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02_Algebra_booleana_portas_logicas

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v4
164
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detecção de maioria de votos
v1 v2 v3 v4 Maioria
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
165
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detecção de maioria de votos
v1 v2 v3 v4 Maioria
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Maioria = !v1.v2.v3.v4 + v1.!v2.v3.v4 + 
v1.v2.!v3.v4 + v1.v2.v3.!v4 + v1.v2.v3.v4 
→ !v1.v2.v3.v4
→ v1.!v2.v3.v4
→ v1.v2.!v3.v4
→ v1.v2.v3.!v4
→ v1.v2.v3.v4
166
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detecção de maioria de votos
Maioria = !v1.v2.v3.v4 + v1.!v2.v3.v4 + 
v1.v2.!v3.v4 + v1.v2.v3.!v4 + v1.v2.v3.v4 
167
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Projeto de circuitos baseado em tabela-verdade
† A tabela verdade é usada para descrever o comportamento 
do circuito
Tabela verdade
Equação booleana
Especificação
Circuito lógico
Simplificação
168
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número signed de 4 bits ≥ 5
† A: A3 A2 A1 A0
† A é um número binário em complemento de 2
† MaiorIgual ← 1 quando A ≥ 5
≥ 5
MaiorIgual
A
4
169
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número signed de 4 bits ≥ 5
A3 A2 A1 A0 MaiorIgual
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
-8 1 0 0 0
-7 1 0 0 1
-6 1 0 1 0
-5 1 0 1 1
-4 1 1 0 0
-3 1 1 0 1
-2 1 1 1 0
-1 1 1 1 1
170
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número signed de 4 bits ≥ 5
→ !A3.A2.!A1.A0
→ !A3.A2.A1.!A0
→ !A3.A2.A1.A0
MaiorIgual = !A3.A2.!A1.A0 + 
!A3.A2.A1.!A0 + !A3.A2.A1.A0
A3 A2 A1 A0 MaiorIgual
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0
2 0 0 1 0 0
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 0
5 0 1 0 1 1
6 0 1 1 0 1
7 0 1 1 1 1
-8 1 0 0 0 0
-7 1 0 0 1 0
-6 1 0 1 0 0
-5 1 0 1 1 0
-4 1 1 0 0 0
-3 1 1 0 1 0
-2 1 1 1 0 0
-1 1 1 1 1 0
171
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número signed de 4 bits ≥ 5
MaiorIgual = !A3.A2.!A1.A0 + 
!A3.A2.A1.!A0 + !A3.A2.A1.A0
172
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número signed de 4 bits ≥ 5
„ MaiorIgual = !A3.A2.!A1.A0 + !A3.A2.A1.!A0 + !A3.A2.A1.A0
„ MaiorIgual = !A3.A2.(!A1.A0 + A1.!A0 + A1.A0) (Distributividade)
„ MaiorIgual = !A3.A2.(!A1.A0 + A1.(!A0 + A0)) (Distributividade)
„ MaiorIgual = !A3.A2.(!A1.A0 + A1.(1)) (OR: X + !X = 1)
„ MaiorIgual = !A3.A2.(!A1.A0 + A1) (AND: X . 1 = X)
„ MaiorIgual = !A3.A2.((A0 + A1).(!A1 + A1)) (Distributividade)
„ MaiorIgual = !A3.A2.((A0 + A1).(1)) (OR: X + !X = 1)
„ MaiorIgual = !A3.A2.(A0 + A1) (AND: X . 1 = X)
173
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número signed de 4 bits ≥ 5
„ MaiorIgual = !A3.A2.(A0 + A1)
174
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número par de 0s em um número de 4 bits
† A: A3 A2 A1 A0
† Par0 ← 1 quando A tiver um número par de zeros
† Neste caso, a equação extraida já está na forma mínima
#0s 
par
Par0
A
4
175
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número de 0s par em um número de 4 bits
A3 A2 A1 A0 Par0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
176
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número de 0s par em um número de 4 bits
A3 A2 A1 A0 Par0
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
→ !A3.!A2.!A1.!A0
→ !A3.!A2.A1.A0
→ !A3.A2.!A1.A0
→ !A3.A2.A1.!A0
→ A3.!A2.!A1.A0
→ A3.!A2.A1.!A0
→ A3.A2.!A1.!A0
Par0 = !A3.!A2.!A1.!A0 + 
!A3.!A2.A1.A0 + !A3.A2.!A1.A0 + 
!A3.A2.A1.!A0 + A3.!A2.!A1.A0 + 
A3.!A2.A1.!A0 + A3.A2.!A1.!A0 + 
A3.A2.A1.A0
→ A3.A2.A1.A0
177
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número de 0s par em um número de 4 bits
Par0 = !A3.!A2.!A1.!A0 + 
!A3.!A2.A1.A0 + !A3.A2.!A1.A0 + 
!A3.A2.A1.!A0 + A3.!A2.!A1.A0 + 
A3.!A2.A1.!A0 + A3.A2.!A1.!A0 +
A3.A2.A1.A0
178
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número par de 4 bits
† A: A3 A2 A1 A0
† Par ← 1 quando A é par
Número 
par
Par
A
4
179
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número par de 4 bits
A3 A2 A1 A0 Par
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
180
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número par de 4 bits
A3 A2 A1 A0 Par
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
→ !A3.!A2.!A1.!A0
→ !A3.!A2.A1.!A0
→ !A3.A2.!A1.!A0
→ !A3.A2.A1.!A0
→ A3.!A2.!A1.!A0
→ A3.!A2.A1.!A0
→ A3.A2.!A1.!A0
→ A3.A2.A1.!A0
Par = !A3.!A2.!A1.!A0 + !A3.!A2.A1.!A0 + 
!A3.A2.!A1.!A0 + !A3.A2.A1.!A0 + 
A3.!A2.!A1.!A0 + A3.!A2.A1.!A0 + 
A3.A2.!A1.!A0 + A3.A2.A1.!A0
181
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número par de 4 bits
Par = !A3.!A2.!A1.!A0 + !A3.!A2.A1.!A0 + 
!A3.A2.!A1.!A0 + !A3.A2.A1.!A0 + 
A3.!A2.!A1.!A0 + A3.!A2.A1.!A0 + 
A3.A2.!A1.!A0 + A3.A2.A1.!A0
182
Álgebra booleana
† Derivação de expressões booleanas
„ Detector de número par de 4 bits
A3 A2 A1 A0 Par
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
Par = !A0
!A0
183
Álgebra booleana
† Formas canônicas
„ Formas padrão de equações booleanas
† Soma de mintermos
† Produto de maxtermos
„ Mintermo
† Termo produto onde aparecem todas as variáveis da função 
exatamente uma vez (negadas ou não)
† Exemplos considerando a função F(a,b,c)
„ Mintermos: !a.b.c, a.!b.c, a.b.c
„ Não mintermos: a.c, b, !a.b.c.!c
„ Maxtermo
† Termo soma onde aparecem todas as variáveis da função 
exatamente uma vez (negadas ou não)
† Exemplos considerando a função F(a,b,c)
„ Maxtermos: (!a + b + !c), (!b + a + c), (!a + !b + !c)
„ Não maxtermos: (c + b), (!a + b + c + a)
184
Álgebra booleana
† Formas canônicas
„ Gerador de paridade
† Soma de mintermos: P = !a.!b.c + !a.b.!c + a.!b.!c + a.b.c 
† Produto de maxtemos: P = 
(a+b+c).(a+!b+!c).(!a+b+!c).(!a+!b+c)
„ Qualquer equação pode ser passada para a forma 
canônica através de manipulação algébrica utilizando 
teoremas e propriedades da álgebra booleana
† F = A.(B + C)
† F = A.B + A.C (Distributividade)
† F = A.B.1+ A.C.1 (AND: X.1 = X)
† F = A.B.(C + !C) + A.C.(B + !B) (OR: X + !X = 1)
† F = A.B.C + A.B.!C + A.C.B + A.C.!B (Distributividade)
185
Álgebra booleana
† Formas canônicas
„ Representação compacta
† Cada termo (produto ou soma) é representado por um número 
decimal obtido a partir das variáveis da função
† Termos produto: variáveis negadas valem 0 e variáveis normais 
valem 1
„ !A.B.!C → 0102 = 2
„ X.Y → 112 = 3
† Termos soma: variáveis negadas valem 1 e variáveis normais 
valem 0
„ !A + B + !C → 1012 = 5
„ X + Y → 002 = 0
186
Álgebra booleana
† Formas canônicas
„ Soma de mintermos
† P = !a.!b.c + !a.b.!c + a.!b.!c + a.b.c
† P = 0012 + 0102 + 1002 + 1112
† F(a,b,c) = ∑(1,2,4,7)
† O símbolo de somatório significa que os mintermos são somados (OR)
„ Produto de maxtermos
† P = (a+b+c).(a+!b+!c).(!a+b+!c).(!a+!b+c)
† P = 0002 . 0112 . 1012 . 1102
† F(a,b,c) = ∏(0,3,5,6)
† O símbolo de produtório significa que os maxtermos são multiplicados (AND)
187
Álgebra booleana
† Formas canônicas
„ Soma de mintermos
† Par0 = !A3.!A2.!A1.!A0 + !A3.!A2.A1.A0 + !A3.A2.!A1.A0