Geometria (MAT50)-Unidade 2

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<p>Geometria</p><p>Professora Manuela de Aviz Schulz</p><p>UNIDADE 2</p><p>Geometria Plana</p><p>TÓPICO 1 – Figuras Poligonais</p><p>TÓPICO 2 – Triângulos</p><p>TÓPICO 3 – Semelhança de Triângulos</p><p>TÓPICO 4 – Circunferência e Superfícies Esféricas</p><p>TÓPICO 5 – Área de figuras poligonais TÓPICO 6 – Áreas de Círculos e Setores</p><p>UNIDADE 2</p><p>Geometria Plana</p><p>TÓPICO 1 – Figuras Poligonais</p><p>Se o segmento que une dois pontos quaisquer da região interior de um polígono estiver contido nessa região, dizemos que o polígono é convexo.	Se existirem dois pontos no interior de um polígono tal que o segmento determinado por eles não esteja contido na região, dizemos que o polígono é côncavo ou não convexo.</p><p>Polígono</p><p>Uma linha poligonal fechada simples é chamada polígono. Podemos definir polígono como uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados, de modo que cada lado tem interseção com somente outros dois lados próximos.</p><p>Elementos de um Polígono</p><p>Polígono</p><p>Um polígono é regular quando seus ângulos e lados são congruentes.</p><p>Os polígonos são classificados de acordo com a quantidade de lados e recebe nomes especiais.</p><p>O número de diagonal de um polígono é calculado pela fórmula:</p><p>A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é calculada:</p><p>A medida do ângulo interno de um polígono regular pode ser calculada pela</p><p>fórmula:</p><p>A medida do ângulo externo de um polígono regular pode ser calculada pela</p><p>fórmula:</p><p>UNIDADE 2</p><p>Geometria Plana</p><p>TÓPICO 2 – Triângulos</p><p>Triângulo</p><p>Classificação dos Triângulos</p><p>Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos de</p><p>acordo com a congruência.</p><p>LADOS:</p><p>Triângulo Isósceles	Triângulo Equilátero	Triângulo Escaleno</p><p>São triângulos que possuem dois lados congruentes.	São triângulos que possuem os três lados congruentes.	São	triângulos	que	não possuem lados congruentes.</p><p>Triângulo</p><p>Classificação dos Triângulos</p><p>Ângulos:</p><p>Triângulo Acutângulo	Triângulo Obtusângulo	Triângulo Retângulo</p><p>São triângulos que possuem os três ângulos internos agudos, ou seja, menores 90º.</p><p>O ∆ABC ao lado é acutângulo,</p><p>pois m(𝐴መ) < 90º, m (𝐵෠ ) < 90º e m(𝐶መ) < 90º.	São triângulos que possuem um ângulo interno obtuso, ou seja, maior que 90º.</p><p>O ∆ABC ao lado é</p><p>obtusângulo, pois m(𝐵෠ ) > 90º	São triângulos que possuem um ângulo interno reto, ou seja, igual a 90º.</p><p>O ∆ABC ao lado é retângulo,</p><p>pois m(𝐵෠ ) = 90º.</p><p>Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos. Nesse triângulo, os catetos são 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 e a hipotenusa é 𝐴𝐶.</p><p>Propriedades dos triângulos</p><p>A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos, ou seja, 180º.	A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes.</p><p>Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes.</p><p>x é igual a 136⁰. Pois, é maior que o ângulo A e</p><p>maior que o Ângulo B.</p><p>Congruência e Semelhança</p><p>A congruência ocorre entre duas figuras quando os lados e ângulos da primeira estão em correspondência com os lados e ângulos da segunda, de tal forma que os lados em correspondência têm a mesma medida, assim como os ângulos.</p><p>A semelhança entre duas figuras ocorre quando os lados correspondentes têm</p><p>medidas proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.</p><p>Congruência entre Triângulos</p><p>Casos de congruência de triângulos</p><p>1º CASO: Lado-Ângulo-Lado (LAL): Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes.</p><p>2º CASO: Ângulo-Lado-Ângulo (ALA): Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.</p><p>3º CASO: Lado-Lado-Lado (LLL): Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes.</p><p>4º CASO: Lado-Ângulo-Ângulo oposto (LAAo ): Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.</p><p>5º CASO: Congruência de triângulos retângulos: Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.</p><p>6º CASO: Congruência nos triângulos isósceles: Se um triângulo é isósceles, os</p><p>ângulos da base são congruentes.</p><p>Atividade</p><p>Encontre o perímetro do triângulo ABC em cada um dos seguintes casos:</p><p>a) Um triângulo equilátero ABC com AB = x + 2y; AC = 2x – y e BC = x + y + 3.</p><p>AB = AC = BC</p><p>x + 2y = 2x - y = x + y + 3 Vamos calcular: AB e BC x + 2y = x + y + 3</p><p>x - x + 2y - y = 3</p><p>y = 3</p><p>Como sabemos o valor de y, basta substituir e descobrir o valor de x.</p><p>Vamos calcular: AB e AC x + 2 . 3 = 2x - 3</p><p>x + 6 = 2x - 3</p><p>6 + 3 = 2x - x</p><p>9 = x</p><p>Agora substitui o valor de um dos lados para descobrir o valor do lado, visto que todos os lados são iguais.</p><p>BC = x + y + 3 BC = 9 + 3 + 3</p><p>BC = 15</p><p>Logo, todos os lados serão 15 e para descobrir o perímetro basta somar:</p><p>15 + 15 + 15 = 45.</p><p>b) Um triângulo isósceles ABC de base BC, com AB = 2x + 3; AC = 3x – 3 e BC = x + 3.</p><p>Base BC, então pode-se igualar os outros dois</p><p>lados:</p><p>2x + 3 = 3x - 3</p><p>3 + 3 = 3x - 2x</p><p>6 = x</p><p>Agora, substitui os valores para descobrir os lados:</p><p>AB = 2x + 3 AB = 2 . 6 + 3</p><p>AB = 12 + 3</p><p>AB = 15</p><p>Então, AC é igual a AB, logo também é 15. BC será:</p><p>BC = X + 3</p><p>BC = 6 + 3</p><p>BC = 9</p><p>Agora basta somar os 3 lados:</p><p>15 + 15 + 9 = 39</p><p>UNIDADE 2</p><p>Geometria Plana</p><p>TÓPICO 3 – Semelhança de Triângulos</p><p>Atividade</p><p>Analise as sentenças e classifique V para as verdadeiras e F para as falsas. ( ) Todo polígono tem mais de três lados.</p><p>Falso! O Triângulo não tem mais de três lados. ( ) Um triângulo retângulo pode ser isósceles. ( ) Todo triangulo equilátero é isósceles.</p><p>( ) Um triângulo equilátero pode ser retângulo. ( ) Um triângulo escaleno pode ser isósceles.</p><p>Falso! Triângulo escaleno possuem todos os lados diferentes, isósceles possuem dois</p><p>lados iguais e um diferente.</p><p>Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:</p><p>(x) F – V – V – V – F. ( ) V – V – F – V – V. ( ) F – F – V – F – V. ( ) V – V – V – F – F.</p><p>UNIDADE 2</p><p>Geometria Plana</p><p>TÓPICO 4 – Circunferência e Superfícies Esféricas</p><p>Circunferência</p><p>É um conjunto de pontos do plano equidistantes de um ponto fixo desse</p><p>plano. O ponto fixo é chamado centro da circunferência.</p><p>Raio: é um segmento cujos extremos são o centro e um ponto qualquer</p><p>da circunferência.</p><p>Corda:	é	um	segmento	que	tem	seus	extremos	pertencentes	à</p><p>circunferência.</p><p>Diâmetro: é uma corda que passa pelo centro da circunferência.</p><p>Círculo: é a reunião de uma circunferência com a sua região interior. Segmento circular:	é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo.</p><p>Setor circular: é a região limitada por dois raios e um arco do círculo.</p><p>setor</p><p>UNIDADE 2</p><p>Geometria Plana</p><p>TÓPICO 5 – Área de figuras poligonais</p><p>Quadrilátero:</p><p>Trapézios, paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados.</p><p>As propriedades dos quadriláteros.</p><p>Retângulo: lados opostos iguais, quatro ângulos retos, duas diagonais iguais e</p><p>dois eixos de simetria.</p><p>Losango: quatro lados iguais, ângulos opostos iguais, diagonais perpendiculares e dois eixos de simetria.</p><p>Quadrado: quatro lados iguais, quatro ângulos retos, diagonais perpendiculares</p><p>e quatro eixos de simetria.</p><p>Paralelogramo: lados opostos iguais, ângulos opostos iguais e não tem eixos de</p><p>simetria.</p><p>Trapézio Isósceles: dois lados iguais, um eixo de simetria.</p><p>Trapézio Retangular: um ângulo reto e não tem eixos de simetria.</p><p>Trapézio Escaleno: quatro lados diferentes e não tem eixos de simetria.</p><p>Outras formas:</p><p>Pentágonos - São polígonos com cinco lados e cinco ângulos.</p><p>Hexágonos - São polígonos de seis lados e seis ângulos. Heptágonos - São polígonos de sete lados e sete ângulos. Octógonos - São polígonos de oito lados</p><p>e oito ângulos.</p><p>Cálculos de área:</p><p>Área do retângulo: b.h</p><p>Área do quadrado: 𝑙 . 𝑙 = 𝑙2</p><p>Área do triângulo:</p><p>𝑏.ℎ</p><p>2</p><p>Área do losango:</p><p>𝐷.𝑑</p><p>2</p><p>Área do trapézio:</p><p>(𝐵+𝑏).ℎ</p><p>2</p><p>𝑙.𝑎</p><p>2</p><p>Área de um polígono regular: n	onde n = número de lados do polígono.</p><p>UNIDADE 2</p><p>Geometria Plana</p><p>TÓPICO 6 – Áreas de Círculos e Setores</p><p>Área do círculo:</p><p>Área do círculo é: 𝐴 = 𝜋𝑅2</p><p>Área do setor circular: Ac =</p><p>𝖺.𝑅2</p><p>=</p><p>2	360</p><p>𝜋𝑅2𝖺</p><p>=</p><p>𝑙𝑅</p><p>2</p><p>Área do segmento circular: 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟𝐴𝑂𝐵</p><p>−	𝐴∆𝐴𝑂𝐵</p><p>Área da coroa circular: 𝜋(𝑅2	−	𝑟2)</p><p>image2.png</p><p>image1.png</p><p>image3.jpg</p><p>image4.jpg</p><p>image29.emf</p><p>image5.jpg</p><p>image31.emf</p><p>image6.jpg</p><p>image7.jpg</p><p>image8.jpg</p><p>image9.jpg</p><p>image36.emf</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image39.emf</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image45.emf</p><p>image17.png</p><p>image18.png</p><p>image19.png</p><p>image49.emf</p><p>image20.png</p><p>image21.png</p><p>image52.emf</p><p>image22.png</p><p>image54.emf</p><p>image23.png</p><p>image56.emf</p><p>image24.jpg</p><p>image25.jpg</p><p>image26.jpg</p><p>image60.emf</p><p>image27.png</p><p>image28.png</p><p>image29.png</p><p>image64.emf</p><p>image30.png</p><p>image31.png</p><p>image32.png</p><p>image33.png</p><p>image34.png</p><p>image35.png</p><p>image36.jpg</p><p>image37.jpg</p><p>image38.jpg</p><p>image74.emf</p><p>image39.jpg</p><p>image40.jpg</p><p>image41.jpg</p><p>image78.emf</p><p>image42.jpg</p><p>image80.emf</p><p>image81.emf</p><p>image82.emf</p><p>image83.emf</p><p>image43.png</p><p>image44.png</p><p>image45.png</p><p>image46.png</p><p>image47.png</p><p>image89.emf</p><p>image48.png</p><p>image49.png</p><p>image50.png</p><p>image51.png</p><p>image52.png</p><p>image95.emf</p><p>image53.png</p><p>image54.png</p><p>image55.png</p><p>image56.png</p><p>image57.png</p><p>image101.emf</p><p>image58.png</p><p>image59.png</p><p>image104.emf</p><p>image105.emf</p><p>image106.emf</p><p>image107.emf</p><p>image108.emf</p>