03_Mapas_de_Karnaugh

0 1
00 0 0
01 1 1
11 1 1
10 0 0
J c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 1
11 1 0
10 1 0
K c 
a b
0 1
00 1 1
01 1 1
11 1 1
10 1 1
22
Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes na horizontal ou vertical
„ Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos 
grupos, melhor a simplificação
„ Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
F c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 0 0 1 0
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 0
11 1 1 1 0
10 1 0 0 0
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 0
01 1 1 1 0
11 1 1 1 0
10 1 1 1 0
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 1 0
10 1 0 1 0
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
23
Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes na horizontal ou vertical
„ Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos 
grupos, melhor a simplificação
„ Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
F c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 0 0 1 0
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 0
11 1 1 1 0
10 1 0 0 0
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 0
01 1 1 1 0
11 1 1 1 0
10 1 1 1 0
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 1 0
10 1 0 1 0
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
24
Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes nas bordas
† A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
† A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 0 0
10 1 0
G c 
a b
0 1
00 0 1
01 0 0
11 0 0
10 0 1
H c 
a b
0 1
00 1 1
01 0 0
11 0 0
10 1 1
X b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 0 0 0
Y b c
a
00 01 11 10
0 0 0 0 0
1 1 0 0 1
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1
25
Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes nas bordas
† A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
† A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 0 0
10 1 0
G c 
a b
0 1
00 0 1
01 0 0
11 0 0
10 0 1
H c 
a b
0 1
00 1 1
01 0 0
11 0 0
10 1 1
X b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 0 0 0
Y b c
a
00 01 11 10
0 0 0 0 0
1 1 0 0 1
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1
26
Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes nas bordas
† A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
† A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 0 0 1
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 1 1 1 1
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 1 1 1
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 1 0 0 1
Z c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 0 0 0 1
27
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ O princípio da simplificação por mapas de Karnaugh é de que 
dois termos que possuem apenas uma variável diferente entre 
eles (uma negada e outra não), pode ser eliminada pela 
propriedade do OR: X + !X = 1
„ Exemplo
28
X b
a
0 1
0 0 0
1 1 1
X = a.!b + a.b
X = a.(!b + b) (distributividade)
X = a.(1) (OR: X + !X = 1)
X = a (AND: X . 1 = X)
X = a
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes nas bordas
† A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
† A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 0 0 1
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 1 1 1 1
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 1 1 1
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 1 0 0 1
Z c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 0 0 0 1
29
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
G b
a
0 1
0 1 1
1 0 1
H b
a
0 1
0 1 1
1 1 1
F b
a
0 1
0 1 0
1 1 0
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
30
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
G b
a
0 1
0 1 1
1 0 1
H b
a
0 1
0 1 1
1 1 1
F b
a
0 1
0 1 0
1 1 0
F = !b
G = !a + b
H = 1
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
31
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
I c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 1 1
10 0 0
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
32
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
I c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 1 1
10 0 0
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
I = !a.!b.!c + a.b
Z = !a.!b + !c
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
33
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
I c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 1 1
10 0 0
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Z = (!a + !c).(!b + !c)
I = (a + !b).(!a + b).(a + !c)
Produto de somas
34
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 0 1 0
10 1 0 0 1
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
35
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 0 1 0
10 1 0 0 1
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
Z = a.b + !c.d + b.d + a.d
Y = !a.b.d + b.c.d + !b.!d
36
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
Z = a.b.!c + a.b.c
Y = a.b
Ainda dá para simplificar
Simplificação máxima
Agrupar sempre o número 
máximo de elementos possível
37
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Equações na forma compacta
„ F(a,b,c) = ∑(4,5,6,7)
„ F(a,b,c) = 100 + 101 + 110 + 111 A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
F b c
a
00 01 11 10
0
1
38
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Equações na forma compacta
„ F(a,b,c) = ∑(4,5,6,7)
„ F(a,b,c) = 100 + 101 + 110 + 111 A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
F b c
a
00 01 11 10
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
F = a
39
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
J c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 1
11 1 0
10 1 0
H c 
a b
0 1
00 1 1
01 1 0
11 0 1
10 1 1
40
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
J c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 1