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<p>Sumário</p><p>Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1</p><p>1 LISTA 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>1.1 Questão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>1.1.1 f(t) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>1.1.2 f(t) = eat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>1.1.3 f(t) = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.1.4 f(t) = t2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4</p><p>1.1.5 f(t) = tn , com n ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.1.6 f(t) = sen(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>1.1.7 f(t) = cos(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>1.1.8 f(t) = senh(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.1.9 f(t) = cosh(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.1.10 f(t) = eatsen(bt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.1.11 f(t) = eatcos(bt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>1.1.12 f(t) = teat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</p><p>1.1.13 f(t) = tneat , com n ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>1.1.14 f(t) = ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11</p><p>1.1.15 f(t) = ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.1.16 f(t) = ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.1.17 f(t) = ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>1.1.18 f(t) = ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>1.1.19 f(t) = ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>1.2 Questão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>1.3 Questão 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.4 Questão 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.4.1 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.4.2 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.5 Questão 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.5.1 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.5.2 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.5.3 (c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.5.4 (d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.5.5 (e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.6 Questão 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.7 Questão 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1.7.1 F (s) = 3</p><p>s2+4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1.7.2 F (s) = 4</p><p>(s−1)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1.7.3 F (s) = 2</p><p>s2+3s−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>1.7.4 F (s) = 3</p><p>s2+4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>1.7.5 F (s) = 3s</p><p>s2−s−6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20</p><p>1.7.6 F (s) = 2s+2</p><p>s2+2s+5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21</p><p>1.7.7 F (s) = 3!</p><p>(s−2)4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>1.7.8 F (s) = e−2s</p><p>s2+s−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>1.7.9 F (s) = (s−2)e−2s</p><p>s2−2s+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>1.7.10 F (s) = 2e−2s</p><p>s2−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>1.7.11 F (s) = 1</p><p>s4(s2+1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>1.7.12 F (s) = s</p><p>(s+1)(s2+4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>1.7.13 F (s) = 1</p><p>(s+1)2(s2+4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>1.7.14 F (s) = G(s)</p><p>s2+1 . onde G(s) = L[g(t)], com g(t) adminssível. . . . . . . . . . 27</p><p>1.8 Questão 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>1.8.1 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>1.8.2 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28</p><p>1.9 Questão 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>1.9.1 y′′ − y′ − 6y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29</p><p>1.9.2 y′′ + 3y′ + 2y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30</p><p>1.9.3 y′′ − 2y′ − 6y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>1.9.4 y′′ + y = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>1.9.5 y′′ + w2y = cos(2t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>1.9.6 y′′ − 2y′ + 2y = cos(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33</p><p>1.9.7 y′′ + 2y′ + 2y = δ(t− π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>1.9.8 y′′ + 3y′ + 2y = δ(t− 5) + u10(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>1.9.9 ty′′ + 2y′ + ty = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</p><p>1.9.10 y′′ + 4y′ + 5y = e−3tcos(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37</p><p>1 Lista 1</p><p>1.1 Questão 1</p><p>1.1.1 f(t) = 1</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.1)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st(1)dt , fazendo u = st (1.2)</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>(1)</p><p>s</p><p>e−udu = 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−udu = −e</p><p>−u</p><p>s</p><p>= 1</p><p>s</p><p>[</p><p>lim</p><p>u→∞</p><p>−e−u − (−e0)</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s</p><p>(1.3)</p><p>Assim:</p><p>L[1] = 1</p><p>s</p><p>(1.4)</p><p>1.1.2 f(t) = eat</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.5)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−steatdt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t(s−a)dt , fazendo u = (s− a) (1.6)</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tudt (1.7)</p><p>Pelo exercício 1 (a) temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tudt = L[eat] = 1</p><p>u</p><p>= 1</p><p>s− a</p><p>(1.8)</p><p>1.1.3 f(t) = t</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.9)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttdt (1.10)</p><p>Resolvendo a integral por partes temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttdt =</p><p>[</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>t−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>dt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>t+ 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stdt</p><p>]</p><p>(1.11)</p><p>[</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>t+ 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stdt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>t+ 1</p><p>s</p><p>(</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>)]</p><p>= −1</p><p>s</p><p>[</p><p>e−stt+ e−st</p><p>s</p><p>]</p><p>(1.12)</p><p>Aplicando os limites de integração temos:</p><p>L[f(t)] = −1</p><p>s</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>e−stt− e0(0) + lim</p><p>t→∞</p><p>e−st</p><p>s</p><p>− e0</p><p>s</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s2 (1.13)</p><p>Assim:</p><p>L[t] = 1</p><p>s2 (1.14)</p><p>1.1.4 f(t) = t2</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.15)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stt2dt (1.16)</p><p>Resolvendo a integral por partes temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stt2dt =</p><p>[</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>t2 − 2</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>tdt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>t2 + 2</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttdt</p><p>]</p><p>(1.17)</p><p>Aplicando a Equação 1.12 (no termo final) temos:</p><p>[</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>t2 + 2</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttdt</p><p>]</p><p>=</p><p>{</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>t2 + 2</p><p>s</p><p>[</p><p>−1</p><p>s</p><p>(</p><p>e−stt+ e−st</p><p>s</p><p>)]}</p><p>= −1</p><p>s</p><p>{</p><p>e−stt2 + 2</p><p>s</p><p>[</p><p>e−stt+ e−st</p><p>s</p><p>]}</p><p>(1.18)</p><p>Aplicando os limites de integração temos:</p><p>L[f(t)] = −1</p><p>s</p><p>{</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>e−stt2 − e0(0)2 + 2</p><p>s</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>e−stt− e0(0) + lim</p><p>t→∞</p><p>e−st</p><p>s</p><p>− −e</p><p>0</p><p>s</p><p>]}</p><p>= 2</p><p>s3</p><p>(1.19)</p><p>Assim:</p><p>L[t2] = 2</p><p>s3 (1.20)</p><p>1.1.5 f(t) = tn , com n ∈ N</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.21)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttndt (1.22)</p><p>Resolvendo a integral por partes temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttndt =</p><p>[</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>tn − (n)</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>tn−1dt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−e</p><p>−st</p><p>s</p><p>tn + n</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−1dt</p><p>]</p><p>(1.23)</p><p>Aplicando os limites de integração no primeiro termo (sem integral)</p><p>temos:</p><p>1</p><p>s</p><p>[</p><p>−e−sttn + n</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−1dt</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−sttn − (−e0(0)n) + n</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−1dt</p><p>]</p><p>= n</p><p>s</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−1dt</p><p>]</p><p>(1.24)</p><p>Continuando a integrar por partes :</p><p>L[f(t)] = n</p><p>s</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−1dt</p><p>]</p><p>= n</p><p>s</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>tn−1 − (n− 1)</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>tn−2dt</p><p>]</p><p>= n</p><p>s2</p><p>[</p><p>−e−sttn−1 + (n− 1)</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−2dt</p><p>]</p><p>(1.25)</p><p>Aplicando os limites de integração no primeiro termo (sem integral) temos:</p><p>n</p><p>s2</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−sttn−1 − (−e0(0)n−1) + (n− 1)</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−2dt</p><p>]</p><p>= n</p><p>s2</p><p>[</p><p>(n− 1)</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−2dt</p><p>]</p><p>(1.26)</p><p>Assim teremos:</p><p>L[f(t)] = n(n− 1)</p><p>s2</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−2dt</p><p>]</p><p>(1.27)</p><p>Continuando a integrar por partes teríamos:</p><p>L[f(t)] = n(n− 1)(n− 2)</p><p>s3</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−3dt</p><p>]</p><p>(1.28)</p><p>Continuando a integrar por partes até a n-ésima vez teríamos:</p><p>L[f(t)] = n(n− 1)(n− 2)...(2)(1)</p><p>sn</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sttn−ndt</p><p>]</p><p>= n!</p><p>sn</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st(1)dt</p><p>]</p><p>= n!</p><p>sn</p><p>[1</p><p>s</p><p>]</p><p>= n!</p><p>sn+1</p><p>(1.29)</p><p>Mas só por indução podemos provar que:</p><p>L[tn] = n!</p><p>sn+1 (1.30)</p><p>1.1.6 f(t) = sen(t)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.31)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stsen(t)dt (1.32)</p><p>Resolvendo a integral por partes temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>sen(t)−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>cos(t)dt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>sen(t) + 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stcos(t)dt</p><p>]</p><p>(1.33)</p><p>Aplicando os limites de integração no primeiro termo (sem integral) temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>sen(t) + e0</p><p>s</p><p>sen(0) + 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stcos(t)dt</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stcos(t)dt</p><p>(1.34)</p><p>OBS: Usa-se o Teorema do Confronto no limite para mostrar que vai pra zero!</p><p>Continuando a integrar por partes temos:</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>s</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>cos(t)−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>[−sen(t)] dt</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>cos(t)− 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stsen(t)dt</p><p>]</p><p>(1.35)</p><p>Aplicando os limites de integração no primeiro termo (sem integral) temos:</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>s</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>cos(t) + e0</p><p>s</p><p>cos(0)− 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stsen(t)dt</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s</p><p>[1</p><p>s</p><p>− 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stsen(t)dt</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s</p><p>[1</p><p>s</p><p>− 1</p><p>s</p><p>L[f(t)]</p><p>]</p><p>(1.36)</p><p>OBS: Usa-se o Teorema do Confronto no limite para mostrar que vai pra zero!</p><p>Chamando L[f(t)] de F (s) temos:</p><p>F (s) = 1</p><p>s</p><p>[1</p><p>s</p><p>− 1</p><p>s</p><p>F (s)</p><p>]</p><p>∴ F (s) = 1</p><p>s2−</p><p>F (s)</p><p>s2 ∴ F (s)</p><p>(</p><p>1 + 1</p><p>s2</p><p>)</p><p>= 1</p><p>s2 ∴ F (s)</p><p>(</p><p>s2 + 1</p><p>s2</p><p>)</p><p>= 1</p><p>ss</p><p>∴ F (s) = 1</p><p>s2 + 1</p><p>(1.37)</p><p>1.1.7 f(t) = cos(t)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.38)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stcos(t)dt (1.39)</p><p>Resolvendo a integral por partes temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>cos(t)−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>[−sen(t)] dt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>cos(t)− 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stsen(t)dt</p><p>]</p><p>(1.40)</p><p>Aplicando os limites de integração no primeiro termo (sem integral) temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>cos(t) + e0</p><p>s</p><p>cos(0)− 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stsen(t)dt</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s</p><p>[</p><p>1−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stsen(t)dt</p><p>]</p><p>(1.41)</p><p>OBS: Usa-se o Teorema do Confronto no limite para mostrar que vai pra zero!</p><p>Continuando a integrar por partes temos:</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>s</p><p>{</p><p>1−</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>sen(t)−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>cos(t)dt</p><p>]}</p><p>= 1</p><p>s</p><p>{</p><p>1−</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>sen(t) + 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stcos(t)dt</p><p>]}</p><p>(1.42)</p><p>Aplicando os limites de integração no primeiro termo (sem integral) temos:</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>s</p><p>{</p><p>1−</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>sen(t)− e0</p><p>s</p><p>sen(0) + 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stcos(t)dt</p><p>]}</p><p>= 1</p><p>s</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>s</p><p>L[f(t)]</p><p>]</p><p>(1.43)</p><p>OBS: Usa-se o Teorema do Confronto no limite para mostrar que vai pra zero!</p><p>Chamando L[f(t)] de F (s) temos:</p><p>F (s) = 1</p><p>s</p><p>[</p><p>1− 1</p><p>s</p><p>F (s)</p><p>]</p><p>∴ F (s) = 1</p><p>s</p><p>−F (s)</p><p>s2 ∴ F (s)</p><p>(</p><p>1 + 1</p><p>s2</p><p>)</p><p>= 1</p><p>s</p><p>∴ F (s)</p><p>(</p><p>s2 + 1</p><p>s2</p><p>)</p><p>= 1</p><p>s</p><p>∴ F (s) = s</p><p>s2 + 1</p><p>(1.44)</p><p>1.1.8 f(t) = senh(t)</p><p>’Sabemos’ que:</p><p>senh(t) = et − e−t</p><p>2 = et</p><p>2 −</p><p>e−t</p><p>2 (1.45)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.46)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st</p><p>[</p><p>et</p><p>2 −</p><p>e−t</p><p>2</p><p>]</p><p>dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st</p><p>et</p><p>2 dt−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st</p><p>e−t</p><p>2 dt = 1</p><p>2</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stetdt−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−ste−tdt</p><p>]</p><p>(1.47)</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>2</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t(s−1)dt−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t(s+1)dt</p><p>]</p><p>= 1</p><p>2</p><p>[</p><p>−e−t(s−1)</p><p>(s− 1) −</p><p>−e−t(s+1)</p><p>(s+ 1)</p><p>]</p><p>(1.48)</p><p>Aplicando os limites de integração temos:</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>2</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−t(s−1)</p><p>(s− 1) + e0</p><p>(s− 1) + lim</p><p>t→∞</p><p>e−t(s+1)</p><p>(s+ 1) −</p><p>e0</p><p>(s+ 1)</p><p>]</p><p>= 1</p><p>2</p><p>[</p><p>1</p><p>(s− 1) −</p><p>1</p><p>(s+ 1)</p><p>]</p><p>, se s > 1</p><p>(1.49)</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>2</p><p>[</p><p>s+ 1 + 1− s</p><p>(s− 1)(s+ 1)</p><p>]</p><p>= 1</p><p>2</p><p>[ 2</p><p>s2 − 1</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s2 − 1 (1.50)</p><p>1.1.9 f(t) = cosh(t)</p><p>’Sabemos’ que:</p><p>senh(t) = et + e−t</p><p>2 = et</p><p>2 + e−t</p><p>2 (1.51)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.52)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st</p><p>[</p><p>et</p><p>2 + e−t</p><p>2</p><p>]</p><p>dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st</p><p>et</p><p>2 dt+</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st</p><p>e−t</p><p>2 dt = 1</p><p>2</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stetdt +</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−ste−tdt</p><p>]</p><p>(1.53)</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>2</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t(s−1)dt +</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t(s+1)dt</p><p>]</p><p>= 1</p><p>2</p><p>[</p><p>−e−t(s−1)</p><p>(s− 1) + −e</p><p>−t(s+1)</p><p>(s+ 1)</p><p>]</p><p>(1.54)</p><p>Aplicando os limites de integração temos:</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>2</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−t(s−1)</p><p>(s− 1) + e0</p><p>(s− 1) − lim</p><p>t→∞</p><p>e−t(s+1)</p><p>(s+ 1) + e0</p><p>(s+ 1)</p><p>]</p><p>= 1</p><p>2</p><p>[</p><p>1</p><p>(s− 1) + 1</p><p>(s+ 1)</p><p>]</p><p>, se s > 1</p><p>(1.55)</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>2</p><p>[</p><p>s+ 1 + s− 1</p><p>(s− 1)(s+ 1)</p><p>]</p><p>= 1</p><p>2</p><p>[ 2s</p><p>s2 − 1</p><p>]</p><p>= s</p><p>s2 − 1 (1.56)</p><p>1.1.10 f(t) = eatsen(bt)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.57)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−steatsen(bt)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t(s−a)sen(bt)dt , fazendo u = s− a</p><p>(1.58)</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tusen(bt)dt =</p><p>[</p><p>−e−ut</p><p>u</p><p>sen(bt)−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−tu</p><p>u</p><p>[(b)cos(bt)] dt</p><p>]</p><p>=</p><p>[</p><p>−e−ut</p><p>u</p><p>sen(bt) + b</p><p>u</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tucos(bt)dt</p><p>]</p><p>(1.59)</p><p>Aplicando os limites de integração no primeiro termo (sem integral) temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−ut</p><p>u</p><p>sen(bt)− e0</p><p>u</p><p>sen(0) + b</p><p>u</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tucos(bt)dt</p><p>]</p><p>= b</p><p>u</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tucos(bt)dt</p><p>(1.60)</p><p>OBS: Usa-se o Teorema do Confronto no limite para mostrar que vai pra zero!</p><p>Continuando a integrar por partes temos:</p><p>L[f(t)] = b</p><p>u</p><p>[</p><p>−e−ut</p><p>u</p><p>cos(bt)−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−tu</p><p>u</p><p>[−(b)sen(bt)] dt</p><p>]</p><p>= b</p><p>u</p><p>[</p><p>−e−ut</p><p>u</p><p>cos(bt)− b</p><p>u</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tusen(bt)dt</p><p>]</p><p>(1.61)</p><p>Aplicando os limites de integração no primeiro termo (sem integral) temos:</p><p>L[f(t)] = b</p><p>u</p><p>[</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−ut</p><p>u</p><p>cos(bt) + e0</p><p>u</p><p>cos(0)− b</p><p>u</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tusen(bt)dt</p><p>]</p><p>= b</p><p>u</p><p>[1</p><p>u</p><p>− L[f(t)]</p><p>]</p><p>(1.62)</p><p>OBS: Usa-se o Teorema do Confronto no limite para mostrar que vai pra zero!</p><p>Chamando L[f(t)] de F (s) temos:</p><p>F (s) = b</p><p>u</p><p>[</p><p>1</p><p>u</p><p>− b</p><p>u</p><p>F (s)</p><p>]</p><p>∴ F (s) = b</p><p>u2−</p><p>b2F (s)</p><p>u2 ∴ F (s)</p><p>(</p><p>1 + b2</p><p>u2</p><p>)</p><p>= b</p><p>u2 ∴ F (s)</p><p>(</p><p>u2 + b2</p><p>u2</p><p>)</p><p>= b</p><p>u2</p><p>(1.63)</p><p>F (s) = b</p><p>u2 + b2 = b</p><p>(s− a)2 + b2 (1.64)</p><p>1.1.11 f(t) = eatcos(bt)</p><p>Similar ao exercício anterior!</p><p>1.1.12 f(t) = teat</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.65)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−steattdt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t(s−a)tdt , fazendo u = s− a</p><p>(1.66)</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tutdt (1.67)</p><p>Pelo exercício 1 (c) temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tutdt = 1</p><p>u2 = 1</p><p>(s− a)2 (1.68)</p><p>1.1.13 f(t) = tneat , com n ∈ N</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.69)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−steattndt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t(s−a)tndt , fazendo u = s− a</p><p>(1.70)</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tutndt (1.71)</p><p>Pelo exercício 1 (e) temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−tutndt = n!</p><p>un+1 = n!</p><p>(s− a)n+1 (1.72)</p><p>1.1.14 f(t) = ...</p><p>Seja:</p><p>f(t) =</p><p>0 , se t < 2</p><p>(t− 2)2 , se t ≥ 2</p><p>(1.73)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.74)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ 2</p><p>0</p><p>e−st(0)dt+</p><p>∫ ∞</p><p>2</p><p>e−st(t−2)2dt =</p><p>∫ ∞</p><p>2</p><p>e−st(t−2)2dt , fazendo u = t− 2</p><p>(1.75)</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−s(u+2)u2du =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−2se−suu2du = e−2s</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−suu2du</p><p>]</p><p>, fazendo t = u</p><p>(1.76)</p><p>L[f(t)] = e−2s</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stt2dt</p><p>]</p><p>(1.77)</p><p>Podemos ver que é a mesma integral da 1 (d), aplicando a Equação 1.19:</p><p>L[f(t)] = e−2s</p><p>[ 2</p><p>s3</p><p>]</p><p>= 2e−2s</p><p>s3 (1.78)</p><p>1.1.15 f(t) = ...</p><p>Seja:</p><p>f(t) =</p><p>0 , se t < 1</p><p>(t− 1)2 + 1 , se t ≥ 1</p><p>(1.79)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.80)</p><p>Assim temos:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>e−st(0)dt+</p><p>∫ ∞</p><p>1</p><p>[</p><p>e−st(t− 1)2 + 1</p><p>]</p><p>dt =</p><p>∫ ∞</p><p>1</p><p>e−st</p><p>[</p><p>(t− 1)2 + 1</p><p>]</p><p>dt , fazendo u = t− 1</p><p>(1.81)</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−s(u+1)</p><p>[</p><p>u2 + 1</p><p>]</p><p>du =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−se−su</p><p>[</p><p>u2 + 1</p><p>]</p><p>du = e−s</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−suu2du +</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sudu</p><p>]</p><p>, fazendo t = u</p><p>(1.82)</p><p>L[f(t)] = e−2s</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stt2dt +</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stdt</p><p>]</p><p>(1.83)</p><p>Podemos ver que é a mesma integral da 1 (d) e da 1 (a) , aplicando a Equação 1.19</p><p>e a Equação 1.3:</p><p>L[f(t)] = e−s</p><p>[ 2</p><p>s3 + 1</p><p>s</p><p>]</p><p>(1.84)</p><p>1.1.16 f(t) = ...</p><p>Seja:</p><p>f(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>(t− x)2cos(2x)dx (1.85)</p><p>Pela teoria de convolução e pela questão 1 (d) e pela tabela temos:</p><p>L[t2] = 2</p><p>s3 e L[cos(2t)] = s</p><p>s2 + 4 (1.86)</p><p>Assim obtemos:</p><p>L</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>(t− x)2cos(2x)dx</p><p>]</p><p>= L[t2] ∗ L[cos(2t)] =</p><p>[ 2</p><p>s3</p><p>s</p><p>s2 + 4</p><p>]</p><p>= 2s</p><p>s3(s2 + 4) (1.87)</p><p>1.1.17 f(t) = ...</p><p>Seja:</p><p>f(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−(t−x)sen(x)dx (1.88)</p><p>Pela teoria de convolução e pelas questões 1 (b) (com a = 1) e 1 (f) temos:</p><p>L[e−t] = 1</p><p>s+ 1 e L[sen(t)] = 1</p><p>s2 + 1 (1.89)</p><p>Assim obtemos:</p><p>L</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>e−(t−x)sen(x)dx</p><p>]</p><p>= L[e−t] ∗ L[sen(t)] =</p><p>[ 1</p><p>s+ 1</p><p>1</p><p>s2 + 1</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s3 + s2 + s+ 1 (1.90)</p><p>1.1.18 f(t) = ...</p><p>Seja:</p><p>f(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>(t− x)exdx (1.91)</p><p>Pela teoria de convolução e pelas questões 1 (b) (com a = −1) e 1 (c) temos:</p><p>L[et] = 1</p><p>s− 1 e L[t] = 1</p><p>s2 (1.92)</p><p>Assim obtemos:</p><p>L</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>(t− x)exdx</p><p>]</p><p>= L[et] ∗ L[t] =</p><p>[ 1</p><p>s− 1</p><p>1</p><p>s2</p><p>]</p><p>= 1</p><p>s3 − s2 (1.93)</p><p>1.1.19 f(t) = ...</p><p>Seja:</p><p>f(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>sen(t− x)cos(x)dx (1.94)</p><p>Pela teoria de convolução e pelas questões 1 (f) e 1 (g) temos:</p><p>L[sen(t)] = 1</p><p>s2 + 1 e L[cos(t)] = s</p><p>s2 + 1 (1.95)</p><p>Assim obtemos:</p><p>L</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>sen(t− x)cos(x)dx</p><p>]</p><p>= L[sen(t)] ∗ L[cos(t)] =</p><p>[ 1</p><p>s2 + 1</p><p>s</p><p>s2 + 1</p><p>]</p><p>= 1</p><p>(s2 + 1)2 (1.96)</p><p>1.2 Questão 2</p><p>Seja f(t) tal que:</p><p>|f(t)| < Keat , para t > M (1.97)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.98)</p><p>Assim temos:</p><p>|L[f(t)]| =</p><p>∣∣∣∣∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt</p><p>∣∣∣∣ (1.99)</p><p>Mas sabemos (ou não) que:∣∣∣∣∣</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>f(x)dx</p><p>∣∣∣∣∣ ≤</p><p>∫ b</p><p>a</p><p>|f(x)| dx , imaginar pelo gráfico! (1.100)</p><p>Assim teremos:∣∣∣∣∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt</p><p>∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞</p><p>0</p><p>∣∣∣e−stf(t)</p><p>∣∣∣ dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>∣∣∣e−st∣∣∣ |f(t)| dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st |f(t)| dt , uma vez que ex > 0, ∀ x ∈ R</p><p>(1.101)</p><p>Assim teremos:∣∣∣∣∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt</p><p>∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st |f(t)| dt <</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stKeatdt = K</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>et(a−s)dt = K</p><p>[</p><p>et(a−s)</p><p>(a− s)</p><p>]</p><p>(1.102)</p><p>Aplicando os limites de integração na última parte teremos:∣∣∣∣∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt</p><p>∣∣∣∣ < K</p><p>[</p><p>limt→∞ e</p><p>t(a−s) − e0</p><p>(a− s)</p><p>]</p><p>= K</p><p>[</p><p>limt→∞ e</p><p>t(a−s) − 1</p><p>(a− s)</p><p>]</p><p>(1.103)</p><p>Assim vemos que:</p><p>• Se a < s: A integral converge com os limites de integração: limt→∞ et(a−s) → 0</p><p>• Se a > s: A integral diverge com os limites de integração: limt→∞ et(a−s) → ∞</p><p>Assim teremos para a < s (ou s > a):</p><p>|F (s)| =</p><p>∣∣∣∣∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt</p><p>∣∣∣∣ < K</p><p>(s− a) (1.104)</p><p>Assim vemos que omódulo da transformada de Laplace existe (não é infinito) logo a</p><p>transformada vai existir. Entretanto não podemos afirmar o ’valor’ (função correspondente),</p><p>apenas a existência.</p><p>1.3 Questão 3</p><p>Seja g(t) função admissível (existe transformada) com:</p><p>g(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>f(x)dx (1.105)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.106)</p><p>Assim temos:</p><p>L[g(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stg(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>f(x)dx</p><p>]</p><p>dt (1.107)</p><p>Resolvendo por partes teremos:</p><p>L[g(t)] =</p><p>{</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>f(x)dx</p><p>]</p><p>−</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>f(t)dt</p><p>}</p><p>, pelo Teorema Fundamental do Cálculo</p><p>(1.108)</p><p>L[g(t)] =</p><p>{</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>f(x)dx</p><p>]</p><p>+ 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt</p><p>}</p><p>(1.109)</p><p>Aplicando os limites de integração no primeiro termo teremos:</p><p>L[g(t)] =</p><p>{</p><p>lim</p><p>t→∞</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>f(x)dx</p><p>]</p><p>+ e0</p><p>s</p><p>lim</p><p>t→0</p><p>[∫ t</p><p>0</p><p>f(x)dx</p><p>]</p><p>+ 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt</p><p>}</p><p>= 1</p><p>s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt</p><p>(1.110)</p><p>Como:</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt = L[f(t)] = F (s) (1.111)</p><p>Temos:</p><p>L[g(t)] = 1</p><p>s</p><p>L[f(t)] = 1</p><p>s</p><p>F (s) (1.112)</p><p>1.4 Questão 4</p><p>Seja:</p><p>F (s) =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.113)</p><p>1.4.1 (a)</p><p>Derivando a Equação 1.113 obtemos:</p><p>d</p><p>dsF (s) = ∂</p><p>∂s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>∂</p><p>∂s</p><p>[</p><p>e−stf(t)</p><p>]</p><p>dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>(−t)e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−st [−tf(t)] dt = L[−tf(t)]</p><p>(1.114)</p><p>Uma vez que podemos comutar a integral com a derivada (será?).</p><p>1.4.2 (b)</p><p>Derivando de novo obtemos:</p><p>d2</p><p>ds2F (s) = ∂</p><p>∂s</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>(−t)e−stf(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>∂</p><p>∂s</p><p>[</p><p>(−t)e−stf(t)</p><p>]</p><p>dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>(−t)2e−stf(t)dt = L[(−t)2f(t)]</p><p>(1.115)</p><p>Continuando teríamos:</p><p>d3</p><p>ds3F (s) = L[(−t)3f(t)] (1.116)</p><p>Assim podemos observar um padrão e através de indução podemos provar que:</p><p>dn</p><p>dsnF (s) = F (n)(s) = L[(−t)nf(t)] = L[(−1)ntnf(t)] = (−1)nL[tnf(t)] (1.117)</p><p>1.5 Questão 5</p><p>Seja:</p><p>dτ (t− t0) =</p><p></p><p>1</p><p>2τ , se t0 − τ < t < t0 + τ</p><p>0 , se t ≤ t0 − τ ou t ≥ t0 + τ</p><p>(1.118)</p><p>1.5.1 (a)</p><p>Seja I(τ) o impulso gerado por uma função definido como:</p><p>I [f(x)] =</p><p>∫ ∞</p><p>−∞</p><p>f(t)dt (1.119)</p><p>Temos que:</p><p>I [dτ ] =</p><p>∫ ∞</p><p>−∞</p><p>dτ (t)dt =</p><p>∫ t0−τ</p><p>−∞</p><p>(0)dt+</p><p>∫ t0+τ</p><p>t0−τ</p><p>1</p><p>2τ dt+</p><p>∫ ∞</p><p>t0+τ</p><p>(0)dt = 1</p><p>2τ</p><p>∫ t0+τ</p><p>t0−τ</p><p>dt = 1</p><p>2τ [t0 + τ − (t0 − τ)] = 2τ</p><p>2τ = 1</p><p>(1.120)</p><p>1.5.2 (b)</p><p>Temos que:</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>dτ (t−t0) =</p><p>limτ→0+</p><p>1</p><p>2τ , se limτ→0+(t0 − τ) < t < limτ→0+(t0 + τ)</p><p>limτ→0+ 0 , se t ≤ limτ→0+(t0 − τ) ou t ≥ limτ→0+(t0 + τ)</p><p>(1.121)</p><p>Assim teremos:</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>1</p><p>2τ =∞ (1.122)</p><p>E também:</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>(t0 − τ) < t < lim</p><p>τ→0+</p><p>(t0 + τ) , pelo Teorema do Confronto : t = t0 (1.123)</p><p>Por outro lado:</p><p>t ≤ lim</p><p>τ→0+</p><p>(t0 − τ) = t0 ∴ t ≤ t0 e t ≥ lim</p><p>τ→0+</p><p>(t0 + τ) = t0 ∴ t ≥ t0 (1.124)</p><p>Entretanto por argumentos técnicos podemos dizer:</p><p>3 ≤ 4 , mas sabemos que 3 < 4 (1.125)</p><p>Assim aplicando o mesmo raciocínio (pois pelo Teorema do Confronto vimos que</p><p>dá ’∞’ e não zero) e como a Equação 1.124 não exclui a Equação 1.123 (pelo exemplo</p><p>da Equação 1.125) podemos dizer:</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>dτ (t− t0) =</p><p>∞ , se t = t0</p><p>0 , se t 6= t0</p><p>(1.126)</p><p>1.5.3 (c)</p><p>Temos que a transformada de Laplace é da forma:</p><p>L[f(t)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt (1.127)</p><p>Assim temos:</p><p>L[dτ (t−t0)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stdτ (t−t0)dt =</p><p>∫ t0−τ</p><p>0</p><p>e−st(0)dt+</p><p>∫ t0+τ</p><p>t0−τ</p><p>e−st</p><p>1</p><p>2τ dt+</p><p>∫ ∞</p><p>t0+τ</p><p>e−st(0)dt = 1</p><p>2τ</p><p>∫ t0+τ</p><p>t0−τ</p><p>e−stdt</p><p>(1.128)</p><p>1</p><p>2τ</p><p>∫ t0+τ</p><p>t0−τ</p><p>e−stdt = 1</p><p>2τ</p><p>[</p><p>−e−st</p><p>s</p><p>]</p><p>= 1</p><p>2τs</p><p>[</p><p>e−s(t0−τ) − e−s(t0+τ)</p><p>]</p><p>= 1</p><p>τs</p><p>[</p><p>e−st0eτs − e−st0e−τs</p><p>2</p><p>]</p><p>= e−st0</p><p>τs</p><p>[</p><p>eτs − e−τs</p><p>2</p><p>]</p><p>(1.129)</p><p>e−st0</p><p>τs</p><p>[</p><p>eτs − e−τs</p><p>2</p><p>]</p><p>= e−st0</p><p>sτ</p><p>sinh(sτ) (1.130)</p><p>1.5.4 (d)</p><p>Seja:</p><p>δ(t− t0) := lim</p><p>τ→0+</p><p>dτ (t− t0) (1.131)</p><p>Temos que:</p><p>I [δ(t− t0)] = I</p><p>[</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>dτ (t)</p><p>]</p><p>=</p><p>∫ ∞</p><p>−∞</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>dτ (t)dt = lim</p><p>τ→0+</p><p>∫ ∞</p><p>−∞</p><p>dτ (t)dt = lim</p><p>τ→0+</p><p>1</p><p>2τ [t0 + τ − (t0 − τ)] = lim</p><p>τ→0+</p><p>2τ</p><p>2τ</p><p>(1.132)</p><p>I [δ(t− t0)] = lim</p><p>τ→0+</p><p>1 = 1 (1.133)</p><p>1.5.5 (e)</p><p>Temos que:</p><p>L[δ(t−t0)] = L[ lim</p><p>τ→0+</p><p>dτ (t−t0)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>[</p><p>e−stdτ (t− t0)</p><p>]</p><p>dt = lim</p><p>τ→0+</p><p>[∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stdτ (t− t0)dt</p><p>]</p><p>= lim</p><p>τ→0+</p><p>e−st0</p><p>sτ</p><p>sinh(sτ)</p><p>(1.134)</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>e−st0</p><p>sτ</p><p>sinh(sτ) = e−st0</p><p>s</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>sinh(sτ)</p><p>τ</p><p>(1.135)</p><p>Aplicando L’Hopital (0</p><p>0) temos:</p><p>L[δ(t− t0)] = e−st0</p><p>s</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>(s)cosh(sτ)</p><p>1 = e−st0</p><p>s</p><p>(s) = e−st0 (1.136)</p><p>1.6 Questão 6</p><p>Seja uma função f : R → R, contínua, temos que:</p><p>∫ ∞</p><p>−∞</p><p>δ(t− t0)f(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>−∞</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>dτ (t− t0)f(t)dt = lim</p><p>τ→0+</p><p>∫ t0+τ</p><p>t0−τ</p><p>1</p><p>2τ f(t)dt = lim</p><p>τ→0+</p><p>1</p><p>2τ</p><p>∫ t0+τ</p><p>t0−τ</p><p>f(t)dt</p><p>(1.137)</p><p>Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais temos que:</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>1</p><p>2τ</p><p>∫ t0+τ</p><p>t0−τ</p><p>f(t)dt = lim</p><p>τ→0+</p><p>f(z) , com z ∈ (t0 − τ, t0 + τ) (1.138)</p><p>Aplicando o limite temos (pelo Teorema do Confronto):</p><p>∫ ∞</p><p>−∞</p><p>δ(t− t0)f(t)dt = f(t0) (1.139)</p><p>1.7 Questão 7</p><p>1.7.1 F (s) = 3</p><p>s2+4</p><p>Seja:</p><p>F (s) = 3</p><p>s2 + 4 (1.140)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = 3</p><p>s2 + 4 = 3</p><p>2</p><p>2</p><p>s2 + 22 (1.141)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>a</p><p>s2 + a2 = L[sen(at)] (1.142)</p><p>Assim temos que a inversa de F (s) é:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>[3</p><p>2</p><p>2</p><p>s2 + 22</p><p>]</p><p>= 3</p><p>2L</p><p>−1</p><p>[ 2</p><p>s2 + 22</p><p>]</p><p>= 3</p><p>2sen(2t) (1.143)</p><p>1.7.2 F (s) = 4</p><p>(s−1)3</p><p>Seja:</p><p>F (s) = 4</p><p>(s− 1)3 (1.144)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = 4</p><p>(s− 1)3 = 2 2</p><p>(s− 1)3 (1.145)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>n!</p><p>sn+1 = L[tn] , com n ∈ N (1.146)</p><p>Também observamos um ’deslocamento’ em s ( ’s − 1’ no lugar de ’s’). Mas o</p><p>’deslocamento’ é ’produzido’ por uma exponencial:</p><p>L[g(t)e−at] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−ste−atg(t)dt =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−t(s+a)g(t)dt , fazendo u = (s+ a) (1.147)</p><p>L[g(t)e−at] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−utg(t)dt = G(u) = G(s+ a) (1.148)</p><p>Assim vemos que um ’deslocamento’ na transformada (G(s + a)) representa a</p><p>multiplicação por uma exponencial na função original! Então temos que a inversa de F (s)</p><p>é:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>[</p><p>2 2</p><p>(s− 1)3</p><p>]</p><p>= 2etL−1</p><p>[ 2</p><p>s3</p><p>]</p><p>= 2ett2 (1.149)</p><p>1.7.3 F (s) = 2</p><p>s2+3s−4</p><p>Seja:</p><p>F (s) = 2</p><p>s2 + 3s− 4 (1.150)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = 2</p><p>s2 + 3s− 4 = 2</p><p>(s− 1)(s+ 4) (1.151)</p><p>Fazendo frações parciais temos:</p><p>A</p><p>(s− 1)+ B</p><p>(s+ 4) = A(s+ 4) +B(s− 1)</p><p>(s− 1)(s+ 4) = 2</p><p>(s− 1)(s+ 4) ∴ A+B = 0 e 4A−B = 2</p><p>(1.152)</p><p>Então obtemos (A = 2</p><p>5 e B = −2</p><p>5):</p><p>F (s) = 2</p><p>s2 + 3s− 4 = 2</p><p>(s− 1)(s+ 4) = 2</p><p>5(s− 1) −</p><p>2</p><p>5(s+ 4) = 2</p><p>5</p><p>1</p><p>s− 1 −</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>s+ 4 (1.153)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>n!</p><p>sn+1 = L[tn] , com n ∈ N (1.154)</p><p>E pela Equação 1.148 temos que a inversa de F (s) é:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>[2</p><p>5</p><p>1</p><p>s− 1 −</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>s+ 4</p><p>]</p><p>= 2</p><p>5L</p><p>−1</p><p>[ 1</p><p>s− 1</p><p>]</p><p>− 2</p><p>5L</p><p>−1</p><p>[ 1</p><p>s+ 4</p><p>]</p><p>= 2</p><p>5e</p><p>t − 2</p><p>5e</p><p>−4t</p><p>(1.155)</p><p>1.7.4 F (s) = 3</p><p>s2+4</p><p>Ver exercício 7 (a).</p><p>1.7.5 F (s) = 3s</p><p>s2−s−6</p><p>Seja:</p><p>F (s) = 3s</p><p>s2 − s− 6 (1.156)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = 3s</p><p>s2 − s− 6 = 3s</p><p>(s+ 2)(s− 3) (1.157)</p><p>Fazendo frações parciais temos:</p><p>A</p><p>(s+ 2)+ B</p><p>(s− 3) = A(s− 3) +B(s+ 2)</p><p>(s+ 2)(s− 3) = 3s</p><p>(s− 1)(s+ 4) ∴ A+B = 3 e −3A+2B = 0</p><p>(1.158)</p><p>Então obtemos (A = 6</p><p>5 e B = 9</p><p>5):</p><p>F (s) = 3s</p><p>s2 − s− 6 = 3s</p><p>(s+ 2)(s− 3) = 6</p><p>5(s+ 2) + 9</p><p>5(s− 3) = 6</p><p>5</p><p>1</p><p>s+ 2 + 9</p><p>5</p><p>1</p><p>s− 3 (1.159)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>n!</p><p>sn+1 = L[tn] , com n ∈ N (1.160)</p><p>E pela Equação 1.148 temos que a inversa de F (s) é:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>[6</p><p>5</p><p>1</p><p>s+ 2 + 9</p><p>5</p><p>1</p><p>s− 3</p><p>]</p><p>= 6</p><p>5L</p><p>−1</p><p>[ 1</p><p>s+ 2</p><p>]</p><p>+ 9</p><p>5L</p><p>−1</p><p>[ 1</p><p>s− 3</p><p>]</p><p>= 6</p><p>5e</p><p>−2t + 9</p><p>5e</p><p>3t</p><p>(1.161)</p><p>1.7.6 F (s) = 2s+2</p><p>s2+2s+5</p><p>Seja:</p><p>F (s) = 2s+ 2</p><p>s2 + 2s+ 5 (1.162)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = 2s+ 2</p><p>s2 + 2s+ 5 = 2(s+ 1)</p><p>(s+ 1)2 + 4 = 2 (s+ 1)</p><p>(s+ 1)2 + 22 (1.163)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>s</p><p>s2 + a2 = L[cos(at)] (1.164)</p><p>E pela Equação 1.148 temos que a inversa de F (s) é:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>[</p><p>2 (s+ 1)</p><p>(s+ 1)2 + 22</p><p>]</p><p>= 2e−tL−1</p><p>[</p><p>s</p><p>s2 + 22</p><p>]</p><p>= 2e−tcos(2t) (1.165)</p><p>1.7.7 F (s) = 3!</p><p>(s−2)4</p><p>Seja:</p><p>F (s) = 3!</p><p>(s− 2)4 (1.166)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>n!</p><p>sn+1 = L[tn] , com n ∈ N (1.167)</p><p>E pela Equação 1.148 temos que a inversa de F (s) é:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>[</p><p>3!</p><p>(s− 2)4</p><p>]</p><p>= e2tL−1</p><p>[</p><p>3!</p><p>s4</p><p>]</p><p>= e2tt3 (1.168)</p><p>1.7.8 F (s) = e−2s</p><p>s2+s−2</p><p>Seja:</p><p>F (s) = e−2s</p><p>s2 + s− 2 (1.169)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = e−2s</p><p>s2 + s− 2 = e−2s</p><p>[</p><p>1</p><p>(s− 1)(s+ 2)</p><p>]</p><p>(1.170)</p><p>Fazendo frações parciais temos (ignorando a exponencial):</p><p>A</p><p>(s− 1)+ B</p><p>(s+ 2) = A(s+ 2) +B(s− 1)</p><p>(s− 1)(s+ 2) = 1</p><p>(s− 1)(s+ 2) ∴ A+B = 0 e 2A−B = 0</p><p>(1.171)</p><p>Então obtemos (A = 1</p><p>3 e B = - 1</p><p>3):</p><p>F (s) = e−2s</p><p>[</p><p>1</p><p>(s− 1)(s+ 2)</p><p>]</p><p>= e−2s</p><p>[</p><p>1</p><p>3(s− 1) −</p><p>1</p><p>3(s+ 2)</p><p>]</p><p>= e−2s</p><p>[</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>(s− 1) −</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>(s+ 2)</p><p>]</p><p>(1.172)</p><p>Temos uma exponencial ’sobrando’, mas a inversa de uma exponencial é um</p><p>deslocamento na função original (raciocínio inverso da Equação 1.148) :</p><p>L[g(t+ a)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stg(t+ a)dt , fazendo u = t+ a (1.173)</p><p>L[g(t+ a)] =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−s(u−a)g(u)du =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>esae−sug(u)du = esa</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−sug(u)du = esaL[g(t)]</p><p>(1.174)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>n!</p><p>sn+1 = L[tn] , com n ∈ N (1.175)</p><p>E pela Equação 1.148 e pela Equação 1.174 temos que a inversa de F (s) é:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>{</p><p>e−2s</p><p>[</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>(s− 1) −</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>(s+ 2)</p><p>]}</p><p>= Γ−2</p><p>{</p><p>L−1</p><p>[</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>(s− 1) −</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>(s+ 2)</p><p>]}</p><p>(1.176)</p><p>L−1 [F (s)] = Γ−2</p><p>{</p><p>1</p><p>3L</p><p>−1</p><p>[</p><p>1</p><p>(s− 1)</p><p>]</p><p>− 1</p><p>3L</p><p>−1</p><p>[</p><p>1</p><p>(s+ 2)</p><p>]}</p><p>= Γ−2</p><p>[</p><p>et</p><p>3 −</p><p>e−2t</p><p>3</p><p>]</p><p>= et−2</p><p>3 − e−2(t−2)</p><p>3</p><p>(1.177)</p><p>Onde Γa representa um deslocamento de a unidades na função original.</p><p>1.7.9 F (s) = (s−2)e−2s</p><p>s2−2s+2</p><p>Seja:</p><p>F (s) = (s− 2)e−2s</p><p>s2 − 2s+ 2 (1.178)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = (s− 2)e−2s</p><p>s2 − 2s+ 2 = e−2s</p><p>[</p><p>(s− 2)</p><p>(s− 1)2 + 1</p><p>]</p><p>= e−2s</p><p>[</p><p>(s− 1)− 1</p><p>(s− 1)2 + 1</p><p>]</p><p>= e−2s</p><p>[</p><p>(s− 1)</p><p>(s− 1)2 + 1 −</p><p>1</p><p>(s− 1)2 + 1</p><p>]</p><p>(1.179)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>s</p><p>s2 + a2 = L[cos(at)] e a</p><p>s2 + a2 = L[sen(at)] (1.180)</p><p>E pela Equação 1.148 e pela Equação 1.174 temos que a inversa de F (s) é:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>{</p><p>e−2s</p><p>[</p><p>(s− 1)</p><p>(s− 1)2 + 1 −</p><p>1</p><p>(s− 1)2 + 1</p><p>]}</p><p>= Γ−2e</p><p>t</p><p>{</p><p>L−1</p><p>[</p><p>s</p><p>s2 + 1 −</p><p>1</p><p>s2 + 1</p><p>]}</p><p>(1.181)</p><p>L−1 [F (s)] = et−2Γ−2</p><p>{</p><p>L−1</p><p>[</p><p>s</p><p>s2 + 1</p><p>]</p><p>− L−1</p><p>[ 1</p><p>s2 + 1</p><p>]}</p><p>= et−2Γ−2 {cos(t)− sen(t)} = et−2 [cos(t− 2)− sen(t− 2)]</p><p>(1.182)</p><p>Onde Γa representa um deslocamento de a unidades na função original.</p><p>1.7.10 F (s) = 2e−2s</p><p>s2−4</p><p>Seja:</p><p>F (s) = 2e−2s</p><p>s2 − 4 (1.183)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = 2e−2s</p><p>s2 − 4 = e−2s</p><p>[ 2</p><p>s2 − 4</p><p>]</p><p>= e−2s</p><p>[</p><p>2</p><p>(s− 1)(s+ 2)</p><p>]</p><p>(1.184)</p><p>Fazendo frações parciais temos (ignorando a exponencial):</p><p>A</p><p>(s− 2)+ B</p><p>(s+ 2) = A(s+ 2) +B(s− 2)</p><p>(s− 2)(s+ 2) = 2</p><p>(s− 2)(s+ 2) ∴ A+B = 0 e 2A−2B = 2</p><p>(1.185)</p><p>Então obtemos (A = 1</p><p>2 e B = - 1</p><p>2):</p><p>F (s) = e−2s</p><p>[</p><p>2</p><p>(s− 2)(s+ 2)</p><p>]</p><p>= e−2s</p><p>[</p><p>1</p><p>2(s− 2) −</p><p>1</p><p>2(s+ 2)</p><p>]</p><p>= e−2s</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>(s− 2) −</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>(s+ 2)</p><p>]</p><p>(1.186)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>n!</p><p>sn+1 = L[tn] , com n ∈ N (1.187)</p><p>E pela Equação 1.148 e pela Equação 1.174 temos que a inversa de F (s) é:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>{</p><p>e−2s</p><p>[</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>(s− 2) −</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>(s+ 2)</p><p>]}</p><p>= Γ−2</p><p>{</p><p>1</p><p>2L</p><p>−1</p><p>[</p><p>1</p><p>(s− 2)</p><p>]</p><p>− 1</p><p>2L</p><p>−1</p><p>[</p><p>1</p><p>(s+ 2)</p><p>]}</p><p>(1.188)</p><p>L−1 [F (s)] = Γ−2</p><p>{</p><p>e2t</p><p>2 −</p><p>e−2t</p><p>2</p><p>}</p><p>= e2(t−2)</p><p>2 − e−2(t−2)</p><p>2 (1.189)</p><p>1.7.11 F (s) = 1</p><p>s4(s2+1)</p><p>Seja:</p><p>F (s) = 1</p><p>s4(s2 + 1) (1.190)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = 1</p><p>s4(s2 + 1) =</p><p>[ 1</p><p>s4</p><p>] [ 1</p><p>(s2 + 1)</p><p>]</p><p>= 1</p><p>3!</p><p>[</p><p>3!</p><p>s4</p><p>] [</p><p>1</p><p>(s2 + 1)</p><p>]</p><p>(1.191)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>a</p><p>s2 + a2 = L[sen(at)] e n!</p><p>sn+1 = L[tn] , com n ∈ N (1.192)</p><p>E utilizando o método de convolução temos:</p><p>L−1</p><p>[</p><p>3!</p><p>s4</p><p>]</p><p>= t3 (1.193)</p><p>L−1</p><p>[</p><p>1</p><p>(s2 + 1)</p><p>]</p><p>= sen(t) (1.194)</p><p>Assim temos:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>{</p><p>1</p><p>3!</p><p>[</p><p>3!</p><p>s4</p><p>] [</p><p>1</p><p>(s2 + 1)</p><p>]}</p><p>= 1</p><p>3!L</p><p>−1</p><p>{[</p><p>3!</p><p>s4</p><p>] [</p><p>1</p><p>(s2 + 1)</p><p>]}</p><p>= 1</p><p>3!</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>(t−x)3sen(x)dx</p><p>(1.195)</p><p>1.7.12 F (s) = s</p><p>(s+1)(s2+4)</p><p>Seja:</p><p>F (s) = s</p><p>(s+ 1)(s2 + 4) (1.196)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = s</p><p>(s+ 1)(s2 + 4) =</p><p>[</p><p>s</p><p>(s+ 1)</p><p>] [</p><p>1</p><p>(s2 + 4)</p><p>]</p><p>= 1</p><p>2</p><p>[</p><p>s</p><p>(s+ 1)</p><p>] [</p><p>2</p><p>(s2 + 4)</p><p>]</p><p>(1.197)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>a</p><p>s2 + a2 = L[sen(at)] e s</p><p>s2 + a2 = L[cos(at)] (1.198)</p><p>E utilizando o método de convolução temos:</p><p>L−1</p><p>[</p><p>s</p><p>(s+ 1)</p><p>]</p><p>= cos(t) (1.199)</p><p>L−1</p><p>[</p><p>2</p><p>(s2 + 4)</p><p>]</p><p>= sen(2t) (1.200)</p><p>Assim temos:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>{</p><p>1</p><p>2</p><p>[</p><p>s</p><p>(s+ 1)</p><p>] [</p><p>2</p><p>(s2 + 4)</p><p>]}</p><p>= 1</p><p>2L</p><p>−1</p><p>{[</p><p>s</p><p>(s+ 1)</p><p>] [</p><p>2</p><p>(s2 + 4)</p><p>]}</p><p>= 1</p><p>2</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>cos(t−x)sen(2x)dx</p><p>(1.201)</p><p>1.7.13 F (s) = 1</p><p>(s+1)2(s2+4)</p><p>Seja:</p><p>F (s) = 1</p><p>(s+ 1)2(s2 + 4) (1.202)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = 1</p><p>(s+ 1)2(s2 + 4) =</p><p>[</p><p>1</p><p>(s+ 1)2</p><p>] [</p><p>1</p><p>(s2 + 4)</p><p>]</p><p>= 1</p><p>2</p><p>[</p><p>1</p><p>(s+ 1)2</p><p>] [</p><p>2</p><p>(s2 + 4)</p><p>]</p><p>(1.203)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>a</p><p>s2 + a2 = L[sen(at)] e n!</p><p>sn+1 = L[tn] , com n ∈ N (1.204)</p><p>E utilizando o método de convolução e a Equação 1.148 temos:</p><p>L−1</p><p>[</p><p>1</p><p>(s+ 1)2</p><p>]</p><p>= e−tt (1.205)</p><p>L−1</p><p>[</p><p>2</p><p>(s2 + 4)</p><p>]</p><p>= sen(2t) (1.206)</p><p>Assim temos:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>{</p><p>1</p><p>2</p><p>[</p><p>1</p><p>(s+ 1)2</p><p>] [</p><p>2</p><p>(s2 + 4)</p><p>]}</p><p>= 1</p><p>2L</p><p>−1</p><p>{[</p><p>1</p><p>(s+ 1)2</p><p>] [</p><p>2</p><p>(s2 + 4)</p><p>]}</p><p>= 1</p><p>2</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−(t−x)[t−x]sen(2x)dx</p><p>(1.207)</p><p>1.7.14 F (s) = G(s)</p><p>s2+1 . onde G(s) = L[g(t)], com g(t) adminssível.</p><p>Seja:</p><p>F (s) = G(s)</p><p>s2 + 1 . onde G(s) = L[g(t)], com g(t) adminssível (1.208)</p><p>Temos que:</p><p>F (s) = F (s) = G(s)</p><p>s2 + 1 = [G(s)]</p><p>[</p><p>1</p><p>(s2 + 1)</p><p>]</p><p>(1.209)</p><p>Pela Tabela sabemos que:</p><p>a</p><p>s2 + a2 = L[sen(at)] (1.210)</p><p>E utilizando o método de convolução temos:</p><p>L−1 [G(s)] = g(t) (1.211)</p><p>L−1</p><p>[</p><p>1</p><p>(s2 + 1)</p><p>]</p><p>= sen(t) (1.212)</p><p>Assim temos:</p><p>L−1 [F (s)] = L−1</p><p>{</p><p>[G(s)]</p><p>[</p><p>1</p><p>(s2 + 1)</p><p>]}</p><p>=</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>g(t− x)sen(x)dx (1.213)</p><p>1.8 Questão 8</p><p>Seja:</p><p>F (s) = P (s)</p><p>Q(s) , com: P (s)</p><p>Q(s) = A1</p><p>s− r1</p><p>+ A2</p><p>s− r2</p><p>+ ...+ An</p><p>s− rn</p><p>(1.214)</p><p>Onde Q(s) é um polinômio de grau n.</p><p>1.8.1 (a)</p><p>Pela dica temos:</p><p>P (s)</p><p>Q(s) = A1</p><p>s− r1</p><p>+ A2</p><p>s− r2</p><p>+ ...+ Ak</p><p>s− rk</p><p>+ ...+ An</p><p>s− rn</p><p>(1.215)</p><p>Isolando Ak temos:</p><p>Ak</p><p>s− rk</p><p>= P (s)</p><p>Q(s) −</p><p>A1</p><p>s− r1</p><p>− A2</p><p>s− r2</p><p>− ...− An</p><p>s− rn</p><p>(1.216)</p><p>Ak = (s− rk)</p><p>P (s)</p><p>Q(s) − (s− rk)</p><p>A1</p><p>s− r1</p><p>− (s− rk)</p><p>A2</p><p>s− r2</p><p>− ...− (s− rk)</p><p>An</p><p>s− rn</p><p>(1.217)</p><p>Tomando o limite quando s tende à rk temos:</p><p>lim</p><p>s→rk</p><p>Ak = lim</p><p>s→rk</p><p>[</p><p>(s− rk)</p><p>P (s)</p><p>Q(s) − (s− rk)</p><p>A1</p><p>s− r1</p><p>− (s− rk)</p><p>A2</p><p>s− r2</p><p>− ...− (s− rk)</p><p>An</p><p>s− rn</p><p>]</p><p>(1.218)</p><p>Ak = lim</p><p>s→rk</p><p>(s− rk)</p><p>P (s)</p><p>Q(s) (1.219)</p><p>Como ’caímos’ em uma indeterminação (0</p><p>0) uma vez que rk é raiz do polinômio</p><p>Q(s) (mas não necessariamente de P (s)), aplicamos L’Hopital:</p><p>Ak = lim</p><p>s→rk</p><p>(s− rk)P (s)</p><p>Q(s) = lim</p><p>s→rk</p><p>P (s) + (s− rk)P ′(s)</p><p>Q′(s) = P (rk)</p><p>Q′(rk)</p><p>, com k = 1, 2, .., n</p><p>(1.220)</p><p>1.8.2 (b)</p><p>Temos que:</p><p>L−1[F (s)] = L−1</p><p>[</p><p>P (s)</p><p>Q(s)</p><p>]</p><p>= L−1</p><p>[</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>Ak</p><p>s− rk</p><p>]</p><p>=</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>AkL</p><p>−1</p><p>[ 1</p><p>s− rk</p><p>]</p><p>(1.221)</p><p>Pela Equação 1.148 temos:</p><p>L−1[F (s)] =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>Ake</p><p>rkt =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>P (rk)</p><p>Q′(rk)</p><p>erkt (1.222)</p><p>1.9 Questão 9</p><p>1.9.1 y′′ − y′ − 6y = 0</p><p>Seja:</p><p>y′′ − y′ − 6y = 0 , com y(0) = 1 e y′(0) = −1 (1.223)</p><p>Pela Questão 3 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[f ′(t)] = sL[f(t)]− lim</p><p>t→0+</p><p>f(t) = sL[f(t)]− f(0+) (1.224)</p><p>Assim aplicando na EDO teremos:</p><p>y′′ − y′ − 6y = 0 ∴ L [y′′ − y′ − 6y] = L[0] = 0 ∴ L[y′′]− L[y′]− 6L[y] = 0 (1.225)</p><p>L[y′′]− L[y′]− 6L[y] = 0 ∴</p><p>[</p><p>s2L[y]− sf(0+)− f ′(0+)</p><p>]</p><p>−</p><p>[</p><p>sL[y]− f(0+)</p><p>]</p><p>− 6L[y] = 0</p><p>(1.226)</p><p>Aplicando as condições de contorno temos:</p><p>[</p><p>s2L[y]− s+ 1</p><p>]</p><p>−[sL[y]− 1]−6L[y] = 0 ∴ L[y]</p><p>(</p><p>s2 − s− 6</p><p>)</p><p>−s+2 = 0 ∴ L[y] = s− 2</p><p>s2 − s− 6</p><p>(1.227)</p><p>L[y] = s− 2</p><p>(s− 3)(s+ 2) (1.228)</p><p>Fazendo frações parciais temos:</p><p>A</p><p>(s− 3)+ B</p><p>(s+ 2) = A(s+ 2) +B(s− 3)</p><p>(s− 3)(s+ 2) = s− 2</p><p>(s− 3)(s+ 2) ∴ A+B = 1 e 2A−3B = −2</p><p>(1.229)</p><p>Então obtemos (A = 1</p><p>5 e B = 4</p><p>5):</p><p>F (s) = s− 2</p><p>s2 − s− 6 = s− 2</p><p>(s− 3)(s+ 2) = 1</p><p>5(s− 3) + 4</p><p>5(s+ 2) = 1</p><p>5</p><p>1</p><p>s− 3 + 4</p><p>5</p><p>1</p><p>s+ 2 (1.230)</p><p>Aplicando a inversa dos dois lados da equação teremos:</p><p>y = L−1</p><p>[</p><p>s− 2</p><p>s2 − s− 6</p><p>]</p><p>= L−1</p><p>[1</p><p>5</p><p>1</p><p>s− 3 + 4</p><p>5</p><p>1</p><p>s+ 2</p><p>]</p><p>= 1</p><p>5L</p><p>−1</p><p>[ 1</p><p>s− 3</p><p>]</p><p>+ 4</p><p>5L</p><p>−1</p><p>[ 1</p><p>s+ 2</p><p>]</p><p>(1.231)</p><p>Pela tabela teremos:</p><p>y = e3t</p><p>5 + 4e−2t</p><p>5 (1.232)</p><p>1.9.2 y′′ + 3y′ + 2y = 0</p><p>Seja:</p><p>y′′ + 3y′ + 2y = 0 , com y(0) = 1 e y′(0) = 0 (1.233)</p><p>Pela Questão 3 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[f ′(t)] = sL[f(t)]− lim</p><p>t→0+</p><p>f(t) = sL[f(t)]− f(0+) (1.234)</p><p>Assim aplicando na EDO teremos:</p><p>y′′+ 3y′+ 2y = 0 ∴ L [y′′ + 3y′ + 2y] = L[0] = 0 ∴ L[y′′] + 3L[y′] + 2L[y] = 0 (1.235)</p><p>L[y′′]+3L[y′]+2L[y] = 0 ∴</p><p>[</p><p>s2L[y]− sf(0+)− f ′(0+)</p><p>]</p><p>+3</p><p>[</p><p>sL[y]− f(0+)</p><p>]</p><p>+2L[y] = 0</p><p>(1.236)</p><p>Aplicando as condições de contorno temos:</p><p>[</p><p>s2L[y]− s</p><p>]</p><p>+3 [sL[y]− 1]+2L[y] = 0 ∴ L[y]</p><p>(</p><p>s2 + 3s+ 2</p><p>)</p><p>−s−3 = 0 ∴ L[y] = s+ 3</p><p>s2 + 3s+ 2</p><p>(1.237)</p><p>L[y] = s+ 3</p><p>(s+ 1)(s+ 2) (1.238)</p><p>Fazendo frações parciais temos:</p><p>A</p><p>(s+ 1)+ B</p><p>(s+ 2) = A(s+ 2) +B(s+ 1)</p><p>(s+ 1)(s+ 2) = s+ 3</p><p>(s+ 1)(s+ 2) ∴ A+B = 1 e 2A+B = 3</p><p>(1.239)</p><p>Então obtemos (A = 2 e B = −1):</p><p>F (s) = s+ 3</p><p>s2 + 3s+ 2 = s+ 3</p><p>(s+ 1)(s+ 2) = 2</p><p>s+ 1 −</p><p>1</p><p>s+ 2 (1.240)</p><p>Aplicando a inversa dos dois lados da equação teremos:</p><p>y = L−1</p><p>[</p><p>s+ 3</p><p>s2 + 3s+ 2</p><p>]</p><p>= L−1</p><p>[ 2</p><p>s+ 1 −</p><p>1</p><p>s+ 2</p><p>]</p><p>= 2L−1</p><p>[ 1</p><p>s+ 1</p><p>]</p><p>− L−1</p><p>[ 1</p><p>s+ 2</p><p>]</p><p>(1.241)</p><p>Pela tabela teremos:</p><p>y = 2e−t − e−2t (1.242)</p><p>1.9.3 y′′ − 2y′ − 6y = 0</p><p>Seja:</p><p>y′′ − 2y′ − 6y = 0 , com y(0) = 0 e y′(0) = 1 (1.243)</p><p>Pela Questão 3 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[f ′(t)] = sL[f(t)]− lim</p><p>t→0+</p><p>f(t) = sL[f(t)]− f(0+) (1.244)</p><p>Assim aplicando na EDO teremos:</p><p>y′′− 2y′− 6y = 0 ∴ L [y′′ − 2y′ − 6y] = L[0] = 0 ∴ L[y′′]− 2L[y′]− 6L[y] = 0 (1.245)</p><p>L[y′′]−2L[y′]−6L[y] = 0 ∴</p><p>[</p><p>s2L[y]− sf(0+)− f ′(0+)</p><p>]</p><p>−2</p><p>[</p><p>sL[y]− f(0+)</p><p>]</p><p>−6L[y] = 0</p><p>(1.246)</p><p>Aplicando as condições de contorno temos:</p><p>[</p><p>s2L[y]− 1</p><p>]</p><p>− 2 [sL[y]]− 6L[y] = 0 ∴ L[y]</p><p>(</p><p>s2 − 2s− 6</p><p>)</p><p>− 1 = 0 ∴ L[y] = 1</p><p>s2 − 2s− 6</p><p>(1.247)</p><p>L[y] = 1</p><p>(s− 1)2 − 7 (1.248)</p><p>Aplicando a inversa dos dois lados da equação teremos:</p><p>y = L−1</p><p>[</p><p>1</p><p>(s− 1)2 − 7</p><p>]</p><p>= etL−1</p><p>[ 1</p><p>s2 − 7</p><p>]</p><p>= etL−1</p><p>[ √</p><p>7√</p><p>7 (s2 − 7)</p><p>]</p><p>= et√</p><p>7</p><p>L−1</p><p>[ √</p><p>7</p><p>s2 − 7</p><p>]</p><p>(1.249)</p><p>Pela tabela teremos:</p><p>y =</p><p>etsenh</p><p>(√</p><p>7t</p><p>)</p><p>√</p><p>7</p><p>(1.250)</p><p>1.9.4 y′′ + y = t</p><p>Seja:</p><p>y′′ + y = t , com y(0) = 1 e y′(0) = 2 (1.251)</p><p>Pela Questão 3 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[f ′(t)] = sL[f(t)]− lim</p><p>t→0+</p><p>f(t) = sL[f(t)]− f(0+) (1.252)</p><p>Assim aplicando na EDO teremos:</p><p>y′′ + y = t ∴ L [y′′ + y] = L[t] = 1</p><p>s2 ∴ L[y′′] + L[y] = 1</p><p>s2 (1.253)</p><p>L[y′′] + L[y] = 1</p><p>s2 ∴</p><p>[</p><p>s2L[y]− sf(0+)− f ′(0+)</p><p>]</p><p>+ L[y] = 1</p><p>s2 (1.254)</p><p>Aplicando as condições de contorno temos:</p><p>[</p><p>s2L[y]− s− 2</p><p>]</p><p>+ L[y] = 1</p><p>s2 ∴ L[y]</p><p>(</p><p>s2 + 1</p><p>)</p><p>− s− 2 = 1</p><p>s2 ∴ L[y] = s+ 2</p><p>s2 + 1 + 1</p><p>s2(s2 + 1)</p><p>(1.255)</p><p>L[y] = s</p><p>s2 + 1 + 2 1</p><p>s2 + 1 + 1</p><p>s2(s2 + 1) = s</p><p>s2 + 1 + 2 1</p><p>s2 + 1 +</p><p>[ 1</p><p>s2</p><p>] [ 1</p><p>s2 + 1</p><p>]</p><p>(1.256)</p><p>Aplicando a inversa dos dois lados da equação teremos:</p><p>y = L−1</p><p>{</p><p>s</p><p>s2 + 1 + 2 1</p><p>s2 + 1 +</p><p>[ 1</p><p>s2</p><p>] [ 1</p><p>s2 + 1</p><p>]}</p><p>= L−1</p><p>{</p><p>s</p><p>s2 + 1</p><p>}</p><p>+2L−1</p><p>{ 1</p><p>s2 + 1</p><p>}</p><p>+L−1</p><p>{[ 1</p><p>s2</p><p>] [ 1</p><p>s2 + 1</p><p>]}</p><p>(1.257)</p><p>Pela tabela e por convolução teremos:</p><p>y = cos(t) + 2sen(t) +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>(t− x)sen(x)dx (1.258)</p><p>1.9.5 y′′ + w2y = cos(2t)</p><p>Seja:</p><p>y′′ + w2y = cos(2t) , com w2 6= 4, y(0) = 1 e y′(0) = 0 (1.259)</p><p>Pela Questão 3 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[f ′(t)] = sL[f(t)]− lim</p><p>t→0+</p><p>f(t) = sL[f(t)]− f(0+) (1.260)</p><p>Assim aplicando na EDO teremos:</p><p>y′′ + w2y = cos(2t) ∴ L</p><p>[</p><p>y′′ + w2y</p><p>]</p><p>= L[cos(2t)] = s</p><p>s2 + 4 ∴ L[y′′] + w2L[y] = s</p><p>s2 + 4</p><p>(1.261)</p><p>L[y′′] + w2L[y] = s</p><p>s2 + 4 ∴</p><p>[</p><p>s2L[y]− sf(0+)− f ′(0+)</p><p>]</p><p>+ w2L[y] = s</p><p>s2 + 4 (1.262)</p><p>Aplicando as condições de contorno temos:</p><p>[</p><p>s2L[y]− s</p><p>]</p><p>+w2L[y] = s</p><p>s2 + 4 ∴ L[y]</p><p>(</p><p>s2 + w2</p><p>)</p><p>−s = s</p><p>s2 + 4 ∴ L[y] = s</p><p>s2 + w2 + s</p><p>(s2 + 4)(s2 + w2)</p><p>(1.263)</p><p>Aplicando a inversa dos dois lados da equação teremos:</p><p>y = L−1</p><p>{</p><p>s</p><p>s2 + w2 + 1</p><p>2</p><p>[ 2</p><p>s2 + 4</p><p>] [</p><p>s</p><p>s2 + w2</p><p>]}</p><p>= L−1</p><p>{</p><p>s</p><p>s2 + w2</p><p>}</p><p>+1</p><p>2L</p><p>−1</p><p>{[ 2</p><p>s2 + 4</p><p>] [</p><p>s</p><p>s2 + w2</p><p>]}</p><p>(1.264)</p><p>Pela tabela e por convolução teremos:</p><p>y = cos(wt) + 1</p><p>2</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>sen(2t− 2x)cos(wx)dx (1.265)</p><p>1.9.6 y′′ − 2y′ + 2y = cos(t)</p><p>Seja:</p><p>y′′ − 2y′ + 2y = cos(t) , com y(0) = 1 e y′(0) = 0 (1.266)</p><p>Pela Questão 3 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[f ′(t)] = sL[f(t)]− lim</p><p>t→0+</p><p>f(t) = sL[f(t)]− f(0+) (1.267)</p><p>Assim aplicando na EDO teremos:</p><p>y′′−2y′+2y = cos(t) ∴ L [y′′ − 2y′ + 2y] = L[cos(t)] = s</p><p>s2 + 1 ∴ L[y′′]−2L[y′]+2L[y] = 1</p><p>s2 + 1</p><p>(1.268)</p><p>L[y′′]−2L[y′]+2L[y] = s</p><p>s2 + 1 ∴</p><p>[</p><p>s2L[y]− sf(0+)− f ′(0+)</p><p>]</p><p>−2</p><p>[</p><p>sL[y]− f(0+)</p><p>]</p><p>+2L[y] = s</p><p>s2 + 1</p><p>(1.269)</p><p>Aplicando as condições de contorno temos:</p><p>[</p><p>s2L[y]− s</p><p>]</p><p>−2 [sL[y]− 1]+2L[y] = s</p><p>s2 + 1 ∴ L[y]</p><p>(</p><p>s2 − 2s+ 2</p><p>)</p><p>−s+2 = s</p><p>s2 + 1 (1.270)</p><p>L[y] = s− 2</p><p>s2 − 2s+ 2 + s</p><p>(s2 + 1)(s2 − 2s+ 2) = s− 1− 1</p><p>(s− 1)2 + 1 +</p><p>[</p><p>s</p><p>s2 + 1</p><p>] [ 1</p><p>(s− 1)2 + 1</p><p>]</p><p>(1.271)</p><p>Aplicando a inversa dos dois lados da equação teremos:</p><p>y = L−1</p><p>{</p><p>s− 1− 1</p><p>(s− 1)2 + 1 +</p><p>[</p><p>s</p><p>s2 + 1</p><p>] [ 1</p><p>(s− 1)2 + 1</p><p>]}</p><p>= L−1</p><p>{</p><p>s− 1</p><p>(s− 1)2 + 1 −</p><p>1</p><p>(s− 1)2 + 1 +</p><p>[</p><p>s</p><p>s2 + 1</p><p>] [ 1</p><p>(s− 1)2 + 1</p><p>]}</p><p>(1.272)</p><p>Pela tabela e por convolução teremos:</p><p>y = etcos(t)− etsen(t) +</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>cos(t− x)exsen(x)dx (1.273)</p><p>1.9.7 y′′ + 2y′ + 2y = δ(t− π)</p><p>Seja:</p><p>y′′ + 2y′ + 2y = δ(t− π) , com y(0) = 1 e y′(0) = 0 (1.274)</p><p>Pela Questão 3 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[f ′(t)] = sL[f(t)]− lim</p><p>t→0+</p><p>f(t) = sL[f(t)]− f(0+) (1.275)</p><p>Assim aplicando na EDO teremos:</p><p>y′′+2y′+2y = δ(t−π) ∴ L [y′′ + 2y′ + 2y] = L[δ(t−π)] = e−πs ∴ L[y′′]+2L[y′]+2L[y] = e−πs</p><p>(1.276)</p><p>L[y′′]+2L[y′]+2L[y] = e−πs ∴</p><p>[</p><p>s2L[y]− sf(0+)− f ′(0+)</p><p>]</p><p>+2</p><p>[</p><p>sL[y]− f(0+)</p><p>]</p><p>+2L[y] = e−πs</p><p>(1.277)</p><p>Aplicando as condições de contorno temos:</p><p>[</p><p>s2L[y]− s</p><p>]</p><p>+2 [sL[y]− 1]+2L[y] = e−πs ∴ L[y]</p><p>(</p><p>s2 + 2s+ 2</p><p>)</p><p>−s−2 = e−πs (1.278)</p><p>L[y] = s+ 2</p><p>s2 + 2s+ 2+ e−πs</p><p>s2 + 2s+ 2 = s+ 1 + 1</p><p>(s+ 1)2 + 1+ e−πs</p><p>(s+ 1)2 + 1 = s+ 1</p><p>(s+ 1)2 + 1+ 1</p><p>(s+ 1)2 + 1+ e−πs</p><p>(s+ 1)2 + 1</p><p>(1.279)</p><p>Aplicando a inversa dos dois lados da equação teremos:</p><p>y = L−1</p><p>{</p><p>s+ 1</p><p>(s+ 1)2 + 1 + 1</p><p>(s+ 1)2 + 1 + e−πs</p><p>(s+ 1)2 + 1</p><p>}</p><p>(1.280)</p><p>Pela tabela teremos:</p><p>y = e−tcos(t) + e−tsen(t) + e−tsen(t− π) (1.281)</p><p>1.9.8 y′′ + 3y′ + 2y = δ(t− 5) + u10(t)</p><p>Seja:</p><p>y′′ + 3y′ + 2y = δ(t− 5) + u10(t) , com y(0) = 0 e y′(0) = 1</p><p>2 (1.282)</p><p>Pela Questão 3 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[f ′(t)] = sL[f(t)]− lim</p><p>t→0+</p><p>f(t) = sL[f(t)]− f(0+) (1.283)</p><p>Assim aplicando na EDO teremos:</p><p>y′′+3y′+2y = δ(t−5)+u10(t) ∴ L [y′′ + 3y′ + 2y] = L{δ(t−5)+u10(t)} = e−5s+ e−10s</p><p>s</p><p>(1.284)</p><p>L[y′′] + 3L[y′] + 2L[y] = e−5s + e−10s</p><p>s</p><p>∴ L[y′′] + 3L[y′] + 2L[y] = e−5s + e−10s</p><p>s</p><p>(1.285)</p><p>[</p><p>s2L[y]− sf(0+)− f ′(0+)</p><p>]</p><p>+ 3</p><p>[</p><p>sL[y]− f(0+)</p><p>]</p><p>+ 2L[y] = e−5s + e−10s</p><p>s</p><p>(1.286)</p><p>Aplicando as condições de contorno temos:</p><p>[</p><p>s2L[y]− 1</p><p>2</p><p>]</p><p>+3 [sL[y]]+2L[y] = e−5s+ e−10s</p><p>s</p><p>∴ L[y]</p><p>(</p><p>s2 + 3s+ 2</p><p>)</p><p>− 1</p><p>2 = e−5s+ e−10s</p><p>s</p><p>(1.287)</p><p>L[y] =</p><p>1</p><p>2</p><p>s2 + 3s+ 2+ e−5s</p><p>s2 + 3s+ 2+ e−10s</p><p>s(s2 + 3s+ 2) =</p><p>1</p><p>2</p><p>(s+ 3</p><p>2)2 − 1</p><p>4</p><p>+ e−5s</p><p>(s+ 3</p><p>2)2 − 1</p><p>4</p><p>+ e−10s</p><p>s[(s+ 3</p><p>2)2 − 1</p><p>4 ]</p><p>(1.288)</p><p>Aplicando a inversa dos dois lados da equação teremos:</p><p>y = L−1</p><p></p><p>1</p><p>2</p><p>(s+ 3</p><p>2)2 − 1</p><p>4</p><p>+ 2</p><p>e−5s</p><p>2</p><p>(s+ 3</p><p>2)2 − 1</p><p>4</p><p>+ 2</p><p>[1</p><p>s</p><p>]  e−10s</p><p>2</p><p>(s+ 3</p><p>2)2 − 1</p><p>4</p><p> (1.289)</p><p>Pela tabela e por convolução teremos:</p><p>y = e−</p><p>3t</p><p>2 senh</p><p>(</p><p>t</p><p>2</p><p>)</p><p>+ 2e− 3t</p><p>2 senh</p><p>(</p><p>t− 5</p><p>2</p><p>)</p><p>+ 2</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>(1)senh</p><p>(</p><p>x− 10</p><p>2</p><p>)</p><p>dx (1.290)</p><p>1.9.9 ty′′ + 2y′ + ty = 0</p><p>Seja:</p><p>ty′′ + 2y′ + ty = 0 , com y(0) = 1 e y′(0) = 1 (1.291)</p><p>Pela Questão 3 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[f ′(t)] = sL[f(t)]− lim</p><p>t→0+</p><p>f(t) = sL[f(t)]− f(0+) (1.292)</p><p>E pela Questão 4 e o Teorema que dela obtemos temos:</p><p>L[tnf(t)] = (−1)n dn</p><p>dsn {L[f(t)]} (1.293)</p><p>Assim aplicando na EDO teremos:</p><p>ty′′ + 2y′ + ty = 0 ∴ L [ty′′ + 2y′ + ty] = L[0] = 0 ∴ L[ty′′] + 2L[y′] +L[ty] = 0 (1.294)</p><p>L[ty′′]+2L[y′]+L[ty] = 0 ∴ (−1)1 d</p><p>ds</p><p>{</p><p>s2L[y]− sf(0+)− f ′(0+)</p><p>}</p><p>+2</p><p>[</p><p>sL[y]− f(0+)</p><p>]</p><p>+(−1)1 d</p><p>ds {L[y]} = 0</p><p>(1.295)</p><p>Aplicando as condições de contorno e a regra da cadeia temos:</p><p>− d</p><p>ds</p><p>{</p><p>s2L[y]− s− 1</p><p>}</p><p>+2 {sL[y]− 1}− d</p><p>ds {L[y]} = 0 ∴</p><p>{</p><p>−2sL[y]− s2 dL[y]</p><p>ds − 1</p><p>}</p><p>+2 {sL[y]− 1}−</p><p>{</p><p>dL[y]</p><p>ds</p><p>}</p><p>= 0</p><p>(1.296)</p><p>−dL[y]</p><p>ds</p><p>(</p><p>s2 + 1</p><p>)</p><p>−L[y] (2s− 2s)+1−2 = 0 ∴</p><p>dL[y]</p><p>ds</p><p>(</p><p>s2 + 1</p><p>)</p><p>= −1 ∴</p><p>dL[y]</p><p>ds = − 1</p><p>s2 + 1</p><p>(1.297)</p><p>Aplicando a inversa dos dois lados da equação teremos (pela Questão 4):</p><p>−ty = −L−1</p><p>{ 1</p><p>s2 + 1</p><p>}</p><p>(1.298)</p><p>Pela tabela teremos:</p><p>−ty = −sen(t) ∴ y = sen(t)</p><p>t</p><p>(1.299)</p><p>1.9.10 y′′ + 4y′ + 5y = e−3tcos(t)</p><p>Seja:</p><p>y′′ + 4y′ + 5y = e−3tcos(t) , com y(0) = 2 e y′(0) = 1 (1.300)</p><p>Seguir o mesmo racicíonio dos outros!</p><p>Sumário</p><p>Lista 1</p><p>Questão 1</p><p>f(t) = 1</p><p>f(t) = eat</p><p>f(t) = t</p><p>f(t) = t2</p><p>f(t) = tn , com n N</p><p>f(t) = sen(t)</p><p>f(t) = cos(t)</p><p>f(t) = senh(t)</p><p>f(t) = cosh(t)</p><p>f(t) = eatsen(bt)</p><p>f(t) = eatcos(bt)</p><p>f(t) = teat</p><p>f(t) = tneat , com n N</p><p>f(t) = ...</p><p>f(t) = ...</p><p>f(t) = ...</p><p>f(t) = ...</p><p>f(t) = ...</p><p>f(t) = ...</p><p>Questão 2</p><p>Questão 3</p><p>Questão 4</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>Questão 5</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>(d)</p><p>(e)</p><p>Questão 6</p><p>Questão 7</p><p>F(s) = 3s2 + 4</p><p>F(s) = 4(s-1)3</p><p>F(s) = 2s2+3s-4</p><p>F(s) = 3s2+4</p><p>F(s) = 3ss2-s-6</p><p>F(s) = 2s+2s2+2s+5</p><p>F(s) = 3!(s-2)4</p><p>F(s) = e-2ss2+s-2</p><p>F(s) = (s-2)e-2ss2-2s+2</p><p>F(s) = 2e-2ss2-4</p><p>F(s) = 1s4(s2+1)</p><p>F(s) = s(s+1)(s2+4)</p><p>F(s) = 1(s+1)2(s2+4)</p><p>F(s) = G(s)s2+1. onde G(s) = L[g(t)], com g(t) adminssível.</p><p>Questão 8</p><p>(a)</p><p>(b)</p><p>Questão 9</p><p>y'' - y' - 6y = 0</p><p>y'' + 3y' + 2y = 0</p><p>y'' - 2y' - 6y = 0</p><p>y'' + y = t</p><p>y'' + w2y = cos (2t)</p><p>y'' - 2y' + 2y = cos (t)</p><p>y'' + 2y' + 2y = (t - )</p><p>y'' + 3y' + 2y = (t - 5 ) + u10(t)</p><p>ty'' + 2y' + ty = 0</p><p>y'' + 4y' + 5y = e-3t cos(t)</p>