1)
105
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exemplos
† F = (!A + B).(A + B) (versão 2)
† F = A.(!A + B) + B.(!A + B) (distributividade)
† F = A.!A + A.B + B.!A + B (distributividade)
† F = 0 + A.B + B.!A + B (propriedade do AND: X.!X = 0)
† F = A.B + B.!A + B (propriedade do OR: X + 0 = X)
† F = B + A.B + !A.B (comutatividade)
† F = B.1 + A.B + !A.B (propriedade do AND: X.1 = X)
† F = B.(1 + A + !A) (distributividade)
† F = B.(1) (propriedade do OR: X + 1 = 1)
† F = B (propriedade do AND: X.1 = 1)
106
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exemplos
† F = (!A + B).(A + B) (versão 3)
† F = A.(!A + B) + B.(!A + B) (distributividade)
† F = A.!A + A.B + B.!A + B (distributividade)
† F = 0 + A.B + B.!A + B (propriedade do AND: X.!X = 0)
† F = A.B + B.!A + B (propriedade do OR: X + 0 = X)
† F = B + A.B + !A.B (comutatividade)
† F = B + !A.B (absorção: X + XY = X)
† F = B (absorção: X + XY = X)
107
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ OR AND
„ X + 0 = X X . 0 = 0
„ X + 1 = 1 X . 1 = X
„ X + X = X X . X = X
„ X + !X = 1 X . !X = 0
„ !!X = X (Complementação)
„ X + Y = Y + X (Comutatividade)
„ X . Y = Y . X (Comutatividade)
„ X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z (Associatividade)
„ X.(Y.Z) = (X.Y).Z = X.Y.Z (Associatividade)
„ X.(Y + Z) = X.Y + X.Z (Distributividade)
„ X + Y.Z = (X + Y) . (X + Z) (Distributividade)
„ X + X.Y = X (Absorção)
108
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = !A.!B + !A.B
† F = !A.(!B + B) (Distributividade)
† F = !A.(1) (Propriedade do OR: X + !X = 1)
† F = !A (Propriedade do AND: X.1 = X)
109
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = !A.B.C + !A.B.!C + A.C (versão 1)
† F = !A.B.(C + !C) + A.C (distributividade)
† F = !A.B.(1) + A.C (propriedade do OR: X + !X = 1)
† F = !A.B + A.C (propriedade do AND: X.1 = X)
† F = !A.B.C + !A.B.!C + A.C (versão 2)
† F = !A.(B.C + B.!C) + A.C (distributividade)
† F = !A.(B.(C + !C)) + A.C (distributividade)
† F = !A.(B.(1)) + A.C (propriedade do OR: X + !X = 1)
† F = !A.B + A.C (propriedade do AND: X.1 = X)
110
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = !A.B.!C + !A.B.C + A.B.!C + !A.B.!C (versão 1)
† F = !A.B.(!C + C) + A.B.!C + !A.B.!C (distributividade)
† F = !A.B.(1) + A.B.!C + !A.B.!C (X + !X = 1)
† F = !A.B + A.B.!C + !A.B.!C (X.1 = X)
† F = !A.B + B.!C.(A + !A) (distributividade)
† F = !A.B + B.!C.(1) (X + !X = 1)
† F = !A.B + B.!C (X.1 = X)
† F = B.(!A + !C) (distributividade)
111
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = !A.B.!C + !A.B.C + A.B.!C + !A.B.!C (versão 2)
† F = !A.B.!C + !A.B.!C + !A.B.C + A.B.!C (comutatividade)
† F = !A.B.!C + !A.B.C + A.B.!C (OR: X + X = X)
† F = B.!C.(!A + A) + !A.B.C (distributividade)
† F = B.!C.(1) + !A.B.C (OR: X + !X = 1)
† F = B.!C + !A.B.C (AND: X.1 = X)
† F = B.(!C + !A.C) (distributividade)
† F = B.((!C + !A).(!C + C)) (dist: X+Y.Z = (X+Y).(X+Z))
† F = B.((!C + !A).(1)) (OR: X + !X = 1)
† F = B.(!C + !A) (X.1 = X) 
112
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = !A.B.!C + A.B.!C + B.!C.D (versão 1)
† F = B.!C.(!A + A) + B.!C.D (distributividade)
† F = B.!C.(1) + B.!C.D (propriedade do OR: X + !X = 1)
† F = B.!C.(1 + D) (distributividade)
† F = B.!C.(1) (propriedade do OR: X + 1 = 1)
† F = B.!C (propriedade do AND: X.1 = X)
113
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = !A.B.!C + A.B.!C + B.!C.D (versão 2)
† F = B.!C.(!A + A + D) (distributividade)
† F = B.!C.(1 + D) (propriedade do OR: X + !X = 1)
† F = B.!C.(1) (propriedade do OR: X + 1 = 1)
† F = B.!C (propriedade do AND: X.1 = X)
114
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = !A.B.!C + A.B.!C + B.!C.D (versão 3)
† F = B.!C.(!A + A) + B.!C.D (distributividade)
† F = B.!C.(1) + B.!C.D (propriedade do OR: X + !X = 1)
† F = B.!C + B.!C.D (propriedade do AND: X.1 = X)
† F = B.!C (absorção: X + X.Y = X)
115
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = G.!K.!H + !H.D.G + G.!H.K
† F = G.!H.!K + G.!H.D + G.!H.K (comutatividade)
† F = G.!H.(!K + D + K) (distributividade)
† F = G.!H.(!K + K + D) (comutatividade)
† F = G.!H.(1 + D) (OR: X + !X = 1)
† F = G.!H.(1) (OR: X + 1 = 1)
† F = G.!H (AND: X.1 = X)
116
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Teoremas de De Morgan
† !(X + Y) = !X . !Y
† !(X . Y) = !X + !Y
„ Exemplo
† F = !( (!A + C).(B + !D) )
† F = !(!A + C) + !(B + !D) (De Morgan)
† F = !!A.!C + !B.!!D (De Morgan)
† F = A.!C + !B.D (Complementação)
„ Pode ser estendido para mais de duas variáveis
† !(X + Y + Z) = !X . !Y . !Z
† !(X . Y . Z) = !X + !Y + !Z
117
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exemplo
† F = !(A + B).(!A + !B) (Versão 1)
† F = (!A.!B).(!A + !B) (De Morgan)
† F = (!A.!B).!A + (!A.!B).!B (Distributividade)
† F = !A.(!A.!B) + !B.(!A.!B) (Comutatividade)
† F = !A.!A.!B + !B.!A.!B (Associatividade)
† F = !A.!A.!B + !B.!B.!A (Comutatividade)
† F = !A.!B + !A.!B (AND: X.X = X)
† F = !A.!B (OR: X + X = X)
118
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ OR AND
„ X + 0 = X X . 0 = 0
„ X + 1 = 1 X . 1 = X
„ X + X = X X . X = X
„ X + !X = 1 X . !X = 0
„ !!X = X (Complementação)
„ X + Y = Y + X (Comutatividade)
„ X . Y = Y . X (Comutatividade)
„ X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z (Associatividade)
„ X.(Y.Z) = (X.Y).Z = X.Y.Z (Associatividade)
„ X.(Y + Z) = X.Y + X.Z (Distributividade)
„ X + Y.Z = (X + Y) . (X + Z) (Distributividade)
„ X + X.Y = X (Absorção)
„ !(X + Y) = !X . !Y (De Morgan)
„ !(X . Y) = !X + !Y (De Morgan)
119
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = !( !(A + B).!(!C+ B) )
† F = !!(A + B) + !!(!C + B) (De Morgan)
† F = (A + B) + (!C + B) (Complementação)
† F = A + B + !C + B (Comutatividade)
† F = A + B + B + !C (Comutatividade)
† F = A + B + !C (OR: X + X = X)
120
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = A.B.!(!A + B.C)
† F = A.B.(!!A.!(B.C)) (De Morgan)
† F = A.B.(A.!(B.C)) (Complementação)
† F = A.B.(A.(!B + !C)) (De Morgan)
† F = A.B.(A.!B + A.!C) (Distributividade)
† F = A.B.A.!B + A.B.A.!C (Distributividade)
† F = A.A.B.!B + A.A.B.!C (Associatividade)
† F = A.B.!B + A.B.!C (AND: X . X = X)
† F = A.0 + A.B.!C (AND: X . !X = 0)
† F = 0 + A.B.!C (AND: X . 0 = 0)
† F = A.B.!C (OR: X + 0 = X)
121
Álgebra booleana
† Teoremas e propriedades
„ Exercício
† F = !(C.!B).(A + !C.!A).B
† F = (!C + !!B).(A + !C.!A).B (De Morgan)