Lista Análise - Sequências

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Curso de Matemática
Análise Real - Lista 3 - Sequências
1. Se limxn = a, prove que lim |xn| = |a|. Mostre que a rećıproca é falsa.
2. Dadas as sequências (xn)n∈N e (yn)n∈N, defina (zn)n∈N pondo z2n−1 = xn e z2n = yn. Se
limxn = lim yn = a, prove que lim zn = a.
3. Para cada n ∈ N, seja 0 ≤ tn ≤ 1. Se limxn = lim yn = a, prove que lim[tnxn + (1 −
tn)yn] = a.
4. Prove que lim
(
1
n2
+
2
n2
+ . . .+
n
n2
)
=
1
2
.
5. Sejam a, b ≥ 0. Prove que lim
n
√
an + bn = max{a, b}.
6. Seja (xn)n∈N tal que xn =
n
n+ n
1
2
, prove que xn → 1, quando n→∞.
7. Seja (xn)n∈N tal que xn → 0. Para cada n ∈ N defina
yn = min{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}.
Prove que yn → 0.
8. Seja x ∈ R fixo e considere a sequência ( sinnx
n
)n∈N. Prove que sinnx
n
→ 0, quando n→∞.
9. Prove que (
√
n+ 1−
√
n)n∈N converge para zero.
10. Seja x1 =
√
2 e xn+1 =
√
2 +
√
xn, n = 2, 3, . . .. Prove que (xn)n∈N converge.
11. Dado a > 0, defina indutivamente a sequência (xn)n∈N pondo x1 =
√
a e xn+1 =
√
a+ xn.
a) Prove que (xn)n∈N é convergente.
b) Calcule seu limite.
12. Considere a sequência (xn)n∈N dada por
√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . . ,
a) Prove que (xn)n∈N é convergente.
b) Mostre que o limite é 2.
13. Seja λ ∈ R, 0 < λ < 1 e (xn)n∈N uma sequência tal que |xn+1| ≤ λ|xn|, para todo n ∈ N.
Mostre que xn → 0, quando n→∞.
14. Seja (xn)n∈N uma sequência de números reais. Defina (yn)n∈N da seguinte forma:
yn =
x1 + x2 + . . .+ xn
n
.
Prove que: Se xn → a, quando n→∞, então yn → a, quando n→∞.
Sugestão: Faça primeiro o caso particular com a = 0. Dado ε > 0, temos que: existe
p ∈ N tal que |xn| <
ε
2
, quando n > p; existe A > 0 tal que |xn| < A, para todo n ∈ N;
e existe q ∈ N tal que
∣∣∣∣ 1n
∣∣∣∣ ≤ ε
2pA
, quando n > q. Tome n0 = max{p, q}, então quando
n > n0 tem-se que |yn| ≤
1
n
(|x1|+ . . .+ |xp|+ |xp+1|+ . . .+ |xn|) <
ε
2
+
ε
2
= ε. O Caso
geral segue facilmente do caso acima.