Lista de Exercícios - 01

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<p>Universidade Federal de Mato Grosso</p><p>Instituto de Ciências Exatas e da Terra</p><p>Departamento de Matemática</p><p>Estat́ıstica 17/05/2024</p><p>Cálculo III</p><p>Unidade I Atividade I</p><p>(1) Se f está definida por f(x, y) = 3x+ 2y para todos os valores de x e y, encontre:</p><p>(a) f(1, 2)</p><p>(b) f(sen t, cos t)</p><p>(2) Se g(x, y, z) =</p><p>xy</p><p>x2 + y2 − z</p><p>para todos os valores de x, y e z exceto aqueles que anulam o</p><p>denominador, enconte:</p><p>(a) g(2, 3, 7)</p><p>(b) g(sen t, cos t, 0)</p><p>(3) Se f(x, y) =</p><p>x2 + 3xy + 3y2</p><p>x+ y</p><p>. Mostrar que:</p><p>f(2a, 2b) = 2f(a, b).</p><p>(4) Seja f(x, y) = 75xAy1−A, em que a < A < 1. Mostrar que:</p><p>f(2a, 2b) = 2f(a, b).</p><p>(5) Determine o domı́nio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo</p><p>e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em R</p><p>2, o conjunto de pontos</p><p>do domı́nio de f :</p><p>(a) f(x, y) =</p><p>1</p><p>x− y</p><p>+</p><p>√</p><p>x− y − 3</p><p>√</p><p>x− y; (b) f(x, y) = ln(x2 + y);</p><p>(c) f(x, y) = e(x</p><p>3 − y)−1/2</p><p>; (d) f(x, y) =</p><p>√</p><p>4− x2 − y2</p><p>y .</p><p>(6) Esboçar o gráfico das seguintes funções (no primeiro octante).</p><p>(a) z = 7− 3x− 2y; (b) z = 4− x2;</p><p>(c) z = 9− y2; (d) z = 1− x2 − y.</p><p>(7) Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superf́ıcies dadas:</p><p>(a) interior ao paraboloide: 2z = x2 + y2 e limitado superiormente por x2 + y2 + z2 = 3.</p><p>(b) limitado superiormente por: x2 + y2 + z2 = 9 e inferiormente por z2 = x2 + y2.</p><p>(8) Faça um esboço do sólido determinado pelas superf́ıcies: z = 0; z = 2 − x − y sendo</p><p>y ≤ 1− x2, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0.</p><p>(9) Faça um esboço do sólido determinado pelas superf́ıcies: z =</p><p>√</p><p>4− x2 − y2; x2 + y2 = 3.</p><p>Considere o sólido interior a superf́ıcie ciĺındrica e z ≥ 0.</p><p>(10) Faça um esboço do sólido, no 1o octante, limitado inferiormente pelo paraboloide z =</p><p>x2 + y2 e superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 4.</p>