Fenômenos Químicos e Físicos

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<p>SENAI SÉRIE CONSTRUÇÃO CIVIL TOPOGRAFIA</p><p>SENAI Iniciativa da CNI - Confederação Nacional da Indústria SÉRIE CONSTRUÇÃO CIVIL TOPOGRAFIA</p><p>CONFEDERAÇÃO NACIONAL DA INDÚSTRIA - CNI Robson Braga de Andrade Presidente DIRETORIA DE EDUCAÇÃO E TECNOLOGIA - DIRET Rafael Esmeraldo Lucchesi Ramacciotti Diretor de Educação e Tecnologia SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL - SENAI Conselho Nacional Robson Braga de Andrade Presidente SENAI - Departamento Nacional Rafael Esmeraldo Lucchesi Ramacciotti Diretor Geral Gustavo Leal Sales Filho Diretor de Operações</p><p>SENAI Iniciativa da CNI - Confederação Nacional da Indústria SÉRIE CONSTRUÇÃO CIVIL TOPOGRAFIA</p><p>2012. SENAI - Departamento Nacional 2012. SENAI - Departamento Regional da Bahia A reprodução total ou parcial desta publicação por quaisquer meios, seja eletrônico, me- cânico, fotocópia, de gravação ou outros, somente será permitida com prévia autorização, por escrito, do Esta publicação foi elaborada pelo Núcleo de Educação a Distância do SENAI Bahia, com a coordenação do SENAI Departamento Nacional, para ser utilizada por todos os Departa- mentos Regionais do SENAI nos cursos presenciais e a distância. SENAI Departamento Nacional Unidade de Educação Profissional e Tecnológica - UNIEP SENAI Departamento Regional da Bahia Núcleo de Educação a Distância - NEAD FICHA CATALOGRÁFICA S491T Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Nacional. Topografia / Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Nacional, Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Regional da Bahia. - Brasília : SENAI/DN, 144 p. il. (Série Construção Civil). ISBN 978-85-7519-546-8 1. Topografia. 2. Edificações. 3. Construção Civil. I. Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Regional da Bahia II. Título III. CDU: 528.425 SENAI Sede Serviço Nacional de Setor Bancário Norte Quadra 1 . Bloco C . Edifício Roberto Aprendizagem Industrial Simonsen 70040-903 Brasília - DF Tel.: (061) 3317-9001 Departamento Nacional Fax: (061) 3317-9190 . http://www.senai.br</p><p>Lista de ilustrações Figura 1 Representação da unidade de medida jarda 21 Figura 2 - Transformação das unidades de medida do comprimento 22 Figura 3 Transformação das unidades de medida de área 23 Figura 4 - Transformação das unidades de medida de volume 24 Figura 5 - Semirreta 25 Figura 6 - Elementos de um ângulo 26 Figura 7 - Diedro, triedro, ângulo esférico 27 Figura 8 - agudo, reto e obtuso 28 Figura 9 - complementar 28 Figura 10 - Ângulo suplementar 28 Figura 11 - adjacente 29 Figura 12 - Ângulos opostos pelo vértice (B = a) 29 Figura 13 Representação do radiano 30 Figura 14 - Representação gráfica das unidades de medidas angulares 31 Figura 15 Torre de Pisa 32 Figura 16 - Representação dos triângulos semelhantes 33 Figura 17 - Triângulo retângulo 36 Figura 18 - Representação do triângulo retângulo 38 Figura 19 Representação do triângulo retângulo para cálculo do seno, cosseno e tangente 39 Figura 20 - Representação das relações trigonométricas 39 Figura 21 - Representação da aplicação da lei do seno 40 Figura 22 - Representação do teorema de Tales 40 Figura 23 - Trena e teodolito 49 Figura 24 - Estação total 50 Figura 25 - Elipsóide de revolução 51 Figura 26 - Latitude e meridianos de longitude 51 Figura 27 - Projeção cilíndrica 52 Figura 28 - Projeção cônica 52 Figura 29 - Projeção plana ou azimutal 53 Figura 30 - Altimetria 55 Figura 31 - Cota e altitude 56 Figura 32 - Mangueira de nível e 58 Figura 33 - Nível de mão 58 Figura 34 - Nivelamento simples e nivelamento composto 59 Figura 35 - Nível ótico mecânico 60 Figura 36 - Nível ótico automático 61 Figura 37 - Nível digital 61 Figura 38 - Representação dos eixos do nível 62 Figura 39 - Convenção utilizada em mira para a indicação do metro 63 Figura 40 - Modelo de leitura em mira 64</p><p>Figura 41 - Método de visada em alinhamento igual em nivelamento geométrico 65 Figura 42 - Método de visada sem alinhamento igual em nivelamento geométrico 66 Figura 43 Método de visada em nivelamento geométrico 66 Figura 44 Representação do lance 67 Figura 45 - Representação da seção 67 Figura 46 Rede de nivelamento 68 Figura 47 Representação do método de visadas extremas 68 Figura 48 - Representação do método de visadas equidistantes 69 Figura 49 Representação do método de visadas recíprocas 70 Figura 50 - Representação do nivelamento trigonométrico para lances curtos 71 Figura 51 - Teodolitos e estações totais 73 Figura 52 - Pintura rupestre 74 Figura 53 Perfil topográfico com linha de greide 75 Figura 54 Perfil topográfico 76 Figura 55 - Perfil topográfico 78 Figura 56 Balizas 80 Figura 57 - Bússola 81 Figura 58 82 Figura 59 - Poligonais fechadas 83 Figura 60 - Poligonais abertas 84 Figura 61 - Linhas de longitude/latitude - norte verdadeiro 85 Figura 62 - Norte geográfico, norte magnético, declinação magnética 86 Figura 63 - Poligonal fechada com seus ângulos internos 86 Figura 64 - Poligonal fechada com os seus ângulos externos 87 Figura 65 - Poligonal aberta com os seus azimutes 87 Figura 66 Rumo em uma poligonal 88 Figura 67 - Azimutes e rumos 88 Figura 68 Deflexões 89 Figura 69 - Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas 93 Figura 70 - Representação dos pontos nos sistema de coordenadas cartesianas 93 Figura 71 - Representação da projeção da distância D em X (AX) e em Y (AY) em plano cartesiano94 Figura 72 - Representação de uma poligonal e suas respectivas projeções 95 Figura 73 - Levantamento de uma poligonal 96 Figura 74 - Poligonal fechada 97 Figura 75 Poligonal enquadrada 97 Figura 76 - Poligonal aberta 98 Figura 77 - Dois pontos com coordenadas conhecidas e vinculadas ao SGB comuns à poligonal 98 Figura 78 - externos e internos de uma poligonal fechada 99 Figura 79 - de deflexão de uma poligonal fechada (sentido horário e anti-horário) 99 Figura 80 Estações ré e vante 100 Figura 81 - Representação da medida do ângulo horizontal 100 Figura 82 Desenho topográfico de um loteamento 101</p><p>Figura 83 - Relevo da superfície 106 Figura 84 - Pontos cotados 107 Figura 85 - Interpolação de pontos cotados 107 Figura 86 - Representação da curva de nível 108 Figura 87 - Curvas mestras e secundárias 110 Figura 88 - Interpolação 111 Figura 89 - Representação dos modelos terrestres 112 Figura 90 Zênite 113 Figura 91 - Nadir e Zênite 113 Figura 92 - Representação do cume, vales e encostas 114 Figura 93 Garganta 115 Figura 94 - Planície 116 Figura 95 Cordilheira dos Andes 116 Figura 96 Depressões 117 Figura 97 Planalto 117 Figura 98 - Convenções topográficas 126 Figura 99 - Diferentes representações de uma área 126 Figura 100 - Representação das layers 127 Figura 101 - MED: 129 Figura 102 - Estação total 130 Quadro 1 - Principais unidades SI 19 Quadro 2 - Algumas unidades em uso com o SI, sem restrição de prazo 19 Quadro 3 - Prefixos das unidades SI 20 Quadro 4 - Unidades de medidas de comprimentos 22 Quadro 5 - Demonstração de transformação de unidade de medida 23 Quadro 6 - Unidades de medidas de área 23 Quadro 7 - Demonstração de transformação de unidade de medida 24 Quadro 8 - Unidades de medidas de volume 24 Quadro 9 - Representação dos polígonos regulares 26 Quadro 10 - Conversão das unidades de medidas angulares 31 Quadro 11 - Fórmulas para calcular os cossenos dos ângulos 40 Quadro 12 Fórmulas para calcular as áreas das figuras planas 42 Quadro 13 - Fórmulas para calcular os volumes das figuras 43 Quadro 14 - Classificação dos níveis 62 Quadro 15 - Quadro caderneta de campo 82 Quadro 16 - Dados de uma poligonal 90 Quadro 17 - Principais escalas e suas aplicações 105 Quadro 18 - Representação das distâncias nas escalas 109</p><p>Sumário 1 Introdução 13 2 Matemática aplicada 17 2.1 Unidades de medidas 18 2.1.1 Sistema internacional de unidades 18 2.1.2 Unidades de medidas inglesas 20 2.1.3 Transformações das unidades de medida 21 2.2 25 2.3 Semelhanças de triângulos 33 2.4 Razão e proporção 34 2.5 Regra de três 35 2.6 Teorema de Pitágoras 36 2.7 Relações trigonométricas 38 2.7.1 Leis dos senos e leis dos cossenos e tangentes 38 2.7.2 Teorema de Tales 40 2.8 Cálculo de área, volume e perímetro 41 3 Topografia: altimetria e planimetria 47 3.1 Fundamentos da topografia 48 3.2 Altimetria 55 3.3 Métodos de nivelamento 57 3.4 Perfis 74 3.5 Planimetria 78 4 Topografia: topologia 105 4.1 Topologia: conceituação e generalidades 105 4.2 Representação do relevo 106 4.3 Planos cotados 107 4.4 Curvas de nível 108 4.5 Formas gerais do modelado topográfico 112 4.6 Formas simples ou fundamentais 114 4.7 Formas compostas 115 4.8 Nomenclaturas das formas do terreno 115 4.9 Emprego da planta topográfica 118 4.10 Locação de obras 119 4.11 Desenho e interpretação de plantas topográficas 119</p><p>5 Topografia: aplicativos computacionais 123 5.1 Evolução tecnológica 124 5.2 Utilização de aplicativos computacionais 124 Referências Minicurrículos dos autores Índice</p><p>Introdução 1 Prezado (a) aluno (a) É com grande satisfação que Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial (SENAI) pro- move o Curso Técnico em Edificações. A unidade curricular Topografia tem como objetivo geral promover o desenvolvimento das competências para a interpretação de mapas, projetos e perfis topográficos, para aplicação de métodos de nivelamento, como também para reconhecer os diferentes métodos e instru- mentos de levantamento topográfico, tão necessários ao desenvolvimento das competências específicas para formação do Técnico em Edificações. A topografia é muito utilizada na construção civil seja em obras de edificações, de estradas, barragens, cortes e aterros, bem como nas engenharias de eletricidade, de minas, sanitária e urbanismo, mecânica e geologia. Nos próximos capítulos que se seguem serão explanados os fundamentos da matemática como as unidades de medidas, ângulos, semelhança de triângu- los, razão e proporção, regra de três, Teorema de Pitágoras, relações trigonométricas, cálculo de área, volume e perímetro. Já a partir do capítulo 3 estaremos tratando diretamente da topografia onde abordaremos os fundamentos da topografia, altimetria, métodos de nivelamento, perfis: tipos, traçado, plani- metria, topologia, representação do relevo, planos cotados, curvas de nível: traçado (métodos gráficos e analíticos), propriedades, formas gerais do modelado topográfico, formas simples ou fundamentais e compostas, nomenclatura das formas do terreno, emprego da planta Topo- gráfica. Durante nosso estudo abordaremos assuntos que lhe permitirão desenvolver as seguintes capacidades: CAPACIDADES SOCIAIS, ORGANIZATIVAS E METODOLÓGICAS a) Planejar e organizar próprio trabalho; b) Atuar de forma ética; c) Aplicar princípios de qualidade, saúde, segurança do trabalho e ambientais; d) Avaliar o trabalho realizado, na perspectiva de melhoria contínua; e) Aplicar técnicas de comunicação oral e escrita.</p><p>14 TOPOGRAFIA CAPACIDADES TÉCNICAS a) Realizar cálculos matemáticos: 1. Realizar operações com números inteiros, fracionários e decimais; 2. Realizar cálculos de porcentagem, proporção e regra de três; 3. Aplicar conceitos de Trigonometria; 4. Aplicar conceitos de geometria plana e espacial; 5. Calcular perímetro área e volume; 6. Converter unidades de medida. b) Interpretar plantas topográficas; c) Realizar levantamentos topográficos. Lembre-se de que você é o principal responsável por sua formação e isto inclui ações proativas como: a) Consultar seu professor/tutor sempre que tiver dúvida; b) Não deixar as dúvidas para depois; c) Estabelecer e cumprir um cronograma de estudo realista; d) Separar um tempo para descansar. Sucesso e bons estudos!</p><p>Matemática aplicada 2 A matemática está presente em nossa vida há muito tempo e influencia, através de seus conceitos, leis e propriedades, diversas outras ciências que nela se apoiam a partir dos seus conhecimentos. A topografia, por exemplo, tem forte influência da matemática, podendo afir- mar que sem ela não conseguiríamos realizar os diversos cálculos topográficos. Foi por volta dos séculos IX e VIII a.C (Antes de Cristo) que SAIBA a matemática dava os seus primeiros passos na Babilônia. MAIS Saiba mais, pesquise em livros didáticos, na internet como surgiu a matemática. Vamos, então, conhecer um pouco do universo da matemática que será utilizada na topo- grafia e em nossa vida profissional.</p><p>18 TOPOGRAFIA 2.1 UNIDADES DE MEDIDAS É uma quantidade de determinada grandeza física, tomada como referência ou comparação, para indicar com precisão outras medidas. Você já percebeu que dispomos de medidas padrão à nossa disposição? Se quisermos medir uma distância, podemos usar o metro; se queremos ava- liar o peso da carne, por exemplo, temos o quilo como referência; e se precisamos controlar tempo gasto para fazer uma atividade, podemos tomar como base a hora. Mas nem sempre foi assim. Até o século XVI não existia um sistema uniforme de medidas. Cada região usava o seu próprio modelo de medidas, sem padrão e sem precisão, baseadas, por exemplo, em partes do corpo humano como: pole- gada, palmo, pé, braço, dentre outros. Pode-se imaginar a grande confusão e desentendimento que isto gerava. A humanidade crescia em população assim como os seus anseios por um sis- tema de medição que melhorasse as condições de trabalho, de comércio e que facilitasse o relacionamento entre as pessoas. Em 1799, foi criado, na França, o Sistema Métrico Decimal, adotando, inicial- mente, três unidades básicas de medida: o metro, quilograma e o segundo. Finalmente, em 1960, é instituído Sistema Internacional de Unidades (SI), ado- tado pelo Brasil em 1962, sendo ratificado pela Resolução n° 12 (BRASIL, 1988) do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (CON- METRO), tornando seu uso de caráter obrigatório em todo o território nacional. 2.1.1 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES o conjunto de informações sobre unidades de medidas convencionadas pelo mundo inteiro é chamado de Sistema Internacional de Unidades (SI). SI é for- mado de unidades fundamentais, e delas surgem outras unidades derivadas, como pode ser observado no quadro a seguir:</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 19 GRANDEZA NOME PLURAL SÍMBOLO Comprimento metro metros M Área metro quadrado metros quadrados Volume metro cúbico metros cúbicos plano radiano radianos Rad Tempo segundo segundos S Frequência hertz hertz Hz Velocidade metro por segundo metros por segundo m/s Aceleração metro por segundo metros por segundo por segundo por segundo Massa quilograma quilogramas Kg Massa específica quilograma por quilogramas por metro cúbico metro cúbico Vazão metro cúbico metros cúbicos por segundo por segundo Quadro 1 Principais unidades SI Fonte: INSTITUTO NACIONAL DE QUALIDADE No Quadro 2, estão representadas as principais unidades que estão rela- cionadas com os cálculos de geometria e física. GRANDEZA NOME PLURAL SÍMBOLO EQUIVALÊNCIA Volume Litro Litros ou L plano Grau Graus rad plano Minuto Minutos rad plano Segundo Segundos 000 rad Massa Tonelada Toneladas t 1 000 kg Tempo Minuto Minutos min 60 Tempo Hora Horas h Velocidade Rotação Rotações rpm rad/s angular por minuto por minuto Quadro 2 Algumas unidades em uso com o sem restrição de prazo Fonte: INSTITUTO NACIONAL DE QUALIDADE A seguir, estão representadas as notações científicas e os prefixos mais utiliza- dos nos processos de</p><p>20 TOPOGRAFIA NOME SÍMBOLO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO DA UNIDADE yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 000 zetta Z = 1 000 000 000 000 000 000 000 exa E = 1 000 000 000 000 000 000 peta P = 1 000 000 000 000 000 tera T 1 000 000 000 000 giga G mega M quilo k hecto h deca Da 10 deci d centi C mili m = 0,001 micro = nano n = 0,000 000 001 pico p femto f atto A = zepto Z = yocto y = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 Quadro 3 Prefixos das unidades SI Fonte: INSTITUTO NACIONAL DE QUALIDADE E Agora que conhecemos os parâmetros que norteiam o Sistema Internacional de Medidas, conheceremos um pouco das unidades de medidas inglesas. 2.1.2 UNIDADES DE MEDIDAS INGLESAS São aquelas ainda utilizadas na Inglaterra. Algumas dessas medidas são prove- nientes de impérios bem antigos, como Egito e Roma. a) Jardas: consiste na distância entre a ponta do nariz até a ponta do polegar, com o braço bem esticado. Equivale a 91 centímetros;</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 21 b) Milha: é uma medida de comprimento amplamente utilizada. Uma milha corresponde a 1.609 metros; c) Polegada: uma polegada é igual a 2,54 centímetros; d) Pé: o valor que apresenta um pé corresponde a 30,48 centímetros. Esta medida é utilizada para informar as altitudes em aeronaves; e) Libra (Pound): deriva da libra pondo, da época do império romano, e apre- senta o valor de 453,592 gramas; f) Onça: é uma divisão que significa 1/16, diferente da onça romana, que era uma divisão de 1/12. Seu valor é de 28 gramas; g) Galão: derivação da palavra "galeta", que significa balde. Originada em Roma, tem o valor de 4.546 litros; h) Pint: utilizada para medir líquido e é igual a 568,261 mililitros. Em bares ingleses, na atualidade, os clientes solicitam as cervejas com essa unidade de medida. 1jarda Figura 1 Representação da unidade de medida jarda Fonte: SENAI, 2012. Conhecemos, até aqui, diversas unidades de medidas. Vamos, a seguir, conhe- cer como trabalhar com as transformações de medidas. 2.1.3 TRANSFORMAÇÕES DAS UNIDADES DE MEDIDA Quando precisamos fazer operações matemáticas envolvendo unidades de medidas, quaisquer que sejam, é necessário que compatibilizemos estas unida- des para que elas fiquem homogêneas, possibilitando, assim, a operação destas grandezas de mesma unidade.</p><p>22 TOPOGRAFIA Por exemplo: se quisermos fazer a soma de 1 km + 200m, teremos que trans- formar todas as medidas para metro (m) ou para quilômetro (km). Veremos, abaixo, diversas unidades de medidas e o passo a passo para rea- lizar as transformações destas unidades, com exemplos. As transformações são procedimentos que modificam as unidades que estão acompanhando um valor numérico. MEDIDA DE COMPRIMENTO As medidas de comprimento são unidades padronizadas pelo Sistema Inter- nacional de Medidas, que têm por finalidade servir de parâmetro na avaliação de grandezas lineares, cujos elementos serão empregados de acordo com a magni- tude da dimensão a ser medida. Na prática, se vamos medir as paredes de uma sala de aula, usaremos como unidade de medida de comprimento o metro (m); se vamos determinar as dimen- de um bloco cerâmico, usaremos a unidade centímetro (cm); e se formos medir distâncias maiores que mil metros, como os lados de um grande terreno, usaremos a unidade quilômetro (km). NOME DAS DECÂMETRO METRO DECIMETRO CENTÍMETRO UNIDADES Abreviatura Km hm dam m dm cm Mm Quadro 4 Unidades de medidas de comprimentos Fonte: SENAL 2012. Fazendo a transformação de Km para mm, acompanhando os passos da Figura 2, temos: 1km = 10 hm = 100 dam = 1000m = 10000 dm = 100000 cm = 1000000 mm. x10 x10 x10 x10 x10 x10 km hm dam m dm cm mm Figura 2 - Transformação das unidades de medida do comprimento Fonte: 2012.</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 23 Acompanhe, no Quadro 5, a transformação de metro (m) para milímetros (mm). Demonstração de transformação de unidade de medida 1° PASSO PASSO 3° PASSO RESULTADO MEMDM DM EM CM CM EM MM 10 10 1000 mm Quadro 5 - Demonstração de transformação de unidade de medida Fonte: 2012 MEDIDA DE ÁREA As medidas de área são também padronizadas pelo Sistema Internacional (SI) de Medidas e têm por finalidade servir de parâmetro, através das suas unidades, na determinação de áreas. A área pode ser calculada através da relação entre suas dimensões no plano, como por exemplo, comprimento largura ou base altura. As unidades usuais de áreas, conforme o SI são as seguintes: NOME DAS DECAMETRO METRO UNIDADES QUADRADO QUADRADO QUADRADO QUADRADO QUADRADO QUADRADO QUADRADO Abreviatura Quadro 6 Unidades de medidas de área Fonte: SENAL 2012. x100 x100 x100 x100 x100 x100 km2 hm2 Figura 3 Transformação das unidades de medida de área Fonte: 2012. Acompanhe, no Quadro 7, a transformação de metro para centímetros quadrados</p><p>24 TOPOGRAFIA 1 SEMIRRETA: 1° PASSO 2° PASSO Faz parte de uma RESULTADO EM EM tem origem e não tem fim 100 100 = 10.000 10.000 Quadro 7 Demonstração de transformação de unidade de medida Fonte: 2012. MEDIDA DE VOLUME Estas medidas são também padronizadas pelo Sistema Internacional de Medidas e têm por finalidade servir de parâmetro, através das suas unidades, na determinação de volumes. Volume é o espaço ocupado por um corpo sólido, por uma substância líquida ou por um gás. A medida de uma peça ou figura é calculada através da multiplica- ção da área da base pela sua altura. No SI, as unidades de volume estão demonstradas de acordo com o Quadro 8 e Figura 4 : NOME DAS DECAMETRO METRO DECIMETRO CENTIMETRO UNIDADES CÚBICO CÚBICO CÚBICO CÚBICO CÚBICO CÚBICO Abreviatura hm³ Quadro 8 Unidades de medidas de volume Fonte: 2012. x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 km3 Figura 4 Transformação das unidades de medida de volume Fonte: SENAL 2012. Atenção:</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 25 Que uma piscina olímpica que tenha as seguintes di- mensões: 50,00m de comprimento, 22,80m de largura e ? VOCÊ 2,50m de profundidade, teria condições de armazenar, SABIA? usando toda a sua capacidade, (50m 22,80m 2,50m) de água, o que corresponde a 2.850.000 litros, uma vez que é igual a 1000 litros? Nesse tópico, falamos das unidades de medidas, quando e como as Você saberia dizer quantos litros tem a caixa d'água da sua casa? E seu quarto, quantos metros quadrados tem? Continue praticando, buscando exemplos no seu dia a dia. Vamos agora conhecer um pouco do universo dos ângulos. 2.2 ÂNGULOS é a abertura formada por duas que têm mesmo ponto de origem. Uma semirreta é representada conforme Figura 5. o A OA Semirreta = Ponto de Origem A : Ponto pertencente à semirreta Figura 5 Semirreta SENAI, No nosso cotidiano, temos a possibilidade de perceber diversas aplicações de ângulos. Quando olhamos para um prédio, por exemplo, podemos observar o ângulo formado entre a construção e o terreno onde ele foi erguido. Os ângulos servem como elementos de orientação e localização, sendo muito empregados na navegação, na construção civil, como em obras de edificações, na construção de estradas e em todas as atividades que envolvam levantamentos topográficos e que estejam vinculadas à determinação de direção. As duas semirretas formadoras do ângulo são os seus lados, e o ponto em comum entre elas dá origem ao vértice do ângulo conforme Figura 6.</p><p>26 TOPOGRAFIA 2 SEGMENTOS DE RETA: A Lado Vértice: Faz parte de uma reta, Ângulo Lados: OA e OB tem origem e tem fim. Vértice o Lado B Indicação: ou ou Figura 6 Elementos de um Fonte: 2012. Os ângulos estão presentes também nos polígonos. Mas o que é um polígono? São regiões limitadas por segmentos de e podem ser classificados em regu- lares e irregulares. Os polígonos regulares apresentam números de lados, ângulos e vértices iguais, como pode ser observado no Quadro 9 a seguir. QUADRILÁTERO PENTÁGONO HEXÁGONO Lados 3 4 5 6 3 4 5 6 Vértices 3 4 5 6 Exemplos Quadro g Representação dos poligonos regulares Fonte: YAMADA 2007. IMPORTANTE: a soma dos ângulos internos de um polígono é calculada pela expressão: S corresponde à soma de todos os ângulos internos de um polígono. n representa número de lados do polígono. Para calcular valor de cada ângulo do polígono, é preciso dividir a soma dos seus ângulos internos pelo número de lados existentes. Podemos também utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos para calcular o número de lados de qual- quer polígono, desde que a soma dos ângulos internos seja</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 27 Segundo Yamada (2007), os ângulos podem ser classificados em: 1. ÂNGULO PLANO: É o ângulo medido sobre uma superfície plana, que pode ser horizontal ou vertical; a) Plano horizontal: Os ângulos medidos neste plano são chamados de ângulos azimutais, ou seja, ângulos compreendidos entre o plano do meridiano celeste e o plano vertical; b) Plano vertical: Os ângulos medidos neste plano são denominados ângu- los verticais. 2. ÂNGULO DIEDRO: É o ângulo formado pela intersecção de duas faces; 3. ÂNGULO TRIEDRO: É o ângulo formado pela intersecção de três faces. Para intersecção de mais de três faces, denomina-se ângulo sólido; 4. ÂNGULO ESFÉRICO: É o ângulo medido sobre uma superfície esférica. Diedro Triedro 70° Norte 80° Leste Angulo Esférico Figura 7 - Diedro, triedro, ângulo esférico Fonte: 2012. De acordo com a abertura dos seus lados, os ângulos podem ainda se classifi- car em: a) ÂNGULO RETO: São aqueles que têm os lados perpendiculares entre si, ou seja, ângulo mede 90°; b) ÂNGULO AGUDO: São aqueles que medem menos que um ângulo reto, ou seja, medem menos que 90°; c) ÂNGULO OBTUSO: São aqueles que medem mais que um ângulo reto, ou seja, medem mais que 90°.</p><p>28 TOPOGRAFIA Agudo Reto Obtuso Figura 8 - agudo, reto e obtuso Fonte: 2012. RELAÇÕES ENTRE DOIS ÂNGULOS complementares: quando a soma de dois ângulos totaliza 90°. A B a C o Figura 9 - complementar Fonte: 2012. suplementares: quando a soma de dois ângulos totaliza 180°. B a A o Figura 10 suplementar (B Fonte: 2012.</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 29 adjacentes: são dois ângulos cuja intercessão determina um de seus lados. A C o B Figura 11 adjacente 2012. Os ângulos e CÔB têm o lado OC em comum. opostos pelo vértice: são dois ângulos cujos lados de um são semir- retas opostas do outro. Os ângulos opostos pelos vértices são iguais. a Figura 12 opostos pelo vértice - Fonte: SENAI, 2012. UNIDADES DE MEDIDAS ANGULARES As unidades de medidas angulares podem ser classificadas em: GRAU É uma unidade de medida angular cujo símbolo é Exemplo: 60° = sessenta graus. grau está dividido em 60 minutos, e o minuto está dividido em 60 segundos. (um grau é igual a sessenta minutos); (um minuto é igual a sessenta segundos). GRADO - É uma unidade de medida angular, no sistema centesimal, usada em alguns países para medida de ângulos. grado é composto de uma parte</p><p>30 TOPOGRAFIA inteira e de parte fracionária que pode ser décimos, centésimos ou milési- mos de grado. Consideremos uma circunferência de raio R e centro O. a) Um Radiano (1rad) é um arco que tem o mesmo comprimento do raio da circunferência que o contém, conforme Figura 13 abaixo; A r o a r r B Figura 13 Representação do radiano Fonte: 2012. b) Um ângulo central a, com vértice no centro O, terá como medida 1 rad. Determina-se, nesta circunferência, um arco de 1 radiano (1 rad). Desde a antiguidade que os estudiosos matemáticos haviam concluído que o comprimento de uma circunferência (C) dividido pelo seu diâmetro (2R) dava sempre o mesmo resultado, 3,1415, que, na matemática, é chamado de cons- Esta constante foi chamada de (pi). Comprimento da circunferência = R = Raio da circunferência 2R=D= = Diâmetro da circunferência</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 31 Da fórmula acima, deduzimos que o comprimento de uma circunferência é igual a 2 (Pi) R (raio). C=2R 90° 100 0 200 400 270° 300 3/2 GRAU GRADOS RADIANOS Figura 14 Representação gráfica das unidades de medidas angulares Fonte: 2012. Veremos, no tópico a seguir, como transformar, entre si, as unidades de medi- das dos ângulos: grau, grado e radiano. TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADES DE MEDIDAS DE Para realizar as transformações de unidades de medidas dos ângulos, pode- mos usar as fórmulas de conversão do Quadro 10. Uma circunferência mede 360° ou Metade de uma circunferência mede ou CONVERSÃO CONVERSÃO CONVERSÃO CONVERSÃO DE GRADO DE GRAUS DE GRAUS EM DE RADIANOS EM GRAUS: EM GRADO: RADIANOS: EM GRAUS: = 9 Z RAD = 180* Z / Quadro 10 Conversão das unidades de medidas Fonte: 2012. Vamos praticar as transformações de medidas angulares? Concluída a medição de um ângulo, verificou-se que ele tem Vamos determinar qual será o seu valor em A conversão pedida é de graus para radianos. Vamos usar a fórmula:</p><p>32 TOPOGRAFIA 3 PERPENDICULAR: Formando um ângulo de 90°. Z RAD = 180 /180, logo corresponde a Uma circunferência mede 360° ou Metade de uma circunferência mede 180° ou CASOS E RELATOS A Torre de Pisa Todos os prédios das nossas cidades são ao solo, for- mando um ângulo reto. No entanto, existem construções em que ângulo não é reto. A Torre de Pisa é um destes exemplos. Sua construção iniciou- -se em 1173 (Idade Média), em um solo argiloso. Este tipo de solo é muito compressível, podendo ser em muitos casos responsável pela ruína da construção. Esta grandiosa obra levou 200 anos para ser concluída. Sua inclinação foi identificada ao longo da sua construção e foi aumentando de forma contínua e gradativa cerca de 1,2 mm por ano. A situação agravou-se em 1990, e, a partir deste ano, várias equipes multidisciplinares internacio- nais vêm trabalhando, buscando estabilizar esta estrutura para evitar que esta monumental torre venha a tombar. Figura 15 Torre de Pisa Fonte: 2012.</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 33 Agora que tomamos conhecimento de diversos aspectos dos ângulos, vamos pesquisar sobre a semelhança de triângulos. Veremos que os ângulos têm uma participação efetiva no próximo tópico. 2.3 SEMELHANÇAS DE Os triângulos são os polígonos mais simples. Podemos afirmar que dois tri- ângulos são semelhantes quando tiverem os seus três ângulos respectivamente congruentes (os ângulos similares tem a mesma medida), e quando os seus lados correspondentes tiverem medidas proporcionais. Dois ângulos são congruentes quando têm as suas medidas iguais. B B' C' A A' Figura 16 Representação dos semelhantes Fonte: SENAI, Para afirmar que os triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes, é necessário que os ângulos dos vértices A e A', B e C e sejam respectivamente congruentes, e que os lados AB e A'B', BC e B'C', AC e A'C' sejam proporcionais. AB BC A'C' AC K AABC~AA'B'C' Vamos entender o que expressa a sentença matemática acima: triângulo ABC é semelhante ao triângulo A'B'C' se, e somente se, os quo- cientes das divisões das medidas dos lados de A'B' e AB, de B'C' e BC, e de A'C' e AC forem iguais, e, simultaneamente, as medidas dos ângulos A e A', B e B', C e forem respectivamente congruentes.</p><p>34 TOPOGRAFIA 2.4 RAZÃO E PROPORÇÃO A Razão entre dois números que não sejam nulos é o quociente que se obtém da divisão entre eles. Observe a seguinte situação: você está terminando o curso de Edificações no SENAI e deseja, em seguida, fazer vestibular para Engenharia Civil. Já é do seu conhecimento que a faculdade por você escolhida para cursar disponibiliza 120 vagas para os dois semestres e que, com a sua inscrição, contabilizou-se 960 ins- critos para prestar exames. De que forma poderemos saber quantos candidatos concorrem a uma vaga? Vamos usar então esta ferramenta que a matemática nos disponibiliza que é a Razão: de vagas: 120 N° de inscritos: 960 120 Conclusão: Existe uma vaga para cada oito candidatos. Como garantir uma das vagas? Vamos estudar! Outro exemplo muito comum de aplicação de razão entre dois números verifica-se na utilização de escalas. Escala é a razão entre a medida de um compri- mento representada graficamente (no desenho) e a correspondente medida do seu comprimento real. Estas grandezas devem ser expressas na mesma unidade, ou seja, metro com metro, decímetro com decímetro, etc. A escala numérica é apresentada sob a forma de fração, em que o numerador (número acima da barra de fração) é sempre a unidade (1) e indica a distância no mapa, e o denominador (número abaixo da barra de fração) representa a distân- cia real correspondente, sempre em (cm). A escala numérica pode ser representada de três formas diferentes: 1 ; ;</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 35 A escala permite que grandes distâncias possam ser repre- sentadas graficamente em dimensões reduzidas através FIQUE dos desenhos. No entanto, é necessário muita atenção nas ALERTA leituras e conferências destas medidas em planta, pois er- ros desta natureza podem gerar prejuízos e instabilidade à obra. Proporção é uma igualdade entre duas razões, ou seja, entre duas divisões com o mesmo quociente (resultado). Considerando Z como sendo números diferentes de zero, eles formarão uma proporção se: são chamados termos da proporção. Ve Z são denominados extremos e e Y os Da afirmação acima resulta uma propriedade fundamental das proporções: Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. No próximo tópico, abordaremos o assunto Regra de Três, onde estaremos aplicando conhecimentos adquiridos com os assuntos vistos até aqui. 2.5 REGRA DE TRÊS Regra de três é o cálculo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou grandezas inversamente proporcio- A regra de três pode ser classificada em: regra de três simples direta, regra de três simples inversa e regra de três composta. (GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI 2007).</p><p>36 TOPOGRAFIA Regra de três simples direta: são envolvidas duas grandezas diretamente proporcionais, ou seja, quando a variação de uma delas corresponde à mesma variação da outra grandeza dada no problema a ser resolvido. Regra de três simples inversa: são envolvidas duas grandezas inversamente proporcionais, ou seja, quando existe a variação de uma das grandezas, a outra também varia, porém de forma contrária, mas na mesma proporção. Regra de três composta: este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais. Faça a comparação da grandeza que irá determi- nar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas. A grandeza a se determinar não se altera, e então, igualamos a razão das grandezas e determinamos valor que se procura. Vimos, neste tópico, como relacionar grandezas entre si, de forma simples ou composta. Veremos a seguir como relacionar as medidas dos lados em um triân- gulo retângulo. 2.6 TEOREMA DE PITÁGORAS Teorema de Pitágoras é uma lei matemática que se desenvolve através de um enunciado baseado nas relações métricas em um triângulo retângulo, ou seja, um triângulo em que um dos seus ângulos mede Este teorema apresenta várias aplicações nas diversas áreas da construção civil. É utilizado, por exemplo, na prática, na locação de obras de edificações para verificar a perpendicularidade entre alinhamentos. A b B B C a Figura 17 Fonte: 2012. Pontos A, B e C: são vértices A e C: são ângulos agudos medem menos de 90° B : ângulo reto, mede 90° Lados a e C: são chamados de Catetos Lado b: é chamado de Hipotenusa</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 37 Teorema de Pitágoras: em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma das medidas dos quadrados dos Observe: Consideremos então que: Medida de Medida de (b) 5 Medida de (c)= 3 Pelo Teorema de Pitágoras + ou seja, a igualdade se verifica: 25 = 25. Imagine a seguinte situação: Dois veleiros, Thor e Togha, partem em diferentes sentidos do porto de Santos/SP. o veleiro Thor vai para o norte, ao Rio Grande do Norte, enquanto Togha vai para o leste em direção à África, em direções perpendiculares entre Thor segue com velocidade constante de 30 km/h e Togha com velocidade constante de 40 km/h. Qual será a distância entre os veleiros após 6 horas de navegação? VELEIRO THOR VELEIRO TOGHA D=30x6=180km D=40x6=240km Resolução para achar distância percorrida entre os veleiros. N = 32400 + 57600 distância: D 180 km L 240 km Você aprendeu o teorema de Pitágoras e teve a oportunida- SAIBA de de verificar um exemplo utilizando as suas propriedades. MAIS Pesquise em livros e na internet outras formas de aplicação deste Vimos como é importante conhecimento e as aplicações do Teorema de Pitágoras. Abordaremos, no próximo tópico, as relações trigonométricas no tri- ângulo retângulo e em um triângulo qualquer, bem como as relações entre as medidas dos seus lados e dos seus ângulos.</p><p>38 TOPOGRAFIA 2.7 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As relações trigonométricas se iniciaram com a necessidade do homem corre- lacionar o ângulo com as distâncias pouco Para o seu desenvolvimento, foram utilizados os ângulos e medidas dos lados do triângulo estabelecendo assim relações particulares. Essas relações são aplicadas no triângulo retângulo que apresenta um ângulo reto, como pode ser observado na Figura 18 a seguir. As relações particulares foram denominadas de razões trigonométricas. A À b C B B C a Figura 18 Representação do Fonte: 2012. Denominação dos segmentos representados na figura: B = ângulo reto b = hipotenusa a cateto C Se tomarmos como referência o ângulo A, o cateto oposto será o lado a e o cateto adjacente lado Se, no entanto, nosso ângulo de referência for o C, cateto oposto será o lado e cateto adjacente será lado a. o triângulo retângulo nos possibilita, através das relações entre lados e ângu- los, a obtenção dos valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos. 2.7.1 LEIS DOS SENOS E LEIS DOS COSSENOS E TANGENTES Considerando o ângulo cálculo do seno seria a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; já o cálculo do cosseno seria a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. A tangente se obtém da divisão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 39 A b B C a Figura 19 Representação do para cálculo do cosseno e tangente Fonte: SENAI, 2012. Relação entre os catetos e entre catetos e hipotenusa em um triângulo retân- gulo. senA = senC = b b a cosA = cosC = b b a tgA = tgC = a Figura 20 - Representação das relações trigonométricas Fonte: SENAI, 2012. Sen A = cateto oposto / hipotenusa= a/b Cos A = cateto adjacente / hipotenusa = c/b Tg A = cateto oposto / cateto adjacente = a/c A mesma regra é válida para as relações trigonométricas quando referencia- mos ângulo Visto as relações trigonométricas em um triângulo retângulo, verifiquemos, agora, estas relações em um triângulo qualquer. Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.</p><p>40 TOPOGRAFIA a b a C senA senB senC A C b Figura 21 Representação da aplicação da lei do seno Fonte: 2012. LEIS DOS COSSENOS Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Cos A Cos A Cos Cos Cos Quadro 11 - Fórmulas para calcular os cossenos dos ângulos Fonte: 2012. 2.7.2 TEOREMA DE TALES Tales de Mileto sempre defendeu que os solares chegavam à Terra incli- nados, e isto lhe motivou a desenvolver um enunciado que ficou conhecido como Teorema de Tales: um feixe de paralelas determina, em duas transversais quais- quer, segmentos proporcionais. r r' A A' a B B' b C C' o Figura 22 Representação do teorema de Tales Fonte: 2012.</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 41 As retas a, be são paralelas e as retas r er são transversais. Conforme o teo- rema, há uma proporcionalidade entre os segmentos representados, como pode ser observado a seguir. AB A'B' AB BC = ou = BC B'C A'B' B'C Vimos conceitos, fundamentos e propriedades de grandezas lineares e angu- lares portanto, temos uma base que nos possibilita executarmos cálculos de áreas, volumes e perímetros. 2.8 CÁLCULO DE ÁREA, VOLUME E PERÍMETRO ÁREA o cálculo da área tem origem na antiguidade com a necessidade de ocupar terrenos e construir as zonas urbanas. As medidas de área são representadas em quadrado, como pudemos observar no item Unidades de As áreas são calculadas conforme as figura planas.</p><p>42 TOPOGRAFIA CÁLCULO FIGURAS DAS ÁREAS Quadrado Triângulo Trapézio S = h Paralelogramo S = Losango Circunferência Quadro 12 Fórmulas para calcular as áreas das figuras planas Fonte: SENAL 2012. Significado dos elementos das fórmulas: S = Lado b = base h = altura B = base maior raio D = Diagonal maior = diagonal menor VOLUME o volume de um corpo pode ser calculado pelo produto da área da base pela medida da altura. De uma forma geral, podemos aplicar a seguinte fórmula abaixo e, especificamente, as fórmulas do Quadro 13, a seguir. V=Ab (área da base) (altura)</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 43 FIGURAS CÁLCULO DOS VOLUMES (A = área da base) Prisma V=A*h (h = altura) (r = raio do círculo na base) Cone (h = altura) (r = raio da esfera) Esfera (r = raio da base circular) Cilindro (h altura) (I = largura) Paralelepipedo (c comprimento) (a = altura) Cubo (L = medida das arestas) Quadro 13 - Fórmulas para calcular os volumes das figuras Fonte: SENAI, 2012. PERÍMETRO É a medida do comprimento de um contorno. Vamos imaginar que o mercado da sua cidade tenha 100 m de largura e 200 m de comprimento. Agora, vamos calcular o perímetro do mercado. 100m 200m 100 + 200 + 100 P= 600 m</p><p>44 TOPOGRAFIA RECAPITULANDO Neste capítulo, caminhamos pelos conceitos e fundamentos principais da matemática aplicada, em conhecimentos que serão muito empregados no estudo e nas aplicações práticas de topografia. Tivemos a oportunidade de abordar as unidades de medidas e as suas transformações, os ângulos, suas classificações, medidas e relações; além da semelhança de triângulos, razão, proporção e regra de três, esclare- cendo-nos a respeito das compatibilidades entre grandezas. Aprendemos também o famoso teorema de Pitágoras e estudamos as relações trigonométricas em um triângulo retângulo e em um triângulo qualquer. Complementando esta fundamentação de tópicos da matemática aplicada, verificamos e aplicamos conceitos e fórmulas empregadas para se calcular áreas, volumes e perímetros. Estes conhecimentos adquiridos, com certeza, serão de grande valia para entendimento dos assuntos que seguem e, seguramente, serão utilizados por você em sua vida profissional. Depois de abordarmos os assuntos da matemática que serão utilizados no próximo capítulo, iniciaremos, a seguir, uma viagem pelo mundo da topo- grafia.</p><p>2 MATEMÁTICA APLICADA 45 Anotações:</p><p>Topografia: altimetria e planimetria 3 A topografia desempenha um papel muito importante na construção civil. Você já deve ter visto, em algum lugar, equipamentos de topografia em operação na execução de levantamen- tos topográficos ou serviços, preliminares ou complementares, indispensáveis na implantação de um projeto de edificação. É uma ciência que determina os contornos, a dimensão de áreas da superfície terrestre e a localização de um determinado lugar, através da utilização de ângulos e distâncias, e que tem por objetivo a obtenção de planta topográfica. Como acontece com todas as ciências, a topografia também tem as suas divisões, e uma delas, para atender aos seus objetivos, classifica-se em: a) Topometria: define as medidas de ângulos, distâncias e diferença de nível, determi- nando medidas de grandezas lineares e angulares, tanto no plano horizontal quanto no vertical. A topometria se divide em altimetria e planimetria. Estaremos comentando com mais detalhes sobre estes dois tópicos mais adiante; b) Topologia: dedica-se ao estudo do relevo do terreno e dos princípios que dirigem a sua formação. Continuaremos a tratar mais detalhadamente deste assunto no próximo capítulo. Vamos falar agora um pouco sobre a Geodésia, que é uma ciência que engloba a topogra- fia e que estuda a forma e as dimensões de grandes superfícies. Divide-se em: a) Geodésia superior trata do levantamento da forma e dimensões do nosso planeta, ou seja, é responsável pelo estudo de extensas áreas, diferentemente da topografia, que tem a sua atuação restrita a áreas limitadas; b) Geodésia elementar ou geométrica propicia à topografia uma rede de pontos que servirão de amarração aos seus levantamentos. Quando se realiza levantamentos topográficos em áreas de difícil acesso ou em terrenos acidentados, utiliza-se o método da Aerofotogrametria através de voos para aquisição de fotografias aéreas em aviões equipados com câmeras especiais, possibilitando a obtenção de uma abrangente cobertura da área a ser Em um levantamento topográfico, utilizamos equipamentos e instrumentos necessários na execução destas operações, como por exemplo: trenas com fita de fibra ou de aço, balizas,</p><p>48 TOPOGRAFIA CALDEUS: miras, trânsitos, taqueômetros ou teodolitos, níveis, níveis a laser, med (medido- res eletrônicos de distância), estações totais. Nos próximos capítulos, voltaremos Povos que habitavam no sul da às a falar destes equipamentos. margens do rio Formaram um grande império que tinha como capital a Atualmente seria a região 3.1 FUNDAMENTOS DA TOPOGRAFIA ocupada pelo A atividade topográfica está fundamentada em normas técnicas elaboradas pela Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), órgão que estabelece e aplica regras que a realização de uma atividade específica de forma pa- dronizada, levando em consideração as condições funcionais e as exigências de Época dos Caldeus: Por volta segurança. dos anos 600 A.C. A NBR 13133 (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNI- 1994) rege a execução de levantamentos topográficos. Outra norma que fundamenta a atividade de topografia é a 3 PERÍODO DA GUERRA: SAIBA NBR 14166 (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, MAIS 1998) Rede de Referência Cadastral Municipal, cujo objetivo Compreendido entre 1939 é fixar as condições exigíveis para a implantação e manuten- e 1945. ção de uma Rede Cadastral Municipal. Saiba mais a respeito dos conteúdos destas duas normas elaboradas pela ABNT. 4 SISTEMAS ÓTICOS: Vamos falar sobre a história da topografia. Ela já era usada desde o tempo dos e dos egípcios, de forma rudimentar, mas sendo uma eficaz ferramenta Conjunto de elementos óticos prismas, espelhos, no atendimento às necessidades da Os gregos adotaram sistema de lentes, que vieram a ser introduzidos em divisões da terra em triângulos a fim de desenhar a "planta topográfica". instrumentos usados na topografia. No século XVIII, inicia-se o levantamento altimétrico de áreas através da obten- ção de pontos cotados e curvas de nível. Como você deve estar refletindo, pas- sar dos tempos vai aprimorando os métodos, os sistemas e também os acessórios e equipamentos utilizados, e é o que acontece a partir do século XIX. Dentro deste período é executado o primeiro nivelamento geral da França. No entanto, é a partir da guerra que a topografia atinge um alto nível de precisão e eficiência com o surgimento dos aparelhos eletrônicos e os aperfeiçoamentos introduzidos nos sistemas A topografia, para atingir os seus objetivos, desenvolve, em campo, atividades de levantamentos (medição), com intuito de demarcar pontos fundamentais de posicionamento da área pesquisada. Teremos, assim, métodos de medição apropriados para cada tipo de levantamento. De acordo com a finalidade e os métodos empregados, os levantamentos re- cebem diferentes denominações como veremos a seguir:</p><p>3 TOPOGRAFIA: ALTIMETRIA E PLANIMETRIA 49 Quanto à precisão requerida a) Levantamentos expeditos: consistem em atividades ágeis, de pouca preci- são, que têm por objetivo proporcionar informações gerais da área Utilizam instrumentos simples e a sua representação gráfica se faz através de esboços ou croquis; b) Levantamentos regulares: fazem medições de distâncias e ângulos, apresentam um maior grau de precisão que os levantamentos expeditos e utilizam, minimamente, instrumentos de determinação de medidas como trena e teodolito. A área levantada é de pequena extensão, gerando plantas topográficas; 25 Figura 23 Trena e teodolito Fonte: WIKIMEDIA 2008, 2010. c) Levantamentos de precisão: como o nome indica, este tipo de levanta- mento exige um grau apurado de exatidão na determinação das medidas levantadas, bem como nos equipamentos e procedimentos utilizados. A área levantada abrange grandes extensões, levando em consideração a cur- vatura da terra. Estes levantamentos geram as cartas ou mapas geodésicos. São usados equipamentos modernos, como as estações totais.</p><p>50 TOPOGRAFIA 5 PARALELOS DE Distância da linha do equador, medida em graus, através do Meridiano de Greenwich, tem uma variação entre 0° e 6 MERIDIANOS DE É também medido em graus, varia de 0° a 180° para leste ou para oeste a partir do Meridiano de Figura 24 Estação total Fonte: 2012. Quanto à natureza das medidas a) Levantamento planimétrico: os pontos são medidos horizontalmente e representados em projeção horizontal, através das suas coordenadas; b) Levantamento altimétrico: é feita a medição das alturas dos pontos (dis- tâncias verticais ou diferenças de nível) em relação a um plano horizontal, bem como a determinação das medidas de ângulos verticais. A forma da terra influencia nos fundamentos do levantamento topográfico. Você já deve ter ouvido algum comentário de que o nosso planeta não tem o formato de uma esfera como se imaginava. Para facilitar os cálculos matemáticos e os procedimentos dos levantamentos dos pontos, criou-se a superfície de referência que é uma superfície idealizada, um plano de referência, seja ele horizontal ou vertical, com a função de represen- tar ou ser modelo da superfície da terra. A topografia adota como superfície de referência uma superfície plana. Já a geodésia toma como modelo um elipsóide de revolução figura formada pela rotação de uma elipse em torno do seu eixo menor. É ela a figura adotada pela geodésia como superfície de referência, ou seja, como sendo a superfície onde serão representados os pontos levantados em campo.</p><p>3 TOPOGRAFIA: ALTIMETRIA E PLANIMETRIA 51 B A C Figura 25 Elipsóide de revolução Fonte: SENAI, 2012. E na topografia, qual será a superfície de referência adotada? A topografia em seu campo de atuação, por trabalhar em áreas de menores dimensões, despreza a curvatura da terra, considerando as superfícies como sen- do planas. Já dissemos, anteriormente, que a representação da terra sobre uma superfície plana gera distorção, devido à curvatura da terra. Para minimizar esta situação, criaram-se as Projeções Cartográficas, que correspondem a um traçado de li- nhas em uma superfície plana com objetivo de expressar graficamente paralelos de latitude5 e meridianos de longitude6 do nosso planeta, servindo como referên- cia, diminuindo as incorreções dos mapas. Meridiano de Greenwich DU dos Zero Graus de longitude Paralelos 25°N Equador Equador 20°L Aescala longitudes é traçada sobre a linha do Equador Latitudes Meridianos Figura 26 Latitude e meridianos de longitude Fonte: SENAI, 2012. Existem diversas formas de representações das projeções cartográficas, vamos destacar as três mais usuais que são: projeção cilíndrica, projeção cônica, proje- ção plana ou azimutal.</p><p>52 TOPOGRAFIA 7 GERARD MERCATOR: Projeção cilíndrica: projeta a superfície terrestre com os paralelos e meridia- nos sobre um cilindro, onde será configurado o mapa. Após ser desenrolado, tere- Considerado um dos maiores cartógrafos de mos então uma superfície plana, com todas as informações todos os tempos. Nasceu em Rupelmond (atualmente Bélgica). 8 EUROCÊNTRICA: Tem a Europa como centro de referência. Figura 27 Projeção Fonte: 2012. 9 Círculos de diferentes raios Gerard Mercator (1512-1594) desenvolveu seus trabalhos, incluindo o da pro- com o mesmo centro. jeção cilíndrica, durante as grandes navegações do século XVI. Do continente eu- ropeu partiram navios para a África, América e Ásia. A projeção é a mais apropria- da à navegação marítima e mostra uma visão do mundo. Projeção cônica: a projeção é realizada através de um cone imaginário em contato com a esfera terrestre, em que as linhas que representam os meridianos são convergentes nos polos e as linhas dos paralelos formam círculos concên- tricos9. Este tipo de projeção, que também é base para elaboração de mapa, é utilizado para representar parcialmente a superfície terrestre, como por exemplo, trechos de um continente. Figura 28 Projeção cônica Fonte: 2012. Projeção plana ou azimutal: o mapa utilizado neste tipo de projeção é ela- borado a partir de um plano tangente a qualquer ponto da esfera terrestre. Este ponto de interseção será sempre o centro do mapa. A projeção plana ou azimutal é utilizada, usualmente, para representar as regi-</p><p>3 TOPOGRAFIA: ALTIMETRIA PLANIMETRIA 53 dos Polos norte, sul, arredores e para localizar um país na região central, viabi- lizando a determinação da sua distância a qualquer ponto da superfície terrestre. A navegação marítima e aérea utilizam mapas desenvolvidos com base na projeção plana ou azimutal. Figura 29 Projeção plana ou azimutal Fonte: SENAI, 2012. As deformações são pequenas nas proximidades do ponto de tangência, mas aumentam com distanciamento deste ponto. Temos observado uma crescente evolução da tecnologia, abrindo novas pos- sibilidades em diversos campos em nossa vida. A geodésica caracteriza-se pelo grau de precisão em relação a posicionamentos (localização) na superfície terres- tre. A exploração espacial pelo homem tornou realidade a utilização de satélites artificiais, que revolucionaram mundo das comunicações e vieram possibilitar procedimentos mais ágeis e precisos de posicionamento, através do rastreamen- to a partir destes satélites artificiais. A partir de 1973, foi posto em operação o projeto NAVSTAR-GPS ou GPS: Glo- bal Positioning System, em português Sistema de Posicionamento Global, um dos mais modernos sistemas de posicionamento geodésicos do mundo, que é formado por um conjunto de estações fixas distribuídas na superfície do solo (es- tações de controle) e por uma quantidade cada vez maior de satélites artificiais transmissores, orbitando a aproximadamente 20km de altitude, além de estações móveis, receptoras, em poder dos usuários. Este sistema vem permitir ao homem a localização de diversos pontos do nos- so planeta, de maneira rápida, segura, precisa e independente das condições at- Podemos afirmar que o sistema GPS já é usado em larga escala.</p><p>54 TOPOGRAFIA NORMALIZAÇÃO TÉCNICA o que você entende por normalização? Com certeza, você deve ter se lembrado de norma, ou seja, lei, regulamento, aquilo determinado como regra. Normalização é a atividade que estabelece re- gras, com o objetivo de se obter a qualidade, a organização, a padronização de uma linguagem única entre produtor e consumidor, um grau ótimo de ordem. A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é uma entidade privada, sem fins lucrativos. É o órgão responsável pela normalização técnica no país. Em relação à topografia, temos a NBR 13133 (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 1994) Execução de Levantamento Topográfico, que fixa as condi- ções exigíveis para a execução de levantamento topográfico. NBR é a sigla de Norma Brasileira, aprovada pela ABNT. Tem por objetivo a norma NBR 13133 (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 1994): estabelecer condições exigíveis para a execução de um levan- tamento topográfico que devem compatibilizar medidas an- gulares, medidas lineares, medidas de desníveis e as respec- tivas tolerâncias em função dos erros, relacionando métodos, processos e instrumentos para a obtenção de resultados com- patíveis com a destinação do levantamento, assegurando que a propagação dos erros não exceda os limites de segurança inerentes a esta destinação. Ela desenvolve as suas prescrições através da abordagem de objetivos, defini- ções, aparelhagens, inspeção, aceitação e rejeição, especificações gerais e especí- ficas para os trabalhos topográficos. Outra norma que fundamenta a atividade de topografia é a NBR 14166 (AS- SOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 1998) Rede de Referência Ca- dastral objetivo desta norma é fixar as condições exigíveis para a implantação e manutenção de uma Rede Cadastral Esta norma fixa as condições exigíveis para a execução de levantamentos to- pográficos destinados a: a) Apoiar a elaboração e a atualização de plantas cadastrais municipais; b) Amarrar, de um modo geral, todos os serviços de Topografia, visando incor- porações às plantas cadastrais do município; c) Referenciar todos os serviços topográficos de demarcação, de anteprojeto, de projetos, de implantação e acompanhamento de obras de engenharia</p><p>3 TOPOGRAFIA: ALTIMETRIA PLANIMETRIA 55 em geral, de urbanização, de levantamentos de obras como construídas e de cadastros imobiliários para registros públicos e A partir do capítulo 3, começamos a tratar de topografia, e como você verifi- cou, abordamos até agora temas introdutórios, fundamentos e classificações. Vi- mos, por exemplo, que a topografia se divide em Topometria e Topologia e que a Topometria se subdivide, por sua vez, em altimetria e planimetria. Vamos, então, conhecer os principais fundamentos da altimetria. 3.2 ALTIMETRIA Altimetria é a parte da topografia que estuda os métodos de medidas de dis- tâncias e ângulos entre pontos e alinhamentos no plano vertical, relacionando-os a uma superfície de nível usada como referência de comparação, com o objetivo de se obter a representação do relevo da área de interesse. 32km 41km 16km 25km 6km Figura 30 Altimetria Fonte: 2012. Por falar em superfície de nível, podemos afirmar que é uma superfície de al- tura constante e é perpendicular em qualquer dos seus pontos à vertical do lugar. Quando necessitamos, por exemplo, implantar uma obra em um terreno, uma das muitas etapas necessárias à realização deste projeto é o levantamento topo- gráfico que teremos que fazer para conhecer todos os seus aspectos em relação às medidas das suas distâncias e dos seus ângulos no plano horizontal (planime- tria), e, da mesma forma, a determinação das medidas das distâncias e dos seus ângulos no plano vertical (altimetria). levantamento altimétrico é, portanto, um levantamento topográfico que, operacionalmente (na prática), utiliza-se de todos os conceitos e procedimentos ditados pela altimetria. A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), através da NBR 13133, nos</p>