Aula_03U1_-_Matemtica_I_2023 1

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<p>Governo do Estado do Rio Grande do Norte</p><p>Secretaria de Estado da Educação e da Cultura – SEEC</p><p>Universidade do Estado do Rio Grande do Norte – UERN</p><p>Campus Avançado de Patu – DME</p><p>Curso: Licenciatura em Matemática</p><p>MATEMÁTICA I - 2023.1</p><p>Prof. Me Antônio Josimário S. de Oliveira</p><p>josimariooliveira@uern.br</p><p>http://www.uern.br/professor/josimariooliveira</p><p>Uma sequência de números reais é uma função f: N → R que</p><p>associa a cada número natural n, um número real f(n). Em</p><p>geral, denotamos f(n) por an e o denominamos de termo geral</p><p>da sequência.</p><p>Notação usual: (an) = (a1 , a2 , ... , an ).</p><p>O índice n indica a posição do elemento na sequência. Desse</p><p>modo, o primeiro termo é indicado por a1 , o segundo é</p><p>indicado por a2 e assim por diante.</p><p>Exemplos:</p><p>a) ( 1,</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p>1</p><p>3</p><p>,</p><p>1</p><p>4</p><p>, ... ); an =</p><p>1</p><p>n</p><p>b) ( 1, -1, 1, -1, ... ); an =(−1)n</p><p>c) ( 5, 8, 11, 14, ...) ; an = 3n + 2</p><p>d) Sequência de Fibonacci:</p><p>(1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .)</p><p>SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES</p><p>Observação: Uma sequência finita(ou lista) de n termos é uma</p><p>função cujo domínio é o conjunto In= {1, 2, 3, 4, ..., n}.</p><p>Exemplo: ( 1, 3 , 5 , 7).</p><p>Progressões aritméticas: Uma progressão aritmética (P.A.) é</p><p>uma sequência a1 , a2 , ... , an onde cada termo, a partir do</p><p>segundo, é a soma do termo anterior mais uma constante r,</p><p>chamada a razão da progressão.</p><p>Exemplo: As sequências (5, 8, 11, ...) e (7, 5 , 3, 1, ...) são</p><p>progressões aritméticas cujas razões valem 3 e -2,</p><p>respectivamente.</p><p>De forma geral, se a sequência (a1 , a2 , ... , an ) é uma P.A.,</p><p>teremos: a2 = a1 + r , a3 = a2 + r , ... , an+1 = an + r , ou de</p><p>forma equivalente: a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an+1 - an = r.</p><p>Observação: A razão de uma progressão aritmética pode ser</p><p>um número positivo, negativo ou igual a zero. No primeiro</p><p>caso, a sequência é crescente (an > an−1, ∀n ∈ N). Quando a</p><p>razão é negativa, a progressão aritmética é uma sequência</p><p>decrescente(an<an−1 ,∀n ∈N).Uma progressão aritmética de</p><p>razão nula é constante: (a1 , a1 , ... , a1).</p><p>A fórmula para o termo geral de uma P.A.: Em uma P.A. (a1</p><p>, a2 , ... , an , ... ) de razão r, partindo do 1º termo, para avançar</p><p>um termo basta somar a razão ao 1° termo; para avançar dois</p><p>termos basta somar duas vezes a razão ao 1° termo, e assim por</p><p>diante. Desse modo, para encontrarmos o termo de ordem n,</p><p>denominado termo geral da PA, fazemos:</p><p>an = a1 +(n - 1).r, ou seja, ao passar de a1 para an ,</p><p>avançamos (n - 1) termos.</p><p>Exemplo: Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale</p><p>30 e o vigésimo termo vale 50. Quanto vale o oitavo termo</p><p>dessa progressão?</p><p>Solução: Temos que a20 = a5 +15r . Daí, 50 = 30 + 15r ⇒ r =</p><p>20</p><p>15</p><p>=</p><p>4</p><p>3</p><p>. Logo, a8 = a5 +3r = 30 +3 .</p><p>4</p><p>3</p><p>= 34.</p><p>Observação: Uma P.A pode ser vista</p><p>geometricamente como uma sequência</p><p>de pontos a1 , a2 , ... , an, …</p><p>igualmente espaçados numa reta.</p><p>Problema: Em uma reunião, todos os participantes se</p><p>cumprimentam com um aperto de mãos. Se na reunião tem 10</p><p>pessoas, quantos apertos de mãos teremos ao todo? E se forem</p><p>n pessoas?</p><p>Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A.: A</p><p>soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (a1 , a2 ,</p><p>a3 , ... ) é Sn=</p><p>a1+an .n</p><p>2</p><p>.</p><p>Prova:</p><p>Temos que: Sn = a1 + a2 + ... + an −1 + an ou Sn = an +</p><p>an −1 + ... + a2 + a1 (escrevendo a soma de trás para frente).</p><p>Daí, 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an −1) + (a3 + an −2) + ...+</p><p>(an −1 + a2) + (an + a1). Observe que (a1 + an) =(a2 +</p><p>an −1) = (a3 + an −2) = ...= (an −1 + a2) = (an + a1).Assim,</p><p>2Sn = n.(a1 + an) ⇒ Sn=</p><p>a1+an .n</p><p>2</p><p>.</p><p>Exemplo: Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da</p><p>progressão aritmética (2, 6, 10, ...)?</p><p>Solução: Temos que a20 = a1 + 19r = 2 + 19.4 = 78. Logo,</p><p>S20=</p><p>2+78 .20</p><p>2</p><p>=</p><p>80.20</p><p>2</p><p>= 800.</p><p>Observação: Uma progressão aritmética de segunda ordem é</p><p>uma sequência na qual as diferenças sucessivas a2 - a1 = a3 -</p><p>a2 = ... = an+1 - an formam uma progressão aritmética não</p><p>constante.</p><p>Exemplo: A sequência (1, 4, 9, 16, 25,...) é uma progressão</p><p>aritmética de segunda ordem porque a sequência das</p><p>diferenças entre cada termo e o termo anterior, (3, 5, 7, 9, . . . ),</p><p>é uma progressão aritmética não constante.</p><p>Exercícios propostos</p><p>1. Qual é a razão da P.A que se obtém inserindo 10 termos</p><p>entre os números 3 e 25?</p><p>2. Determine, no quadro abaixo, o número que ocupa, na</p><p>centésima linha, a centésima posição, da esquerda para a direita.</p><p>1</p><p>3 5 7</p><p>5 7 9 11 13</p><p>7 9 11 13 15 17 19</p><p>. . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p><p>3. As figuras a seguir mostram a construção de quadrados</p><p>usando palitos.</p><p>Calcule a quantidade total de palitos usada para construir as 20</p><p>primeiras figuras.</p><p>4. O cometa Halley visita a Terra a cada 76 anos. Sua última</p><p>passagem por aqui foi em 1986. Quantas vezes ele visitou a</p><p>Terra desde o nascimento de Cristo? Em que ano foi sua</p><p>primeira passagem na era cristã?</p>