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1 1A LISTA DE EXERCÍCIOS 01. Esboce o gráfico de f, determine )x(f ax lim ),x(f ax lim +®-® e, caso exista, :)x(f ax lim ® a) ï î ï í ì + - = ,14 , 2 ,23 )( x x xf 1 11 1 < = > x ) =(a x x b) , x , ,x )x(f ï ï î ïï í ì - - = 1 1 12 1 22 21 < = ¹³ x ) =(a x x e x c) ïî ï í ì - -= , x ,xx )x(f 2 0 0 < ³ x x )a( 0= d) ïî ï í ì + + = ,0 , |2| 2 )( x x xf 2 )2- =(a 2 -= -¹ x x 02. Determine, se possível, a Î R, para que exista )x(f xx lim o® , sendo: a) ï î ï í ì - - = ,x a , ,x )x(f 5 3 23 1 11 1 -< -=-= -> x )x( x x o b) ïî ï í ì -- = - , a ,)x)(x( )x(f 12 24 2 2 = ¹ x x )x( o 2= 03. Considere as funções do exercício 01. Verifique se f é contínua em x = a. Justifique. 04. Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R ? R, tal que g é contínua e g(x) = f(x), para todo x Î D(f): x x )x(f a) - - = 3 92 î í ì - + = , x ,x )x(f b) 2 13 2 2 -< -> x x 05. Calcule os limites a seguir , a) )yyy( lim y 245 1 123 +-- -® b) )wlnw(log lim w - ®10 c) )x(e lim x x 43 1 - ® d) xcos xsen lim /x +® 12p e) x x lim x - - ® 2 42 2 f) 1 1 3 1 - - ® x x lim x g) 18 232 3 2 21 - -+ ® x xx lim /x h) 134 2 816 - ® -- )x)(x(e lim x i) 1 1 1 - - ® x x lim x j) yy y lim y ++ - -® 2 1 2 1 k) x x lim x -- +- ® 51 53 4 l) 4 2 4 - - ® x x lim x m) 8 2 lim 3 8 - - ® x x x n) 1 253 lim 2 3 1 - -+ ® x x x 06. Determine, se possível, as constantes a, b e c Î R, de modo que f seja contínua em x0, sendo: INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A 2008.2 2 a) ïî ï í ì + = , b ,bx )x(f 2 2 2 1 1 = ¹ x x (x0 = 1) b) ï î ï í ì + - = 1 33 2bx ax x )x(f -3x , -3x , -3x , < = > (x0 = - 3) 07. Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede: ïî ï í ì = , e ,xln )x(f a) x 0 0 £ > x x · )x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim xe x- xx0x0x0x x - ¥+®®®®®®®¥-® + 11 · intervalos onde f é contínua. ïî ï í ì = , x/ ,)/( )x(f b) x 1 21 0 0 < > x x · )x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim x xxxxx x ¥+®-®®®®®¥-® +- 11000 ï î ï í ì = - , x , 0 ,xlog )x(f c) / 2 21 0 0 0 < = > x x x · )x(flim, )x(flim, )x(flim, )x(flim xxxx 10 ®®+¥®-¥® · estude a continuidade de f em 0=x . ï ï î ïï í ì + = p ,x g x, ,x d) f(x) cot 4 p p ³ << £ x x x 0 0 · )x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim ),x(flim xxx/ xxxx x - ¥+®®®®®®®¥-® ++- ppp 2000 · ponto(s) de descontinuidade de f . 08. Calcule: a) )xx( lim x 342 25 -+ +¥® b) )xxx( lim x 524 23 -+- -¥® c) )e( lim x x 5- -¥® d) 25 2 ++ -¥® xx lim x e ) )x xx( lim x +- +¥® 32 f) x)(x x ln lim 2 0 + +® g) x/x lim 121 1 ++¥® h) )xln( lim x - -® 2 2 i) 1 11 32 lim - ® + - x x p 09. Calcule os seguintes limites: a) xsen x lim x 12 0 + ® b) 2 0 1 x x lim x - +® c) 2 2 5 5 32 )x( x lim x - + ® d) 2 45 2 - - ® x x lim x e) x xcos lim x 3 0® f) 3 113 lim 3 - - -® x x x 3 g) 40 32 x x lim x -+ ® 10. Calcule os limites a seguir: a) 23 2 918 2542 xx xx lim x - -- +¥® b) 2 2 412 2 xx xx senlim x - -+ +¥® p c) 11231 -- +¥® )x(x x )/(lim p d) )](lnlnx[lim x x 13 2 +- +¥® e) )x xx( lim x +- -¥® 32 f) )] 1( [ lim 2 xxx x -- +¥® 11. Calcule as constantes de modo que: a) 5 3 2 3 = - +- ® x baxx lim x b) 5 1 3 =úû ù êë é + + - +¥® x bx ax lim x c) 3= +¥® )x(flim x e 1 2 = -® )x(flim x , sendo )x(x dcxbxax )x(f 2 24 23 -+ +++ = d) 61 1 3 1 / x axb lim x = - -+ ® e) 32 1 82 2 1 / x b x lim x -= + -+ -® f) ï ï î ï ï í ì >+ = < - +- = 313 3 3 3 92 -x , x -x , bx -x , x axx )x(f seja contínua em x0 = -3 12 Calcule os seguintes limites: a) x ax sen lim x 0® b) 0, com , lim 0 ¹ ® ba bx axtg x c) 20 1 x xcos lim x - ® d) xsen xsentgx lim x 20 - ® e) pp -® x xsen lim x f) ax asenxsen lim ax - - ® g) ax acosxcos lim ax - - ® . 13 Calcule os limites a seguir: a) )]x/(senxlim x 1 [ 0® b) ]xsen.elim x x [ -¥® c) ú ú û ù ê ê ë é +- - ® + x e )xcos(xlim x x 23 0 4 d) ú ú û ù ê ê ë é - + +¥® )x(lncos x x lim x 31 52 7 3 e) ú ú û ù ê ê ë é ÷ ÷ ø ö ç ç è æ +- -+ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + ++ +¥® 3 232 22 3 21 1 xx xx cos. x xx senlim x p 14. Considere a função ï ï ï î ï ï ï í ì ¹³- = =- ¹< +- - = 525 510 12 12 232 3 x e x ,x ln x x , x , x e x , xx xx )x(f . Justificando, estude a continuidade de f. 15. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, determine f´(x0): 4 a) î í ì >- £- = 2,8 2,3 )( xx xx xf (x0 = 2) b) f(x) = x2 |x| (x0 = 0) c) f(x) = 3 x (x0 = 0) d) f(x) = 2x3 + 2 (x0 = 2) e) f(x) = xn , n Î N* (x0 Î R) 16. Verifique em que ponto(s) a função f(x) = |x2 – 1| não é derivável. Justifique sua resposta. 17. Esboce o gráfico de f’ sabendo que f é dada pelo gráfico: a) b) (-2,3) (1,3) (5,-2) (7,3) 0 0 (-2,4) (-5,0) (2,4) D(f) = [–2, + 8 ) D(f) = R obs: No intervalo [–2,2], f(x) = x2 18. Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em x = 1, sendo ïî ï í ì > £+ = - 1 1 1 2 x , x x ,bax )x(f . 19. Determine as derivadas das funções a seguir: a) y = 2x4 – 3x2+ x – 3 b) 3 122 )z( x -= c) y yy y w 3 2 4 3 3 2 +÷ ø öç è æ+= d) 7 5 - += t t u e) pln.x x y 3 3 16 5 + - - = f) )x(xy // 12 3132 -= g) )1(2 3 ++= xxy x 20. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: a) y = (–2/5)senx + 9secx b) y = x senx + cosx c) f(x) = 2senx cosx + 8tgx secx d) tsec t tg )t(g 1-= e) xcosxsen xcosxsen )x(g - += f) senx e y x = 21. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x0: a) f(x) = 2x3 + 3x –1; x0 = 1 b) f(x) = tg x; x0 = p/4 c) f(x) = cossec x; x0 = p/2 22. Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f(x) = x3 + 2x2 – 4x nos quais a reta tangente é: a) horizontal b) paralela à reta 2y + 8x – 5 = 0 23. Em que ponto da curva y = 2 + x2 a reta tangente tem ângulo de inclinação p/3 ? 5 24. Caso exista, determine o(s) ponto(s) da curva f( x ) = 1/x , no qual a reta tangente é paralela à: a) 1ª bissetriz b) 2ª bissetriz 25. Seja f(x) = b – (x2/16). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos pontos M(0,5) e N(5/2,0) seja tangente ao gráfico de f . 26. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 – 3x e perpendicular à reta 2y + x = 3. 27. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(0,2) e é tangente ao gráfico de f(x) = x3. Ilustre a interseção construindo o gráfico. ( Observe que o ponto P não pertence ao gráfico da função f(x) = x3) 28. Determine a equação da reta tangente comum aos gráficos de f(x) = – x2 e de g(x) = x2 + (1/2). 29. Determine f’(x) supondo g e h deriváveis e )( ))(( )( 3 xg xxh xf = , g(x) ? 0 RESPOSTAS DA 1a LISTA 01) 1 1 2 5a) 0 1 2 3 b) )x(flim ,)x(flim,)x(flim xxx 111 15 ®®® $/== +- 3 222 === ®®® +- )x(flim)x(flim)x(flim xxx 0 1 c) -2 1 -1 d) 6 0 000 === ®®® +- )x(flim)x(flim)x(flim xxx )x(flim ,)x(flim,)x(flim xxx 222 11 ®®® $/=-= +- 02. a) -10; b) )x(flim x 2® existe, independente do valor de a. Por isso a pode ser um número real qualquer. 03. a) Não é contínua em x = 1 pois não existe )x(flim x 1® ; b) Não é contínua em x = 2 pois );(f)x(flim x 2 2 ¹ ® c) É contínua em zero pois .)(f)x(flim x 00 0 == ® d) Não é contínua em x = -2 pois não existe )(lim 2 xf x -® ; 04. a) D(f) = R – {3} e ïî ï í ì = ¹ - - = 3x ,6- 3x , x x )x(g 3 92 ; b) D(f) = R – {–2}, e não é possível definir g(–2), tal que g seja contínua, pois não existe (x) flim x 2- ® ; 05. a) 10 b) 1- ln10 c) -3e d) 1 e) 4 f) não existe pois 3 1 13 1 -= - - -® x x lim x e 3 1 13 1 += - - +® x x lim x g) 5/6; h) e8/3; i) 1/2; j) 4/3; k) -1/3; l) 0; 06. a) b = -1 ou b = 2; b) a = 4 e b = -13/9 07) a) b) 1 0, 1, -¥, não existe, 0, 1/e, 1, +¥, (-¥,0), (0,+¥) 0, -¥, 1, não existe, 1/2, -1, 0 c) d) 7 p (p,2p) 0, -¥, +¥, 0, não é contínua em zero porque )(f)x(flim x 0 0 ¹ ® +¥, 0, +¥, não existe, 0, -¥, 2p, +¥; x = 0 e x = p 08. a), d), e) +8 b), f), h) – 8 c) 0 g) 1/2 i) p/2 09. a) Não existe pois -¥=+ -® xsen x lim x 12 0 e +¥=+ +® xsen x lim x 12 0 b) – 8 c) + 8 d) + 8 e) Não existe pois -¥= -® x xcos lim x 3 0 e +¥= +® x x x 3cos lim 0 f) Não existe, pois -¥= - - --® 3 113 lim 3 x x x e +¥= - - +-® 3 113 lim 3 x x x g) – 8 10. a),c) 0; b) 22 / ; d) – 8 e) 3/2 f) – ½ 11. a) a = 1, b = -6; b) a = 0, b = -5; c) a = 0, b = 12, c = 36, d = 24 d) a = 4/3, b = 2/3; e) b = 6; f) a = 10, b = 8/3. 12.a) a b) a/b c) 1/2 d) 0 e) –1 f ) cos a g ) – sen a. 13.) , b) , d) , e) zero; c) +¥ . 14. f é contínua { }; , IRx 52-Î" 15. a) não existe; b) zero; c) não existe; d) 24; e) 1-nonx 16. f não é derivável em –1 e em +1 17. a) b) 8 1 5 (5,5/2)3 -3/2 (5,-5/4) -2 - 2 4/3 -4 2 4 4 18. a = -1/2, b = 3/2 19. a) y´ = 8x3 – 6x +1; b) 34 /'x = ; c) 3 3 2 2 2 3 3 10 4 3 y y y 'w -÷ ø öç è æ+-= ; d) 27 12 )t( 'u - -= ; e) plnx )x( x 'y 2 23 2 3 16 90 + - = ; f) ( )33 2 2 x 'y -= ; g) )13(2)1(2ln2 23 ++++=¢ xxxy xx 20. a) y´ = - (2/5) cosx + 9 secx tg b) y´= x cosx; c) f´(x) = 2 cos2x + 8 secx (2tg2x + 1); d) g´(t) = (1 + tgt) cost e) g´(x) = – 2(senx – cosx)- 2 f) xsen xsenxe y x 2 )cos( - =¢ 21. a) t: 9x – y – 5 = 0 e n: x + 9y – 37 = 0; b) t: )x(y:n e )x(y 42 1 1 4 21 pp --=--=- ; c) t: y = 1 e n: x = p/2. 22. a) x = -2, x = 2/3; b) x = 0, x = -4/3 23. ( )4/11,2/3 24. a) não existe b) (1,1), (-1,-1); 25. b = –11 26. t: y = 2x - (25/4) 27. t: y = 3x + 2 28. t1: y = x + 1/4, t2: y = -x + 1/4 29. )( )()(' )( )]()(')[(3 )(' 2 3322 xg xhxxg xg xhxxhxhx xf - + =
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