Métodos Determinísticos I

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<p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>EP7 � Métodos Determinísticos I</p><p>Aviso importante!</p><p>Antes de começarmos este EP, um aviso muito importante:</p><p>O primeiro bloco de questões da AP1 começará com o texto "Uma agência de viagem vendeu 112</p><p>pacotes.". Este texto está errado! Você deve considerar o texto correto "Uma agência de viagem ven-</p><p>deu pacotes para 112 clientes de um cruzeiro". Haverá uma errata na prova com a informação.</p><p>Algumas palavras...</p><p>Este EP contém questões de avaliações anteriores, mas não deve ser estudado como se fosse um</p><p>modelo de prova. Além das questões aqui contidas, é importante que você reveja todo o material de</p><p>estudo anterior, especialmente as Aulas, as questões da AD1 e os EPs.</p><p>Não se preocupe apenas em saber como fazer cada exercício. É importante que você saiba o que</p><p>está fazendo. É fundamental entender as regras de cada operação. É fundamental você entender a</p><p>linguagem da Matemática, estudando os EPs 1 a 4 (conjuntos e lógica), e os números, suas opera-</p><p>ções e propriedades, nos EPs 5 e 6.</p><p>Não deixe de tentar também resolver algumas questões de AP1s anteriores, disponíveis na Plataforma.</p><p>Exercício 1 (AP1 - 2016.2) Em uma cidade, são vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-</p><p>se que 12% da população compra ambas as marcas; que o percentual da população que compra</p><p>a marca A é o triplo do percentual que compra a marca B; e que apenas 16% da população não</p><p>compra A e nem B.</p><p>(a) Determine o percentual da população que compra apenas a marca A.</p><p>(b) Se a marca B lançar uma ofensiva publicitária e conseguir fazer com que um quinto das pessoas</p><p>que compram apenas a marca A passem a comprar a marca B, qual Será o aumento percentual</p><p>de clientela da marca B?</p><p>Exercício 2 (AP1 - 2018.1) Em uma cidade, o número de pessoas que não compram nas Lojas</p><p>Pedro é o dobro do número de pessoas que compram. Das pessoas que compram nas Lojas Pedro,</p><p>metade compra também nas Lojas Mateus. Sabe-se ainda que as duas lojas possuem o mesmo</p><p>número de clientes.</p><p>(a) Represente, por meio de um diagrama, a situação descrita, representando por P o conjunto de</p><p>quem compra nas Lojas Pedro e por M o conjunto de quem compra nas Lojas Mateus. Repre-</p><p>sente por x a quantidade de pessoas que compram nas Lojas Pedro e, a partir daí, complete</p><p>todas as partes do diagrama com a fração de x correspondente.</p><p>Métodos Determinísticos I EP7 2</p><p>(b) Que fração da população da cidade não compra nem nas Lojas Pedro e nem nas Lojas Mateus?</p><p>(c) Que fração da população da cidade compra nas duas lojas?</p><p>(d) Que fração da população da cidade compra apenas nas Lojas Pedro? E apenas nas Lojas Mateus?</p><p>Exercício 3 (AP1 - 2022.2 [adaptado]) Em uma pesquisa com 928 pessoas, têm-se as seguintes</p><p>informações:</p><p>(i) Todos os leitores de Arte da dança também são leitores de Ballet Contemporâneo.</p><p>(ii) Alguns leitores de Clássicos não leem Ballet Contemporâneo.</p><p>(iii) 300 leitores de Ballet Contemporâneo não leem Arte da dança. Destes 300, sabe-se que 100</p><p>também leem Clássicos.</p><p>(iv) Um terço dos leitores de Arte da Dança também lê Clássicos.</p><p>(v) Metade dos leitores de Clássicos também lê Ballet Contemporâneo.</p><p>(vi) Todas as pessoas participantes da pesquisa leem pelo menos uma das três revistas, Arte da</p><p>dança, Ballet Contemporâneo ou Clássicos.</p><p>A partir destas informações:</p><p>(a) Represente a situação por meio de um diagrama de Venn, denotando por A o conjunto dos</p><p>leitores de Arte da dança, por B o conjunto dos leitores de Ballet Contemporâneo e por C o</p><p>conjunto dos leitores de Clássicos. Denote também por x a quantidade de pessoas que leem</p><p>todas as três revistas. Justi�que.</p><p>(b) Preencha o diagrama de Venn da questão 1 com todos os valores numéricos que podem ser</p><p>concluídos a partir das informações dadas em (iii). Justi�que.</p><p>(c) Determine, em função de x a quantidade de pessoas que leem apenas Clássicos e a quantidade</p><p>de pessoas que lê Arte da dança mas não lê Clássicos. Justi�que.</p><p>(d) Quantas pessoas leem todas as três revistas? Justi�que.</p><p>Exercício 4 (AP3 - 2023.1 [Adaptado])</p><p>Uma pesquisa sobre usuários do site de reclamações Queixe Lá que haviam reclamado de companhias</p><p>aéreas, veri�cou-se que:</p><p>(i) Todos os usuários pesquisados reclamaram de pelo menos uma das empresas Amarelo, Ponto</p><p>ou TALAM.</p><p>(ii) Todos os usuários que reclamaram da TALAM também reclamaram da Ponto.</p><p>(iii) Dois terços dos usuários que reclamaram da TALAM também reclamaram da Amarelo.</p><p>(iv) 200 usuários reclamaram apenas da Ponto.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP7 3</p><p>(v) 100 usuários reclamaram apenas da Amarelo.</p><p>(vi) 80 usuários reclamaram tanto da Amarelo quanto da Ponto, mas não reclamaram da TALAM.</p><p>(a) Represente a situação por meio de um diagrama de Venn, denotando por A o conjunto</p><p>dos usuários com reclamações sobre a Amarelo, por P o conjunto dos usuários com reclamações</p><p>sobre a Ponto e por T o conjunto dos usuários com reclamações da TALAM. Denote também</p><p>por 2x a quantidade de usuários com reclamações sobre as três companhias. Justi�que.</p><p>(b) Preencha todas as regiões do diagrama de Venn da questão 1 com todas as quantidades</p><p>de usuários, de acordo com as informações dadas. Algumas destas quantidades estarão em</p><p>função de x. Justi�que.</p><p>(c) Com as informações das questões anteriores, e sabendo que metade dos usuários que</p><p>reclamaram da Ponto também reclamaram da Amarelo, determine x. Justi�que.</p><p>(d) Com as informações das questões anteriores, inclusive a informação dada na questão 3,</p><p>determine o total de usuários considerados na pesquisa. Justi�que.</p><p>Exercício 5 (AP3 - 2023.2 [Adaptado]) Um total de 154 pessoas compraram algum tipo de produto</p><p>hoje no formidável Café da Tia, que vende alfajor de doce de leite, bolo de nozes e (obviamente)</p><p>café.</p><p>(i) 10 pessoas compraram os três tipos de produto.</p><p>(ii) Todos os que compraram café, ou compraram apenas café ou compraram os três tipos de</p><p>produto.</p><p>(iii) Metade dos que compraram bolo de nozes, também comprou alfajor de doce de leite.</p><p>(iv) O número de pessoas que compraram somente café é o dobro do número de pessoas que</p><p>comprou somente bolo de nozes e o triplo do número de pessoas que comprou somente alfajor</p><p>de doce de leite.</p><p>Para ajudar na resolução, uma dica é utili-</p><p>zar o diagrama de Venn ao lado (copiando</p><p>para sua folha de respostas, já que esta folha</p><p>de questões não será digitalizada e corrigida).</p><p>No diagrama, A é o conjunto das pessoas que</p><p>compraram alfajores de doce de leite, B é o</p><p>conjunto de quem comprou bolo de nozes, e</p><p>C o conjunto de quem comprou café. Note</p><p>que algumas das regiões representadas podem</p><p>ser vazias, isto é, ter 0 elementos.</p><p>(a) Quantas pessoas compraram café e bolo de nozes, mas não compraram alfajores de doce</p><p>de leite? E quantas compraram café e alfajor de doce de leite, mas não compraram</p><p>bolo de nozes? Justi�que.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP7 4</p><p>(b) Se chamarmos de x o número de pessoas que compraram somente bolo de nozes, qual é o</p><p>número de pessoas, em função de x, que compraram bolo de nozes e alfajores de doce</p><p>de leite, mas não compraram café? Justi�que.</p><p>(c) Com a notação da questão 2, quantas pessoas, em função de x, compraram somente café e</p><p>quantas compraram somente alfajores de doce de leite?</p><p>(d) Quantas pessoas compraram somente bolo de nozes?</p><p>Exercício 6 (AP1 - 2018.1) Um comerciante adquire, do fabricante, um produto ao preço de</p><p>R$120,00. Este comerciante sabe que, ao vender o produto para o consumidor, há a incidência</p><p>de um imposto total de 40%, calculado sobre o preço de venda, isto é, aquele que o consumidor paga</p><p>pelo produto. Apenas o restante, após descontar o imposto, �ca para o comerciante.</p><p>Nos itens de a a c, despreze qualquer outra despesa que não seja o preço de aquisição do</p><p>produto pelo comerciante no fabricante e o recolhimento de impostos. Observe que, no</p><p>item d, aparecerá uma nova despesa que deverá ser levada em conta.</p><p>(a) Qual o preço de venda mínimo Vm pelo</p><p>o produto deve ser vendido para que o comerciante não</p><p>tenha prejuízo com a venda deste produto? (apresente os cálculos, não apenas o valor �nal de</p><p>Vm)</p><p>(b) Dê a expressão do lucro L obtido com a venda do produto. Utilize na expressão apenas o preço</p><p>de venda V e as despesas anteriormente mencionadas.</p><p>(c) Se o comerciante desejar obter um lucro de 30% sobre o valor de aquisição do produto, qual</p><p>deverá ser o preço de venda V ?</p><p>(d) Além do valor recolhido na forma de impostos e o custo de aquisição, o comerciante ainda estima</p><p>que a venda deste produto demanda uma despesa �xa de R$8.000,00 (logística, vendedor, espaço</p><p>na loja, etc.), independentemente da quantidade de produtos vendidos. Na média, são vendidos</p><p>200 produtos como este por mês. Por quanto cada unidade do produto deve ser vendida para</p><p>que o vendedor apure um lucro mínimo de R$4.000,00.</p><p>Exercício 7 (AP3 - 2017.2)</p><p>(a) Diminuir um preço em 20% signi�ca multiplicá-lo por qual número</p><p>racional? Justi�que.</p><p>(b) Aumentar um preço em 20% signi�ca multiplicá-lo por qual número</p><p>racional? Justi�que.</p><p>Uma loja adotará uma política de preços inovadora. No primeiro dia, seus produtos estarão com</p><p>preço 20% inferior ao que tinham no dia anterior a esta nova política de preços. No segundo</p><p>dia, os preços serão aumentados de 20%, em relação ao preço que tinham no primeiro dia. No</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP7 5</p><p>terceiro dia, os preços diminuirão em 20% em relação ao segundo dia. No quarto dia, aumen-</p><p>tarão em 20% em relação ao terceiro dia. Os preços continuam desta forma nos dias seguintes;</p><p>em um dia diminuem 20% em relação ao anterior e, no dia seguinte, sobem 20% sobre o novo</p><p>preço.</p><p>Se um produto era vendido por P reais antes da nova política de preços, por quanto será vendido</p><p>no décimo terceiro dia?</p><p>Dê a resposta como uma expressão envolvendo apenas a incógnita P e frações e/ou</p><p>números decimais, suas potências ou produtos.</p><p>Exercício 8 (AP1 - 2018.2) Um comerciante adquire um produto, junto ao fornecedor, por 300</p><p>euros. Ao vender o produto, o comerciante deverá recolher, como impostos, o equivalente a 20% do</p><p>valor agragado, isto é, da diferença V − C entre o preço de venda V e o de compra C.</p><p>(a) Dê o valor do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja de 500 euros.</p><p>(b) Dê a expressão do imposto que deve ser recolhido, caso o preço de venda seja dado, em euros,</p><p>por V .</p><p>(c) Se o comerciante desejar obter um lucro de 60 euros na venda (considerando apenas o preço de</p><p>venda, o de custo e o recolhimento dos impostos), por quanto deverá vender o produto?</p><p>Exercício 9 (AP1 - 2012.2 [adaptado]) Nos itens abaixo, represente por C o preço que um co-</p><p>merciante pagou por um produto que irá vender e determine os preços pedidos em função de</p><p>C.</p><p>(a) Determine o preço de venda do produto para que o lucro seja de 10% do preço de compra.</p><p>Justi�que.</p><p>(b) Determine o preço de venda do produto para que o lucro seja de 10% do preço de venda.</p><p>Justi�que.</p><p>(c) Determine o preço de venda do produto para que o lucro, após o desconto de um imposto</p><p>equivalente a 20% do preço de venda, seja de 20% do preço de compra. Justi�que.</p><p>Exercício 10 (AP1 - 2022.2) Racionalize e simpli�que o número A =</p><p>√</p><p>18√</p><p>(−2)2 −</p><p>√</p><p>7</p><p>. Apre-</p><p>sente todos os cálculos necessários.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP7 6</p><p>Exercício 11 (AP1 - 2023.1) Racionalize e simpli�que ao máximo o número A =</p><p>2 +</p><p>√</p><p>3</p><p>2−</p><p>√</p><p>3</p><p>.</p><p>Apresente todos os cálculos e justi�cativas necessários.</p><p>Exercício 12 (AP1 - 2016.2) Determine, na forma de intervalo ou de uma união �nita de intervalos,</p><p>os números reais que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.</p><p>2(x− 1)2 − (x− 2)</p><p>(</p><p>2x− 1</p><p>2</p><p>)</p><p>> (2x− 1)(2x+ 1)</p><p>Exercício 13 (AP1 - 2023.1 [adaptado]) Sobre três proposições p, q e r, sabe-se que:</p><p>(i) Se p então q.</p><p>(ii) Se r então não q.</p><p>(iii) Se não p então q e r</p><p>Responda:</p><p>(a) Se p for verdadeiro, o que pode ser concluído sobre q e r? Justi�que.</p><p>(b) É possível que p seja falso? Justi�que.</p><p>(c) O que pode ser concluído sobre p, q e r serem verdadeiros ou falsos? Justi�que.</p><p>Exercício 14 (AP1 - 2015.2) Considere as proposições:</p><p>A: �Ana está na escola.�</p><p>B: �Se João está no cinema, então Maria está na loja.�</p><p>Sabendo que a proposição P: �A ou B� é falsa, pode-se a�rmar que:</p><p>(i) Ana não está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja.</p><p>(ii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria está na loja.</p><p>(iii) Ana não está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja.</p><p>(iv) Ana está na escola, João não está no cinema, Maria não está na loja.</p><p>(v) Ana está na escola, João está no cinema, Maria não está na loja.</p><p>Exercício 15 (AP1 - 2018.2) Um empresa aceita pagamentos em cheque, boletos bancários de</p><p>diversos bancos e cartão de crédito. Avaliando os pagamento feitos pelos clientes e recebidos pela</p><p>empresa, o diretor percebeu, hoje, que:</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP7 7</p><p>(i) Se um pagamento foi feito com cheque, então o pagamento foi recebido.</p><p>(ii) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto era do Banco iTatu, então o pagamento não</p><p>foi recebido.</p><p>(iii) Se um pagamento foi com cartão de crédito e o pagamento foi feito semana passada, então ele</p><p>não foi recebido.</p><p>Responda aos itens a seguir:</p><p>(a) Diga se é possível concluir ou se não é possível concluir cada uma das a�rmações abaixo,</p><p>baseando-se apenas nas a�rmações acima. Não é necessário justi�car, mas cada resposta</p><p>incorreta invalidará uma correta (portanto, não chute!).</p><p>(1) Todo pagamento feito com cheque foi recebido.</p><p>(2) Se um pagamento foi recebido e foi feito com boleto, então este pagamento não é do Banco</p><p>iTatu.</p><p>(3) Se um pagamento foi feito com boleto e o boleto não era do Banco iTatu, então ele foi</p><p>recebido.</p><p>(4) Se um pagamento foi recebido, então ele foi feito com cheque.</p><p>(5) Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento foi recebido, então ele não foi feito</p><p>semana passada.</p><p>(6) Se um pagamento foi feito com cartão e este pagamento não foi recebido, então ele foi feito</p><p>semana passada.</p><p>(b) Se foram recebidos 25 pagamentos, quantos pagamentos, no máximo, foram feitos com cheque?</p><p>Se foram feitos 10 pagamentos com boleto, mas apenas 5 foram recebidos, pode-se dizer que 5</p><p>boletos eram do Banco iTatu? Em caso negativo, o que se pode garantir?</p><p>Justi�que como chegou à conclusão.</p><p>Exercício 16 (AP3 - 2017.2) Considere as seguintes a�rmações:</p><p>(1) Se Pedro joga bola ou Mateus brinca de pique, então Bernardo pula corda.</p><p>(2) Julieta desenha se e só se Ana sobe em uma árvore.</p><p>(3) Se Mateus brinca de pique, então Ana sobe em uma árvore.</p><p>(4) Para que Bernardo pule corda, basta que Mateus brinque de pique ou que Velentina coma um</p><p>lanchinho.</p><p>(5) Mas Julieta não desenha e Pedro joga bola.</p><p>Agora responda aos itens a seguir.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determinísticos I EP7 8</p><p>(a) Considere as proposições elementares p: Pedro joga bola, m: Mateus brinca de pique, b:</p><p>Bernardo pula corda, j: Julieta desenha, a: Ana sobe em uma árvore e v: Velentina come um</p><p>lanchinho. Reescreva as a�rmações (1) a (5) com as letras atribuídas às proposições e com os</p><p>símbolos da Lógica (implicação, equivalência e conectivos).</p><p>(b) Considerando que sejam verdadeiras as a�rmações (1) a (5), decida se cada uma das proposições</p><p>elementares abaixo é verdadeira ou falsa. E necessário que você apresente o raciocínio que usou</p><p>para deduzir sua conclusão a partir dos dados.</p><p>a: Ana sobe em uma árvore.</p><p>b: Bernardo pula corda.</p><p>m: Mateus brinca de pique.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p>