03_Mapas_de_Karnaugh

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Mapas de Karnaugh
Aviso
O conteúdo apresentado nestes slides 
é APENAS um resumo dos tópicos 
discutidos em sala de aula e NÃO deve 
ser utilizado como fonte única de 
consulta. A leitura da bibliografia 
recomendada é essencial.
2
Mapas de Karnaugh
† Simplificação algébrica de equações boolenas
„ Difícil/demorada a simplificação de equações com 
muitos termos
„ Difícil identificar as simplificações possíveis
„ A ordem na qual as propriedades/teoremas são
aplicados pode dificultar/facilitar a simplificação
„ Fácil de cometer algum engano
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Mapas de Karnaugh
† Método gráfico utilizado para obter uma equação 
simplificada a partir da tabela verdade
† A equação pode ser obtida na forma de soma de produtos 
(mais utilizada) ou produto de somas
† Em teoria pode ser utilizado para simplificar equações com 
um número qualquer de variáveis de entrada
† Entretanto, na prática é utilizado apenas para simplificar 
equações de até 6 variáveis de entrada
† Simplificações envolvendo mais de 6 variáveis de entrada 
devem ser resolvidas por ferramentas especializadas (e.g. 
Logisim, Karma)
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Mapas de Karnaugh
2 variáveis de 
entrada (A e B)
3 variáveis de 
entrada (A, B e C)
4 variáveis de entrada 
(A, B, C e D)
† Os mapas são matrizes de 2n células, onde n é o número
de variáveis de entrada
„ O número de células é igual ao número de linhas da tabela verdade
„ As linhas e colunas são numeradas com as possíveis combinações
entre as variáveis de entrada (binário)
„ O número de células/colunas adjacentes diferem em apenas um 
dígito binário
„ As células são preenchidas com os valores de saída de função
H C D
A B
00 01 11 10
00
01
11
10
G C
A B
0 1
00
01
11
10
F B
A
0 1
0
1
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Mapas de Karnaugh
† Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra 
maneira de escrever uma tabela verdade
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 2 variáveis
„ Detector de overflow
C1 C2 V
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
V C2
C1
0 1
0
1
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Mapas de Karnaugh
† Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra 
maneira de escrever uma tabela verdade
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 2 variáveis
„ Detector de overflow
C1 C2 V
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
V C2
C1
0 1
0 0 1
1 1 0
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Mapas de Karnaugh
† Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra 
maneira de escrever uma tabela verdade
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 2 variáveis
„ Detector de overflow
C1 C2 V
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
V C2
C1
0 1
0 0 1
1 1 0
V = !C1.C2 + C1.!C2
V = (C1 + C2). (!C1 + !C2)
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Mapas de Karnaugh
† Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra 
maneira de escrever uma tabela verdade
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 1)
„ Gerador de paridade
a b c P
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
P c 
a b
0 1
00
01
11
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Mapas de Karnaugh
† Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra 
maneira de escrever uma tabela verdade
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 1)
„ Gerador de paridade
a b c P
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
P c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 0
11 0 1
10 1 0
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Mapas de Karnaugh
† Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra 
maneira de escrever uma tabela verdade
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 1)
„ Gerador de paridade
a b c P
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
P c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 0
11 0 1
10 1 0
P = !a.!b.c + !a.b.!c + a.b.c + a.!b.!c 
P = (a+b+c).(a+!b+!c).(!a+!b+c).(!a+b+!c)
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Mapas de Karnaugh
† Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra 
maneira de escrever uma tabela verdade
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 2)
„ Gerador de paridade
a b c P
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
P b c
a
00 01 11 10
0
1
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Mapas de Karnaugh
† Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra 
maneira de escrever uma tabela verdade
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 2)
„ Gerador de paridade
a b c P
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
P b c
a
00 01 11 10
0 0 1 0 1
1 1 0 1 0
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Mapas de Karnaugh
† Um mapa de Karnaugh pode ser visto como uma outra 
maneira de escrever uma tabela verdade
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 3 variáveis (formato 2)
„ Gerador de paridade
a b c P
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
P b c
a
00 01 11 10
0 0 1 0 1
1 1 0 1 0
P = !a.!b.c + !a.b.!c + a.b.c + a.!b.!c 
P = (a+b+c).(a+!b+!c).(!a+!b+c).(!a+b+!c)
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Mapas de Karnaugh
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 4 variáveis
„ Detector de maioria de votos favoraveis
v1 v2 v3 v4 Maioria
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Maioria v3 v4
v1 v2
00 01 11 10
00
01
11
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Mapas de Karnaugh
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 4 variáveis
„ Detector de maioria de votos favoraveis
v1 v2 v3 v4 Maioria
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Maioria v3 v4
v1 v2
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 0 1 0
11 0 1 1 1
10 0 0 1 0
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Mapas de Karnaugh
† Exemplo: mapa de Karnaugh de 4 variáveis
„ Detector de maioria de votos favoraveis
v1 v2 v3 v4 Maioria
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Maioria v3 v4
v1 v2
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 0 1 0
11 0 1 1 1
10 0 0 1 0
Maioria = !v1.v2.v3.v4 + v1.v2.!v3.v4 + 
v1.v2.v3.v4 + v1.v2.v3.!v4 + v1.!v2.v3.v4
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Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Feita a partir do agrupamentos de 1s ou 0s
„ Antes de agrupar deve-se decidir se o agrupamento 
será baseado em 1 ou 0
† Não é possível agrupar 1s e 0s no mesmo mapa
„ Grupos de 1s
† Equação simplificada obtida na forma de soma de produtos
„ Grupos de 0s
† Equação simplificada obtida na forma de produto de somas
„ O número de elementos de cada grupo deve ser uma 
potência de 2
† 1 (20), 2 (21), 4 (22), 8 (23), 16 (24) …
„ Trabalharemos apenas com grupos de 1s, visto que é o 
mais amplamente utilizado
18
Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes na horizontal ou vertical
„ Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos 
grupos, melhor a simplificação
„ Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
X b
a
0 1
0 1 1
1 0 0
Y b
a
0 1
0 1 0
1 1 0
Z b
a
0 1
0 1 1
1 1 0
F b
a
0 1
0 1 1
1 1 1
G b
a
0 1
0 0 1
1 1 0
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Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes na horizontal ou vertical
„ Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos 
grupos, melhor a simplificação
„ Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
X b
a
0 1
0 1 1
1 0 0
Y b
a
0 1
0 1 0
1 1 0
Z b
a
0 1
0 1 1
1 1 0
F b
a
0 1
0 1 1
1 1 1
2 grupos
G b
a
0 1
0 0 1
1 1 0
2 grupos
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Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes na horizontal ou vertical
„ Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos 
grupos, melhor a simplificação
„ Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
F c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 0
11 1 0
10 0 0
G c 
a b
0 1
00 0 0
01 1 1
11 0 0
10 1 1
H c 
a b
0 1
00 1 0
01 1 0
11 1 0
10 1 0
I c 
a b
0 1
00 0 0
01 1 1
11 1 1
10 0 0
J c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 1
11 1 0
10 1 0
K c 
a b
0 1
00 1 1
01 1 1
11 1 1
10 1 1
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Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes na horizontal ou vertical
„ Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos 
grupos, melhor a simplificação
„ Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
F c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 0
11 1 0
10 0 0
G c 
a b
0 1
00 0 0
01 1 1
11 0 0
10 1 1
H c 
a b
0 1
00 1 0
01 1 0
11 1 0
10 1 0
I c 
a b0 1
00 0 0
01 1 1
11 1 1
10 0 0
J c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 1
11 1 0
10 1 0
K c 
a b
0 1
00 1 1
01 1 1
11 1 1
10 1 1
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Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes na horizontal ou vertical
„ Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos 
grupos, melhor a simplificação
„ Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
F c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 0 0 1 0
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 0
11 1 1 1 0
10 1 0 0 0
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 0
01 1 1 1 0
11 1 1 1 0
10 1 1 1 0
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 1 0
10 1 0 1 0
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
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Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes na horizontal ou vertical
„ Quanto maior o número de elementos dos grupos e quanto menos 
grupos, melhor a simplificação
„ Um mesmo elemento pode estar em vários grupos
F c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 1 1 1 1
11 1 1 1 1
10 0 0 1 0
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 0
11 1 1 1 0
10 1 0 0 0
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 0
01 1 1 1 0
11 1 1 1 0
10 1 1 1 0
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 0 0 0 0
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 0 0
01 1 1 0 0
11 1 1 1 0
10 1 0 1 0
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
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Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes nas bordas
† A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
† A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 0 0
10 1 0
G c 
a b
0 1
00 0 1
01 0 0
11 0 0
10 0 1
H c 
a b
0 1
00 1 1
01 0 0
11 0 0
10 1 1
X b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 0 0 0
Y b c
a
00 01 11 10
0 0 0 0 0
1 1 0 0 1
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1
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Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes nas bordas
† A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
† A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 0 0
10 1 0
G c 
a b
0 1
00 0 1
01 0 0
11 0 0
10 0 1
H c 
a b
0 1
00 1 1
01 0 0
11 0 0
10 1 1
X b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 0 0 0
Y b c
a
00 01 11 10
0 0 0 0 0
1 1 0 0 1
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 1 0 0 1
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Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes nas bordas
† A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
† A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 0 0 1
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 1 1 1 1
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 1 1 1
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 1 0 0 1
Z c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 0 0 0 1
27
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ O princípio da simplificação por mapas de Karnaugh é de que 
dois termos que possuem apenas uma variável diferente entre 
eles (uma negada e outra não), pode ser eliminada pela 
propriedade do OR: X + !X = 1
„ Exemplo
28
X b
a
0 1
0 0 0
1 1 1
X = a.!b + a.b
X = a.(!b + b) (distributividade)
X = a.(1) (OR: X + !X = 1)
X = a (AND: X . 1 = X)
X = a
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Mapas de Karnaugh
† Agrupamento
„ Células adjacentes nas bordas
† A primeria e a última linha são consideradas adjacentes
† A primeira e a última coluna são consideradas adjacentes
F c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 0 0 1
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 1 1 1 1
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 1 1 1 1
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 1 0
01 1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 1 1 0
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 1 0 0 1
Z c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 0 0 0 0
11 0 0 0 0
10 0 0 0 1
29
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
G b
a
0 1
0 1 1
1 0 1
H b
a
0 1
0 1 1
1 1 1
F b
a
0 1
0 1 0
1 1 0
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
30
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
G b
a
0 1
0 1 1
1 0 1
H b
a
0 1
0 1 1
1 1 1
F b
a
0 1
0 1 0
1 1 0
F = !b
G = !a + b
H = 1
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
31
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
I c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 1 1
10 0 0
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
32
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
I c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 1 1
10 0 0
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
I = !a.!b.!c + a.b
Z = !a.!b + !c
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
33
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
I c 
a b
0 1
00 1 0
01 0 0
11 1 1
10 0 0
Z b c
a
00 01 11 10
0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Z = (!a + !c).(!b + !c)
I = (a + !b).(!a + b).(a + !c)
Produto de somas
34
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 0 1 0
10 1 0 0 1
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
35
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Y c d
a b
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 1 0
11 0 0 1 0
10 1 0 0 1
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 0 1 1 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
Z = a.b + !c.d + b.d + a.d
Y = !a.b.d + b.c.d + !b.!d
36
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Cada grupo produz um termo, os quais são somados (soma 
de produtos)
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
Z c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 0 0 0
Z = a.b.!c + a.b.c
Y = a.b
Ainda dá para simplificar
Simplificação máxima
Agrupar sempre o número 
máximo de elementos possível
37
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Equações na forma compacta
„ F(a,b,c) = ∑(4,5,6,7)
„ F(a,b,c) = 100 + 101 + 110 + 111 A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
F b c
a
00 01 11 10
0
1
38
Mapas de Karnaugh
† Simplificação
„ Equações na forma compacta
„ F(a,b,c) = ∑(4,5,6,7)
„ F(a,b,c) = 100 + 101 + 110 + 111 A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
F b c
a
00 01 11 10
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
F = a
39
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
J c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 1
11 1 0
10 1 0
H c 
a b
0 1
00 1 1
01 1 0
11 0 1
10 1 1
40
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
J c 
a b
0 1
00 0 1
01 1 111 1 0
10 1 0
H c 
a b
0 1
00 1 1
01 1 0
11 0 1
10 1 1
J = !a.c + !a.b + a.!c
H = !b + !a.!c + a.c
41
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
X b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0
Y b c
a
00 01 11 10
0 0 1 1 0
1 1 1 1 0
42
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
X b c
a
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0
Y b c
a
00 01 11 10
0 0 1 1 0
1 1 1 1 0
X = !a.!c + a.c
Y = a.!b + c
43
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 0
11 1 0 1 0
10 1 0 0 1
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 1 0 0 0
44
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
G c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 0 0
11 1 0 1 0
10 1 0 0 1
X c d
a b
00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 1 1 1 1
11 0 1 1 0
10 1 0 0 0
G = !a.!b + !c.!d + !b.!d + a.b.c.d
X = !a.b +b.d + !a.c + a.!b.!c.!d
45
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda 
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
J c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 1 0 1
11 1 0 1 1
10 1 1 1 1
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 0
01 1 1 1 0
11 1 1 1 1
10 1 1 1 0
46
Mapas de Karnaugh
† Simplificar por soma de produtos
„ Agrupar os 1s do mapa e extrair a equação boolena
A variável de entrada que muda
de valor em alguma célula do 
grupo é eliminada do termo
J c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 1 0 1
11 1 0 1 1
10 1 1 1 1
H c d
a b
00 01 11 10
00 1 1 1 0
01 1 1 1 0
11 1 1 1 1
10 1 1 1 0
H = !c + d + a.b
J = !b + !d + !a.!c + a.c
47
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Durante o projeto de um circuito, pode ocorrer que para
algumas combinações de entrada o valor da saída não é 
relevante
„ Exemplo
† O circuito Y tem 3 entradas e 2 saídas e funciona como segue
„ Quando f=0, g=0 e h=1 → a=1 e b=0
„ Quando f=1, g=0 e h=0 → a=1 e b=1
„ Quando f=1, g=0 e h=1 → a=0 e b=0
„ Quando f=1, g=1 e h=0 → a=1 e b=0 
„ Quando f=1, g=1 e h=1 → a=0 e b=1 
Y
f
g
h
a
b
f g h a b
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
48
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Durante o projeto de um circuito, pode ocorrer que para
algumas combinações de entrada o valor da saída não é 
relevante
„ Exemplo
† O circuito Y tem 3 entradas e 2 saídas e funciona como segue
„ Quando f=0, g=0 e h=1 → a=1 e b=0
„ Quando f=1, g=0 e h=0 → a=1 e b=1
„ Quando f=1, g=0 e h=1 → a=0 e b=0
„ Quando f=1, g=1 e h=0 → a=1 e b=0 
„ Quando f=1, g=1 e h=1 → a=0 e b=1 
Y
f
g
h
a
b
f g h a b
0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0
0 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
Apenas 5 combinações de entradas
são relevantes para o circuito Y
49
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Combinações de entrada para as quais não há valor de 
saída especificado podem ter qualquer valor (don´t care)
„ Don´t care pode ser representado por X (0 ou 1)
f g h a b
0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0
0 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
50
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Combinações de entrada para as quais não há valor de 
saída especificado podem ter qualquer valor (don´t care)
„ Don´t care pode ser representado por X (0 ou 1)
a h 
f g
0 1
00
01
11
10
b h 
f g
0 1
00
01
11
10
f g h a b
0 0 0 X X
0 0 1 1 0
0 1 0 X X
0 1 1 X X
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
Saídas não
especificadas são
preenchidas com X
51
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Combinações de entrada para as quais não há valor de 
saída especificado podem ter qualquer valor (don´t care)
„ Don´t care pode ser representado por X (0 ou 1)
a h 
f g
0 1
00 X 1
01 X X
11 1 0
10 1 0
b h 
f g
0 1
00 X 0
01 X X
11 0 1
10 1 0
f g h a b
0 0 0 X X
0 0 1 1 0
0 1 0 X X
0 1 1 X X
1 0 0 1 1
1 0 1 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
Saídas não
especificadas são
preenchidas com X
52
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Visto que X (don´t care) pode ser 0 ou 1, ele pode ser
usada para melhorar a simplificação baseada em mapas
de Karnaugh
a h 
f g
0 1
00 X 1
01 X X
11 1 0
10 1 0
b h 
f g
0 1
00 X 0
01 X X
11 0 1
10 1 0
a h 
f g
0 1
00 1 1
01 1 1
11 1 0
10 1 0
b h 
f g
0 1
00 1 0
01 1 1
11 0 1
10 1 0
X = 1
53
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Visto que X (don´t care) pode ser 0 ou 1, ele pode ser
usada para melhorar a simplificação baseada em mapas
de Karnaugh
a h 
f g
0 1
00 X 1
01 X X
11 1 0
10 1 0
b h 
f g
0 1
00 X 0
01 X X
11 0 1
10 1 0
a h 
f g
0 1
00 1 1
01 1 1
11 1 0
10 1 0
b h 
f g
0 1
00 1 0
01 1 1
11 0 1
10 1 0
X = 1
54
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Tipicamento os Xs pode ser diretamente agrupados com 
1s (soma de produtos) ou 0s (produtos de somas)
a h 
f g
0 1
00 X 1
01 X X
11 1 0
10 1 0
b h 
f g
0 1
00 X 0
01 X X
11 0 1
10 1 0
b = !g.!h + g.h
a = !h + !f
55
Mapas de Karnaugh
† Logisim
56
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Obter as equações booleanas simplificadas
v x y z h1 h2
0 0 0 0 X 0
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 X
0 1 0 0 0 1
0 1 0 1 X X
0 1 1 0 0 X
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0
1 0 0 1 X X
1 0 1 0 X 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 X
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 X X
h2 y z
v x
00 01 11 10
00
01
11
10
h1 y z
v x
00 01 11 10
00
01
11
10
57
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Obter as equações booleanas simplificadas
v x y z h1 h2
0 0 0 0 X 0
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 X
0 1 0 0 0 1
0 1 0 1 X X
0 1 1 0 0 X
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0
1 0 0 1 X X
1 0 1 0 X 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 X
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 X X
h2 y z
v x
00 01 11 10
00 0 1 X 0
01 1 X 1 X
11 X 1 X 1
10 0 X 1 0
h1 y z
v x
00 01 11 10
00 X 1 0 1
01 0 X 1 0
11 0 1 X 0
10 1 X 0 X
58
Mapas de Karnaugh
† Funções incompletamente especificadas
„ Obter as equações booleanas simplificadas
v x y z h1 h2
0 0 0 0 X 0
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 X
0 1 0 0 0 1
0 1 0 1 X X
0 1 1 0 0 X
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0
1 0 0 1 X X
1 0 1 0 X 0
1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 X
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 X X
h2 y z
v x
00 01 11 10
00 0 1 X 0
01 1 X 1 X
11 X 1 X 1
10 0 X 1 0
h1 y z
v x
00 01 11 10
00 X 1 0 1
01 0 X 1 0
11 0 1 X 0
10 1 X 0 X
h1 = !x.!y + !x.!z + x.z
h2 = z + x
59
Mapas de Karnaugh
† Display 7 segmentos
„ Formado por 7 segmentos luminosos (leds) identificados de a
até g
„ Dígitos mostrados ativando uma combinação de segmentos
Pinos usados para 
ativar os segmentos
60
Mapas de Karnaugh
† Display 7 segmentos
„ Formado por 7 segmentos luminosos (leds) identificados de a
até g
„ Dígitos mostrados ativando uma combinação de segmentos
61
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
„ Binary Coded Decimal
„ Converte código BCD para código de sete segmentos
BCD-7 segmentos
a b c d e f g
B3 B2 B1 B0
62
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
„ Binary Coded Decimal
„ Converte código BCD para código de sete segmentos
63
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar os dígitos de 0 até 9
BCD-7 segmentos
a b c d e f g
B3 B2 B1B0
Tabela verdade→ Mapas de Karnaugh→ Equações
64
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 1
65
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
Como manter o display 
apagado quando o B > 9 ?
66
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
a B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00
01
11
10
67
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
a B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00 1 0 1 1
01 0 1 1 1
11 X X X X
10 1 1 X X
a = !B2.!B0 + B1 + B2.B0 + B3
68
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
b B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00
01
11
10
69
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
b B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00 1 1 1 1
01 1 0 1 0
11 X X X X
10 1 1 X X
b = !B2+ !B1.!B0 + B1.B0
70
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
c B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00
01
11
10
71
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
c B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00 1 1 1 0
01 1 1 1 1
11 X X X X
10 1 1 X X
c = !B1 + B0 + B2
72
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
d B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00
01
11
10
73
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
d B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00 1 0 1 1
01 0 1 0 1
11 X X X X
10 1 1 X X
d = !B2.!B0 + B1.!B0 + !B2.B1 + 
B2.!B1.B0 + B3
74
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
e B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00
01
11
10
75
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
e B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 0 0 1
11 X X X X
10 1 0 X X
e = !B2.!B0 + B1.!B0
76
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
f B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00
01
11
10
77
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
f B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00 1 0 0 0
01 1 1 0 1
11 X X X X
10 1 1 X X
78
f = !B1.!B0 + B2.!B1 + B2.!B0 + B3
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
g B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00
01
11
10
79
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
B3 B2 B1 B0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 11 1 X X X X X X X
g B1 B0
B3 B2
00 01 11 10
00 0 0 1 1
01 1 1 0 1
11 X X X X
10 1 1 X X
g = !B2.B1 + B1.!B0 + B2.!B1 + B3
80
Mapas de Karnaugh
† Decodificador BCD-7 segmentos
„ Equações e circuito
† a = !B2.!B0 + B1 + B2.B0 + B3
† b = !B2+ !B1.!B0 + B1.B0
† c = !B1 + B0 + B2
† d = !B2.!B0 + !B2.B1 + B1.!B0 + B2.!B1.B0 + B3
† e = !B2.!B0 + B1.!B0
† f = !B1.!B0 + B2.!B1 + B2.!B0 + B3
† g = !B2.B1 + B1.!B0 + B2.!B1 + B3
BCD-7 segmentos
a b c d e f g
B3 B2 B1 B0
81
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
Decodificador
a b c d e f g
B2 B1 B0
Tabela verdade→ Mapas de Karnaugh→ Equações
Códigos:
000 → A
001 → b
010 → c
011 → d
100 → E
101 → F
82
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
Códigos:
000 → A
001 → b
010 → C
011 → d
100 → E
101 → F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
83
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
Códigos:
000 → A
001 → b
010 → C
011 → d
100 → E
101 → F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
84
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
a B1 B0
B2
00 01 11 10
0
1
85
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
a B1 B0
B2
00 01 11 10
0 1 0 0 1
1 1 1 X X
a = !B0 + B2
86
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
b B1 B0
B2
00 01 11 10
0
1
87
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
b B1 B0
B2
00 01 11 10
0 1 0 1 0
1 0 0 X X
b = !B2.!B1.!B0 + B1.B0
88
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
c B1 B0
B2
00 01 11 10
0
1
89
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
c B1 B0
B2
00 01 11 10
0 1 1 1 0
1 0 0 X X
c = !B2.!B1 + !B2.B0
90
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
d B1 B0
B2
00 01 11 10
0
1
91
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
d B1 B0
B2
00 01 11 10
0 0 1 1 1
1 1 0 X X
d = !B2.B0 + B1 + B2.!B0
92
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
e B1 B0
B2
00 01 11 10
0
1
93
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
e B1 B0
B2
00 01 11 10
0 1 1 1 1
1 1 1 X X
e = 1
94
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
f B1 B0
B2
00 01 11 10
0
1
95
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
f B1 B0
B2
00 01 11 10
0 1 1 0 1
1 1 1 X X
f = !B1+ !B0
96
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
g B1 B0
B2
00 01 11 10
0
1
97
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Obter as equações boleanas para os segmentos de a
até f a fim de mostrar as letras A, b, C, d, E, F
B2 B1 B0 a b C d e f g
0 0 0 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
0 1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 0 1 1 1
1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 X X X X X X X
g B1 B0
B2
00 01 11 10
0 1 1 1 0
1 1 1 X X
g = !B1 + B1.B0 + B2
98
Mapas de Karnaugh
† Decodificador 7 segmentos
„ Equações e circuito
† a = !B0 + B2
† b = !B2.!B1.!B0 + B1.B0
† c = !B2.!B1 + !B2.B0
† d = !B2.B0 + B1 + B2.!B0
† e = 1
† f = !B1+ !B0
† g = !B1 + B0 + B2
Decodificador
a b c d e f g
B2 B1 B0
99