Funções Trigonométricas

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<p>1 - Quais são as funções trigonométricas?</p><p>2 - Função cosseno</p><p>- Domínio</p><p>- Imagem</p><p>- Gráfico da função cosseno</p><p>- Sinal</p><p>- Período da função cosseno</p><p>Paridade3 - Arcos notáveis da função cosseno</p><p>4 - Função seno</p><p>- Domínio</p><p>- Imagem</p><p>- Gráfico da função seno</p><p>- Sinal</p><p>- Período da função cosseno</p><p>- Paridade</p><p>5 - Arcos notáveis da função seno</p><p>6 - Função tangente</p><p>-Domínio</p><p>- Imagem</p><p>- Gráfico da função tangente</p><p>- Sinal</p><p>- Período</p><p>- Paridade7 - Arcos notáveis da função tangente</p><p>8 - Exercícios resolvidos</p><p>Quais são as funções trigonométricas?</p><p>As funções trigonométricas mais usuais são a função seno, a função cosseno e a</p><p>função tangente. O estudo delas está ligado ao ciclo trigonométrico</p><p>Para cada valor de ângulo, há um único valor para o seno e</p><p>para o cosseno. As funções trigonométricas nada mais são que</p><p>a relação entre o ângulo e o valor da razão trigonométrica para</p><p>esse ângulo. Vale lembrar que o valor desse ângulo pode ser</p><p>dado em radianos ou em graus e que o valor do seno e do</p><p>cosseno é sempre um número real entre -1 e 1</p><p>Valor do seno e do cosseno para os principais ângulos.</p><p>Note na imagem que, para cada ângulo, o cosseno e o seno</p><p>admitem um valor. É com base no estudo de cada uma das</p><p>funções trigonométricas que observamos a relação entre o</p><p>valor do ângulo e o valor da razão trigonométrica</p><p>Função cosseno</p><p>A função cosseno é a função f : R → R, cuja lei de formação é f(x) = cos (x).</p><p>Como o cosseno de um ângulo é sempre um número entre 1 e -1, então, -1 ≤ cos (x) ≤ 1.</p><p>Domínio</p><p>O domínio da função cosseno é o conjunto dos números reais, pois não existe nenhuma restrição para</p><p>o valor de x, em que x é o ângulo em radianos. Para todo número real, é possível encontrar o valor de</p><p>cos(x), então, Df = R.</p><p>Imagem</p><p>Sabemos que o contradomínio da função cosseno é o conjunto dos números reais, entretanto,</p><p>quando analisamos a imagem da função, é possível perceber que ela é sempre um valor maior ou</p><p>igual a -1 e menor ou igual a 1, pois o ciclo trigonométrico tem raio 1, então, o maior valor que a</p><p>função cosseno pode assumir é 1, e, analogamente, o menor valor que ela pode assumir é -1.</p><p>Im = [-1, 1]</p><p>Gráfico da função cosseno</p><p>O gráfico da função cosseno está contido entre as retas y = -1 e y = 1. Vale</p><p>lembrar que isso acontece porque a imagem da função é sempre um número</p><p>entre -1 e 1 e possui parte crescente e parte decrescente, como podemos ver a</p><p>seguir</p><p>Gráfico da função cosseno</p><p>Fazendo a correspondência do valor do ângulo com</p><p>o valor da razão trigonométrica, é possível perceber</p><p>que o gráfico possui um comportamento cíclico, ou</p><p>seja, o comportamento sempre se repete de forma</p><p>periódica. O gráfico da função cosseno é conhecido</p><p>como cossenoide</p><p>Sinal</p><p>Sabemos que, no ciclo trigonométrico, o cosseno possui valores positivos no I e</p><p>IV quadrantes. O primeiro quadrante está entre 0º e 90º, e o quarto quadrante</p><p>está entre 270º e 360º. Em radianos, a função é positiva para valores de x entre</p><p>0 e π/2 e entre 3π/2 e 2π.</p><p>A função cosseno possui valores negativos no II e III quadrantes, ou seja, o</p><p>ângulo está entre 90º e 270º. Em radianos, para que a função cosseno seja</p><p>negativa, x está entre π/2 e 3π/2.</p><p>Período da função cosseno</p><p>O gráfico da função cosseno tem um período de 2π. Analisando, é possível</p><p>perceber que o gráfico está contido no intervalo de 0 a 2π. Para valores</p><p>anteriores ou posteriores a esse intervalo, o gráfico se repete.</p><p>Paridade</p><p>A função cosseno é considerada uma função par, pois há uma simetria no</p><p>gráfico em relação ao eixo y. Quando uma função é considerada par, temos que</p><p>f (x) = f (-x), ou seja, cos (x) = cos (-x</p><p>Arcos notáveis da função cosseno</p><p>Vejamos o valor do cosseno para os principais ângulos</p><p>Função Seno: y = sen x</p><p>2𝜋𝜋</p><p>2𝜋/2</p><p>3𝜋/2</p><p>0</p><p>1 1</p><p>-1</p><p>x</p><p>y</p><p>2𝜋/2</p><p>𝜋</p><p>𝜋 3𝜋/2 2𝜋</p><p>Domínio:</p><p>Imagem:</p><p>Período:</p><p>Paridade:</p><p>R</p><p>2𝜋 sen x = sen(2𝜋 + 2)</p><p>[ 1, -1]</p><p>sen x = - sen -x ímpar</p><p>-1</p><p>x</p><p>- x</p><p>sen x</p><p>sen - x</p><p>Função seno</p><p>A função cosseno é a função f : R → R, cuja lei de formação é f(x) = sen (x).</p><p>Como o seno de um ângulo, assim como o cosseno, é sempre um número entre</p><p>1 e -1, então, -1 ≤ sen (x) ≤ 1.</p><p>Domínio</p><p>O domínio da função seno é o conjunto dos números reais. A função f(x) = sen</p><p>(x) está definida para todos os números reais, então, Df = R.</p><p>Imagem</p><p>A imagem da função seno possui valor máximo em f(x) = 1 e valor mínimo</p><p>quando f(x) = -1. Então, a imagem da função é o intervalo real [-1, 1].</p><p>Gráfico da função seno</p><p>O gráfico da função seno é limitado também pelas retas horizontais y = -1 e y =</p><p>1. O comportamento é parecido com o da função seno periódico, tendo</p><p>intervalos crescentes e intervalos decrescentes. Veja a representação gráfica da</p><p>função seno no plano cartesiano a seguir.</p><p>O gráfico da função seno também é periódico e é conhecido como senoide</p><p>Sinal</p><p>Diferentemente da função cosseno, a função seno possui valores positivos nos</p><p>quadrantes I e II primeiro, ou seja, para ângulos entre 0º e 180°. Em radianos, a</p><p>função é positiva para valores entre 0 e π.</p><p>A função seno possui valores negativos no III e IV quadrantes, ou seja, o ângulo</p><p>está entre 180º e 360º. Em radianos, para que a função seno seja negativa, x</p><p>está entre π e 2π</p><p>Sinal da função seno</p><p>Período da função cosseno</p><p>O gráfico da função seno tem um período de 2π. Isso significa que,</p><p>posteriormente ou anteriormente ao intervalo de 0 a 2π, o gráfico é periódico,</p><p>ou seja, repete-se.</p><p>Paridade</p><p>A função seno é considerada uma função ímpar, pois há uma simetria no</p><p>gráfico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Quando uma função é</p><p>considerada ímpar, temos que f (x) = -f (x), ou seja, sen (-x) = -sen (x)</p><p>Arcos notáveis da função seno</p><p>Vejamos o valor do seno para os principais ângulos</p><p>Arcos notáveis da função seno</p><p>Função Seno: y = cos x</p><p>2𝜋𝜋</p><p>2𝜋/2</p><p>3𝜋/2</p><p>0</p><p>1 1</p><p>-1</p><p>x</p><p>y</p><p>2𝜋/2</p><p>𝜋</p><p>𝜋 3𝜋/2 2𝜋</p><p>Domínio:</p><p>Imagem:</p><p>Período:</p><p>Paridade:</p><p>R</p><p>2𝜋 co x = co(2𝜋 + 2)</p><p>[ 1, -1]</p><p>cos x = - cos -x par</p><p>-1</p><p>x</p><p>- x</p><p>cos x</p><p>cos - x</p><p>Exercícios: Função Seno e Cosseno</p><p>Macete:</p><p>y = a + b . sen (cx + d)</p><p>y = a + b . cos (cx + d)</p><p>D = R</p><p>Im = [ a – b, a + b]</p><p>a) y = 3 sen x</p><p>b) f(x) = 2 – 3(cos 2x + π</p><p>c) y = – sen x (3x) + 5</p><p>a = 0, b = 3 e c = 1</p><p>I = R</p><p>Im = [ a – b, a + b] = [ -3, 3]</p><p>P = 2π</p><p>a = 2, b = -3 e c = 2</p><p>I = R</p><p>Im = [ a – b, a + b] = [ 2-(-3), 2 + -(3)]</p><p>P = 2π/2</p><p>= [ 5, -1] = [ -1, 5]</p><p>P = π</p><p>a = 5, b = -2 e c = 3</p><p>I = R</p><p>Im = [ a – b, a + b] = [ 7, 3] = [ 3, 7]</p><p>P = 2π/3</p><p>Função tangente</p><p>Sabemos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno. Diferentemente</p><p>das duas funções trigonométricas anteriores, a função tangente não possui valor</p><p>de máximo nem valor de mínimo. Além disso, existem restrições para o</p><p>domínio, mas a lei de formação da função tangente é f(x) = tan(x).</p><p>Domínio</p><p>A função tangente possui restrições para o seu domínio, como ela é formada</p><p>pela razão entre o seno e o cosseno, não existem valores para tangente quando</p><p>cos(x) = 0. Pesando no ciclo trigonométrico de 0º a 360º, a função tangente não</p><p>está definida para os ângulos de 90º e 270º, pois são os valores em que o</p><p>cosseno é igual a 0. Quando há ângulos maiores que uma volta completa, todos</p><p>aqueles em que o valor de cosseno é 0 não fazem parte do domínio da função</p><p>cosseno.</p><p>Imagem</p><p>Diferentemente da função seno e da função cosseno, a imagem da função tangente é o conjunto dos números</p><p>reais, ou seja, ela não é limitada e não possui valor de máximo nem de mínimo. Im = R</p><p>Gráfico da função tangente</p><p>A função tangente também é periódica como as funções seno e cosseno, ou seja, ela sempre se repete. Quando</p><p>comparamos</p><p>Gráfico da função tangente</p><p>Sinal</p><p>A função tangente possui valor positivo para os quadrantes ímpares, ou seja, I e</p><p>III quadrantes. Para ângulos entre 0º e 90º e ângulos entre 180º e 270º, a</p><p>função possui valores positivos. Em radianos, o valor de x tem que estar entre 0</p><p>e π/2 ou π e 3π/2</p><p>Período</p><p>O período da função tangente também é diferente das funções seno e cosseno.</p><p>O período da função tangente é π.</p><p>Paridade</p><p>A função tangente é uma função ímpar, pois</p><p>tan(-x) = -tan(x), logo, há uma</p><p>simetria no gráfico em relação à origem do plano cartesiano</p><p>Arcos notáveis da função tangente</p><p>Vejamos o valor da tangente para os principais ângulos</p><p>Arcos notáveis da função tangente</p><p>(Enem 2017) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago, formando um</p><p>ângulo x com a sua superfície, conforme indica a figura. Em determinadas condições,</p><p>pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja</p><p>dada aproximadamente por I(x) = k · sen(x), sendo k uma constante, e supondo-se que</p><p>X está entre 0° e 90º</p><p>Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor</p><p>máximo?</p><p>A) 33%</p><p>B) 50%</p><p>C) 57%</p><p>D) 70%</p><p>E) 86%</p><p>No intervalo de 0º a 90º, a função seno tem seu maior valor quando x = 90º, então, temos que:</p><p>i = k · sen(90º)</p><p>i = k · 1</p><p>i = k</p><p>Agora, quando x = 30º, temos que:</p><p>i = k · sem (30º)</p><p>i = k · ½</p><p>i = k/2</p><p>Note que a intensidade i foi reduzida pela metade, ou seja, 50%</p><p>(Enem 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos</p><p>sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço.</p><p>Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados</p><p>varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o</p><p>que ocorre no mês de produção máxima da safra. A partir de uma série histórica, observou-se</p><p>que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela</p><p>função:</p><p>Em que x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2, ao mês de</p><p>fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12, associado ao mês de dezembro.</p><p>Na safra, o mês de produção máxima desse produto é</p><p>A) janeiro.</p><p>B) abril.</p><p>C) junho.</p><p>D) julho.</p><p>E) E) outubro.</p><p>A safra admite produção máxima quando o</p><p>preço é o mais baixo, sabemos que a função</p><p>cosseno assume seu valor mínimo quando</p><p>cos(x) = -1.O ângulo que possui valor de cos</p><p>igual a -1 é o ângulo π. Então, o argumento do</p><p>ângulo tem que ser igual a π, logo, temos que</p><p>Função: f(x) = tg x</p><p>01. Dada a função f(x) = sen x + 3, o valor numérico da função</p><p>para x = 3π/2 é:</p><p>• A) 0.</p><p>• B) 1.</p><p>• C) 2.</p><p>• D) 3.</p><p>• E) 4.</p><p>02. Conhecendo a função f(x) = 4 cos (2x) + 1, podemos afirmar que a</p><p>imagem da função é igual a:</p><p>• A) [– 2, 2].</p><p>• B) [– 3, 5].</p><p>• C) [ – 1, 1].</p><p>• D) [ – 4, 8].</p><p>• E) ] – ∞ , ∞[.</p><p>Sabemos que o valor de cosseno é 1 e o menor é -1, então:</p><p>Limite superior do intervalo:</p><p>Seja cos (2x) = 1:</p><p>f(x) = 4 · 1 +1</p><p>f(x) = 4 + 1</p><p>f(x) = 5</p><p>Limite inferior do intervalo:</p><p>cos(2x) = -1:</p><p>f(x) = 4 · ( – 1) + 1</p><p>f(x) = – 4 + 1</p><p>f(x) = – 3</p><p>A imagem da função é o intervalo [– 3, 5].</p><p>03. Dada a função trigonométrica a seguir:</p><p>Podemos afirmar que o menor valor que f(x) pode assumir é:</p><p>Em uma fração, quanto maior o denominador, menor é</p><p>o valor da fração. Então, o valor que deixa o</p><p>denominador ser o maior número possível é sen(x) = – 1.</p><p>https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fracao.htm</p><p>Analise o gráfico da função trigonométrica a seguir:</p><p>• A lei de formação que descreve a função demonstrada no gráfico é:</p><p>• A) f(x) = sen (x).</p><p>• B) f(x) = cos (x).</p><p>• C) f(x) = sen (2x).</p><p>• D) f(x) = cos (2x).</p><p>• E) f(x) = 2tg(x)</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3</p><p>Slide 4</p><p>Slide 5</p><p>Slide 6</p><p>Slide 7</p><p>Slide 8</p><p>Slide 9</p><p>Slide 10</p><p>Slide 11</p><p>Slide 12</p><p>Slide 13</p><p>Slide 14</p><p>Slide 15</p><p>Slide 16</p><p>Slide 17</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p><p>Slide 25</p><p>Slide 26</p><p>Slide 27</p><p>Slide 28</p><p>Slide 29</p><p>Slide 30</p><p>Slide 31</p><p>Slide 32</p><p>Slide 33</p><p>Slide 34</p><p>Slide 35</p><p>Slide 36</p>