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<p>1</p><p>MANUAL DE FÍSICA</p><p>PARA FORMAÇÃO</p><p>MÉDIA TÉCNICA</p><p>10.ª e 11.ª CLASSES</p><p>2</p><p>3</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>ÍNDICE</p><p>Prefácio 	 	............................................................................................................................ 	 7</p><p>1-	Conceitos	Introdutórios	............................................................................................ 	 8</p><p>1.1-	Introdução	........................................................................................................ 	 8</p><p>1.2	-	Grandezas	físicas	.......................................................................................... 	 8</p><p>1.3	–	Sistema	de	Unidades	.................................................................................. 	 20</p><p>1.4	-	Noções	Básicas	da	Trigonometria	......................................................... 	 21</p><p>Parte 1: Mecânica	............................................................................................................... 	 25</p><p>Unidade 1- Movimento de uma Partícula Material	.................................................	 26</p><p>1.1	-	Ponto	Material	.......................................................................................................... 	 26</p><p>1.1.1	-	Relatividade	do	movimento	................................................................. 	 27</p><p>1.2	-	Trajectória	.................................................................................................................. 	 27</p><p>1.3	-	Deslocamento	........................................................................................................... 	 28</p><p>1.3.1-	Origem	dos	Espaços	.................................................................................. 	 28</p><p>1.4	-	Velocidade	.................................................................................................................. 	 29</p><p>1.4.1	-	Velocidade	Média	...................................................................................... 	 29</p><p>1.4.2	-	Velocidade	Instantânea	.......................................................................... 	 33</p><p>1.5	-	Movimento	Rectilíneo	e	Uniforme	................................................................... 	 34</p><p>1.5.1-	Aceleração	..................................................................................................... 	 39</p><p>1.6-Movimento	rectilíneo	.............................................................................................. 	 42</p><p>1.6.1-	Movimento	rectilíneo	uniformemente	variado.............................	 42</p><p>1.6.2	-	Queda	de	um	Corpo	................................................................................. 	 51</p><p>1.6.3	-	Ascensão	de	um	Corpo	........................................................................... 	 53</p><p>1.7	-	Movimento	circular	................................................................................................ 	 56</p><p>1.7.1	-	Movimento	circular	uniforme	............................................................. 	 57</p><p>1.8	-	Movimento	circular	variado	............................................................................... 	 59</p><p>Unidade 2 - Interacções entre Corpos	............................................................................ 	 62</p><p>2.1-	Força	 	............................................................................................................................ 	 62</p><p>2.2	-	Leis	de	Newton......................................................................................................... 	 69</p><p>4</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>ÍNDICE</p><p>2.2.1	-	Lei	da	Inércia	.............................................................................................. 	 69</p><p>2.22	-	Lei	Fundamental	da	Dinâmica		............................................................ 	 71</p><p>2.2.3	-	Lei	da	Acção	e	Reacção	........................................................................... 	 73</p><p>2.3	-	Impulso	e	quantidade	de	movimento…………………………...........	.............	 75</p><p>2.3.1-	Impulso	de	uma	Força	............................................................................. 	 81</p><p>Unidade 3 - Trabalho e Energia	.......................................................................................... 	 84</p><p>3.1	-	Trabalho	de	uma	Força	Constante	................................................................... 	 84</p><p>3.2	-	Trabalho	de	uma	Força	Variável	....................................................................... 	 87</p><p>3.3	-	Potência	....................................................................................................................... 	 89</p><p>3.4	-	Energia	potencial	.................................................................................................... 	 91</p><p>3.4.1	-	Energia	Potencial	Elástica	..................................................................... 	 92</p><p>3.5	-	Energia	Cinética	-	Teorema	de	Trabalho	e	Energia	..................................	 96</p><p>3.6	-	Lei	de	Conservação	da	Energia	Mecânica	.....................................................	 98</p><p>Parte 2: Fenómenos Térmicos…………………………………………...	..................	 101</p><p>Unidade 1- Energia Térmica	................................................................................................ 	 102</p><p>1.1	Temperatura	................................................................................................................ 	 102</p><p>1.1.1	Escalas	Termométricas	............................................................................. 	 103</p><p>1.1.2	-Relações	entre	as	Escalas	Termométricas	......................................	 104</p><p>1.2	-	Dilatação	dos	Sólidos	............................................................................................. 	 107</p><p>1.2.1	-Dilatação	Linear	......................................................................................... 	 107</p><p>1.2.2	-	Dilatação	Superficial	................................................................................ 	 110</p><p>1.2.3	-Dilatação	Volumétrica	.............................................................................. 	 111</p><p>1.3	-	Transmissão	de	Calor	............................................................................................ 	 112</p><p>1.4	-	Capacidade	Calorífica	............................................................................................ 	 114</p><p>1.5	-	Equilíbrio	Térmico	.................................................................................................. 	 118</p><p>Unidade 2 - Equação de Estado de um Gás Perfeito	...............................................	 120</p><p>2.1	-	Leis	dos	Gases…………………………………………………….	................................	 120</p><p>5</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>ÍNDICE</p><p>2.2	-	Processo	Isotérmico:	Lei	de	Boyle	–	Mariotte	............................................	 124</p><p>2.3	-	Processo	Isobárico:	(Gay-Lussac)	.................................................................... 	 126</p><p>2.4	-	Processo	Isocórico	:		Lei	de	Jacques		Charles	..............................................	 129</p><p>2.5	-	Cálculo	Cinético	da	Pressão	................................................................................ 	 132</p><p>2.6	-	Interpretação	Cinética	da	Temperatura	........................................................ 	 133</p><p>2.7	-	Dilatação	dos	Gases	................................................................................................ 	 137</p><p>2.7.1	-	Energia	Interna	do	Gás	Perfeito	.................................................................... 	 137</p><p>2.7.2	-	Trabalho	Realizado	pelo	Gás	.......................................................................... 	 140</p><p>2.8	-	Experiência	de	Joule	.............................................................................................. 	 141</p><p>Unidade 3 - Termodinâmica	................................................................................................. 	 144</p><p>3.1	-	Primeira	Lei	da	Termodinâmica	.......................................................................</p><p>a	sua	velo-</p><p>cidade	ao	fim	de	3s.</p><p>d)		Calcule	 a	 força	 que</p><p>seria	necessária	para</p><p>que	 atingisse	 a	 velo-</p><p>cidade	 de	 12ms–1	 ao</p><p>fim	de	4s.</p><p>Dados</p><p>m	=	2kg</p><p>F	=	5N</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>RN</p><p>P</p><p>Fa F</p><p>b) F ma a</p><p>F</p><p>m</p><p>a</p><p>N</p><p>kg</p><p>= → = → =.</p><p>5</p><p>2</p><p>a =		2,5m	/	s2</p><p>F	=	5N v	=	?					t = 3s m =	2kg a =		2,5m	/	s2</p><p>F	=	m.a M.R.U.V.					v	=	v0	+	a.t</p><p>Se		 v0	=	0</p><p>Logo		v	=	a.t	→ v	=	2,5m/s2.3s	→	v =	7,5m/s</p><p>v	=	12m /	s 			t =	4s</p><p>v at a</p><p>v</p><p>t</p><p>a</p><p>m s</p><p>s</p><p>= → = → =.</p><p>/12</p><p>4</p><p>a =	3m / s</p><p>F = m.a</p><p>F = 2kg.3m / s2</p><p>F = 6N</p><p>66</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Exercícios propostos</p><p>R: 		F	=30N</p><p>R: 		FR	=	1040N</p><p>R: 		FR	=	400N</p><p>P1 –	Sobre	um	corpo	actuam	forças	dirigidas	sob	o	ângulo	de</p><p>90°	uma	relativa	a	outra.	Uma	força	é	igual	a	40N.	Qual	o	valor</p><p>da	outra	força	se	a	resultante	é	de	50N.</p><p>P2 –	Achar	a	resultante	de	duas	forças	de	600N	cada	uma	apli-</p><p>cadas	a	um	corpo	que	formam	um	ângulo	de	60°	entre	si.</p><p>P3 –	 Determinar	 a	 resultante	 de	 três	 forças	 de	 200N	 cada</p><p>uma	se	a	primeira	e	a	segunda	formam	um	ângulo	de	30º	e	a</p><p>segunda	e	a	terceira	formam	um	ângulo	de	60°.</p><p>Força de Atrito</p><p>Uma	das	manifestações	das	interacções	mecânicas	é	a	força	de</p><p>atrito.</p><p>A	 força	de	atrito	aparece	sempre	que	houver	contacto	entre</p><p>os	corpos,	e	está	sempre	orientada	ao	longo	da	superfície	de</p><p>contacto,	e	opõe-se	ao	movimento	corpo.</p><p>A	força	de	atrito	depende	da	natureza	das	superfícies	que	se</p><p>encontram	em	contacto	e	das	forças	que	se	exercem	sobre	as</p><p>superfícies	onde	surge	o	atrito	(força	normal	à	superfície).</p><p>Fat	=	μN	 (2.2)</p><p>Onde</p><p>Fat	=	força	de	atrito</p><p>μ	=		coeficiente	de	atrito	(depende	da	natureza	das	super-</p><p>fícies	em	contacto)</p><p>N	=	força	normal	à	superfície</p><p>67</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>A	natureza	da	superfície	em	contacto	é	que	definem	o	valor</p><p>máximo	ou	mínimo	do	atrito.	Assim	sendo	o	atrito	pode	ser</p><p>estático	ou	dinâmico.</p><p>Logo	para	um	valor	máximo	de	atrito	o	seu	coeficiente	deno-</p><p>mina-se	 estático	 e	 para	 o	 valor	mínimo	 o	 coeficiente	 deno-</p><p>mina-se	cinético.</p><p>Existe	 porém	 uma	 força	máxima	 de	 atrito	 de	 repouso,	 mas</p><p>quando	a	força	paralela	à	superfície	se	torna	maior	que	a	força</p><p>de	atrito,	o	corpo	adquire	uma	certa	aceleração.</p><p>Se	numa	superfície	de	um	corpo	em	repouso	actuar	uma	força</p><p>orientada	paralelamente	à	superfície	de	contacto	dos	corpos,</p><p>então,	 o	 corpo	 só	 começará	 a	mover	 quando	 a	 força	 atingir</p><p>um	determinado	valor.	O	valor	desta	força	determina	o	valor</p><p>máximo	da	força	de	atrito	estático.</p><p>A	força	de	atrito	estático	é	a	que	nos	impede	de	mover	objecto</p><p>pesados.</p><p>Fig. 2.7 – Corpo em movimento no</p><p>plano inclinado</p><p>θ</p><p>m2</p><p>m1</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Um	 corpo	 é	 lan-</p><p>çado	 horizontalmente</p><p>sobre	 um	 plano	 hori-</p><p>zontal	 com	 velocidade</p><p>de	 10ms–1	 e	 para	 após</p><p>percorrer	 50m.	 Deter-</p><p>mine	 o	 coeficiente	 de</p><p>atrito	 relativo	às	 super-</p><p>fícies	em	contacto?</p><p>Dados</p><p>v0	=	10m / s</p><p>s	=	50m</p><p>μ =	?</p><p>v =	?</p><p>Resolução</p><p>s</p><p>v v</p><p>a</p><p>=</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>–</p><p>como		v	=	0,		então a</p><p>v</p><p>s</p><p>= − 0</p><p>2</p><p>2</p><p>a a a m s= − → = − → =</p><p>100</p><p>2 50</p><p>100</p><p>100</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>– /</p><p>Fa =	μN,		N	=	m.g	→ Fa = μ.m.g</p><p>Fa =	F	→ –μ.m.g =	ma.a</p><p>=</p><p>−</p><p>→ = → =</p><p>a</p><p>g</p><p>m s</p><p>m s</p><p>– /</p><p>– /</p><p>,</p><p>1</p><p>10</p><p>0 1</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>−</p><p>→ = → =</p><p>a</p><p>g</p><p>m s</p><p>m s</p><p>– /</p><p>– /</p><p>,</p><p>1</p><p>10</p><p>0 1</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>−</p><p>→ = → =</p><p>a</p><p>g</p><p>m s</p><p>m s</p><p>– /</p><p>– /</p><p>,</p><p>1</p><p>10</p><p>0 1</p><p>2</p><p>2</p><p>μ μ μ</p><p>68</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P2 –	Um	ponto	material</p><p>de	massa	igual	a	2kg	esta</p><p>apoiado	 numa	 superfí-</p><p>cie	 horizontal	 perfeita-</p><p>mente	 liso,	 em	 repouso</p><p>uma	 força	 constante	 de</p><p>intensidade	6N,	paralelo</p><p>ao	 apoio	 actua	 durante</p><p>10s,	após	as	quais	deixa</p><p>de	existir,	determine:</p><p>a)		A	 aceleração	nos	10s</p><p>iniciais.</p><p>b)		A	 velocidade	 ao	 fim</p><p>de	10s.</p><p>Dados</p><p>m	=	2kg</p><p>F	=	6N</p><p>t =	10s</p><p>a)		a =	?										b)		v =	?</p><p>P3 –	Um	bloco	de	massa</p><p>10kg	movimenta-se	numa</p><p>mesa	horizontal	sob	acção</p><p>de	 uma	 força	 horizontal</p><p>de	intensidade	30N,	o	coe-</p><p>ficiente	de	atrito	dinâmico</p><p>entre	o	bloco	e	a	mesa	é</p><p>de	0,20,	sendo	g=10m.s–2.</p><p>Determine	 a	 aceleração</p><p>do	bloco.</p><p>Dados</p><p>m	=	10kg</p><p>F	=	30N</p><p>μ =	10s</p><p>g	=	10m/s2</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>F ma a</p><p>F</p><p>m</p><p>= → =.</p><p>v at v m s s</p><p>v m s</p><p>= → =</p><p>=</p><p>. / .</p><p>/</p><p>3 10</p><p>30</p><p>2</p><p>a</p><p>N</p><p>kg</p><p>a m s= → =</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>/</p><p>F =	ma,			Fa = μ.N,			N =	P, P =	m.g</p><p>F –μP	=	m.a → a =</p><p>F mg</p><p>m</p><p>−μ</p><p>a a m s=</p><p>−</p><p>→ =</p><p>30 0 2 10 10</p><p>10</p><p>1</p><p>2</p><p>, . .</p><p>/</p><p>69</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>P1 –	Dois	blocos,	de	massa	mA	=	19kg	e	mB	=	8kg,	estão	em</p><p>repouso,	encostados	ao	outro	e	apoiados	sobre	uma	superfície</p><p>plana	horizontal	cujo	coeficiente	de	atrito	cinético	entre	eles	e</p><p>a	superfície	é	μc	=	0,50.	Num	determinado	instante,	aplica-se,</p><p>ao	bloco	A,	uma	força	de	módulo	FA	=	189N.	Iniciado	o	movi-</p><p>mento,	calcule	o	módulo	da	força	exercida	pelo	bloco	A	Sobre</p><p>o	B.	(considere	g	=	10m.s–2).</p><p>P2 –	Um	camião	de	frutas	desloca-se	em	movimento	rectilí-</p><p>neo	numa	estrada	horizontal,	com	velocidade	uniforme	igual	a</p><p>20	m/s.	O	camião	transporta,	na	carroçaria,	uma	caixa	de	man-</p><p>gas	de	Lândana	de	massa	total	30	kg.	Ao	ver	um	sinal	de	trânsito</p><p>a	100m,	o	motorista	começa	a	travar	uniformemente,	de	modo	a</p><p>parar	junto	dele.	(coeficiente	de	atrito	cinético	μc	=	0,10).</p><p>a)		Faça	 um	 esquema	das	 forças	 que	 actuam	 sobre	 a	 caixa</p><p>durante	a	travagem.</p><p>Calcule	o	módulo	da	componente	da	força	que	o	chão	da	carro-</p><p>çaria	exerce	sobre	a	caixa	durante	a	travagem. R: 	F	=60N</p><p>R: 	F	=56N</p><p>Exercícios propostos</p><p>2.2. Leis de Newton</p><p>2.2.1. Lei da Inércia</p><p>Antigamente	 os	 sábios	 sustentavam	 que	 o	 estado	 natural</p><p>dos	corpos	era	o	repouso.	Para	que	saíssem	desse	estado	era</p><p>necessária	a	acção	de	uma	força	e,	quando	essa	força	deixava</p><p>de	agir	o	movimento	terminava	e	os	corpos	voltavam	imedia-</p><p>tamente	ao	seu	estado	natural,	o	repouso.	Com	a	introdução</p><p>de	método	experimental	de	Galileu	o	princípio	de	inércia	hoje</p><p>se	pode	definir	da	seguinte	forma:</p><p>Todo corpo continua no estado de repouso ou de movi-</p><p>mento numa linha recta com velocidade escalar constante</p><p>70</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>a menos que seja obrigado a alterar esse estado pela</p><p>acção de uma força resultante externa.	Assim,	 se	 a	 força</p><p>resultante	sobre	um	corpo	for	nula,	ele	estará	em	repouso	ou</p><p>em	movimento	rectilíneo	e	uniforme.</p><p>A tendência de um corpo manter seu estado de repouso</p><p>ou de movimento rectilíneo com velocidade constante</p><p>é chamada inércia. Por esse motivo, a primeira lei de</p><p>Newton também é conhecida como princípio da inér-</p><p>cia.	A	massa	do	um	corpo	é	a	medida	da	sua	inércia.	Assim,</p><p>quanto	maior	for	a	massa	de	um	corpo,	maior	é	a	sua	inércia.</p><p>A	tendência	de	um	corpo	manter	seu	estado	de	repouso	ou	de</p><p>movimento	rectilíneo	com	velocidade	constante	é	chamada</p><p>inércia.	Por	esse	motivo,	a	primeira	lei	de	Newton	também	é</p><p>conhecida	como	princípio	da	inércia.	A	massa	do	um	corpo	é</p><p>a	medida	da	sua	inércia.	Assim,	quanto	maior	for	a	massa	de</p><p>um	corpo,	maior	é	a	sua	inércia.	Os	referenciais	para	os	quais</p><p>vale	o	princípio	da	 inércia	 são	 chamados	 referenciais	 iner-</p><p>ciais.	A	aplicação,	num	ponto	material,	de	uma	 força	ou	de</p><p>um	sistema	de	forças	cuja	soma	vectorial	não	é	nula	produz</p><p>nele	uma	variação	de	velocidade.</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	Conforme	recolha</p><p>de	 informações	 o	 uso</p><p>do	 cinto	 de	 segurança</p><p>é	obrigatório	para	pre-</p><p>venir	lesões	graves	nos</p><p>motoristas	 e	 passagei-</p><p>ros	 no	 caso	 de	 aciden-</p><p>tes.	 Explique	 a	 que	 lei</p><p>da	Física	está	isso	rela-</p><p>cionado.</p><p>Resolução</p><p>•		No	caso	de	acidente,	os	ocupantes	dum	carro	que	estive-</p><p>rem	sem	cinto	de	segurança	são	atirados	para	frente.</p><p>•		A	 possibilidade	 de	 sair	 ileso	 dum	 acidente	 sem	 uso	 do</p><p>cinto	é	de	um	por	mil.</p><p>•		O	uso	do	cinto	de	segurança	reduz	de	60%	a	80%	as	mor-</p><p>tes	em	choques	frontais.</p><p>71</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>P1 –	No	espectáculo	de	circo	o	palhaço	se	coloca	diante	duma</p><p>mesa	com	uma	toalha.	Sobre	a	toalha	se	coloca	pratos	e	talhe-</p><p>res.	 O	 palhaço	 puxa</p><p>a	 toalha	 rapidamente	 da	mesa,	mas	 os</p><p>pratos	e	 talheres	permanecem	sobre	ela.	Que	 lei	de	Newton</p><p>explica	este	fenómeno?</p><p>P2 –	Porquê	o	cavaleiro	é	atirado	para	frente	quando	o	cavalo</p><p>pára,	negando-se	a	saltar	o	obstáculo?</p><p>Exercícios propostos</p><p>2.2.2. Lei Fundamental da Dinâmica</p><p>A	Lei	da	Inércia	(1ª	Lei	de	Newton)	como	já	vimos	estabelece</p><p>o	que	ocorre	com	a	um	corpo	na	ausência	das	forças	aplicadas</p><p>sobre	ele	ou	quando	a	resultante	aplicada	sobre	ele	é	nula.</p><p>A	 origem	 das	 forças	 que	 actuam	 sobre	 os	 corpos	 pode	 ter</p><p>natureza	gravitacional,	electromagnética,	nuclear,	etc.</p><p>As	forças	causam	a	aceleração	dos	corpos.	A	experiência	mos-</p><p>tra	que	as	forças	aplicadas	sobre	um	corpo	é	a	causa	da	sua</p><p>aceleração.</p><p>Quanto	maior	for	a	força	F	aplicada	sobre	um	corpo	de	massa</p><p>m,	tanto	maior	será	a	sua	aceleração	a.</p><p>Para	 corpos	 de	 massas	 diferentes,	 ao	 aplicarmos	 a	 mesma</p><p>força,	a	aceleração	será	maior	no	corpo	com	menor	massa	e</p><p>menor	no	corpo	com	menor	massa.</p><p>A	relação	quantitativa	entre	a	 força,	a	aceleração	e	a	massa</p><p>mencionada	acima	pode	ser	expressa	da	seguinte	forma:</p><p>F	~	a	,		para			m	=	constante.</p><p>A	 2ª	 Lei	 da	 Newton	 é	 conhecida	 por	 Lei fundamental da</p><p>Dinâmica	e	enunciada	da	seguinte	maneira:</p><p>A	resultante	das	forças	que	actuam	sobre	um	corpo	é	directa-</p><p>mente	proporcional	à	aceleração	que	esse	corpo	adquire.</p><p>Fig. 2.8 – Força F aplicada sobre um</p><p>corpo</p><p>72</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Fr	=	M.a (2.3)</p><p>No	SI	a	unidade	da	força	é	obtida	dessa	equação	e	recebe	o</p><p>nome	de	Newton.</p><p>1Newton	=	1kgms–2</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	Um	ponto	material</p><p>de	 massa	 200	 kg	 des-</p><p>loca-se	 com	uma	 acele-</p><p>ração	constante	durante</p><p>10	 s	 percorrendo	 uma</p><p>distancia	 de	 500	 m.</p><p>Determine	 a	 força	 nela</p><p>aplicada.</p><p>Dados</p><p>m	=	200kg</p><p>t	=	10s</p><p>s	=	500m</p><p>F	=	?</p><p>P2 –	 Um	 comboio	 de</p><p>20.000kg	percorre	50m</p><p>em	 M.R.U.V,	 a	 força</p><p>aplicada	 a	 locomotiva</p><p>é	de	7,2kN.	Determine</p><p>a	sua	velocidade.</p><p>Dados</p><p>m	=	20.000kg</p><p>s	=	50m</p><p>F	=	7,2kN</p><p>v	=	?</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>s a</p><p>t</p><p>a</p><p>s</p><p>t</p><p>a m s</p><p>F ma F kg m s</p><p>F</p><p>= → = → =</p><p>= → =</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>10</p><p>200 10</p><p>/</p><p>. . /</p><p>== 2000N</p><p>F ma a</p><p>F</p><p>m</p><p>a</p><p>kN</p><p>kg</p><p>a m s</p><p>s a</p><p>= → =</p><p>= → =</p><p>=</p><p>.</p><p>,</p><p>.</p><p>, . /</p><p>–</p><p>7 2</p><p>20 000</p><p>3 6 10</p><p>1 2</p><p>tt</p><p>t</p><p>s</p><p>a</p><p>v at v m s s</p><p>v m s</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2</p><p>2</p><p>3 6 10 17</p><p>6 12</p><p>→ =</p><p>= → =</p><p>=</p><p>, . / .</p><p>, /</p><p>–</p><p>73</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>P1 –	Um	bloco	é	lançado	sobre	um	plano	horizontal	com	velo-</p><p>cidade	de	30m/s,	percorre	100	m	até	parar.	Calcule	o	 coefi-</p><p>ciente	de	atrito	dinâmico.</p><p>P2 –	Um	corpo	cai	livremente	de	altura	de	80	m.	Qual	é	que</p><p>seu	deslocamento	durante	o	último	segundo	da	queda?</p><p>P3 –	Um	corpo	é	lançado	verticalmente	para	cima	com	a	velo-</p><p>cidade	de	30	m/s.</p><p>a)		A	que	altura	a	sua	velocidade	será	três	vezes	inferior	do</p><p>que	a	inicial?</p><p>b)		Quanto	tempo	passará	até	esse	momento?</p><p>P4 –	Dois	corpos	de	massas	0,3kg	e	0,2	kg,	ligados	entre	si	por</p><p>um	fio	inextensível	de	massa	desprezível,	são	suspensos	por</p><p>uma	roldana	fixa.</p><p>a)		Com	que	aceleração	se	movem	os	corpos?</p><p>b)		Qual	é	a	tensão	no	fio	durante	o	movimento?</p><p>P5 –	Uma	grua	eleva	uma	carga	de	massa	1t.	Qual	é	a	tensão</p><p>no	cabo	no	inicio	do	levantamento	se	a	carga	se	moveu	com</p><p>aceleração	de	25m/s2?</p><p>Exercícios propostos</p><p>R: 	µ	=	0,45</p><p>R: 	s	=	35m</p><p>a)	R: h	=	30m</p><p>a)	R: a =	2m/s2</p><p>b)	R: t	=	2s</p><p>b)	R:		FT	=	2,4N</p><p>R: 	FT =	35kN</p><p>2.2.3. Lei da Acção e Reacção</p><p>A	experiência	quotidiana	nos	mostra	vários	exemplos	onde	se</p><p>manifesta	a	acção	e	reacção.</p><p>Quando	 se	mantém	um	corpo	 sobre	uma	mesa,	 este	 exerce</p><p>sobre	a	mesa	uma	acção	que	é	 representada	pelo	seu	peso,</p><p>por	outro	lado,	por	parte	da	mesa	há	uma	reacção	que	é	repre-</p><p>sentada	pela	oposição	à	deslocação	do	corpo.</p><p>Quando	 puxamos	 uma	mola,	 sentimos	 nas	 mãos	 a	 reacção</p><p>desta.	 Se	 a	mola	partir-se,	 o	 repentino	desaparecimento	da</p><p>reacção	pode	desequilibrar-nos.</p><p>74</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Quando	 se	 dispara	 uma	 arma	 de	 fogo,	 a	 força	 propulsora</p><p>(acção)	do	projéctil	provoca	uma	reacção	oposta	que	origina</p><p>o	recuo	da	arma.</p><p>Todos	estes	exemplos	permitem-nos	formular	o	principio	de</p><p>acção	e	reacção	segundo	a	qual:</p><p>A qualquer acção opõe-se sempre uma reacção com a</p><p>mesma direcção e intensidade, mas sentidos opostos.</p><p>Geralmente	a	acção	e	a	reacção	têm	pontos	de	aplicação	dife-</p><p>rentes.</p><p>p-1</p><p>M M</p><p>Fig. 2.9 – Acção e reacção</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Uma	 caixa	 de</p><p>massa	 50kg	 é	 erguida</p><p>verticalmente	para	 cima</p><p>com	aceleração	de	1m/s2</p><p>dentro	de	um	prédio.</p><p>Considere	g=10m</p><p>a)		Faça	 a	 configuração</p><p>das	forças	que	actuam</p><p>sobre	 a	 caixa	 e	 cal-</p><p>cule	a	sua	intensidade</p><p>durante	 a	 sua	 eleva-</p><p>ção.</p><p>b)		Qual	a	intensidade	da</p><p>força	 exercida	 pela</p><p>caixa	sobre	o	piso	do</p><p>elevador.</p><p>Dados</p><p>m	=	50kg</p><p>a	=	1m/s2</p><p>g	=	=	10m/s2</p><p>Resolução</p><p>P m g P N</p><p>F ma mg F kg m s N</p><p>F</p><p>r r</p><p>r</p><p>= → =</p><p>= + → = +</p><p>=</p><p>.</p><p>. . /</p><p>500</p><p>50 1 500</p><p>2</p><p>5550N</p><p>75</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>P1 –	Consideremos	um	corpo	de	massa	igual	a	6kg	em	repouso</p><p>sobre	um	plano	horizontal	liso.	Aplica-se	uma	força	horizontal</p><p>F	=	30N	sobre	o	corpo.	Admitindo-se	g	=	10m/s2,	determine	os</p><p>módulos	da.</p><p>a)		Aceleração	do	corpo.</p><p>b)		Reacção	normal	do	plano	de	apoio.</p><p>P2 –	Tunga	Muanza	escolhe	um	corpo	de	massa	igual	a	2kg</p><p>inicialmente	colocado	em	repouso	sobre	um	plano	horizontal</p><p>perfeitamente	liso.	Sobre	o	corpo	passa	a	actuar	uma	força	F</p><p>de	intensidade	16	N	aplicada	obliquamente	60°	ao	plano	hori-</p><p>zontal.	(Dados	g	=	10m/s2		e	ângulo	60°).</p><p>Determine:	os	módulos	da</p><p>a)		Aceleração	do	corpo.</p><p>b)		Reacção	normal	do	plano	de	apoio.</p><p>Exercícios propostos</p><p>a)	R: 	a	=	5m/s2</p><p>a)	R: a	=	4m/s2</p><p>b)	R: FNA=	60N</p><p>b)	R: FNA=	6,40N</p><p>2.3. Impulso e Quantidade</p><p>de Movimento</p><p>É	sabido	que	as	leis	de	Newton	permitem	resolver	problemas</p><p>sobre	o	movimento	dos	corpos.	Em	muitos	casos	é	difícil	cal-</p><p>cular	as	forças	que	actuam	sobre	os	corpos.	Por	exemplo,	na</p><p>colisão	 entre	 dois	 corpos,	 sabe-se	 que	 eles	 interactuam-se</p><p>pela	força	de	elasticidade,	mas	a	determinação	desta	força	por</p><p>vezes	é	difícil.	No	caso	simples	da	colisão	entre	duas	esferas,</p><p>a	deformação	de	cada	uma	delas	torna-se	difícil	definir,	por-</p><p>quanto	não	se	sabe	os	valores	das	grandezas	presentes	na	lei</p><p>de	Hooke	(F	=		k	x)	nomeadamente	a	deformação	x	e	a	cons-</p><p>tante	de	rigidez	k.</p><p>Para	 isso	 recorre-se	 à	 formulações	 simples	 da	 lei	 de	 movi-</p><p>mento	de	Newton	para	resolução	de	problemas	da	Mecânica.</p><p>76</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Impulso de uma força</p><p>Partindo	da	lei	de	movimento,</p><p>F	=	m.a	 (1)</p><p>A	aceleração	caracteriza	a	rapidez	com	que	varia	a	velocidade,</p><p>ou	seja,</p><p>a</p><p>v v</p><p>t</p><p>=</p><p>–</p><p>0 	 (2)</p><p>Substituindo	o	vector	a	em	(1)	vem:</p><p>F m</p><p>v v</p><p>t</p><p>=</p><p>–</p><p>0 	 (3)</p><p>Decompondo	a	fórmula	(3)	obtemos:</p><p>F.t	=	m(v–v0)	 (2.4)</p><p>Se	 considerarmos	uma	 força	 constante	F	 agindo	num	ponto</p><p>material	 durante	 um	 intervalo	 de	 tempo	=	 t	 –	 t0,	 teremos	 o</p><p>impulso	como	sendo</p><p>I	=	F.	Δt	 (2.5)</p><p>O	vector	 impulso	 tem	a	mesma	direcção	e	o	mesmo	sentido</p><p>da	força,	e	sua	intensidade	é	determinada	pela	expressão	(5),</p><p>sendo	F	a	intensidade	da	força	e	Δt,	o	intervalo	de	tempo	em</p><p>que	esta	força	actua.</p><p>No	Sistema	Internacional	a	unidade	do	Impulso	é	(N	.	s)</p><p>A	intensidade	do	Impulso	é	tanto	maior	quanto	maior	for	a	inten-</p><p>sidade	da	força	F	e	quanto	maior	for	o	intervalo	de	tempo	Δt.</p><p>Num	gráfico	F	=	f(t),	o	Impulso	da	força	F	corresponde	nume-</p><p>ricamente	à	área	varrida	pela	figura	geométrica.</p><p>A</p><p>F</p><p>0 t0 t1 t</p><p>A=	F(t0–t1)	=	F.	Δt</p><p>A = I</p><p>77</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>A	propriedade	anterior	é	válida	mesmo	que	a	força,	mantendo</p><p>a	mesma	direcção,	varie	com	o	tempo.</p><p>Observando	 a	 fórmula	 (2.4),	 podemos	 deduzir	 o	 membro</p><p>direito	como	sendo	a	expressão	que	representa	a	quantidade</p><p>de	movimento	(ou	momento	linear)	pois,		envolve	a	massa	e	a</p><p>variação	da	velocidade	do	corpo.</p><p>p	=	m.(v–v0)</p><p>Sendo		Δv	=	v	–	v0,	onde		v e		v0		representam</p><p>a	velocidade	final</p><p>e	inicial	do	corpo	respectivamente.</p><p>Então					 p	=	m.Δv	 	(2.6)</p><p>A	quantidade	de	movimento	é	uma	grandeza	vectorial	com	a</p><p>mesma	direcção	e	o	mesmo	sentido	do	vector	velocidade.</p><p>Se	um	sistema	de	pontos	materiais	de	massas	m1,	m2,	…,	mn,</p><p>que	em	determinado	instante	apresentam	velocidades	respec-</p><p>tivas,	v1,	v2,	…,	vn,	então	a	quantidade	de	movimento	do	sistema</p><p>representa	–	se	da	seguinte	maneira:</p><p>p	=	m1v1	+	m2v2	+	...	+	mnvn</p><p>p	=	p1 +	p2 +	...	+	pn</p><p>(2.7)</p><p>No	Sistema	Internacional	(SI),	a	unidade	de	medida	da	quan-</p><p>tidade	de	movimento	é	o	quilograma	x	metro	por	segundo:</p><p>kg . m . s – 1.</p><p>Fig. 2.10 – Atleta efectuando um salto</p><p>78</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 A	 massa	 de	 um</p><p>caminhão	 é	 5000	 kg	 e</p><p>descreve	 uma	 trajec-</p><p>tória	 rectilínea	 e	 hori-</p><p>zontal	 com	 velocidade</p><p>de	25	m	/	s.	Determine</p><p>a	 quantidade	 de	movi-</p><p>mento:</p><p>a)		Do	caminhão;</p><p>b)		Do	caminhão	com	uma</p><p>carga	de	3000	kg	de</p><p>massa.</p><p>Dados</p><p>m	=	5000kg</p><p>v	=	25m/s</p><p>a)		p=	?	do	camião</p><p>b)		v =		?		do	camião</p><p>+	carga</p><p>Resolução</p><p>a)	o	módulo	da	quantidade	de	movimento	é:</p><p>p =	m.v</p><p>p =	5000kg.25m/s</p><p>p	=	125000kg.m/s</p><p>b)</p><p>p =	p1	+	p2</p><p>p =	m1	v1	+	m2	v2</p><p>v1	=	v2	→ p =	(m1	+	m2).v</p><p>p =	(5000	+	3000).25</p><p>p =	200000kg.m/s</p><p>Relação entre quantidade de movimento e impulso</p><p>(teorema do impulso)</p><p>A	 quantidade	 de	movimento	 e	 o	 impulso	 de	 uma	 força	 são</p><p>grandezas	 físicas	que	se	relacionam.	No	caso	de	um	 jogador</p><p>que	aplica	uma	força	F,	durante	o	intervalo	de	tempo	Δt,	sobre</p><p>a	bola	de	massa	m	que	se	movimenta	com	a	velocidade	inicial</p><p>v0,	a	acção	da	força	causa	na	bola	uma	aceleração	a,	alterando</p><p>a	velocidade	para	v1.	Assim	podemos	dizer	que	a	 força	F	 foi</p><p>a	responsável	pela	alteração	da	quantidade	de	movimento	da</p><p>bola	de	p0	=	m	v0	para	p1	=	m	v1.</p><p>Daqui	 conclui-se	 que	 a	 acção	 da	 resultante	 das	 forças	 que</p><p>agem	num	ponto	material,	durante	um	intervalo	de	tempo	Δt,</p><p>79</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>b)	5	segundos	depois	teremos:</p><p>p2 =	m.v2</p><p>p2 =	0,4kg.7m/s</p><p>p2 =	2,8kg.m/s</p><p>c)		Considerando	que	os	vectores	p1	e	p2	têm	a	mesma	direcção</p><p>e	o	mesmo	sentido,	então</p><p>I =	p1 +	p2	→	I =	2	+	2,8	→	I =	4,8N.s</p><p>d)		sendo</p><p>imprime	nele	 um	 impulso	 I,	 que	 corresponde	 à	 variação	 da</p><p>quantidade	de	movimento	nesse	intervalo	de	tempo.</p><p>p	=	p1	–	p0				ou				I	=	Δp (2.8)</p><p>Essa	expressão,	conhecida	pelo	teorema	do	impulso,	é	válida	para</p><p>referenciais	inerciais	e	é	válida	também	quer	para	o	movimento</p><p>rectilíneo	uniformemente	variado,	como	para	outros	movimen-</p><p>tos	em	qualquer	trajectória.</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 A	 massa	 de	 um</p><p>corpo	 que	 se	 desloca</p><p>em	 movimento	 rectilí-</p><p>neo	 cuja	 resultante	 das</p><p>forças	se	mantêm	cons-</p><p>tante	é	0,4	kg.	Se	a	velo-</p><p>cidade	inicial	for	5	m	/	s,</p><p>e	 passados	 5	 segundos</p><p>essa	 velocidade	 sobe</p><p>para	7	m	/	s,	determine:</p><p>a)		A	quantidade	de	movi-</p><p>mento	inicial	do	corpo;</p><p>b)		A	quantidade	de	movi-</p><p>mento	do	corpo	passa-</p><p>dos	5	segundos;</p><p>c)		O	 impulso	 da	 força</p><p>resultante	 que	 sofre	 o</p><p>corpos;</p><p>d)		A	intensidade	da	força</p><p>resultante	 agente	 no</p><p>corpo.</p><p>Dados</p><p>m	=	0,4kg</p><p>v1	=	5m / s</p><p>t	=	5s</p><p>v2	=	7m / s</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>p =	m.v1</p><p>p1 =	0,4kg.5m/s</p><p>p1 =	2kg.m/s</p><p>I F t F</p><p>I</p><p>t</p><p>F</p><p>N s</p><p>s</p><p>F N</p><p>= → =</p><p>= → =</p><p>.</p><p>, .</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>4 8</p><p>5</p><p>0 96</p><p>80</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Conservação da quantidade de movimento</p><p>Existem	várias	situações,	em	que	o	conceito	de	quantidade</p><p>de	movimento	é	fundamental	para	o	entendimento	dos	fenó-</p><p>menos	físicos	envolvidos.	Estudemos	o	conceito	de	quanti-</p><p>dade	de	movimento	no	caso	de	interacções	de	curta	duração</p><p>entre	corpos	em	que	a	resultante	de	forças	externas	é	nula</p><p>como	acontece	nas	colisões	e	explosões.</p><p>Quando	 duas	 esferas	 colidem,	 ocorre,	 durante	 a	 colisão,</p><p>uma	troca	de	forças	num	intervalo	de	tempo	muito	pequeno.</p><p>A	 acção	 dessas	 forças	 causa	 variações	 das	 quantidades	 de</p><p>movimento	 de	 mesma	 intensidade	 e	 de	 sentidos	 opostos,</p><p>mantendo-se	constante	a	quantidade	de	movimento	do	sis-</p><p>tema.</p><p>Se	ocorrer	variação	de	quantidade	de	movimento,	tal	 facto</p><p>dever-se-á	à	forças	externas	ao	sistema	(peso,	atrito	ou	nor-</p><p>mal).</p><p>Assim,	um	sistema	isolado	é	aquele	cujas	forças	externas	são</p><p>nulas	ou	possuem	intensidade	muito	menor	quando	compa-</p><p>radas	às	forças	internas	ou	ainda	se	a	resultante	das	forças</p><p>externas	for	nula.</p><p>A	quantidade	de	movimento	total	de	um	sistema	se	conserva</p><p>se	a	resultante	das	forças	externas	que	agem	no	sistema	for</p><p>nula.	 Este	 enunciado	 corresponde	 à	 lei	 da	 conservação	 da</p><p>quantidade	de	movimento.</p><p>81</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Um	 comboio	 de</p><p>massa	10000kg	atingiu</p><p>a	 quantidade	 de	movi-</p><p>mento	 2,0.105kg	 ms–1</p><p>ao	fim	de	2,0s,	partindo</p><p>do	repouso.</p><p>a)		Qual	foi	a	força	resul-</p><p>tante	 média	 que	 o</p><p>acelerou?</p><p>b)		Qual	foi	o	valor	da	ace-</p><p>leração	média?</p><p>Dados</p><p>m	=	10000kg</p><p>p	=	2,105kg.m/s</p><p>t	=	2s</p><p>a)		Fm=	?</p><p>b)		am=	?</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>F</p><p>p</p><p>t</p><p>F</p><p>kgms</p><p>s</p><p>F N</p><p>m m</p><p>m</p><p>= → =</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>2 10</p><p>2</p><p>1 10</p><p>5 1</p><p>5</p><p>.</p><p>.</p><p>–</p><p>a</p><p>F</p><p>m</p><p>a</p><p>N</p><p>kg</p><p>a m s</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>m</p><p>= → =</p><p>=</p><p>1 10</p><p>1 10</p><p>10</p><p>5</p><p>4</p><p>2</p><p>.</p><p>.</p><p>/</p><p>2.3.1. Impulso de uma Força</p><p>Da	 2ª	 Lei	 vimos	 que	 a	 força	 F	 aplicada	 sobre	 um	 corpo	 de</p><p>massa	m	imprime-lhe	uma	aceleração a.</p><p>Da	expressão			F	=	ma teremos,	para	a v</p><p>t</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>F m</p><p>v</p><p>t</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>(2.9)</p><p>ou	 F∆t	=	m∆v	 (2.10)</p><p>outra	forma	da	expressão	da	2ª	lei</p><p>82</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>O	 produto	 da	 força	 pelo	 intervalo	 de	 tempo	 expressa	 uma</p><p>nova	grandeza	física,	chamada	Impulso	da	força	sobre	o	corpo.</p><p>Caracteriza	a	força	aplicada	sobre	um	corpo	durante	um	deter-</p><p>minado	intervalo	de	tempo.</p><p>I	=	F∆t	 (2.11)</p><p>(Impulso da força)</p><p>O Impulso de uma força resultante, F, é devido à sua apli-</p><p>cação a um corpo durante um intervalo de tempo, é igual à</p><p>variação da quantidade de movimento desse corpo (m∆v)</p><p>ocorrida nesse intervalo de tempo.</p><p>No	SI,	a	unidade	do	Impulso	da	força	é	obtida	pelo	produto	da</p><p>unidade	de	 força	N	pela	unidade	de	 tempo	s,	 isto	é	Newton.</p><p>segundo		(N.s).</p><p>N.s	=	(kg.ms–2).s		=	kgms–1</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Uma	 força	 F	 de</p><p>intensidade	20N,	direc-</p><p>ção	 vertical	 e	 sentido</p><p>ascendente	 é	 aplicada</p><p>num	 ponto	 material</p><p>durante	 10s.	 Deter-</p><p>mine	 a	 intensidade,	 a</p><p>direcção	e	o	sentido	do</p><p>impulso	dessa	força.</p><p>Dados</p><p>F	=	20kg</p><p>t	=	10s</p><p>I	=	?</p><p>Resolução</p><p>I =	F.t</p><p>I =	F.t</p><p>I =	20.10</p><p>I =	200N.s</p><p>83</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>P1 –	Uma	bola	de	massa	4kg	é	 chutada	 contra	uma	parede</p><p>com	velocidade	15m	Sabendo	que	 esta	 retorna	 com	mesma</p><p>velocidade,	qual	o	impulso	aplicado	pela	parede	a	bola.</p><p>P2 –	Uma	arma	de	massa	6kg	dispara	uma	bala	de	massa	200g</p><p>com	a	velocidade	de	300m.	Determine	a	velocidade	de	recuo</p><p>da	arma</p><p>Exercícios propostos</p><p>R:			p	=	–120N.s</p><p>R: v =	–10m/s</p><p>84</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Unidade 1i1</p><p>trabalho e energia</p><p>3.1. Trabalho de uma Força Constante</p><p>A	característica	do	movimento	mecânico	assenta	(consiste)	no</p><p>conceito	de	trabalho mecânico ou trabalho de uma força.</p><p>Na	linguagem	comum	a	palavra	trabalho	usa-se	para	exprimir</p><p>qualquer	actividade	exercida	por	um	indivíduo.</p><p>Em	Física	o	conceito	de	trabalho	tem	outro	significado	como</p><p>veremos	nos	seguintes	exemplos:</p><p>Fig. 3.1 – Malenga levantando um objecto (a, b, c, d, e)</p><p>Fig. 3.2 – Um avião a descolar</p><p>a)</p><p>d)</p><p>b)</p><p>e)</p><p>c)</p><p>Um	menino	levanta	um	objecto.</p><p>Um	avião	a	levantar	voo;</p><p>Estes	exemplos	mostram	que	o	trabalho	mecânico	se	realiza</p><p>quando	 há	 deslocamento	 de	 um	 corpo	 sob	 a	 acção	 de	 uma</p><p>força.</p><p>85</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Fig. 3.3 – Malenga empurrando uma</p><p>caixinha</p><p>Se	uma	força	aplicada	a	um	corpo	não	produzir	nele	nenhum</p><p>deslocamento,	diz-se</p><p>que	o	trabalho	dessa	força	é	nulo.</p><p>Trabalho mecânico (W) é o trabalho realizado por</p><p>uma força quando produz um deslocamento no corpo.</p><p>1	Joule	é	o	trabalho	realizado	por	uma	força	de</p><p>1	newton	que	actua	na	mesma	direcção	e	sen-</p><p>tido	de	um	deslocamento	de	l	metro</p><p>Consideremos	as	seguintes	situações:</p><p>1ª Situação:		A	força	e	o	deslocamento	têm	a	mesma	direcção</p><p>O	trabalho	da	força	F	no	deslocamento	(s)	de	AB	é	dado</p><p>pela	expressão:</p><p>W =	F.s 	(3.1)</p><p>Esse	trabalho	corresponde	à	energia	transferida	ao	corpo</p><p>pela	força	nele	aplicada	supondo	ideal	o	sistema,	ou	seja,</p><p>sem	perdas	de	energia.</p><p>Quando	a	força	tiver	a	mesma	direcção	e	o	mesmo	sentido</p><p>do	 deslocamento,	 o	 trabalho	 dessa	 força	 denomina-se</p><p>trabalho motor (W> 0).	Se,	pelo	contrário	tiver	a	mesma</p><p>direcção	mas	sentido	oposto	ao	do	deslocamento,	então</p><p>denomina-se	trabalho	resistente	(W < 0).</p><p>No	Sistema	Internacional	o	trabalho	mede-se	em	Nm</p><p>1 Nm = 1 J</p><p>No	Sistema	CGS	o	trabalho	mede-se	em	Dina.	Centímetro</p><p>1	dine.cm	=	1	Erg</p><p>1	J	=	105	dine.102	cm</p><p>1	J	=	107	dine.cm</p><p>1	J	=	107	erg</p><p>86</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>No	Sistema	Técnico	o	trabalho	mede-se	em	Cavalo	-	Vapor</p><p>(CV)	e	Horse	–	Power	(HP)</p><p>O	Cavalo	Vapor	corresponde	à	potência	necessária	para</p><p>erguer	a	de	m	um	corpo	de	massa	75	kg	em	1	segundo</p><p>num	local	onde	g	=	9,8		m/s2</p><p>1	CV	=	735	W</p><p>1	HP	=		746	W</p><p>2ª Situação:		A	força	e	o	deslocamento	não	têm	a	mesma	direcção</p><p>(formam	um	ângulo	entre	SI)</p><p>O	trabalho	da	força	F	no	deslocamento	(s)	de	AB	é	dado</p><p>pela	expressão:</p><p>WAB =	F.s cos α 	(3.2)</p><p>O	trabalho	é	uma	grandeza	escalar.	Por	isso	pode	ser	posi-</p><p>tivo	(0°	≤	α	<	90°)	ou	negativo	(90°	<	α	≤	180°).	Quando</p><p>a	 força	for	perpendicular	à	direcção	do	deslocamento,	o</p><p>trabalho	da	força	F	é	nulo,	pois	cos 90°	=	0.</p><p>Fig. 3.4 – Ritinha puxando um car-</p><p>rinho amarrado a uma corda</p><p>Exercício de aplicação</p><p>P1 –	 Tunga	 Muanza</p><p>eleva	um	corpo	de	massa</p><p>20kg	a	uma	altura	de	3m</p><p>durante	 10s.	 Qual	 será</p><p>o	valor	da	força	que	ele</p><p>deve	exercer	para	que	o</p><p>corpo	 suba	 com	 veloci-</p><p>dade	constante	sabendo</p><p>que	a	aceleração	da	gra-</p><p>vidade	é	de	10ms–2.	Que</p><p>trabalho	se	realiza?</p><p>Dados</p><p>m	=	20kg</p><p>s	=	3m</p><p>t	=	10s</p><p>F=	? W	=	?</p><p>Resolução</p><p>F =	m.g → F =	20kg.10m.s–2</p><p>F =	200N</p><p>W =	F.s.cosα</p><p>W =	200N.3m.cos00</p><p>W =	600J</p><p>87</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>P1 –	 Que	 grandezas	 caracterizam	 o	 trabalho	 mecânico?</p><p>Define-as.</p><p>P2 –	Um	corpo	de	massa	6kg	é	lançado	horizontalmente	com</p><p>a	velocidade	de	20m/s	sobre	uma	superfície	plana	horizontal.</p><p>(Considere	g	=	10m/s2	e	sem	atrito).</p><p>a)		Calcule	o	trabalho	realizado	pela	força	até	o	corpo	atingir</p><p>o	repouso.</p><p>b)		Determine	 o	 trabalho	 realizado	 pela	 força	 peso	 e	 pela</p><p>reacção	normal	do	apoio	durante	todo	o	percurso.</p><p>Exercícios propostos</p><p>a)	R: 		W	=	1200J</p><p>b)	R: Wp	=	WN	=	0</p><p>3.2. Trabalho de uma Força Variável</p><p>Suponhamos	 um	 corpo	 de	 massa	 m	 que	 se	 desloca	 de	 um</p><p>ponto	A	(nível	alto)	para	um	ponto	B	(nível	baixo),	seguindo</p><p>uma	trajectória	qualquer.</p><p>Sendo	P	o	peso	do	corpo	e	s	o	seu	deslocamento	entre	os	pon-</p><p>tos	A	e	B,	o	trabalho	realizado	pela	força	peso	tem	a	seguinte</p><p>expressão:</p><p>WAB	=	P.s	cos	α</p><p>WAB	=	P.h</p><p>WAB	=	m.g.h (3.3)</p><p>Independentemente	do	caminho	a	percorrer,	o	trabalho	da	força</p><p>peso	não	depende	da	trajectória	entre	os	pontos	de	partida	e	de</p><p>chegada.	Por	isso	a	força	peso	é	uma	força	conservativa.</p><p>Se,	pelo	contrário	o	deslocamento	se	efectuar	do	ponto	B	para</p><p>o	ponto	B,	ou	seja,	durante	a	subida,	o	trabalho	da	força	peso</p><p>é	negativo</p><p>WAB	=	P.h</p><p>WAB	=	m.g.h</p><p>Fig. 3.5 – Corpo deslocando de</p><p>baixo para cima</p><p>88</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Exercício de aplicação</p><p>P1 –	 Calcula	 o	 traba-</p><p>lho	 realizado	 por	 uma</p><p>pedra	 que	 possuí	 uma</p><p>massa	 de	 2kg	 quando</p><p>a	mesma	e	atirada	para</p><p>cima	 atingindo	 uma</p><p>altura	de	8	metros,	cuja</p><p>aceleração	e	de		10m.s–2.</p><p>Dados</p><p>W	=	?</p><p>m	=	2kg</p><p>h	=	8m</p><p>g	=	10m.s</p><p>Resolução</p><p>W =	m.g.h</p><p>W =	2kg.10m.s–2.8m</p><p>W =	160J</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 –	Um	bloco	 com	4kg,	 inicialmente	 em	repouso,	 é	puxado</p><p>por	Panzo	António	com	uma	força	constante	ao	longo	de	uma</p><p>distância	de	15m,	sobre	uma	superfície	plana,	lisa	e	horizontal,</p><p>durante	2s.	Qual	o	trabalho	realizado	por	essa	força.</p><p>P2 –	Uma	gota	de	chuva	de	massa	igual	a	0,1g	cai	no	ar	com</p><p>velocidade	constante	de	1m/s,	percorrendo	assim	uma	distân-</p><p>cia	de	100m.	A	aceleração	da	gravidade	no	local	é	10m/s–2.</p><p>a)		Qual	 o	 trabalho	 realizado	 pela	 força	 peso	 durante	 a</p><p>queda?</p><p>b)		Qual	o	trabalho	executado	pelas	forças	de	resistência	do</p><p>ar	nessa	queda?</p><p>R: 		W	=	2J</p><p>a)	R: 		W	=	0,10J</p><p>b)	R: W	=	–	0,10J</p><p>89</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>3.3. Potência</p><p>Vimos	que	as	forças	realizam	um	trabalho	sobre	os	corpos.	As</p><p>máquinas	 são	 engenhos	 concebidos	 para	 realizar	 diferentes</p><p>tipos	de	trabalho.	Qualquer	máquina	realiza	um	determinado</p><p>volume	de	trabalho	num	determinado	tempo.</p><p>A	potência	é	a	rapidez	com	que	é	realizado	o	trabalho.	Quanto</p><p>menor	 for	o	tempo	para	realizar	o	mesmo	trabalho,	maior	a</p><p>potência	desenvolvida	e	vice-versa.</p><p>A	potência	P	de	uma	máquina	é	igual	à	razão	entre	o	trabalho</p><p>W	realizado	e	o	intervalo	de	tempo	t	durante	o	qual	ele	foi	rea-</p><p>lizado.</p><p>P</p><p>W</p><p>t</p><p>= 	,			para</p><p>W F s P</p><p>F s</p><p>t</p><p>= → =. .</p><p>Sendo</p><p>v</p><p>s</p><p>t</p><p>P F v= → = . 		 (3.4)</p><p>onde</p><p>F	é	a	força	e	v	a	velocidade.</p><p>No	sistema	SI	a	unidade	de	potência	é	Watt	(W)</p><p>1W	=	1J/1s</p><p>Em	 engenharia	 emprega-se	 frequentemente	 uma	 unidade</p><p>equivalente	 à	 1000W	 designado	 Quilowatt	 (KW)	 ou	 1.000.</p><p>000	W,	Megawatt	(MW).</p><p>Outras	unidades	diferentes	do	SI	são:</p><p>–		Horse	–	Power	(HP),	1HP	=	746	W	(Inglaterra)</p><p>–		Cheval	–	vapeur	(Cv),	1Cv	=	735	W	(França)</p><p>90</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Exercício de aplicação</p><p>P1 –	Costuma-se	medir</p><p>a	potência	de	um	carro</p><p>pela	velocidade	máxima</p><p>que	ele	é	capaz	de	atin-</p><p>gir	 em	 10s	 de	 movi-</p><p>mento,	em	linha	recta,	a</p><p>partir	do	repouso.	Para</p><p>um	 certo	 carro,	 essa</p><p>velocidade	 máxima	 é</p><p>108km/h.	 Nessa	 situa-</p><p>ção:</p><p>a)		Qual	o	valor	dessa	velo-</p><p>cidade	 máxima,	 em</p><p>metros	por	segundo?</p><p>b)		Calcule	 a	 aceleração</p><p>média	 do	 carro	 nesse</p><p>trecho,	em	metros	por</p><p>segundo	ao			quadrado.</p><p>c)		Sabendo-se	que	a	massa</p><p>do	 carro	 é	 1000kg,</p><p>aproximadamente,	 cal-</p><p>cule	a	potência	 	média</p><p>(em	 watt	 s)	 que	 ele</p><p>desenvolve	 nesse	 tre-</p><p>cho,	desprezando-se	os</p><p>atritos.</p><p>d)		Qual	 a	 potência	 do</p><p>carro	no	instante	10s?</p><p>Dados</p><p>t	=	10s</p><p>v	=	108km/h</p><p>a)		v	=	?</p><p>b)		am	=	?</p><p>c)		m	=	1000kg,		Pm =	?</p><p>d)		P	=	?</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>v =	108km/h =	108/3,6	=	30m/s</p><p>d)</p><p>P =	F.v → P	=	3000.30	=	9.104Watts</p><p>c)</p><p>Pm =	?				Força	média	que	o	carro	desenvolve</p><p>Fm	=	m.a	→ Fm	=	1000.3	=	3000N</p><p>Deslocamento	nesse	trecho		v2	=	v20	=	+	2as</p><p>302	=	02	+	2.3.s	=	150m</p><p>Trabalho	da	força	F</p><p>W =	F.d	→	W	=	3000.150</p><p>W	=	4.5.105N</p><p>Potência	média</p><p>P</p><p>W</p><p>t</p><p>P Watts</p><p>m m</p><p>= → = =</p><p>4 5 10</p><p>10</p><p>4 5 10</p><p>5</p><p>4</p><p>, .</p><p>, .</p><p>b)</p><p>a</p><p>v</p><p>t</p><p>a m s</p><p>m m</p><p>= → = =</p><p>30</p><p>10</p><p>3</p><p>2</p><p>/</p><p>91</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>P1 –	A	propaganda	de	 um	automóvel	 diz	 que	 ele	 consegue</p><p>atingir	 a	 velocidade	 de	 108km/h	 numa	 recta	 horizontal	 de</p><p>150m,	partindo	do	repouso.	Sendo	1200kg	a	massa	de	auto-</p><p>móvel,	determine	a	potência	que	ele	desenvolve.</p><p>P2 –	 Uma	 máquina	 realiza	 um	 trabalho	 de	 2400J	 em	 15s.</p><p>Determine	a	potência	média	desta	máquina.</p><p>P3 –	 Um	 guindaste	 foi	 projectado	 para	 suspender	 vertical-</p><p>mente	um	fardo	de	massa	igual	a	3.103	kg,	à	altura	de	10m,	no</p><p>intervalo	de	tempo	de	30s.	A	aceleração	da	gravidade	no	local</p><p>é	9,8m/s2.	Calcule	a	potência	d	média	deve	desenvolver.</p><p>Exercícios propostos</p><p>R:			P	=	54kW</p><p>R:			P	=	160	W</p><p>R:			P	=	9,8.103	W</p><p>3.4. Energia potencial</p><p>Chama-se	energia	potencial	a	que	depende	da	posição	mútua</p><p>dos	 corpos	 ou	 das	 posições	 relativas	 de	 um	mesmo	 corpo.</p><p>A	 energia	 potencial	 é	 uma	 forma	 de	 existência	 da	 energia</p><p>mecânica	 quando	 está	 armazenada,	 podendo	 a	 qualquer</p><p>momento	manifestar-se,	 transformando-se	 em	outra	 forma</p><p>de	energia.	Por	exemplo,	sob	a	forma	de	movimento.	A	ener-</p><p>gia	hidráulica	e	a	nuclear	é	exemplos	de	existência	de	energia</p><p>potencial	 visto	que	 são	 energias	que	 estão	 em	potência	 ou</p><p>armazenadas.</p><p>A	energia	potencial	só	depende	das	posições	inicial	e	final.	Por</p><p>esse	motivo	é	associada	ao	trabalho	das	forças	conservativas.</p><p>OBS:		conservativa	quer	dizer	que	durante	o	movimento	de	um</p><p>corpo	sujeito	a	esse	tipo	de	força	não	há	perca	de	energia</p><p>completa.</p><p>92</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Tipos de energia potencial</p><p>Energia potencial gravitacional:	é	a	energia	que	os	siste-</p><p>mas	 possuem	perto	 da	 superfície	 da	 terra.	 	 Representa-se</p><p>mediante	a	seguinte	fórmula:</p><p>Ep	=	m.g.h.	 	(3.5)</p><p>onde:	m,	é	a	massa	do	corpo;	g,	aceleração	gravitacional	e	h,</p><p>a	altura.</p><p>g	=	cte				e	tem	o	valor	de	9,8	ms–2</p><p>Para	grandes	distâncias	muito	longe	da	superfície	da	terra,</p><p>ex:	satélites	artificiais	ou	naturais,	…	etc.	a	energia	gravitató-</p><p>ria	representa-se	mediante	a	seguinte	fórmula:</p><p>E G</p><p>M m</p><p>Rg</p><p>= − 1 2</p><p>.</p><p>(3.6)</p><p>onde	G	é	a	constante	universal	gravitacional,	M1	a	massa	da</p><p>terra,	m2,	massa	do	 corpo	ou	 satélite,	 	 R	 distância	 tomada</p><p>desde	o	centro	da	terra	até	o	corpo,		relativo	ao	referencial,</p><p>neste	caso		tomado	da	terra.</p><p>3.4.1. Energia Potencial Elástica</p><p>É	a	energia	de	uma	mola	que	possui	elasticidade	ou	corda	que</p><p>está	esticada.</p><p>A	mola	é	um	corpo	que	apresenta	comportamento	ideal	para</p><p>se	estudar	esse	 tipo	de	energia.	Pois	 toda	a	energia	que	ela</p><p>recebe	 para	 se	 deformar	 realmente	 armazena,	 assim	 que	 a</p><p>energia	potencial	acumulada	nessa	mola	representa-se	pela</p><p>seguinte	fórmula:</p><p>E</p><p>kx</p><p>elas</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>(3.7)</p><p>Onde	 x	 representa	 a	 deformação	 (contracção	 ou	distensão)</p><p>sofrida	pela	mola	e	k	é	a	constante	elástica	que	mede	o	grau</p><p>de	dificuldade	para	o	corpo	se	deformar;	depende	do	material</p><p>de	fabrico	da	mola.</p><p>93</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Pela	equação	da	energia	potencial	elástica,	podemos	notar	que</p><p>quanto	maior	for	a	deformação	e	quanto	maior	for	a	dificul-</p><p>dade	para	o	corpo	se	deformar	(k),	maior	será	a	quantidade	de</p><p>energia	potencial	elástica	que	essa	mola	armazenará.</p><p>A	 energia	 em	 todos	 esses	 casos	 esta	 sendo	 utilizada	 para</p><p>deformar	um	corpo.</p><p>Assim	como	nos	exemplos	citados,	sempre	que	um	corpo	for</p><p>deformado	e	mantém	a	capacidade	de	diminuir	essa	deforma-</p><p>ção	voltando	ou	não	a	forma	original,	dizemos	que	esse	corpo</p><p>armazenou	 um	 tipo	 de	 energia	 chamada	 energia	 potencial</p><p>elástica.</p><p>Exemplos	de	ocorrências</p><p>Fig. 3.6 – a) Mola distendida; b) Mulher puxando uma corda de arco e flecha</p><p>a) b)</p><p>A	designação	potenial	é	devida	ao	facto	de	o	corpo	ser	esti-</p><p>cado	ou	comprimido	poder	adquirir	movimento	espontâneo</p><p>após	 ser	 libertado.	A	denominação	 elástica	 vem	do	 facto	de</p><p>a	 capacidade	de	deformar	 e	 voltar	 a	 forma	 inicial,	 chamada</p><p>elasticidade.	Tal	como	já	fizemos	referência	no	tema	anterior	a</p><p>energia	potencial	gravitacional	é	também	uma	energia	arma-</p><p>zenada,	e,	associa-se	a	um	corpo	devido	a	sua	posição	em	rela-</p><p>ção	a	outros	corpos	ou	mesmo	em	relação	a	terra.</p><p>94</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Uma	bola	a	ser	abandonada	de	uma	altura	H	a	partir	do	ponto</p><p>A	 até	 ao	 ponto	 B	 que	 pode	 ser	 considerado	 como	 a	 Terra.</p><p>Á	medida	que	a	bola	cai	a	energia	potencial	vai	diminuindo	e</p><p>aumenta	a	energia	cinética,	assim	como	a	sua	velocidade.</p><p>Quando	uma	mola	elástica	é	esticada	ou	comprimida,	a	força</p><p>necessária	para	o	efeito	aumenta	à	medida	que	a	mola	aumenta</p><p>ou	diminui	de	comprimento.</p><p>Segundo	a	Lei	de	Hook	cujo	gráfico	se	apresenta,	o	trabalho	da</p><p>força	F	aplicada	na	mola	e	produz	nela	uma	deformação	x,	pode</p><p>ser	calculado	em	função	da	área	do	triângulo	destacado	na	figura.</p><p>A	=	W	=	(base.altura)	/	2	=	(x.k.x)/2</p><p>W</p><p>kx</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>(3.8)</p><p>Fig. 3.7 – Mola em distensão</p><p>F(x)</p><p>Xx</p><p>kx</p><p>0</p><p>Fig. 3.8 – Lei de Hook</p><p>95</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Exercício de aplicação</p><p>P1 –	Qual	será	a	energia</p><p>potencial	elástica	arma-</p><p>zenada	 numa	 mola	 de</p><p>constante	elásti	ca</p><p>K	 =	 250N.m–1	 quando</p><p>estica	20cm?</p><p>Dados</p><p>Eelas	=	?</p><p>k	=	250	N.m–1</p><p>x	=	20cm =	0,2m</p><p>Resolução</p><p>E</p><p>kx</p><p>E</p><p>elas elas</p><p>= → =</p><p>2</p><p>2</p><p>250 0 04</p><p>2</p><p>. ,</p><p>E J</p><p>elas</p><p>=5</p><p>Se	a	mola	for	distendida	(aumento	de	comprimento)	ou	compri-</p><p>mida	(redução	de	comprimento)	o	trabalho	da	força	elástica	de</p><p>restituição	será	positivo.</p><p>Tal	como	a	força	peso,	a	força	elástica	é	também	uma	força	con-</p><p>servativa.</p><p>P1 –	Uma	bala	de	revolver	é	disparada	verticalmente	para	cima</p><p>e	atinge	altura	máxima	de	4000m	acima	do	ponto	de	disparo.</p><p>Considere	g	=	10m/s2	e	despreze	a	resistência	do	ar,	determine</p><p>a	velocidade	com	que	a	bala	saiu	do	cano	do	revolver.</p><p>P2 –	A	massa	do	martelo	de	um	bate-estacas	é	200kg	e	ele	cai</p><p>de	2m	de	altura	sobre	a	estaca.	Suponha	o	sistema	conserva-</p><p>tivo	e	adopte	g	=	10m/s2.</p><p>a)		Qual	a	energia	potencial	inicial	do	martelo,	em	relação	à</p><p>estaca?</p><p>b)		Qual	a	velocidade	do	martelo	no	instante	do	impacto?</p><p>Exercício proposto</p><p>R: 		V	=	–282	m/s</p><p>a)	R: 		Ep	=	4000J</p><p>b)	R:			v	=		m/s</p><p>96</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>3.5. Energia Cinética</p><p>– Teorema de Trabalho e Energia</p><p>A	velocidade	de	um	ponto	material	varia	por	acção	da	força</p><p>aplicada.	O	trabalho	da	força	aplicada	está	relacionado	com	a</p><p>variação	da	velocidade	do	ponto	material.</p><p>Esta	 relação	 expressa-se	 mediante	 a	 energia	 cinética	 do</p><p>ponto	material.</p><p>Para	 determinar	 a	 energia	 cinética	 de</p><p>um	 ponto	 material	 calculemos	 o	 pri-</p><p>meiro	 trabalho	 realizado	 para	 variar	 a</p><p>velocidade	do	ponto	material	de	massa</p><p>m	 desde	 v1	 até	 v2.	 Para	 isso	 apliquemos</p><p>ao	ponto	material	uma	 força	constante</p><p>paralela	 ao	 vector	 velocidade	 v1,	 força</p><p>que	em	certo	intervalo	de	tempo,	varia	a</p><p>velocidade	desde	v1	até	v2.	Neste	inter-</p><p>valo	 de	 tempo,	 o	 ponto	 material	 per-</p><p>corre	uma	distância	s,	e	a	força	realiza	o</p><p>trabalho.</p><p>w =	F.s (3.9)</p><p>O	espaço	percorrido	pelo	ponto	material	é	dado	por</p><p>s</p><p>v v</p><p>a</p><p>=</p><p>−</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>(3.10)</p><p>A	força	dada	por</p><p>F	=	m.a (3.11)</p><p>Substituindo	as	 equações	 (3.10)	 e	 (3.11)	na	 equação	 (3.9),</p><p>obtemos</p><p>W ma</p><p>v v</p><p>a</p><p>=</p><p>−</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>Donde</p><p>W</p><p>mv mv</p><p>= −2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>(3.12)</p><p>Fig. 3.9 – Meninos observando a corrente da água do rio Kuanza</p><p>97</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Assim	 temos	 o	 trabalho	 da	 força	 que	 é	 igual	 a	 variação	 da</p><p>grandeza	mv</p><p>2</p><p>2</p><p>,	que	se	denomina	energia	cinética.	Designando</p><p>energia	cinética	por	Ec:</p><p>E</p><p>mv</p><p>c</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>(3.13)</p><p>A	energia	cinética	é	 função	do	movimento.	Em	Física	ener-</p><p>gia	 cinética	 de	 um	 ponto	material	 define-se	 como	 sendo	 a</p><p>metade	do	produto	da	massa	pelo	quadrado	da	velocidade.</p><p>A	energia	cinética	de	um	sistema	é	igual	ao	somatório	das	ener-</p><p>gias	cinéticas	de	todas	as	partículas	constituintes	do	sistema.</p><p>E mv</p><p>c</p><p>= ∑</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>(3.14)</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	Uma	bala	de	uma</p><p>espingarda,	 de	 massa</p><p>20g,	 tem	 a	 velocidade</p><p>200m/s	 quando	 atinge</p><p>uma	parede	e	nela	pe-</p><p>netra	25cm,	até	parar.</p><p>a)		Qual	 a	 energia	 ciné-</p><p>tica	da	bala	ao	atingir</p><p>a	parede?</p><p>b)		Qual	a	intensidade	da</p><p>força	de	resistência	da</p><p>parede	 sobre	 a	 bala,</p><p>supondo-a	constante?</p><p>Dados</p><p>m	=	20g	=	2.10–2kg</p><p>Ec	=	400J</p><p>s	=	25cm	=	2,5.10–1m</p><p>a)		Ec	=	?											b)		F=	?</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>E</p><p>mv</p><p>E v m s</p><p>E J</p><p>C C</p><p>C</p><p>= → = =</p><p>=</p><p>. . .</p><p>/</p><p>–2 2</p><p>2</p><p>2 10 40000</p><p>2</p><p>200</p><p>400</p><p>W =	Ecf –	Eci	→ F.s	=	Ecf –	Eci</p><p>F.2,5.10–1 =	0	–	400</p><p>F =	1600N</p><p>98</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 –	Raquel		puxa	uma	caixa	de	massa	de	10kg	ao	longo	de	8m</p><p>de	uma	superfície	horizontal	onde	o	atrito	é	desprezável.</p><p>A	força	exercida	pela	Raquel	é	horizontal,	tem	intensidade	de</p><p>1200N	e	a	caixa		inicialmente	estava	em	repouso.</p><p>a)		Determine	o	trabalho	realizado	pela	Raquel?</p><p>b)		Calcule	 a	 energia	 cinética	 final	 da	 caixa.</p><p>Compare	 esse</p><p>valor	com	o	trabalho	realizado	pela	Raquel?</p><p>P2 –	Um	carro	percorre	uma	curva	plana,	horizontal	e	circular,</p><p>de	raio	igual	1km,	com	a	energia	cinética	constante	igual	a	2.105J.</p><p>a)		Calcule	a	força	resultante	actuando	sobre	o	carro?</p><p>b)		Qual	o	trabalho	da	força	resultante	sobre	o	carro	ao	per-</p><p>correr	¼		de	circunferência?</p><p>a)	R: 	W	=	9600J;</p><p>o	 trabalho	 reali-</p><p>zado	causará	uma</p><p>variação	de	veloci-</p><p>dade	da	caixa</p><p>b)	R: 	W	=	9600J;</p><p>W	≠	Ecf</p><p>pois	Ecf	=	0</p><p>a)	R: 		F	=	400N</p><p>b)	R: W	=	0J</p><p>3.6. Lei de Conservação</p><p>da Energia Mecânica</p><p>Energia	mecânica	é	a	soma	da	energia	cinética	com	a	energia</p><p>potencial	que	uma	partícula	tem	num	dado	instante.</p><p>Exemplo:</p><p>uma	bola	solta	do	alto,	durante	a	descida	vai	perdendo	ener-</p><p>gia	potencial	e	vai	ganhando	energia	cinética.	A	soma	destas</p><p>energias	em	cada	 instante	é	constante	e	denominamos	de</p><p>energia	mecânica.</p><p>Num sistema conservativo, a energia mecânica total perma-</p><p>nece constante, qualquer que seja a transformação do sistema.</p><p>99</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE III – Trabalho e Energia</p><p>P1 –	 Uma	 mola	 de	 constante	 elástica	 3200N/m	 mostra-se</p><p>comprimida	 de	 0,2m	 contra	 o	 chão.	 Sobre	 ela,	 repousa	 um</p><p>bloco	de	massa	M	=	2kg.	A	mola	é	solta	e	arremessa	o	bloco</p><p>verticalmente.	Qual	é	o	módulo	da	velocidade	do	bloco	quando</p><p>este	atingir	uma	altura	de	2,4m?	Com	relação	à	posição	inicial,</p><p>despreze	todas	as	forças	dissipativas	e	considere	g	=	10	m/s2.</p><p>Exercício proposto</p><p>R:			v	=	4	m/s</p><p>Exercício de aplicação</p><p>P1 –	 O	 recorde	 olím-</p><p>pico	 de	 salto	 com	 vara</p><p>é	aproximadamente	6m</p><p>de	altura.	Considerando</p><p>que	o	atleta	tenha	conse-</p><p>guido	 transformar	 toda</p><p>a	 sua	 energia	 cinética</p><p>da	 corrida	 de	 impulso</p><p>para	o	salto	em	energia</p><p>potencial	 gravitacional</p><p>ao	transpor	o	obstáculo,</p><p>calcule	a	sua	velocidade</p><p>imediatamente	 antes	 de</p><p>fincar	 a	 vara	 no	 solo</p><p>para	iniciar	o	salto?</p><p>Dados</p><p>g	=	10m /	s2</p><p>h	=	6m</p><p>Ec	=	Ep</p><p>v	=	?</p><p>Resolução</p><p>mv</p><p>mgh</p><p>v gh</p><p>v</p><p>v m s</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 10 6</p><p>11</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>. .</p><p>/</p><p>100</p><p>101</p><p>Fenómenos</p><p>Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>UNIDADE 2 – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>UNIDADE 3 – Termodinâmica</p><p>P</p><p>A</p><p>R</p><p>T</p><p>E</p><p>I</p><p>I</p><p>102</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>PARTE 1I: FENÓMENOS TÉRMICOS</p><p>Unidade 1</p><p>EnErgia Térmica</p><p>Fig. 1.1 – Águas termais do Chilesso (Andulo)</p><p>Encontramo-nos, a todo instante da vida, em contacto com</p><p>outros corpos que nos dão a sensação de quente ou frio. Estas</p><p>sensações nos transmitem as primeiras noções da energia</p><p>térmica.</p><p>1.1. Temperatura</p><p>Sempre que falamos de temperatura de um corpo, fazemos</p><p>referência ao nível de vibração das suas moléculas.</p><p>A temperatura, porém, pode ser medida de várias maneiras.</p><p>Obtêm-se essas temperaturas de maneira indirecta, por com-</p><p>paração. Tal processo só é possível porque certas grandezas</p><p>103</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>das substâncias, a exemplo do comprimento de uma barra, o</p><p>volume de um gás ou o brilho da luz emitida por um sólido</p><p>muito quente, variarem com a temperatura. Medida a variação</p><p>sofrida por uma das grandezas, podemos avaliar a tempera-</p><p>tura de um corpo.</p><p>É com base na variação dessas grandezas que são construídos</p><p>os termómetros, dispositivos capazes de medir a temperatura</p><p>dos corpos.</p><p>Para que possam indicar a variação de temperatura dos diferen-</p><p>tes corpos, é preciso que os termómetros sejam graduados. E essa</p><p>graduação é feita de acordo com várias escalas termométricas.</p><p>1.1.1. Escalas Termométricas</p><p>Para o efeito é necessário estabelecer os seus pontos fixos,</p><p>atribuir aos mesmos e dividir em partes iguais o intervalo</p><p>entre eles, seguindo o seguinte:</p><p>Escolhemos determinados fenómenos físicos, que podem ser</p><p>repetidos em condições idênticas quantas vezes forem neces-</p><p>sárias. São exemplos de pontos fixos:</p><p>• (PG) Ponto de Gelo → corresponde à temperatura do</p><p>gelo que se transforma em água quando submetida à</p><p>pressão de uma atmosfera.</p><p>• (Pv) Ponto de Vapor → corresponde à temperatura da</p><p>água fervente que se transforma em vapor quando sub-</p><p>metida à pressão de uma atmosfera.</p><p>Depois dessa operação atribuir-se-lhes valores numéricos e, a</p><p>seguir, divide-se o intervalo entre eles em partes iguais.</p><p>As diferentes escalas dependem dos valores atribuídos a esses</p><p>pontos e as divisões feitas entre eles.</p><p>Dentre as escalas conhecidas, as mais utilizadas são:</p><p>• Celsius [°C]</p><p>• Fahrenheit [F]</p><p>• Kelvin [K]</p><p>104</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Analisando cada escala que segue</p><p>Escala Célsius</p><p>Esta escala foi estabelecida pelo físico sueco Anders Celcius.</p><p>Ele atribuiu o valor zero ao ponto correspondente à tempe-</p><p>ratura do gelo e o valor 100 ao ponto de vapor. Divide-se esse</p><p>intervalo em 100 partes iguais. Cada uma dessas partes cor-</p><p>responde à variação de um grau Celsius.</p><p>Escala Fahrenheit</p><p>Esta escala foi elaborada pelo físico alemão Daniel Fahrenheit,</p><p>e é muito usada nos países da língua inglesa.</p><p>De acordo com esta escala Fahrenheit, o ponto de gelo cor-</p><p>responde ao número 32 e o ponto de vapor ao número 212.</p><p>O intervalo entre esses números está dividido em 180 partes</p><p>iguais (212-32). Cada uma dessas partes corresponde à varia-</p><p>ção de um grau Fahrenheit.</p><p>Escala Kelvin</p><p>A escala Kelvin foi criada pelo físico inglês Lord Kelvin e é muito</p><p>usada em pesquisas científicas. Esta escala é conhecida também</p><p>por Escala Absoluta ou termodinâmica. O seu ponto de gelo cor-</p><p>responde ao número 273 e o seu ponto de vapor ao número 373.</p><p>1.1.2. Relações entre as Escalas Termométricas</p><p>Para percebermos melhor as relações existentes entre as</p><p>várias escalas vamos considerar a seguinte situação:</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>60</p><p>70</p><p>80</p><p>90</p><p>°C</p><p>32</p><p>212</p><p>°F</p><p>Fig. 1.2 – Termómetro com escala</p><p>Celsius</p><p>Fig. 1.3 – Termómetro com escala</p><p>Fahrenheit</p><p>Fig. 1.4 – Comparação entre escalas termométricas</p><p>Pv (ponto de vapor) 100 212 373</p><p>C – 0 F–32 K–273</p><p>273320</p><p>KFC</p><p>X</p><p>100 100180</p><p>PG (ponto de gelo)</p><p>(temperatura</p><p>em</p><p>cada escala)</p><p>105</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Sendo a temperatura igual, o mercúrio sofrerá a mesma dilata-</p><p>ção em todos os termómetros ainda que cada um esteja a mar-</p><p>car um valor diferente, devido a cada termómetro associar um</p><p>valor correspondente, na sua escala. Os segmentos que corres-</p><p>pondem à varia de temperatura (PV – PG) são iguais para todos</p><p>termómetros e os que correspondem à dilatação do mercúrio,</p><p>a partir do ponto de gelo (X – PG), também são iguais. Pode-</p><p>mos, desta feita estabelecer as seguintes relações:</p><p>X P</p><p>P P</p><p>C F KG</p><p>V G</p><p>−</p><p>−</p><p>= =</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>100</p><p>32</p><p>180</p><p>273 16</p><p>100</p><p>, (1.1)</p><p>Desde que conheçamos PG e PV podemos, consequentemente,</p><p>estabelecer correspondência entre quaisquer escalas.</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – A temperatura</p><p>de um doente regista</p><p>no termómetro 40°C.</p><p>Determine o valor dessa</p><p>temperatura nas escalas</p><p>Fahrenheit e Kelvin.</p><p>Resolução</p><p>Para resolver esse problema,</p><p>basta aplicar as fórmulas 1.1</p><p>relacionando a escala Fahre-</p><p>nheit com Celsius:</p><p>Relacionando a escala Kelvin</p><p>com a Celsius:</p><p>Resposta: nas escalas Fahrenheit e Kelvin, a temperatura do</p><p>doente será respectivamente igual a: 104° e 313K.</p><p>F C</p><p>F</p><p>C</p><p>F</p><p>F</p><p>−</p><p>=</p><p>− =</p><p>= +</p><p>=</p><p>32</p><p>180 100</p><p>32</p><p>100</p><p>180</p><p>180 40</p><p>100</p><p>32</p><p>10</p><p>.</p><p>.</p><p>44°F</p><p>K C</p><p>K</p><p>C</p><p>K C</p><p>K</p><p>−</p><p>=</p><p>− =</p><p>− =</p><p>= +</p><p>273 16</p><p>100 100</p><p>273</p><p>100</p><p>100</p><p>273</p><p>40 2</p><p>,</p><p>.</p><p>773 16</p><p>313</p><p>,</p><p>K K=</p><p>106</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Exercícios propostos</p><p>R: T = 293°K</p><p>R: t = 540</p><p>R: t = 113°F e t = 318°K</p><p>P1 – Assinale com F ou V as seguintes afirmações:</p><p>a) Temperatura e o grau de agitação térmica das moléculas</p><p>de um corpos.</p><p>b) Dois sistemas estão em equilíbrio térmico com um ter-</p><p>ceiro, logo eles estão em equilíbrio entre si.</p><p>c) Um dos pontos fixos da escala termodinâmica e o ponto de</p><p>gelo que deve ser obtido sob pressão de 2 Atm na escala</p><p>Célsius corresponde 0 C̊ na escala Fahrenheit corresponde</p><p>a 32 °F e na escala Kelvin a 27.</p><p>d) Quanto maior</p><p>for a massa de um corpo tanto maior será</p><p>sua temperatura.</p><p>e) O zero absoluto (0° K = – 273 °C) é o estado de agitação que</p><p>encontramos os corpos.</p><p>P2 – Três corpos em contacto entre si estão em equilíbrio tér-</p><p>mico. Nessa situação podemos afirmar:</p><p>a) Os três corpos apresentam-se no mesmo estado físico.</p><p>b) A temperatura dos três corpos é a mesma.</p><p>c) O calor contido em cada um deles é o mesmo.</p><p>d) O corpo de maior massa tem mais calor que os outros dois.</p><p>e) Nenhuma das respostas anteriores.</p><p>P3 – Converta 68 °F para a escala Kelvin.</p><p>P4 – Uma massa de gás varia a sua temperatura entre 300 °K</p><p>para 600°K. Quanto será essa variação na escala Fahrenheit?</p><p>P5 – Que valores são lidos nos termómetros Fahrenheit e Kelvin</p><p>se o termómetro Célsius lê 45 °C?</p><p>107</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>1.2. Dilatação dos Sólidos</p><p>1.2.1. Dilatação Linear</p><p>A maior parte dos sólidos dilata-se quando aquecida. Suponha</p><p>que uma barra de determinado material tenha comprimento</p><p>L0 à temperatura inicial e que, quando a temperatura cresce,</p><p>ΔT, o comprimento aumentará de ΔL. A experiência mostra</p><p>que se ΔT não for muito grande, ΔL será directamente propor-</p><p>cional a ΔT. Certamente, ΔL também será proporcional a L0. Se</p><p>duas barras do mesmo material sofrerem a mesma variação</p><p>de temperatura, mas uma for o dobro da outra, então, a varia-</p><p>ção do comprimento desta também será o dobro da outra.</p><p>Introduzindo uma constante de proporcionalidade α (que é</p><p>diferente para materiais diferentes), pode se resumir nesta</p><p>relação.</p><p>ΔL = α L0 ΔT ou L = L0 (1 + α ΔT) (1.2)</p><p>A constante α que caracteriza as propriedades da expansão</p><p>térmica de um dado material, é chamada coeficiente de dila-</p><p>tação linear.</p><p>Para materiais que não têm direcções preferenciais, cada</p><p>dimensão varia de acordo com Equação 5.2. Assim, L pode</p><p>representar a espessura da barra, a aresta lateral de uma</p><p>tira comprida ou o diâmetro de um furo no material. Existem</p><p>alguns casos excepcionais. A madeira, por exemplo, expande-</p><p>se de modo diferente no sentido das fibras e no sentido trans-</p><p>versal e elas; monocristais de alguns materiais podem ter</p><p>diferentes propriedades ao longo de eixos cristalinos dife-</p><p>rentes. Deve-se enfatizar que a proporcionalidade directa</p><p>expressa em 5.2 não é exacta, mas aproximadamente correcta</p><p>para variações de temperatura suficientemente pequenas.</p><p>Para qualquer temperatura, pode-se definir um coeficiente</p><p>de dilatação térmica pela seguinte equação:</p><p>α =</p><p>1</p><p>L</p><p>l</p><p>T�</p><p>.</p><p>(1.3)</p><p>108</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Neste caso, observa-se que (α), para um dado material, varia</p><p>ligeiramente em função de transferência inicial e com a varia-</p><p>ção de temperatura. É, entrançando, boa, podendo-se igno-</p><p>rar estas variações. Valores médios de para vários materiais</p><p>estão listados na tabela (1-1):</p><p>Li</p><p>Ti</p><p>Tf</p><p>Lf</p><p>Figura 1</p><p>L</p><p>L=Lf-Li</p><p>Barra de metal</p><p>Barra de metal</p><p>Material α (°C)</p><p>Alumínio</p><p>Latão</p><p>Cobre</p><p>Vidro</p><p>Aço</p><p>Invar</p><p>Quartzo (fundido)</p><p>2,4×10–5</p><p>2,0×10–5</p><p>1,7×10–5</p><p>0,4-0,9×10–5</p><p>1,2×10–5</p><p>0,09×10–5</p><p>0,04×10–5</p><p>Tabela (1-1) – Coeficiente de Dilatação Linear</p><p>Fig. 1.5 – Barra metálica em dilatação</p><p>109</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Uma barra de aço</p><p>de 20.000 mm está sub-</p><p>metida a uma tempera-</p><p>tura de 0 °C. Determine</p><p>o comprimento dessa</p><p>barra quando for aque-</p><p>cida a 100 °C.</p><p>Dados</p><p>l0 = 20000mm</p><p>t0 = 00C</p><p>Δt = 1000C</p><p>α = 12.10–6/ 0C</p><p>P2 – Uma chapa de</p><p>cobre de forma rectan-</p><p>gular com as dimensões</p><p>de 0,5m x 2m e encon-</p><p>tra-se submetida a tem-</p><p>peratura de 20 °C. Qual</p><p>é o aumento da área</p><p>sofrido por essa chapa</p><p>quando a sua tempe-</p><p>ratura atingir 100 °C?</p><p>(α = 17.10–6 °C–1).</p><p>Dados</p><p>S0 = 1m2</p><p>t0 = 200C</p><p>t = 1000C</p><p>α = 17.10–6 0C–1</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>Δl = αl0 Δt</p><p>Δl = 12.10–6/ 0C.20000mm.100 °C</p><p>Δl = 24mm</p><p>l = l0 + Δl</p><p>l = 20000mm + 24mm</p><p>l = 20024mm</p><p>ΔS= βS0 Δt</p><p>AS = 2.17.10–6 0C–1.1m2.(100 – 20) °C</p><p>ΔS = 34.10–6 .80m2 → ΔS = 2,72.10–3 m2</p><p>110</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – O gráfico representa a variação do comprimento de uma</p><p>barra homogénea. Qual é o valor do coeficiente de dilatação</p><p>linear do material?</p><p>P2 – Uma barra de cobre de 2 m de comprimento à temperatura</p><p>de 24 oC tem coeficiente de dilatação linear 1,7 x 10–5 oC–1. Em</p><p>que temperatura a barra terá 1 mm a menos de comprimento?</p><p>P3 – Uma placa metálica aquece-se de 0 oC a 50 oC e sua área</p><p>altera-se em 1000 cm2 para 1000,8 cm2. Calcule o coeficiente</p><p>linear médio da placa.</p><p>R: α = 5 x 10–5 oC–1</p><p>R: t = –5,4 oC</p><p>R: α = 8.10–6 oC–1</p><p>X</p><p>2,02</p><p>2</p><p>0 200 t(°C)</p><p>1.2.2. Dilatação Superficial</p><p>A dilatação superficial de um corpo é aquela em que predo-</p><p>mina a variação em duas dimensões e calculada através da</p><p>seguinte equação:</p><p>ΔS= β.S0.Δt dilatação superficial</p><p>S = S0 + βS0 Δt</p><p>S = S0 (1 + βΔt) (1.4)</p><p>Superfície total após dilatação</p><p>Sabendo β = 2α coeficiente de dilatação superficial em relação</p><p>a linear</p><p>Logo S = S0 (1 + 2α.Δt) (1.5)</p><p>111</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>R: A = 2,4.10–5m2</p><p>Isto explica a razão pela qual a sua superfície é composta de dois</p><p>lados ou linhas (comprimento vezes comprimento).</p><p>No entanto, nalguns corpos, nenhuma das suas dimensões pode</p><p>ser descurada, pois a sua dilatação altera não apenas o seu com-</p><p>primento ou a sua superfície, mas também o seu volume. É o caso,</p><p>por exemplo, de um cubo, de um paralelepípedo ou de uma esfera.</p><p>Nestes casos, temos que considerar as três dimensões, pois o</p><p>corpo sofre uma dilatação volumétrica.</p><p>P1 – Uma chapa quadrada de ferro tem 3 m de lado a 20 °C.</p><p>Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do ferro e 12 x</p><p>10–6 °C–1 , Calcule a área dessa chapa num local cuja a tempe-</p><p>ratura é de 95 F?</p><p>Exercício proposto</p><p>1.2.3. Dilatação Volumétrica</p><p>O aumento de temperatura normalmente causa um aumento</p><p>no volume tanto dos sólidos como dos líquidos. A experiência</p><p>mostra que, se a variação de temperatura Δt não for dema-</p><p>siado, o aumento de volume ΔV será aproximadamente pro-</p><p>porcional á variação de temperatura. Ela também será pro-</p><p>porcional ao volume inicial V0. Como na dilatação linear</p><p>A relação pode ser expressa assim:</p><p>ΔV = γ.V0. Δt (1.6)</p><p>A constante, γ que caracteriza as propriedades de dilatação</p><p>volumétrica de um dado material, é chamada coeficiente de</p><p>dilatação volumétrica.</p><p>Assim como coeficiente de dilatação volumétrica γ varia ligei-</p><p>ramente. Para muitas substâncias γ decresce quando a tem-</p><p>peratura diminui, aproximando de zero. É interessante notar</p><p>que, quanto maior for o ponto de fusão de um metal, menor</p><p>será o seu coeficiente de dilatação volumétrica.</p><p>112</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Um recipiente de ferro tem um coeficiente de dilatação</p><p>linear de 12 . 10–6 °C–1. Se estiver a 0 °C totalmente cheio de um</p><p>liquido cujo volume e de 120 cm3. Ao ser aquecido o conjunto a</p><p>200 °C extravasam 12 cm3 de liquido. Determine o coeficiente</p><p>de dilatação real do líquido?</p><p>P2 – Um recipiente de vidro tem capacidade C de 91000 cm3</p><p>a 0 oC e contem a essa temperatura 90000 cm3 de mercúrio.</p><p>A que temperatura o recipiente estará completamente cheio de</p><p>mercúrio?</p><p>P3 – O volume de um bloco metálico sofre um aumento de 0,4%</p><p>quando sua temperatura varia de 200 oC. Qual e o coeficiente de</p><p>dilatação linear desse metal?</p><p>P4 – Um recipiente de cobre tem a capacidade de 2500 cm3</p><p>a 0 oC. Calcule sua capacidade a 100 oC. Dados coeficiente de</p><p>dilatação linear do cobre e de 17.10–6 oC–1.</p><p>P5 – Um tanque de aço de forma cilíndrica tem um volume</p><p>de 50 m3 a temperatura de oC, calcule o seu volume a 100 oC,</p><p>α = 12 . 10–6 oC–1.</p><p>P6 – Um recipiente de cobre com capacidade de 3000 cm3</p><p>a 0 oC tem coeficiente de dilatação superficial de 34 . 10–6 oC–1.</p><p>Calcule a capacidade do recipiente a 80 oC?</p><p>R: γ = 5,36 .10–4 oC–1</p><p>R: α = 6,7 .10–6</p><p>oC–1</p><p>R: V = 2512,75 cm3</p><p>R: V = 50,18 m3</p><p>R: 3012,24 cm3</p><p>1.3. Transmissão de Calor</p><p>No estudo precedente sobre a temperatura, discutiu-se o</p><p>conceito de temperatura em relação ao equilíbrio térmico.</p><p>Quando dois corpos que não estão inicialmente em equilíbrio</p><p>térmico são colocados em contactos ou são separados por</p><p>uma parede diatérmica, suas temperaturas variam até que</p><p>eles atinjam o equilíbrio térmico, pode-se, agora, examinar a</p><p>113</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>natureza da interacção que ocorre entre os corpos durante a</p><p>sua aproximação ao equilíbrio térmico. Uma discussão quan-</p><p>titativa leva ao conceito de calor, objecto no presente estudo.</p><p>Suponha que dois sistemas, A e B, sejam postos em contacto;</p><p>a temperatura de A é mais alta que a de B.</p><p>Quando o equilíbrio térmico é alcançado, verifica-se que a</p><p>temperatura de A diminui e de B aumentou.</p><p>Foi, assim, natural para primeiros investigadores nesse</p><p>campo, supor que A perdeu alguma coisa e que “essa alguma</p><p>coisa” flui para Benquisto e se processam variações de tempe-</p><p>ratura. É comum fazer-se referência a um fluxo, transmissão</p><p>ou referência de calor de A para B.</p><p>Pensou-se, inicialmente, que o processo de transferência de</p><p>calor fosse de um fluxo de um fluido invisível e sem peso, cha-</p><p>mado calórico, mas o trabalho de Court Rumford (1753-1814)</p><p>e de Sir James Prescott Joule (1818-1889) estabeleceu decisi-</p><p>vamente que o fluxo de calor é uma transferência de energia.</p><p>Chama-se fluxo de calor o processo de transferência de</p><p>energia que ocorre exclusivamente em virtude de dife-</p><p>renças de temperaturas. Assim, se a chama quente de um</p><p>bico de busen estiver em contacto com um sistema formado</p><p>de água e vapor de água, a água é convertida em vapor a tem-</p><p>peraturas e pressões altas. Sob essas condições, o vapor é</p><p>capaz de realizar mais trabalho que antes (atingindo a lâmina</p><p>de uma turbina, por exemplo).</p><p>Certamente, a transferência de energia também pode ocorrer</p><p>sem fluxo de calor. Num compressor de ar, um pistão móvel</p><p>pressiona uma massa de ar, realizando trabalho sobre esta,</p><p>á medida que comprime a volumes menores. Neste estado,</p><p>comprimido, o gás é capaz de realizar mais trabalho do que</p><p>antes e, consequentemente, ganhar energia.</p><p>Finalmente, num compressor de ar, este e o pistão encontram-</p><p>se em temperaturas diferentes, podendo ocorrer um fluxo de</p><p>calor entre o pistão e o ar. Este é um exemplo de processo</p><p>que envolve dois tipos de transferência de energia simultane-</p><p>amente: fluxo de calor e realização de trabalho.</p><p>114</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>1.4. Capacidade Calorífica</p><p>Suponha que uma pequena quantidade de calor Q, seja trans-</p><p>ferida entre um sistema e sua vizinha. Se o sistema sofrer uma</p><p>mudança de temperatura ΔT, a capacidade calorífica especi-</p><p>fica, ou calor específico, c, do sistema, é definida como:</p><p>C</p><p>Q</p><p>t</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>(1.7)</p><p>Ou seja, o calor Q, necessário para aumentar de ΔT a tempera-</p><p>tura da massa m do material é</p><p>O calor específico da água será aproximadamente</p><p>4,19 J• g –1 (°C) –1, 4190 J • kg –1 (°C) –1,</p><p>1 cal •g –1 •(°C)–1, ou 1 BTU •1b –1 •(°F) –1.</p><p>Uma unidade de massa frequentemente usada, por conveni-</p><p>ência, é a molécula-grama, ou mais precisamente, o mol, defi-</p><p>nida como o número de gramas igual a massa molecular. Para</p><p>calcular o número de moles, n, divide-se a massa em gramas</p><p>pelo peso molecular; assim, n = m0M. obtém-se:</p><p>M</p><p>Q</p><p>n tC</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>(1.8)</p><p>O produto Mc é chamado capacidade calorífica molar. Por</p><p>definição,</p><p>C M</p><p>Q</p><p>n t</p><p>Q nC T</p><p>c</p><p>= =</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>A capacidade calorífica molar de água é aproximadamente</p><p>75,3 J • mol –1 • (°C) –1 ou 18 cal • mol –1 • (°C) –1</p><p>Se o calor específico de um material for constante numa faixa</p><p>de temperatura de T1 a T2, então, a quantidade total de calor</p><p>115</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>que deve ser fornecida a um corpo de massa m para variar sua</p><p>temperatura será</p><p>Q = m.c.(T2–T1) (1.9)</p><p>Se T2 for maior que T1, Q será negativo, indicando transferên-</p><p>cia de calor para fora do corpo em vez de para dentro dele.</p><p>A tabela apresenta valores representativos de calor específico</p><p>de algumas substâncias.</p><p>Tabela (5-1) – Calores Específicos e Capacidades Caloríficas Molares Médias de Metais</p><p>Metal</p><p>Específico</p><p>J•g –1 • (ºC) –1</p><p>M,</p><p>g • mol–1</p><p>Molar C = Mc</p><p>J•mol–1 (ºC)</p><p>Intervalo de</p><p>Temperatura,ºC</p><p>Berílio</p><p>Alumínio</p><p>Ferro</p><p>Cobre</p><p>Prata</p><p>Mercúrio</p><p>Chumbo</p><p>1,97</p><p>0,91</p><p>0,47</p><p>0,39</p><p>0,234</p><p>0,138</p><p>0,130</p><p>9,01</p><p>27,0</p><p>55,9</p><p>63,5</p><p>108</p><p>201</p><p>207</p><p>17,7</p><p>24,6</p><p>26,3</p><p>24,8</p><p>25,3</p><p>27,7</p><p>26,9</p><p>20-100</p><p>17-100</p><p>18-100</p><p>15-100</p><p>15-100</p><p>0-100</p><p>20-100</p><p>Figura 1.6 mostra que a variação de calor específico da água</p><p>com a temperatura. Pode-se observar que quantidade de</p><p>calor necessária para 14,5º C para 15,5º C a temperatura de</p><p>1 g de água é,</p><p>1 Cal a 15 °C = 4,186 J</p><p>Caloria principal</p><p>Caloria IT</p><p>Caloria 15°</p><p>Caloria</p><p>termoquímica</p><p>4,22</p><p>4,21</p><p>4,20</p><p>4,19</p><p>4,18</p><p>4,17</p><p>0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100</p><p>t , º C</p><p>Ca</p><p>lo</p><p>r e</p><p>sp</p><p>ec</p><p>ífi</p><p>co</p><p>da</p><p>á</p><p>gu</p><p>a,</p><p>J</p><p>• g</p><p>–1</p><p>.</p><p>(C</p><p>°)</p><p>–1</p><p>Fig. 1.6 – Calor específico da água em função da temperatura</p><p>116</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – O calor especifico</p><p>de uma substancia e de</p><p>0,5 cal/g °C. Se a tempe-</p><p>ratura de 4 g dessa subs-</p><p>tancia se eleva 10 °C,</p><p>qual será a Quantidade</p><p>de calor absorvida?</p><p>Dados</p><p>c = 0,5cal / g . °C</p><p>m = 4g</p><p>Δt = 10 °C</p><p>P2 – Calcule a quanti-</p><p>dade de emergia neces-</p><p>sária para elevar a tem-</p><p>peratura de um material</p><p>cujo calor especifico e</p><p>de 0,412 cal/g C de 40 C</p><p>para 100 C, sabendo que</p><p>sua massa e de 5 Kg?</p><p>Dados</p><p>c = 0,412cal / g . °C</p><p>m = 5000g</p><p>Δt = 60 °C</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>O calor específico ou a capacidade calorífica molar de uma</p><p>substância não são as únicas propriedades físicas cuja deter-</p><p>minação experimental requer a medida de uma quantidade de</p><p>calor. Condutividade térmica, calores de fusão, vaporização,</p><p>combustão, solução, e reacção, são exemplos de outras dessas</p><p>propriedades, chamadas propriedades térmica da matéria.</p><p>O campo da física e da físico-química que lida com medidas de</p><p>propriedades térmicas é chamado de calorimetria.</p><p>Q = c.m.Δt</p><p>Q = 0,5.4.10</p><p>Q = 20cal</p><p>Q = c.m.Δt</p><p>Q = 0,412.5000.60</p><p>Q = 123,6kcal</p><p>117</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P3 – Um bloco de</p><p>cobre c = 0,094 cal/g oC</p><p>de 1,2 kg e colocado</p><p>num forno ate atingir</p><p>o equilíbrio térmico.</p><p>Nessa situação o bloco</p><p>recebe 12972 cal. Qual</p><p>a variação de tempera-</p><p>tura sofrida pelo bloco?</p><p>Dados</p><p>c = 0,094cal / g . °C</p><p>m = 1,2kg</p><p>Q = 1297cal</p><p>Resolução</p><p>Q c m t</p><p>t</p><p>Q</p><p>c m</p><p>t</p><p>t C</p><p>=</p><p>= → =</p><p>= °</p><p>. .</p><p>. , .</p><p>,</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>1297</p><p>0 094 1200</p><p>11 5</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Veja a tabela com cinco elementos e suas respectivas mas-</p><p>sas e calores específicos.</p><p>Diga qual deles tem maior capacidade térmica?</p><p>P2 – Uma placa de cobre de 2cm de espessura e 1m2 de área</p><p>possui faces com temperaturas de 100 oC e 20 oC. Calcule a</p><p>quantidade de calor que atravessa a placa em uma hora. (Dados</p><p>Kcu = 9,2.10–2 kcal/s.m. oC).</p><p>Metal C (cal/g°C) M(g)</p><p>Alumínio</p><p>Chumbo</p><p>Cobre</p><p>Prata</p><p>Ferro</p><p>0,217</p><p>0,031</p><p>0,093</p><p>0,056</p><p>0,113</p><p>100</p><p>500</p><p>300</p><p>400</p><p>200</p><p>R: Cobre</p><p>R: Q = 132,5.104 kcal</p><p>118</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Exercícios propostos</p><p>P3 – O calor específico do ferro e igual a 0,110 cal/g C. Deter-</p><p>mine a temperatura final de uma massa de 400 g de ferro a tem-</p><p>peratura de 20 C após ter cedido 600 calorias?</p><p>P4 – Um corpo de 250 g de massa a temperatura inicial de</p><p>10 C e aquecido durante 5 minutos por uma fonte de potencia</p><p>constante que lhe fornece 700 cal/ min. Ao final desse tempo a</p><p>temperatura do corpo e de 80 C. Qual e o valor do calor espe-</p><p>cifico da substancia do corpo?</p><p>R: t = 6,36 oC</p><p>R: c = 0,2 cal/g oC</p><p>1.5. Equilíbrio Térmico</p><p>Trocas de Calor</p><p>Chamamos de</p><p>calorímetro um tipo de recipiente que termica-</p><p>mente isolado entre as trocas e o seu conteúdo e o meio exterior.</p><p>Num sistema de vários corpos, termicamente isolados do meio</p><p>externo, a soma das quantidades de calor por eles trocados é</p><p>igual a zero.</p><p>Qcedido + Qrecebido = 0</p><p>Para um sistema de n corpos</p><p>Q1 + Q2 + ... + Qn = 0 (1.10)</p><p>Essa equação também é conhecida por equação de equilíbrio</p><p>térmico.</p><p>Fig. 1.7 – Cafeteira com água em</p><p>ebulição</p><p>119</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1 – Energia Térmica</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Determine a capa-</p><p>cidade térmica de um</p><p>calorímetro contendo</p><p>200g de água a 15°C</p><p>que, tendo recebido</p><p>mais 90g de água fer-</p><p>vendo, tem a tempera-</p><p>tura final de equilíbrio</p><p>térmico igual a 36°C.</p><p>Note: A temperatura da</p><p>H2O fervendo é de 100°C</p><p>e as temperaturas inicial</p><p>e final do calorímetro</p><p>são iguais às da água</p><p>contida nele.</p><p>Dados</p><p>C = ?</p><p>mágua = 200g</p><p>t1 = 150C</p><p>máguaferver = 90g</p><p>t2 = 360C</p><p>Resolução</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Uma vasilha adiabática contém 100g de água a 20°C. Mis-</p><p>turando 250g de ferro a 80°C a temperatura atinge 33°C. Deter-</p><p>mine o calor específico do ferro. (Cágua = 1cal/g°C).</p><p>P2 – Uma dona de casa mistura, numa garrafa térmica, 100 ml de</p><p>água a 25°C com 200ml de água a 40°C. A temperatura final dessa</p><p>mistura logo após atingir o equilíbrio térmico, é, em graus célsius, de</p><p>a) 29 b) 32 c) 35 d) 38</p><p>R: Cfe = 0,11cal/g°C</p><p>Como</p><p>Para o calorímetro temos</p><p>Qcal = C.Δt</p><p>Logo observando a equação térmica temos</p><p>Qcal + Qfria + Qquente = 0</p><p>(36 – 15).C + 200.1.(36 – 15) + 90.1 (36 – 100) = 0</p><p>21.C + 4200 – 5760 = 0</p><p>C = 74.3cal / °C</p><p>C</p><p>Q</p><p>t</p><p>=</p><p>�</p><p>120</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Unidade 1i</p><p>Equação dE EsTado dE um gás PErfEiTo</p><p>2.1. Leis dos Gases</p><p>Para o estudo do comportamento dos gases adoptou-se o modelo</p><p>do gás perfeito ou ideal que deve obedecer as seguintes caracte-</p><p>rísticas:</p><p>• Suas partículas ou moléculas movem-se caoticamente ou</p><p>desordenadamente segundo as leis da mecânica clássica;</p><p>• Suas partículas não interagem entre si ou seja seus cho-</p><p>ques são desprezáveis.</p><p>• Os choques contra as paredes de recipientes que os contêm</p><p>são perfeitamente elásticos;</p><p>• Suas moléculas têm dimensões próprias e desprezáveis.</p><p>As grandezas macroscópicas que caracterizam o estado de um gás</p><p>são denominadas parâmetros termodinâmicos do gás. Os parâ-</p><p>metros termodinâmicos mais importantes do gás são o volume, a</p><p>pressão e a temperatura.</p><p>A relação existente entre os valores, dos vários parâmetros ter-</p><p>modinâmicos no inicio e no final do processo constitui a chamada</p><p>lei dos gases. A lei dos gases que estabelece a relação entre os três</p><p>parâmetros fundamentais do gás chama-se lei geral dos gases</p><p>perfeitos.</p><p>Na prática, durante um processo termodinâmico há sempre</p><p>variação de pelo menos dois parâmetros.</p><p>Lei geral dos gases perfeitos</p><p>A lei geral dos gases perfeitos estabelece a relação entre os três</p><p>parâmetros fundamentais do gás.</p><p>PV</p><p>T</p><p>=</p><p>constante (2.1)</p><p>121</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Os valores de P, V e T correspondem a um único estado do gás,</p><p>a lei geral dos gases perfeitos pode ser enunciada da seguinte</p><p>forma: para uma massa constante de gás, a razão entre o</p><p>produto da pressão pelo volume e a temperatura do gás</p><p>permanece constante.</p><p>Equação de Mendeleev – Clapeyron (ou equação de estado</p><p>do gás perfeito)</p><p>PV</p><p>m</p><p>M</p><p>RT=</p><p>(2.2)</p><p>m: massa do gás</p><p>M: massa molar do gás</p><p>R: constante universal dos gases [R = 8,31 J/(mol.K)]</p><p>A constante universal dos gases R, deriva da equação dos gases</p><p>perfeitos:</p><p>R</p><p>pV</p><p>nT</p><p>=</p><p>E definida para o valor</p><p>R</p><p>joule</p><p>mol K</p><p>= 8 31,</p><p>.</p><p>Partindo do exemplo, 1 mol de qualquer gás (n= 1mol), à tem-</p><p>peratura de 0°C (ou seja, T = 273K) e à pressão p = 1atm, ele</p><p>ocupa um volume V = 22,4 litros. Assim</p><p>R</p><p>atmlitro</p><p>mol K</p><p>= 0 082,</p><p>.</p><p>.</p><p>Dependendo da unidade de p, V, T, que frequentemente, para p</p><p>é expresso em Nm–2 e V, em m3. Nestas condições</p><p>R</p><p>N m</p><p>m mol k</p><p>R</p><p>j</p><p>mol k</p><p>R kN</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>8 31</p><p>8 31</p><p>3</p><p>2</p><p>,</p><p>.</p><p>. .</p><p>,</p><p>.</p><p>122</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>R, representa fisicamente a energia devida a uma mole de um</p><p>gás.</p><p>Os processos termodinâmicos do gás, em que a massa do gás</p><p>e um dos parâmetros permanecem constante, denominam-se</p><p>isoprocessos.</p><p>Já que os parâmetros termodinâmicos que determinam o</p><p>estado de um gás são três, teremos três processos distintos.</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Determine a pres-</p><p>são que sofre 6 mole</p><p>de um gás perfeito</p><p>que ocupa 25,4 l de</p><p>volume a 27°C. É dada</p><p>a constante universal</p><p>dos gases perfeitos</p><p>R = 0,082 atm. l /mol.K.</p><p>Dados</p><p>n = 6mols</p><p>V = 25,4l</p><p>T = 27 °C = 300K</p><p>R = 0,082atm.l/mol.K</p><p>P2 – Determine o</p><p>volume molar de um gás</p><p>perfeito sob condições</p><p>normais de pressão</p><p>e temperatura. É dado</p><p>R = 0,082 atml/mol.K.</p><p>Dados</p><p>P = 1atm</p><p>T = 273K</p><p>n = 1mol</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>PV nRT</p><p>P</p><p>nRT</p><p>V</p><p>P</p><p>P atm</p><p>=</p><p>= → =</p><p>=</p><p>6 0 082 300</p><p>25 4</p><p>5 8</p><p>. , .</p><p>,</p><p>,</p><p>pV nRT</p><p>V</p><p>nRT</p><p>p</p><p>V</p><p>V l</p><p>=</p><p>= → =</p><p>=</p><p>1 0 82 273</p><p>1</p><p>22 4</p><p>. , .</p><p>,</p><p>123</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P3 – 60 gramas de gás</p><p>oxigénio, ocupa um</p><p>volume de 8 litros à</p><p>temperatura de 25°C.</p><p>Qual é a pressão no</p><p>interior do recipiente</p><p>(1 mol de O2 = 32 g e R</p><p>= 0,082 atm. l /K.mol).</p><p>Dados</p><p>m = 60g</p><p>V = 8l</p><p>T = 273 + 25 = 298K</p><p>R = 0,082atm.l/K.mol</p><p>M = 32g/mol</p><p>P4 – A massa de um</p><p>certo gás ocupa o volume</p><p>de 30 litros sob pressão</p><p>de 5 atm e a 27°C. Sendo</p><p>R = 0,082 atm. l /mol.K,</p><p>determine:</p><p>a) O número de mols do</p><p>gás;</p><p>b) A massa do gás, sendo</p><p>M = 20 g?</p><p>Dados</p><p>V = 30l</p><p>p = 5atm</p><p>R = 0,082atm.l/K.mol</p><p>T = 273 + 27 = 300K</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>pV nRT</p><p>n</p><p>pV</p><p>RT</p><p>n n mol</p><p>=</p><p>=</p><p>= → =</p><p>5 30</p><p>0 082 300</p><p>6</p><p>.</p><p>, .</p><p>pV nRT n</p><p>m</p><p>M</p><p>p</p><p>mRT</p><p>MV</p><p>p</p><p>p at</p><p>= =</p><p>= → =</p><p>=</p><p>60 0 082 298</p><p>32 8</p><p>5 8</p><p>. , .</p><p>.</p><p>, mm</p><p>M g mol n</p><p>m</p><p>M</p><p>m nM</p><p>m m g</p><p>= = → =</p><p>= → =</p><p>20</p><p>6 20 120</p><p>/ .</p><p>.</p><p>a)</p><p>b)</p><p>124</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – O Mauro Barros incumbiu a sua filha de encher uns</p><p>bidões para fazer gelo. A filha, no entanto, pôs 100g de água,</p><p>inicialmente a 20o C, num dos bidões e o colocou no congela-</p><p>dor, regulado para manter a temperatura, no interior, a –19oC,</p><p>sempre que a porta estiver fechada. No entanto, a porta ficou</p><p>tanto tempo aberta que a temperatura do ar dentro do conge-</p><p>lador chegou a –3o C.</p><p>Sabendo que a pressão atmosférica local é 1atm, o calor espe-</p><p>cífico de água 1 calg–1.oC, o calor latente de solidificação da</p><p>água 80calg–1, e considerando que o ar no interior do congela-</p><p>dor é um gás ideal, determine:</p><p>a) A quantidade de calor que a água do bidão deve perder</p><p>para que se converta totalmente em gelo a 0oC?</p><p>b) A pressão no interior do congelador imediatamente após</p><p>a filha ter fechado a porta.</p><p>R: t = 6,36 oC</p><p>b) R: p = 0,94atm</p><p>a) R: Q = 10kcal</p><p>2.2. Processo Isotérmico:</p><p>Lei de Boyle – Mariotte</p><p>Se a temperatura, T, de uma dada massa gasosa, for mantida</p><p>constante, o volume, V, deste gás será inversamente proporcional</p><p>à pressão, p, exercida sobre ele, ou seja, o produto da pressão pelo</p><p>volume de um gás é constante.</p><p>pv = cte (2.3)</p><p>Lei de Boyle-Marriote</p><p>Sendo</p><p>T = constante</p><p>ΔT = 0</p><p>Sofrendo o gás uma transformação que passa de um estado</p><p>para outro, então</p><p>p1V1 = p2V2 = Constante</p><p>125</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Apresentando o gráfico pV</p><p>O gráfico descreve a relação entre a pressão e o volume. Quer</p><p>dizer que existe uma relação inversamente proporcional entre si.</p><p>Em virtude de estar descrevendo uma transformação isotér-</p><p>mica esta curva é também denominada isotérmica do gás.</p><p>P</p><p>p2</p><p>p1</p><p>v1 v2</p><p>B</p><p>v(l)</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Um gás perfeito</p><p>ocupa 24 litros de vo-</p><p>lume a pressão de 3</p><p>atmosferas. Que volume</p><p>ocupará esse gás se hou-</p><p>ver um aumento isotér-</p><p>mico de 6 atmosfera</p><p>de</p><p>pressão?</p><p>Dados</p><p>V1 = 24l</p><p>p1 = 3atm</p><p>p2 = 6atm</p><p>Resolução</p><p>p V p V</p><p>V</p><p>p V</p><p>p</p><p>V</p><p>V l</p><p>1 1 2 2</p><p>2</p><p>1 1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3 24</p><p>6</p><p>12</p><p>=</p><p>= → =</p><p>=</p><p>. .</p><p>126</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – A SONANGOL construiu um reservatório para abastecer</p><p>o município de Cazenga contendo 10kg de gás sob pressão de</p><p>10.106 Nm–2. Retirou-se, no entanto, uma quantidade m de</p><p>gás do reservatório, mantendo-se a temperatura constante.</p><p>Sabendo-se que a pressão caiu para 2,5.106 Nm–2, determine a</p><p>quantidade m de gás que se retirou do reservatório.</p><p>P2 – Existindo 5 moles de um gás ideal a uma temperatura</p><p>constante de 27oC e ocupando um volume de 16,4 litros. Qual</p><p>é a pressão exercida por essa quantidade de gás? (dados</p><p>R = 0,082 atm.l/K.mol9.</p><p>R: m = 7,5kg</p><p>R: p = 7,5atm</p><p>2.3. Processo Isobárico:</p><p>Gay-Lussac</p><p>Se tomarmos um dado volume de gás a uma certa temperatura</p><p>inicial e o aquecermos sob pressão constante até uma outra</p><p>temperatura final, a dilatação observada será a mesma, qual-</p><p>quer que seja o gás usado na experiência, isto é, o valor do coefi-</p><p>ciente de dilatação volumétrica é o mesmo para todos os gases.</p><p>Uma transformação, em que o volume do gás varia com a</p><p>temperatura, enquanto a pressão é mantida constante (isobá-</p><p>rica → isos = igual; baros = pressão),</p><p>V</p><p>T</p><p>= constante (Lei de Gay-Lussac) (2.4)</p><p>Sendo</p><p>p = constante</p><p>Δp = 0</p><p>Sofrendo o gás uma transformação que passa de um estado</p><p>para outro, então verifica-se</p><p>V</p><p>T</p><p>V</p><p>T</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>= = constante</p><p>127</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Fig. 2.1 – Gráfico da pressão em função da temperatura</p><p>Fig. 2.2 – Gráfico do volume em função da temperatura</p><p>Apresentando o gráfico pV</p><p>Enquanto o gráfico V-T de que se estabelecem acções funcio-</p><p>nais, sob pressão constante, o volume de um gás é directa-</p><p>mente proporcional à sua temperatura absoluta, ou seja</p><p>Quanto à influência da temperatura na densidade, já que o</p><p>volume duma certa massa de gás, à pressão constante, varia</p><p>com a temperatura, é claro que a densidade do gás ( ρ = m</p><p>V</p><p>)</p><p>terá valores diferentes para diferentes valores da tempera-</p><p>tura. Baseando-se nas conclusões a que chegámos a respeito</p><p>da transformação isobárica, podemos deduzir que, para uma</p><p>certa massa m do gás, teremos:</p><p>• Duplicando T → V duplica ⇒ ρ fica dividido por 2</p><p>• Triplicando T → V triplica ⇒ ρ fica dividido por 3</p><p>• Quadruplicando T → V quadruplic ⇒ ρ fica dividido por 4</p><p>P</p><p>P = constT1</p><p>V1</p><p>V2</p><p>V</p><p>T2 > T1</p><p>T2</p><p>V</p><p>T</p><p>128</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Conclusão</p><p>ρ~</p><p>1</p><p>T</p><p>Isto é, sendo mantida constante a pressão de uma dada massa</p><p>gasosa, sua densidade varia em proporção com a temperatura</p><p>absoluta.</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Um gás perfeito</p><p>ocupa 40 litros de vo-</p><p>lume a temperatura de</p><p>67 °C e sob pressão de 4</p><p>atmosferas:</p><p>a) Que volume ocupará</p><p>esse gás se houver um</p><p>aumento isobárico de</p><p>6 atmosfera de pres-</p><p>são à temperatura de</p><p>420°C?</p><p>Dados</p><p>V1 = 40l</p><p>p1 = 4atm</p><p>T1 = 67°C</p><p>Resolução</p><p>p V</p><p>T</p><p>p V</p><p>T</p><p>V</p><p>p V T</p><p>p T</p><p>V</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 1 2</p><p>2 1</p><p>2</p><p>4 40 420</p><p>. . . .</p><p>.</p><p>. .</p><p>= → =</p><p>=</p><p>66 67</p><p>167</p><p>2</p><p>.</p><p>→ =V l</p><p>a)</p><p>para p2 = 6atm T2 = 420° C</p><p>Exercício proposto</p><p>P1 – A BP – Angola estabeleceu um sistema gasoso que se</p><p>encontra, inicialmente, a 40oC e a uma pressão de 8,4.104 Nm–2.</p><p>Fornecendo-se uma quantidade de calor de 4.103 cal para esse</p><p>sistema e mantendo-se à pressão constante o seu volume</p><p>varia de 0,2m3. De acordo com a primeira lei da Termodinâ-</p><p>mica, determine a variação de temperatura sofrida pelo gás.</p><p>(dados: 1 cal = 4,2 J).</p><p>R: ∆T = 0</p><p>129</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>2.4. Processo Isocórico:</p><p>Lei de Jacques Charles</p><p>Se o volume é mantido constante, a transformação é chamada</p><p>isocórica ou isovolumétrica, cuja expressão matemática é:</p><p>P</p><p>T</p><p>const= .</p><p>(2.5)</p><p>Sendo, V = const.</p><p>Sofrendo o gás uma transformação que passa de um estado</p><p>para outro, então verifica-se</p><p>P</p><p>T</p><p>P</p><p>T</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>= = constante</p><p>Apresentando o gráfico pV</p><p>p</p><p>B</p><p>A</p><p>p2</p><p>p1</p><p>T1 T2 T</p><p>Gráfico P – T</p><p>Analisando o comportamento do gás a volume constante</p><p>Amedeo Avogadro estabeleceu, com base em duas amostras,</p><p>o seguinte enunciado:</p><p>Volumes iguais, de gases diferentes, à mesma temperatura e</p><p>pressão contêm o mesmo número de moléculas.</p><p>Segundo Avogadro, estas duas amostras gasosas, ocupando</p><p>volumes iguais, sob a mesma pressão e temperatura, têm o</p><p>mesmo número de moléculas. Conhecida a lei de Avogadro</p><p>pode se determinar o número de moléculas existentes numa</p><p>dada massa do gás. Por exemplo, tomemos 1 mol de vários</p><p>130</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>gases diferentes (2g de H2, 32g de O2, 28g de N2, etc.). Dos nos-</p><p>sos conhecimentos de Química, sabemos que o número de</p><p>moléculas, em cada uma dessas amostras é o mesmo.</p><p>Este número é denominado número de Avogadro e é represen-</p><p>tado por N4.</p><p>O cientista Jean-Baptiste Perin, no início do século 20, reali-</p><p>zou uma série de experiências, procurando determinar o valor</p><p>de N4 , concluindo que este valor estaria compreendido entre</p><p>6,5.1023 e 7,2.1023 moléculas em cada mol. Posteriormente</p><p>medidas mais precisas mostraram que o valor NA é mais pró-</p><p>ximo de 6,02.1023 moléculas/mol.</p><p>Quanto à densidade ρ e à massa molecular M, tomando duas</p><p>massas gasosas, ocupando ambas o mesmo volume, a mesma</p><p>pressão e temperatura pela Lei de Avogadro conclui-se que</p><p>ρ ∼ M.</p><p>Isto é, a densidade de um gás directamente proporcional à sua</p><p>massa molecular.</p><p>Considerando que ρ ~ pM</p><p>T</p><p>Sendo m a massa da amostra gasosa, sabendo que ρ = m</p><p>V</p><p>Logo m</p><p>V</p><p>pM</p><p>T</p><p>~</p><p>ou pV m</p><p>M</p><p>T~</p><p>( pV</p><p>m</p><p>M</p><p>T~</p><p>)pV</p><p>m</p><p>M</p><p>T~</p><p>O quociente pV</p><p>m</p><p>M</p><p>T~</p><p>, entre a massa do gás e sua massa molecular,</p><p>fornece-nos o número de moles, n, da amostra. Introduzindo</p><p>na relação anterior, a constante de proporcionalidade, a desig-</p><p>narmos por R, obteremos a equação a seguir:</p><p>pV = R</p><p>( pV</p><p>m</p><p>M</p><p>T~</p><p>)pV</p><p>m</p><p>M</p><p>T~</p><p>pV = nRT</p><p>A pressão, p, o volume V e a temperatura absoluta T, duma dada</p><p>massa, contendo n mole do gás, estão relacionadas pela equação</p><p>pV = nRT</p><p>denominada equação de estado de um gás ideal ou perfeito.</p><p>131</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>A presente equação pode tomar a forma pV</p><p>T</p><p>nR=</p><p>Para uma dada massa de gás (n = constante), como R também</p><p>é constante, concluímos que</p><p>pV</p><p>T</p><p>=</p><p>constante (2.6)</p><p>Assim se a massa gasosa passar de um estado para outro</p><p>estado, podemos relacionar estes dois estados pela seguinte</p><p>equação:</p><p>PV</p><p>T</p><p>PV</p><p>T</p><p>1 1</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>=</p><p>A equação é para o gás perfeito, podendo ser aplicada, com</p><p>boa aproximação, a uma gás qualquer desde que a sua tem-</p><p>peratura não seja muito baixa e sua pressão não seja muito</p><p>elevada.</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – O senhor Rufino Quissonde calibrou os pneus do seu</p><p>carro à temperatura de 27oC. Depois de rodear bastante, ao</p><p>medir novamente a pressão, encontrou um resultado de 20%</p><p>superior ao valor da calibragem inicial. Supondo invariável o</p><p>volume das câmaras, determine a temperatura que o ar com-</p><p>primido deve ter atingido.</p><p>P2 – Um vaso, hermeticamente fechado, contém 10 litros de</p><p>um gás perfeito a 30o C suportando uma pressão de 2 atm.</p><p>A temperatura do gás é elevada até atingir 60o C</p><p>a) Calcule a pressão final do gás.</p><p>b) Esboce o gráfico pressão x temperatura da transformação</p><p>mencionada.</p><p>R: t = 87oC</p><p>a) R: p = 2,2 atm</p><p>132</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>2.5. Cálculo Cinético da Pressão</p><p>A pressão que um gás exerce sobre as paredes do recipiente</p><p>que o contém é devido às incessantes e contínuas colisões das</p><p>moléculas do gás contra as paredes do recipiente. Usando a</p><p>faculdade das leis da mecânica para as colisões das molécu-</p><p>las contra as paredes do recipiente, os físicos obtiveram uma</p><p>expressão</p><p>144</p><p>3.1.1	-Transformação	Isotérmica	..................................................................... 	 144</p><p>3.1.2	-	Transformação	Isobárica	....................................................................... 	 145</p><p>3.1.3	-	Transformação	Isocórica	ou	Isométrica	.........................................	 146</p><p>3.1.4	-	Transformação	Adiabática	.................................................................... 	 146</p><p>3.1.5	-	Transformações	Cíclicas	........................................................................ 	 148</p><p>3.2	-	A	Segunda	Lei	da	Termodinâmica	................................................................... 	 151</p><p>3.2.1	-	Transformações	Reversíveis	................................................................ 	 152</p><p>3.2.2	-	Transformações	Irreversíveis	.............................................................. 	 152</p><p>3.3	-	Máquinas	Térmicas	................................................................................................ 	 154</p><p>3.3.1	-	Rendimento	de	uma	Máquina	Térmica	...........................................	 155</p><p>3.3.2	-	O	Ciclo	de	Carnot	....................................................................................... 	 156</p><p>3.4	-	A	Conservação	da	Energia	................................................................................... 	 158</p><p>3.5	-	A	Energia	Térmica:	Uma	Energia	“Degradada”	..........................................	 159</p><p>Parte 3: Electrostática e Corrente Eléctrica contínua	......................	 63</p><p>Unidade 1- Interacção Electrostática	.............................................................................. 	 164</p><p>1.1-	Conceito	de	Cargas	(Lei	da	Conservação	da	Carga)	..................................	 164</p><p>1.2	-Lei	de	Coulomb	-	Permitividade	Elétrica	do	Meio	.....................................	 166</p><p>6</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>ÍNDICE</p><p>1.3	-	Campo	Electrostático	............................................................................................ 	 168</p><p>1.4	-	Trabalho	do	Campo	Eléctrico	............................................................................ 	 172</p><p>1.5	-	Potencial	Eléctrico	.................................................................................................. 	 175</p><p>1.6	-	Capacidade	Eléctrica	............................................................................................. 	 175</p><p>1.6.1	-	Condensadores	(Capacitores)	............................................................. 	 178</p><p>1.6.2	-	Energia	do	condensador	carregado	..................................................	 178</p><p>1.6.3	-	Energia	do	condensador	carregado	..................................................	 179</p><p>Unidade 2 - Corrente Eléctrica Contínua	...................................................................... 	 182</p><p>2.1	-	Corrente	Eléctrica	................................................................................................... 	 182</p><p>2.1.1	-	Mecanismo	da	Condução	da	Corrente	Eléctrica	..........................	 183</p><p>2.2	-	Resistência	de	um	Condutor		Eléctrico		(Resistividade)	........................	 186</p><p>2.3	-	Lei	de	Ohm	para	Segmento	de	um	Circuito	.................................................	 189</p><p>2.4	-	Trabalho	e	Potência	Eléctrica	............................................................................ 	 192</p><p>2.5	-	Energia	dissipada	num	Condutor:	Efeito	Joule	..........................................	 193</p><p>2.6	-	Força	Electromotriz	(f.e.m.	eResistência	Interna)	....................................	 194</p><p>2.8	-	Leis	de	Kirchhoff	..................................................................................................... 	 204</p><p>Bibliografia	............................................................................................................................ 	 215</p><p>7</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Prefácio</p><p>No	quadro	da	Reforma	Educativa	na	República	de	Angola,	o	Ministério	da	Educação	através</p><p>do	INIDE,	propôs	a	elaboração	de	manuais	didácticos	para	o	Subsistema	do	Ensino	Técnico</p><p>Profissional	em	Angola	a	fim	de	colmatar	a	falta	de	meios	didácticos	de	ensino	para	corres-</p><p>ponder	às	exigências	e	objectivos	de	um	ensino	segundo	normas	universais.</p><p>É	assim	que	um	grupo	de	professores	angolanos	com	larga	experiência	no	ensino	de	Física,	juntou</p><p>esforços	para	elaborar	o	presente	manual	que,	por	certo,	vai	contribuir	no	aperfeiçoamento	e</p><p>melhoria	do	ensino	da	Física	e	regular	os	procedimentos	didácticos	de	acordo	com	os	objecti-</p><p>vos	superiormente	preconizados	pelo	Estado	Angolano	através	dos	programas	curriculares.</p><p>A	Física	é	uma	das	ciências	que	 junto	com	a	Química	e	a	Matemática,	constitui	o	núcleo</p><p>e	suporte	 fundamental	para	que	os	 futuros	profissionais	nos	mais	diversos	domínios	da</p><p>indústria	estabelecem	e	articulam	os	seus	conhecimentos	técnicos	científicos	com	a	prá-</p><p>tica	quotidiana.	Assim	a	Física	para	a	Formação	Técnica	Profissional	permite	que	os	alunos</p><p>construam	os	fundamentos	dos	seus	conhecimentos	numa	base	sólida	para	a	descrição	dos</p><p>factos	ou	fenómenos	naturais	bem	como	na	interpretação	das	mais	diversas	leis	que	regem</p><p>a	 natureza,	 permitindo-lhes,	 deste	modo,	 actuarem	 com	 racionalismo	 e	 rigor	 científico</p><p>na	busca	de	soluções	para	a	resolução	dos	mais	variados	problemas	do	nosso	quotidiano.</p><p>A	fechar	podemos	assegurar	que	este	manual	constituí	um	interactivo	dinâmico	na	aborda-</p><p>gem	temática	dos	conceitos	e	leis	o	que	confere	uma	larga	abertura	pragmática	e	específica</p><p>na	formação	dos	futuros	profissionais	em	Angola.</p><p>8</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>1. Conceitos Introdutórios</p><p>1.1. Introdução</p><p>A	inclusão	do	estudo	de	alguns	conceitos,	no	inicio	deste	manual,	tem	como	objectivo	criar	um</p><p>suporte	matemático	e	algébrico	para	melhor	compreensão	e	interpretação	em	termos	dimen-</p><p>sionais	dos	fenómenos	físicos	bem	como	suas	leis.	Como	é	notório	sem	o	estudo	da	matemá-</p><p>tica	e	sua	vinculação	dialéctica	ao	estudo	dos	fenómenos	Físicos	seria	difícil	estabelecer	a</p><p>relação	entre	a	lei	e	o	fenómeno,	em	termos	de	grandeza	e	dimensão.	Já	Galileu	reconhecera</p><p>a	importância	de	que	se	reveste	a	matemática	no	contexto	do	estudo	dos	fenómenos	físicos,</p><p>quando	considerou	a	matemática	como	linguagem	natural	da	Física.	Isto	só	por	si	vem	con-</p><p>ferir	maior	quota	a	importância	ao	estudo	prévio	de	algumas	funções	e	operações	matemá-</p><p>ticas	antes	de	se	estudar	concretamente	os	aspectos	algébricos	e	matemáticos	que	circuns-</p><p>crevem	tais	fenómenos	físicos	de	uma	forma	geral	e	em	particular	dos	fenómenos	mecânicos.</p><p>Assim	estaremos	em	condições	de	criar	as	bases	conceptuais	para	o	estudo	quantitativo	do</p><p>movimento	mecânico,	formulando	de	forma	elementar	as	bases	matemáticas	sustentadoras.</p><p>1.2. Grandezas Físicas</p><p>Grandeza física é toda propriedade ou característica de um fenómeno</p><p>que é susceptível de ser medida e de se atribuir um valor numérico.</p><p>Exemplos:	Velocidade,	deslocamento,	força,	tempo,	massa,	etc...</p><p>Por	sua	vez	as	grandezas	físicas	são	classificam-se	em	dois	grupos	que	são:	grandezas	esca-</p><p>lares	e	vectoriais.</p><p>Grandezas Escalares</p><p>São	aquelas	que	podem	ser	determinadas	somente	pelo	seu	valor	numérico	e	pela	sua</p><p>unidade.</p><p>Exemplo:	A	massa,	o	espaço,	o	tempo,	etc.</p><p>9</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Grandezas Vectoriais</p><p>São	aquelas,	que	para	serem	determinadas	é	necessário	conhecer	a	direcção,	sentido,</p><p>valor	numérico	e	unidade.</p><p>Exemplo:	deslocamento,	velocidade,	aceleração,	etc.</p><p>Define-se	um	vector,	como	um	segmento	de	recta	dirigido.</p><p>Característica	de	um	vector:</p><p>•		Origem;</p><p>•		Linha	de	acção;</p><p>•		Sentido;</p><p>•		Valor	numérico;</p><p>Normalmente,	os	vectores	são	representados	graficamente	por	um	segmento	de	recta</p><p>terminada	numa	seta.</p><p>A B</p><p>Fig. 1 – Representação gráfica de um vector</p><p>Operações com Vectores</p><p>Como	já	anunciamos	previamente,	é	possível	somarmos	ou	subtrairmos	vectores.</p><p>Regra	 geral	 se	 os	 vectores	 estiverem</p><p>matemática, relacionando a pressão exercida por</p><p>um gás com as seguintes grandezas:</p><p>N → número total das moléculas no recipiente</p><p>V → volume do recipiente</p><p>mo → massa de cada molécula</p><p>p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2 → média dos quadrados da velocidade das moléculas.</p><p>p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>(p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2) p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>(2.7)</p><p>Significa que</p><p>• p ∼ N → à quanto maior for o número total de moléculas,</p><p>maior será o número de colisões contra as paredes</p><p>e, portanto, maior será a pressão exercida pelo gás.</p><p>• p</p><p>V</p><p>~</p><p>1</p><p>→ à quanto maior for o volume do recipiente, maior</p><p>será a distância que a molécula terá que percorrer</p><p>para colidir contra as paredes e, consequentemente,</p><p>menor será o número de colisões, isto é, menor será</p><p>a pressão exercida pelo gás.</p><p>• p ∼ mO → à quanto maior for a massa de uma molécula, maior</p><p>será a sua quantidade de movimento e, assim,</p><p>maior será a força que ela exerce ao colidir contra</p><p>a parede do recipiente.</p><p>• p ∼ v–2 → à quanto maior for v–2, mais rapidamente as molé-</p><p>culas estarão em movimento. Nestas condições,</p><p>maior será a força que cada molécula exercerá ao</p><p>colidir contra a parede e, além disso, maior será o</p><p>número de colisões.</p><p>133</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>2.6. Interpretação Cinética</p><p>da Temperatura</p><p>A temperatura absoluta T, de um gás está relacionada com a</p><p>energia cinética média de suas moléculas.</p><p>A expressão:</p><p>p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>(p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2) p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>Pode ser escrita</p><p>p vNmo</p><p>=</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>Comparando-a com a equação de estado de um gás ideal,</p><p>p.V = nRT</p><p>Obtemos</p><p>p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>(p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2) p</p><p>N</p><p>V</p><p>v</p><p>om=</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>= nRT</p><p>Sendo NA (número de Avogadro) o número de moléculas que</p><p>existe em 1 mol e sendo n o número de moles que corresponde</p><p>a N moléculas, e N = nNA</p><p>Levando este valor de N à igualdade anterior, virá</p><p>1</p><p>3</p><p>2nNmv nRT=</p><p>ou</p><p>mv</p><p>R</p><p>N</p><p>T</p><p>A</p><p>2</p><p>3=</p><p>(mv</p><p>R</p><p>N</p><p>T</p><p>A</p><p>2</p><p>3= ) mv</p><p>R</p><p>N</p><p>T</p><p>A</p><p>2</p><p>3=</p><p>Dividindo os dois membros desta igualdade por 2, teremos</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2mv</p><p>R</p><p>N</p><p>T</p><p>A</p><p>=</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2mv</p><p>R</p><p>N</p><p>T</p><p>A</p><p>= ) 1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2mv</p><p>R</p><p>N</p><p>T</p><p>A</p><p>=</p><p>134</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Nesta equação representa o termo do lado esquerdo a energia</p><p>cinética média das moléculas (Ec ), enquanto R</p><p>N</p><p>A</p><p>do segundo</p><p>membro é constante, sabendo que tanto R quanto NA são</p><p>constantes. Este quociente é muito importante, é represen-</p><p>tado por k e denominado constante de Boltzmann, em home-</p><p>nagem a Ludwig Boltzmann, físico austríaco do século XIX.</p><p>Então</p><p>k</p><p>R</p><p>N</p><p>k</p><p>k J K</p><p>A</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−</p><p>− −</p><p>8 31</p><p>6 02 10</p><p>1 38 10</p><p>23</p><p>23 1</p><p>,</p><p>, .</p><p>, . .</p><p>Chegando-se assim à seguinte expressão</p><p>E</p><p>R</p><p>N</p><p>TC</p><p>A</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>(E</p><p>R</p><p>N</p><p>TC</p><p>A</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>) E</p><p>R</p><p>N</p><p>TC</p><p>A</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>E kTC =</p><p>3</p><p>2</p><p>(2,7)</p><p>Logo, Ec = f (T)</p><p>135</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>P1 – Uma pessoa afirma</p><p>que colocou 3,5 moles de</p><p>um gás (comparando-se</p><p>com gás ideal) num reci-</p><p>piente de volume igual</p><p>a 8 litros e que, após o</p><p>estado de equilíbrio, a</p><p>temperatura do gás era</p><p>de 27°C e sua pressão</p><p>5 atm:</p><p>a) Poderiam estar cor-</p><p>rectas as medidas</p><p>feitas por esta pes-</p><p>soa?</p><p>b) Se, após uma veri-</p><p>ficação, constatou-</p><p>se que os valores</p><p>de p, V e T estavam</p><p>correctos, qual o</p><p>número real de</p><p>moles do gás coloca-</p><p>dos no recipiente?</p><p>Dados</p><p>n = 3,5 moles</p><p>R = 0,082atm.litro</p><p>/mol.K</p><p>V = 8 litros</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>Sabemos que um gás ideal, num certo estado, obedece à</p><p>equação pV = nRT. Com os dados fornecidos</p><p>T 0 27 + 273 = 300K</p><p>p = 5atm</p><p>5 8 3 5 0 082 300atm litros mol</p><p>atmlitro</p><p>mol K</p><p>. , . ,</p><p>.</p><p>.</p><p>.≠ KK</p><p>atmlitro atmlitro40 0 861 40. , .≠</p><p>Como pV não é igual a nRT, concluímos que as medidas</p><p>realizadas pela pessoa não podem estar correctas, isto</p><p>é, não é possível, a qualquer gás (ideal), apresentar-se</p><p>num estado com aqueles valores de p, V, n, T.</p><p>Da equação de estado obtemos</p><p>n</p><p>pV</p><p>RT</p><p>n</p><p>pV</p><p>RT</p><p>atm litros mol K</p><p>atmlit</p><p>=</p><p>= =</p><p>5 8</p><p>0 082</p><p>. . .</p><p>, . rros K</p><p>n moles</p><p>.</p><p>,</p><p>300</p><p>1 6=</p><p>Logo, no recipiente havia 1,6 moles do gás e não 3,5</p><p>moles como a pessoa havia afirmado. Observe que usa-</p><p>mos o valor R = 0,082 atm.litro/mol.K, uma vez que o</p><p>valor de p foi fornecido em atmosferas e de V em litros.</p><p>136</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>Sabemos que</p><p>E kT</p><p>k J K</p><p>T C K</p><p>E</p><p>C</p><p>C</p><p>=</p><p>=</p><p>= ° + =</p><p>=</p><p>− −</p><p>3</p><p>2</p><p>1 30 10</p><p>27 273 300</p><p>23 1</p><p>.</p><p>, . .</p><p>33</p><p>2</p><p>1 38 10 300</p><p>6 2 10</p><p>23</p><p>21</p><p>. , . .</p><p>, .</p><p>−</p><p>−=</p><p>J</p><p>K</p><p>K</p><p>E JC</p><p>A expressão E kTC =</p><p>3</p><p>2</p><p>. nos mostra que a energia ciné-</p><p>tica média das moléculas só depende da temperatura,</p><p>não dependendo da natureza do gás. Como o O2 e o H2</p><p>estão à mesma temperatura, o valor de Ec é o mesmo</p><p>para os dois gases.</p><p>Como devemos ter</p><p>E mv</p><p>v</p><p>E</p><p>m</p><p>v</p><p>v</p><p>C</p><p>C</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2 6 2 10</p><p>3 3 10</p><p>1 9 1</p><p>2</p><p>21</p><p>27</p><p>. , .</p><p>, .</p><p>, . 00</p><p>3m s/</p><p>P2 – Um recipiente</p><p>contém H2 a 27°C.</p><p>a) Qual é a energia</p><p>cinética média de</p><p>suas moléculas?</p><p>b) Qual seria a Ec para</p><p>as moléculas de O2 à</p><p>mesma temperatura</p><p>da questão anterior?</p><p>c) Sabendo que a massa</p><p>de uma molécula</p><p>de H2 é 3,3.10–23kg,</p><p>qual deve ser a sua</p><p>velocidade para que</p><p>ela tenha uma ener-</p><p>gia cinética igual ao</p><p>valor médio calcu-</p><p>lado no ponto 2.1?</p><p>Dados</p><p>R = 0,082atm.litro</p><p>/mol.K</p><p>n = 3,5 moles</p><p>137</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Exercício proposto</p><p>P1 – Uma botija de gás contém 32g de CO2, a uma temperatura</p><p>de 127°C. Determine:</p><p>a) A massa molecular do CO2.</p><p>b) O número de moles.</p><p>c) A velocidade de suas moléculas.</p><p>d) A energia cinética do gás.</p><p>a) R: 44g.mol–1</p><p>b) R: n = 8</p><p>c) R: v = 476m.s–1</p><p>d) R: Ec = 39840J</p><p>2.7. Dilatação dos Gases</p><p>Conforme procedimento adoptados ao estudo da dilatação dos</p><p>sólidos e líquidos consideramos a temperatura como parâ-</p><p>metro fundamental para alteração das suas dimensões. Quer</p><p>dizer, alterando a temperatura, provocamos a mudança nas</p><p>dimensões da substância em estado sólido ou líquido. Isto sig-</p><p>nifica a relegar a pressão a uma função secundária, partindo</p><p>do pressuposto de não ter valores elevadíssimos.</p><p>Analisando este aspecto, do comportamento de um gás, verifi-</p><p>camos que as variações de pressão podem provocar variações</p><p>apreciáveis no seu volume e na sua temperatura. Estudando</p><p>experimentalmente o comportamento de uma dada massa de</p><p>gás, os físicos verificaram que seria possível expressar este com-</p><p>portamento através de relações matemáticas simples entre a</p><p>sua pressão, p, seu volume, V, e sua temperatura, T. Uma vez que</p><p>sejam conhecidos os valores dessas grandezas (massa, pressão,</p><p>volume e temperatura), a situação em que o gás se encontra fica</p><p>definida ou, noutras palavras, fica definido o seu estado.</p><p>Provocando-se uma variação numa dessas grandezas, verifica-se</p><p>que as outras também se modificam e estes novos valores carac-</p><p>terizam uma transformação ao passar de um estado para outro.</p><p>2.7.1. Energia Interna do Gás Perfeito</p><p>O gás perfeito define-se, como sendo o gás onde as forças de</p><p>atracção entre as moléculas são totalmente inexistentes, e as</p><p>moléculas podem ser consideradas como pontos materiais</p><p>sem estrutura interna. Isto significa que as moléculas do gás</p><p>138</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>perfeito não possuem energia potencial. Deste modo, a ener-</p><p>gia interna do gás perfeito é igual à soma das energias cinéti-</p><p>cas média das moléculas que constituem o gás.</p><p>Como os pontos materiais não possuem movimento de rota-</p><p>ção, para os gases monoatómicos, as moléculas efectuam</p><p>somente movimentos de translação.</p><p>Deste modo a energia interna de um gás perfeito monoató-</p><p>mico é dada por:</p><p>U</p><p>m</p><p>M</p><p>RT=</p><p>3</p><p>2</p><p>(2.7)</p><p>Onde</p><p>m: massa do gás perfeito</p><p>M: massa molar do gás</p><p>R: constante</p><p>universal dos gases</p><p>T: temperatura</p><p>Para o gás perfeito biatómico U</p><p>m</p><p>M</p><p>RT=</p><p>5</p><p>2</p><p>(2.8)</p><p>Para um gás poliatómico U</p><p>m</p><p>M</p><p>RT= 3 (2.9)</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Numa transfor-</p><p>mação de um mol de</p><p>gás ideal monoatómico</p><p>a volume constante,</p><p>enquanto a temperatura</p><p>se eleva de 27oC a 50oC,</p><p>qual será a variação de</p><p>energia interna do gás</p><p>em calorias?</p><p>Dados</p><p>1cal = 4,2l</p><p>R</p><p>J</p><p>mol K</p><p>=</p><p>8 31,</p><p>.</p><p>T1 = 27 + 273 = 300K</p><p>T2 = 50 + 273 = 323K</p><p>Resolução</p><p>Cálculo da variação de energia</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>U nR T T</p><p>U</p><p>U J</p><p>= −</p><p>= −</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1 8 31 323 300</p><p>286</p><p>2 1</p><p>( )</p><p>. . , .( )</p><p>139</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>P2 – Uma transforma-</p><p>ção, conforme o grá-</p><p>fico em baixo, na qual</p><p>100 moles do gás ideal</p><p>monoatómico rece-</p><p>bem do meio exterior</p><p>uma q de calor igual</p><p>a 1,80.106J. (Dados</p><p>R = 8,31J/mol.K).</p><p>Determine:</p><p>a) O trabalho realizado</p><p>pelo gás;</p><p>b) A variação de energia</p><p>interna do gás; A tem-</p><p>peratura do gás no</p><p>estado 1.</p><p>Dados</p><p>R</p><p>J</p><p>mol K</p><p>=</p><p>8 31,</p><p>.</p><p>n = 100moles</p><p>Q = 1,8.106J</p><p>P</p><p>p2</p><p>p1</p><p>v1 v2</p><p>B</p><p>v(l)</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>W</p><p>W J</p><p>= +</p><p>=</p><p>( ). .</p><p>( – )</p><p>, .</p><p>3 6 10</p><p>2 1</p><p>2</p><p>4 5 10</p><p>5</p><p>5</p><p>a)</p><p>sendo Q J</p><p>Q W U U Q W</p><p>U</p><p>=</p><p>= + → = −</p><p>= −</p><p>1 8 10</p><p>1 8 10 4 5</p><p>6</p><p>6</p><p>, .</p><p>, . , .</p><p>� �</p><p>� 110 13 5 10</p><p>5 5→ =�U J, .</p><p>b)</p><p>140</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Na figura presente o gráfico p x V de um gás, partindo do</p><p>ponto A para o ponto B, e depois um processo isovolumétrico,</p><p>atingindo o ponto C, que situa sobre a mesma isoterma que A</p><p>calcule:</p><p>a) O trabalho realizado pelo gás ao final do processo ABC.</p><p>b) Calor recebido pelo gás ao final do processo ABC.</p><p>P2 – Um gás ideal monoatómico é comprimido adiabatica-</p><p>mente, sofrendo uma variação de temperatura de 600k. Admi-</p><p>tindo que n = 3 moles, CV = 3cal/mol.K, R = 2cal/mol.K e 1 cal</p><p>= 4,2 J, determine:</p><p>a) A quantidade de calor trocada nessa transformação.</p><p>b) A variação da energia interna do gás em Joules.</p><p>a) R: W = 8.105 J</p><p>a) R: Q = 0J</p><p>b) R: W = 8.105 J</p><p>b) R: 22680J</p><p>p(atm)</p><p>6</p><p>3</p><p>2 4</p><p>A B</p><p>C TB</p><p>VB</p><p>TA=200k</p><p>2.7.2. Trabalho Realizado pelo Gás</p><p>Um gás comprimido ao dilatar-se pode realizar trabalho.</p><p>Consideremos o gás contido num cilindro munido de um</p><p>êmbolo móvel. O êmbolo permanecerá em repouso enquanto</p><p>a pressão do ar (pressão atmosférica) for igual a pressão no</p><p>interior do cilindro. Suponhamos que a pressão do ar e do gás</p><p>tomam o valor p, a temperatura do gás o valor T.</p><p>Aquecendo lentamente o gás no interior do cilindro, até uma</p><p>temperatura T2, o gás dilatar-se-á, segundo um processo</p><p>141</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>2.8. Experiência de Joule</p><p>A energia interna de um corpo pode variar também com a rea-</p><p>lização de trabalho mecânico, isto é, disso se pode obter ener-</p><p>gia calorífica.</p><p>Exemplo: observa-se um aquecimento em pregos quando são</p><p>martelados.</p><p>isobárico, e o êmbolo deslocar-se-á da posição inicial para a</p><p>final por um valor Δl, logo o gás realizará trabalho. A força res-</p><p>ponsável por este trabalho é igual a p.S donde S é a superfície</p><p>da secção transversal do cilindro.</p><p>Conforme os conhecimentos da mecânica o trabalho reali-</p><p>zado por uma força é dado por;</p><p>W = FΔl</p><p>Mas F = p.S logo W = pSΔl</p><p>Como S.Δl é igual à variação do volume do gás durante o aque-</p><p>cimento isobárico de T1 a T2, obtemos</p><p>W = p(V2 – V1)</p><p>V0</p><p>V</p><p>t</p><p>S S</p><p>Fig. 2.3 – Gás comprimido</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Um balão vazio tem volume desprezável e cheio pode</p><p>atingir 4.10–3 m3. Qual o trabalho realizaria o ar contra a atmos-</p><p>fera para encher este balão, à temperatura ambiente.</p><p>P2 – Num cilindro, o vapor entra sob pressão constante de</p><p>50Nm–2, empurrando o pistão, cuja área é de 100cm2 , num</p><p>percurso de 50cm. Qual o trabalho realizado pelo vapor nesse</p><p>percurso.</p><p>R: W = 400J</p><p>R: W = 2500J</p><p>142</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Como com a realização de trabalho mecânico se pode obter</p><p>energia a calorífica; levanta-se a seguinte questão: o trabalho</p><p>mecânico realizado e a quantidade de calor produzida são</p><p>proporcionais? James Joule, na tentativa de encontrar res-</p><p>posta para esta questão, realizou uma série de experiências</p><p>ao longo das quais obteve uma resposta afirmativa.</p><p>Na experiência de Joule é determinado o equivalente mecâ-</p><p>nico do calor expresso na relação entre a unidade de energia</p><p>joule e a unidade de calor caloria.</p><p>Um recipiente isolado termicamente, contendo uma certa</p><p>quantidade de água, com um termómetro para medir sua</p><p>temperatura, um eixo com umas paletas que é colocada em</p><p>movimento pela acção de um peso, conforme ilustrado na</p><p>figura demonstra que o peso, que se move com velocidade</p><p>praticamente constante, perde energia potencial. Como con-</p><p>sequência, a água é agitada pelas paletas e aquecida devido</p><p>a fricção.</p><p>Se o bloco de massa M desce uma altura h, a energia potencial</p><p>diminui em Mgh.</p><p>Com esta experiência Joule conseguiu demonstrar que a</p><p>quantidade de calor libertada por atrito é directamente pro-</p><p>porcional ao trabalho mecânico realizado.</p><p>Joule deduziu que a diminuição de energia potencial pro-</p><p>porciona o aumento de temperatura da água. A constante</p><p>de proporcionalidade (o calor específico de água) é igual a</p><p>4.186 J/(g °C). Portanto, 4.186 J de energia mecânica elevam</p><p>a temperatura de 1g de água em 1° C.</p><p>Entretanto, na prática, é até hoje usada uma outra unidade</p><p>de calor, muito antiga (da época do calórico), denominada 1</p><p>caloria = 1cal. Por definição, 1 cal é a quantidade de calor</p><p>que deve ser transferida a 1 grama de água para que sua</p><p>temperatura se eleva a 1°C. Joule, no entanto, estabeleceu,</p><p>nas suas experiências a relação entre estas duas unidades,</p><p>encontrando</p><p>1 cal = 4,18 j</p><p>143</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE 1I – Equação de Estado de um Gás Perfeito</p><p>Seja M a massa do bloco que pende e h seu deslocamento ver-</p><p>tical</p><p>• m a massa de água do calorímetro</p><p>• T0 a temperatura inicial da água e T a temperatura final</p><p>• g = 9.8 m/s2 a aceleração da gravidade</p><p>A conversão de energia mecânica em calor é expressa pela</p><p>seguinte equação:</p><p>Em = Q ou Mgh = mc(T-T0)</p><p>Logo o calor específico da água é expresso em</p><p>J</p><p>kg K.</p><p>C</p><p>Mgh</p><p>m T T</p><p>=</p><p>( – )</p><p>0</p><p>144</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Unidade 1i1</p><p>TErmodinâmica</p><p>3.1. Primeira Lei da Termodinâmica</p><p>Analisando a transformação isobárica de uma certa massa</p><p>gasosa, a energia térmica ∆Q, fornecida pelo meio exterior</p><p>através do aquecimento, teve dupla finalidade:</p><p>a) Aumentar a energia interna do sistema através de um</p><p>aumento da energia cinética média, e, consequente-</p><p>mente, da temperatura;</p><p>b) Realizar um trabalho sobre o meio exterior, deslo-</p><p>cando o êmbolo E numa distância d.</p><p>Esta transformação é regida pela Primeira Lei da Termodinâ-</p><p>mica, que na realidade é a Lei da Conservação da Energia. Esta</p><p>lei diz-nos:</p><p>A quantidade de Energia Térmica (∆Q) trocada entre o</p><p>sistema e o meio é igual a soma da variação de sua ener-</p><p>gia interna (∆U) com o trabalho realizado no sistema (W).</p><p>Matematicamente, a expressão da primeira lei é a seguinte:</p><p>∆Q = ∆U + W (3.1)</p><p>Para melhor fixação desta lei, vamos analisá-la nas transfor-</p><p>mações de gases ideais.</p><p>3.1.1. Transformação Isotérmica</p><p>Nesta transformação, a temperatura se mantém constante.</p><p>Como a variação de Energia Interna depende directamente da</p><p>variação da temperatura se ∆T = 0 teremos ∆U = 0.</p><p>Assim, a expressão da primeira lei adquire a seguinte fórmula:</p><p>∆Q = ∆U + W</p><p>∆Q = 0 + W</p><p>∆Q = W</p><p>145</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Essa forma nos permite que:</p><p>Numa transformação isotérmica a energia térmica é</p><p>totalmente utilizada na realização do trabalho.</p><p>Exercício proposto</p><p>Exercício proposto</p><p>P1 – Um gás mantido a temperatura constante, tem pressão</p><p>inicial p e volume inicial V. Determine o acréscimo percentual</p><p>da pressão quando o volume é reduzido</p><p>de 20%.</p><p>P1 – Um cilindro de paredes rígidas e êmbolo móvel sem</p><p>atrito, contém um certo gás no seu interior. Quando a tempe-</p><p>ratura é 27°C, o volume ocupado pelo gás é 5 litros. Qual deve</p><p>ser a temperatura para que o volume do gás seja de 8 litros,</p><p>mantendo a pressão constante.</p><p>R: p´ = 1,25p logo a</p><p>pressão aumenta</p><p>25%.</p><p>3.1.2. Transformação Isobárica</p><p>Neste caso há uma variação de temperatura e uma variação de</p><p>volume. A variação de temperatura produz uma variação de</p><p>energia interna ΔU; a variação do volume produz um trabalho.</p><p>Assim, a Primeira Lei pode ser escrita da seguinte forma:</p><p>∆Q = ∆U + W</p><p>Analisando a expressão acima, podemos concluir que:</p><p>Numa transformação isobárica, a quantidade de calor trocada</p><p>entre o meio e o sistema é sempre maior que o trabalho realizado.</p><p>R: T = 480K</p><p>146</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>3.1.3. Energia Potencial Elástica</p><p>Neste caso, o volume permanece constante; ocorre apenas</p><p>variação de temperatura e pressão. Assim sendo, e se não hou-</p><p>ver variação de volume, não haverá trabalho realizado (W = 0).</p><p>Pela Primeira Lei da Termodinâmica, temos então:</p><p>∆Q = ∆U + W</p><p>∆Q = ∆U + 0</p><p>∆Q = ∆U</p><p>A partir disso, podemos concluir que: Numa transformação</p><p>isométrica, a variação da energia interna do sistema, é igual à</p><p>quantidade de calor que o sistema troca com o meio exterior.</p><p>3.1.4. Transformação Adiabática</p><p>Uma transformação é Adiabática quando o sistema não troca</p><p>calor com o meio exterior. Experimentalmente, pode-se rea-</p><p>lizar uma transformação Adiabática isolando o sistema ter-</p><p>micamente do meio exterior ou efectuando a transformação</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Um gás contido a</p><p>volume constante, tem</p><p>pressão inicial e tempe-</p><p>ratura inicial T = 27o C.</p><p>Determine, na escala</p><p>Célsius, a temperatura</p><p>em que esse gás exer-</p><p>cerá o dobro da pressão.</p><p>Dados</p><p>T = 27°C = 300K</p><p>TC = ?</p><p>P = 2p</p><p>Resolução</p><p>O gás evolui do estado (p, V, 300) para estado (2p, V, T1).</p><p>Como a transformação é isométrica, temos</p><p>p</p><p>T</p><p>p</p><p>T</p><p>p p</p><p>T</p><p>T K</p><p>T T K</p><p>C C</p><p>= → = → =</p><p>= − → =</p><p>1 1</p><p>1</p><p>300</p><p>2</p><p>600</p><p>600 273 327</p><p>147</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Num processo</p><p>adiabático, não exis-</p><p>tem trocas de calor</p><p>entre o sistema termo-</p><p>dinâmico e sua vizi-</p><p>nhança, ou seja: Q = 0.</p><p>Considerando como</p><p>sistema termodinâ-</p><p>mico um gás ideal, con-</p><p>tido num recipiente de</p><p>paredes termicamente</p><p>isoladas, perguntamos</p><p>o que acontece com</p><p>a temperatura do gás</p><p>ideal, quando sofre</p><p>uma compressão adia-</p><p>bática.</p><p>Resolução</p><p>Uma transformação adiabática temos o trabalho conver-</p><p>tido em energia e vice-versa. Pela primeira Lei da Termo-</p><p>dinâmica:</p><p>W = – ∆U</p><p>Quando há uma compressão V < V1 e W < 0</p><p>Logo, pela expressão anterior, concluímos que ∆U > 0, e,</p><p>consequentemente, ∆T > 0.</p><p>Ou seja, nesse processo, a temperatura aumenta.</p><p>rapidamente. Como a transmissão de calor é lenta, qualquer</p><p>transformação realizada com rapidez pode ser considerada</p><p>Adiabática.</p><p>Se a transformação é Adiabática, portanto ΔQ = 0. Então, pela</p><p>Primeira Lei da Termodinâmica, temos:</p><p>∆Q = ∆U + W</p><p>0 = ∆U + W</p><p>W = – ∆U</p><p>Ora, podemos afirmar: Numa transformação Adiabática, todo</p><p>o trabalho realizado corresponde à variação da energia interna</p><p>do sistema, uma vez que não há troca de energia com o meio</p><p>exterior.</p><p>148</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Exercício proposto</p><p>P1 – Um gás ideal monoatómico é comprimido adiabati-</p><p>camente sofrendo uma variação ode temperatura de 600K.</p><p>Sabendo que n = 3 moles, cv = 3cal/mol.K, R = 2 cal/mol.K e</p><p>1cal = 4,2J, determine:</p><p>a) A quantidade de calor trocada nessa transformação.</p><p>b) A variação de energia interna do gás, em joules.</p><p>c) O trabalho realizado sobre o gás.</p><p>a) R: Q = 0</p><p>b) R: ∆U = 22680J</p><p>c) R: W = – 22680J</p><p>3.1.5. Transformações Cíclicas</p><p>No estudo que fizemos até agora, analisamos transformações</p><p>de massas gasosas isotérmicas, isobáricas, isométricas e adia-</p><p>báticas. Continuando o estudo dessas transformações, vamos</p><p>analisar agora as transformações cíclicas.</p><p>Chamamos de transformação cíclicas, ou simplesmente ciclo,</p><p>ao conjunto de transformações por que passa certa massa</p><p>gasosa, no qual a situação final do gás é exactamente igual à</p><p>situação inicial.</p><p>No gráfico fig. 3.1 acima apresentamos um ciclo, constituído</p><p>por uma transformação isométrica, (AB), uma isobárica (BC),</p><p>outra isométrica (CD) e outra isobárica (DA). Vamos analisar</p><p>cuidadosamente cada transformação:</p><p>a) Como a temperatura inicial é igual à final, podemos afir-</p><p>mar que num ciclo não há variação da energia interna</p><p>do sistema. Entre A e B e entre C e D, o trabalho reali-</p><p>zado é nulo (transformação isométrica).</p><p>b) O trabalho realizado na expansão BC (fig. 3.2 a) é maior</p><p>que o trabalho realizado na compressão DA (fig. 3.2 b).</p><p>A diferença entre esses trabalhos corresponde à área</p><p>interna, mostrada na (fig. 3.2 c).</p><p>P</p><p>P2</p><p>P1</p><p>V1 V2 V</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>D</p><p>Fig. 3.1 – Transformação cíclica</p><p>149</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Fig. 3.2 – Expansão e compressão</p><p>Fig. 3.3 – Transformação cíclica, operando em sentido contrário</p><p>P</p><p>B C</p><p>P2</p><p>P1</p><p>WBC</p><p>V1 V2</p><p>V</p><p>A</p><p>P</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>P2</p><p>P1</p><p>V1 V2</p><p>V</p><p>D</p><p>WDA</p><p>A</p><p>P</p><p>B CP2</p><p>P1</p><p>WBC WBC</p><p>V1 V2</p><p>V</p><p>D</p><p>a) b) c)</p><p>Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica ao ciclo, temos:</p><p>∆U = 0 e W > 0</p><p>Assim</p><p>∆Q = ∆U + W</p><p>∆Q = W</p><p>Esse resultado diz-nos que, durante um ciclo, a energia tro-</p><p>cada em forma de calor entre o meio exterior e o sistema é</p><p>igual ao trabalho realizado na transformação. Como o trabalho</p><p>é positivo, conclui-se que o sistema perdeu energia. Em outras</p><p>palavras, o sistema recebeu calor e forneceu trabalho. Houve,</p><p>portanto, transformação de calor em trabalho.</p><p>Consideramos agora uma transformação cíclica, operando em</p><p>sentido contrário à que acabamos de ver isto é, sofrendo a</p><p>transformação no sentido anti-horário:</p><p>P</p><p>B C</p><p>P2</p><p>P1</p><p>WBC</p><p>V1 V2</p><p>V</p><p>A</p><p>P</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>P2</p><p>P1</p><p>V1 V2</p><p>V</p><p>D</p><p>WDA</p><p>A</p><p>P</p><p>B CP2</p><p>P1</p><p>WBC WBC</p><p>V1 V2</p><p>V</p><p>D</p><p>150</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Esse resultado mostra-nos que o sistema (gás) recebeu ener-</p><p>gia do meio, embora a sua energia interna não tenha sofrido</p><p>variação. Em outras palavras, houve conversão de trabalho em</p><p>calor.</p><p>Vamos agora resumir as ideias sobre uma transformação</p><p>cíclica:</p><p>a) Sempre que ocorrer uma transformação em ciclo, não</p><p>haverá variação de energia interna do sistema, pois a</p><p>temperatura final é igual à inicial.</p><p>b) Num gráfico pressão x volume, sempre que um ciclo</p><p>for percorrido no sentido horário, haverá um trabalho</p><p>positivo do sistema, isto é, o sistema (gás) fornece tra-</p><p>balho ao meio exterior. Como exemplo desse tipo de</p><p>ciclo, podemos mencionar as transformações realiza-</p><p>das pelas máquinas térmicas.</p><p>c) Sempre que a transformação se verificar no sentido</p><p>anti-horário, haverá trabalho negativo, isto é, o meio</p><p>exterior estará a realizar trabalho sobre o sistema.</p><p>O sistema receberá energia e haverá transformação de</p><p>trabalho em calor. Tal transformação ocorre, por exem-</p><p>plo, num refrigerador.</p><p>W > 0</p><p>V1 V2</p><p>V</p><p>P</p><p>W < 0</p><p>V1 V2</p><p>V</p><p>P</p><p>Fig. 3.4 – Gráfico P – V de um ciclo</p><p>percorrido no sentido horário</p><p>Fig. 3.5 – Gráfico P – V de um ciclo</p><p>percorrido no sentido anti-horário</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Uma amostra de</p><p>gás perfeito sofre uma</p><p>expansão de 2.10–3m3</p><p>à pressão constante</p><p>de 1,2.105N/m2. Qual o</p><p>trabalho realizado pelo</p><p>gás nessa transforma-</p><p>ção?</p><p>Dados</p><p>∆V = 2.10–3 m3</p><p>p = 1,2.105 N / m2</p><p>Resolução</p><p>W = p. ∆V</p><p>W = 1,2.105 .2.10–3 → W = 240J</p><p>151</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Exercício proposto</p><p>P1 – Um gás perfeito descreve o ciclo ABCDA, como indica a</p><p>figura.</p><p>Determine o trabalho que o sistema troca com o meio nas</p><p>transformações:</p><p>a) AB.</p><p>b) BC.</p><p>c) CD.</p><p>d) DA.</p><p>e) ABCDA.</p><p>a) R: WAB= 6J</p><p>b) R: WBC = 0</p><p>c) R: WCD = – 2J</p><p>d) R: WDA = 0J</p><p>e) R: WABCDA= 4J</p><p>P</p><p>P2</p><p>P1</p><p>V1 V2 V</p><p>D</p><p>CB</p><p>A</p><p>3.2. A Segunda Lei</p><p>da Termodinâmica</p><p>No capítulo anterior</p><p>analisamos a relação entre trabalho e</p><p>calor. Contudo, em nenhum momento determinamos em que</p><p>condições as transformações de trabalho em calor e as trans-</p><p>formações de calor em trabalho são possíveis.</p><p>A segunda Lei da Termodinâmica vem completar a Primeira,</p><p>determinando em que condições as transformações entre sis-</p><p>temas podem ser realizadas.</p><p>Entretanto, antes de enunciarmos a Segunda Lei, vamos anali-</p><p>sar, através de algumas situações reais, os conceitos de trans-</p><p>formações reversíveis e irreversíveis.</p><p>152</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>3.2.1. Transformações Reversíveis</p><p>Imaginemos um corpo que cai de uma certa altura sobre uma</p><p>“cama elástica”. Imaginemos também que possamos desprezar</p><p>todos os atritos. Neste caso, ao atingir a cama elástica, o corpo</p><p>é impulsionado de volta, atingindo, praticamente, a posição</p><p>inicial. Nesse processo de queda e volta, não houve variação</p><p>da energia mecânica do sistema. A queda é, então, uma trans-</p><p>formação reversível, pois há grande possibilidade de ocorrer</p><p>o movimento inverso, isto é, a volta do corpo às condições ini-</p><p>ciais.</p><p>Se analisou cuidadosamente a situação exposta, deve ter</p><p>observado que trabalhamos em condições ideais. Na realidade</p><p>não existem transformações reversíveis, pois o atrito quase</p><p>sempre está presente durante as transformações.</p><p>3.2.2. Transformações Irreversíveis</p><p>Vamos analisar agora outra transformação. Um bloco de massa</p><p>usada por pedreiros é lançado do alto da rampa. Enquanto a</p><p>massa cai, a sua energia potencial vai se transformando em</p><p>energia cinética. Porém, a energia mecânica do sistema man-</p><p>tém-se constante.</p><p>Quando a massa atinge o solo, a sua energia mecânica trans-</p><p>forma-se noutra forma de energia, a energia interna. É por isso</p><p>que a temperatura do corpo e a do chão aumentam. É possível</p><p>fazer com que a energia térmica gerada no impacto da massa</p><p>com o chão se reúna novamente e faça a massa subir até a</p><p>posição inicial? Não. Pois o caso contrário não ocorrerá. Neste</p><p>caso, dizemos que a queda é uma transformação irreversí-</p><p>vel.</p><p>Da mesma forma, quando você toma o seu café pela manhã, o</p><p>leite e o café estão, inicialmente, separados. Deitando o café no</p><p>leite, eles se misturam: ocorre uma transformação. Nesse caso</p><p>também não ocorrerá uma transformação inversa, ou seja, do</p><p>café separar-se espontaneamente do leite. Essa transformação</p><p>é irreversível.</p><p>Fig. 3.6 – Transformação reversível</p><p>Fig. 3.7 – Transformação irreversível</p><p>153</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Quando soltamos uma bola de ténis de uma certa altura, a bola</p><p>bate no chão e salta diversas vezes; a cada salto a bola atinge</p><p>uma altura menor, até parar. Isso significa que a sua energia</p><p>mecânica se transforma em calor. É altamente improvável que</p><p>a energia térmica se reuna para fazer com que a bola realize a</p><p>transformação inversa.</p><p>Além desses três exemplos, pode lembrar-se de outros seme-</p><p>lhantes, onde se observa a transformação de energia mecânica</p><p>em calor e nos quais não ocorre transformações irreversíveis.</p><p>Observe que a transformação inversa não ocorre experimen-</p><p>talmente, mas teoricamente ela é possível.</p><p>O calor passa espontaneamente de um corpo de maior tempe-</p><p>ratura para um corpo de menor temperatura.</p><p>A Segunda Lei da Termodinâmica refere-se exactamente a</p><p>este tipo de transformação. De acordo com essa lei, as trans-</p><p>formações naturais, espontâneas, realizam-se de acordo com</p><p>um sentido preferencial. Assim, para um corpo que se encon-</p><p>tra no alto de uma rampa, o sentido preferencial, natural, é o</p><p>da descida da rampa. Assim, uma vez solto, o corpo descerá</p><p>até o ponto mais baixo. Para faze-lo subir seria necessário um</p><p>agente externo, pois o corpo não subiria espontaneamente.</p><p>Da mesma forma que examinamos essas transformações, você</p><p>poderá examinar outras transformações semelhantes. No</p><p>entanto, a conclusão é uma só:</p><p>As transformações espontâneas são irreversíveis.</p><p>Observando o sentido da transferência espontânea da energia</p><p>térmica de um sistema para outro, Rudolf Clausius enunciou a</p><p>Segunda Lei da Termodinâmica:</p><p>O calor passa espontaneamente de um corpo de maior tempe-</p><p>ratura para um corpo de menor temperatura.</p><p>Veja que nesse enunciado fica evidente o sentido preferencial do</p><p>processo, o qual é determinado pela diferença de temperatura.</p><p>Nós sabemos pelas nossas próprias vivências que é relati-</p><p>vamente fácil transformar energia mecânica ou eléctrica em</p><p>calor: atirar as mãos, esfregar dois corpos, entortar um arame,</p><p>transformação não-espontânea</p><p>transformação espontânea</p><p>Fig. 3.8 – Transformação espontânea</p><p>e não espontânea</p><p>154</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>acender uma lâmpada e1éctrica, etc. O inverso, isto é, trans-</p><p>formar o calor em trabalho, muito difícil pois são necessá-</p><p>rias condições especiais. Essa dificuldade levou Sadi Carnot a</p><p>enunciar de outra forma a Segunda Lei da Termodinâmica:</p><p>Só é possível transformar calor em trabalho quando dis-</p><p>pomos de duas fontes com temperaturas diferentes.</p><p>Esse enunciado, que parece evidente, pode ser comprovado</p><p>quando estudarmos as máquinas térmicas.</p><p>3.3. Máquinas Térmicas</p><p>Uma máquina térmica é um sistema que, recebendo energia</p><p>como calor, é capaz de realizar trabalho.</p><p>Consideramos a expansão isotérmica de um gás contido num</p><p>cilindro munido de um êmbolo móvel (fig. 3.9): o gás recebe</p><p>energia como calor e realiza trabalho ao empurrar o êmbolo.</p><p>Se a sua energia interna não variar (ΔU = 0), toda a energia que</p><p>vai recebendo como calor é convertida em trabalho:</p><p>ΔU = 0 ⇔W + Q = 0 ⇔ W = –Q</p><p>Mas, para que isto continuasse a acontecer, o cilindro deveria</p><p>ter um comprimento infinito, o que não é possível. Se quere-</p><p>mos uma produção contínua de trabalho, temos de fazer voltar</p><p>o gás ao estado inicial? Fazendo-o ceder alguma energia como</p><p>calor a outro sistema à temperatura mais baixa: o gás contrai-</p><p>se e a pressão atmosférica obriga o êmbolo a voltar à posição</p><p>inicial. Diz-se que o gás realizou um ciclo. Neste caso, a ener-</p><p>gia interna do gás no estado final é igual à energia interna no</p><p>estado inicial.</p><p>Isto significa que, se o gás receber a energia Q1, como tem de</p><p>ceder a energia Q2, apenas a diferença Q1– |Q2| se converte em</p><p>trabalho:</p><p>ΔU = 0 ⇔W + Q1+ Q2</p><p>Fig. 3.9 – Gás contido num cilindro</p><p>munido de um êmbolo</p><p>Fig. 3.10 – Sistema de refrigeração</p><p>155</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Fig. 3.11 – Sistema termodinâmico</p><p>Fig. 3.12 – Máquina térmica</p><p>Atendendo à convenção de sinais, W < 0, Q1 > 0 e Q2 < 0</p><p>|W| = |Q1| – |Q2| (3.2)</p><p>É, portanto, impossível converter completamente calor em</p><p>trabalho.</p><p>Ao sistema termodinâmico que, uma máquina térmica, sofre</p><p>transformações, chama-se agente de transformaçãos.</p><p>3.3.1. Rendimento de uma Máquina Térmica</p><p>Sabemos que é impossível mover um conjunto de pás ligadas</p><p>a um eixo, através de uma corrente de água entre dois reser-</p><p>vatórios, se ambos estiverem no mesmo nível (a menos que</p><p>se usem processos externos de compressão num dos reserva-</p><p>tórios). Para que haja realização de trabalho, é preciso que os</p><p>dois reservatórios se encontrem em níveis diferentes. Desse</p><p>modo, a água correrá do reservatório de nível mais alto para o</p><p>mais baixo, movendo as pás e realizando o trabalho.</p><p>Em Termodinâmica, acontece algo semelhante. A experiência</p><p>de muitos anos mostrou que uma máquina térmica, como um</p><p>motor de explosão ou um motor a vapor, só transforma calor</p><p>em trabalho, operando em ciclos nas seguintes condições:</p><p>a) A máquina térmica opera entre duas fontes térmicas de</p><p>diferentes temperaturas, uma quente e a outra fria. A</p><p>máquina retira calor da fonte quente (Q1), transforma</p><p>parte desse calor em trabalho (W) e rejeita a outra</p><p>parte (Q2) para a fonte fria.</p><p>Q1 Q2</p><p>W</p><p>térmica</p><p>fonte friafonte quente</p><p>156</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>b) Esta máquina opera em ciclos. Como pode verificar, a</p><p>quantidade de calor Q1 é sempre maior que a quanti-</p><p>dade Q2. Assim, podemos definir uma</p><p>nova grandeza: o</p><p>rendimento de uma máquina.</p><p>η =</p><p>trabalho realizado pela máquina</p><p>quantidade de caalor retirado da fonte quente</p><p>η =</p><p>W</p><p>Q1</p><p>(3.3)</p><p>Sendo W = Q1 – Q2, pela Lei da Conservação da Energia, temos</p><p>η =</p><p>−Q Q</p><p>Q</p><p>1 2</p><p>1</p><p>(3.4)</p><p>Ou ainda</p><p>η</p><p>η</p><p>= −</p><p>= −</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>Q</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>3.3.2. O Ciclo de Carnot</p><p>Estudando as máquinas térmicas, Carnot descobriu um ciclo</p><p>de quatro transformações reversíveis duas isotérmicas e duas</p><p>adiabáticas que proporcionam o máximo rendimento térmico</p><p>para uma máquina. O esquema abaixo apresenta o Ciclo de</p><p>Carnot. T1 a temperatura da fonte quente e T2 a da fonte fria.</p><p>P</p><p>V</p><p>A</p><p>B</p><p>D</p><p>C</p><p>T2</p><p>T1</p><p>Fig. 3.13 – Ciclo de Carnot</p><p>157</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Analisemos cada uma das transformações do ciclo:</p><p>AB – Nessa transformação, o gás sofre uma expansão, rece-</p><p>bendo calor da fonte Q1 e realizando trabalho; sua tem-</p><p>peratura, porém, mantém se constante.</p><p>BC – Nessa transformação, o gás sofre uma expansão adiabá-</p><p>tica; sua temperatura diminui, mas não ocorre troca de</p><p>calor com o meio exterior.</p><p>CD – Nessa transformação, o gás sofre uma compressão, a</p><p>temperatura constante. O meio exterior realiza trabalho</p><p>sobre o gás, sem que haja variação de temperatura. O gás</p><p>rejeita calor (Q2) para o meio exterior; este calor não se</p><p>transforma em trabalho.</p><p>DA – Ocorre uma compressão adiabática, completando se o ciclo.</p><p>Com relação ao Ciclo de Carnot, é importante que você saiba</p><p>o seguinte:</p><p>a) Uma máquina que opera dentro do Ciclo de Carnot tem</p><p>o máximo rendimento. Ou seja, nenhuma máquina tér-</p><p>mica operando em ciclos pode ter rendimento superior</p><p>ao de uma máquina de Carnot.</p><p>b) O rendimento de uma máquina de Carnot depende das</p><p>temperaturas das fontes quente e fria. Carnot demons-</p><p>trou que a quantidade de calor que é retirada da fonte</p><p>quente (Q1) e a que é rejeitada para a fonte fria (Q2) são</p><p>proporcionais às temperaturas absolutas das fontes.</p><p>ou seja</p><p>Q</p><p>Q</p><p>T</p><p>T</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>= como</p><p>η =1 2</p><p>1</p><p>– ,</p><p>Q</p><p>Q</p><p>então</p><p>η =1 2</p><p>1</p><p>–</p><p>T</p><p>T</p><p>(3.5)</p><p>c) Na expressão</p><p>η =1 2</p><p>1</p><p>–</p><p>T</p><p>T</p><p>, quanto menor for a temperatura</p><p>T2 (fonte fria), maior será o rendimento, pois menor</p><p>se torna a razão</p><p>T</p><p>T</p><p>2</p><p>1</p><p>. Assim, quando a temperatura T2</p><p>atingisse zero K (zero absoluto), teríamos um rendi-</p><p>mento 100%. No entanto, isso é impossível, pois con-</p><p>traria a Segunda Lei da Termodinâmica.</p><p>158</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>a) Q1 = W + Q2 → W = Q1 – Q2</p><p>W = 600J – 300J → W = 300J</p><p>c) Cálculo do trabalho durante 8 ciclos</p><p>1 300</p><p>8</p><p>____________</p><p>____________ x</p><p>x = 2400J</p><p>Cálculo da potência</p><p>P</p><p>W</p><p>t</p><p>P</p><p>J</p><p>s</p><p>P Watts</p><p>= → =</p><p>=</p><p>�</p><p>2400</p><p>1</p><p>2400</p><p>P1 – Um motor eléc-</p><p>trico efectua 8 ciclos</p><p>por segundo. Em cada</p><p>ciclo, ele retira 600J</p><p>de uma fonte quente e</p><p>cede 300J a uma fonte</p><p>fria. Determine:</p><p>a) O trabalho realizado</p><p>pelo motor em cada</p><p>ciclo.</p><p>b) O Rendimento de</p><p>cada ciclo.</p><p>c) A potência máxima</p><p>do motor.</p><p>Dados</p><p>Número de ciclos = 8</p><p>Δt = 1s</p><p>Q1 = 600J</p><p>Q2 = 300J</p><p>a) W = ?</p><p>b) W = ?</p><p>c) η = ?</p><p>b)</p><p>η η</p><p>η</p><p>= → =</p><p>= =</p><p>W</p><p>Q</p><p>J</p><p>J</p><p>1</p><p>300</p><p>600</p><p>0 5 50, %</p><p>3.4. A Conservação da Energia</p><p>Algumas ideias relativas à energia nos acompanharam cons-</p><p>tantemente nestes estudos de Física, tanto em mecânica como</p><p>em Electricidade e em Termonologia. Neste tema faremos,</p><p>então, uma síntese de todos os assuntos que estudamos a res-</p><p>peito da energia e de suas leis.</p><p>159</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>A Primeira Lei da Termodinâmica refere-se à conservação da</p><p>energia em todos os tipos de transformação. Esse princípio é</p><p>sintetizado na equação:</p><p>ΔQ = AU + W</p><p>A Segunda Lei da Termodinâmica completa a primeira, pois</p><p>indica-nos que as transformações ocorrem de acordo com um</p><p>sentido preferencial. Assim, embora a Primeira Lei afirme que</p><p>a quantidade de energia que passa de um corpo para outro é</p><p>constante, não levando em conta o sentido da transferência,</p><p>a Segunda Lei afirma que o calor passa espontaneamente de</p><p>um corpo de maior temperatura para outro de menor tem-</p><p>peratura. Dessa forma, embora não contrarie a Primeira Lei,</p><p>é impossível a transformação inversa, isto é, é impossível o</p><p>calor passar de um corpo de menor temperatura para outro</p><p>de maior temperatura.</p><p>3.5. A Energia Térmica:</p><p>Uma Energia “Degradada”</p><p>Durante os estudos da Física, observamos que é muito</p><p>comum ocorrer a transformação da energia mecânica ou</p><p>eléctrica em energia térmica, mas raramente ocorre o</p><p>inverso, ou seja, raramente o calor se transforma em outra</p><p>forma de energia.</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>Um automóvel andando a uma velocidade de 80 km/h tem</p><p>uma grande energia cinética. Quando o carro é travado e pára,</p><p>sua energia cinética se reduz a zero. Sabemos pelo Principio</p><p>da conservação da Energia que a energia cinética do carro não</p><p>pode se perder. Onde estará ela? Será que essa energia pode</p><p>ser utilizada para realizar trabalho? É evidente que não pois</p><p>a energia cinética se transformou em energia térmica e, dessa</p><p>forma, não, podemos utilizá-la para realizar trabalho. Dizemos,</p><p>então, que a energia cinética que se apresentava “organizada”</p><p>160</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>e disponível para o trabalho se “degradou”, isto é, se transfor-</p><p>mou numa forma de energia não disponível para a realização</p><p>de trabalho: a energia térmica.</p><p>O mesmo ocorre quando você dispõe de um tanque de água</p><p>a 100 ≠C e outro a 0 °C. Devido à diferença de temperatura, a</p><p>energia "organizada", isto é concentrada na água quente, pode</p><p>ser utilizada, ao passar para o tanque frio, para a realização de</p><p>um trabalho numa máquina térmica que opere entre duas fon-</p><p>tes de temperaturas, diferentes. No entanto, se misturarmos</p><p>as duas quantidades de água, embora a quantidade de energia</p><p>continue a mesma, a disponibilidade desta energia para a rea-</p><p>lização de trabalho deixa de existir.</p><p>Analisando esses exemplos, podemos introduzir aqui, embora</p><p>muito superficialmente, a noção de entropia. Esta grandeza</p><p>depende apenas do estado inicial e do estado final de um sis-</p><p>tema. A variação dessa grandeza entre estes estados é que irá</p><p>determinar o sentido em que um processo natural evolui. Essa</p><p>grandeza foi introduzida em 1865 pelo físico Alemão Rudolf</p><p>Clausius e chama-se entropia, palavra que em grego significa</p><p>«capacidade de se modificar internamente». Esta grandeza</p><p>que se representa pela letra S, foi definida de tal forma que a</p><p>sua variação, ΔS, é:</p><p>• ΔS = 0 em processos reversíveis; nestes, a entropia do</p><p>sistem a e sua vizinhança mantém-se;</p><p>• ΔS > 0 em processos irreversíveis; nestes, a entropia do</p><p>sistema e sua vizinhança aumenta;</p><p>• S < 0 é impossível; a entropia de um sistema e sua vizi-</p><p>nhança nunca pode diminuir.</p><p>A entropia está associada à existência de uma tendência</p><p>espontânea para que todas as transformações se realizem</p><p>no sentido de um aumento “desordem” do sistema. Assim,</p><p>um pedaço de gelo tem uma estrutura organizada. Deixando</p><p>o gelo em condições normais de temperatura e pressão, sua</p><p>tendência é derreter-se, isto é, assumir uma estrutura mais</p><p>161</p><p>PARTE II – Fenómenos Térmicos</p><p>UNIDADE III – Termodinâmica</p><p>desorganizada, a forma líquida. Quando a água for deixada em</p><p>condições normais, a sua tendência espontânea é passar para</p><p>o estado gasoso, ou seja, evaporar. Esse estado caracteriza-se</p><p>por uma maior desordem molecular.</p><p>Resumindo, podemos dizer que:</p><p>Esses processos espontâneos de transformação são irreversí-</p><p>veis, pois, embora a energia se mantenha constante, ela é cada</p><p>vez menos disponível.</p><p>Existe uma tendência espontânea para que todas as</p><p>transformações se realizem no sentido de um aumento</p><p>da entropia.</p><p>162</p><p>163</p><p>Electrostática e</p><p>Corrente Eléctrica</p><p>Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>UNIDADE 2 – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>P</p><p>A</p><p>R</p><p>T</p><p>E</p><p>I</p><p>II</p><p>164</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>PARTE I1I:</p><p>ELECTROSTÁTICA</p><p>E CORRENTE</p><p>ELÉCTRICA CONTÍNUA</p><p>Unidade 1</p><p>Interacção electrostátIca</p><p>A electrostática baseia-se em dois princípios fundamentais, a</p><p>saber:</p><p>– Princípio da atracção e repulsão.</p><p>– Princípio da conservação das cargas eléctricas.</p><p>1.1. Conceito de Cargas</p><p>(Lei da Conservação da Carga)</p><p>Todos os corpos são formados de átomos. Cada átomo é cons-</p><p>tituído por um grande número de partículas elementares, das</p><p>quais as principais são os electrões, os protões e os neutrões.</p><p>Embora hoje existam modelos mais complexos para explicar</p><p>como essas partículas distribuem-se no átomo, ficaremos,</p><p>para simplificar, com o modelo planetário proposto pelo</p><p>Rutherford. Segundo esse modelo, os protões e os neutrões</p><p>estão fortemente coesos numa região central chamada núcleo,</p><p>enquanto os electrões giram ao redor do núcleo (como os pla-</p><p>netas ao redor do sol), constituindo a electrosfera.</p><p>A Electrostática é a parte da física que estuda as</p><p>propriedades e a acção mútua (interacção) das</p><p>cargas eléctricas em repouso, em relação a um</p><p>sistema inercial de referência.</p><p>elétron</p><p>práton</p><p>neutron</p><p>Fig. 1.1 – Modelo de atómico de</p><p>Rutherford</p><p>165</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>Por meio de experiências constata-se que os protões se repe-</p><p>lem, o mesmo acontece com os electrões. Para explicar essas</p><p>ocorrências, estabeleceu-se que protões e electrões possuem</p><p>uma propriedade física à qual se deu o nome de Carga eléc-</p><p>trica.</p><p>As características e propriedades da carga eléctrica:</p><p>– Existem dois tipos de carga eléctrica, positiva e negativa.</p><p>– Cargas eléctricas do mesmo tipo repelem-se, de tipos</p><p>diferentes atraem-se.</p><p>– Em todo átomo, o número de electrões é igual ao número</p><p>de protões, ou seja, todo átomo é electricamente neutro.</p><p>A carga eléctrica (q) se conserva, isto é, a carga eléctrica total</p><p>de um sistema electricamente isolado é constante (afirma-</p><p>ção conhecida também como Princípio da Conservação da</p><p>Carga Eléctrica) e é quantizada, isto é, qualquer carga pelo</p><p>seu módulo é um múltiplo da carga eléctrica elementar – a</p><p>carga e do electrão (q = ne).</p><p>A carga eléctrica q é uma grandeza física que determina a</p><p>intensidade das interacções electromagnéticas.</p><p>A grandeza carga eléctrica ou quantidade de electricidade é</p><p>representada por q.</p><p>A carga eléctrica do protão é igual em módulo à carga eléctrica do</p><p>electrão, constituindo a menor quantidade de carga encontrada</p><p>na natureza, cujo valor determinado experimentalmente é:</p><p>e = 1,6.10–19C</p><p>No SI, a carga q tem como unidade o coulomb (símbolo: C)</p><p>O coulomb é uma unidade de carga muito grande – a carga eléc-</p><p>trica de uma nuvem de tempestade, por exemplo, tem apenas</p><p>algumas centenas de coulombs. Por essa razão, quase sempre</p><p>nos referimos a submúltiplos do coulomb, como o microcou-</p><p>lomb, µC (10–6C), o nanocoulomb nC (10–9 C), e o picocoulomb,</p><p>pC (10–12C).</p><p>166</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>1.2. Lei de Coulomb – Permitividade</p><p>Elétrica do Meio</p><p>Por volta de 1775, algumas evidências experimentais con-</p><p>venceram o físico-químico inglês Priestley de que a interac-</p><p>ção eléctrica deveria ser descrita por uma lei semelhante à da</p><p>interacção gravitacional – a atracção ou repulsão entre cargas</p><p>eléctricas deveria ser também directamente proporcional ao</p><p>produto das cargas eléctricas, grandeza equivalente à massa</p><p>na interacção gravitacional, e inversamente proporcional à</p><p>distância. Dez anos depois, em 1785, o físico Charles Augustin</p><p>de Coulomb comprovou experimentalmente a previsão teó-</p><p>rica de Priestley, num resultado que conhecido como Lei de</p><p>Coulomb:</p><p>A intensidade das forças de interacção (F) entre dois</p><p>corpos pontuais imóveis de cargas eléctricas q</p><p>1</p><p>e q</p><p>2</p><p>é</p><p>directamente proporcional ao produto dos módulos des-</p><p>sas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da</p><p>distância (r) entre eles.</p><p>Matematicamente, a Lei de Coulomb é expressa na forma:</p><p>F k</p><p>q q</p><p>r</p><p>= 1 2</p><p>2</p><p>(1.1)</p><p>Onde q1 e q2 são as cargas; r é a distância entre as cargas; e</p><p>k é o coeficiente de proporcionalidade que é numericamente</p><p>igual à força de interacção das cargas unitárias que se locali-</p><p>zam a uma distância igual à unidade de comprimento. O valor</p><p>de k para o vácuo (vazio) torna-se:</p><p>k</p><p>N m</p><p>C0</p><p>9</p><p>2</p><p>2</p><p>9 10= .</p><p>.</p><p>167</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>A constante de proporcionalidade, k, é designada constante</p><p>de Coulomb ou constante electrostática e o seu valor</p><p>depende do meio onde se dá a interacção; não é uma cons-</p><p>tante universal como acontece com a constante de gravitação</p><p>G (constante de gravitação universal).</p><p>Por exemplo, verifica-se experimentalmente que duas cargas</p><p>pontuais de 1C, colocadas à distância de 1m, dentro de água</p><p>(pura), se repelem com uma força eléctrica de intensidade X</p><p>vezes inferior àquela com que as mesmas cargas se repelem</p><p>no vácuo. Portanto, a constante de Coulomb para a água é 80</p><p>vezes menor do que a constante de Coulomb para o vácuo, k0.</p><p>Cada meio é, então, caracterizado pela sua permitividade, ε,</p><p>sendo:</p><p>k =</p><p>1</p><p>4πε</p><p>A permitividade eléctrica do meio, ε, traduz a interferência</p><p>do meio nas interacções electrostáticas e é constante para cada</p><p>meio. Quanto maior é a permitividade eléctrica de um meio,</p><p>menor o valor de k e, consequentemente, menor é a intensi-</p><p>dade da força eléctrica entre as duas cargas eléctricas.</p><p>No vácuo, a permitividade eléctrica, ε0, é mínima, sendo o</p><p>seu valor:</p><p>ε</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>8 854188 10= . .</p><p>–</p><p>–</p><p>C</p><p>N m</p><p>A permitividade eléctrica do ar (PTN) é praticamente igual ao</p><p>vácuo, embora ligeiramente superior.</p><p>εr = 1,0005 ε0</p><p>É habitual comparar-se a permitividade eléctrica de um</p><p>meio,ε, com a permitividade eléctrica do vácuo, ε0, através da</p><p>permitividade relativa, εr, que se define pelo quociente:</p><p>ε ε</p><p>εr</p><p>=</p><p>0</p><p>168</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>1.3. Campo Electrostático</p><p>O campo electrostático é o meio material que permite a inte-</p><p>racção electrostática. É representado por E e é uma grandeza</p><p>vectorial cuja direcção e sentido é a da força.</p><p>Por definição E F</p><p>q</p><p>=</p><p>0</p><p>(1.2)</p><p>Onde F é a força electrostática,</p><p>qo é a carga de prova</p><p>No SI a unidade do campo electrostático é o N/C</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Calcule a intensi-</p><p>dade de força coulom-</p><p>biana entre duas cargas</p><p>eléctricas iguais a 1C,</p><p>situadas no vácuo e a</p><p>1m de distância. A cons-</p><p>tante electrostática é</p><p>k0 = 9.109 N.m2/C2?</p><p>Dados</p><p>q1 = q2 = IC</p><p>r = 1m</p><p>k</p><p>N m</p><p>C</p><p>= 9 109</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>.</p><p>P2 – Um corpo inicial-</p><p>mente neutro é electri-</p><p>zado com carga Q = 32 µC.</p><p>Qual o número de elec-</p><p>trões retirados do corpo?</p><p>Dados</p><p>Q = 32mC</p><p>m = ?</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>Pela lei de Coulomb</p><p>F k</p><p>q q</p><p>r</p><p>F</p><p>F N</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>1 2</p><p>2</p><p>9</p><p>2</p><p>9</p><p>9 10</p><p>1 1</p><p>1</p><p>9 10</p><p>.</p><p>.</p><p>Q n e</p><p>n</p><p>Q</p><p>e</p><p>n</p><p>n</p><p>=</p><p>= → =</p><p>=</p><p>.</p><p>.</p><p>,</p><p>.</p><p>–</p><p>–</p><p>32 10</p><p>1 610</p><p>2 10</p><p>6</p><p>19</p><p>14</p><p>169</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>Linhas de Força</p><p>O conceito de linhas de força tem como finalidade representar</p><p>o cmpo electrostático através de diagramas.</p><p>As linhas de forças são traçadas de tal modo que, em cada</p><p>ponto, o vector</p><p></p><p>E seja tangente a elas, é possível determinar a</p><p>direcção e o sentido do campo num ponto, quando se conhe-</p><p>cem as linhas de força que passam por este ponto.</p><p>As linhas de força são traçadas mais próximas uma das outras</p><p>nas regiões onde o campo eléctrico é mais intenso, e obser-</p><p>vando a operação entre estas linhas, é possível obter infor-</p><p>mações sobre o módulo do vector campo electrostático. Em</p><p>cada ponto do espaço onde existe carga tem um vector</p><p></p><p>E , cujo</p><p>módulo diminui à medida que nos afastamos da carga.</p><p>As linhas de força dos campos que acabamos de estudar</p><p>apresentam uma configuração própria e simples. Outras</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Num ponto M do espaço é colocada uma carga q = 2.10 –6 C</p><p>e fica sujeita a uma força</p><p>eléctrica F = 10 N, para o norte. Neste</p><p>caso, calcule a intensidade e o sentido do campo eléctrico.</p><p>P2 – Sobre uma carga de 4 C, localizada em um ponto P, actua</p><p>uma força de 8 N. Se trocarmos a carga de 4 C por uma outra de</p><p>5 C, qual será a intensidade da força sobre essa carga quando no</p><p>ponto P?</p><p>P3 – Um partícula cuja carga eléctrica é q = 3.10–8 C, posta no</p><p>ponto P que se encontra a 3 m de uma carga Q, no vácuo, sofre</p><p>a acção de uma força de módulo F = 1,5.10–2 N.</p><p>a) Qual será o módulo do campo eléctrico em P?</p><p>b) Admitindo-se que esse campo eléctrico se deve exclusiva-</p><p>mente a Q, qual o valor de Q?</p><p>R: E = 5.106 N/C,</p><p>para o norte</p><p>b) R: Q = 5.10–4C ou</p><p>Q = - 5.10–4C</p><p>a) R: E = 5.105 N/C</p><p>R: F = 10 N</p><p>170</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>distribuições de cargas criam campos cujas linhas de força</p><p>podem representar formas como as representadas nas figuras</p><p>1.2 (a) e (b).</p><p>Fig. 1.2 – Linhas de força do campo eléctrico</p><p>Fig. 1.3 – Configurações das linhas de força do campo eléctrico</p><p>Fig. 1.4 – Linhas de força do campo</p><p>eléctrico</p><p>(a)</p><p>E3</p><p>E2</p><p>E1</p><p>(b)</p><p>l i n h a s d e f o r ç a</p><p>Consideremos o caso de linhas de forças do campo uni-</p><p>forme duas placas, paralelas, separadas por uma distância</p><p>pequena em relação às dimensões de placas.</p><p>Se colocarmos uma carga de prova positiva Q2, num ponto P1</p><p>situado entre as placas, esta carga ficará sujeita à acção de</p><p>uma força</p><p></p><p>F , devido ao campo eléctrico criado pelas placas no</p><p>espaço entre elas. Deslocando-se a carga Q2 para outro ponto</p><p>qualquer entre as placas verifica-se que irá actuar sobre Q2</p><p>uma força</p><p></p><p>F do mesmo módulo, mesma direcção e mesmo</p><p>sentido que aquela que actuava quando Q2 se encontrava em</p><p>171</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>Fig. 1.5 – Campo eléctrico uniforme</p><p>Fig. 1.6 – Campo eléctrico criado</p><p>por uma carga pontual</p><p>P1. Concluímos que o campo eléctrico existente entre as placas</p><p>tem, em qualquer ponto, o mesmo módulo, a mesma direcção e</p><p>o mesmo sentido. Um campo como este é denominado uniforme.</p><p>Campo Eléctrico Criado por Carga Pontual</p><p>Consideremos uma carga pontual Q1, no ar, e um ponto situado</p><p>a uma distância R desta carga, fig. 1.6.</p><p>Se colocarmos uma carga de prova Q2 neste ponto P, ela fica</p><p>sujeita a uma força eléctrica</p><p></p><p>F, cujo módulo poderá ser calculado</p><p>pela lei de Coulomb, isto é, F k</p><p>Q Q</p><p>r</p><p>=</p><p>0</p><p>1 2</p><p>2</p><p>sendo</p><p>E</p><p>F</p><p>Q</p><p>=</p><p>2</p><p>,</p><p>obtém-se</p><p>E k</p><p>Q</p><p>r</p><p>=</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>(1.3)</p><p>Portanto, esta expressão permite-nos calcular a intensidade</p><p>do campo num certo ponto, quando conhecemos o valor da</p><p>carga pontual que criou este campo e a distância do ponto</p><p>para esta carga.</p><p>Analisando as expressões do campo de uma carga pontual,</p><p>podemos tirar as seguintes conclusões:</p><p>• A carga não aparece nessa expressão porque a inten-</p><p>sidade de campo eléctrico num ponto não depende da</p><p>carga de prova.</p><p>• A intensidade E, num dado ponto, é directamente propor-</p><p>cional à carga que cria o campo. Vide o, gráfico da fig.1.7.</p><p>Quer dizer que fazendo variar o valor de Q1, a intensidade do</p><p>campo no ponto P, referido na fig.1.7, variará de tal modo que</p><p>o gráfico E×Q terá o aspecto apresentado na fig.1.8;</p><p>• A expressão do campo eléctrico mostra-nos também,</p><p>que o campo eléctrico de uma carga pontual Q1,o seu</p><p>valor torna-se tanto menor quanto maior for a distância</p><p>r, entre o ponto e a carga Q1; poisE</p><p>r</p><p>~</p><p>1</p><p>2</p><p>E</p><p>E k</p><p>Q</p><p>r</p><p>=</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>Q1</p><p>r P</p><p>E+</p><p>Fig. 1.7 – Dependência da carga e</p><p>campo eléctrico</p><p>E</p><p>QE~</p><p>Qa</p><p>172</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>A intensidade do campo é inversamente proporcional</p><p>ao quadrado da distância r. Daí resulta o gráfico, fig. 1.8.</p><p>1.4. Trabalho do Campo Eléctrico</p><p>Quando um campo eléctrico realiza um trabalho WAB sobre</p><p>uma carga de prova positiva Q, que se desloca de um ponto</p><p>A para um ponto B, a diferença de potencial VAB entre estes</p><p>pontos é obtida dividindo-se o trabalho realizado pelo valor</p><p>da carga que foi deslocada, isto é:</p><p>V</p><p>W</p><p>AB</p><p>AB</p><p>Q</p><p>= (1.4)</p><p>WAB = F.d ou WAB = QEd (1.5)</p><p>A d.d.p. entre as placas comportar-se-á, conforme a fig. 1.9,</p><p>isto é:</p><p>V</p><p>W</p><p>Q</p><p>QEd</p><p>Q</p><p>V Ed</p><p>AB</p><p>AB</p><p>AB</p><p>= =</p><p>=</p><p>(1.6)</p><p>A d.d.p. acima calculada, é de grande utilidade porque permite-</p><p>-nos também calcular o valor do campo eléctrico, assim:</p><p>E</p><p>V</p><p>d</p><p>=</p><p>�</p><p>Quando a força eléctrica, não é constante, o cálculo do traba-</p><p>lho só pode ser feito usando-se métodos matemáticos. Assim:</p><p>V k</p><p>Q</p><p>r</p><p>= 0</p><p>(1.7)</p><p>Valor de potencial obtido de uma referência dum ponto afas-</p><p>tado da carga Q ou valor de potencial em relação a um ponto</p><p>no infinito.</p><p>Fig. 1.9 – Campo eléctrico uniforme</p><p>no interior de duas placas</p><p>Fig. 1.8 – Dependência campo eléc-</p><p>trico distância</p><p>E</p><p>r</p><p>E~</p><p>1</p><p>r</p><p>b</p><p>-</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-+</p><p>E</p><p>d</p><p>A</p><p>+ Q</p><p>B</p><p>-+</p><p>173</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>P1 – Suponha que, na</p><p>figura abaixo, uma carga</p><p>positiva Q = 2.10–7C se</p><p>desloca de A para B e que</p><p>o trabalho realizado pela</p><p>força eléctrica, sobre ela,</p><p>fosse WAB = 5.10–3J.</p><p>a) Qual é a diferença de</p><p>potencial VAB entre A</p><p>e B?</p><p>b) Se uma carga positiva</p><p>Q = 9.10–6C for aban-</p><p>donada no ponto A</p><p>da mesma figura, qual</p><p>será o trabalho que a</p><p>força eléctrica reali-</p><p>zará sobre essa carga</p><p>ao deslocá-la de A</p><p>para B?</p><p>Dados</p><p>WAB = 5.10–3J</p><p>Q = 2.10–7C</p><p>a) VAB = ?</p><p>b) WAB = ?</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>-</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-</p><p>-+</p><p>E</p><p>d</p><p>A</p><p>+ Q</p><p>B</p><p>a)</p><p>b)</p><p>A d.d.p. entre A e B é dada por</p><p>V</p><p>W</p><p>AB</p><p>AB</p><p>Q</p><p>J</p><p>C</p><p>= =</p><p>−</p><p>−</p><p>5 10</p><p>2 10</p><p>3</p><p>7</p><p>.</p><p>.</p><p>Da expressão</p><p>V</p><p>W</p><p>Q</p><p>W QV</p><p>AB</p><p>AB</p><p>AB AB</p><p>=</p><p>= .</p><p>Como a d.d.p. já foi determinada, temos</p><p>W C</p><p>J</p><p>C</p><p>W J</p><p>AB</p><p>AB</p><p>=</p><p>=</p><p>6 10 2 5 10</p><p>15 10</p><p>6 4</p><p>2</p><p>. , .</p><p>.</p><p>–</p><p>174</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>P1 – Uma carga pontual Q estabelece, no ponto A, o campo</p><p>eléctrico</p><p></p><p>E , como mostra a figura.</p><p>a) Sendo d a distância entre A e B, a voltagem entre esses</p><p>pontos poderia ser calculada por VAB = Ed? Explique?</p><p>b) A expressão V</p><p>W</p><p>QAB</p><p>AB=</p><p>poderia ser usada para calcular</p><p>essa diferença de potencial?</p><p>P2 – a) Calcule, em V/mm, a inclinação do gráfico obtido no</p><p>exercício anterior.</p><p>b) Expresse, em V/mm e em N/C, a intensidade do campo</p><p>entre as placas.</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>ResoluçãoP1 – Suponha que na</p><p>figura abaixo o valor</p><p>da carga Q1 seja 2μC.</p><p>Suponha, ainda, que as</p><p>distâncias da carga Q1</p><p>aos pontos A e B sejam</p><p>rA = 20 cm e rB = 60 cm.</p><p>Calcular a d.d.p. (VAB).</p><p>Dados</p><p>Q1 = 2mC = 2.10–6C</p><p>rA = 20cm = 2.10–1m</p><p>rB = 60cm = 6.10–1m</p><p>Q</p><p>A q</p><p>B</p><p>F</p><p>V</p><p>r</p><p>V</p><p>V V</p><p>V</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>k</p><p>Q</p><p>k</p><p>= → =</p><p>=</p><p>=</p><p>1</p><p>1</p><p>9 10</p><p>2 10</p><p>2 10</p><p>9</p><p>6</p><p>1</p><p>4</p><p>9 10</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>–</p><p>–</p><p>.</p><p>QQ</p><p>r</p><p>V</p><p>V V</p><p>B</p><p>B</p><p>B</p><p>→ =</p><p>=</p><p>9 10</p><p>2 10</p><p>6 10</p><p>9</p><p>6</p><p>1</p><p>4</p><p>3 10</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>–</p><p>–</p><p>.</p><p>A d.d.p. entre A e B será:</p><p>V V V</p><p>V V V</p><p>V V</p><p>AB A B</p><p>AB</p><p>AB</p><p>= −</p><p>=</p><p>=</p><p>9 10 3 10</p><p>6 10</p><p>4 4</p><p>4</p><p>. – .</p><p>.</p><p>Exercícios propostos</p><p>BAQ E</p><p>d</p><p>175</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>1.5. Potencial Eléctrico</p><p>Conhecemos já uma grandeza que por depender unicamente</p><p>da localização do ponto (grandeza posicional) caracteriza</p><p>o campo electrostático – o vector campo eléctrico. Este se</p><p>associa a cada ponto uma grandeza vectorial à força por uni-</p><p>dade de carga colocada no ponto. De modo idêntico iremos</p><p>associar a cada ponto do campo uma grandeza escalar que só</p><p>depende da posição da carga.</p><p>A energia potencial de um sistema campo – carga não pode</p><p>caracterizar esta grandeza escalar, uma vez que depende da</p><p>carga colocada no ponto. No entanto, se considerarmos a ener-</p><p>gia potencial por unidade de carga, obteremos uma grandeza</p><p>posicional escalar, que já permite caracterizar o campo nesse</p><p>ponto. A essa grandeza chamaremos potencial eléctrico.</p><p>Esta grandeza designa-se por V e poderemos escrever:</p><p>V</p><p>E</p><p>Q</p><p>p= (1.8)</p><p>sendo Ep a energia potencial eléctrica.</p><p>Unidade SI de V</p><p>V</p><p>E</p><p>P</p><p>J</p><p>C</p><p>volt</p><p>p</p><p>= = =</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>[ ]</p><p>Desta expressão resulta a unidade S.I. do potencial eléctrico –</p><p>volt (joule por Coulomb).</p><p>Como a energia potencial eléctrica é:</p><p>E k</p><p>Q Q</p><p>rp</p><p>= 1 2 (1.9)</p><p>e o potencial eléctrico num ponto à distância r da carga fonte</p><p>de campo Q1 será:</p><p>V</p><p>k</p><p>Q Q</p><p>r</p><p>Q</p><p>=</p><p>1 2</p><p>2</p><p>176</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>logo:</p><p>V k</p><p>Q</p><p>r</p><p>= 1 (1-10)</p><p>Sendo o trabalho realizado pelas forças do campo ao deslocar</p><p>a carga Q2 entre dois pontos igual à variação de energia poten-</p><p>cial dos sistema temos W A→B = ΔEp</p><p>logo W A→B = EpA– EpB (1-11)</p><p>A Assim dividindo esta expressão por Q (carga criadora de</p><p>campo) obtemos o trabalho realizado por unidade de carga</p><p>W</p><p>Q</p><p>E</p><p>Q</p><p>E</p><p>Q</p><p>A B pA pB→ = −</p><p>logo</p><p>W</p><p>Q</p><p>V V VA B</p><p>A B</p><p>→ = − = �</p><p>em que VA – VB = ΔV é a diferença de potencial eléctrico entre</p><p>os pontos A e B.</p><p>Utilizando estas expressões podemos definir diferença de</p><p>potencial entre dois pontos e potencial num ponto.</p><p>A diferença de potencial eléctrico entre dois</p><p>pontos do campo é o trabalho realizado pelas</p><p>forças do campo no transporte da carga unitária</p><p>de um ponto para o outro.</p><p>177</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Qual o trabalho necessário para levar uma carga de</p><p>500.10–12 C de um ponto situado a 20 m de uma carga de 1.000 µC</p><p>a um ponto a 2m dela?</p><p>Considere as cargas no vácuo (kO = 9.109 N.m2 / C2).</p><p>P2 – Determine o trabalho das forças de campo eléctrico de uma</p><p>carga puntiforme Q = 5µC para transportar outra carga punti-</p><p>forme q = 2.10–2 µC de um ponto A a outro ponto B, distantes 1 m</p><p>e 2 m da carga Q, respectivamente. (Dado kO = 9.109 N.m2 / C2).</p><p>P3 – Uma objecto de pequenas dimensões, com uma carga</p><p>eléctrica Q, cria um potencial igual a 1000 V, nume ponto A, a</p><p>uma distância de 0,1 m. Determine o valor.</p><p>a) Do campo eléctrico no ponto A.</p><p>b) Do potencial e do campo eléctrico em um ponto B, que</p><p>dista 0,2 m do objecto.</p><p>b) R: V = 500 V;</p><p>E = 2,5.103N/C</p><p>a) R: E = 104N/C</p><p>R: W = –2.10–3J</p><p>R: W = 4,5.10–4J</p><p>1.6. Capacidade eléctrica</p><p>Consideremos dois condutores, inicialmente neutros, quando</p><p>são carregados, um deles adquire a carga +|q| e o outro –|q|.</p><p>Entre os condutores surge um campo eléctrico e cria-se</p><p>uma diferença de potencial (tensão). A medida que a tensão</p><p>aumenta, o campo eléctrico entre os condutores intensifica-se.</p><p>A grandeza física que caracteriza a capacidade de dois condu-</p><p>tores acumular carga eléctrica, denomina-se Capacidade eléc-</p><p>trica (c), e é medida pelo quociente da carga (q) de um dos</p><p>condutores pela diferença de potencial (U) entre os condutores</p><p>C</p><p>q</p><p>U</p><p>= (1.12)</p><p>178</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de capa-</p><p>cidade eléctrica é o farad (F). O farad é uma unidade de medida</p><p>considerada muito grande para circuitos práticos, por isso, são</p><p>utilizados valores de capacidade expressos em microfarads</p><p>(μF), nanofarads (nF) ou picofarads (pF).</p><p>1.6.1. Condensadores (Capacitores)</p><p>Capacitor, (condensador), é um componente que armazena</p><p>energia num campo eléctrico, acumulando um desequilíbrio</p><p>interno de carga eléctrica.</p><p>Os formatos típicos consistem em dois eléctrodos ou placas que</p><p>armazenam cargas opostas. Estas duas placas são condutoras</p><p>e são separadas por um isolante ou por um dieléctrico. A carga</p><p>é armazenada na superfície das placas, no limite com o dieléc-</p><p>trico. Devido ao facto de cada placa armazenar cargas iguais,</p><p>porém opostas, a carga total no dispositivo é sempre zero.</p><p>Quando uma diferença de potencial U = E.d é aplicada às pla-</p><p>cas do condensador simples, surge um campo eléctrico entre</p><p>elas. Este campo eléctrico é produzido pela acumulação de</p><p>uma carga nas placas.</p><p>Segundo a forma das superfícies condutoras, os condensado-</p><p>res podem ser de placas paralelas, condensadores cilíndricos</p><p>ou condensadores esféricos.</p><p>1.6.2. Energia do condensador carregado</p><p>Para carregar um condensador, é necessário realizar traba-</p><p>lho na separação das cargas positivas das negativas. A energia</p><p>armazenada num condensador é igual ao trabalho feito para</p><p>carregá-lo, e é dada pela seguinte fórmula:</p><p>W</p><p>qU</p><p>=</p><p>2 (1.13)</p><p>Substituindo na fórmula (1.13) a carga ou a diferença de</p><p>potencial pela fórmula (1.12) da capacidade do condensador,</p><p>tem-se:</p><p>W</p><p>qU q</p><p>C</p><p>CU</p><p>= = =</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>(1.14)</p><p>179</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>1.6.3. Energia do condensador carregado</p><p>Num circuito de condensadores montados em paralelo todos</p><p>estão sujeitos à mesma diferença de potencial (tensão). Para</p><p>calcular a sua capacidade total:</p><p>C1 = C1+ C2+ ... + Cn (1.15)</p><p>A carga para os capacitores em série é a mesma, porém cada</p><p>capacitor terá uma queda de tensão (diferença de potencial</p><p>entre seus terminais) diferente. A soma das diferenças de</p><p>potencial (tensão) é igual a diferença de potencial total. Para</p><p>calcular a capacidade total:</p><p>1 1 1 1</p><p>1 2t nC C C C</p><p>= + + +...</p><p>(1.16)</p><p>Na associação mista de capacitores, tem-se capacitores asso-</p><p>ciados em série e em paralelo. Nesse caso, o capacitor equi-</p><p>valente deve ser obtido, resolvendo-se o circuito em partes,</p><p>conforme a sua configuração. Por isso, calcule, antes associa-</p><p>ção de capacitores em série para após efectuar o cálculo dos</p><p>capacitores em paralelo ou vice-versa.</p><p>Fig. 1.10 – Capacitores associados</p><p>em paralelo</p><p>Fig. 1.11 – Capacitores associados</p><p>em série</p><p>C1 C2 Cn</p><p>C1 C2 Cn</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 – Um condensador</p><p>ligado aos terminais</p><p>de uma pilha de 1,5 V</p><p>adquire carga de 3 μC.</p><p>Determine a sua capa-</p><p>cidade.</p><p>Dados</p><p>U = 1,5V</p><p>q = 2 μC</p><p>c = ?</p><p>Resolução</p><p>c</p><p>q</p><p>U</p><p>c</p><p>C</p><p>V</p><p>c F</p><p>= → =</p><p>=</p><p>3</p><p>1 5</p><p>2</p><p>µ</p><p>µ</p><p>,</p><p>180</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>P2 – Um condensador,</p><p>ligado aos terminais de</p><p>uma bateria de 12 v,</p><p>armazena carga de 50</p><p>nC. Determine.</p><p>a) A capacidade do</p><p>condensador;</p><p>b) A energia armaze-</p><p>nada.</p><p>Dados</p><p>U = 12V</p><p>q = 50nC = 5.10–8C</p><p>a) C = ?</p><p>b) W = ?</p><p>P3 – Dois condensa-</p><p>dores C1 = 20μF e C2 =</p><p>60μF estão associados</p><p>em série. Aplicou-se</p><p>aos terminais da asso-</p><p>ciação uma ddp igual a</p><p>6 V. Determine.</p><p>a) A capacidade total;</p><p>b) A carga total;</p><p>c) A ddp em cada con-</p><p>densador.</p><p>Dados</p><p>C1 = 20mF</p><p>C2 = 60mF</p><p>U = 6V</p><p>a) Ct = ?</p><p>b) q1 = ?</p><p>c) U1 = ? U2 = ?</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>a)</p><p>c)</p><p>b)</p><p>b)</p><p>C</p><p>q</p><p>U</p><p>C</p><p>nC</p><p>V</p><p>c nF</p><p>= → =</p><p>=</p><p>50</p><p>12</p><p>4 2,</p><p>1 1 1 1 1</p><p>20</p><p>1</p><p>60</p><p>1 4</p><p>60</p><p>15</p><p>1 2</p><p>C C C C C</p><p>C F</p><p>t t t</p><p>t</p><p>= + → = + → =</p><p>= µ</p><p>U</p><p>q</p><p>C</p><p>U</p><p>C</p><p>F</p><p>U V</p><p>U</p><p>q</p><p>C</p><p>U</p><p>C</p><p>t</p><p>t</p><p>1</p><p>1</p><p>1 1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>90</p><p>20</p><p>4 5</p><p>90</p><p>6</p><p>= → = → =</p><p>= → =</p><p>µ</p><p>µ</p><p>µ</p><p>,</p><p>00</p><p>1 5</p><p>2µF</p><p>U V→ = ,</p><p>q C U q F V q C</p><p>t t t t</p><p>= → = → =. .15 6 90µ µ</p><p>W</p><p>qU</p><p>W</p><p>C V</p><p>W J</p><p>= → =</p><p>=</p><p>2</p><p>5 10 12</p><p>2</p><p>3 10</p><p>8</p><p>7</p><p>. .</p><p>.</p><p>–</p><p>–</p><p>181</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1 – Interacção Electrostática</p><p>P4 – Dois condensa-</p><p>dores C1 = 20μF e C2 =</p><p>60μF estão associados</p><p>em paralelo. Aplicou-se</p><p>aos terminais da asso-</p><p>ciação uma ddp igual a</p><p>6 V. Determine.</p><p>a) A capacidade total;</p><p>b) A carga acumulada em</p><p>cada condensador;</p><p>c) A carga total.</p><p>Dados</p><p>C1 = 20mF</p><p>C2 = 60mF</p><p>U = 6V</p><p>a) C1 = ?</p><p>b) q1 = ? q2 = ?</p><p>c) qt = ?</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>C C C C F F C F</p><p>t t t</p><p>= + → = + → =</p><p>1 2</p><p>20 60 80µ µ µ</p><p>q C U q F V q C</p><p>q C U q F</p><p>1 1 1 1</p><p>2 2 2</p><p>20 6 120</p><p>60</p><p>= → = → =</p><p>= → =</p><p>. .</p><p>. .</p><p>µ µ</p><p>µ 66 360</p><p>2</p><p>V q C→ = µ</p><p>q q q q C C q C</p><p>t t t</p><p>= + → = + → =</p><p>1 2</p><p>120 360 480µ µ µ</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Um condensador ligado a uma bateria de 12V adquire</p><p>carga de 4 nC. Qual a carga acumulada pelo mesmo condensa-</p><p>dor quando ligado a uma bateria de 24V?</p><p>P2 – Dois condensadores C1 = 3μF e C2 = 6μF estão associados</p><p>em série. Aplicando-se uma</p><p>ddp aos seus terminais, o conden-</p><p>sador C1 acumula uma carga igual a 12 μC. Determine:</p><p>a) A carga acumulada por C2.</p><p>b) A ddp em cada condensador.</p><p>c) A capacidade total.</p><p>P3 – Dois condensadores C1 = 10000pF e C2 = 1500pF estão</p><p>associados em paralelo. Qual é a carga acumulada pelo segundo</p><p>condensador, sabendo que a carga do primeiro é igual a 6μC?</p><p>a) R: q2 = 12μC</p><p>b) R: U1 = 4V e U2 = 2V</p><p>c) R: Ct = 2μF</p><p>R: q = 8 nC</p><p>R: q2 = 3.10–7C</p><p>182</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Unidade 1i</p><p>corrente eléctrIca contínua</p><p>Fig. 2.1 – Linha de transportação de energia eléctrica</p><p>2.1. Corrente Eléctrica</p><p>A corrente eléctrica é o movimento ordenado de cargas eléc-</p><p>tricas.</p><p>Protões (p) e electrões (e) apresentam uma propriedade não</p><p>manifestada pelos neutrões, denominada carga eléctrica.</p><p>Convencionou-se que os protões apresentam carga eléctrica</p><p>positiva (+) e os electrões carga eléctrica negativa (–).</p><p>Quando em presença dos seguintes casos,</p><p>Fig. 2.2 – Principio de atracão e de repulsão</p><p>P P</p><p>E E</p><p>P E</p><p>Repulsão</p><p>Atracção</p><p>183</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>• Um átomo electricamente neutro apresenta um número</p><p>de protões igual ao número de electrões e não manifesta</p><p>propriedades eléctricas.</p><p>• Se o átomo perder um ou mais electrões de sua electros-</p><p>fera, o número de protões no núcleo passa a predominar,</p><p>o átomo passa a manifestar propriedades eléctricas, tor-</p><p>nando-se ião positivo.</p><p>• Se o átomo receber electrões na sua electrosfera, ele pas-</p><p>sará a manifestar comportamento eléctrico oposto ao</p><p>anterior, tornando num ião negativo.</p><p>A carga eléctrica do protão é igual em módulo à carga eléctrica</p><p>do electrão, constituindo a menor quantidade de carga encon-</p><p>trada na natureza. O seu valor é denominado carga eléctrica</p><p>elementar e representada por e, de valor experimentalmente</p><p>determinado:</p><p>e = 1,6.10–19C</p><p>2.1.1. Mecanismo da Condução</p><p>da Corrente Eléctrica</p><p>Chama-se condutor eléctrico a todo o meio que</p><p>permite a movimentação de cargas no seu inte-</p><p>rior. Se essa movimentação relativa não ocorrer, o</p><p>meio constituirá um isolador eléctrico.</p><p>Condutores eléctricos mais comuns:</p><p>a) Metais</p><p>Esses possuem grandes quantidades de electrões</p><p>livres, constituindo a denominada nuvem electró-</p><p>nica, com ligação fraca com o núcleo e com uma</p><p>certa liberdade que lhes confere condutibilidade.</p><p>Nos condutores metálicos</p><p>Tomemos para estudos dois condutores nas con-</p><p>dições que se apresentam nas fig.2.3 a) e 2.3 b). Fig. 2.3 a), b) – Linhas de força do campo eléctrico criado</p><p>VA< VB</p><p>A</p><p>A B</p><p>B</p><p>Condu-</p><p>tores</p><p>Campo eléctricio criado por dois condutores, A e B, quando isolados</p><p>a)</p><p>b)</p><p>A BC</p><p>G</p><p>VA< VB</p><p>184</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>A fig. 2.3a mostra o que se passa com as linhas de campo</p><p>quando se colocam dois condutores isolados, enquanto na</p><p>fig. 2.3 b) ocorre a deformação do campo eléctrico e quando</p><p>se ligam os dois condutores por um fio condutor C: as linhas</p><p>de campo eléctrico concentram-se quase todas no interior e à</p><p>superfície do fio.</p><p>O campo eléctrico torna-se particularmente intenso no fio</p><p>condutor, e praticamente inexistente fora desse fio.</p><p>Os electrões de condução passam a sofrer os efeitos da actua-</p><p>ção de forças eléctricas F, e são opostamente orientadas para o</p><p>sentido do campo eléctrico, pois:</p><p>F Q E eE</p><p>�� �� ��</p><p>= = −. (2.1)</p><p>onde Q= e = módulo da carga de electrão e E = campo eléctrico</p><p>Os electrões de condução são arrastados lentamente para o</p><p>sentido oposto ao do campo eléctrico</p><p></p><p>E .</p><p>Em síntese</p><p>• Num condutor metálico, a corrente eléctrica estacioná-</p><p>ria consiste no arrastamento lento de electrões no sen-</p><p>tido oposto ao do campo eléctrico estabelecido no con-</p><p>dutor, quer à superfície quer no interior do condutor,</p><p>com a velocidade da ordem de mm/s.</p><p>• Os electrões deslocam-se quer à superfície quer no inte-</p><p>rior dos fios condutores, onde o campo eléctrico não só</p><p>não é nulo como até é particularmente intenso. A velo-</p><p>cidade com que, na ligação do circuito, se estabelece e</p><p>propaga o campo eléctrico é da ordem de 200.000 km/s.</p><p>b) Electrolíticos</p><p>Nos condutores electrolíticos</p><p>Num condutor electrolítico há dois fluxos de carga eléctrica</p><p>de sentidos opostos; as cargas positivas, transportadas pelos</p><p>catiões, fluem no sentido do campo eléctrico; as cargas nega-</p><p>tivas, transportadas pelos aniões, fluem no sentido oposto ao</p><p>do campo eléctrico.</p><p>185</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Fig. 2.4 – Corrente nos electrólitos</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>++</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>+ -</p><p>- -</p><p>-</p><p>-</p><p>- --</p><p>-</p><p>CuSO4 (aquoso)</p><p>A (+)C (-)</p><p>G</p><p>A = ânodo</p><p>C = cátodo } Eléctrodos</p><p>O sulfato de cobre é um exemplo de condutor electrolítico de</p><p>uma substância química, cuja solução aquosa é boa condutora</p><p>da corrente eléctrica, a que se chama condutor electrolítico.</p><p>Os catiões e os aniões movem-se caótica e desordenadamente,</p><p>na ausência da corrente eléctrica. Quando se fecha o circuito e</p><p>passa corrente eléctrica, esses iões orientam-se. É assim que</p><p>surgem dois fluxos, conforme referido atrás..</p><p>c) Gasosos</p><p>Nos condutores gasosos</p><p>Nas descargas eléctricas através dos gases, os portadores de</p><p>carga são os iões positivos, resultantes da ionização ou do</p><p>arranque de um metal por emissão fotoelectrónica ou termoe-</p><p>lectrónica, quando ocorrem.</p><p>No entanto, o papel dos electrões é mais importante do que o</p><p>dos iões.</p><p>Considerando as forças eléctricas de igual intensidade a actuar</p><p>nuns e noutros, tem-se F m a F m a</p><p>e e e ião</p><p>= ⋅ = ⋅− − − ( )e</p><p>sendo m m</p><p>e ião−</p><p>〈〈 logo v v</p><p>e ião− 〈〈</p><p>186</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Significando assim a importância ou o factor decisivo no que</p><p>respeita a intensidade de corrente.</p><p>Quanto ao sentido de arrastamento de electrões cumpre-se</p><p>seguir o conceito:</p><p>• Ao sentido em que são arrastados os electrões chama-se</p><p>sentido real ou sentido electrónico da corrente (no caso</p><p>dos condutores electrolíticos e gasosos, embora os dois</p><p>sentidos sejam opostos na migração dos portadores de</p><p>carga).</p><p>• Ao sentido oposto ao sentido electrónico ou seja do</p><p>pólo positivo para o pólo negativo no circuito exterior</p><p>ao gerador chama-se sentido convencional (conforme</p><p>o físico francês Ampère e outros fundadores da teoria</p><p>electromagnética).</p><p>2.2. Resistência de um Condutor</p><p>Eléctrico (Resistividade)</p><p>A resistência de um condutor (metálico, electrolítico ou</p><p>gasoso) é uma grandeza macroscópica que traduz a oposição</p><p>deste condutor ao movimento dos portadores de carga.</p><p>Consideremos condutores feitos do mesmo material, mas que</p><p>diferem pelos comprimentos e pelas áreas das secções trans-</p><p>versais.</p><p>É possível estabelecer uma lei, segundo a qual a resistência</p><p>eléctrica R. de fios condutores de dado material é directa-</p><p>mente proporcional ao comprimento  do fio e inversamente</p><p>proporcional à área A de secção transversal do fio:</p><p>R</p><p>A</p><p>= ρ</p><p> (2.3)</p><p>A constante de proporcionalidade ρ é denominada resistivi-</p><p>dade eléctrica do material de que é feito o fio.</p><p>A</p><p>M</p><p>G</p><p>I</p><p>I</p><p>II</p><p>I</p><p>I</p><p>R</p><p>S. C S. R</p><p>Fig. 2.5 – Sentidos real e convencio-</p><p>nal da corrente eléctrica</p><p>187</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>No Sistema Internacional de unidades (SI), a unidade de resis-</p><p>tividade é o ohm × metro (Ω . m), Assim, da equação anterior,</p><p>obtemos:</p><p>�</p><p>ρ[ ] =</p><p>R[ ] ⋅ A[ ]</p><p>[ ] = Ω</p><p>m2[ ]</p><p>m[ ] = Ω⋅m</p><p>Observemos que se tivermos um fio de comprimento  = 1m</p><p>e secção transversal de área A = 1m2 a resistividade ρ será</p><p>numericamente igual à resistência eléctrica. Por isso, pode-</p><p>mos dizer que a resistividade mede numericamente a resis-</p><p>tência eléctrica por unidade de comprimento e por unidade de</p><p>área de secção transversal.</p><p>Outras unidades, não pertencentes ao SI, também costumam</p><p>ser</p><p>usadas. As mais comuns são:</p><p>�</p><p>(</p><p>Ω× mm2</p><p>m</p><p>), Ω× cm( )⎛</p><p>⎝ ⎜</p><p>⎞</p><p>⎠ ⎟</p><p>Quanto melhor condutor for o material do fio, tanto menor</p><p>será a sua resistividade. Por isso, os metais são, de um modo</p><p>geral, as substâncias com menores resistividades.</p><p>A resistividade de um material depende da temperatura,</p><p>aumentando quando se aquece o condutor, na maior parte</p><p>dos casos. Assim, quando a temperatura de um fio condu-</p><p>tor aumenta, geralmente sua resistência aumenta em vista</p><p>ao aumento da resistividade da substância que o constitui.</p><p>A variação da resistência por dilatação térmica do fio pode ser</p><p>desconsiderada.</p><p>Experimentalmente, é possível verificar que a resistividade</p><p>de um dado material varia com a temperatura obedecendo à</p><p>equação:</p><p>ρ = ρ0 (1 + a	Δt θ) (2.4)</p><p>ρ		 = resistividade da substância final</p><p>ρ0 = resistividade inicial da substância</p><p>Δt = variação da temperatura</p><p>a = coeficiente de dilatação da substância</p><p>188</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Como os efeitos da dilatação não desprezáveis, a equação</p><p>anterior pode ser estendida para os valores da resistência de</p><p>um fio condutor desse material. Assim:</p><p>Realmente, sendo ρ ρ</p><p>0</p><p>0= =</p><p>R A RA</p><p> </p><p>e , vem</p><p>RA R A</p><p>t</p><p> </p><p>= +( )0</p><p>1 α θ�</p><p>logo R R t= +( )</p><p>0</p><p>1 α θ� (2.5)</p><p>R0 = Resistência do fio na temperatura inicial, t0</p><p>R = Resistência do fio na temperatura final, t</p><p>Para os metais puros, verifica-se que a resistividade aumenta</p><p>com o aumento da temperatura. Esses materiais apresentam</p><p>coeficiente de temperatura a positivo.</p><p>Há materiais, como grafite, em que a resistividade diminui</p><p>quando a temperatura aumenta, tendo pois coeficiente de</p><p>temperatura a negativo.</p><p>Fisicamente, explica-se o aumento da resistividade e da resis-</p><p>tência eléctrica dos metais com a temperatura pelo aumento da</p><p>agitação térmica dos átomos que constituem o metal, acarre-</p><p>tando um aumento no número de choques entre as cargas em</p><p>movimento e as outras partículas constituintes do fio condutor.</p><p>Na grafite, o aumento da agitação existe, mas é compensado ou</p><p>superado pelo aumento da quantidade de electrões - livres, o</p><p>que acarreta uma diminuição na resistividade e na resistência</p><p>eléctrica.</p><p>Em certas ligas metálicas, como a constantana, a manganina</p><p>e o nicromo, esses dois efeitos praticamente se equilibram e</p><p>como resultado a resistividade do material não varia com a</p><p>temperatura: seu coeficiente de temperatura é praticamente</p><p>nulo. Tais materiais, por possuírem tais característica, costu-</p><p>mam ser usados como padrões de resistência.</p><p>189</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Quadro 1 – Valores da resistividade e coeficiente de temperatura</p><p>de algumas substâncias a 20ºC</p><p>Material</p><p>Prata</p><p>Cobre</p><p>Alumínio</p><p>Ferro</p><p>Platina</p><p>Chumbo</p><p>Tungsténio</p><p>Mercúrio</p><p>Constantana</p><p>Manganina</p><p>Nicromo</p><p>Grafite</p><p>0,0159</p><p>0,0170</p><p>0,0270</p><p>0,0970</p><p>0,0980</p><p>0,02100</p><p>0,0550</p><p>0,9500</p><p>0,49</p><p>0,48</p><p>1,12</p><p>0,4 a 0,7</p><p>0,0040</p><p>0,0040</p><p>0,0036</p><p>0,0050</p><p>0,0039</p><p>0,0042</p><p>0,0048</p><p>0,0009</p><p>Menor que 10–5</p><p>Menor que 10–5</p><p>0,00017</p><p>-2.10–4 a –8.10–4</p><p>[ρ] = [Ω	mm2]											m [a] = [0C–1]</p><p>A tabela acima fornece, para algumas substâncias, valores da</p><p>resistividade a 20°C e o respectivo coeficiente de temperatura.</p><p>2.3. Lei de Ohm para Segmento</p><p>de um Circuito</p><p>Para resistência pura, a d.d.p., U e a intensidade da corrente i</p><p>são directamente proporcionais:</p><p>U = Ri</p><p>R é uma constante de proporcionalidade, e uma característica</p><p>do resistor denominada resistência eléctrica.</p><p>Unidade no SI de Resistência</p><p>�</p><p>R[ ] =</p><p>U[ ]</p><p>i[ ] =</p><p>1volt</p><p>1ampére</p><p>= 1ohm</p><p>1Ω =</p><p>1V</p><p>1A</p><p>(SI)</p><p>190</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>U</p><p>i</p><p>θ</p><p>Fig. 2.6 – Característica corrente –</p><p>tensão do resistor Óhmico</p><p>Todo resistor que obedece a lei de Ohm é denominado resistor</p><p>óhmico, apresentando as características ilustradas no gráfico</p><p>da fig. 2.6.</p><p>Nesse gráfico, a tangente do ângulo θ de inclinação da recta</p><p>mede numericamente a resistência eléctrica do condutor:</p><p>tg</p><p>Cateto oposto</p><p>Cateto adjacente</p><p>U</p><p>i</p><p>tg R</p><p>θ</p><p>θ</p><p>= =</p><p>=</p><p>Nas resistências óhmicas, alterando-se a d.d.p., modifica-se</p><p>a intensidade de corrente, mas a resistência eléctrica</p><p>R</p><p>U</p><p>i</p><p>=</p><p>permanece constante.</p><p>Resistências há em que, alterando-se a d.d.p., em suas extremi-</p><p>dades, altera-se a intensidade de corrente, mas as suas gran-</p><p>dezas não variam proporcionalmente. Tais resistências não</p><p>obedecem à lei de Ohm, sendo denominados resistências não-</p><p>óhmicas, tal como ilustra o gráfico da fig. 2.7.</p><p>Se chamarmos de resistência eléctrica dos resistores não-óhmi-</p><p>cos a razão entre a d.d.p., e a intensidade de corrente, observa-</p><p>remos que essa resistência eléctrica não se mantém constante,</p><p>isto é, seu valor depende da d.d.p. aplicada.</p><p>Assim</p><p>R</p><p>U</p><p>i</p><p>R</p><p>U</p><p>i</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>Com R1 ≠ R2</p><p>Fig. 2.7 – Característica da resistên-</p><p>cia não - Óhmica</p><p>U</p><p>U2</p><p>U1</p><p>i1 i2 i0</p><p>191</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – O cobre tem uma resistividade a 20°C de 1,7.10–8Ω.m. Cal-</p><p>cule a resistência de um fio de cobre de 1 m de comprimento e</p><p>0,2 cm2 de área de secção transversal nessa temperatura.</p><p>P2 – Aplicando uma ddp de 12 V em um resistor ôhmico, ele é</p><p>percorrido por uma corrente de 3 A. Determine a resistência do</p><p>resistor e a corrente quando a ele se aplicar uma ddp de 10V.</p><p>P3 – Um chuveiro possui uma resistência 10Ω. Qual será a</p><p>corrente, quando ligado a 220V?</p><p>R: 8,5.10–4Ω</p><p>R: R = 4Ω; i = 2,5A</p><p>R: i = 22A</p><p>P1 – Uma resistência</p><p>óhmica é percorrido</p><p>por uma corrente eléc-</p><p>trica de intensidade</p><p>5A, quando submetida</p><p>a uma d.d.p. de 100V.</p><p>Determine.</p><p>a) A resistência eléc-</p><p>trica da resistência;</p><p>b) A intensidade de cor-</p><p>rente que percorre a</p><p>resistência quando</p><p>é submetida a uma</p><p>d.d.p. de 250V.</p><p>Dados</p><p>i = 5A</p><p>U = 100V</p><p>a) U = ?</p><p>b) I = ? U = 250V</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>Pela lei de Ohm, U = R.i</p><p>R</p><p>U</p><p>i</p><p>R</p><p>V</p><p>A</p><p>= → =</p><p>100</p><p>5</p><p>R = 20Ω</p><p>b)</p><p>i</p><p>U</p><p>R</p><p>i</p><p>V</p><p>= → =</p><p>250</p><p>20Ω</p><p>i = 12,5A</p><p>192</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>2.4. Trabalho e Potência Eléctrica</p><p>Durante o deslocamento da carga q no interior do condutor</p><p>o campo eléctrico realiza um trabalho sobre a carga, que se</p><p>designa por trabalho da corrente eléctrica.</p><p>Se durante o intervalo de tempo ∆t a carga q atravessar a secção</p><p>do condutor, a força eléctrica que age em q será F = qE. Assim o</p><p>campo eléctrico realiza o trabalho W = Fs, sendo s o módulo do</p><p>deslocamento da referida carga.</p><p>Para F = qE, teremos W = qEs</p><p>Sendo a energia eléctrica U = Es , uma vez que a intensidade da</p><p>corrente I q</p><p>t</p><p>= , este trabalho é igual a W = IUt.</p><p>Assim o trabalho da corrente eléctrica num circuito é igual</p><p>ao produto da intensidade da corrente I pela tensão U e pelo</p><p>intervalo de tempo ∆t, durante o qual o trabalho foi realizado.</p><p>Se a tensão for expressa através da intensidade da corrente,</p><p>ou a intensidade da corrente através da tensão com base na</p><p>Fig. 2.8 – Gerador eléctrico</p><p>193</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>lei de Ohm para um sector do circuito, teremos três fórmulas</p><p>equivalentes para o trabalho da corrente:</p><p>W = IUt (2.6)</p><p>W = I2 Rt</p><p>W</p><p>U t</p><p>R</p><p>=</p><p>2</p><p>Cada fórmula é adaptada para cada de ligação de condutores</p><p>(série ou paralelo).</p><p>Qualquer aparelho eléctrico consome uma certa quantidade</p><p>de energia por unidade de tempo. Deste modo a par do traba-</p><p>lho da corrente, importa conhecer a potência correspondente</p><p>a cada aparelho eléctrico.</p><p>A potência da corrente é igual ao quociente do trabalho da cor-</p><p>rente realizado durante um determinado intervalo de tempo.</p><p>P</p><p>W</p><p>t</p><p>IU= =</p><p>Substituindo as fórmulas equivalentes do trabalho, obtemos:</p><p>P = IU (2.7)</p><p>P = I2 R</p><p>P</p><p>U</p><p>R</p><p>=</p><p>2</p><p>2.5. Energia Dissipada num Condutor:</p><p>Efeito Joule</p><p>Sempre que passa corrente</p><p>aleatoriamente	 colocados	 o	 vector	 resultante</p><p>obtém-se	seguindo	os	seguintes	passos:</p><p>Escolhe-se	um	ponto	arbitrário	no	espaço	ou	plano.</p><p>•	Faça	coincidir	a	origem	do	vector	com	o	ponto	escolhido.</p><p>•		Para	o	segundo	vector,	a	sua	origem	deve	coincidir	com	a	extremidade	do	pri-</p><p>meiro	vector.</p><p>•		Finalmente	a	resultante	deve	ser	traçada	coincidindo	sua	origem	com	a	origem</p><p>do	primeiro	e	sua	extremidade	com	a	do	segundo.</p><p>10</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>Intensidade:</p><p>Direcção:	mesma	de</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2		e</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>Sentido: mesmo	de</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2		e</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>Intensidade:</p><p>Direcção:	mesma	de</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2		e</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>Sentido: mesmo	sentido	do	vector	de	maior</p><p>intensidad	e</p><p>x x x= −</p><p>1 2</p><p>Em	caso	de	vectores	ortonormados,	(formam	um	ângulo	entre	si),	o	módulo	do	vector</p><p>resultante,	seu	módulo	obtém-se	aplicando	a	lei	dos	cossenos	ou	pelo	método	do	para-</p><p>lelogramo.</p><p>Se	o	ângulo	for	igual	a	90°	o	termo	2abcosα		se	anula,	e	assim	temos	a	regra	de	Pitágo-</p><p>ras.</p><p>•			Quando	dois	vectores	têm	a	mesma	direcção	e	o	mesmo	sentido	(α	=	0),	o	vector</p><p>resultante	será:</p><p>•		Quando	dois	vectores	tiverem	a	mesma	direcção	e	os	sentidos	opostos	(α	=	180º),</p><p>o	vector	resultante	será:</p><p>Soma de Dois Vectores</p><p>Dados	os	vectores</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2		e</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2 	.</p><p>O	vector	soma	de	dois	vectores	pode	ser	obtido	de	duas	maneiras.</p><p>1ª			Transpõe-se	paralelamente	a	si	próprios	ambos	vectores	de	modo	que	as	suas</p><p>origens	coincidam;	o	vector	resultante	da	soma	será	a	diagonal	do	paralelogramo</p><p>que	se	obtém	com	base	nos	dois	vectores	iniciais	(regra	de	paralelogramo).</p><p>11</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>B</p><p>A</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>O</p><p></p><p>x (vector	soma)</p><p>2ª				Os	vectores	são	transpostos	a	si	próprios,	de	modo	que,	a	extremidade	de	um	seja</p><p>a	origem	do	outro;	o	vector	resultante	da	soma	dos	dois,	será	o	traçado	entre	a</p><p>origem	do	primeiro	e	a	extremidade	do	segundo.	(método	do	triangulo)</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>(vector	soma)</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>Fig. 2 – Soma de vectores – regra do paralelogramo</p><p>Fig. 3 – Soma de vectores – regra do triângulo</p><p>Analiticamente,	o	vector	soma	é	dado	por:</p><p>Intensidade	(módulo)</p><p>x x x x x= + +</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 cosα</p><p>Esta	expressão	é	obtida	pela	lei	dos	cossenos:</p><p>Para	o	triângulo	OAC	da	figura	2,	vale:</p><p>OC OA AC OA AC</p><p>2 2 2</p><p>2= + − . . .cosβ</p><p>12</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>OA x</p><p>AC OB x</p><p>OC x</p><p>=</p><p>= =</p><p>=</p><p>= °−</p><p>= −</p><p>1</p><p>2</p><p>180β α</p><p>β αcos cos</p><p>Mas:</p><p>OA x</p><p>AC OB x</p><p>OC x</p><p>=</p><p>= =</p><p>=</p><p>= °−</p><p>= −</p><p>1</p><p>2</p><p>180β α</p><p>β αcos cos</p><p>Substituindo-se	na Lei de Cossenos,	obtém-se	a	expressão	da	intensidade do vector</p><p>soma	(resultante)</p><p>x x x x x= + +</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 cosα</p><p>Direcção: o	vector	resultante	tem	a	direcção	dada	pela	recta	OC.</p><p>Sentido:	o	vector	resultante	tem	o	sentido	de	O	para	C.</p><p>Para	o	caso	particular	de	dois	vectores	ortogonais	entre	si,	basta	aplicar	o teorema de</p><p>Pitágoras:</p><p>Fig. 4 – Vectores ortogonais</p><p>x x x</p><p>x x x</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>= +</p><p>= +</p><p>x x x</p><p>x x x</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>= +</p><p>= +</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>13</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –		Determine	o	módulo	de	vector	soma	de	dois	vectores	que	formam	entre	si	um	ângulo</p><p>30º	e	cujos	módulos	são	7m	e	4m.</p><p>Dado	cos30°	=	0,86</p><p>x1	=	7m</p><p>Dados x2	=	4m</p><p>⎧</p><p>⎨</p><p>⎩ 	 α	=	30°</p><p>Resolução</p><p>P2 –		Determine	a	intensidade	do	vector	soma	de	dois	vectores	perpendiculares	entre	si	e</p><p>cujos	módulos	são	3m	e	4m.</p><p>x1	=	3m</p><p>Dados x2	=	4m</p><p>⎧</p><p>⎨</p><p>⎩ 	 α	=	90°</p><p>Resolução</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p></p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x x x= + +</p><p>= + + °</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>4 2 7 4 30</p><p>4</p><p>7</p><p>.cos</p><p>. . .cos</p><p>α</p><p>99 16 56 0 86</p><p>113 16</p><p>10 6</p><p>+ +</p><p>=</p><p>=</p><p>. ,</p><p>,</p><p>,</p><p>x</p><p>x m</p><p>Cálculo	do	módulo	de	x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x x x= + +</p><p>= + + °</p><p>= +</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>3 4 2 3 4 90</p><p>9</p><p>cos</p><p>. . .cos</p><p>α</p><p>116 24 0</p><p>9 16</p><p>25</p><p>5</p><p>+</p><p>= +</p><p>=</p><p>=</p><p>.</p><p>x</p><p>x</p><p>x m</p><p>Cálculo	do	módulo	de	x</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>14</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Diferença entre dois Vectores</p><p>Dados	os	vectores</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>e</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2 	.</p><p>O vector diferença	é	dado	por</p><p>  </p><p></p><p>x x x</p><p>x B A</p><p>= −</p><p>= −</p><p>2 1</p><p>0 0( ) ( )</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>O A</p><p>B</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>(vector	diferença)</p><p>Fig. 5 – Diferença de vectores</p><p>Analiticamente,	o	vector	diferença	é	dado	pela	lei dos cossenos	para	triângulo	OAB:</p><p>Intensidade:	 x x x x x= + −</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 cosα</p><p>Direcção:	da	recta	AB</p><p>Sentido:	de	A	para	B</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –		Qual	o	módulo	do	vector	diferença	entre	dois	vectores	que	formam	um	ângulo	de	30º</p><p>entre	si	e	cujos	módulos	são	3m	e	8m?</p><p>x1	=	3m</p><p>Dados x2	=	8m</p><p>⎧</p><p>⎨</p><p>⎩ 	 α	=	30°</p><p>15</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Resolução</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>30°</p><p>P2 –		Determine	o	módulo	do	vector	  </p><p>x x</p><p>1 2</p><p>−</p><p>dos	vectores	abaixo:</p><p>x1	=	5m</p><p>Dados x2	=	2m</p><p>⎧</p><p>⎨</p><p>⎩ 	 cos	135°	=	–0,7</p><p>Resolução</p><p>x1	=	3m</p><p>Dados x2	=	8m</p><p>⎧</p><p>⎨</p><p>⎩ 	 α	=	135°</p><p>x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>x x= + −</p><p>= + − °</p><p>= +</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>3 8 2 3 8 30</p><p>9</p><p>cos</p><p>. . .cos</p><p>α</p><p>664 6 8 0 8 73 38 4</p><p>34 6</p><p>5 8</p><p>− = −</p><p>=</p><p>≅</p><p>. . , ,</p><p>,</p><p>,</p><p>x</p><p>x</p><p>x m</p><p>Cálculo	do	módulo		x</p><p>x x x x x</p><p>x</p><p>x</p><p>= + −</p><p>= + − °</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>5 2 2 5 2 135</p><p>2</p><p>cos</p><p>. . .cos</p><p>α</p><p>55 4 20 0 7</p><p>29 14</p><p>43 6 5</p><p>+ − −</p><p>= +</p><p>= =</p><p>.( , )</p><p>,</p><p>x</p><p>x m</p><p>Cálculo	do	módulo	de		x</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>135°</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>135°</p><p>16</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Fig. 6 – Projecção de um vector sobre um eixo</p><p>Produto de um número por um vector</p><p>O	produto	de	um	número	a	por	um	vector</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>,	resultará	em	um	outro	vector</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>,	dado</p><p>por:</p><p>Intensidade:</p><p>x2	=	a.	x1</p><p>Direcção:	a	mesma	de</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>Sentido:	se		a	>	o	→ mesmo	de</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>se		a	>	o	→ contrário	ao	de</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>Exercício de aplicação</p><p>P1 –		Dado	o	vector	  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>conforme	indica	a	figura,	obter	os	vectores		2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>e			–7</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>.</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>x		=	1m</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>–7</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>|2</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>|	=	2m |–7</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>|	=	7m</p><p>Projecção de um vector sobre um plano</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>xx</p><p>O x</p><p>P</p><p>P1</p><p>17</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –		Dado	o	vector	  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>conforme	indica	a	figura,	obter	a	intensidade	da	sua	projecção	no</p><p>eixo	horizontal	(x)</p><p>x	=	4m</p><p>Resolução</p><p>Dados:		x		=	4m</p><p>Cos	60°	=	½</p><p>P2 –		Dados	os	vectores	 a ,</p><p></p><p>b 	e</p><p></p><p>c 	conforme	indicam	as	figuras,	obter	as	intensidades	de	suas	projecções	no	eixo	horizontal	x</p><p>Seja	um	vector	x	e	um	eixo.	A	projecção	de	x	sobre	o	eixo	x	é	feita	projectando	ortogo-</p><p>nalmente	as	suas	extremidades	sobre	o	eixo	considerado</p><p>A	sua	intensidade	é	dada	pelo	produto	do	seu	módulo	pelo	cosseno	do	ângulo	adjacente.</p><p>xx			=	x	cos	α</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>x60°</p><p>60°</p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>x</p><p>x x m</p><p>x</p><p>= ° = =cos .60 4</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p></p><p>a</p><p>30° 45°</p><p></p><p>b </p><p>c</p><p>a	=	2m c	=	2mb m= 2</p><p>xxx</p><p>18</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Fig. 7 – Decomposição dum Vector sobre os eixos x e y</p><p>Resolução</p><p>30° 45°</p><p></p><p>a</p><p></p><p>a</p><p>x</p><p></p><p>b</p><p></p><p>bx</p><p></p><p>c</p><p>ax a</p><p>ax</p><p>ax m</p><p>= °</p><p>=</p><p>=</p><p>.cos</p><p>.</p><p>30</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>bx b</p><p>bx</p><p>bx m</p><p>= °</p><p>=</p><p>=</p><p>.cos</p><p>.</p><p>45</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>num circuito há desenvolvimento</p><p>de calor. Este calor é devido ao choque dos electrões livres con-</p><p>tra os átomos do condutor no seu movimento. Os átomos em</p><p>virtude disso entram em movimento, o qual gera calor. Deste</p><p>modo os electrões perdem uma parte da sua energia, a qual se</p><p>converteu em calor.</p><p>194</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>O fenómeno do desenvolvimento de calor num condutor pela</p><p>passagem da corrente eléctrica chama-se efeito joule.</p><p>Efeito Joule (lei de Joule) é uma lei física que expressa a rela-</p><p>ção entre o calor gerado e a corrente eléctrica que percorre um</p><p>condutor em determinado tempo. O nome é devido a James</p><p>Prescott Joule (1818-1889) que estudou o fenómeno em 1840.</p><p>Q = I2. R.t (2.8)</p><p>onde:</p><p>• Q é o calor gerado por uma corrente constante percor-</p><p>rendo uma determinada resistência eléctrica por deter-</p><p>minado tempo.</p><p>• I é a corrente eléctrica que percorre o condutor com</p><p>determinada resistência R.</p><p>• R é a resistência eléctrica do condutor.</p><p>• t é a duração ou espaço de tempo em que a corrente</p><p>eléctrica percorreu ao condutor.</p><p>Aplicações do efeito Joule – Há casos em que o efeito Joule</p><p>resulta em pura perda. É o que acontece no transporte de</p><p>energia eléctrica a longa distância, visto que neste caso o</p><p>desenvolvimento de calor nos cabos não é aproveitado. Mas</p><p>as aplicações práticas importantes do efeito Joule são várias</p><p>– lâmpadas eléctricas de incandescência, aparelhos de aqueci-</p><p>mento, ferros de engomar, ferros de soldar, etc.</p><p>2.6. Força Electromotriz</p><p>(f.e.m. e Resistência Interna)</p><p>O gerador eléctrico é um dispositivo que fornece energia as</p><p>cargas elementares para que essas se mantenham em circula-</p><p>ção. Quer dizer que o gerador eléctrico mantém a d.d.p. entre</p><p>os pontos do circuito, para que a corrente eléctrica circule.</p><p>Assim define-se:</p><p>Gerador eléctrico como o dispositivo que converte ener-</p><p>gia eléctrica noutras formas de energia.</p><p>195</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>O gerador pode ser ideal ou real:</p><p>Ideal: Quando não apresenta resistência eléctrica interna,</p><p>(r = 0); quer dizer que não há dissipação de ener-</p><p>gia no interior do circuito, transferindo-se integral-</p><p>mente toda a energia eléctrica gerada às cargas,</p><p>A B</p><p>R</p><p>ε</p><p>i</p><p>i</p><p>+ –</p><p>Fig. 2.9 – Gerador em série com uma resistência</p><p>Fig. 2.10 – Circuito gerador – resistor</p><p>A d.d.p. nos seus terminais (A e B) corresponde à</p><p>sua força electromotriz (f.e.m.).</p><p>Real: Quando, percorrido por corrente eléctrica, vai man-</p><p>tendo entre os seus terminais uma d.d.p. (U) menor</p><p>que essa força electromotriz (f.e.m.) ε, ocorrendo</p><p>assim uma queda (dissipação) de potencial (ri)</p><p>dentro do próprio gerador.</p><p>Nos terminais do gerador a d.d.p. corresponde a taxa de eleva-</p><p>ção de potencial que realmente ocorreu:</p><p>U = ε – ri (2.9)</p><p>Equação característica do gerador eléctrico.</p><p>Desta equação, conclui-se que a d.d.p., nos terminais do gera-</p><p>dor real só é igual à força electromotriz ε, quando é nula a</p><p>intensidade da corrente (i = 0). E isso só ocorre se o gerador</p><p>não estiver ligado a nenhum circuito, e é por isso, que essa</p><p>d.d.p. é chamada também tensão em aberto do gerador.</p><p>Circuito gerador-resistor. Lei de Pouillet</p><p>O cálculo da d.d.p., nos terminais do resistor é feito pela lei de</p><p>Ohm, e conforme figura ao lado, temos:</p><p>U = Ri</p><p>ε r</p><p>i</p><p>i</p><p>R</p><p>196</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>No entanto, nos pólos do gerador, a d.d.p. é dada por:</p><p>U = ε– ri</p><p>Igualando as duas equações resultantes, obtém-se:</p><p>Ri r i</p><p>Ri ri</p><p>i R r</p><p>i</p><p>R r</p><p>=</p><p>= +</p><p>= +( )</p><p>=</p><p>+</p><p>ε</p><p>ε</p><p>ε</p><p>ε</p><p>– .</p><p>(2.10)</p><p>Essa equação, que nos dá a intensidade de corrente que per-</p><p>corre um circuito simples do tipo gerador-resistor, e que tra-</p><p>duz matematicamente a Lei de Pouillet.</p><p>Contudo, no circuito externo, em vez de um único resistor, pode-</p><p>mos ter uma associação de resistores, representando, nesse caso,</p><p>R, a resistência eléctrica do resistor equivalente à associação.</p><p>P1 – Um gerador eléc-</p><p>trico possui f.e.m. 30 V</p><p>e resistência interna 2Ω.</p><p>Determine:</p><p>a) A tensão nos seus</p><p>terminais, quando</p><p>atravessado por uma</p><p>corrente eléctrica de</p><p>intensidade 5A;</p><p>b) A intensidade da cor-</p><p>rente eléctrica que é</p><p>atravessada quando</p><p>a tensão nos seus ter-</p><p>minais é de 12V.</p><p>Dados</p><p>ε = 30V</p><p>r = 2Ω</p><p>i = 5A</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>U ri U V= − → = −ε 30 2 5 20A U V→ =Ω.</p><p>U V</p><p>U ri</p><p>i</p><p>U</p><p>r</p><p>i</p><p>V V</p><p>i A</p><p>=</p><p>= −</p><p>=</p><p>−</p><p>→ =</p><p>−</p><p>=</p><p>12</p><p>30 12</p><p>2</p><p>9</p><p>ε</p><p>ε</p><p>Ω</p><p>197</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução P2 – A curva caracte-</p><p>rística de um gerador é</p><p>apresentada na figura</p><p>abaixo. Determine a</p><p>f.e.m., a resistência in-</p><p>terna e a intensidade</p><p>da corrente de curto-</p><p>-circuito do gerador.</p><p>P3 – No circuito esque-</p><p>matizado na figura abaixo</p><p>tem-se um resistor ligado</p><p>aos terminais de um gera-</p><p>dor. Determine:</p><p>a) A intensidade da cor-</p><p>rente que atravessa o</p><p>circuito;</p><p>b) A d.d.p. no resistor</p><p>U[V]</p><p>24</p><p>0 4</p><p>θ</p><p>i[A]</p><p>Do gráfico concluímos que ε = 24V</p><p>O coeficiente linear da recta é ICC = 4A</p><p>abcissa do ponto onde a recta intercepta o eixo dos i;</p><p>A resistência interna é unicamente igual à tangente do</p><p>ângulo, θ:</p><p>tg</p><p>Cateto oposto</p><p>Catetoadjacente</p><p>t</p><p>V</p><p>A</p><p>θ</p><p>θ</p><p>=</p><p>= =</p><p>24</p><p>4</p><p>6</p><p>r = 6,0Ω</p><p>i</p><p>ε = 25V</p><p>r = 2Ω</p><p>r = 3Ω</p><p>ii</p><p>i</p><p>Dados</p><p>ε = 25V</p><p>r = 2Ω</p><p>R = 3Ω</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>i</p><p>R r</p><p>i</p><p>V</p><p>=</p><p>+</p><p>→ =</p><p>+</p><p>ε 25</p><p>3 2Ω Ω</p><p>i = 5A</p><p>b)</p><p>U = R.i</p><p>U = 3Ω.5A</p><p>U = 15V</p><p>198</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>P1 – Determine a f.e.m. e a resistência interna do gerador</p><p>equivalente à seguinte associação.</p><p>P2 – Determine a f.e.m. e a resistência interna equivalente a</p><p>seguinte associação do gerador:</p><p>Exercícios propostos</p><p>3,0Ω 3,0Ω 3,0Ω</p><p>12V 12V 12V</p><p>A</p><p>B</p><p>A B6,0V 12V 12V1,0Ω 1,0Ω 2,0Ω</p><p>Potência de um gerador</p><p>Designando por potência de um gerador a energia a transfor-</p><p>mar, de uma forma não eléctrica, por unidade de tempo, rela-</p><p>cionando-a com a f.e.m., essa potência gasta é o que se chama,</p><p>vulgarmente, por potência de um gerador.</p><p>Considerando que a energia transformada em forma eléctrica,</p><p>por um gerador, é:</p><p>Ee = εg it</p><p>Vem</p><p>P</p><p>E</p><p>t</p><p>E it</p><p>t</p><p>E i</p><p>P i</p><p>g</p><p>e g</p><p>g</p><p>g g</p><p>= = =</p><p>= ε</p><p>(2.11)</p><p>A potência fornecida pelo gerador à linha ou potência útil.</p><p>199</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Tendo-se</p><p>E U it</p><p>P P</p><p>E</p><p>t</p><p>U it</p><p>t</p><p>P P U i</p><p>u g</p><p>linha u</p><p>U g</p><p>linha u g</p><p>=</p><p>= = =</p><p>= =</p><p>Unidade SI da P</p><p>�</p><p>P[ ] =</p><p>ΔW[ ]</p><p>Δt[ ] = ε[ ] i[ ]</p><p>P[ ] =</p><p>1J</p><p>1s</p><p>= 1V[ ] 1 A[ ] = 1Watt = 1W</p><p>Associação de geradores em série</p><p>Os geradores associados em série são percorridos pela mesma</p><p>corrente eléctrica Q = i.t → =i</p><p>Q</p><p>t</p><p>.</p><p>y</p><p>U1 U2</p><p>U</p><p>i</p><p>x 1 2 n</p><p>rn</p><p>r2r1</p><p>i ε ε ε</p><p>Fig. 2.11 – Geradores associados em série</p><p>Fig. 2.12 – Gerador equivalente da associação em série</p><p>O gerador equivalente é per-</p><p>corrido por corrente da mesma</p><p>intensidade que a associação e</p><p>mantém entre os seus pólos a</p><p>mesma d.d.p. que na associação,</p><p>fig. 42.1</p><p>rssε yx</p><p>U</p><p>200</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Nesse exemplo, o pólo positivo do primeiro e negativo do</p><p>último são os pólos da associação.</p><p>É propriedade fundamental da associação em série:</p><p>A intensidade de corrente é a mesma em todos os geradores.</p><p>Sendo n geradores de f.e.m. ε1, ε2... εn e resistência internas r1,</p><p>r2 ... rn associados em série, a d.d.p. nos geradores associados é:</p><p>U = U1 + U2... + Un</p><p>Com a equação característica para os valores da d.d.p.</p><p>εs– rs.i = (ε1– r1) + (ε2– r2) + ... + (εn– rn)</p><p>Gerador equivalente</p><p>εs– rs.i = (ε1– r1) + ... + (r1+ r2 + ... + rn).i</p><p>εs = ε1 + ε2 + ... + εn</p><p>Portanto, a associação em série de geradores produz um</p><p>aumento n a f.e.m. e na resistência interna.</p><p>No caso de n geradores iguais, com força</p><p>electromotriz ε e</p><p>resistência interna r, temos:</p><p>εs = nε</p><p>Rs = nr</p><p>Associação de geradores em paralelo</p><p>Neste tipo de associação, todos os pólos positivos dos gerado-</p><p>res são ligados entre si.</p><p>Os geradores associados em paralelo mantêm em conjunto</p><p>uma d.d.p.</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>n</p><p>i</p><p>n</p><p>r</p><p>r</p><p>r</p><p>yx</p><p>ε</p><p>ε</p><p>ε</p><p>Fig. 2.13 – Geradores associados em paralelo</p><p>201</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>O gerador equivalente, percorrido por corrente de intensidade</p><p>igual à da associação, mantém a mesma d.d.p., :</p><p>Fig. 2.14 – Gerador equivalente da associação em paralelo</p><p>εp rp yx</p><p>U</p><p>Sendo (i) a intensidade da corrente que atravessa a associação,</p><p>em cada um dos geradores a intensidade de corrente é</p><p>i</p><p>n</p><p>.</p><p>Os geradores associados mantêm, em conjunto, uma d.d.p.,</p><p>entre os terminais da associação.</p><p>Para o gerador equivalente vem:</p><p>U = εp – rpi</p><p>Para cada gerador associado vem:</p><p>U r</p><p>i</p><p>n</p><p>= −ε</p><p>Igualando as duas expressões, obtemos:</p><p>ε ε</p><p>p p</p><p>r i r</p><p>i</p><p>n</p><p>− = −</p><p>Fazendo a identidade entre os termos do primeiro e do segundo</p><p>membro, vem:</p><p>ε ε</p><p>p</p><p>p</p><p>r</p><p>r</p><p>n</p><p>=</p><p>=</p><p>Concluindo que a associação de geradores ligados em paralelo a</p><p>f.e.m. se mantém, havendo diminuição na resistência interna.</p><p>202</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>P1 – A f.e.m. de um dado</p><p>motor é 12V acoplado</p><p>a uma roda R. Sabendo</p><p>que a intensidade da cor-</p><p>rente eléctrica que o ali-</p><p>menta é 0,01A, que ener-</p><p>gia mecânica fornece à</p><p>roda R durante 10s de</p><p>funcionamento?</p><p>Dados</p><p>ε = 12V i = 0,01A</p><p>t = 10s</p><p>P2 – Ligando-se um</p><p>resistor a uma tensão de</p><p>110V, uma secção recta</p><p>é atravessada pela carga</p><p>de 2,7 C em 10s. Qual é a</p><p>intensidade da corrente</p><p>que atravessa esse resis-</p><p>tor quando se liga a uma</p><p>tensão de 40,7V?</p><p>Dados</p><p>U = 110V Q = 2,7C</p><p>t = 10s</p><p>P3 – Determine a força</p><p>electromotriz e a resis-</p><p>tência interna do gerador</p><p>equivalente à seguinte</p><p>associação de pilhas: 10</p><p>pilhas iguais, cada uma</p><p>de força electromotriz</p><p>ε = 1,5V e resistência r =</p><p>0,10Ω, ligadas em série.</p><p>Dados</p><p>n = 10 r = 0,1Ω</p><p>ε = 1,5V</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>ε ε εε</p><p>ε</p><p>ε ε</p><p>= → = =</p><p>= → =</p><p>E</p><p>Q</p><p>E Q i t</p><p>E V A s E Wa</p><p>. . .</p><p>. , . ,12 0 01 10 1 2 ttt</p><p>i</p><p>Q</p><p>t</p><p>i</p><p>C</p><p>s</p><p>i A</p><p>= → =</p><p>=</p><p>2 7</p><p>10</p><p>0 27</p><p>,</p><p>,</p><p>Se U V</p><p>R V</p><p>i</p><p>U</p><p>R</p><p>i</p><p>V</p><p>i A</p><p>=</p><p>=</p><p>= → = → =</p><p>40 7</p><p>407</p><p>40 7</p><p>407</p><p>0 1</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>Ω</p><p>εs = n.ε→ εs= 10.1,5V</p><p>εs = 15V</p><p>rs = n.r→ rs = 10.0,1Ω</p><p>rs = 1Ω</p><p>203</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>P4 – Determine a</p><p>força electromotriz e a</p><p>resistência interna do</p><p>gerador equivalente à</p><p>associação de 10 pilhas</p><p>iguais, cada uma de</p><p>força electromotriz ε</p><p>= 1,5V e resistência</p><p>interna r = 0,10Ω, liga-</p><p>das em paralelo.</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>A força electromotriz εp do gerador equivalente à associa-</p><p>ção é dada por εp = ε</p><p>portanto εp = ε = 1,5V</p><p>A resistência interna rp do gerador equivalente à associa-</p><p>ção vale:</p><p>r</p><p>r</p><p>np</p><p>=</p><p>Sendo r = 0,10Ω, n = 10 logo;</p><p>r</p><p>p</p><p>=</p><p>0 10</p><p>10</p><p>,</p><p>Ω→rp = 0,01Ω</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Considere o circuito esquematizado na figura. Deter-</p><p>mine:</p><p>a) A intensidade de cor-</p><p>rente através do gera-</p><p>dor;</p><p>b) A leitura do amperíme-</p><p>tro A, suposto ideal.</p><p>P2 – Determine a força electromotriz e a resistência interna</p><p>do gerador equivalente à associação de 10 pilhas iguais, cada</p><p>uma de força electromotriz E = 1,5 V e resistência interna</p><p>r = 0,10Ω, ligadas em paralelo.</p><p>P3 – Para o circuito esquematizado, determine:</p><p>a) A intensidade de cor-</p><p>rente através dos gera-</p><p>dor;</p><p>b) A intensidade de cor-</p><p>rente através dos resi-</p><p>tores de 6,0 e 8,0 Ω .</p><p>2,0Ω</p><p>1,0Ω</p><p>6,0Ω</p><p>6,0Ω12Ω</p><p>12V</p><p>6,0V</p><p>A</p><p>1,5Ω</p><p>3,0Ω</p><p>3,0Ω 20V</p><p>20V</p><p>3,0Ω</p><p>6,0Ω 8,0Ω</p><p>204</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>2.8. Leis de Kirchhoff</p><p>Vimos que os circuitos eléctricos simples, com único percurso</p><p>para a corrente eléctrica, do tipo gerador - resistor ou gera-</p><p>dor – resistor – receptor é facilmente resolvido passando pela</p><p>aplicação da lei de Pouillet:</p><p>i</p><p>R r r</p><p>=</p><p>−</p><p>+ +</p><p>ε ε '</p><p>'</p><p>Porém se o circuito for mais complexo, incluindo vários per-</p><p>cursos fechados, a resolução torna-se mais complicada, sendo</p><p>útil, nesses casos, a aplicação de certas regras especiais conhe-</p><p>cidas como Leis de Kirchhoff.</p><p>Antes, porém, da sua abordagem teremos em conta algumas</p><p>convenções para a determinação da polaridade e d.d.p. dos</p><p>elementos de um circuito.</p><p>Polaridade e d.d.p. dos elementos de circuito</p><p>Gerador e receptor ideal</p><p>O gerador eléctrico é um dispositivo que fornece energia às</p><p>cargas eléctricas elementares para que essas se mantenham a</p><p>circular. Isto quer dizer que o gerador eléctrico mantém a d.d.p.</p><p>entre os pontos do circuito, para que a corrente eléctrica circule.</p><p>A energia eléctrica fornecida às cargas, o gerador obtém-na a</p><p>partir de outras formas de energia, enquanto o receptor e qual-</p><p>quer dispositivo eléctrico que, ao ser atravessado pela corrente</p><p>eléctrica, transforma a energia eléctrica noutra forma de ener-</p><p>gia, que não seja exclusivamente a térmica. É evidente que, em</p><p>qualquer receptor, há também a conversão de energia eléctrica</p><p>em energia térmica, por efeito Joule, razão pela qual dizemos</p><p>que o receptor tem resistência interna (r). No receptor ocorrem</p><p>duas quedas de potencial no sentido da corrente. Para indi-</p><p>car a ocorrência dessa queda, representamos o receptor com</p><p>dois pólos, um positivo, de maior potencial, e outro negativo,</p><p>de potencial mais baixo, circulando a corrente do pólo positivo</p><p>para o pólo negativo, figura 2.15.</p><p>+</p><p>A B</p><p>Fig. 2.15 – Gerador</p><p>205</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>A: pólo positivo → potencial menor.</p><p>B: pólo negativo → potencial eléctrico maior.</p><p>Assim</p><p>VB – VA = +ε</p><p>VA – VB = –ε</p><p>Havendo, por isso, de adoptar um sentido de percurso (α),</p><p>estabelecendo a seguinte regra:</p><p>A d.d.p. pode ser: +ε ou –ε, valendo o sinal da entrada no sen-</p><p>tido do percurso (α) adoptado.</p><p>+A</p><p>ε</p><p>a</p><p>B +</p><p>ε</p><p>a</p><p>B</p><p>a) b)</p><p>Fig. 2.16 – Geradores com respectivos sinais de entrada, a) positivo b) negativo</p><p>a) α entra pelo pólo positivo: VB – VA = +ε</p><p>b) α entra pelo pólo negativo: VA – VB = –ε</p><p>Resistores</p><p>Para os resistores, a polaridade é dada pelo sentido da corrente.</p><p>A corrente eléctrica tem o sentido do pólo positivo para o pólo</p><p>negativo.</p><p>A d.d.p. pode ser + Ri ou – Ri, valendo, também o sinal de entrada</p><p>no sentido do percurso (α) adoptado.</p><p>Fig. 2.17 – Resistor com respectivos</p><p>pólos</p><p>+</p><p>A B</p><p>R</p><p>i</p><p>206</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Fig. 2.18 – Resistores com respectivos sinais de entrada, a) positivo b) negativo</p><p>+</p><p>A B</p><p>R</p><p>i</p><p>a</p><p>+</p><p>A B</p><p>R</p><p>i</p><p>a</p><p>α entra pelo pólo positivo</p><p>V A – VB = + R.i</p><p>α entra pelo pólo negativo</p><p>V B – VA = – R.i</p><p>Cálculo da d.d.p. num trecho do circuito</p><p>Para o cálculo da d.d.p. entre os extremos deste trecho de cir-</p><p>cuito, devemos proceder da seguinte maneira:</p><p>• Marcar as polaridades de todos os elementos.</p><p>• Adoptar um sentido de percurso (α).</p><p>Adoptando de A para B, obtemos VA – VB e de B para A obtemos</p><p>VB – VA.</p><p>i</p><p>+ + +</p><p>A BRr1 ε1</p><p>a</p><p>ε2</p><p>Fig. 2.19 – Trecho de um circuito</p><p>A d.d.p. total entre os extremos do circuito é igual à soma algé-</p><p>brica das d.d.p. em todos elementos. Para cada d.d.p. vale o sinal</p><p>de entrada no sentido do circuito adoptado. Assim, conforme a</p><p>figura 2.15, temos;</p><p>V V r i R i r i</p><p>B A</p><p>− = − + + +</p><p>1 1 2 2</p><p>. . .ε ε</p><p>207</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>P1 – Para o trecho de circuito abaixo, calcule</p><p>a d.d.p entre os pontos A e B.</p><p>Dados</p><p>r1=2Ω,			r2=1Ω,			r3=1,5Ω,			R=3Ω,</p><p>ε1=5V,			ε2=10V,			ε3=20V</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>Marcamos as polaridades em sentido de</p><p>percurso α (de A para B).</p><p>Temos</p><p>Logo:</p><p>Então:</p><p>VA – VB = 25V</p><p>A r1=2Ω r2=1Ω R=3Ω</p><p>I = 4A</p><p>ε1=5V ε2=10V ε3=20V</p><p>r3=1,5Ω B</p><p>A r1 r2 R</p><p>I</p><p>ε1 ε2 ε3r3 B</p><p>+ –</p><p>+ – + – + –</p><p>+ – + – + –</p><p>a</p><p>V V r i r i R i r i</p><p>A B</p><p>− = + + + + + −</p><p>1 1 2 2 3 3</p><p>. . . .ε ε ε</p><p>VB – VA = 2Ω.4A + 5V + 1Ω.4A + 10V + 3Ω.4A + 1,5Ω.4A – 20V</p><p>208</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P2 – Considere o trecho do circuito</p><p>representado a seguir e determine:</p><p>a) i3;</p><p>b) VA – VC ;</p><p>a) VD – VC</p><p>Dados</p><p>r1=2Ω,			r2=3Ω,			R=8Ω,</p><p>ε1=20V,			ε2=10V,			i1=5A, 			i2=2A,</p><p>A</p><p>r1=2Ω r2=3Ω</p><p>B</p><p>D</p><p>R=8Ωi1= 5A i2= 2Ai3</p><p>ε1=20V ε2=10V</p><p>C</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b) O percurso α adoptado tem sentido de A</p><p>para B e para C:</p><p>c) O percurso β tem o sentido de D para B e</p><p>para C.</p><p>i i i</p><p>i A A</p><p>i A</p><p>3 1 2</p><p>3</p><p>3</p><p>5 2</p><p>7</p><p>= +</p><p>= +</p><p>=</p><p>A</p><p>r1 r2</p><p>a</p><p>B</p><p>D</p><p>R=8Ωi1 i2</p><p>β</p><p>i3</p><p>ε1 ε2 C</p><p>+ – – +</p><p>– + + –</p><p>Logo:</p><p>VA – VC = r1. i1 – ε1 + ε2 – r2. i2</p><p>VA – VC = 2Ω.5A – 20V + 10V – 3Ω.2A</p><p>VA – VC = – 6V</p><p>Logo:</p><p>VD – VC = R. i3 + ε2 – R2. i2</p><p>VD – VC = 8Ω.7A + 10V – 3Ω.2A</p><p>VD – VC = – 52V</p><p>209</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – No trecho de circuito representado ao lado qual a d.d.p.</p><p>entre os pontos A e B?</p><p>P2 – No trecho de circuito ao lado esquematizado, calcule:</p><p>a) A d.d.p. entre os pontos A e B;</p><p>b) A intensidade de corrente i3.</p><p>c) A d.d.p. entre os pontos B e D.</p><p>5,0Ω</p><p>3,0Ω</p><p>3,0Ω</p><p>20V</p><p>B</p><p>10V</p><p>A</p><p>i = 2,0A</p><p>Primeira Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós</p><p>Num circuito eléctrico, chama-se nó ou nodo um ponto comum</p><p>a três ou mais condutores.</p><p>Lei dos nós ou nodos:</p><p>A soma algébrico das intensidades de corrente que ocorrem</p><p>num modo é nula, considerando-se positivas as que se aproxi-</p><p>mam e negativas as que se afastam do modo.</p><p>A</p><p>i2</p><p>i1 i3ε1</p><p>ε2</p><p>C</p><p>D</p><p>B</p><p>E</p><p>Fig. 2.20 – Circuito ramificado</p><p>210</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Existem dois nós (nodos): B e E</p><p>Nestes nós a corrente eléctrica se distribui assim: no nó B,</p><p>Sendo</p><p>i1 = i2+ i3</p><p>assim</p><p>i1 – (i2+ i3) = 0</p><p>i1 se aproxima e uma vez, que o valor algébrico de soma de i2</p><p>com i3 corresponda ao valor i2, i3 estes afastam-se.</p><p>Segunda Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas</p><p>Numa malha qualquer a soma algébrica das f.e.m. é igual à soma</p><p>algébrica das quedas de tensão nos vários ramos que consti-</p><p>tuem a malha.</p><p>Note bem:</p><p>Num circuito eléctrico chama-se ramo todo o trecho do circuito</p><p>que vai de nó a nó. Assim, analisando-se da figura anterior,</p><p>temos três ramos:</p><p>1. BE</p><p>2. BCDE</p><p>3. BAFE</p><p>A cada ramo corresponde uma intensidade de corrente eléc-</p><p>trica.</p><p>211</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>P1 – Utilizando a segunda lei de Kirchhoff,</p><p>determine a intensidade de corrente no</p><p>circuito esquematizado na figura abaixo. A</p><p>seguir calcule a d.d.p entre os pontos A e B.</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>Resolução</p><p>Para aplicação da segunda lei de Kirchhoff</p><p>devemos: adoptar um sentido para a cor-</p><p>rente eléctrica; adoptar um sentido de per-</p><p>curso; e marcar as polaridades. Para o cir-</p><p>cuito em questão. Temos:</p><p>Afastando-se de A e percorrendo-se a malha (trajectória) no sentido horário, temos:</p><p>ε1 + r1 . i+ R1 i – ε3 + r3 . i + r2 i – ε2 = 0</p><p>i = 2,5A</p><p>Se i resultante for negativo significa que o sentido da corrente é contrário ao sentido adoptado.</p><p>Para o cálculo da d.d.p. entre os pontos A e B, vamos percorrer o trecho de circuito indicado</p><p>na figura a seguir:</p><p>r1=2Ω</p><p>r3=3Ω</p><p>r1=2Ω</p><p>R1=3Ω</p><p>ε1=25V</p><p>ε2=25V</p><p>ε3=30V</p><p>r1</p><p>r3</p><p>r2</p><p>R1</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>ε1</p><p>a</p><p>ε3</p><p>ε2</p><p>+ – + –</p><p>+</p><p>–</p><p>–</p><p>+</p><p>r1 + R1 + r3 + r2</p><p>i (r1 + R1 + r3 + r2 ) = ε2 + ε3 – ε1 → ε2 + ε3 – ε1</p><p>2Ω + 3Ω + 3Ω + 2Ω 10Ω</p><p>i = (20V + 30V) 25V = 25V</p><p>VA – VB = ε1 + r1. i + R1 i – ε3</p><p>VA – VB = + 25Ω + 2Ω.2,5A + 3Ω.2,5A – 30V</p><p>VA – VB = 7,5V</p><p>i = 2,5 A</p><p>R1</p><p>B</p><p>A</p><p>i</p><p>a</p><p>ε3</p><p>ε1 r1</p><p>+</p><p>–</p><p>–</p><p>+</p><p>+ – + –</p><p>212</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 – Utilizando a segunda lei de Kirchhoff para o circuito</p><p>gerador-receptor esquematizado, prove que:</p><p>i</p><p>E E</p><p>R r r</p><p>=</p><p>−</p><p>+ +</p><p>(Lei de Pouillet)</p><p>P2 – Utilizando a segunda Lei de Kirchhoff, determine a inten-</p><p>sidade de corrente no circuito. A seguir, calcule a d.d.p. entre</p><p>os pontos A e B.</p><p>P3 – No circuito da figura E1 = 24V, E2 = 12V e R = 6,0Ω. Deter-</p><p>mine as intensidades de corrente em todos os ramos do cir-</p><p>cuito.</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>E</p><p>R</p><p>r</p><p>E'</p><p>r'</p><p>i</p><p>3,0Ω</p><p>2,0Ω 2,0Ω</p><p>13V</p><p>8,0V</p><p>6,0V 7,0V</p><p>A</p><p>1,0Ω</p><p>1,0Ω</p><p>E1</p><p>E2</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>213</p><p>PARTE III – Electrostática e Corrente Eléctrica Contínua</p><p>UNIDADE 1I – Corrente Eléctrica Contínua</p><p>Exercícios propostos</p><p>P4 – Para o circuito da figura em baixo determine as intensi-</p><p>dade de corrente em todos os ramos.</p><p>4,0Ω 4,0Ω</p><p>2,0Ω2,0Ω 3,0Ω</p><p>60V 60V</p><p>214</p><p>215</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>1. Física, História e cotidiano, de José Roberto Bonjorno, Regina Azenha</p><p>Bonjorno</p><p>2. Valter bonjorno, Clinton Marcico Ramos, 9º ano de escolaridade, FTD</p><p>(EDITORA)</p><p>M. Margarida R. D. Rodrigues Fernando Morão Lopes Dias, Porto Editora</p><p>3 Física, Ciências Físico – químicas, 10º Ano Maria Teresa Marques de Sá,</p><p>Texto Editora, Portugal</p><p>4. Manual de física, 9ª classe Angola</p><p>5. Maria da Graça Breganha Jesus Joaquim Baptista Eu e a Física 9º ano</p><p>Noémia Maciel, Ana Miranda, Porto Editora</p><p>6. I. K. Kikóine, A. K. Kikóine, Física 2, Editora Mir Moscovo 1996</p><p>7. José A. Teixeira, Curso de física, Tomo I – 6º Ano, Porto Editora</p><p>8. Física Mecânica volume 1 segundo grau / Avelino Alves Filho, Edson</p><p>Ferreira de Oliveira e José Luís de Campos Robortella, Editora: Ática,</p><p>1984-1985</p><p>9. Física Clássica, volumes I, II, III, IV e V / Caio Sérgio Calçada e José Luís</p><p>Sampaio, Editora: Atual, 1985</p><p>10. Física Aula por Aula, volume I / Cláudio Xavier e Benigno Barreto, Edi-</p><p>tora: FTD, 2008</p><p>11. Física: história e cotidiano volume único / José Roberto Bonjorno…,</p><p>Editora: FTD, 2005</p><p>12. Física volume único / António Máximo e Beatriz Alvarenga, Editora:</p><p>Scipione, 1997</p><p>14. Física Fundamental Novo: Volume único, 2º Grau José Roberto Bon-</p><p>jorno et al. São Paulo: FTD, 1999</p><p>BIBLIOGRAFIA</p><p>216</p><p>15. Física Aula por Aula, Vol. 1, 1ª edição Cláudio Xavier da Silva Benigno</p><p>Barreto. São Paulo: FTD, 2008</p><p>16. OS fundamentos da Física, Vol. 3, 7ª edição revista e ampliada Francisco</p><p>Ramalho Ju, Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo António de Toledo Soares</p><p>São Paulo: Moderna, 1999</p><p>17. Manual de Física 9ª Classe, Maurício José Barros, Luanda: Livraria Men-</p><p>sagem, 2003</p><p>18. Manual de Física 10ª Classe, Maurício José Barros, Luanda: Livraria</p><p>Mensagem, 2003</p><p>19. Guias – Cursos pró encuentros- Foc IV, Ernesto de la Torre García, Fran-</p><p>cisco Hernández, Habana: Editorial de libros para la educación, 1981</p><p>20. Física: História e cotidiano: mecânica 1, José Roberto Bonjorno et al.</p><p>São Paulo: FTD, 2003</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>BIBLIOGRAFIA</p><p>livro1</p><p>livro2</p><p>livro3</p><p>cx c</p><p>cx</p><p>cx</p><p>= °</p><p>=</p><p>=</p><p>.cos</p><p>.</p><p>90</p><p>4 0</p><p>0</p><p>Decomposição dum Vector sobre dois Eixos Ortogonais</p><p>Dado	um	vector</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2	e	um	sistema	de	dois	eixos	ortogonais	x	e	y</p><p>x</p><p>P''</p><p>O</p><p>α</p><p>P</p><p>P'</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2y</p><p>Projectando-se	ortogonalmente	as	extremidades	do	vector</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>nos	eixos	x	e	y	obtemos</p><p>componentes	rectangulares</p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>e	 yx</p><p>.</p><p>Analiticamente	temos:	o	triângulo	OP´P	é	rectângulo,	portanto:</p><p>cos cosα α</p><p>α</p><p>= = =</p><p>= = =</p><p>OP</p><p>OP</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>sen</p><p>PP</p><p>OP</p><p>x</p><p>x</p><p>x xs</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>eenα</p><p>cos cosα α</p><p>α</p><p>= = =</p><p>= = =</p><p>OP</p><p>OP</p><p>x</p><p>x</p><p>x x</p><p>sen</p><p>PP</p><p>OP</p><p>x</p><p>x</p><p>x xs</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>eenα</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p>19</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Exercício de aplicação</p><p>P1 –		Determine	 o	módulo	 das	 componentes	 rectangulares	 do	 vector	  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>de	módulo	 10</p><p>metros,	conforme	a	figura.</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 230°</p><p>Resolução</p><p>Pelo	ponto	de	origem	do	vector</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>,	consideremos	um	sistema	de	eixos	coordenados	x</p><p>e	y,	como	mostra	a	figura.</p><p>xy</p><p>xx</p><p>x</p><p>y</p><p>30°</p><p>Projectando	o	vector</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>nos	eixos	x e	y,	temos:</p><p>Componente	segundo	x 		 	 				Componente	segundo	y</p><p>x x</p><p>x</p><p>x m</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>= °</p><p>=</p><p>=</p><p>cos</p><p>.</p><p>30</p><p>10</p><p>3</p><p>2</p><p>5 3</p><p>x Xsen</p><p>x</p><p>x m</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>= °</p><p>=</p><p>=</p><p>30</p><p>10</p><p>1</p><p>2</p><p>5</p><p>.</p><p>P2 –		Determine	 as	 componentes	 de	 um	 vector	  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>de	módulo	 4	metros,	 que	 forma	 um</p><p>ângulo	de	30º	com	a	vertical.</p><p>Resolução</p><p>Projectando	o	vector</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p>nos	eixos	x	e	y	temos:</p><p>Dados:		x		=	4m</p><p>α=60°</p><p>20</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Componente	segundo	x 		 									Componente	segundo	y</p><p>x x</p><p>x</p><p>x m</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>= °</p><p>=</p><p>=</p><p>cos</p><p>.</p><p>60</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>x xsen</p><p>x</p><p>x</p><p>x m x m</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y y</p><p>= °</p><p>=</p><p>=</p><p>= =</p><p>60</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>2 3</p><p>2 1 7 3 4</p><p>.</p><p>. , ,</p><p>x</p><p>y</p><p>60°</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2</p><p></p><p>x</p><p>x</p><p>  </p><p>x x x= +</p><p>1 2y</p><p>1.3. Sistema de Unidades</p><p>Medir	uma	grandeza	física,	significa	compará-la	à	outra	grandeza	que	se	toma	como	uni-</p><p>dade.	A	grandeza	a	medir	e	a	unidade	devem	ser	uniformes,	isto	é,	grandezas	da	mesma</p><p>espécie,	limitando-se	a	ser	diferentes	somente	pelo	valor	numérico.</p><p>A	unidade	de	uma	grandeza	 física,	 é	uma	grandeza	que	 tem	um	valor	numérico	 igual	 a</p><p>um.	 As	 unidades	 dividem-se	 em	 dois	 tipos:	 fundamentais	 e	 derivadas.	 A	 dimensão	 das</p><p>unidades	fundamentais	é	escolhida	independentemente	da	dimensão	das	outras	grande-</p><p>zas.	A	dimensão	das	grandezas	derivadas	define-se	segundo	uma	dependência	entre	esta</p><p>grandeza	e	as	outras.	O	conjunto	das	unidades	 fundamentais	e	derivadas	que	se	encon-</p><p>tram	ligadas	entre	si,	através	de	determinadas	relações	denomina-se	sistema	de	unidades.</p><p>1) Sistema métrico – gravitatório (M. Kp.S)</p><p>As	unidades	 fundamentais	 são	o	metro	 (unidade	de	comprimento),	o	quilgrama	–	 força</p><p>(unidade	de	força)	e	o	segundo	(unidade	de	tempo).</p><p>Unidades derivadas</p><p>Unidade de superfície	–	a	sua	equação	de	definição	é;	S	=	C.L.	Fazendo	C	=		L	=	1m,</p><p>conclui-se	a	unidade	de	superfície	é	o	metro	quadrado	(m2).</p><p>Unidade de volume	–	a	sua	equação	de	definição	é;	V	=	CLH,	fazendo	C=L=H=	1m,</p><p>conclui-se	que	a	unidade	de	volume	é	o	metro	cúbico	(m3)</p><p>Unidade de velocidade	–	a	sua	equação	de	definição	é;		v s</p><p>t</p><p>= ,	fazendo	S	=	1m	e	t	=	1s,</p><p>conclui-se	que	a	unidade	da	velocidade	é	o	metro	por	segundo	(m/s).</p><p>21</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Fig. 8 – Circunferência trigonométrica</p><p>2) Sistema C. G. S</p><p>As	unidades	fundamentais	são	o	centímetro	(unidade	de	comprimento),	o	grama	(unidade</p><p>de	massa)	e	o	segundo	(unidade	de	tempo).</p><p>Unidades	derivadas	–	obtêm-se	a	partir	das	equações	de	definição,	como	se	fez	para	o	sis-</p><p>tema	métrico	–	gravitatório.</p><p>Unidade de superfície	–	é	o	centímetro	quadrado	(cm2)</p><p>Unidade de volume	–	é	o	centímetro	cúbico	(cm3)</p><p>Unidade de velocidade –	é	o	centímetro	por	segundo	(cm/s)</p><p>O	 sistema	M.K.S	 integra-se	 amplamente	 no	 sistema	 internacional	 (SI),	 que	 adopta	mais</p><p>quatro	unidades	fundamentais:	o	Ampère	(A)	–	unidade	de	intensidade	de	corrente	eléc-</p><p>trica;	o	Kelvin	(K)	–	unidade	de	temperatura	termodinâmica;	a	candela	(cd)	–	unidade	da</p><p>intensidade	luminosa;	o	mole	(mol)	–	unidade	de	quantidade	de	substância.</p><p>1.4. Noções Básicas da Trigonometria</p><p>Circunferência trigonométrica</p><p>Da	figura	8	(circunferência	trigonométrica),	pode	-	se	deduzir	as	relações	fundamentais	da</p><p>trigonometria.	seno, co-seno, tangente e co-tangente.</p><p>A	função	seno	vem	da	relação	entre	o	componente	coordenado	y	e	o	raio	R,	ou	seja	entre	o</p><p>cateto	oposto	Ry	e	a	Hipotenusa	R,	ao	passo	que	a	função	co-seno	é	a	relação	entre	o	com-</p><p>ponente	coordenado	em	x	e	o	raio	ou	seja	cateto	adjacente	Rx	e	a	hipotenusa.</p><p>R	=	1</p><p>xx</p><p>y</p><p>y α</p><p>sen</p><p>y</p><p>R</p><p>y</p><p>x</p><p>R</p><p>x</p><p>tg</p><p>y</p><p>R</p><p>sen</p><p>g</p><p>x</p><p>y</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>= =</p><p>= =</p><p>= =</p><p>= =</p><p>cos</p><p>cos</p><p>cot</p><p>coosα</p><p>αsen</p><p>22</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>sen</p><p>y</p><p>R</p><p>x</p><p>R</p><p>tg</p><p>y</p><p>x</p><p>g</p><p>x</p><p>y</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>α</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>cos</p><p>cot</p><p>R</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>y</p><p>x</p><p>α</p><p>Relações	mais	utilizadas</p><p>sen</p><p>a b c bc CAB</p><p>c b a</p><p>sen</p><p>2 2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>α α+ =</p><p>= + +</p><p>= +</p><p>cos</p><p>cos</p><p>(αα</p><p>π</p><p>α</p><p>α</p><p>π</p><p>α</p><p>+ =</p><p>+ = −</p><p>2</p><p>2</p><p>) cos</p><p>cos( ) sen</p><p>23</p><p>MANUAL DE FÍSICA PARA FORMAÇÃO MÉDIA TÉCNICA</p><p>CONCEITOS INTRODUTÓRIOS</p><p>Valores de seno, cosseno, tangente e co-tangente de alguns ângulos</p><p>0º</p><p>(0 rad) 0</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>-1 0</p><p>0</p><p>1 1</p><p>0 ∞</p><p>∞</p><p>– ∞</p><p>30º</p><p>(π/6 rad)</p><p>45º</p><p>(π/4 rad)</p><p>60º</p><p>(π/3 rad)</p><p>90º</p><p>(π/2 rad)</p><p>180º</p><p>(π rad)</p><p>senoÂngulo cos tg cotg</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>24</p><p>25</p><p>Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>UNIDADE 2 – Interacções entre Corpos</p><p>UNIDADE 3 – Trabalho e Energia</p><p>P</p><p>A</p><p>R</p><p>T</p><p>E</p><p>I</p><p>26</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>PARTE 1: MECÂNICA</p><p>Esta	primeira	parte	do	manual	trata	da	análise	dos	movimen-</p><p>tos,	as	variações	de	energia	e	as	forças	que	actuam	sobre	um</p><p>corpo.</p><p>Unidade 1</p><p>MoviMento de uMa Partícula Material</p><p>O	objectivo	desta	unidade	é	de	descrever	as	formas	básicas	do</p><p>movimento	mecânico	e	as	leis	que	a	regem.</p><p>A	palavra	movimento	está	 ligada	à	vida	e	 tem	várias	 formas</p><p>de	se	manifestar,	uma	dessas	formas	é	o	movimento	mecânico</p><p>que	descreve	a	mudança	de	posição	dos	corpos	no	tempo.</p><p>A	cinemática	é	a	parte	da	Mecânica	que	se	ocupa	do	estudo	do</p><p>movimento,	suas	formas	e	suas	leis	sem	ter	em	conta	as	causas</p><p>que	os	originam.</p><p>1.1. Ponto Material</p><p>A	 Física	 recorre	 à	 uma	 linguagem	 própria	 para	 caracterizar</p><p>alguns	corpos.	No	estudo	do	movimento	mecânico,	considera-se</p><p>ponto material,	um	corpo	cujas	dimensões	podem	ser	despreza-</p><p>das,	no	estudo	de	um	determinado	fenómeno,	em	relação	a	um</p><p>determinado	referencial.</p><p>Ponto	 material	 é	 um	 corpo	 que	 possui	 uma	 quantidade	 de</p><p>massa,	mas	suas	dimensões	são	desprezáveis	quando	compa-</p><p>radas	às	distâncias	envolvidas	no	problema.</p><p>Exemplo:</p><p>a)		O	movimento	de	translação	da	Terra	em	torno	do	sol,</p><p>pode	 ser	 considerado	 como	movimento	de	um	ponto</p><p>material,	 enquanto	 o	movimento	 de	 rotação	 da	 terra</p><p>em	torno	do	seu	eixo	já	não.</p><p>27</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Fig. 1.1 – Vulola observando o movi-</p><p>mento do comboio</p><p>b)		Um	 autocarro	 numa	 viagem	 de	 Caxito	 a	 Maquela	 do</p><p>Zombo,	em	comparação	à	estrada,	tem	seu	tamanho	des-</p><p>prezível,	então,	pode	ser	considerado	um	ponto	material;</p><p>mas	quando	este	mesmo	autocarro	faz	manobras	em	um</p><p>estacionamento	 seu	 tamanho	deixa	de	 ser	desprezível.</p><p>1.1.1. Relatividade do Movimento</p><p>O	movimento	de	um	corpo	 tem	sempre	um	significado	rela-</p><p>tivo.	Por	exemplo,	uma	pessoa	sentada	num	comboio	está	em</p><p>repouso,	 relativamente	 ao	 sistema	 material	 que	 constitui	 o</p><p>comboio,	mas	está	em	movimento	 relativamente	a	qualquer</p><p>sistema	material	considerado	no	exterior	do	comboio	(estação</p><p>do	caminho	de	ferro,	arvores	etc).	E	qualquer	destes	sistemas</p><p>de	referência	está	em	repouso	relativamente	a	outros.</p><p>O	 conceito	 de	 movimento	 ou	 repouso	 é	 relativo	 sempre	 a</p><p>determinados	corpos.</p><p>Diremos	 assim,</p><p>que	 um	ponto	material	 está	 em	movimento</p><p>relativamente	 a	 um	 referencial	 ou	 sistema	 de	 referência,</p><p>quando	a	sua	posição	em	relação	a	este	referencial,	varia	no</p><p>decorrer	do	tempo.</p><p>1.2. Trajectória</p><p>Denomina-se	trajectória	ao	caminho	percorrido	por	um	móvel</p><p>em	relação	a	um	referencial	adoptado.</p><p>Fig. 1.2 – Trajectória da esfera em movimento</p><p>y		m</p><p>x		km</p><p>28</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>A	trajectória	pode	ser:</p><p>–	Rectilínea</p><p>–	Curvilínea</p><p>Imaginemos	 um	 helicóptero	 voando	 com	 uma	 velocidade</p><p>constante.	Se,	num	determinado	 instante	ele	 largar	um	saco</p><p>de	arroz,	este	cairá	segundo	uma	trajectória	vertical	em	rela-</p><p>ção	ao	piloto	do	helicóptero.	Mas,	para	um	observador	fixo	na</p><p>Terra,	a	trajectória	do	saco	será	parabólica.</p><p>1.3. Deslocamento</p><p>1.3.1. Origem dos Espaços</p><p>S3</p><p>S2</p><p>S1</p><p>P1</p><p>P2</p><p>P3</p><p>0 Origem</p><p>dos</p><p>Espaços</p><p>Define-se	origem	dos	espaços	o	ponto	O	 (fixado	arbitrariamente)</p><p>em	relação	ao	qual	são	medidos	os	espaços,	ou	seja:</p><p>–	no	ponto	P1	a	distância	do	móvel	à	origem	é	s1</p><p>–	no	ponto	P2	a	distância	do	móvel	à	origem	é	s2</p><p>–	no	ponto	P2	a	distância	do	móvel	à	origem	é	s2</p><p>29</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>0</p><p>P0</p><p>P1</p><p>P2</p><p>t	=	o	(origem	dos	tempos)</p><p>Seja	um	móvel	descrevendo	uma	 trajectória	qualquer	orien-</p><p>tada	ocupando	as	posições	P01,	P11,		P2	...	etc.</p><p>Pode-se	definir	também	a	origem	dos	tempos	como	sendo	o</p><p>instante	em	que	começa	a	ser	contado	o	tempo	(t	=	0)	podendo</p><p>ser	fixado	em	qualquer	posição	do	móvel.</p><p>Por	exemplo,	quando	o	móvel	na	posição	P0.</p><p>Espaço	Inicial	so</p><p>Define-se	como	espaço	inicial	(s0)	a	distância	do	móvel	à	ori-</p><p>gem	dos	espaços	no	início	da	contagem	dos	tempos	(t	=	0).</p><p>Se	um	móvel	se	movimenta	em	linha	recta,	a	sua	posição	muda</p><p>em	cada	instante	e	no	final	do	movimento,	a	sua	posição	será</p><p>diferente	da	posição	 inicial.	A	variação	de	posição	do	móvel</p><p>neste	intervalo	de	tempo	é	designada	deslocamento.</p><p>1.4. Velocidade</p><p>A	velocidade	é	a	relação	entre	a	variação	da	posição	no	espaço</p><p>em	determinado	intervalo	de	tempo,	ou	seja.	É	uma	grandeza</p><p>vectorial,	ou	seja	possui	direcção,	sentido	e	módulo.</p><p>No	Sistema	 Internacional	 (S.I.),	 a	 unidade	da	 velocidade	 é	 o</p><p>m/s.	Também	utiliza-se	o	km/h	como	unidade	da	velocidade.</p><p>A	conversão	entre	o	km/h	e	o	m/s,	que	é	dada	pela	seguinte</p><p>relação:</p><p>1</p><p>1</p><p>1000</p><p>3600</p><p>km</p><p>h</p><p>m</p><p>s</p><p>=</p><p>30</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>A	partir	desta	relação,	é	possível	extrair	o	seguinte	factor	de</p><p>conversão:</p><p>m</p><p>s</p><p>km</p><p>h</p><p>. ,3 6 =</p><p>e</p><p>km</p><p>h</p><p>m</p><p>s</p><p>÷ =3 6,</p><p>1.4.1. Velocidade Média</p><p>Seja	um	móvel	percorrendo	a	trajectória.</p><p>O</p><p>S1</p><p>S2</p><p>t1</p><p>t2</p><p>x2</p><p>x1</p><p>Seja	também:</p><p>�x x x=</p><p>2 1</p><p>–</p><p>variação	de	posição	[espaço	(caminho)	percor-</p><p>rido]</p><p>�t t t=</p><p>2 1</p><p>–</p><p>intervalo	de	tempo	na	variação	Δs.</p><p>Define-se	velocidade	escalar	média,	entre	os	instantes	t1	e	t2,	à</p><p>grandeza	vm	dada	por:</p><p>v</p><p>x</p><p>t</p><p>x x</p><p>t tm</p><p>= =</p><p>−</p><p>−</p><p>�</p><p>�</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>(1.1)</p><p>A	velocidade	média,	 indica	o	deslocamento	que	em	média	o</p><p>corpo	efectua	por	unidade	do	tempo.</p><p>A	velocidade	média	total	não	é	sempre	igual	a	média	aritmé-</p><p>tica	das	velocidades.</p><p>Demonstremos	isso	algebricamente.</p><p>31</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Caso em que as distâncias são iguais, mas os tempos dife-</p><p>rentes</p><p>v</p><p>s</p><p>tm</p><p>=</p><p>(1)</p><p>Espaço	total:				S	=	S1	+	S2	 	 (2)</p><p>Tempo	total:				t t t= +</p><p>1 2</p><p>;</p><p>t</p><p>s</p><p>v</p><p>t</p><p>s</p><p>v</p><p>t</p><p>s</p><p>v</p><p>s</p><p>v</p><p>s</p><p>v</p><p>s</p><p>v1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2 1 2</p><p>2 2</p><p>= = = + = +,t</p><p>s</p><p>v</p><p>t</p><p>s</p><p>v</p><p>t</p><p>s</p><p>v</p><p>s</p><p>v</p><p>s</p><p>v</p><p>s</p><p>v1</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>2 1 2</p><p>2 2</p><p>= = = + = +, ⇒ 	 (3)</p><p>Substituindo	(3)	em	(1),	obtém-se</p><p>v</p><p>s</p><p>s</p><p>v</p><p>s</p><p>v</p><p>m</p><p>=</p><p>+</p><p>2 2</p><p>1 2 	 	 (1.2)</p><p>v</p><p>v v</p><p>v vm</p><p>=</p><p>+</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>Caso em que os tempos são iguais, mas distâncias dife-</p><p>rentes.</p><p>v</p><p>s</p><p>tm</p><p>=</p><p>(1)</p><p>t t</p><p>t</p><p>1 2</p><p>2</p><p>= =</p><p>s v t</p><p>1 1 1</p><p>= .</p><p>s v t</p><p>2 2 2</p><p>= .</p><p>s s s= +</p><p>1 2</p><p>s</p><p>t</p><p>v v= +( )</p><p>2</p><p>1 2</p><p>(2)</p><p>32</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Substituindo	(2)	em	(1),	obtém-se</p><p>v</p><p>t</p><p>v v</p><p>tm</p><p>=</p><p>+( )</p><p>2</p><p>1 2</p><p>v</p><p>t v v</p><p>tm</p><p>=</p><p>+( )</p><p>1 2</p><p>2</p><p>v</p><p>v v</p><p>m</p><p>=</p><p>+</p><p>1 2</p><p>2</p><p>(1,3)</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Um	 automóvel</p><p>percorre	 uma	 distân-</p><p>cia	 de	 200	 km,	 em	 1h</p><p>e	 30min.	 Determine	 a</p><p>velocidade	 média	 em</p><p>km/h	e	em	m/s.</p><p>Dados</p><p>s	=	200	km</p><p>t	=	1h30	min	=	1,5h</p><p>P2 –	 Um	 automóvel</p><p>moveu-se	à	velocidade</p><p>de	 40	 km/h	 durante</p><p>a	 primeira	 metade	 do</p><p>caminho	e	à	velocidade</p><p>de	20	km/h	durante	 a</p><p>segunda	metade.	Achar</p><p>a	velocidade	média	do</p><p>automóvel.</p><p>Dados</p><p>v1	=	40	km / h</p><p>v2	=	20	km / h</p><p>s s</p><p>s</p><p>1 2</p><p>2</p><p>= =</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>v</p><p>s</p><p>t</p><p>v</p><p>km</p><p>h</p><p>v km h</p><p>m m m</p><p>= = =</p><p>200</p><p>1 5</p><p>133 3</p><p>,</p><p>, /v</p><p>s</p><p>t</p><p>v</p><p>km</p><p>h</p><p>v km h</p><p>m m m</p><p>= = =</p><p>200</p><p>1 5</p><p>133 3</p><p>,</p><p>, /v</p><p>s</p><p>t</p><p>v</p><p>km</p><p>h</p><p>v km h</p><p>m m m</p><p>= = =</p><p>200</p><p>1 5</p><p>133 3</p><p>,</p><p>, /⇒ ⇒</p><p>Para	se	obter	a	velocidade	média	em	m/s,	é	preciso	converter</p><p>km	em	m	e	hora	em	segundo,</p><p>v</p><p>m</p><p>s</p><p>v m s</p><p>m m</p><p>= =133 3</p><p>1000</p><p>3600</p><p>37 03, . , /v</p><p>m</p><p>s</p><p>v m s</p><p>m m</p><p>= =133 3</p><p>1000</p><p>3600</p><p>37 03, . , /⇒</p><p>Pela	fórmula	1.2,	temos</p><p>v</p><p>v v</p><p>v vm</p><p>=</p><p>+</p><p>2</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>v km h</p><p>m</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>2 40 20</p><p>40 20</p><p>26 66</p><p>. .</p><p>, /logo</p><p>33</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 –	 Um	 automóvel	 moveu-se	 à	 velocidade	 de	 40	 km/h</p><p>durante	 a	 primeira	metade	 do	 tempo	 e	 à	 velocidade	 de	 20</p><p>km/h	durante	 a	 segunda	metade.	Achar	 a	 velocidade	média</p><p>do	automóvel.</p><p>P2 –	Um	 automóvel	 percorre	 2</p><p>3</p><p>de	 um	percurso	 com	 velo-</p><p>cidade	de	60	km/h	e	o	restante	com	velocidade	de	90	km/h.</p><p>Determine	a	velocidade	escalar	média	do	automóvel,	durante</p><p>o	percurso.</p><p>P3 –	 Um	 móvel	 num	 troço	 inicial	 da	 estrada,	 desenvol-</p><p>veu	 uma	 velocidade	 de	 40	 km/h,	 durante	 2	 horas,	 no	 troço</p><p>seguinte,	sua	velocidade	passou	para	70	km/h,	durante	1hora.</p><p>a)	Determine	a	distância	total	percorrida	pelo	móvel.</p><p>b)		Determine	a	velocidade	média	do	móvel,	durante	o	per-</p><p>curso.</p><p>R: 	v	=	30	km/h</p><p>R: 	67,5	km/h</p><p>a)						R: 	s	=	150	km/h</p><p>b)						R: 		v	=	50	km/h</p><p>1.4.2. Velocidade Instantânea</p><p>Tomando	como	referência	o	caso	anterior	de	velocidade	média</p><p>verificamos	que,	à	medida	que	se	diminui	o	intervalo	de	tempo</p><p>entre	os	instantes	t1	e	t2	ou	seja,	Δt	tendo	para	zero,	a	veloci-</p><p>dade	média	tende	para	a	velocidade	instantânea.</p><p>Isto	é,	a	velocidade instantânea	é	o	 limite	para	o	qual	 tende	a</p><p>velocidade	média,	quando	o	intervalo	de	tempo	Δt	tende	a	zero.</p><p>v v</p><p>s</p><p>tt m t</p><p>= =</p><p>→ →</p><p>lim lim</p><p>� �</p><p>�</p><p>�0 0</p><p>(1.4)</p><p>34</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>1.5. Movimento Rectilíneo</p><p>e Uniforme</p><p>Um	dos	movimentos	mais	simples	que	a	cinemática	estuda,	é</p><p>o	movimento	rectilíneo	uniforme.	Esse	movimento	raramente</p><p>aparece	na	vida	prática.	Entretanto,	o	seu	estudo	serve	de	base</p><p>para	a	compreensão	de	movimentos	mais	complexos	como:</p><p>•			O	movimento	é	rectilíneo	porque	a	partícula	percorre	uma</p><p>trajectória	em	linha	recta.</p><p>•			O	movimento	é	uniforme	porque	não	há	variação	da	velo-</p><p>cidade.</p><p>Movimento	rectilíneo	e	uniforme	é	um	movimento	em	que	a</p><p>partícula	material	descreve	ou	efectua	deslocamentos/espa-</p><p>ços	iguais	em	intervalos	de	tempos	iguais.</p><p>Para	determinar	o	deslocamento	duma	partícula	material	em</p><p>movimento	rectilíneo	e	uniforme,	durante	um	certo	intervalo</p><p>de	 tempo	Δ t precisamos	 saber	o	deslocamento	da	partícula</p><p>durante	aquele	intervalo	de	tempo.	A	relação	entre	a	variação</p><p>do	deslocamento	e	o	intervalo	de	tempo,	chama-se	velocidade.</p><p>v</p><p>s</p><p>t</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>(1.5)</p><p>Onde				Δ s = sf – s0								e									Δ t = tf – t0</p><p>Em	que</p><p>s	 –	posição	final</p><p>s0	–	posição	inicial</p><p>t	 –	tempo	final</p><p>t0	–	tempo	inicial</p><p>Tendo	em	conta	que	no	 inicio	da	contagem	do	movimento	o</p><p>instante	inicial	é	sempre	igual	a	zero	t0	=	0,	vem:</p><p>v</p><p>s</p><p>t</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>como				Δ s = s – s0								e									Δ t = t – t0							resulta:</p><p>s = s0	 + vt				 (1.6)</p><p>Fig. 1.3 –</p><p>Movimento rectilíneo e uni-</p><p>forme</p><p>35</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Um	 automóvel</p><p>que	 se	 desloca	 com</p><p>movimento	 uniforme,</p><p>percorre	 80km	 em</p><p>2horas.	Calcule:</p><p>a)		A	velocidade	do	auto-</p><p>móvel.</p><p>b)		A	 distância	 percor-</p><p>rida	pelo	automóvel,</p><p>em	5horas.</p><p>Dados</p><p>s	=	80	km</p><p>t	=	2h</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>s =	v.t	⇒ s =	40km	/	h.5h ⇒ s =	200km</p><p>v</p><p>s</p><p>t</p><p>v</p><p>km</p><p>h</p><p>v km h= = =</p><p>80</p><p>2</p><p>40 /v</p><p>s</p><p>t</p><p>v</p><p>km</p><p>h</p><p>v km h= = =</p><p>80</p><p>2</p><p>40 /v</p><p>s</p><p>t</p><p>v</p><p>km</p><p>h</p><p>v km h= = =</p><p>80</p><p>2</p><p>40 /⇒ ⇒</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 –	Um	comboio	percorreu,	em	movimento	uniforme,	750	km</p><p>durante	3	horas.	Calcule:</p><p>a)	A	velocidade	do	comboio.</p><p>b)		A	distância	percorrida	pelo	comboio	em	0,5h.</p><p>P2 –	 Um	 ponto	 material	 movimenta-se	 segundo	 a	 equação</p><p>horária					s =	30	–	5t (s		em		m 	e		t		em		s)</p><p>a)	Sua	posição	inicial.</p><p>b)		Sua	velocidade.</p><p>c)		Sua	posição	no	instante	3	segundos.</p><p>d)		O	deslocamento	no	fim	de	6	segundos.</p><p>e)		O	instante	em	que	o	móvel	passa	pela	posição	20m.</p><p>e)		Esquematize	o	movimento	num	eixo	orientado.</p><p>a)						R: 	v =	250	km/h</p><p>b)						R: 	s	=	125	km</p><p>a)						R: 		s0	=	30	m</p><p>b)						R: 		v =	–5m/s</p><p>c)						R: 		s3	=	15	m</p><p>d)						R: 		s6	=	–30	m</p><p>e)						R: 		s20	=	2s</p><p>36</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>P3 –	Um	móvel	desloca	-se	sobre	uma	recta	e	tem	suas	posições</p><p>em	função	do	tempo	representadas	pela	equação</p><p>s	=	3+	5t	(s		em	m)</p><p>Determine	a	velocidade	média	do	móvel	nos	intervalos	(0	a	6)	s</p><p>e	(2	a	11)	s.</p><p>P4 –	Um	autocarro	move	com	movimento	uniforme	à	velocidade</p><p>de	60	km/h.	Com	que	velocidade	deverá	seguir	outro	automóvel</p><p>que	parte	15	minutos	depois,	para	alcançar	o	depois	de	210	km.</p><p>P5 –	Um	avião	passa	sobre	uma	cidade	com	a	velocidade	de</p><p>400	km/h,	que	mantém	durante	o	resto	do	percurso.	Depois	de</p><p>45	minutos	passa	um	outro	avião	 seguindo	a	mesma	rota	do</p><p>primeiro	com	velocidade	de	600	km/h.	A	que	distância	da	refe-</p><p>rida	cidade	o	segundo	avião	ultrapassará	o	primeiro.</p><p>R:			vm = 5m/s</p><p>para os dois intervalos</p><p>Exercícios propostos</p><p>R: 		v =	65	km/h</p><p>R: 		900	km</p><p>Gráficos do movimento rectilíneo uniforme</p><p>Para	o	movimento	descrito	neste	capítulo	podemos	traçar	os</p><p>gráficos</p><p>• Deslocamento – tempo</p><p>O	deslocamento	e	o	 tempo	são	grandezas	directamente	pro-</p><p>porcionais.	O	gráfico	é	uma	linha	recta	inclinada	em	relação	ao</p><p>eixo	das	abcissas.</p><p>0</p><p>s</p><p>t</p><p>0</p><p>t</p><p>s</p><p>37</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>• Velocidade – tempo</p><p>Sendo	a	velocidade	a	mesma	em	qualquer	instante,	podemos</p><p>dizer	que	o	gráfico	da	velocidade	em	função	de	tempo	é	uma</p><p>linha	recta.</p><p>O	valor	da	velocidade	mantém-se	constante.	O	gráfico	é	uma</p><p>linha	paralela	ao	eixo	das	abcissas.</p><p>v</p><p>t</p><p>v</p><p>t</p><p>Movimento progressivo Movimento regressivo</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	Um		móvel	movi-</p><p>menta-se	 segundo	 a</p><p>equação:</p><p>s =	4	+	3t	(SI)</p><p>Construa	o	gráfico	de</p><p>s	=	f (t)</p><p>Resolução</p><p>t	 s</p><p>0 4</p><p>1 7</p><p>s (m)</p><p>t (s)</p><p>7</p><p>4</p><p>0 1</p><p>38</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>P1 –	Um	 ponto	material	movimenta	 se	 em	 uma	 trajectória</p><p>rectilínea	e	tem	suas	posições,	em	função	do	tempo	dadas	pelo</p><p>gráfico.</p><p>P2 –	Dois	móveis	A	e	B	percorrem	uma	recta	com	MU	e	têm	suas</p><p>posições,	em	função	do	tempo,	dadas	pelo	gráfico:</p><p>Exercícios propostos</p><p>a)	Construir	o	gráfico	v	=	f	(t)	de	todos	os	trechos;</p><p>b)		Interpretar	o	movimento;</p><p>c)	Qual	o	deslocamento	do	ponto	material	entre	26s	e	30s?</p><p>b)</p><p>R: O	ponto	material	par-</p><p>tindo	da	posição	6m,</p><p>atinge	a	posição	56m</p><p>em	 l0s	 (movimento</p><p>progressivo)	 na	 qual</p><p>pára	 durante	 8s.	 Em</p><p>seguida	 retoma	 à</p><p>origem	 (0	 m)	 em	 8s</p><p>(movimento	 retró-</p><p>grado).	 Chegando	 à</p><p>origem,	 parte	 nova-</p><p>mente	 com	 movi-</p><p>mento	progressivo.</p><p>c)						R: 		 4m</p><p>a)						R: 			4s</p><p>b)						R: 		13m</p><p>Determine:</p><p>a)	O	Instante	do	encontro;</p><p>b)	A	posição	no	instante	do	encontro.</p><p>56</p><p>10 18 26 30</p><p>6</p><p>s (m)</p><p>t (s)4</p><p>s(m)</p><p>t(s)</p><p>B</p><p>2</p><p>5</p><p>-3</p><p>9</p><p>A</p><p>39</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>1.5.1. Aceleração</p><p>Afirmamos	sempre	que	um	automóvel	está	a	acelerar	quando</p><p>o	valor	da	sua	velocidade	está	a	aumentar	com	o	decorrer	do</p><p>tempo.</p><p>O	conceito	de	aceleração	em	Física	é,	porém,	mais	geral.	Assim,</p><p>dizemos	que	um	móvel	está	a	acelerar	quando	a	 sua	veloci-</p><p>dade	varia,	com	o	decorrer	do	tempo.	Podemos	definir	a	ace-</p><p>leração	como	sendo	a	rapidez	com	que	varia	a	velocidade	no</p><p>decorrer	do	tempo</p><p>Fig. 1.4 – Automóvel acelerando</p><p>1.5.1.1 Aceleração Média</p><p>Quando	uma	partícula	material	varia	a	sua	velocidade	de	v0	a</p><p>v	durante	o	intervalo	de	tempo	t0	a	t,	a	aceleração	média	pode</p><p>ser	 definida	 como	 sendo	 a	 relação	 entre	 a	 rapidez	 com	que</p><p>varia	a	velocidade	e	o	tempo	em	que	ocorreu	essa	variação.</p><p>a</p><p>v</p><p>t</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>(1.7)</p><p>onde				Δ v = v – v0								e									Δ t = t – t0</p><p>Unidade da aceleração</p><p>SI:	metro	por	segundo	ao	quadrado	(m/s2)</p><p>CGS:	centímetro	por	segundo	ao	quadrado	(cm/s2)</p><p>40</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 A	 velocidade	 de</p><p>um	 automóvel	 varia</p><p>de	5	m/s	para	15	m/s</p><p>durante	 4	 segundos,</p><p>determine	 a	 acelera-</p><p>ção	com	que	se	move	o</p><p>automóvel.</p><p>Dados</p><p>v1	=	5m/s</p><p>v2	=	15m/s</p><p>t	=	4s</p><p>P3 –	 Um	 automóvel,</p><p>partindo	 do	 repouso,</p><p>desloca-se	 com	 uma</p><p>aceleração	uniforme	de</p><p>150	 cm/s2.	 Dentro	 de</p><p>quanto	tempo	alcançará</p><p>a	velocidade	de	15	m/s?</p><p>Dados</p><p>v1	=	0</p><p>t1	=	0</p><p>a	=	150cm/s2</p><p>v2	=	15cm/s2</p><p>t2	=	?</p><p>Resolução</p><p>Resolução</p><p>⇒a</p><p>v v</p><p>t</p><p>a</p><p>m s m s</p><p>s</p><p>= =</p><p>−</p><p>2 1</p><p>15 5</p><p>4</p><p>– / /</p><p>�</p><p>a</p><p>v v</p><p>t</p><p>a</p><p>m s m s</p><p>s</p><p>= =</p><p>−</p><p>2 1</p><p>15 5</p><p>4</p><p>– / /</p><p>�</p><p>a =	2,5m	/ s2</p><p>P2 –	Determinar	a	ace-</p><p>leração	 escalar	 média</p><p>do	móvel	que	percorre</p><p>a	trajectória.</p><p>O P1 P2</p><p>t	=0</p><p>t1=2</p><p>v1=5</p><p>t2=3</p><p>v2=10</p><p>Temos:</p><p>Como			 v1	=	0					e					t1	=	0,					vem</p><p>logo</p><p>a</p><p>v</p><p>t</p><p>v v</p><p>t tm</p><p>= =</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>= =</p><p>�</p><p>�</p><p>2 1</p><p>2 1</p><p>10 5</p><p>3 2</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>a</p><p>v v</p><p>t t</p><p>= 2 1</p><p>2 1</p><p>–</p><p>–</p><p>a</p><p>v</p><p>t</p><p>t</p><p>v</p><p>a</p><p>= =2</p><p>2</p><p>2</p><p>2a</p><p>v</p><p>t</p><p>t</p><p>v</p><p>a</p><p>= =2</p><p>2</p><p>2</p><p>2⇒</p><p>2 2</p><p>15</p><p>1 5</p><p>10t</p><p>m s</p><p>m s</p><p>s= =</p><p>/</p><p>, /</p><p>41</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 –	A	velocidade	de	um	automóvel	que	se	desloca	com	acele-</p><p>ração	uniforme,	aumentou	de15m/s	para	25m/s,	durante	6,25</p><p>segundos.	Determine	a	aceleração	com	que	se	deslocou	o	auto-</p><p>móvel,	durante	este	aumento	de	velocidade.</p><p>P2 –	Um	autocarro	move-se	com	a	velocidade	de	10m/s,	pára</p><p>durante	4	 segundos	depois	de	começar	a	 travar.	Determine	a</p><p>aceleração	com	que	o	autocarro	se	deslocou	durante	a	 trava-</p><p>gem.</p><p>R: 		a =	1,6	m/s2</p><p>R: 		a =	2,5m/s2</p><p>1.5.1.2 Aceleração Instantânea</p><p>A	aceleração	média	nos	informa	de	modo	global	a	variação	da</p><p>velocidade	da	partícula	e	não	nos	diz	como,	de	forma	efectiva,</p><p>ocorre	essa	variação	em	todos	os	trechos	do	movimento.</p><p>Uma	informação	precisa	sobre	como	ocorre	a	variação	da	velo-</p><p>cidade	em	intervalos	de	tempo	pequenos,	só	pode	ser	obtida</p><p>através	do	estudo	da	aceleração	instantânea.</p><p>Dizemos	 que	 a	 aceleração	 no	 instante t	 é	 o	 limite	 para	 que</p><p>tende	a	aceleração	média,	quando	o	intervalo	de	tempo	tende</p><p>para	zero.</p><p> </p><p>a a</p><p>A t o m</p><p>=</p><p>→</p><p>lim</p><p>�</p><p>No	caso	do	movimento	rectilíneo	(e	só	neste),	como	os	valores</p><p>das	acelerações	médias	são	dadas	pela	equação	seguinte:</p><p></p><p></p><p>a</p><p>v</p><p>tm</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>(1.8)</p><p>42</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>1.6. Movimento Variado</p><p>O	movimento	mais	comum	no	nosso	dia	a	dia,	é	o	movimento</p><p>variado.	Nesse	movimento,	a	partícula	material	descreve	inter-</p><p>valos	de	espaços	diferentes	em	intervalos	de	tempo	iguais.</p><p>No	movimento	variado	o	módulo	da	velocidade	aumenta	uni-</p><p>formemente	com	o	decorrer	do	tempo.	O movimento é cha-</p><p>mado de acelerado	quando	o	módulo	da	velocidade	aumenta</p><p>uniformemente	 com	o	decorrer	do	 tempo.	Assim,	o	 sinal	da</p><p>velocidade	coincide	com	o	sinal	da	aceleração.</p><p>No	entanto,	o	movimento	variado	pode	ser	também	retardado.</p><p>O	 movimento	 é	 retardado	 quando	 o	 módulo	 da	 velocidade</p><p>diminui	uniformemente</p><p>com	o	decorrer	do	tempo.	Nesse	caso,</p><p>o	sinal	da	velocidade	não	coincide	com	o	sinal	da	aceleração.</p><p>1.6.1. Movimento Rectilíneo Uniformemente</p><p>Variado</p><p>Movimento	 rectilíneo	 uniformemente	 variado	 é	 aquele	 cuja</p><p>trajectória	é	uma	linha	recta	e	sua	aceleração	é	constante.</p><p>at =	k</p><p>a</p><p>v</p><p>t</p><p>=</p><p>�</p><p>�</p><p>onde	 Δt	=	t	–	t0												sendo					t0	=	0,</p><p>vem	 v	=	v0	+ a t	 	 	 	 	 (1.9)</p><p>43</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Função Horária do Espaço do Movimento</p><p>Uniformemente Variado</p><p>Analisemos	 o	 gráfico	 da	 velocidade	 de	 um	móvel	 em	movi-</p><p>mento	uniformemente	variado</p><p>V</p><p>V</p><p>A</p><p>V0</p><p>t(s)</p><p>base</p><p>menor</p><p>base</p><p>maior</p><p>0</p><p>(m/s)</p><p>A	área	 (A)	na	 figura	 representa,	 numericamente,	 o	 caminho</p><p>percorrido	pelo	móvel	durante	o	tempo t</p><p>A	=	Δ S 	 	 	 (1)</p><p>onde				Δ S 	 = 	 S – S 0</p><p>Δ S 	 = 	 S – S 0 	 	 		Espaço	inicial	do	móvel	(instante	zero)</p><p>S	=	Espaço	do	móvel	no	instante	genérico t</p><p>Por	outro	lado,	a	área	da	figura	(trapézio)	corresponde	a:</p><p>A	=	{(base maior + base menor)/2}. Altura ⇒ A=</p><p>+v v</p><p>t</p><p>0</p><p>2</p><p>.</p><p>(2)</p><p>comparando	(1)	e	(2)	vem:</p><p>(3)�S</p><p>t</p><p>t</p><p>v v</p><p>=</p><p>+</p><p>0</p><p>.</p><p>44</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Mas		v	=	v0	+	a t,		substituindo	esse	valor	em	(3),	vem:</p><p>�S</p><p>v at v</p><p>t</p><p>v t at at</p><p>=</p><p>+ +</p><p>=</p><p>+ +</p><p>0 0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>�S v t</p><p>at</p><p>= +</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>s s v t a t− = +</p><p>0 0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>(função horária do espaço para o MUV)</p><p>s s v t at= + +</p><p>0 0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>(1.10)</p><p>Equação de Torricelli</p><p>Existe	um	caso	particular	que	tem	servido	para	a	resolução	de	pro-</p><p>blemas	em	que	a	função	do	tempo	é	ignorada.	Trata-se	da	equa-</p><p>ção	de	Torricelli.	A	equação	de	Torricelli	relaciona	a	velocidade</p><p>com	o	espaço	percorrido	por	um	móvel.	Ela	é	obtida	eliminando	o</p><p>tempo	entre	as	equações	horária	e	das	velocidades	e	dos	espaços.</p><p>s s v t at= + +</p><p>0 0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>v	=	v0	+ a t</p><p>Isolando	o	tempo		t 	na	equação	(1.9)	obtemos:</p><p>t</p><p>v v</p><p>a</p><p>=</p><p>− 0</p><p>Substituindo	em	(1.10)	vem:</p><p>s s v</p><p>v v</p><p>a</p><p>a</p><p>v v</p><p>a</p><p>s s</p><p>v v v</p><p>a</p><p>a</p><p>v</p><p>= +</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>− =</p><p>−</p><p>+</p><p>0 0</p><p>0 0 2</p><p>0</p><p>0 0</p><p>2 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>( )</p><p>−− +</p><p>− =</p><p>−</p><p>+</p><p>− +</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>0 0</p><p>2 2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>v v v</p><p>a</p><p>s s</p><p>v v v</p><p>a</p><p>v v v</p><p>a</p><p>45</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Reduzindo	ao	mesmo	denominador	temos:</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>0 0 0</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>0</p><p>a s s</p><p>a</p><p>v v v v v v v v</p><p>a</p><p>a s s</p><p>( ) ( )</p><p>(</p><p>−</p><p>=</p><p>− + − +</p><p>− ))</p><p>( )</p><p>= − + − +</p><p>− = − +</p><p>=</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2 2</p><p>0 0</p><p>2</p><p>0 0</p><p>2 2</p><p>2</p><p>v v v v v v v</p><p>a s s v v</p><p>v vv a s s</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>2+ −( )</p><p>Mas						s–s0	=	Δs</p><p>Logo						v2	=	v02	+	2aΔs (2.10)</p><p>Equação	de	Torricelli</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Um	motorista	 de</p><p>um	 automóvel	 que	 se</p><p>desloca	 a	 10m/s	 viu	 o</p><p>sinal	vermelho	do	semá-</p><p>foro	e	 começou	a	 redu-</p><p>zir	 a	 velocidade,	 des-</p><p>locando-se	 com	 uma</p><p>aceleração	de	5	m/s2.</p><p>a)		Que	 distância	 per-</p><p>correu	 o	 automóvel</p><p>durante	 os	 três	 pri-</p><p>meiros	segundos?</p><p>b)		Que	 distância	 per-</p><p>correu	 o	 automóvel</p><p>até	imobilizar-se?</p><p>Dados</p><p>v0	=	10m / s</p><p>a	=	5m / s2</p><p>a)	 s =	?		para	 t	=	3s</p><p>b)		s =	?		para	 v	=	0</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>Como</p><p>s</p><p>v v</p><p>a</p><p>=</p><p>+2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>v s s m= → =</p><p>−</p><p>−</p><p>→ =0</p><p>0 100</p><p>2 5</p><p>10</p><p>.( )</p><p>s v t at= +</p><p>0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>s = × + −10 3</p><p>1</p><p>2</p><p>5 9.( ).</p><p>s s m= − → =30 22 5 7 5, ,</p><p>46</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P2 –	 Um	 ponto	mate-</p><p>rial	em	movimento	ad-</p><p>quire	 velocidade	 que</p><p>obedece	à	expressão</p><p>v =	10-2t</p><p>(t	em	s;	v	em	m/s)</p><p>Calcule:</p><p>a)		A	velocidade	inicial;</p><p>b)		A	aceleração;</p><p>c)		A	velocidade	no	ins-</p><p>tante	6s;</p><p>d)		O	 instante	 em	 que	 o</p><p>ponto	material	muda</p><p>de	sentido.</p><p>Resolução</p><p>A	equação	 v =	10–2t	 	é	do	1º	grau,	portanto	o	movimento	é</p><p>uniformemente	variado,	logo	por	comparação:</p><p>v =	10	–	2t</p><p>v = v0+at</p><p>a)		v0	=	10m/s</p><p>b)			a	=	2m/s2</p><p>c)		Quando		t =	6m/s</p><p>v	=	10	–	2t</p><p>v	=	10	–	2.6</p><p>v	=	10	–	12</p><p>v	=	2m/s			(tem	sentido	contrário	ao	positivo	da	trajectória)</p><p>d)			O	ponto	material	muda	de	sentido	quando		v	=	0</p><p>v	=	10	–	2t</p><p>0	=	10	–	2t → t =	5s</p><p>P1 –	Complete	a	tabela</p><p>Exercícios propostos</p><p>Equação	do</p><p>movimento</p><p>S	=	1	+	5t</p><p>S	=</p><p>S	=	2t2	+	t	+	1</p><p>Tipo	de</p><p>movimentoS0(m) V0(m/s) a	(m/s2) S	(t	=	2s)</p><p>3</p><p>2</p><p>2t</p><p>R:					1m;	5m/s;	0m/s2;</p><p>11m;	MRU</p><p>0m;	0	m/s;	3	m/s2;</p><p>6m;	MRUV</p><p>1m;	1m/s;	4	m/s2,</p><p>11m;	MRU</p><p>47</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>P2 –	Um	 automóvel	 iniciou	 um	movimento	 uniformemente</p><p>retardado	com	velocidade	de	12	m/s	e	percorreu	125	metros</p><p>durante	80	segundos.	Calcular:</p><p>a)	A	aceleração	do	movimento;</p><p>b)	A	velocidade	depois	de	30	segundos.</p><p>a)						R: 			0,26	m/s2</p><p>b)						R: 		4,2	m/s</p><p>Exercícios propostos</p><p>P3 –	Um	móvel	parte	do	repouso	com	movimento	de	acele-</p><p>ração	constante	e	 igual	a	5m/s2.	Determine	a	velocidade	e	a</p><p>distância	percorrida	pelo	móvel	no	fim	de	8	segundos.	 	R: 		40m/s	e	160m</p><p>Gráficos do movimento rectilíneo</p><p>uniformemente variado</p><p>Sendo	 a	 equação	 horária	 do	 movimento	 uniformemente</p><p>variado	do	2.º	grau,	o	diagrama	é	uma	parábola.</p><p>s(m)</p><p>1000</p><p>500</p><p>t(s)</p><p>0 10 20 30 40</p><p>Fig. 1.5 – Gráfico do espaço</p><p>48</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Pode-se	apresentar	nas	seguintes	formas:</p><p>•		A	recta	tangente	à	parábola,	no	ponto	em	que	ela	corta	o</p><p>eixo	dos	eixos	(t	=	0),	representa	geometricamente	a	velo-</p><p>cidade	inicial,	e	a	sua	inclinação	fornece	o	valor	de			com	o</p><p>seu	sinal.</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 A	 velocidade	 de</p><p>um	 automóvel	 varia</p><p>de	5	m/s	para	15	m/s</p><p>durante	 4	 segundos,</p><p>determine	 a	 acelera-</p><p>ção	com	que	se	move	o</p><p>automóvel.</p><p>Dados</p><p>v1	=	5m/s</p><p>v2	=	15m/s</p><p>t	=	4s</p><p>Resolução</p><p>⇒a</p><p>v v</p><p>t</p><p>a</p><p>m s m s</p><p>s</p><p>= =</p><p>−</p><p>2 1</p><p>15 5</p><p>4</p><p>– / /</p><p>�</p><p>a</p><p>v v</p><p>t</p><p>a</p><p>m s m s</p><p>s</p><p>= =</p><p>−</p><p>2 1</p><p>15 5</p><p>4</p><p>– / /</p><p>�</p><p>a =	2,5m	/ s2</p><p>a a</p><p>0 0t t</p><p>Fig. 1.6 – a) Gráfico da velocidade b) Gráficos da aceleração</p><p>a) b)</p><p>v(m/s)</p><p>50</p><p>40</p><p>30</p><p>20</p><p>10</p><p>0 10 20 30 40</p><p>t(s)</p><p>49</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>P2 –	Dado	o	gráfico	da	velocidade	de	um	ponto	material	em</p><p>função	 do	 tempo,	 que	 se	 desloca</p><p>numa	trajectória	rectilínea.</p><p>P1 –	Gráfico	representa	a	variação	da	velocidade	de	uma	partí-</p><p>cula	que	se	move	rectilineamente.</p><p>a)	Qual	é	a	velocidade	inicial	e	final	da	partícula.</p><p>b)	Qual	é	a	aceleração	da	partícula	no	instante	t	=	2	s.</p><p>c)	Qual	é	a	aceleração	da	partícula	no	instante	t	=	3	s.</p><p>d)	Como	se	chama	este	tipo	de	movimento</p><p>e)		Determine	o	deslocamento	da	partícula	entre	os	instan-</p><p>tes	t	=	0	s	e	t	=	4	s.</p><p>f)		Se	no	instante	inicial,	a	partícula	se	encontrava	em	X	=	3	m.</p><p>Qual	será	a	sua	posição	no	instante	t	=	4	s</p><p>a)	R: v0	=	10	m/s;	v = 30 m/s</p><p>b)	R: 	5	m/s2</p><p>c)	R: 	5	m/s2</p><p>d)	R: 	MRUA</p><p>e)	R: 	80m</p><p>f)	R: 	83m</p><p>Exercícios propostos</p><p>v(m/s)</p><p>t(s)</p><p>35</p><p>30</p><p>25</p><p>20</p><p>15</p><p>10</p><p>5</p><p>0</p><p>0 0.5 1 2 31.5 2.5 3.5</p><p>v(s/m)</p><p>t(s)0 2 5</p><p>6</p><p>4</p><p>50</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>P3 –	 O	 gráfico	 abaixo	 representa	 a	 velocidade	 de	 um	 ponto</p><p>material	em	função	do	tempo,	que	se	desloca	em	uma	trajectó-</p><p>ria	rectilínea.</p><p>Exercícios propostos</p><p>Calcule:</p><p>a)		As	velocidades	nos	instantes	1	s	e	5	s;</p><p>b)		O	espaço	percorrido	no	intervalo	de	0s	a	6	s;</p><p>c)	A	velocidade	média	no	intervalo	de	1	s	a	8	s;</p><p>d)	Construa	o	diagrama	a	=	f(t).</p><p>a)	R: 	4,5m/s		e		6m/s</p><p>b)	R: 	33m</p><p>c)	R: 	5,75m/s</p><p>d)	R:</p><p>a)	R: 	5m/s	e	2m/s</p><p>b)	R: 	19m</p><p>c)	R: 	3,8	m/s</p><p>d)	R:</p><p>Determine:</p><p>a)	As	velocidades	nos	instantes	1	s	e	4	s;</p><p>b)	O	espaço	percorrido	no	intervalo	de	0s	a	5s;</p><p>c)	A	velocidade	média	no	item	anterior;</p><p>d)	Construa	o	diagrama	a	=	f(t).</p><p>a(m/s2)</p><p>t(s)</p><p>5</p><p>2</p><p>1</p><p>-2</p><p>v(s/m)</p><p>t(s)</p><p>186420</p><p>3</p><p>6</p><p>a(m/s2)</p><p>t(s)18</p><p>-0,5</p><p>6</p><p>2</p><p>51</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>1.6.2. Queda de um Corpo</p><p>Queda	livre	é	o	movimento	que	consiste	na	queda	dos	corpos</p><p>desprezando	a	resistência	do	ar.</p><p>A	aceleração	da	gravidade	é	considerada	constante	e	repre-</p><p>senta-se	 pela</p><p>letra	 «g».	 Portanto	 o	 seu	 valor	 varia	 depen-</p><p>dendo	da	altitude	ou	da	latitude	em	que	se	realiza	a	medição.</p><p>Tendo	em	conta	o	nível	do	mar	e	uma	latitude	de	45°	o	seu</p><p>valor	aproximado	será				g	=	9,80665	 m</p><p>s2</p><p>Para	esse	caso	teremos	as	seguintes	equações	de	movimento:</p><p>Equação da velocidade</p><p>v = v0	+ at</p><p>v = v0	+ gt</p><p>Equação de Movimento</p><p>s s v t</p><p>a</p><p>t t= + +</p><p>0 0</p><p>2 2</p><p>2</p><p>s s v t</p><p>g</p><p>t= + +</p><p>0 0</p><p>2</p><p>2</p><p>Equação de Torricelli</p><p>v2	= v2</p><p>0	+ 2aΔs</p><p>v2	= v2</p><p>0	+ 2gΔs</p><p>Fig. 1.5 – Malenga deixa cair (aban-</p><p>dona) um corpo</p><p>52</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	Uma	pedra	foi	solta</p><p>do	 terraço	de	 um	edifí-</p><p>cio	de	180	m	de	altura.</p><p>Considerando</p><p>g	=	10	m/s2,	calcule:</p><p>a)		O	 tempo	 gasto	 pela</p><p>pedra	para	chegar	ao</p><p>chão.</p><p>b)		A	velocidade	da	pedra</p><p>ao	chegar	ao	chão.</p><p>Dados</p><p>h	=	180m</p><p>g	=	10m / s2</p><p>a)		t =	?</p><p>b)		v =	?</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>b)</p><p>⇒t t s= =36 6t t s= =36 6</p><p>t</p><p>m</p><p>m s</p><p>= =</p><p>2 180</p><p>10</p><p>360</p><p>10</p><p>2</p><p>.</p><p>/</p><p>Logo⇒h</p><p>gt</p><p>t</p><p>h</p><p>g</p><p>= =</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>h</p><p>gt</p><p>t</p><p>h</p><p>g</p><p>= =</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>⇒ ⇒v gh v v m s= = = =2 2 10 180 3600 60. . /v gh v v m s= = = =2 2 10 180 3600 60. . /v gh v v m s= = = =2 2 10 180 3600 60. . /</p><p>Exercícios propostos</p><p>R: 		4s</p><p>R: 		176	m		e		58,8	m/s</p><p>R: 		52	m/s</p><p>P1 –	Deixou-se	 cair	verticalmente	um	grave	do	 topo	de	uma</p><p>torre	de	90	metros	de	altura.	Calcular	a	duração	da	queda.</p><p>P2 –	 Que	 espaço	 percorreria	 em	 6	 segundos,	 um	 objecto</p><p>caindo	 livremente	 na	 vertical?	 Que	 velocidade	 teria	 ao	 fim</p><p>desse	tempo?</p><p>P3 –	Um	objecto	foi	lançado	verticalmente	de	cima	para	baixo,</p><p>tendo	 gasto	 4	 segundos	 a	 percorrer	 uma	 distância	 de	 200</p><p>metros.	Calcular	a	velocidade	inicial	com	que	foi	lançado.</p><p>53</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>1.6.3. Ascensão de um Corpo</p><p>Observa	 a	 figura	 acima.	 A	mesma	 representa	 o	 lançamento</p><p>vertical	para	cima	de	uma	bola	por	um	jovem.	Desprezando	a</p><p>resistência	do	ar	notamos	o	seguinte:</p><p>•		Ao	 subir	 a	 velocidade	 vai	 reduzindo	 até	 atingir	 a	 altura</p><p>máxima.</p><p>A	 velocidade	 escalar	 e	 a	 aceleração	 escalar	 devem	 ter</p><p>sinais	opostos.</p><p>Este	movimento	de	ascensão	é	um	movimento	uniforme-</p><p>mente	 retardado	 e	 pode	 ser	 comparado	 ao	 movimento</p><p>rectilíneo	 uniformemente	 variado	 estudado	 no	 capítulo</p><p>anterior.	 Para	 este	movimento	 a	 aceleração	 é	 negativa	 e</p><p>durante	 este	 movimento	 a	 velocidade	 aumenta	 9,8	 	 em</p><p>cada	1	segundo.</p><p>•		O	corpo	ao	atingir	a	altura	máxima,	a	sua	velocidade	é	igual</p><p>a	zero.</p><p>Segundo	a	análise	do	gráfico	substituindo	o	espaço	pela	altura</p><p>obtemos:</p><p>h h v t gt= + −</p><p>0 0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>(1.11)</p><p>v	=	v0	–	gt (1.12)</p><p>Utilizando	 a	 equação	 de	 Torricelli	 e	 tendo	 em	 conta	 que	 a</p><p>aceleração	é	negativa	vem:</p><p>v2	= v2</p><p>0	+ 2aΔh</p><p>Lançamento vertical</p><p>Fonte: Livro Didático Público/SEED</p><p>54</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Como						v	=	0						vem						0	=	v0	–	2g	(hmax	–	h2)</p><p>Se	a	velocidade	inicial	 for	V0	é	possível	determinar	a	altura</p><p>máxima	(Hmáx).</p><p>hmax	=</p><p>v</p><p>g</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>Trajectória orientada para cima,</p><p>portanto y = –g</p><p>Trajectória orientada para baixo,</p><p>portanto y = –g</p><p>y	=	+gy	=	–g</p><p>Propriedades do Lançamento Vertical</p><p>(Tempo de Subida e de Descida)</p><p>A	altura	máxima	atingida	pelo	corpo	será:	hmax	=</p><p>v</p><p>g</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>(1.13)</p><p>Tempo de subida:	é	o	tempo	gasto	pelo	corpo	desde	o	ponto	de</p><p>partida	até	atingir	a	altura	máxima.	Sabendo	que	t0	=	0		e		v0	≠	0,</p><p>no	ponto	mais	alto	da	trajectória	obtemos:</p><p>v	=	v0	+	at</p><p>Como				v	=	0</p><p>t</p><p>v</p><p>gs</p><p>= 0</p><p>(1.14)</p><p>onde</p><p>t</p><p>v</p><p>gs</p><p>= 0 		e		é	o	tempo	de	descida,	o	que	significa	que	o</p><p>tempo	de	subida	e	o	de	descida	que	o	corpo</p><p>leva	a	percorrer	é	igual.	Isto	é	:</p><p>ts = td</p><p>55</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Uma	 pedra	 lan-</p><p>çada	verticalmente	para</p><p>cima,	 alcança	 a	 altura</p><p>de	30	m.	Quanto	tempo</p><p>necessitará	 para	 alcan-</p><p>çar	essa	altura?</p><p>Dados</p><p>h	=	30m</p><p>t	=	?</p><p>Resolução</p><p>⇒t</p><p>h</p><p>g</p><p>t t s= = = =</p><p>2 2 30</p><p>10</p><p>6 2 49</p><p>.</p><p>; ,t</p><p>h</p><p>g</p><p>t t s= = = =</p><p>2 2 30</p><p>10</p><p>6 2 49</p><p>.</p><p>; ,</p><p>P1 –	Com	que	velocidade	deve	ser	lançada	uma	pedra	verti-</p><p>calmente	de	baixo	para	cima	para	que	atinja	a	altura	de	70	m?</p><p>Que	tempo	demora	a	subida?</p><p>P2 –	Lançou-se	verticalmente	uma	bola	que	atingiu	10	metros</p><p>de	altura.	Calcular:</p><p>a)	A	velocidade	inicial	com	que	a	bola	foi	lançada.</p><p>b)	O	tempo	que	a	bola	leva	a	regressar	ao	ponto	de	partida.</p><p>P3 –	Uma	pedra	foi	lançada	horizontalmente	do	topo	de	uma</p><p>torre	de	30	m	de	altura,	com	uma	velocidade	de	20	m/s.	Cal-</p><p>cular:</p><p>a)	O	tempo	que	demorou	a	queda.</p><p>b)	A	distancia	da	base	da	torre	ao	ponto	onde	caiu	a	pedra.</p><p>c)	A	velocidade	total	com	que	a	pedra	atingiu	o	solo.</p><p>R: 37	m/s		e	2	,7	s</p><p>a)	R: 	14	m/s2</p><p>a)	R: 	2,5	s</p><p>b)	R: 	2,8	s</p><p>b)	R: 	49	m</p><p>b)	R: 	31	m/s</p><p>Exercícios propostos</p><p>56</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>1.7. Movimento Circular</p><p>Em	 Engenharia	 e	 na	 natureza	 em	 geral	 aparece	 com	muita</p><p>frequência	movimentos,	cujas	trajectórias	são	curvilíneas.	As</p><p>trajectórias	dos	planetas	e	satélites	artificiais	no	espaço	cós-</p><p>mico,	as	 trajectórias	das	peças	das	máquinas	e	mecanismos,</p><p>são	curvilíneas.</p><p>Se	define	movimento	circular	como	aquele	cuja	 trajectória	é</p><p>uma	 circunferência.	 Uma	 vez	 situado	 a	 origem	CO	 de	 ângu-</p><p>los	descrevemos	o	movimento	circular	mediante	as	seguintes</p><p>grandezas.</p><p>Posição angular, θ</p><p>No	 instante	 t	 o	 móvel	 se	 encontra	 no	 ponto	 P.	 Sua	 posição</p><p>angular	é	dada	pelo	ângulo	θ,	que	faz	o	ponto	P	com	o	centro</p><p>da	circunferência	C	e	o	raio	CO.</p><p>O	ângulo	θ,	é	o	quociente	entre	o	comprimento	do	arco	s	e	o</p><p>raio	da	circunferência	r,</p><p>θ =</p><p>s</p><p>r</p><p>.	A	posição	angular	é	expressa</p><p>em	radianos.</p><p>Velocidade angular, ω</p><p>P</p><p>O</p><p>sr</p><p>C</p><p>0</p><p>P</p><p>P’</p><p>O</p><p>t</p><p>t’</p><p>0’</p><p>C</p><p>0</p><p>57</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>No	instante	t' o	móvel	se	encontrará	na	posição	P'	dada	pelo</p><p>ângulo	θ'.	O	móvel	deslocou-se	Δθ	=	θ'–θ	no	intervalo	de	tempo</p><p>Δt=t'–t	compreendido	entre	t	e	t'.</p><p>Se	denomina	velocidade	angular	ao	quociente	entre	o	desloca-</p><p>mento	angular	e	o	intervalo	de	tempo.</p><p>ω</p><p>θ</p><p>=</p><p>�</p><p>�t</p><p>(1.15)</p><p>A	 velocidade	 angular	 expressa-se	 em	 radianos	 por	 segundo</p><p>(rad/s).</p><p>Velocidade linear, v</p><p>A	velocidade	linear,	é	calculada	como	a	relação	entre	o	compri-</p><p>mento	do	arco	s	e	o	respectivo	intervalo	de	tempo.</p><p>v</p><p>s</p><p>t</p><p>=</p><p>(1.16)</p><p>A	velocidade	linear	é	expressa	em	metros	por	segundos	(ms–1).</p><p>Substituindo	na	fórmula	2.17	o	comprimento	do	arco,	obtém-se:</p><p>v</p><p>r</p><p>t</p><p>v r= =</p><p>θ</p><p>ω, ⇒	v</p><p>r</p><p>t</p><p>v r= =</p><p>θ</p><p>ω,</p><p>(1.17)</p><p>1.7.1. Movimento circular uniforme</p><p>Neste	tipo	de	movimento,	o	módulo	da	velocidade	é	constante,</p><p>mas	a	direcção	varia	constantemente.</p><p>s	=	s0	+	vt</p><p>sendo</p><p>s0	a	posição	da	partícula	no	instante	t	=	0s</p><p>Dividindo	ambos	os	membros	da	expressão	anterior	pelo	raio</p><p>da	trajectória,	obtém-se:</p><p>ϕ = ϕ</p><p>0</p><p>+ ωt (1.18)</p><p>sendo	ϕ</p><p>0</p><p>o	ângulo	ao	centro	no	instante		t =	0s	.</p><p>Esta	expressão	é	válida	para		s	<	2	π r.</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>v</p><p>Fig. 1.7 – Velocidade variável em</p><p>direcção</p><p>58</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Período e Frequência</p><p>No	movimento	circular	uniforme,	o	corpo	ao	se	deslocar	per-</p><p>corre	a	trajectória	repetidas	vezes,	por	isso	é	que	este	movi-</p><p>mento	também	é	considerado	de	periódico.</p><p>O	tempo	que	o	corpo	leva	a	dar	uma	volta	completa	chama-se</p><p>período	(T).</p><p>O	número	de	vezes	que	o	corpo	efectua	por	unidade	de	tempo</p><p>chama-se	Frequência	(ƒ)</p><p>f</p><p>n</p><p>t</p><p>=</p><p>�</p><p>,				(1.19)			onde	n	é	o	número	de	voltas	que	o	corpo	dá	e</p><p>Δt,	o	tempo	gasto	para	se	dar	aquelas	voltas.</p><p>Unidade da Frequência</p><p>No	Sistema	Internacional	a	Frequência	mede-se	pelo	inverso</p><p>do	segundo	o	que	equivale	a	um	Hz	(Hertz)</p><p>Convém	recordar	que	sendo	r	o	raio	da	trajectória	e	T	o	perí-</p><p>odo	do	movimento	(tempo	que	a	partícula	demora	a	descrever</p><p>uma	volta	completa),	podemos	escrever</p><p>v</p><p>r</p><p>T</p><p>r f= =</p><p>2 2π</p><p>π</p><p>e		como	a	frequência	do	movimento	é</p><p>f</p><p>T</p><p>Hz hertz=</p><p>1</p><p>( ) ( )</p><p>podemos	ainda	escrever</p><p>w =	2π f (1.20)</p><p>Aceleração Centrípeta (Normal)</p><p>A	 aceleração	 do	 movimento	 circular	 uniforme	 é	 centrípeta,</p><p>isto	é,	perpendicular	a	velocidade	do	movimento,	ao	longo	do</p><p>raio	em	direcção	ao	centro	da	circunferência	(trajectória).</p><p>a</p><p>v</p><p>rc</p><p>=</p><p>2</p><p>(1.21)</p><p>A	aceleração	centrípeta	pode	ser	igualmente	expressa	através</p><p>da	velocidade	angular.	Sabemos	que v =	ωr,	substituindo	v	na</p><p>fórmula	anterior,	obtemos:</p><p>ac =	ω2 r (1.22)Fig. 1.8 – Aceleração centrípeta</p><p>ac</p><p>ac</p><p>ac</p><p>ac</p><p>R</p><p>59</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>1.8. Movimento Circular Variado</p><p>Aceleração angular, α</p><p>Se	denomina	aceleração	angular	ao	quociente	entre	a	varia-</p><p>ção	de	velocidade	angular	e	o	intervalo	de	tempo	gasto	para</p><p>efectuar	esta	variação.	A	aceleração	angular,	que	é	responsá-</p><p>vel	pela	variação	da	velocidade	angular,	é	definida	pela	razão</p><p>entre	a	variação	da	velocidade	angular,	e	o	intervalo	de	tempo</p><p>gasto	para	efectuar	esta	variação.</p><p>α</p><p>ω</p><p>=</p><p>�</p><p>�t</p><p>Onde			Δω	=	ω –	ω0						e				Δt	=	t –	t0</p><p>α</p><p>ω ω</p><p>=</p><p>−</p><p>0</p><p>0</p><p>t t–</p><p>(1.23)</p><p>1.8.1. Movimento Circular Uniformemente</p><p>Variado</p><p>Um	movimento	 circular	 uniformemente	 acelerado	 é	 aquele</p><p>cuja	aceleração	α	é	constante.</p><p>As	 equações	do	movimento	 circular	uniformemente	 variado</p><p>por	 analogia	 têm	 a	mesma	 formulação	 que	 as	 equações	 do</p><p>movimento	rectilíneo	uniformemente	variado.</p><p>α	=	constante</p><p>ω	=	ω0	+	at</p><p>θ θ ω= + +</p><p>0 0</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>t at</p><p>(1.24)</p><p>Podemos	 afirmar,	 que	 o	 módulo	 da	 aceleração	 centrípeta</p><p>depende	da	velocidade	angular	do	corpo	e	do	raio	da	trajec-</p><p>tória.</p><p>60</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Uma	 partícula</p><p>efectua	1200	rpm	numa</p><p>circunferência	de	0,5	m</p><p>de	raio.	Determine:</p><p>a)		A	 velocidade	 angular</p><p>da	partícula.</p><p>b)		A	 velocidade	 linear</p><p>da	partícula.</p><p>Dados</p><p>f rpm</p><p>s</p><p>Hz= =1200</p><p>1200</p><p>60</p><p>20</p><p>r	=	0,5m</p><p>a)		ω =	?</p><p>b)		v =	?</p><p>Resolução</p><p>a)</p><p>ω =	2π f → ω	=	2π.20</p><p>ω =	40rad / s</p><p>b)</p><p>v =	ωr → v	=	40π.0,5</p><p>v =	20π m / s</p><p>Exercícios propostos</p><p>P1 –	Um	disco	tem	3,2	m	de	diâmetro	e	gira	com	velocidade</p><p>constante,	efectuando	120	voltas	por	minuto.	Calcular:</p><p>a)	A	velocidade	angular	do	disco.</p><p>b)	A	velocidade	linear	dos	pontos	da	periferia.</p><p>P2 –	Uma	partícula	 tem	movimento	 circular	uniforme	 com</p><p>velocidade	de	3	m/s.	o	raio	da	trajectória	é	de	1,2	m.	Calcular:</p><p>a)	A	velocidade	angular.</p><p>b)	A	aceleração	centrípeta.</p><p>P3 –	Que	velocidade	deve	 imprimir-se	a	uma	partícula	que</p><p>se	move	sobre	uma	 trajectória	circular	de	25	cm	de	diâme-</p><p>tro,	tenha	uma	aceleração	centrípeta	de	0,5	m/s2?	Qual	será	a</p><p>velocidade	angular	da	partícula?</p><p>a)	R: 	12,56	rad/s</p><p>a)	R: 	2,5	rad/s</p><p>b)	R: 	20	m/s</p><p>b)	R: 	7	m/s2</p><p>R: 	0,25	m/s	e	2	rad/s</p><p>61</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1 – Movimento de uma Partícula Material</p><p>P4 –	Duas	polias	de	raios	r1	=	0,05	m	e	r2	=	0,1	cm,	respectiva-</p><p>mente,	estão	ligadas	por	uma	correia.	O	período	de	rotação	da</p><p>polia	de	menor	raio	é	igual	a	0,5	s.	A	que	velocidade	se	desloca</p><p>a	correia?	Qual	é	o	período	de	rotação	da	segunda	polia.</p><p>P5 –	Uma	partícula	realiza	um	movimento	circular	uniforme</p><p>de	raio	5	m,	completando	uma	volta	em	cada	5	s.	Calcule	a	fre-</p><p>quência	e	a	velocidade	angular	do	movimento. R: 0,2	Hz	e	1,256	rad/s</p><p>R: 0,6	m/s	e	1s</p><p>Exercícios propostos</p><p>62</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Unidade 1i</p><p>interacções entre corPos</p><p>Na	unidade	anterior	estudamos	o	movimento	dos	corpos	mas,</p><p>não	nos	debruçamos	sobre	as	causas	que	originam	este	movi-</p><p>mento.	Nessa	unidade	vamos	estudar	o	movimento	dos	corpos</p><p>bem	como	as	suas	causas.</p><p>2.1. Força</p><p>A	palavra	força	é	conhecida	por	nós	desde	a	tenra	idade.	Ao	falar-</p><p>mos	da	força	interpretamos	de	formas	diferentes	independente-</p><p>mente	dos	efeitos	apresentados.</p><p>Um	corpo	pode	pôr-se	em	movimento	ou	variar	a	sua	velocidade</p><p>caso	o	empurrarmos.</p><p>No	exemplo	citado	o	corpo	põe-se	em	movimento,	muda	de	direc-</p><p>ção	ou	pára	sob	a	acção	de	outro	corpo.</p><p>A	 força	é	a	expressão	vectorial	e	completa	da	 interacção	entre</p><p>dois	corpos	físicos</p><p>Classificação das Forças</p><p>As	forças	podem	classificar-se	em:</p><p>1.		Forças	de	contacto	quando	as	superfícies	dos	corpos	intera-</p><p>gem.	Exemplo.</p><p>• Força de atrito,</p><p>• Força elástica,</p><p>• Força de tensão</p><p>2.	Forças	de	campo	quando	ocorrem	à	distância.	Exemplos</p><p>• Força nuclear (forte ou fraca),</p><p>• Força electromagnética,</p><p>• Força gravitacional.</p><p>Fig. 2.1 – Kibato chutando uma bola</p><p>63</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Fig. 2.2 – Bió equilibrando o seu peso</p><p>Fig. 2.2 – Equilíbrio dinâmico</p><p>Fig. 2.4 – Efeito de uma força</p><p>Equilíbrio de uma Partícula</p><p>Habitualmente	distinguimos	dois	tipos	de	equilíbrio:	Estático</p><p>e	dinâmico.</p><p>Equilíbrio estático:</p><p>observa-se	quando	a	velocidade	de	um	corpo	é	nula,	o	que</p><p>significa	que	o	corpo	está	em	repouso	em	relação	a	um</p><p>certo	referencial.</p><p>v	=	0					equilíbrio	estático</p><p>Equilíbrio dinâmico:</p><p>observa-se	quando	o	corpo	tem	velocidade	constante	no</p><p>decorrer	do	tempo.	O	que	significa	que	a	velocidade	não	é</p><p>nula	mas	sim	o	corpo	vai	animado	de	movimento	rectilí-</p><p>neo	e	uniforme	(MRU).</p><p>V	=	constante	≠	0	,	equilíbrio	dinâmico</p><p>Efeito de uma Força</p><p>Tal	como	já	vimos	não	observamos	a	força	mas	conhecemos	os</p><p>seus	efeitos.</p><p>Uma	força	quando	produz	apenas	deformação	estamos	em	pre-</p><p>sença	do	efeito	estático	da	força,	pois	não	se	observa	movimento.</p><p>No	caso	da	força	produzir	apenas	uma	aceleração	podemos	afir-</p><p>mar	que	estamos	em	presença	do	efeito	dinâmico.	Por	exemplo</p><p>quando	 empurramos	 um	móvel	 variamos	 a	 sua	 velocidade	 e</p><p>consequentemente	aplicamos	uma	força	sobre	ele.	Deixando	de</p><p>aplicar	a	força	automaticamente	cessa	a	aceleração.</p><p>Assim	a	força	é	a	causa	e	a	aceleração	é	o	efeito.</p><p>A	 força,	 é	 uma	 grandeza	 vectorial,	 pois	 para	 ser	 definida,	 é</p><p>necessário	ter	em	conta	a	direcção,	sentido	e	intensidade	ou</p><p>valor	numérico.	Tem	como	unidade	o	Newton,	no	SI,	e	repre-</p><p>senta-se	pela	letra	N.</p><p>Na	técnica	e	na	vida	quotidiana	empregam-se	outras	unidades</p><p>de	força,	o	Kilograma-força kgf.	e	o	Dine.	Onde	1kgf		=	9,8	N</p><p>e	1	dine	=	10.–5	N.</p><p>64</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>A	figura	ao	lado	representa	um	dinamómetro	que	é	o	instru-</p><p>mento	utilizado	para	medir	a	 intensidade	de	uma	força	pela</p><p>deformação	que	produz	num	corpo	elástico.</p><p>Este	instrumento	consiste	numa	mola	helicoidal	de	aço	envol-</p><p>vida	por	um	protector.	Na	extremidade	 livre	da	mola	há	um</p><p>ponteiro	que	se	desloca	ao	longo	de	uma	escala.</p><p>A	medida	de	uma	força	é	feita	por	comparação	da	deformação</p><p>por	essa	força	com	a	de	forças	padrões.</p><p>Força Resultante</p><p>Constatamos	 geralmente	 que	 sobre	 um	 corpo	 não	 actua	 só</p><p>uma	força,	mas	várias.</p><p>Observa	a	figura,	a	mesma	representa	forças	actu-</p><p>ando	simultaneamente	sobre	o	mesmo	corpo.</p><p>As	 forças	 têm	 direcções	 diferentes,	 mas	 a	 acção</p><p>resultante	é	apenas	efeito	para	um	único	fim.	Este</p><p>fenómeno	 ocorre	 como	 se	 o	 corpo	 tivesse	 uma</p><p>única	força.</p><p>A	 soma	de	 forças	que	acabam	por	produzir	um	efeito	único</p><p>denomina-se	força	resultante	ou	simplesmente	resultante.</p><p>FR	=	F1	±	F2	±	.	.	.	±	Fn (2.1)</p><p>Logo,	a	força	resultante	provoca	a	um	corpo	uma	acção	igual</p><p>a	 provocada	por	 várias	 forças	 que	 actuam	 simultaneamente</p><p>sobre	ele.</p><p>Fig. 2.5 – Equilíbrio dinâmico</p><p>Fig. 2.6 – Força resultante</p><p>F'1</p><p>Escala</p><p>7kgf</p><p>F'2</p><p>65</p><p>PARTE I – Mecânica</p><p>UNIDADE 1I – Interacções entre Corpos</p><p>Exercícios de aplicação</p><p>P1 –	 Considere	 um</p><p>corpo	de	massa	2kg	ini-</p><p>cialmente	 em	 repouso</p><p>sobre	o	qual	actua	hori-</p><p>zontal	de	5N.</p><p>a)		Represente	 todas	 as</p><p>forças	 que	 actuam</p><p>sobre	o	corpo.</p><p>b)		Calcule	 a	 aceleração</p><p>adquirida	pelo	corpo.</p><p>c)		Determine</p>