Sistemas de Numeros

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<p>Sistemas de numeração e conversão de bases - Decimal e binário</p><p>Cálculo de conversão de bases para responder às questões pertinentes à execução das especificações nas configurações de</p><p>sistemas, comunicação remota e linguagem de máquina.</p><p>Introdução</p><p>Quando mencionamos sistemas de numeração, estamos nos referindo à utilização de um sistema para representar uma</p><p>numeração, ou seja, uma quantidade. Sistematizar algo seria organizar, colocar em ordem, submeter a determinadas regras.</p><p>Um sistema de numeração seria uma forma de organizar a representação de um número. Exemplo: quando contamos algo ou</p><p>expressamos algum valor, utilizamos no dia a dia um sistema de numeração, que é o sistema decimal. Para isso, seguimos a</p><p>organização dos números, pois eles obedecem a certa ordem, e uma das regras é utilizar somente os caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5,</p><p>6, 7, 8, 9 combinados, obedecendo à ordenação, para formar os números.</p><p>Existem, por outro lado, inúmeros sistemas de numeração, pois há diversas formas de se representar um número. Um chinês</p><p>que tem dois carros, para transmitir a informação de que o número de carros que ele possui é dois, se expressa de um modo</p><p>diferente do que um americano que tenha os mesmos dois carros, mas as formas que ambos utilizam para representar a</p><p>quantidade de carros têm pontos em comum: são dois sistemas de numeração. O exemplo de um sistema de numeração</p><p>diferente seria utilizar os seguintes caracteres: 0, 1, 2, 3, C, %,} para representar os números. Ordenando esses caracteres do</p><p>mesmo modo que o sistema decimal, a contagem nesse sistema seria feita na seguinte ordem: 1, 2, 3, C, %,}, 10, 11, 12, 13,</p><p>1C, 1%... O equivalente ao número 10 no sistema decimal seria representado pelo número 13 nesse sistema, o número 11</p><p>seria 1C, e assim por diante.</p><p>A representação de um número em um sistema de numeração diferente muda para um mesmo valor, assim como as</p><p>operações com números nesses novos sistemas podem ser readequadas. Essas diferenças entre os sistemas de numeração são</p><p>utilizadas como ferramenta de cálculo e projeto em diversas áreas, como a computação.</p><p>Quando desejamos registrar um valor de tensão igual a trinta e quatro vírgula cinquenta e dois volts, usamos os caracteres 3,</p><p>4, 5, e 2 dispostos numa certa ordem: 34,52 volts. Essa representação é conhecida como notação posicional do valor</p><p>observado, em que a importância de cada caractere depende da sua posição em relação aos demais caracteres. Os caracteres</p><p>têm maior significação no sentido da direita para a esquerda. No caso, os caracteres 3 e 2 são, respectivamente, o de maior e</p><p>menor significação.</p><p>Base</p><p>Os sistemas de numeração foram criados pelo homem com o objetivo de quantificar as grandezas relacionadas às suas</p><p>observações. Tais sistemas foram desenvolvidos por meio de símbolos, caracteres e do estabelecimento de regras para a sua</p><p>representação gráfica. O conjunto desses símbolos ou caracteres chamamos de base ou raiz do sistema, "r".</p><p>A base de um sistema de numeração é o número decimal que um sistema de numeração utiliza para indicar uma quantidade</p><p>e, geralmente, é o número de caracteres diferentes utilizados para compor o sistema. O sistema decimal é dito de base 10 por</p><p>utilizar somente 10 caracteres diferentes para representar os números (os dígitos de 0 a 9), e a quantidade real representada</p><p>pelos números tem como base o valor 10. Por exemplo, na contagem do sistema decimal, após o número 9 já utilizamos</p><p>todos os caracteres diferentes disponíveis, que são 10 (observe que o caractere "0" também está incluído), e um número</p><p>maior que 9 é representado utilizando uma convenção que atribui um significado numérico quantitativo à posição ou lugar</p><p>ocupado por um dígito. Cada posição ocupada por um caractere no número possui um "peso" diferente, como no exemplo</p><p>abaixo:</p><p>3004 = 3 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 4 x 100</p><p>05/09/2024, 21:05 about:blank</p><p>about:blank 1/5</p><p>3004 = 3 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 4 x 100</p><p>O mesmo artifício é utilizado em outros sistemas de numeração, ou seja, cada caractere que compõe um número possui um</p><p>"peso" de potências do valor da base que variam de acordo com a posição ocupada pelo caractere no número – no caso do</p><p>sistema decimal, potências de 10.No exemplo exposto anteriormente (com o sistema 0, 1, 2, 3, C, %, }), o valor da base é 7,</p><p>porque 0, 1, 2, 3, C, %,} são um conjunto de sete caracteres diferentes que posso utilizar para compor um número nesse</p><p>sistema, e a quantidade que os números representam são expressas com base no valor 7.</p><p>O número 31} C representa uma quantidade igual a que número no sistema decimal?</p><p>31}C = 3 x 73 + 1 x 72 + } x 71 + C x 70</p><p>Como 3 = 310 no sistema decimal, 1 = 110, } = 610, C = 410</p><p>Concluímos:</p><p>31}C = 3 x 73 + 1 x 72 + 6 x 71 + 4 x 70</p><p>31}C = 3 x 343 + 1 x 49 + 6 x 7 + 4 x 1</p><p>31}C = 1029 + 49 + 42 + 4</p><p>31}C = 1.124</p><p>De acordo com o interesse do estudo em controle de máquinas e pela utilidade em diversas áreas, daremos ênfase ao sistema</p><p>de numeração binário (base 2).</p><p>Obs.: Quando utilizamos sistemas de numeração diferentes, procura-se adotar uma convenção para a identificação de</p><p>números com bases de numeração diferentes. Exemplo: 111002 = 2810. O número 11100 no sistema de base 2 é igual ao</p><p>número 28 no sistema decimal.</p><p>O sistema decimal de numeração</p><p>Os números decimais são os mais utilizados atualmente de nosso conhecimento. Uma representação posicional no sistema</p><p>decimal pode ser desenvolvida numa forma polinomial que envolve um somatório de potências de 10.</p><p>Como exemplo, o número três mil e quatro:</p><p>3004 = 3 x 103 + 0 x 102 + 0 x 101 + 4 x 100</p><p>3004 = 3 x 1000 + 0 x 100 + 0 x 10 + 4 x 1</p><p>3004 = 3000 + 0 + 0 + 4</p><p>3004 = 3004</p><p>É comum utilizarmos um índice (base 2, 10 ou 16) à direita do dígito menos significativo na representação posicional, para</p><p>identificar a base de representação.</p><p>No caso da base decimal, esse índice pode ser omitido. Os circuitos ditos analógicos processam informações usando o</p><p>sistema decimal.</p><p>O sistema binário de numeração</p><p>O sistema de numeração de base 2 é chamado de sistema binário (dois), pois utiliza somente dois dígitos: 0 e 1. Todos os</p><p>números são representados conforme o posicionamento e a quantidade desses dois dígitos. A contagem segue o mesmo</p><p>raciocínio utilizado no sistema decimal: após o último dígito, incrementa-se uma posição à esquerda, e a posição à direita é</p><p>zerada, repetindo-se toda a sequência de números anterior:</p><p>1, 10, 11, 100, 101, 110...</p><p>Os números citados geralmente são chamados de números binários. Para evitar confusão com o sistema de numeração</p><p>decimal, lemos dígito por dígito no sistema binário:</p><p>10 = hum, zero</p><p>1101 = hum, hum, zero, hum</p><p>05/09/2024, 21:05 about:blank</p><p>about:blank 2/5</p><p>Podemos expressar um número fracionário no sistema binário utilizando</p><p>a vírgula binária:</p><p>1,1001; 0,0001; 1101,0101...</p><p>Esse sistema pode ser utilizado para representar dois estados de um elemento: uma lâmpada (acesa ou apagada), uma chave</p><p>(aberta ou fechada), uma fita magnética (variação ou não na magnetização), na genética (presença ou ausência de genes),</p><p>pois, nos cálculos teóricos, o sistema binário é o mais utilizado para facilitar a manipulação dos dados.</p><p>Qualquer algarismo ou dígito de número binário é denominado de bit (binary digit). Exemplo: 111011 ? 6 bits</p><p>Conversão do sistema binário para o sistema decimal</p><p>Uma representação posicional no sistema binário pode ser desenvolvida numa forma polinomial, que envolve um somatório</p><p>de potências de dois. Assim, o equivalente decimal do número binário é obtido da representação polinomial do número na</p><p>base dois, por meio do processamento da soma decimal.</p><p>Exemplo 1: Conversão do número binário 110010 para decimal:</p><p>1- O primeiro dígito da direita para a esquerda do número binário multiplica a potência de 20, o segundo dígito da direita</p><p>para a esquerda multiplica 21, o terceiro dígito à direita multiplica 22, e assim por diante:</p><p>0 x 20 = 0 x 1 = 0</p><p>1 x 21 = 1 x 2 = 2</p><p>0 x 22 = 0 x 4 = 0</p><p>0 x 23 = 0 x 8 = 0</p><p>1 x 24 = 1 x 16 = 16</p><p>1 x 25 = 1 x 32 = 32</p><p>2- A soma dessas multiplicações</p><p>resulta no número decimal:</p><p>0 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 = 50</p><p>Assim:</p><p>1100102 = 5010</p><p>Exemplo 2: 101011101010012 = 1 x 213 + 0 x 212 + 1 x 211 + 0 x 210 + 1 x 29 + 1 x 28 + 1 x 27 + 0 x 26 + 1 x 25 + 0 x 24 +</p><p>1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20</p><p>101011101010012= 8192 + 0+2048 + 0 + 512 + 256 + 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 +1</p><p>101011101010012 = 1117710</p><p>Para conhecer um pouco mais sobre esse sistema, veja o infográfico abaixo. Este infográfico faz parte da sequência desta</p><p>aula e, portanto, é essencial para a aprendizagem.</p><p>INFOGRÁFICO</p><p>Podemos representar um número decimal fracionário por um número binário, como no exemplo a seguir:</p><p>111,01012 = 1 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 0 x 2-3 + 1 x 2-4</p><p>111,01012 = 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625</p><p>111,01012 = 7,312510</p><p>Para a representação de números negativos, pode-se utilizar o sinal "-". Outro método utilizado na prática é o acréscimo de</p><p>um dígito binário à esquerda do número para indicar esse sinal, ou seja, para indicar se o número é negativo ou não. Os</p><p>05/09/2024, 21:05 about:blank</p><p>about:blank 3/5</p><p>http://ead.uninove.br/ead/disciplinas/web/_g/arco80_100/a02if02_arco80_100.htm</p><p>números binários compostos dessa maneira são chamados de números binários com sinal ou números de magnitude com</p><p>sinal pois o primeiro dígito representa o sinal e os dígitos restantes significam a magnitude do número. Geralmente, o dígito</p><p>0 indica um número positivo e o 1 indica um número negativo.</p><p>– 32410 = 11010001002</p><p>↓</p><p>dígito que indica um número negativo</p><p>Conversão do sistema decimal para o sistema binário</p><p>Efetua-se uma operação aproximadamente inversa à conversão de binário para decimal utilizando o método das divisões</p><p>sucessivas: divide-se sucessivamente o número decimal por dois até resultar em um número menor que dois, e os restos</p><p>dessas divisões com o último resultado formarão o número binário. Esse mesmo método pode ser usado para outros sistemas</p><p>de numeração de base diferente de 2, como o sistema hexadecimal, cuja base é 16.</p><p>Para conhecer um pouco mais sobre esse sistema, veja o infográfico abaixo. Este infográfico faz parte da sequência desta</p><p>aula e, portanto, é essencial para a aprendizagem.</p><p>Exemplo 1: Conversão do número decimal 102910 para o sistema binário.</p><p>1. Divide-se o número por dois, que é a base do sistema binário. O resto dessa divisão será o último dígito do número</p><p>binário:</p><p>2. O resultado dessa divisão é dividido novamente por 2, e o resto será o penúltimo dígito do número binário. O</p><p>resultado é dividido sucessivas vezes por 2, até a última divisão, em que o resultado for 0 ou 1. O resultado da última</p><p>divisão será o primeiro dígito do número binário.</p><p>Ocultar</p><p>restos das divisões sucessivas:10000000101</p><p>05/09/2024, 21:05 about:blank</p><p>about:blank 4/5</p><p>102910 = 100000001012</p><p>Exemplo 2: Conversão do número 2837410 decimal para binário.</p><p>Ocultar</p><p>Agora que você já estudou esta aula, resolva os exercícios e verifique seu conhecimento.</p><p>Caso fique alguma dúvida, leve a questão ao Fórum e divida com seus colegas e professor.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>REFERÊNCIA</p><p>STALLINGS, Willian. Arquitetura e organização de computadores. 5. ed. Prentice Hall. São Paulo, 2006.</p><p>TANENBAUM. Andrew S. Organização estruturada de computadores. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.</p><p>MACHADO, Francis B.; MAIA, Luiz P. Arquitetura de sistemas operacionais. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.</p><p>WEBER, Raul Fernando. Arquitetura de computadores pessoais. 2. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2003.</p><p>_______. Fundamentos de arquitetura de computadores. 3. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2004.</p><p>05/09/2024, 21:05 about:blank</p><p>about:blank 5/5</p><p>http://ead.uninove.br/ead/disciplinas/impressos/_g/arco80_100/a02ex01_arco80_100.pdf</p>