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<p>Módulo 2</p><p>Produtos entre Vetores</p><p>(Exercícios Resolvidos)</p><p>Prof. Alexsandro Marian Carvalho</p><p>Prof. Vilarbo da Silva Júnior</p><p>Escola Politécnica</p><p>UNISINOS</p><p>Fundamentos de Álgebra Linear</p><p>Produto Escalar</p><p>Problema 1 Considere os vetores 𝑢 = 2Ԧ𝑗 + 𝑘 e Ԧ𝑣 = −3Ԧ𝑖 + Ԧ𝑗 + 2𝑘. Calcule (𝑢 + Ԧ𝑣) ∙ (𝑢 − 2 Ԧ𝑣).</p><p>Solução</p><p>Perceba que</p><p>𝑢 = 0Ԧ𝑖 + 2Ԧ𝑗 + 1𝑘 = (0,2,1)</p><p>Ԧ𝑣 = −3Ԧ𝑖 + Ԧ𝑗 + 2𝑘 = (−3,1,2)</p><p>Desta forma,</p><p>𝑢 + Ԧ𝑣 = 0,2,1 + −3,1,2 = (−3,3,3)</p><p>𝑢 − 2 Ԧ𝑣 = 0,2,1 − 2 −3,1,2 = (6,0,−3)</p><p>Assim</p><p>(𝑢 + Ԧ𝑣) ∙ 𝑢 − 2 Ԧ𝑣 = −3,3,3 ∙ (6,0,−3)</p><p>= −3 6 + 3 0 + 3 −3</p><p>= −27</p><p>Produto Escalar</p><p>Problema 2 Sendo 𝑢 = 2, Ԧ𝑣 = 3 𝑒 120𝑜 o ângulo entre 𝑢 𝑒 Ԧ𝑣. Determine |𝑢 + Ԧ𝑣| .</p><p>Solução</p><p>Sabemos (propriedade do produto escalar)</p><p>(𝑢 + Ԧ𝑣) ∙ (𝑢 + Ԧ𝑣) = 𝑢 + Ԧ𝑣 2</p><p>ou ainda</p><p>𝑢 + Ԧ𝑣 2 = 𝑢 ∙ 𝑢 + Ԧ𝑣 ∙ Ԧ𝑣 + 2 𝑢 ∙ Ԧ𝑣</p><p>= 𝑢 2 + Ԧ𝑣 2 + 2 𝑢 Ԧ𝑣 cos 𝜃</p><p>Sendo assim</p><p>𝑢 + Ԧ𝑣 2 = 22 + 32 + 2 2 3 cos120°</p><p>= 7</p><p>Logo,</p><p>|𝑢 + Ԧ𝑣| = 7</p><p>Produto Escalar</p><p>Problema 3 Dados os vetores 𝑢 = 3,1 𝑒 Ԧ𝑣 = (−2,3). Calcule o ângulo entre eles.</p><p>Solução</p><p>𝑢</p><p>Ԧ𝑣</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝜃</p><p>Da definição geométrica do produto escalar, temos</p><p>𝜃 = acos</p><p>𝑢 ∙ Ԧ𝑣</p><p>𝑢 Ԧ𝑣</p><p>em que</p><p>𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 3,1 ∙ −2,3 = 3 −2 + 1 3 = −3</p><p>𝑢 = 32 + 12 = 10</p><p>Ԧ𝑣 = −2 2 + 32 = 13</p><p>resulta</p><p>𝜃 = acos</p><p>−3</p><p>10 13</p><p>∴ 𝜃 ≅ 105.3°</p><p>Produto Vetorial</p><p>Problema 4 Considere os vetores 𝑢 = 5Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗 + 3𝑘 e Ԧ𝑣 = Ԧ𝑖 + 𝑘. Calcule 𝑢 × Ԧ𝑣.</p><p>Solução</p><p>Note que</p><p>𝑢 = 5Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗 + 3𝑘 = (5,4,3)</p><p>Ԧ𝑣 = Ԧ𝑖 + 0Ԧ𝑗 + 𝑘 = (1,0,1)</p><p>Assim</p><p>𝑢 × Ԧ𝑣 =</p><p>Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘</p><p>5 4 3</p><p>1 0 1</p><p>=</p><p>Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗</p><p>5 4 3 5 4</p><p>1 0 1 1 0</p><p>Decorre</p><p>𝑢 × Ԧ𝑣 = 4Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 + 0𝑘 − 4𝑘 + 0Ԧ𝑖 + 5Ԧ𝑗</p><p>= 4Ԧ𝑖 − 2Ԧ𝑗 − 4𝑘</p><p>Produto Vetorial</p><p>Problema 5 Dados os vetores 𝑢 = 1,−1,−4 𝑒 Ԧ𝑣 = (3,2, −2). Obtenha uma vetor unitário que seja simultaneamente</p><p>ortogonal a 𝑢 𝑒 𝑣.</p><p>Solução</p><p>Figura (Esquema)</p><p>𝑢</p><p>Ԧ𝑣</p><p>𝑢 × Ԧ𝑣</p><p>𝑢 × Ԧ𝑣</p><p>|𝑢 × Ԧ𝑣|</p><p>Vetor ortogonal</p><p>𝑢 × Ԧ𝑣 =</p><p>Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘</p><p>1 −1 −4</p><p>3 2 −2</p><p>= (10,−10, 5)</p><p>Módulo de 𝑢 × Ԧ𝑣</p><p>𝑢 × Ԧ𝑣 = 102 + −10 2 + 52 = 15</p><p>Vetor ortonormal (ortogonal e unitário)</p><p>𝑢 × Ԧ𝑣</p><p>|𝑢 × Ԧ𝑣|</p><p>=</p><p>(10,−10, 5)</p><p>15</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>,−</p><p>2</p><p>3</p><p>,</p><p>1</p><p>3</p><p>Produto Vetorial</p><p>Problema 6 Dados os pontos 𝐴(2,1,1), 𝐵(3, −1,0) 𝑒 𝐶(4,2,−2). Determinar a área do triângulo 𝐴𝐵𝐶.</p><p>Solução</p><p>𝐴 𝐵</p><p>𝐶</p><p>Triângulo 𝐴𝐵𝐶 (Esquema)</p><p>Área do triângulo</p><p>𝐴𝑇 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐴𝑃</p><p>Área do paralelogramo</p><p>𝐴𝑃 = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶</p><p>Vetores</p><p>𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (1,−2,−1)</p><p>𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 = (2,1,−3)</p><p>Produto vetorial</p><p>𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 =</p><p>Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘</p><p>1 −2 −1</p><p>2 1 −3</p><p>= (7,1,5)</p><p>Assim</p><p>𝐴𝑇 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐴𝑃 =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝐴𝐵 × 𝐴𝐶</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>72 + 12 + 52</p><p>=</p><p>5 3</p><p>2</p><p>𝑢. 𝑎.</p><p>Produto Misto</p><p>Problema 7 Considere os vetores 𝑢 = Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗 + 3𝑘, Ԧ𝑣 = Ԧ𝑖 − 2𝑘 e 𝑤 = Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 + 4𝑘, calcule 𝑢 ∙ ( Ԧ𝑣 × 𝑤).</p><p>Solução</p><p>Vetores</p><p>𝑢 = Ԧ𝑖 + 4Ԧ𝑗 + 3𝑘 = (1,4,3)</p><p>Ԧ𝑣 = Ԧ𝑖 + 0Ԧ𝑗 − 2𝑘 = (1,0,−2)</p><p>𝑤 = Ԧ𝑖 + 3Ԧ𝑗 + 4𝑘 = (1,3,4)</p><p>Produto Misto</p><p>𝑢 ∙ Ԧ𝑣 × 𝑤 =</p><p>1 4 3</p><p>1 0 −2</p><p>1 3 4</p><p>=</p><p>1 4 3 1 4</p><p>1 0 −2 1 0</p><p>1 3 4 1 3</p><p>= 0 − 8 + 9 − 0 − 6 + 16</p><p>= −9</p><p>Produto Misto</p><p>Problema 8 Os vetores 𝑢 = 1,2,0 , Ԧ𝑣 = 3,0,4 𝑒 𝑤 = 0,3,4 definem um paralelepípedo.</p><p>Calcule a altura do paralelepípedo relativa a base formada pelos vetores 𝑢 e Ԧ𝑣.</p><p>Solução</p><p>𝑢</p><p>Ԧ𝑣</p><p>𝑤</p><p>ℎ</p><p>Paralelepípedo (Esquema)</p><p>Volume paralelepípedo</p><p>𝑉 = |𝑢 ∙ ( Ԧ𝑣 × 𝑤)|</p><p>em que</p><p>𝑢 ∙ Ԧ𝑣 × 𝑤 =</p><p>1 2 0</p><p>3 0 4</p><p>0 3 4</p><p>= −36</p><p>Assim</p><p>𝑉𝑃 = −36 = 36</p><p>Área da Base (Paralelogramo)</p><p>𝐴 = 𝑢 × Ԧ𝑣</p><p>onde</p><p>𝑢 × Ԧ𝑣 =</p><p>Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘</p><p>1 2 0</p><p>3 0 4</p><p>= (8,−4,−6)</p><p>resulta</p><p>𝐴 = 82 + −4 2 + −6 2</p><p>= 2 29</p><p>Volume (Geometria)</p><p>𝑉 = 𝐴ℎ</p><p>Portanto</p><p>ℎ =</p><p>𝑉</p><p>𝐴</p><p>=</p><p>18 29</p><p>29</p><p>𝑢. 𝑐.</p><p>Produtos Escalar, Vetorial e Misto</p><p>Problema 9 Dados os vetores Ԧ𝑎 = (1, −2,0), 𝑏 = (−3,6,0) e Ԧ𝑐 = (0,0,7).</p><p>a) Verifique quais pares de vetores são paralelo e ortogonais.</p><p>b) Determine se os vetores são coplanares.</p><p>Solução</p><p>a) Paralelismos (Condição): 𝑢 × Ԧ𝑣 = 0</p><p>Ortogonalidade (Condição): 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 = 0</p><p>Pares Paralelos</p><p>Ԧ𝑎 × 𝑏 = 0 ∴ Ԧ𝑎 𝑒 𝑏 são paralelos.</p><p>Ԧ𝑎 × Ԧ𝑐 = (−14,−7,0) ∴ Ԧ𝑎 𝑒 Ԧ𝑐 não são paralelos.</p><p>𝑏 × Ԧ𝑐 = (42,21,0) ∴ 𝑏 𝑒 Ԧ𝑐 não são paralelos.</p><p>Pares Ortogonais</p><p>Ԧ𝑎 ∙ 𝑏 = −15 ∴ Ԧ𝑎 𝑒 𝑏 não são ortogonais.</p><p>Ԧ𝑎 ∙ Ԧ𝑐 = 0 ∴ Ԧ𝑎 𝑒 Ԧ𝑐 são ortogonais.</p><p>𝑏 ∙ Ԧ𝑐 = 0 ∴ 𝑏 𝑒 Ԧ𝑐 são ortogonais.</p><p>b) Coplanaridade (condição): 𝑢 ∙ Ԧ𝑣 × 𝑤 = 0</p><p>Ԧ𝑎 ∙ 𝑏 × Ԧ𝑐 = 0 ∴ Ԧ𝑎, 𝑏 𝑒 Ԧ𝑐 são coplanares.</p>