Geometria-Plana-Poligonos-Regulares

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<p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 8</p><p>Polígonos Regulares</p><p>1. (G1 - cftrj 2014) Na figura abaixo, ABCE é um retângulo e CDE é um triângulo equilátero.</p><p>Sabendo que o perímetro do polígono ABCDE é 456 cm e CD mede 68 cm, qual é a medida do</p><p>lado BC?</p><p>a) 118 cm</p><p>b) 126 cm</p><p>c) 130 cm</p><p>d) 142 cm</p><p>2. (Uece 2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de</p><p>diagonais, então o valor de n é</p><p>a) 9.</p><p>b) 11.</p><p>c) 13.</p><p>d) 15.</p><p>3. (G1 - ifsp 2013) Uma pessoa pegou um mapa rasgado em que constava um terreno</p><p>delimitado por quatro ruas. Na parte visível do mapa, vê-se que o ângulo formado pela rua</p><p>Saturno e pela rua Júpiter é 90°; o ângulo formado pela rua Júpiter e pela rua Netuno é 110° e</p><p>o ângulo formado pela rua Netuno e pela rua Marte é 100°. Nessas condições, a medida de um</p><p>ângulo formado pelas ruas Marte e Saturno, na parte rasgada do mapa, é de</p><p>a) 50°. b) 60°. c) 70°. d) 80°. e) 90°.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 8</p><p>4. (G1 - cftrj 2013) Manuela desenha os seis vértices de um hexágono regular (figura abaixo) e</p><p>une alguns dos seis pontos com segmentos de reta para obter uma figura geométrica. Essa</p><p>figura não é seguramente um</p><p>a) retângulo</p><p>b) trapézio</p><p>c) quadrado</p><p>d) triângulo equilátero</p><p>5. (Espm 2013) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF</p><p>é um triângulo isósceles, onde AF = AB. A medida do ângulo α é:</p><p>a) 120°</p><p>b) 135°</p><p>c) 127,5°</p><p>d) 122,5°</p><p>e) 110,5°</p><p>6. (G1 - ifce 2012) A respeito das diagonais de um hexágono regular de lado medindo 1 cm, é</p><p>correto afirmar-se que</p><p>a) são nove, de três comprimentos diferentes, e as menores medem 3 .cm</p><p>b) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as maiores medem 3 .cm</p><p>c) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 .cm</p><p>d) são doze, de três comprimentos diferentes, e as maiores medem 3 .cm</p><p>e) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 .cm</p><p>7. (Uepg 2011) Três polígonos regulares A, B, e C, têm números de lados, respectivamente, a,</p><p>b, c, onde a > b > c. Sabendo-se que a, b e c estão em progressão aritmética de razão – 2 e</p><p>que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é 3.240°, assinale o que for</p><p>correto.</p><p>01) O polígono A tem 35 diagonais.</p><p>02) O número de diagonais do polígono C é maior que 10.</p><p>04) A soma dos ângulos internos do polígono C é 720º.</p><p>08) Cada ângulo externo do polígono A mede 36º.</p><p>16) Cada ângulo interno do polígono B mede 135º.</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 8</p><p>8. (Uft 2011) Um polígono convexo de 6 lados tem as medidas de seus ângulos internos</p><p>formando uma progressão aritmética de razão igual a 6º. Logo, podemos afirmar que o seu</p><p>menor ângulo mede:</p><p>a) 90º</p><p>b) 105º</p><p>c) 115º</p><p>d) 118º</p><p>e) 120º</p><p>9. (G1 - cftmg 2011) No loteamento Recanto Verde, um professor comprou uma chácara, cujo</p><p>terreno tem forma retangular e dimensões 40m 90m . Ele pretende cercar essa área com</p><p>estacas de cimento distanciadas de 2,5muma da outra. O número de estacas necessário para</p><p>cercar todo esse terreno é</p><p>a) 102</p><p>b) 103</p><p>c) 104</p><p>d) 108</p><p>10. (G1 - utfpr 2010) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A</p><p>soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é:</p><p>a) 180º</p><p>b) 360º</p><p>c) 540º</p><p>d) 720º</p><p>e) 900º</p><p>11. (Unifesp 2008) A soma de n - 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é</p><p>1900</p><p>°</p><p>. O ângulo remanescente mede</p><p>a) 120</p><p>°</p><p>.</p><p>b) 105</p><p>°</p><p>.</p><p>c) 95</p><p>°</p><p>.</p><p>d) 80</p><p>°</p><p>.</p><p>e) 60</p><p>°</p><p>.</p><p>12. (G1 - cftce 2007) Se a razão entre o número de diagonais d e de lados n, com n > 3, de um</p><p>polígono, é um número inteiro positivo, então o número de lados do polígono:</p><p>a) é sempre par</p><p>b) é sempre ímpar</p><p>c) é sempre múltiplo de 3</p><p>d) não existe</p><p>e) é sempre primo</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 8</p><p>13. (Ufsc 2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais) no qual quatro</p><p>lados consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm, conforme figura a seguir. Calcule o</p><p>perímetro do hexágono.</p><p>14. (Ita 2005) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as</p><p>faces é 7200</p><p>°</p><p>. O número de vértices deste prisma é igual a</p><p>a) 11.</p><p>b) 32.</p><p>c) 10.</p><p>d) 20.</p><p>e) 22.</p><p>15. (Pucrj 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x - 45, 2x + 10, 2x + 15 e x +</p><p>20 graus. O menor ângulo mede:</p><p>a) 90</p><p>°</p><p>b) 65</p><p>°</p><p>c) 45</p><p>°</p><p>d) 105</p><p>°</p><p>e) 80</p><p>°</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 8</p><p>Gabarito:</p><p>Resposta da questão 1:</p><p>[B]</p><p>AB = ED = CD = 68 e AE = BC = x</p><p>Logo,</p><p>2x + 68 + 68 + 68 = 252</p><p>2x = 252</p><p>x = 126, ou seja, BC = 126 cm.</p><p>Resposta da questão 2:</p><p>[A]</p><p>Admitindo que n seja o número de lados de um polígono e de o número de diagonais, temos:</p><p>2 21 n (n 3)</p><p>n d d 3 n 3n n 3 n 6n n 9 n 0</p><p>3 2</p><p>n 0 (não convém) ou</p><p>n 9.</p><p>  </p><p>                </p><p> </p><p></p><p></p><p>Logo, o valor de n é 9.</p><p>Resposta da questão 3:</p><p>[B]</p><p>No quadrilátero formado pelas ruas, temos:</p><p>90° + 110° + 100° + x = 360°</p><p>x = 360° – 300°</p><p>x = 60°</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 8</p><p>Resposta da questão 4:</p><p>[C]</p><p>Não será possível construir um quadrado.</p><p>Resposta da questão 5:</p><p>[C]</p><p>Seja G o ponto de encontro das diagonais do quadrado ABCD.</p><p>Como o triângulo BDE é equilátero, segue que DBE 60 .  Além disso, dado que AF AB e</p><p>GAB 45 ,  vem</p><p>GAB</p><p>ABF AFB 22,5 .</p><p>2</p><p>   </p><p>Portanto,</p><p>ABF ABD DBE</p><p>22,5 45 60</p><p>127,5 .</p><p>α   </p><p>     </p><p> </p><p>Resposta da questão 6:</p><p>[C]</p><p>Número de diagonais: d =</p><p>6.(6 3)</p><p>9.</p><p>2</p><p></p><p></p><p>Medida das diagonais maiores: 1 + 1 = 2 cm.</p><p>Medida das diagonais menores: x.</p><p>Na figura: x</p><p>2</p><p>+ 1</p><p>2</p><p>= 2</p><p>2</p><p> x = 3</p><p>são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem 3 .cm</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 8</p><p>Resposta da questão 7:</p><p>01 + 04 + 08 + 16 = 29.</p><p>Cálculos Auxiliares</p><p>É dado que</p><p>a > b > c e a, b e c estão em PA de razão –2.</p><p>Logo:</p><p>iSoma dos ângulos internos S 180º(n 2)  </p><p>Portanto:</p><p>180º(a 2) 180º(b 2) 180º(c 2) 3240</p><p>a b c 24</p><p>a c 24 b</p><p>      </p><p>   </p><p>   </p><p>Temos:</p><p>b a 2</p><p>c b 2</p><p>a c 24 b</p><p>Logo :</p><p>b a c b 2b a c 2b 24 b b 8</p><p>Por tanto :</p><p>a 10 b 8 c 6</p><p>   </p><p>   </p><p>   </p><p>          </p><p>  </p><p>Item (01) – Verdadeiro</p><p>a(a 3) 10(10 3)</p><p>D 35</p><p>2 2</p><p> </p><p>  </p><p>Item (02) – Falso</p><p>c(c 3) 6(6 3)</p><p>D 9</p><p>2 2</p><p> </p><p>  </p><p>Item (04) – Verdadeiro</p><p>i i</p><p>S 180º(c 2) S 180º(6 2) 720º     </p><p>Item (08) – Verdadeiro</p><p>extS 360º</p><p>36º</p><p>10 10</p><p> </p><p>Item (16) – Verdadeiro</p><p>i iS 180º(b 2) S 180º(8 2) 1080º</p><p>Por tanto :</p><p>1080º</p><p>1 ângulo interno 135º</p><p>8</p><p>     </p><p> </p><p>Resposta da questão 8:</p><p>[B]</p><p>Soma dos ângulos internos de um hexágono: S = (6 – 2) . 180° = 720°</p><p>x + x +6° + x + 12° + x + 18°+ x + 24° + x + 30° = 720</p><p>°</p><p>6x + 90° = 720°</p><p>6x = 630°</p><p>x = 105°</p><p>www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 8</p><p>Resposta da questão 9:</p><p>[C]</p><p>Número de estacas =</p><p> 40 40 90 90</p><p>104</p><p>2,5</p><p>  </p><p></p><p>Representação gráfica da solução:</p><p>Resposta da questão 10:</p><p>[D]</p><p>O hexágono poderá ser dividido em quatro triângulos, utilizando as diagonais de um mesmo</p><p>vértice.</p><p>Logo, a soma de seus ângulos internos será:</p><p>S = 4.180</p><p>o</p><p>= 720</p><p>o</p><p>Resposta da questão 11:</p><p>[D]</p><p>Resposta da questão 12:</p><p>[B]</p><p>Resposta da questão 13:</p><p>99 cm</p><p>Resposta</p><p>da questão 14:</p><p>[E]</p><p>Resposta da questão 15:</p><p>[B]</p>