Terceira_Lista_Analise_Sinais_Sistemas_2012_2

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UFCG – Universidade Federal de Campina Grande
CEEI – Centro de Engenharia Ele´trica e Informa´tica
DEE – Departamento de Engenharia Ele´trica
Disciplina: Ana´lise de Sinais e Sistemas
Professor: Wamberto Jose´ Lira de Queiroz
3
a Lista de Exerc´ıcios: Semestre 2012.2
1. Considere o sinal x[n] ilustrado na Figura 1. Este sinal e´ perio´dico com per´ıodo N = 4. Sendo
assim, este sinal pode ser escrito em termos de sua se´rie de Fourier em tempo discreto, i.e.,
x[n] =
3∑
k=0
ake
jk(2pi/4)n.
2
1
0 4 12−4−8 n
x[n]
8
−1
Figura 1: Sinal discreto e perio´dico N = 4.
Uma forma para determinar os coeficientes da se´rie de Fourier e´ construir, a partir da equac¸a˜o
anterior, um sistema linear com quatro equac¸o˜es (para n = 0, 1, 2, 3) e quatro varia´veis (a0, a1,
a2 e a3).
(a) Resolva o sistema de equac¸o˜es para obter os coeficientes a0, a1, a2 e a3;
(b) Verifique sua resposta calculando os coeficientes ak a partir da equac¸a˜o de ana´lise da se´rie
de Fourier, dada por
ak =
1
4
3∑
n=0
x[n]e−jk(2pi/4)n.
2. Determine a transformada de Fourier do sinal x[n] =
(
1
2
)n
u[n], em que u[n] representa o degrau
unita´rio. Esboce o gra´fico da transformada.
3. Calcule a transformada de Fourier do sinal δ[n − n0]. Esboce os gra´ficos de mo´dulo e fase da
transformada.
4. Demonstre a seguinte propriedade da transformada de Fourier em tempo discreto.
nx[n]↔ j
dX(ω)
dω
5. Um sistema linear invariante no tempo tem resposta ao impulso dada por
h[n] =
(
1
2
)n
u[n].
1
Determine a resposta deste sistema quando o sinal de entrada e´ dado por
x[n] =
(
1
3
)n
u[n].
6. Dado x[n] = (1, 2, 0, 1) e h[n] = (1, 1, 0, −1), determine y[n] = x[n] ∗ h[n], i.e.,
y[n] =
∞∑
k=−∞
x[k]h[n − k].
7. Resolva o ı´tem anterior usando o Teorema da Convoluc¸a˜o.
8. Dado o sinal x[n] ilustrado na Figura 2. Esboce os gra´ficos dos seguintes sinais: x[n−6], x[n+6],
x[n/2], x[2n], x[n/2− 6], x[2n + 6], x[n]/2 e 2x[n].
0 12 n6
x[n]
1
2
3
4
5
6
Figura 2: Sinal discreto.
9. Um tipo de sinal bastante u´til na ana´lise de sistemas e´ a exponencial complexa. A partir deste
sinal, pode-se definir a se´rie bem como a transformada de Fourier. Nesse contexto, apresente e
discuta duas diferenc¸as entre a exponencial complexa em tempo cont´ınuo (ejω0t) e a exponencial
complexa em tempo discreto (ejω0n).
10. Calcule a transformada de Fourier do sinal δ[n + n0]. Esboce os gra´ficos de mo´dulo e fase da
transformada.
11. Demonstre a seguinte propriedade da transformada de Fourier em tempo discreto.
e−jω0nx[n]↔ X(ω − ω0)
12. Um sistema linear invariante no tempo tem resposta ao impulso dada por
h[n] =
(
1
2
)n
u[n].
Determine a resposta deste sistema quando o sinal de entrada e´ dado por
x[n] = δ[n].
13. Um sistema linear invariante no tempo com resposta ao impulso h[n] = 2δ[n−1]. A sua resposta
a` entrada u[n− 1] e´
(a) 2u[n] (b) u[n− 2] (c) u[n]− 2δ[n − 1] (d) n.d.a.
14. Os primeiros quatro pontos de x[n] (nos instantes n =0, 1, 2 e 3) obtidos a partir da amostragem
do sinal x(t) = e−jpit a` taxa de 1 amostra/segundo sa˜o:
2
(a) {1, -1, 1, -1} (b) {1, 0, 1, 0} (c) {0, pi, 2pi, 3pi} (d) n.d.a.
15. Se x[n] = 2nu[n], h[n] = δ[n] + δ[n − 1] e y[n] = x[n] ∗ h[n]. Enta˜o y[2] e´ igual a
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) n.d.a.
16. A DTFT de x[n] = 2nu[n] e´
(a) e−j2n (b) δ(2ω) (c) 1/(1 − e−j2n) (d) n.d.a.
17. A DTFT de quatro pontos da sequeˆncia x[n] = {1,0,-1,0} e´
(a) {0, 2, 0, 2} (b) {4, 0, 4, 0} (c) {4, 0, 0, 0} (d) n.d.a.
18. A equac¸a˜o de diferenc¸a de um sistema e´ y[n] = x[n]− y[n− 2]. A resposta em frequeˆncia desse
sistema e´
(a) 1/(1 + e−2jω) (b) 1− e−j2ω (c) 1 + e−2jω (d) n.d.a.
19. A DTFT de (0, 1)nu[n] e´
(a) (1/10)e−jωn/10 (b) 1/(1 − 10e−jωn) (c) 1/(1 − 0, 1e−jω) (d) n.d.a.
20. Dado o sinal x[n] =
(
1
2
)n
para 0 ≤ n ≤ 15, calcule
∑15
k=0X(k), em que X(k) sa˜o os coeficientes
da Transformada Discreta de Fourier de 16 pontos do sinal x[n].
21. Elabore uma pequena dissertac¸a˜o contemplando os treˆs to´picos a seguir.
• Transformada de Fourier em Tempo Cont´ınuo ;
• Transformada de Fourier em Tempo Discreto (DTFT – Discrete-Time Fourier Transform);
• Transformada Discreta de Fourier (DFT – Discrete Fourier Transform).
22. Se a transformada de Laplace de uma func¸a˜o f(t) e´ dada por
F (s) =
s+ 3
s2 − 3s + 2
,
determine a func¸a˜o f(t).
23. Se a transformada de Laplace de uma func¸a˜o f(t) e´ dada por
F (s) =
(s− 2)
s2 + 2s + 2
,
determine a func¸a˜o f(t).
24. Resolva o seguinte problema de valor inicial
y′′ + 2y′ + 5y = 4e−t cos(2t), y(0) = 1, y′(0) = 0.
25. Determine a transformada de Laplace dos seguintes sinais
(a) x(t) = e−2tu(t) + e−tu(t) + etu(−t)
(b) x(t) = e2t cos(2t)u(−t) + e−tu(t) + etu(t)
(c) x(t) =
∫ t
−∞ e
2τ sen(τ)u(−τ)dτ
3
26. Calcule a transformada de Laplace bilateral da func¸a˜o
x(t) = e−b|t|
para b < 0 e b > 0.
27. Use a propriedade da diferenciac¸a˜o no domı´nio da frequeˆncia e calcule a transformada inversa
de
F (s) =
1
(s+ a)n
28. Calcule a transformada inversa das func¸o˜es
F (s) =
2s2 + 5s+ 5
(s + 1)2(s+ 2)
, ℜs > −1 e F (s) =
s2 + 2s + 3
(s+ 1)3
29. Dada a func¸a˜o de transfereˆncia de um sistema de segunda ordem
H(s) =
ω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
,
verifique que a resposta ao impulso h(t) pode ser escrita na forma
h(t) = M
(
ec1t − ec2t
)
u(t)
em fornec¸a os paraˆmetros M , c1 e c2.
30. Um circuito RLC em se´rie e´ caracterizado pela equac¸a˜o diferencial linear de segunda ordem
LC
d2y(t)
dt2
+RC
dy(t)
dt
+ y(t) = x(t).
Obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia desse circuito e analise os paraˆmetros para que a resposta ao
impulso h(t) convirja quando t tende ao infinito. Aplique um sinal senoidal x(t) = Acos(ωot) a`
entrada do circuito e obtenha a sa´ıda y(t).
31. Se g(t) e´ um sinal perio´dico com per´ıodo T , calcule sua transformada de Laplace.
32. Use o resultado da questa˜o anterior e calcule a transformada do sinal
g(t) =
{
sen(ωot) se 0 ≤ t <
pi
ωo
0 se piωo ≤ t <
2pi
ωo
33. Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais lineares para as condic¸o˜es iniciais fornecidas
(a) y′′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
(b) y′′ + y − 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 3
(c) y′′ − 2y′ − 3y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 7
(d) y′′ + 2y′ − 8y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 8
34. Seja g(t) = x(t) + αx(−t) e x(t) = βe−tu(t). Se a transformada de Laplace de g(t) e´ dada por
G(s) =
s
s2 − 1
− 1 < ℜ{s} < 1
determine os valores de α e β.
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