Campos Variantes no Tempo e Equações de Maxwell

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<p>Campos variantes no tempo e equações de Maxwell Prof. Jorge Rodrigues Pedreira de Cerqueira Descrição Definição e aplicação da Lei de Faraday, relacionando a variação do fluxo magnético com a geração do campo elétrico. Apresentação e interpretação das quatro equações de Maxwell e definição da corrente de deslocamento. Estudo das condições de contorno para campos elétricos e magnéticos. Cálculo da potência do campo magnético por meio do teorema de Poynting. Propósito Para o entendimento do eletromagnetismo, é necessário conhecer as quatro equações de Maxwell, que são a base do eletromagnetismo, bem como as condições de contorno existentes para os campos eletromagnéticos e o cálculo da energia armazenada a partir do teorema de Poynting. o estudo do eletromagnetismo é fundamental para o entendimento de fenômenos cotidianos, bem como para o funcionamento de máquinas e demais equipamentos tecnológicos. Preparação Antes de iniciar o conteúdo deste conteúdo, tenha uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.</p><p>Objetivos Módulo 1 Lei da indução magnética Aplicar a Lei de Faraday. Módulo 2 Equações de Maxwell - formulação diferencial e integral Definir as quatro equações de Maxwell na sua forma diferencial e integral. Módulo 3 Condições de contorno Aplicar as condições de contorno para o campo eletromagnético. Módulo 4 Teorema e vetor de Poynting Aplicar o teorema e o vetor de Poynting.</p><p>Introdução Compreenda neste vídeo os conceitos de campos variantes no tempo e as equações de Maxwell. Para assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo. 1 - Lei da indução magnética Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar a Lei de Faraday. Vamos começar! A Lei de Faraday Conheça agora os principais pontos que serão abordados neste módulo.</p><p>Para assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Introdução à Lei de Faraday Até esse ponto, no estudo do eletromagnetismo, trabalhamos com campos eletrostáticos e magnetostáticos, isto é, campos invariantes no tempo. Vimos que os campos elétricos eram criados por cargas elétricas e os campos magnéticos, por cargas elétricas em movimento. Acontece que um novo fenômeno foi observado: a criação de um campo elétrico com a variação temporal do campo magnético. Na verdade, ao acontecer uma variação temporal do fluxo magnético através de uma área, verificou-se a criação de um campo elétrico. Dessa forma, foi possível vislumbrar uma nova fonte geradora de campo elétrico. Essas experiências foram conduzidas por Michael Faraday, na Inglaterra, e Joseph Henry, nos Estados Unidos, de forma independente. Elas deram origem a uma importante lei do eletromagnetismo: a Lei de Faraday. A Lei de Faraday tem diversas aplicações práticas, como o funcionamento dos geradores e transformadores. E o campo elétrico variável não vai gerar campo magnético? Isso vai ser observado posteriormente por Maxwell, cuja proposição será a criação da corrente de deslocamento (que nada mais é do que a variação do fluxo elétrico). Ele vai propor então a complementação da Lei de Ampère para incluir a variação de fluxo elétrico também como geradora de campo magnético. Comentário</p><p>A corrente de deslocamento e a Lei de Ampère complementada serão estudadas posteriormente na etapa em que abordarmos as equações de Maxwell. Lei de Faraday Desde 1820, a partir de experiências realizadas pelo físico dinamarquês Hans C. Orsted, e, posteriormente, na década de 1830, pela Lei de Ampère, já havia provas de que as correntes elétricas criavam ao redor de si um campo magnético. Isso serviu de incentivo para alguns cientistas tentarem provar o fenômeno recíproco, isto é, a criação do campo elétrico por meio do campo magnético. Um desses cientistas que acabou tendo êxito foi Michael Faraday. Inicialmente, Faraday queria provar que um campo magnético constante poderia induzir, em um enrolamento, uma diferença de potencial que consequentemente produziria uma corrente elétrica nesse circuito. Suas tentativas iniciais foram frustradas, pois isso não ocorreu. Acontece, porém, que algo chamou sua atenção: quando o circuito que gerava o campo magnético era desligado ou ligado, uma corrente elétrica era induzida no outro enrolamento. Desse modo, Faraday percebeu que, quando ele desligava ou ligava o circuito, o campo magnético estava variando no tempo e produzia um campo elétrico. Por isso, ele observou que não era o campo magnético que induzia uma nova corrente, e sim a sua variação temporal. Dessa forma, Faraday conseguiu estabelecer uma lei, denominada Lei de Faraday, que pode ser equacionada por: Em que fem é uma força eletromotriz, isto é, uma diferença de potencial. A Lei de Faraday nos mostra que, toda vez que tivermos uma variação temporal do fluxo magnético através de uma área representada por</p><p>$ B . ds , será induzida nessa área uma diferença de potencial (força S eletromotriz - fem). Essa força é denominada força eletromotriz de Faraday. Relembrando No estudo do campo elétrico, existe uma relação entre diferença de potencial e campo elétrico. Ao se criar uma diferença de potencial na área atravessada pelo fluxo magnético variante no tempo, um campo elétrico também é criado. Lembremos que a diferença de potencial pode ser representada por uma integral de linha do campo elétrico. Dessa forma, podemos apresentar a Lei de Faraday como: Se usarmos o teorema de Stokes, sairemos da forma integral e encontraremos a forma diferencial da Lei de Faraday: It ou It Em que é a permeabilidade magnética do meio. Observe que o fluxo magnético é obtido pelo produto escalar entre o vetor densidade de fluxo magnético e o vetor área. Assim: ds = ds = Ods S Em que é o ângulo formado entre o campo magnético e a normal da área atravessada pelo campo. Dessa maneira, a variação do fluxo magnético pode ocorrer por três motivos: Módulo de H Variação temporal do módulo do campo magnético Área (S) Variação temporal da área (S) cujo campo magnético atravessa.</p><p>Ângulo Variação entre o ângulo formado pelo campo magnético e a normal da área (A). Essas três causas apresentadas, de forma isolada ou concomitantemente, provocam uma variação do fluxo magnético, sendo, portanto, geradoras de uma diferença de potencial, a qual, por sua vez, é induzida. Alguns autores dividem a fem induzida pela variação do fluxo por duas denominações. Veja: fem de transformação fem de movimento Quando a fem é Quando a fem é induzida pela variação induzida pela variação do módulo do campo X da área ou do ângulo magnético, ela é entre a área e o campo, denominada fem de ela é chamada de fem transformação. de movimento. No próximo item, vamos analisar o que significa o sinal negativo que aparece na Lei de Faraday. Esse sinal é estudado por meio da Lei de Lenz. Lei de Lenz Agora analisaremos com cuidado o sinal negativo que aparece antes da derivada temporal na Lei de Faraday. Esse sinal, na verdade, serve para atender ao princípio da conservação de energia ou ao princípio da ação e reação. o sinal de menos diz que a fem induzida pela variação do fluxo vai aparecer para se contrapor à variação do fluxo. Ele, portanto, tem um sentido de gerar um fenômeno de reação à variação temporal do fluxo magnético. Resumindo</p><p>Se o fluxo aumentar com o tempo, a fem induzida aparecerá para tentar diminuir o aumento do fluxo. De forma contrária, se o fluxo magnético diminuir com o tempo, a fem induzida vai aparecer na tentativa de aumentar o fluxo. Tal fato (a fem induzida como um fenômeno de reação) também foi estudado por Heinrich Friedrich Lenz, ficando conhecido como Lei de Lenz. Essa lei será importante para sabermos definir com precisão o sentido da fem induzida. Uma forma prática de se trabalhar com a Lei de Faraday é obter o módulo da fem por meio de: d fem dt S E analisar seu sentido a partir da Lei de Lenz. Comentário Vamos ver alguns exemplos baseados na Lei de Lenz. o primeiro é de fem de transformação; o segundo, de fem de movimento. Exemplo 1 Uma espira retangular é atravessada perpendicularmente por um campo magnético no sentido de fora para dentro. Determine o sentido da fem induzida nos terminais da espira pela variação do campo magnético (considere que a espira condutora permite o deslocamento de uma corrente ao ser induzida uma diferença de potencial). X H A</p><p>Espira percorrida por campo magnético. Solução Repare que nem a área, nem o ângulo entre o campo magnético e a normal da área vão variar com o tempo. A variação temporal do fluxo será originada pela variação do módulo do campo magnético. Se o campo magnético permanecer constante, não existirá variação de fluxo, não ocorrendo o surgimento de uma fem induzida na espira. Vamos supor que o campo magnético aumente de valor com o tempo; assim, teremos um aumento do fluxo magnético por meio da espira retangular. Pela Lei de Lenz, a fem induzida de transformação aparecerá para se contrapor ao aumento do fluxo. Repare que a forma que a fem tem para se contrapor ao fluxo é gerar uma corrente na espira que criará um novo campo magnético. Como se quer diminuir o fluxo magnético, já que ele está aumentando, o campo criado deve ser contrário ao campo existente, isto é, para fora do papel. Consequentemente, pela regra da mão direita, uma corrente deve ser induzida no sentido anti-horário. Para gerar uma corrente no sentido anti-horário, a fem induzida terá de ter o polo positivo em B e o polo negativo em A. CORRENTE E CAMPO MAGNÉTICO Fio Fio Direção Direção de corrente (I) (I) de corrente Magnético Direção de de B B Regra da mão direita Para relembrar a regra da mão direita, veja a imagem.</p><p>H I ind A B fem + Sentido da corrente em uma espira percorrida por campo magnético. Vamos supor agora que o campo magnético diminua de valor com o tempo. Com isso, teremos uma diminuição do fluxo magnético pela espira. Pela Lei de Lenz, a fem induzida aparecerá para se contrapor à diminuição do fluxo. A forma que a fem tem para se contrapor é criar uma corrente, a qual, por sua vez, criará um campo magnético no sentido do campo existente, aumentando, assim, o fluxo. A imagem a seguir apresenta a corrente e a fem induzidas: X Hind I ind A B + fem - Sentido da corrente em uma espira percorrida por campo magnético. Exemplo 2</p><p>Uma haste condutora se desloca sobre um circuito, que é atravessado por um campo magnético perpendicular com sentido para dentro. Determine o sentido da corrente induzida no A X H B Circuito magnético com a presença de uma haste móvel condutora. Solução o campo magnético é constante, e o ângulo entre o campo magnético e a área não varia com o tempo. Por isso, a variação temporal do fluxo será originada pela variação do tamanho da área, que é atravessada pelo campo magnético. Se a haste permanecer parada, a área será constante e não existirá variação de fluxo, não ocorrendo o surgimento de uma fem induzida. Se ela entrar em movimento, haverá a diminuição ou o aumento da área; assim, o fluxo magnético vai variar com o tempo, sendo induzida uma fem de movimento no circuito. Vamos supor que, por uma ação externa, a haste entre em movimento da direita para a esquerda. Nesse caso, a área atravessada pelo campo vai diminuir, diminuindo também o fluxo. Pela Lei de Lenz, a fem aparecerá para criar um campo magnético no sentido do campo existente para se contrapor à diminuição do fluxo. Desse modo, a corrente induzida terá sentido horário. Para isso será induzida um polo negativo em A e um polo positivo em B. A H ind X fem V + B</p><p>Sentido da corrente em um circuito magnético com a presença de uma haste móvel condutora. Se a haste se deslocar para a esquerda, a área aumentará, aumentando também o fluxo. Com isso, aparecerá uma fem para elaborar uma corrente que crie um campo magnético contrário ao campo existente. Haverá, assim, a indução, conforme aponta a imagem adiante. A + Hind fem V ind B Sentido da corrente em um circuito magnético com a presença de uma haste móvel condutora (campo no sentido inverso). Após a análise da Lei de Lenz, vamos aplicar agora a Lei de Faraday no cálculo quantitativo das fem e das correntes induzidas. Aplicação da Lei de Faraday No item anterior, usamos a Lei de Lenz para determinar o sentido da fem e da corrente induzida. Neste item, vamos empregar a Lei de Faraday para determinar os valores da indução. Exemplo 1 Uma haste condutora se desloca sobre um circuito. Considere que a resistência no circuito fechado pela haste condutora valha circuito é atravessado por um campo magnético perpendicular com sentido para fora e uma densidade de fluxo magnético B. Determine o valor da fem induzida, da corrente induzida e da força magnética sobre a haste quando ela está com uma velocidade para a direita.</p><p>A B L V B Circuito magnético atravessado por um campo densidade sob a presença de uma haste móvel condutora. Solução Precisamos inicialmente determinar o fluxo magnético por meio do circuito fechado pela haste: cos Ods campo é constante. o ângulo entre o campo e a normal da área, vale Assim: = A área S varia conforme a barra se desloca para a direita. Repare que o comprimento horizontal do circuito, que podemos chamar de varia com a velocidade. t S Então: Portanto: = BLv Pela Lei de Faraday, o módulo da fem induzida será dado por:</p><p>fem : dt d BLv sentido da fem pode ser visto pela Lei de Lenz, conforme mostramos anteriormente. Como a área está aumentando com o tempo, o fluxo também vai crescer, sendo induzida então uma diferença de potencial (ddp) para criar um campo magnético contrário ao campo magnético original. Assim o campo magnético induzido será para dentro, sendo a corrente induzida, pela regra da mão direita, no sentido horário, consequentemente o polo positivo da fem será no ponto B e polo negativo no ponto A. valor da corrente induzida será: BLv R R Repare agora que, com o aparecimento de uma corrente elétrica sobre a haste livre no sentido de A para B, aparecerá na haste uma força magnética: -> haste A corrente será perpendicular ao campo. Assim: IBdL IB = haste haste Observe que, pela regra da mão direita, essa força magnética será perpendicular à haste e com um sentido contrário ao movimento V. Desse modo, a força tenderá a parar o movimento da barra. Substituindo o valor da corrente induzida: BLv A força magnética depende da velocidade. Quando parar a barra, ela se anulará. Exemplo 2</p><p>Determine, no exemplo anterior, a expressão da velocidade e da fem induzida ao longo do tempo. Considere a haste com massa Solução A força resultante aplicada na haste será a força magnética. dv sinal de menos aparece porque a força magnética está freando a barra. Substituindo pelo valor obtido no exemplo anterior: dv - m- R dt dv dt dv = dt Rm Considerou-se que, em t=0, a haste apresentava uma velocidade In Rm Dessa maneira, haverá uma velocidade que decresce de forma exponencial: Rm Substituindo na equação da fem: fem R = BLvo = BLv Que também decai exponencialmente.</p><p>Mão na massa Questão 1 Uma barra condutora se desloca sobre dois trilhos condutores, fechando um circuito com uma resistência R. circuito é atravessado por um campo magnético perpendicular com sentido para dentro de valor B. Marque a alternativa que apresenta o que ocorrerá com a barra no momento após o campo magnético começar a aumentar de valor com o tempo. A X B L B Barra condutora se deslocando sobre dois trilhos condutores. A barra ficará parada, pois não aparecerá nenhuma A corrente induzida no circuito. A barra se desloca para a direita, pois aparecerá B uma corrente induzida no circuito no sentido de B para A. A barra se desloca para a esquerda, pois aparecerá C uma corrente induzida no circuito no sentido de B para A. A barra se desloca para a direita, pois aparecerá D uma corrente induzida no circuito no sentido de A para B.</p><p>E A barra se desloca para a esquerda, pois aparecerá uma corrente induzida no circuito no sentido de A para B. Parabéns! A alternativa C está correta. Ao aumentar o campo magnético, o fluxo magnético atravessando a área fechada aumenta. Com isso, aparecerá uma corrente induzida, que tenderá a diminuir o fluxo. Essa corrente terá sentido anti-horário, isto é, de B para A, gerando um campo contrário ao original. Ao aparecer essa corrente, na presença do campo magnético surgirá uma força magnética na barra. Como a corrente está de B para A e o campo para dentro, a força terá sentido da direita para a esquerda, fazendo a barra se deslocar para esquerda. 2 Uma bobina com N espiras é atravessada por um campo magnético H, que forma com o eixo normal da bobina no sentido para fora. A área de uma espira vale A. Determine o valor e o sentido da fem induzida nos polos da bobina, sabendo que o campo varia com o tempo na forma H Hot. A B Bobina com N espiras atravessada por um campo magnético. A = 2 com polo positivo em B e polo negativo em A. = com polo positivo em A e B 2 polo negativo em B.</p><p>fem = com polo positivo em A e polo C negativo em B. fem = com polo positivo em B e polo D negativo em A. fem 2 polo positivo com em B e E polo negativo em A. Parabéns! A alternativa B está correta. o campo magnético aumentará com o tempo. o fluxo também vai aumentar, aparecendo uma fem induzida para diminuir o fluxo. Desse modo, ela induzirá uma corrente, que vai gerar um campo contrário ao anterior, isto é, para dentro. Essa corrente, pela regra da mão direita, será no sentido horário, enquanto a fem induzida terá polo positivo em A e negativo em B. PMT = = cos = Questão 3 Uma espira retangular condutora gira ao redor de seu eixo com uma velocidade angular W. Na região, encontra-se um campo magnético perpendicular ao papel de sentido para fora. No instante inicial, a espira encontra-se conforme a figura a seguir. Determine a expressão da corrente induzida na espira, considerando como positivo o sentido anti-horário da corrente. A espira tem resistência R. a b B A B W</p><p>Espira retangular condutora girando ao redor de seu eixo. A = B abBw C I = R abBw D I = sen E Bw sen(wt) Parabéns! A alternativa D está correta. Uma vez que a espira gira em torno do seu eixo com uma velocidade angular w constante, ocorre a variação de um ângulo das extremidades da expira em relação ao seu eixo principal. Sendo esse ângulo, teremos o seguinte: Assim, = B = B = espira espira dt d M = dt d (abB cos(wt)) : -abBwsen(wt) A fem induzida será:</p><p>- A corrente induzida será dada por: R abBw R Questão 4 Um campo magnético atravessa perpendicularmente uma espira circula de área valor do campo na espira é igual em todos os pontos, porém o campo varia com o tempo, seguindo a equação B = sendo t medido em segundos, = Determine o valor da diferença de potencial induzida na espira para t 10s. Considere, caso seja necessário, A B C D E Parabéns! A alternativa B está correta. Considerando que o valor do campo magnético na espira é igual em todos os pontos e que o campo é perpendicular à área: fem = M = dt</p><p>Substituindo valores fem = - - Questão 5 Uma barra condutora se desloca sobre trilhos condutores, formando um circuito que apresenta uma resistência de o circuito é atravessado por um campo magnético com sentido para fora e densidade de fluxo magnético 1T, embora faça um ângulo de 30° com a normal da área. Uma força externa, em t = 0, desloca a barra para a direita com uma velocidade inicial de 10m/s. Determine a expressão da variação da velocidade da barra com o tempo, considerando a massa da barra igual a 1kg. A B 1 m B Barra condutora se desloca sobre trilhos condutores, formando um circuito. A B V= C D E</p><p>Parabéns! A alternativa C está correta. o campo é constante. Já o ângulo entre o campo e a normal da área, vale 30° : B cos S Mas: = Lvt Então: = BLvt Derivando: = dt dt 2 Pela Lei de Faraday: = BLv 2 = R R A corrente induzida provocará o aparecimento de uma força magnética para frear a barra: = IB = haste haste Substituindo o valor da corrente induzida: = 2 BL = = 2 = 2</p><p>A força resultante será dada pela força magnética: Substituindo: dv > 2 dt dv dt In t 2 Questão 6 Seja um fio reto infinito atravessado por uma corrente e uma espira retangular, estando ambos no ar, conforme a figura a seguir. A espira se desloca para a direita com uma velocidade constante V. Determine o valor da corrente induzida na espira sabendo que ela apresenta uma resistência R. Z Y 2a a V I A a/2 Fio retilíneo atravessado por uma corrente I. A</p><p>B I = R ( + 1 ) 2a) C TT ( + 1 D R ( - 1 E I = 2R ( + 1 Parabéns! A alternativa A está correta. Confira a resolução da questão no vídeo a seguir. Aplicação da lei de Faraday Para assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Teoria na prática Um campo magnético é utilizado para projetar um freio magnético, fazendo com que um objeto desça com uma velocidade constante quando largado na vertical. Considere o dispositivo da figura adiante. Um campo magnético atravessa o circuito fechado por uma haste livre, perpendicularmente, com sentido para dentro. circuito tem uma resistência R. o objeto, junto com a haste livre, apresenta um peso PT. Determine o módulo do campo magnético para que o objeto desça com uma velocidade constante Despreze a resistência do ar.</p><p>L A B R Projeção de um freio magnético. Mostrar solução Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1 Uma barra condutora se desloca sobre dois trilhos condutores, fechando um circuito com uma resistência R. circuito é atravessado por um campo magnético perpendicular com sentido para dentro e densidade de fluxo magnético B. D B L C Barra condutora que se desloca sobre dois trilhos. Marque a alternativa que apresenta o que ocorrerá com a barra no momento após o campo magnético começar a diminuir de valor</p><p>com o tempo. A barra fica parada, pois não aparecerá nenhuma A corrente induzida no circuito. A barra se desloca para a direita, pois aparecerá B uma corrente induzida no circuito no sentido de C para D. A barra se desloca para a esquerda, pois aparecerá C uma corrente induzida no circuito no sentido de C para D. A barra se desloca para a direita, pois aparecerá D uma corrente induzida no circuito no sentido de D para C. A barra se desloca para a esquerda, pois aparecerá E uma corrente induzida no circuito no sentido de D para C. Parabéns! A alternativa B está correta. Ao diminuir o campo magnético, o fluxo magnético que atravessa a área fechada diminuirá. Dessa forma, aparecerá uma corrente induzida que tenderá a aumentar o fluxo, isto é, gerar um campo magnético no mesmo sentido do existente. Por isso, essa corrente terá sentido anti-horário, ou seja, de C para D. Ao surgir essa corrente, na presença do campo magnético aparecerá uma força magnética na barra. Como a corrente está de C para D e o campo, para fora, a força terá sentido da esquerda para a direita, fazendo a barra se deslocar para a direita. Questão 2 Um campo magnético atravessa uma espira circular de área S medida em perpendicularmente em relação a ela. A espira localiza-se no ar. o valor do campo na espira é igual em todos os</p><p>pontos, porém o campo varia com o tempo seguindo a equação H = Hot2, sendo t medido em segundos. Determine o valor da diferença de potencial induzida na espira para A B C D E Parabéns! A alternativa E está correta. Considerando que o valor do campo magnético na espira é igual em todos os pontos e que o campo é perpendicular à área: A fem induzida, que será a ddp, é dada pela Lei de Faraday: fem d M = Substituindo valores para : fem -</p><p>2 - Equações de Maxwell - formulação diferencial e integral Ao final deste módulo, você será capaz de definir as quatro equações de Maxwell na sua forma diferencial e integral. Vamos começar! As equações de Maxwell Veja neste vídeo os principais pontos que serão abordados neste módulo. Para assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo. Introdução às equações de Maxwell</p><p>Toda a base do fenômeno eletromagnético é definida pelas leis fundamentais da eletricidade e do magnetismo. Essas leis formam um conjunto de equações denominado equações de Maxwell. físico e matemático escocês James Clerk Maxwell foi capaz, em sua época, de estabelecer conexões entre todas as teorias que estudavam os fenômenos elétricos e magnéticos. Desse modo, ele conseguiu unificar e resumir toda a teoria do eletromagnetismo em um conjunto de quatro equações. Essas equações descrevem o fenômeno eletromagnético, apresentando a interação e a interdependência entre os campos elétricos e os magnéticos. Elas mostram, por exemplo, que um campo elétrico variando no tempo produz um campo magnético e que um campo magnético variando no tempo produz um campo elétrico. As quatro equações de Maxwell são: A Lei de Gauss; A Lei de Gauss Elétrica; A Lei de Faraday; A Lei de Ampère. Graças às quatro equações, todo o eletromagnetismo clássico pode ser deduzido, assim como alguns fenômenos físicos podem ser previstos. Na verdade, se juntarmos às quatro equações de Maxwell, que serão estudadas em um próximo item, as relações constitutivas dos meios materiais e a equação da continuidade da corrente, poderemos deduzir todo o fenômeno relacionado ao eletromagnetismo clássico. Essas equações são denominadas equações fundamentais do eletromagnetismo. Tanto as relações constitutivas como a equação da continuidade da corrente já foram estudadas por você em itens anteriores do eletromagnetismo, mas vamos relembrá-las agora. As relações constitutivas são aquelas que relacionam os campos físicos e os vetores densidades por intermédio das propriedades do meio. Desse modo, temos o seguinte:</p><p>B = H Em que: é a permissividade elétrica do meio; é a permeabilidade magnética do meio; é a condutividade do meio; é a intensidade do campo elétrico; D é a densidade de fluxo elétrico; H é a intensidade de campo magnético; B é a densidade de fluxo magnético; J é a densidade de corrente elétrica. A equação da continuidade da corrente é aquela cuja carga elétrica não pode ser criada nem desaparecer. Ela existe e pode ser transportada, isto é, virar uma corrente elétrica, mas nunca é capaz de sofrer uma descontinuidade em sua existência. Dessa forma, para que, em um ponto, haja uma fonte de corrente elétrica, representada pelo divergente de J, é preciso haver um decréscimo (variação) da carga elétrica desse ponto: = ap It Em que p é a densidade de carga elétrica. A predição de maior importância que podemos obter graças às equações de Maxwell é a demonstração da existência da onda eletromagnética, que se propaga no vácuo com a velocidade da luz. A descoberta feita por Maxwell levou a diversas aplicações práticas, como sistemas de comunicações, rádio e TV, além de provar que a luz é uma onda eletromagnética. Maxwell não criou nenhuma dessas leis, mas conseguiu mostrar a conexão existente entre elas. Ressaltemos, porém, que ele também deu sua contribuição, já que verificou a existência de um desequilíbrio entre as leis e complementou a Lei de Ampère com a definição da corrente de deslocamento.</p><p>Saiba mais Alguns autores até chamam a Lei de Ampére complementada pela corrente de deslocamento de Lei Ampère-Maxwell ou Lei de Ampère Generalizada. No próximo item, estudaremos a corrente de deslocamento e a correção da Lei de Ampère. Posteriormente, apresentaremos as quatro equações de Maxwell tanto em sua forma diferencial quanto na forma integral. Corrente de deslocamento e a Lei de Ampère A Lei de Ampére definiu como um campo magnético era gerado através de uma corrente elétrica. Ela declarava que a circulação da intensidade do campo magnético ao longo de um percurso fechado é igual à corrente elétrica envolvida por esse percurso. Assim: Denominaremos essa corrente, que é o movimento de cargas elétricas, de corrente de condução. A Lei de Ampère não estava errada: ela apenas se preocupava com a hipótese de uma corrente elétrica se deslocar em um condutor de forma contínua, sem variação no tempo. Na verdade, ela apenas não estava completa. Desse modo, a complementação introduzida por Maxwell apenas fez com que a lei atendesse a todos os casos possíveis. Analisaremos um exemplo simples no carregamento de um capacitor que vai nos mostrar a necessidade dessa complementação. Exemplo Seja um circuito composto por uma fonte e um capacitor carregado por essa fonte. Conforme já é do nosso conhecimento, existirá uma corrente</p><p>no circuito variante no tempo que dependerá da capacitância e da tensão que alimenta o capacitor. Durante o carregamento, portanto, há uma corrente que se desloca pelo condutor, fazendo com que as cargas armazenadas nas placas do capacitor variem com o tempo. Isto é, enquanto vai adquirindo carga Q, uma induz na outra o aparecimento de uma carga - Q. No entanto, não existe corrente de condução entre as placas, isto é, no dielétrico. Em outras palavras, enquanto está sendo carregado o condutor, há uma corrente de condução antes do capacitor e depois, mas não dentro do capacitor. fato é que existe a criação de um campo magnético (ao redor do circuito) fora e dentro dele. Ao aparecer uma descontinuidade de corrente de condução, a Lei de Ampère, com a sua formulação original, não explica, portanto, o aparecimento desse campo magnético. Para se atender à continuidade da corrente elétrica, observou-se que aparentemente deveria existir uma espécie de corrente não condutora dentro do capacitor que permitiria a continuidade do fluxo de corrente. Para resolver essa incoerência, Maxwell definiu a chamada corrente de deslocamento. Essa espécie de corrente não está relacionada com a condução de carga, e sim com a variação do fluxo elétrico com o tempo. Resumindo Provocada pelo aumento de carga elétrica nas placas, a variação do fluxo elétrico dentro do capacitor também é uma fonte de campo magnético e garante a continuidade da corrente elétrica antes e depois do capacitor. Definiremos, portanto, a densidade de corrente de deslocamento, que também é medida em como: aD a It It Dessa forma, a Lei de Ampère foi complementada: Em que:</p><p>J é a densidade superficial de corrente de condução; é a densidade superficial de corrente de deslocamento. Assim: It Dessa forma, vemos que tanto a corrente elétrica de condução quanto a variação do fluxo elétrico serão fontes do campo magnético. Após termos apresentado a complementação da Lei de Ampère feita por Maxwell, analisaremos a seguir as quatro equações de Maxwell. As equações de Maxwell Lei de Gauss A primeira lei de Maxwell é a Lei de Gauss ou Lei de Gauss Elétrica. Em sua forma integral, essa lei é representada por: Em que: D é a densidade de fluxo elétrico; Q é a carga elétrica; a densidade volumétrica de carga. Se usarmos o teorema da divergência, sairemos da forma integral e encontraremos a forma diferencial da Lei de Gauss: = e Em que:</p><p>é a intensidade do campo elétrico; E é a permissividade elétrica do meio. A forma diferencial nos mostra que a divergência do campo elétrico existe nos pontos em que se encontram as cargas elétricas, sendo, portanto, a fonte do campo elétrico. Lei de Gauss Magnética A segunda lei de Maxwell relembrada é a Lei de Gauss Magnética. Em sua forma integral, essa lei é representada por: Em que B é a densidade de fluxo magnético. Se usarmos o teorema da divergência, sairemos da forma integral e encontraremos a forma diferencial da Lei de Gauss Magnética: Em que H é a intensidade do campo magnético. Em sua forma diferencial, podemos ver que a divergência do campo magnético em todos os pontos é nula, isto é, não existe o monopólio magnético. Lei de Faraday A Lei de Faraday ou Lei de Indução de Faraday é a próxima equação que faz parte das equações de Maxwell. Em sua forma integral, essa lei é representada por: Em que: B é a densidade de fluxo magnético; E é a intensidade do campo elétrico. Se usarmos o teorema de Stokes, sairemos da forma integral e encontraremos a forma diferencial da Lei de Faraday :</p><p>= It ou X It Em que é a permeabilidade magnética do meio. Lei de Ampère A última das leis que completa as equações de Maxwell é a Lei Circuital de Ampère. A Lei de Ampère foi complementada pela contribuição de Maxwell, que definiu a corrente de deslocamento. Em sua forma integral, essa lei é representada por: Em que: H é a intensidade do campo magnético; é a densidade superficial de corrente; D é a densidade de fluxo elétrico. Usando o teorema de Stokes, sairemos da forma integral e encontraremos a forma diferencial da Lei de Ampère: ou It Em que: E é a permissividade elétrica do meio; é a condutividade. Por fim, vamos relembrar as relações constitutivas dos meios materiais e a equação da continuidade da corrente.</p><p>Falta pouco para atingir seus objetivos. Vamos praticar alguns conceitos? Questão 1</p><p>Baseado na Lei de Ampère complementada por Maxwell, marque a alternativa que apresenta uma fonte de campo magnético diferente da corrente de condução. A Cargas elétricas em movimento. B Variação do fluxo magnético. C Variação do fluxo elétrico. D Variação da permeabilidade magnética. E Não existe outra fonte de campo magnético. Parabéns! A alternativa C está correta. A Lei de Ampère-Maxwell afirma que o campo magnético pode ser gerado pela corrente de condução e pela variação do fluxo elétrico. Questão 2 Maxwell criou o conceito de um tipo de corrente que não está relacionado à condução de cargas elétricas, e sim à variação temporal do fluxo elétrico. Aponte a alternativa que apresenta esse tipo de corrente. A Corrente de condução. B Corrente de convecção. C Corrente de deslocamento.</p><p>D Corrente de fluxo. E Corrente de Lorentz. Parabéns! A alternativa C está correta. Para resolver essa incoerência, Maxwell definiu a chamada corrente de deslocamento. Essa espécie de corrente não está relacionada com a condução de carga, e sim com a variação do fluxo elétrico como tempo. 3 - Condições de contorno Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar as condições de contorno para 0 campo eletromagnético. Vamos começar!</p><p>Condições de contorno para campo eletromagnético Apresentaremos os principais pontos abordados neste módulo. Para assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo. -0- Introdução às condições de contorno Componentes do campo eletromagnético, os campos elétrico e magnético já foram estudados. Conhecemos, assim, suas formulações quando eles estão dentro de um meio com determinadas características elétrica e magnética dadas pela permissividade elétrica e pela permeabilidade magnética Também já são de nosso conhecimento as relações constitutivas, que relacionam as densidades de fluxo aos campos dentro de determinado meio. o ponto que nos interessa agora é quando atravessamos dois meios com características diferentes. o que acontecerá, nesse caso, com o campo elétrico e o magnético? A questão a ser respondida é a seguinte: considere uma região de fronteira entre um meio 1 e um meio 2 com propriedades elétrica e magnética diferentes. Conhecendo o valor dos campos dentro da região 1 em um ponto bem próximo da fronteira, como obteremos os valores dos campos na região 2 em um ponto bem próximo da fronteira? Usaremos as condições de contorno (também chamadas de condições de fronteiras) para elucidar a questão. Tais condições vão determinar a relação entre os campos existentes em ambos os lados da fronteira (dois meios com características diferentes).</p><p>Estudaremos inicialmente as condições para o campo elétrico; depois, as condições de contorno do campo magnético. Condições de contorno para 0 campo elétrico Considere dois meios (denominados 1 e 2) com propriedades elétricas diferentes. meio 1 apresenta uma permissividade elétrica o meio 2, uma permissividade elétrica (E2). Meio 2 E2 Meio 1 E1 Fronteira entre dois meios com propriedades elétricas diferentes. Definiremos uma direção normal para a fronteira, representada pelo vetor e uma direção tangencial à fronteira, representada pelo vetor Representaremos também apenas uma direção tangencial, mas, na prática, haverá duas. A segunda direção tangencial terá a direção perpendicular ao papel Consideremos um ponto P localizado na fronteira entre os dois meios, porém ainda dentro da região 1. Nesse ponto, existe um campo elétrico dado por: Em que são respectivamente suas componentes normais e tangenciais à fronteira. Da mesma forma, existirá um vetor densidade de fluxo elétrico:</p><p>Em que são respectivamente suas componentes normais e tangenciais à fronteira. o campo elétrico e o vetor densidade de fluxo elétrico serão relacionados por meio da permissividade elétrica do meio 1. valor do campo elétrico no ponto P, localizado na fronteira, embora esteja dentro da região 2, será: E: Vamos começar nossa análise pela componente normal do campo elétrico. Traçaremos uma gaussiana cilíndrica com uma altura infinitesimal dL que tende a zero e com bases dS, uma em cada região, paralelas à fronteira de separação. Meio 2 E2 Meio 1 Dn2 E1 Dn1 Ps Gaussiana cilíndrica na região de fronteira. Considere que a superfície fronteiriça que separa os dois meios esteja carregada por uma densidade superficial de carga Ps. Usando a Lei de Gauss dentro desse cilindro, teremos: cilindro fluxo elétrico pelo cilindro pode ser dividido pelo fluxo através das duas bases mais o fluxo pela superfície lateral. Como o campo elétrico é normal, não haverá fluxo pela superfície lateral do cilindro. Além disso, nas bases do cilindro, a componente normal do campo e a área serão paralelas.</p><p>Assim: = Base S1 Lateral $ -Dn1 - + Dn2dS = Base S1 Base S2 + Dn2 dS Base S1 Base S2 Dessa forma, conhecendo poderemos obter Dn2 por: Repare que essa componente não será contínua e dependerá do valor da densidade de carga armazenada na superfície. Podemos obter por meio de por: Um cuidado deve ser tomado em relação à referência da normal. Você pode escolher a normal no sentido do meio 1 para o 2, conforme escolhemos, ou no sentido contrário. A equação obtida será sempre a diferença da componente do meio que chega à normal menos a componente do meio de onde parte a normal. Caso não haja carga na superfície, isto é, Ps = 0, teremos: Dn2 = Vamos agora obter a componente tangencial. Para isso, traçaremos um caminho retangular que envolve a fronteira, conforme aponta a figura a seguir. caminho terá lados paralelos à fronteira dL e lados normais à fronteira dh, todos infinitesimais.</p><p>Meio 2 E2 Meio E1 Circulação na região de fronteira. Usando a Lei de Faraday para o caso do campo estacionário: 0 A circulação será igual à integral em cada um dos quatro caminhos que compõem o caminho retangular, como podemos ver adiante: = - + = Observe que o campo elétrico tangencial será contínuo, tendo o mesmo valor, mesmo com a mudança do meio. Para a densidade de fluxo elétrico: Obtivemos, assim, a relação das componentes tangenciais usando a condição de campo estacionário. No entanto, tais relações se mantêm para campos que variam no tempo. Exemplo Dois meios são separados pelo plano XY. meio 1, , localizado para tem permissividade elétrica relativa igual a 2.0 . meio 2, localizado para tem permissividade elétrica relativa igual a 4. Não existe uma densidade superficial de carga entre os meios. Determine o valor do campo elétrico no ponto P(0, 0, 0) na região 2, sabendo que, nesse ponto, na região 1, existe um campo dado por = 2 - + medido em V/m.</p><p>Solução A superfície de separação é o plano XY. Desse modo, as componentes x e serão tangenciais à fronteira. Usando as condições de contorno: = : 2 E2y = Considera-se a normal no sentido do eixo z. o vetor normal está indo do meio 2 para o meio 1. Portanto Então: - D22 : Ps = 0 - 0 = 4 Assim: É interessante lembrar que, se um dos meios for condutor, o campo elétrico nesse meio será nulo. Modelando por meio de equações e considerando o meio 1 como condutor, obtém-se isto: Como o meio 1 é condutor, é provada, por meio das equações de contorno, a nulidade do campo: 0 Condições de contorno para 0 campo</p><p>magnético Imaginemos dois meios 1 e 2 com propriedades magnéticas diferentes, como demonstra a figura adiante. meio 1 apresenta uma permeabilidade magnética o meio 2, uma permeabilidade magnética Meio 2 Meio 1 M1 Fronteira entre dois meios com propriedades magnéticas diferentes. Consideremos um ponto P localizado na fronteira entre os dois meios, porém dentro da região 1. Nesse ponto, existe um campo magnético dado por: Em que são respectivamente suas componentes normais e tangenciais à fronteira. De forma semelhante, existirá um vetor densidade de fluxo magnético: Em que são respectivamente suas componentes normais e tangenciais à fronteira. campo magnético e a densidade de fluxo magnética serão relacionados pela permeabilidade magnética do meio 1. Precisamos calcular o valor do campo magnético no ponto P localizado na fronteira, porém dentro da região 2. Começaremos nossa análise pela componente normal do campo magnético. Vamos traçar uma gaussiana cilíndrica com uma altura infinitesimal que tende a zero e bases dS, uma em cada região, paralelas à fronteira de separação</p><p>Meio 2 Meio 1 Bn1 Gaussiana cilíndrica na região de fronteira. Usando a Lei de Gauss Magnética, teremos: cilindro o fluxo elétrico pelo cilindro pode ser dividido pelo fluxo por meio das duas bases mais o fluxo através da superfície Como o campo magnético é normal, não haverá fluxo pela superfície lateral do cilindro e a componente do campo será paralela à normal nas bases do cilindro: Base S1 Lateral = Base S1 Base S2 0 = Base S1 Base S2 Assim, conhecendo podemos obter por: Repare, portanto, que a componente normal da densidade de fluxo magnético é contínua. Vamos obter agora a componente tangencial. Para isso, traçaremos um caminho retangular que envolve a fronteira, como se verifica a figura a</p><p>seguir. caminho terá lados paralelos à fronteira dL e lados normais à fronteira dh, todos infinitesimais. Meio 2 Meio 1 M1 Circulação na região de fronteira. Considere que, na superfície de separação, exista uma densidade superficial de corrente elétrica perpendicular ao papel, cujo sentido é de fora para dentro. Usando a Lei de Ampère para o caso do campo estacionário: A circulação será igual à integral em cada um dos quatro caminhos que compõem o caminho retangular. Como os campos são tangenciais, o campo será perpendicular ao caminho normal à fronteira e paralelo ao caminho paralelo à fronteira: -> dL = + = Em que é a densidade superficial de corrente no sentido da regra da mão direita. Observe, portanto, que o campo magnético tangencial não é contínuo e que depende da corrente elétrica que existe na superfície de separação com direção da outra tangencial. Se não existir corrente na superfície: Bt2 Imagine, por exemplo, que a superfície de separação seja o plano XZ. Com isso, a normal terá direção de e as componentes e do campo</p><p>serão tangenciais. Se houver na superfície de separação uma densidade de corrente apenas no sentido de ela influenciará apenas o campo de direção Z, e não o campo na direção de 0 Obtivemos as condições de contorno para campo estacionário, porém essas relações se mantêm para campos que variam no tempo. Exemplo Dois meios são separados por uma superfície cilíndrica com eixo central no eixo Z e raio da base 2m. Dentro do cilindro, encontra-se o meio 1 com permeabilidade magnética relativa igual a 2. meio localizado fora do cilindro, tem permeabilidade magnética relativa igual a 4. Existe uma densidade de corrente na fronteira entre os meios na direção de Z positivo e com valor 6A/m. Determine o valor do campo magnético no ponto (em coordenadas cilíndricas) P 2 dentro da região 2, sabendo que, nesse ponto, na região 1, existe um campo dado por medido em A/m. Solução: A superfície de separação é o cilindro, e o ponto P se localiza na fronteira. Desse modo, a componente p será normal à superfície. Considerando a normal no sentido de = As componentes Z e serão tangenciais à superfície. Não há densidade de corrente na direção de : Se há densidade de corrente na direção de Z com sentido de Z positivo, usando a regra da mão direita: - 14 Então:</p><p>A/m Mão na massa Questão 1 Dois meios com características elétricas e magnéticas diferentes são separados por uma superfície fronteiriça. e são os campos elétricos e magnéticos no ponto P, que, mesmo localizado na fronteira, está dentro do meio 1. Já E2 e constituem os campos elétricos e magnéticos no mesmo ponto P, porém dentro do meio 2. Marque a alternativa correta em relação à dependência dos campos dos meios 1 e 2. o campo elétrico tangencial à superfície de A separação não é contínuo, isto é, o vetor densidade de fluxo magnético normal à B superfície de separação será sempre descontínuo, isto é, # o vetor densidade de fluxo elétrico tangencial à C superfície de separação nem sempre será isto é, # Dt1. o campo magnético normal à superfície de D separação será descontínuo se a permeabilidade magnética do meio 2 for igual à do meio 1.</p><p>o vetor densidade de fluxo elétrico normal à superfície de separação será descontínuo quando E não existir densidade de carga armazenada na superfície. Parabéns! A alternativa C está correta. Relembrando as condições de contorno, teremos: Dt2 > E2 E1 Dessa forma, o campo elétrico tangencial será sempre contínuo, porém a continuidade do vetor densidade de fluxo só ocorrerá quando a permissividade elétrica entre os dois meios for igual Também teremos Assim, quando não existir uma densidade de carga na superfície, o vetor densidade de fluxo elétrico normal será contínuo. Em relação ao campo magnético, e Hn2 = vetor densidade de fluxo magnético normal será sempre contínuo. Já o campo magnético normal só será contínuo quando os meios tiverem a mesma permeabilidade magnética. Questão 2 Dois meios são separados por uma superfície esférica centrada na origem de raio 4m. Dentro da esfera, encontra-se o meio 1 com permeabilidade magnética relativa igual a 1. o meio 2, localizado fora da esfera, tem permeabilidade magnética relativa igual a 2. Não existe uma densidade de corrente na fronteira entre os meios. Determine o valor do campo magnético no ponto (em coordenadas cartesianas) P(4, 0, 0) dentro da região 2, sabendo que, nesse ponto, na região 1, existe um campo dado - medido em A/m. A</p>