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Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 1
1 
DEFINIÇÕES E PRINCÍPIOS PARA
FAZER MEDIÇÕES COM COLUNAS
MANOMÉTRICAS 
No mundo contemporâneo, torna-se cada vez 
mais necessária a medição e controle de 
determinados parâmetros dos processos, com a 
finalidade de atender aos mais variados tipos de 
especificações técnicas, por este motivo a 
PRESSÃO pode ser considerada como uma das 
mais importantes grandezas físicas que atua nestes 
referidos processos. 
Por definição, Pressão é igual à relação entre 
a Força uniformemente distribuída sobre a unidade 
de área e atuando sobre ela; e um dos métodos 
mais preciosos para medi-la consiste em equilibrar 
a coluna de líquido, cujo peso específico é 
conhecido, com a pressão aplicada. 
Para instrumentos com Coluna de Líquido, o 
princípio da medição consiste no fato de que ao se 
aplicar a lei D p= D h.. .g, a pressão "p" para ser 
medida deve ser comparada com a altura "h" da 
coluna de líquido. 
 
 Figura 10 – Variação da altura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os Instrumentos que empregam tal princípio 
são denominados "Manômetros de Coluna" e a 
precisão da medição, com auxílio de tais instrumentos, 
pode chegar até 0,3%. 
Para se fazer medições com maior precisão é 
necessário que sejam considerados vários fatores, tais 
como: 
a - Temperatura: realizar cálculos de correção 
se a temperatura de medição diferir da temperatura de 
referência, pois a variação de temperatura provoca 
mudanças na densidade do líquido manométrico. 
 
b - Aceleração da gravidade deve ser 
considerada no local da medição com o seu valor de 
referência. 
 
c - Impurezas contidas no líquido 
manométrico também provocam mudanças na 
densidade, conseqüentemente causando erros de 
leitura. 
 
d - A influência da Tensão Superficial e sua 
mudança causada por efeitos externos, assim como a 
compressibilidade do líquido manométrico deve ser 
considerada. 
 A tensão superficial dos líquidos é 
apresentada pela forma que apresentam nas paredes do 
recipiente. Em tubos de diâmetro pequeno a forma da 
superfície total do líquido será curvada, sendo que, 
para os líquidos que tiverem baixa tensão superficial, a 
superfície terá a forma convexa em relação ao ar. 
 Com a finalidade de minimizar qualquer 
efeito de distorção no aumento da capilaridade em 
tubos de diâmetros pequenos estes devem 
possuir diâmetros constantes. 
As unidades de pressão mais usadas na 
prática são: 
a - Milímetros ou polegadas de 
mercúrio ( mmHg ou "Hg ) 
b - Milímetros ou polegadas de coluna 
d'água ( mmH2O ou "H2O ) 
c - Bar ou milibar ( bar ou mbar ) 
d - Libra (força) por polegada quadrada 
(PSI ) 
A IOPE fornece escalas com as unidades de 
pressão acima citadas e em diversos tamanhos 
para atender a vários campos de leitura. Tais 
escalas podem ser construídas de materiais tais 
como: alumínio, aço inox, etc.., de acordo com a 
aplicação do instrumento. 
 
 
 
 
Flanges
 Figura 10 – Flanges e tubos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
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2 
Viscosidade 
 
™ INTRODUÇÃO:
Ao promover o movimento de uma esfera em 
um fluido ideal de viscosidade K em regime 
estacionário, as linhas de corrente formam um 
desenho perfeitamente simétrico em torno da mesma. 
Haverá uma força de arrastamento viscoso. 
Jean Louis Poiseuille (1799 – 1869) foi um físico 
francês que realizou experimentos 
relacionados à viscosidade de fluidos. 
Em homenagem a seus trabalhos, 
denomina-se a unidade de viscosidade 
como Poise. 
 
 
A Lei de George Stokes da viscosidade 
estabeleceu a ciência de hidrodinâmica. 
Realizou trabalho sobre esferas e várias 
relações de fluxo que variam de mecânicas de onda a 
resistência viscosa. Estudou o movimento de fluidos 
incompressíveis, a fricção de fluidos em movimento, e 
o equilíbrio e movimento de sólidos elásticos. Seus 
trabalhos na transmissão de ondas acústicas por 
materiais viscosos é de interesse na Física. 
Investigando a teoria de onda de luz, nomeou 
e explicou o fenômeno de fluorescência, e teorizou 
uma explicação de linhas de Fraunhofer no espectro 
solar. Ele sugeriu que estes fossem causados através 
de átomos nas capas exteriores do Sol que absorve 
certos comprimentos de onda. Porém quando 
Kirchhoff publicou depois esta explicação aboliram-se 
quaisquer descobertas anteriores. 
A seguir analisaremos a força dada pela Lei
de Stokes em fluidos viscosos. 
 
™ TEORIA
 
A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto 
é, das forças de coesão entre moléculas relativamente 
juntas. Desta maneira, enquanto que a viscosidade dos 
gases cresce com o aumento da temperatura, nos 
líquidos ocorre o oposto. Com o aumento da 
temperatura, aumenta a energia cinética média das 
moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo 
que as moléculas passam umas junto das outras, 
menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e 
menor a viscosidade. 
 Para entender a natureza da viscosidade nos 
líquidos, suponhamos duas placas sólidas planas, uma 
sobre a outra, com um fluído contínuo entre elas. 
Aplicando uma força constante a uma das placas, a 
experiência mostra que ela é acelerada até atingir uma 
velocidade constante (chamada velocidade terminal). 
Se a intensidade da força aplicada for duplicada, por 
exemplo, a velocidade terminal também duplica. A 
velocidade terminal é proporcional à força aplicada. 
Pensando que o líquido entre as placas se separa em 
lâminas paralelas, o efeito da força aplicada é o de 
produzir diferenças de velocidade entre lâminas 
adjacentes. A lâmina adjacente à placa móvel se 
move junto com ela e a lâmina adjacente à placa 
imóvel permanece também imóvel. O atrito 
entre lâminas adjacentes causa dissipação de 
energia mecânica e é o que causa a viscosidade 
no líquido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É um fato experimental que o módulo F da 
força aplicada, necessária para manter o 
movimento da placa com velocidade de módulo 
v constante, é diretamente proporcional à área A 
da placa e ao módulo da velocidade e 
inversamente proporcional à distância L entre as 
placas. Assim, podemos escrever: 
v
dv
F A
dL
K 
definindo o chamado coeficiente de viscosidade 
K do fluido, que depende do fluido e da 
temperatura. No SI, a unidade correspondente é 
pascal x s e no sistema cgs, o poise, de modo 
que 1 Pa x s = 10 poise. A tabela abaixo mostra 
alguns coeficientes de viscosidade. 
Coeficientes de Viscosidade 
Líquidos (poise) Gases (10-4 poise) 
Glicerina (20 
oC) 
8,3 Ar (0 oC) 1,71 
Água (0 oC) 0,0179 Ar (20 oC) 1,81 
Água (100 oC) 0,0028 Ar (100 oC) 2,18 
Éter (20 oC) 0,0124 
Água (100 
oC) 
1,32 
Mercúrio (20 
oC) 
0,0154 CO2 (15 
oC) 1,45 
 Os coeficientes de viscosidade dos óleos 
lubrificantes automotivos são normalmente 
expressos em SAE. Um óleo cuja viscosidade 
SAE é 10 a 55 oC, por exemplo, possui 
viscosidade entre 1,6 e 2,2 poise. 
 Ao definirmos o coeficiente de 
viscosidade escolhemos o caso em que o fluido, 
por efeito do movimento de uma das placas, 
separava-se em camadas muito estreitas, com a 
camada em contato com cada placa tendo a 
velocidade desta placa e as camadas 
intermediárias tendo velocidades que variam 
linearmente de uma placa para a outra. Tal 
escoamento é chamado laminar ou lamelar. 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
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3 
 O cociente W = F/A é chamado tensão de 
cisalhamento. De modo geral: 
dv
A
dL
W 
 
mostrando a variação da velocidade das camadas de 
fluido com a distância à placa parada. Esta expressão 
representa a chamada lei de Newton para a 
viscosidade e o fluido para o qual ela é verdadeira é 
chamado fluido newtoniano. Entretanto, existem 
fluidos como os que são suspensões de partículas que 
não seguem esta lei. Por exemplo, o sangue, uma 
suspensão de partículas com formas características, 
como discos, no caso das células vermelhas. As 
partículas têm orientaçõesaleatórias em pequenas 
velocidades, mas tendem a se orientar a velocidades 
mais altas, aumentando o fluxo, com a velocidade 
crescendo mais rapidamente do que a força. 
™ Equação de Poiseuille
A equação que governa o movimento de um fluido 
dentro de um tubo é conhecida como equação de 
Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade, 
embora ela realmente só é válida para escoamento 
não-turbulento (escoamento laminar). O sangue 
fluindo através dos canais sangüíneo não é exatamente 
um escoamento laminar. Mas aplicando a equação de 
Poiseuille para essa situação é uma aproximação 
razoável em primeira ordem, e leva a implicações 
interessantes. 
A equação de Pouiseuille para a taxa de escoamento 
(volume por unidade de área), Q, é dada por: 
4
8
R p
Q
L
S ' 
vF ma P E F
 
 
onde P1-P2 é a diferença de pressão entre os extremos 
do tubo, L é o comprimento do tubo, r é o raio do 
tubo, e h é o coeficiente de viscosidade. 
Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca 
de 4 x 10-3 Pa s. 
A coisa mais importante a ser observada é 
que a taxa de escoamento é fortemente dependente no 
raio do tubo: r4. Logo, um decréscimo relativamente 
pequeno no raio do tubo significa uma drástica 
diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio 
por um fator 2, diminui o escoamento por um fator 16! 
Isto é uma boa razão para nos preocuparmos com os 
níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução 
das artérias. Uma pequena mudança no raio das 
artérias pode significar um enorme esforço para o 
coração conseguir bombear a mesma quantidade de 
sangue pelo corpo. 
Sob todas as circunstâncias em que se pode checar 
experimentalmente, a velocidade de um fluido real 
diminui para zero próximo da superfície de um objeto 
sólido. Uma pequena camada de fluido próximo às 
paredes de um tubo possui velocidade zero. A 
velocidade do fluido aumenta com a distância às 
paredes do tubo. Se a viscosidade de um fluido for 
pequena, ou o tubo possuir um grande diâmetro, 
uma grande região central irá fluir com 
velocidade uniforme. Para um fluido de alta 
viscosidade a transição acontece ao longo de 
uma grande distância e em um tubo de pequeno 
diâmetro a velocidade pode variar através do 
tubo. 
™ Cálculo da Viscosidade em uma
esfera:
A esfera caindo com velocidade 
constante, termos a = 0. 
A segunda Lei de Newton fica: 
 
 � � 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
 Fv
 
 
 
P
 
 
 
 
A força viscosa é dada por: 
rvF SK6 
mgrvgm f � SK6
ee
e
e Vm
V
m UU Ÿ 
fff
f
f
f Vm
V
m UU Ÿ 
3
3
4
RVe S 
Substituindo na equação (1) teremos: 
gRrvgR ef
33
3
4
6
3
4 SUSKSU �
gRrvgR ef
33
3
2
3
3
2 SUSKSU � 
� � 092 3 �� rvgRef SKSUU� � 092 3 �� RvgRef KUU
� �
v
gR
fe
2
9
2 UUK � 
E
 FvFF
P
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
R: Raio da esfera.
v: Velocidade terminal. 
Sistemas de Unidades:
M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m2 ] onde : 1 [ N ] 
= [ 1 Kg * m / s2 ] 
C. G. S.: 1 [ ba ] = 1 [ din / cm2 ] 
M.Kgf.S.: 1 [ Kgf / m2 ] 
Outras unidades: 
 1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg = 
1,033 Kgf / cm2 = 1 atmosfera física. 
 1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg = 
1,0 Kgf / cm2 = 0,968 atN = 10 m.c.a. 
4 1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa 
 1 ” = 2,54 cm 1 ’ = 1 pé = 12 ” 
 1 jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ’ 
 1 jd = 91,44 cm 
1 pé = 30,48 cm 
1 libra = 1 lb = 0,45359 Kg 
1 litro = 1l = 10-3 m3
C. G. S. : 1 [ poise ] = [ g / cm * s ] 
 
 
 
 
 
 4
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5 
 
 
Exemplos de Viscosidade - these may help you get a feel for the cP 
Hydrogen @20°C 0.008 6 cP Benzyl ether @ 20°C 5.33 cP 
Ammonia @ 20°C 0.009 82 cP Glycol @ 20°C 19.9 cP 
Water vapor @100°C 0.125 5 Soya bean oil @ 20°C 69.3 cP 
Air @ 18°C 0.018 2 cP Olive oil @ 20°C 84.0 cP 
Argon @ 20°C 0.022 17 cP Light machine oil @ 20°C 102 cP 
Air @ 229°C 0.026 38 cP Heavy machine oil @ 20°C 233 cP 
Neon @ 20°C 0.031 11 cP Caster oil @ 20°C 986 cP 
Liquid air @ -192.3°C 0.173 cP Glycerin @ 20°C 1,490 cP 
Ether @ 20°C 0.233 cP Pancake syrup @ 20°C 2,500 cP 
Water @ 99°C 0.2848 cP Honey @ 20°C 10,000 cP 
Chloroform@ 20°C 0.58 cP Chocolate syrup @ 20°C 25,000 cP 
Methyl alcohol@ 20°C 0.597 cP Ketchup @ 20°C 50,000 cP 
Benzene @ 20°C 0.652 cP Peanut butter @ 20°C 250,000 cP 
Water @ 20°C 1.002 cP Tar or pitch @ 20°C 
30,000,000,0
00 cP 
Ethyl alcohol @ 20°C 1.2 cP Soda Glass @ 575°C 
1,000,000,00
0,000,000 cP 
Mercury @ 20°C 1.554 cP 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 6 
 6
6 
 
Perfil de velocidades 
Tubo de Pitot e Medidor de Prandtl
 
Perfil de velocidades – Medidor de Prandtl
 
™ Introdução e Teoria:
Ludwig Prandtl
 (1875-1953) 
As contribuições de Ludwig Prandtl à mecânica dos 
fluidos incluem seu desenvolvimento da teoria para descrever 
o fenômeno de turbulência, e de seus estudos experimentais e 
teóricos da dinâmica de gases. Prandtl estudou mecânica e 
contribuiu à mecânica de meios contínuos durante toda a 
maioria de sua carreira. 
Entretanto, sua descoberta da camada do limite é 
considerada como uma das descobertas mais importantes da 
mecânica dos fluidos e atribuiu a Prandtl o título do pai da 
mecânica dos fluidos moderna. 
O tubo de Pitot-Prandtl é utilizado para medir a 
velocidade do fluido em um escoamento. Em particular, pode 
ser utilizado para medir a velocidade de um avião em relação 
ao ar. 
Outro fenômeno interessante é a condensação causada 
pela singularidade de Prandtl-Glauert que pode ser vista no 
vôo nivelado constante geralmente em baixas alturas, estando 
o ar em condições de umidade. Quando um avião se submete a 
certo tipo de manobra, pode causar pressões muito baixas na 
superfície superior das asas. As temperaturas correspondentes 
serão baixas, de forma que o vapor de água se condensa no 
lado superior da asa. Uma característica da condensação é que 
haverá muito mais condensação no lado superior da asa do que 
no lado mais baixo, e que está associado geralmente com 
voltas de elevadas acelerações g. 
 Pode-se escrever, na transformação adiabática: 
PV k PV nRTJ œ 
nRT nRT
V P k
P P
J§ · œ ¨ ¸© ¹ 
1
T cP
J
J
�
 
 Para o ar, J = 1.4, assim: 1 0, 28J J
� | . Assim, a 
temperatura do ar aumentará e diminuirá conforme a pressão 
aumenta e diminui. As regiões da alta pressão corresponderão 
necessariamente às regiões da alta temperatura e as regiões da 
pressão baixa corresponderão às regiões da temperatura baixa. 
 O fenômeno causa uma aparência como vista na 
figura 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 - Foto de uma nuvem da condensação
de Prandtl-Glauert em um avião com velocidade próxima
à do som no ar. 
A equação de Bernoulli: 
2
2
22
1
21
2
12
1
1 gyvpgyvp UUUU �� �� 
Chamando de 
2
21 2
1
vppp U � ' 
f
f
p
hgv U
' ' 22 
A figura mostra a seção reta de um duto cilindro, 
com a posição dos pontos nos quais se deve medir a 
velocidade, conforme a norma americana PIC 11-1946. 
 
Figura 2 – Seção reta do duto do laboratório 
conforme a norma americana PIC 11-1946. 
 
 
 
37.5 mm 
 
32.6 mm 
 
27.6 mm 
 
21.4 mm 
12.3 mm 
 0 
 
 
 
 
 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7 
 7
7 
 
 
 
Figura 3 –Estrutura interna do tubo de Pitot instalado 
no laboratório: 
Gaveta de 
Amianto
Metal: Latão
Pitot: Inox
Gaveta de Amianto: AlumínioC oring: 1/8
Parafusos: Ø 3/8
Porca: 2,5"
 
 A pressão na abertura 1 é estática, p, e em 2 é: 
2
2
1
vp U� 
A altura manométrica h3 é proporcional à diferença 
entre elas, ou seja: à pressão dinâmica 
2
2
1
vU . Assim: 
™ Lei de Poiseuille
 
Natureza da distribuição de tensão de cisalhamento (pg. 150 
livro R. V. Guiles). 
 
p1A p2A
 v
 ro r 
 vc
r0 r dr 
 
 L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que o fluxo é constante, a soma das forças 
sobre o corpo livre é zero: 
 
� �
L
rpp
rLrprp
2
02 2122
2
1
� Ÿ �� WSWS 
� �
L
rpp
dr
dv
2
21 � � KW 
� �1 2
2c
v R
v r
p p rdv
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dr LK
� � Ÿ³ ³
� � � �1 2 2 2
4c
p p
v v R r
LK
�� � 
� � � �2221
4
rR
L
pp
vv c ��� K 
Ou 
 
f
f
p
hgv U
' ' 22 
 
™ Taxa: Seja o volume de fluido dV que atravessa 
seus extremos no tempo dt dado por: � � � � rdrdtrR
L
pp
dV SK 24
2221 ˜�� 
dArvQdArv
dt
dV ³ Ÿ˜ Ÿ )()( 
4
8
pR
Q
L
S
K
' 
Perfil de velocidades
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8 
 8
8 
Vazão em Vertedores
Introdução
 
A forma básica mais comum de medida de descarga 
em um canal aberto é a utilização de um vertedor. 
Basicamente, um vertedor é um dispositivo colocado num 
canal que força o escoamento através de uma abertura 
projetada para medir a descarga. É uma obstrução em um 
canal aberto sobre o qual escoa um líquido. A descarga sobre 
o vertedor é função da geometria e da carga sobre o vertedor. 
Vertedores especializados têm sido projetados para 
fins específicos; dois tipos são considerados fundamentais: o 
de crista larga e o de crista delgada. 
 Um vertedor projetado de forma apropriada exibirá 
um escoamento subcrítico na corrente a montante da estrutura 
e o escamento convergirá e acelerará até uma condição crítica 
próxima ao topo ou à crista do vertedor. Como resultado, 
poderá ser feita uma correlação entre a descarga e uma 
corrente de profundidade a montante do vertedor. O transbordo 
da corrente a jusante é denominado lâmina, a qual 
normalmente é descarregada livremente na atmosfera. 
 Há uma série de fatores que afetam o desempenho de 
um vertedor; os mais significativos entre eles são os padrões 
do escoamento tridimensional, os efeitos da turbulência a 
resistência do atrito, a tensão superficial e a quantidade de 
ventilação abaixo da lâmina. As derivações simplificadas 
apresentadas nesse relatório se baseiam na equação de 
Bernoulli; outros efeitos podem ser levados em conta por meio 
da modificação da descarga ideal com um coeficiente de
descarga Cq; a descarga real é a descarga ideal multiplicada 
pelo coeficiente de descarga. 
Teoria:
 
™ Vertedor de crista larga
 
 Um vertedor de crista larga é mostrado na figura 1. 
 
 Figura 1 - Vertedor com crista larga. 
 
 
2
2
cv
g
 
 LE 
 
 Y ye 
 
 
h 
 
 
 (1) (2) 
 Ele tem elevação suficiente acima do fundo para 
bloquear o escoamento e é suficientemente longo para que 
as linhas de corrente no transbordo se tornem paralelas, 
resultando em uma distribuição hidrostática de pressões. 
Pode-se aplicar a equação de Bernoulli: 
2 2
1 2
1 1 2 22 2
v v
p gh p gh
U UU U� � � � 
Ou 
2 2
1 1 2
1 22 2
2p v p vh h
g gJ J� � � � 
Com J = Ug para os pontos (1) e (2) da figura. 
Assim: 
� �2 2
2
c
c c c
v
h Y h y v g Y y
g
� � � œ �
� �
 Para um vertedor cuja largura normal ao 
escoamento é b, a descarga ideal é: 
2c c c cQ by v by g Y y � 
 
™ Vertedor de crista delgada
Um vertedor de crista delgada é uma placa vertical 
colocada na direção normal ao escoamento contendo uma 
crista de borda delgada, de forma que a lâmina vertente se 
comporte como um jato livre. 
A figura 2 mostra um vertedor retangular com uma 
crista horizontal que se estende por toda a largura do 
canal. 
Figura 2 - Vertedor de crista delgada. 
 
 K Y= H Lâmina 
 crista 
 v2 
 (2) 
 
 
v1 h
 (1) (1) (2) 
 
 
 
(a) Escoamento ideal (b) Escoamento real 
 As contrações laterais não estão presentes por 
causa da existência de paredes laterais. 
 Pode-se definir uma situação idealizada (Figura 2 
– (a)), na qual o escoamento no plano vertical não se 
contrai a medida que passa sobre a crista, de forma que as 
linhas de corrente sejam paralelas e a pressão atmosférica 
esteja presente na linha vertente e exista um escoamento 
uniforme no ponto (1), com energia cinética desprezível 
(v1|0). A equação de Bernoulli é aplicada ao longo de 
uma linha de corrente representativa e resolvida para a 
velocidade v2, a velocidade local na lâmina vertente será: 
 
2 2v gK 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9 
 9
9 
 Se b é a largura da crista normal ao escoamento a 
descarga ideal é dada por: 
 
2
0 0
2
Y Y
Q b v d b g dK K K ³ ³ 
3 22 2
3
b
Q g Y 
Os experimentos têm mostrado que a magnitude do 
expoente é aproximadamente correta; porém deve ser aplicado 
um coeficiente de descarga Cq para que seja previsto com 
acurácia para o escoamento real, mostrado na figura 2 (b): 
3 22 2
3q
Q C gbY 
 
A carga H=Y sobre o vertedor é definida como a 
distância vertical entre a crista do vertedor e a superfície do 
líquido a sua montante de tal forma que se evite a curvatura da 
superfície livre do líquido. 
A equação básica para a descarga do vertedor é 
definida como a integração de: 
VldhVdA 
 Aqui V é a velocidade a uma altura h (vertical) da 
superfície livre e L=b é a largura do vertedor. 
 
 
 
 
x Vertedor Retangular: 
 
 
2
3
2 LHgCQ r 
 
L
 
 
 
 
 
 
x Vertedor Triangular
T
 
2
5
2
2
15
8
HtggCQ t
T 
 
x Vertedor de Parede espessa
 
 
 
32
3
2
gHLCQ e 
 
 
Sistema de Unidades: 
 
M.Kg.S. = [ Pa ] = [ 1 N * m - 2 ] Q = [ L * s - 1 
] = [ dm 3 * s - 1] 
Viscosidade: [kg][m]-1[s]-1 (MKS) [poise] (CGS) 
x Equações de Navier Stokes
As equações de Navier Stokes são equações 
diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São 
equações a derivadas parciais que permitem determinar os 
campos de velocidade e de pressão. 
A equação é uma equação diferencial parcial não-linear da 
segunda ordem,como segue: � � 2tv v v p v gP U� ˜’ �’ � ’ �G GG G G G G 
Onde: 
v
G
: é um vetor que representa a velocidade de um 
elemento infinitesimal da massa em um ponto no espaço 
3-D; 
 p é a pressão escalar no mesmo ponto; 
U: é a densidade maciça no ponto e é constante 
suposta durante todo o meio; 
 µ: é a viscosidade do meio; 
 
g
G
: é a aceleração da gravidade 
A equação de N-S refere-se ao movimento de
uma única partícula minúscula do campo fluido, não o 
movimento total do líquido. 
Entretanto, pode ser usada para calcular o fluxo 
de gases e de líquidos incompressíveis de objetos da forma 
arbitrária. 
É usada na dinâmica dos fluidos e na engenharia 
como um modelo padrão para o estudo da turbulência, o 
comportamento da camada do limite, a formação de ondas 
de choque, e o transporte maciço. Entre outras coisas, é 
usado para calcular o teste padrão do fluxo de ar nas asas 
de um avião. Foi estudada e aplicada por muitas décadas. 
 
. 
 
 
 
 
Um problema sobre as equações de Navier-Stokes, que 
nunca foi solucionado desde 1900, faz parte da lista dos 
Prêmios Clay e a sua resolução vale US$1000000. 
 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1010
10 
 
 
 
 
 
x Hidráulica Aplicada à tubulações
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido
 
Entende-se por conduto forçado àquele no qual o fluido 
escoa à plena seção e sob pressão. Muitas vezes os condutos de 
seção circular são chamados de tubos ou tubulações. Um 
conduto é dito uniforme quando a sua seção transversal não 
varia com o seu comprimento. Se a velocidade do fluido em 
qualquer seção do conduto não variar com o tempo, o regime 
de escoamento é dito permanente. 
A densidade dos líquidos, ao contrário do que se passa 
com os gases, varia muito pouco quando se varia a sua pressão 
ou temperatura. A título de exemplo, considerando que a água 
tem compressibilidade igual a 5.10-5 cm / Kgf2 , isto significa 
que em condições normais seria necessário um incremento de 
pressão de 20 Kgf /cm2 para que um litro de água se reduza de 
1 cm3, ou seja, para que sua densidade aumente um milésimo. 
Por isto, do ponto de vista prático, a densidade da água e de 
qualquer líquido é independente da temperatura e da pressão. 
Diante dessa reduzidíssima variação da densidade, nos 
escoamentos de líquidos em regime permanente considera-se 
que os mesmos se comportam como incompressíveis. Neste 
contexto se incluem querosene, gasolina, álcool, óleo diesel, 
água, vinho, vinhoto, leite, e muitos outros, aos quais se 
aplicam os conceitos aqui comentados. 
É conveniente ressaltar que um escoamento se classifica 
também como turbulento ou laminar. No escoamento laminar 
há um caminhamento disciplinado das partículas fluidas, 
seguindo trajetórias regulares, sendo que as trajetórias de duas 
partículas vizinhas não se cruzam. Já no escoamento turbulento 
a velocidade num dado ponto varia constantemente em 
grandeza e direção, com trajetórias irregulares, e podendo uma 
mesma partícula ora localizar-se próxima do eixo do tubo, ora 
próxima da parede do tubo. 
O critério para determinar se o escoamento é turbulento ou 
laminar, é a utilização do número de Reynolds: 
4
e
Q
R
DS X 
onde: 
Re = Número de Reynolds (admensional) 
Q = vazão (m / s3 ) 
ʌ = 3,1416... 
D = diâmetro (m) 
Ȟ = viscosidade cinemática do líquido (m / s2 ) 
 
Nas condições normais de escoamento o número de Reynolds 
é interpretado conforme segue: 
 
Re > 4000, então o escoamento é turbulento. 
Re < 2000, então o escoamento é laminar. 
 
Entre estes dois valores há a zona de transição, onde não se 
pode determinar com precisão os elementos do 
dimensionamento. 
Em geral, o regime de escoamento na condução de 
líquidos no interior de tubulações é turbulento, exceto em 
situações especiais, tais como escoamento a baixíssimas 
vazões, como ocorre em gotejadores de irrigação, onde o 
escoamento é laminar. 
Sempre que um líquido escoa no interior de um 
tubo de um ponto para outro, haverá uma certa perda de 
energia, denominada perda de pressão ou perda de carga. 
Esta perda de energia é devido ao atrito com as paredes do 
tubo e devido à viscosidade do líquido em escoamento. 
Quanto maior for a rugosidade da parede da tubulação, 
isto é, a altura das asperezas, maior será a turbulência do 
escoamento e, logo, maior será a perda de carga. 
Já há cerca de dois séculos estudos e pesquisas 
vem sendo realizados, procurando estabelecer leis que 
possam reger as perdas de carga em condutos. Várias 
fórmulas empíricas foram estabelecidas no passado e 
algumas empregadas até com alguma confiança em 
diversas aplicações de engenharia, como as fórmulas de 
Hazen-Williams, de Manning e de Flamant. Mas, 
trabalhos de diversos investigadores tem mostrado que, 
em sua totalidade, são mais ou menos incorretas. A 
incorreção dessas fórmulas é tanto maior quanto mais 
amplo é o domínio de aplicação pretendido por seus 
autores. 
Atualmente a expressão mais precisa e usada 
universalmente para análise de escoamento em tubos, que 
foi proposta em 1845, é a conhecida equação de Darcy-
Weisbach: 
2
2 5
8
f
fLQ
h
gDS 
onde: 
hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo 
(mca) 
f = fator de atrito (adimensional) 
L = comprimento do tubo (m) 
Q = vazão (m / s3 ) 
D = diâmetro interno do tubo (m) 
g = aceleração da gravidade local (m / s2) 
ʌ = 3,1416... 
Mas somente em 1939, quase 100 anos depois, é 
que se estabeleceu definitivamente o fator de atrito f, 
através da equação de Colebrook-White: 
10
1 2
2 0,27log
e
k
D
,51
f R f
§ · � �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
onde: 
f = fator de atrito (adimensional) 
k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) 
D = diâmetro interno do tubo (m) 
Re = número de Reynolds (adimensional) 
 
Obviamente, trata-se de uma equação implícita, isto é, a 
variável f aparece nos dois membros da equação, de forma 
não ser possível explicitá-la. Mas isto não sugere que seja 
impossível resolver equações implícitas. Os métodos 
numéricos, embora aproximativos, são capazes de resolver 
equações implícitas com a precisão que se desejar. São 
métodos basicamente computacionais pois incorrem em 
operações matemáticas repetidas. Encontram, contudo, 
muita utilidade em hidráulica. 
É o caso dos métodos iterativos, nos quais 
ordena-se adequadamente a equação, e arbitra-se um valor 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11 
 11
11 
inicial qualquer para a variável procurada que está no seu 
segundo membro. Com o valor inicial já arbitrado, calcula-se 
um novo valor para esta mesma variável procurada, mas para a 
que está no primeiro membro. Se a diferença entre o valor 
inicial e o novo valor calculado estiver fora da precisão 
desejada, repete-se esta operação, porém colocando como 
valor inicial o novo valor calculado. Se a diferença aumentar 
diz-se que os valores estão divergindo, e se diminuir diz-se que 
os valores estão convergindo para a solução. O número de 
repetições, isto é, o número de iterações poderá ser pequeno ou 
não, dependendo do método a ser utilizado, e se sucederá até 
que a diferença seja suficientemente pequena ou compatível 
com a precisão desejada. 
Um esquema básico de cálculo, passo-a-passo, seria 
algo do tipo: 
1- Arbitra-se um valor inicial qualquer para a variável 
do segundo membro. 
2- Calcula-se novo valor para a mesma variável que 
está no primeiro membro. 
3- Compara-se a diferença entre o valor calculado e o 
valor inicial com a tolerância estabelecida. 
4- Se maior, o novo valor passa a ser o valor inicial, e 
volta-se para o passso (2). Se menor passa-se para o passo (5). 
5- O corrente valor da variável é o valor procurado. 
Métodos iterativos como o de Newton são muito 
potentes e convergem muito rapidamente, podendo alcançar 
resultados altamente precisos com três ou quatro iterações. 
 
 Na prática, em termos específicos, a análise do 
escoamento em tubos basicamente envolve três gradezas a se 
calcular: 
 
x o diâmetro 
x a vazão (ou velocidade) 
x a perda de carga 
 
 Estas são em síntese, as três variáveis principais 
envolvidas no cálculo hidráulico, pois as demais (material do 
tubo, tipo de líquido, temperatura, etc), são básicas. Por 
qualquer método que viermos a empregar, para se determinar 
qualquer uma dessas três variáveis, as duas demais deverão ser 
conhecidas. 
 Em que pese a técnica iterativa associada à precisão das 
equações dar um pouco de velocidade ao cálculo, contudo 
permanece o mesmo sendo realizado manualmente, o que não 
deixa de ser cansativo, enfadonho e sujeito a erros. Com o uso 
de programas para computadores digitais, tal como o HidroTec 
Calculador, a resolução torna-se simples, fácil, automática, 
rápida e sem erros. 
 
x Equações explícitas para o fator de atrito de
Darcy-Weisbach
 
Quando um líquido escoa de um ponto para outro no 
interior de um tubo, gerará sempre uma perda de energia, 
denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de 
energia é devido ao atrito com as paredes do tubo e devida à 
viscosidade do líquido em escoamento. Portanto quanto maior 
for a rugosidade da parede da tubulação e mais viscoso for o 
líquido, maior seráa perda de carga. 
 Com o intuito de estabelecer leis que possam reger as 
perdas de carga em condutos, já há cerca de dois séculos 
estudos e pesquisas vem sendo realizados. Atualmente a 
expressão mais precisa e utilizada universalmente para 
análise de escoamento em tubos, e que foi proposta em 
1845, é a conhecida equação de Darcy-Weisbach: 
2
2f
L V
h f
D g
 ˜ ˜ 
 
onde: 
 
hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo 
(mca) 
f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional) 
L = comprimento do tubo (m) 
V = velocidade do líquido no interior do tubo (m / s) 
D = diâmetro interno do tubo (m) 
g = aceleração da gravidade local (m / s2) 
Mas não se encontrou logo uma maneira segura 
para determinação do fator de atrito. Somente em 1939, 
quase 100 anos depois, é que se estabeleceu 
definitivamente uma lei para fator de atrito f, através da 
equação de Colebrook-White: 
10
1 2,51
2
3,7
log
e
k
Df R f
§ · � �¨ ¸¨ ¸© ¹
 
 
 
 
em que: 
 
k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) 
Re = número de Reynolds (adimensional) 
 
 A equação de Colebrook-White tem sido 
considerada como a mais precisa lei de resistência ao 
escoamento e vem sendo utilizada como padrão 
referencial. Mas, apesar disto, e de todo o 
fundamentalismo e embasamento teórico agregado à 
mesma, tem uma particularidade a alguns pouco 
conveniente: é implícita em relação ao fator de atrito, ou 
seja, a grandeza f está presente nos dois membros da 
equação, sem possibilidade de ser explicitada em relação 
às demais grandezas. Sua resolução requer um processo 
iterativo. 
Isto resultou em motivos para que muitos 
pesquisadores, de quase toda parte do mundo, se 
empenhassem em encontrar equações explícitas, que 
pudessem ser utilizadas como alternativas à equação de 
Colebrook-White. Algumas mais compactas e simples, 
mais fáceis de serem memorizadas, contudo com grandes 
desvios; outras, menos compactas e complexas, mais 
difíceis de serem memorizadas, porém com desvios 
menores; outras tantas combinando simplicidade e 
precisão, com erros até bem reduzidos, em relação ao fator 
de atrito calculado com a equação de Colebrook-White. 
No presente trabalho seleciona e apresenta a 
seguir um pequeno conjunto destas equações explícitas, 
considerando apenas aquelas que pesquisadores, conforme 
bibliografia consultada, avaliaram e concluíram terem os 
menores erros em relação à equação de Colebrook-White: 
1- Sousa-Cunha-Marques, 1999 (erro = 0,123%): 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12 
 12
12 
0,8710 10
1 5,16
2
3,7 3,7
log log
e e
k k
D R D Rf
§ § · � � �¨ ¨ ¸¨ © ¹©
5,09 ·¸
¹¸¸© ¹© ¹
 
 
 
 
 
2- Haaland, 1983 (erro = 0,220%): 
 
2- Haaland, 1983 (erro = 0,220%): 
1,11
10
1
1,8
3,7
log
e
k
D Rf
§ ·§ · � �¨ ¸¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹
6,9 
 
3- Barr, 1972 (erro = 0,375%): 
0,89210
1 5
2
3,7
log
e
k
D Rf
§ · � �¨ ¸© ¹
,15 
4- Swamee-Jain, 1976 (erro = 0,386%): 
0,910
1 5
2
3,7
log
e
k
D Rf
§ · � �¨ ¸© ¹
, 74 
 
 
 
5- Churchill, 1973 (erro = 0,393%): 
0,9
10
1 7
2
3,7
log
e
k
D Rf
§ ·§ ·¨ ¸ � �¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹
 
 
Um exame superficial mostra que, por mais simples 
ou compactas que possam ser estas equações explícitas, as 
mesmas requerem também algum esforço computacional com 
operações matemáticas de potenciação, radiciação, 
logaritmicas, etc. Contudo, tendo em vista as elevadas 
velocidades dos processadores dos computadores atuais, 
praticamente será imperceptível a diferença no esforço 
computacional do cálculo feito com uma equação implícita e 
com uma equação explícita. Então, se o esforço é o mesmo, a 
conclusão óbvia é que parece ser mais razoável e lógico usar-
se logo a equação de Colebrook-White, dado à sua precisão. 
 
x Hipertensão Arterial
 
A HAS (Hipertensão Arterial Sistêmica) é uma das 
doenças com maior prevalência no mundo moderno e é 
caracterizada pelo aumento da pressão arterial, medida com 
esfigmomanômetro ("aparelho de pressão"), tendo como 
causas a hereditariedade, a obesidade, o sedentarismo, o 
etilismo, o stress e outras (veja causas de Hipertensão, mais 
abaixo). 
: A pressão sanguínea é medida com o esfigmomanômetro, 
que consiste de uma coluna de mercúrio com uma das 
extremidades ligada a uma bolsa, que pode ser inflada através 
de uma pequena bomba de borracha, como indica a Figura 32 
(A). A bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível 
aproximadamente igual ao do coração, a fim de assegurar que 
as pressões medidas mais próximas às da aorta. A pressão do 
ar contido na bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue 
através das artérias do braço seja bloqueado. 
A seguir, o ar é gradualmente eliminado da bolsa ao 
mesmo tempo em que se usa um estetoscópio para detectar a 
volta das pulsações ao braço. O primeiro som ocorre quando a 
pressão do ar contido na bolsa se igualar à pressão sistólica, 
isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o sangue 
que está à pressão sistólica consegue fluir pela (os sons 
ouvidos através do estetoscópio são produzidos pelo fluxo 
sanguíneo na artéria e são chamados sons Korotkoff). 
Assim, a altura da coluna de mercúrio lida corresponde à 
pressão manométrica sistólica. À medida que o ar é 
eliminado, a intensidade do som ouvido através do esteie 
aumenta. A pressão correspondente ao último som audível 
é a pressão diastólica, isto é, a pressão sanguínea, quando 
o sangue a baixa pressão consegue fluir pela artéria não 
oclusa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipertensão Arterial é uma situação na qual a 
pressão arterial está elevada. 
A pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue 
contra a superfície interna das artérias. A força original 
vem do batimento cardíaco. A pressão arterial varia a cada 
instante, seguindo um comportamento cíclico. São vários 
os ciclos que se superpõe, mas o mais evidente é o 
determinado pelos batimentos cardíacos. 
Chama-se ciclo cardíaco o conjunto de acontecimentos 
desde uma batimento cardíaco até o próximo batimento. 
No momento em que o coração ejeta seu 
conteúdo na Aorta a energia é a máxima, gerando força 
máxima e consequentemente pressão máxima. Esta fase 
no ciclo cardíaco chama-se Sístole, sendo que a pressão 
neste instante é chamada de Pressão Arterial Sistólica. 
Imediatamente antes do próximo batimento cardíaco a 
energia é mínima, com a menor força exercida sobre as 
artérias em todo o ciclo, gerando portanto a menor pressão 
arterial do ciclo cardíaco. Esta fase é chamada de 
Diástole, sendo que a pressão neste instante é chamada de 
Pressão Arterial Diastólica. 
Quando se fala em dois valores de pressão 
arterial (140 por 90, por exemplo), estamos dizendo que 
neste momento os ciclos cardíacos estão gerando uma 
pressão arterial que oscila entre 140 e 90 unidades de 
medida, 140 no pico da Sístole e 90 no final da Diástole. 
Esta situação aumenta o risco de problemas 
cardiovasculares futuros, como Infarto agudo do 
miocárdio e Derrame Cerebral, por exemplo. 
A pressão normal seria aquela onde o risco destes 
problemas seria o mínimo. 
Na verdade não existe um nível "seguro". A 
possibilidade de problemas é log-linear, ou seja cresce de 
maneira contínua em uma escala logarítmica. 
O valor normal é um tanto arbitrário, definido 
pelos especialistas no assunto, para fins práticos e 
operacionais. É semelhante a definição de maioridade, 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 13 
 13
13 
onde para fins práticos se considera 18 anos de idade e não 18 
anos e um mês ou 17 anos e 11 meses, por exemplo, embora o 
amadurecimento seja possivelmente o mesmo. 
Para a maior parte das pessoas o valor de 140/90 mmHg é 
relacionado a baixo risco de problemas futuros, sendo 
considerado o "normal". 
Como é verificada a Pressão Arterial 
Para verificar a pressão arterial, o profissional envolve um dos 
braços do paciente com o esfigmomanômetro, que nada mais é 
do que uma cinta larga com um pneumático interno acopladoa 
uma bomba de insuflação manual e um medidor desta pressão. 
Ao insuflar a bomba, o pneumático se enche de ar e causa uma 
pressão no braço do paciente, pressão esta monitorada no 
medidor. Um estetoscópio é colocado sobre a artéria braquial 
(que passa na face interna medial do cotovelo). Estando o 
manguito bem insuflado, a artéria estará colabada pela pressão 
exercida e não passará sangue na artéria braquial. Não haverá 
ruído algum ao estetoscópio. Libera-se, então, a saida do ar 
pela bomba, bem devagar e observando-se a queda da pressão 
no medidor. Quando a artéria deixa de estar totalmente 
colabada um pequeno fluxo de sangue inicia sua passagem 
pela artéria provocando em ruído de esguicho (fluxo 
turbilionar). Neste momento anota-se a pressão máxima 
(sistólica). O ruído persistirá até que o sangue passe livremente 
pela artéria, sem nenhum tipo de garroteamento (fluxo 
laminar). Verifica-se no medidor este momento e teremos a 
pressão mínima (pressão diastólica). Em geral, medimos a 
pressão em milímetros de mercúrio (mmHg), sendo normal 
uma pressão diastólica (mínima) entre 60 e 80 mmHg (6 a 8 
cmHg) e pressão sistólica entre 110 e 140 mmHg (11 a 14 
cmHg) (cmHg = centímetros de mercúrio). 
 
x Sintomatologia 
A "pressão alta" é considerada uma doença silenciosa, 
pois pode não produzir nenhum sintoma no paciente. Alguns 
podem queixar-se de dor ou pressão na nuca e cefaléia, mas 
não é necessário nenhum sintoma. Esta falta de sintomas pode 
fazer com que o paciente esqueça de tomar seu remédio ou até 
mesmo questione sua necessidade. Isto faz com que as 
complicações ocorram em grande número. 
x Complicações da HAS 
O aumento contínuo da pressão arterial faz com que ocorram 
danos as artérias de diversas partes do organismo vivo. A 
Hipertensão Arterial é um fator de risco para Aterosclerose. 
Como conseqüência desta, podem acontecer tanto o Acidente 
Vascular Cerebral - AVC, como o Infarto agudo do miocárdio 
- IAM). Como qualquer artéria do corpo pode ser obstruída 
pela aterosclerose, virtualmente todos os orgão podem sofrer 
alterações decorrentes da hipertensão. 
x Causas de Hipertensão Arterial 
Na grande maioria dos casos a Hipertensão Arterial é 
considerada essencial, isto é, ela é uma doença por si mesma. 
No entanto, devem ser descartadas outras doenças que causam 
a hipertensão arterial apenas como um sinal, pois pode então 
ser tratada a causa básica melhorando naturalmente a 
hipertensão. Dentre estas causas existe a hipertensão 
nefrogênica, onde um rim com algum problema em sua 
irrigação sanguínea produz substâncias visando aumentar a 
pressão e receber mais sangue. Nestes casos tratando este rim a 
pressão normaliza. Outro caso é o do feocromocitoma, um 
tumor que produz substâncias vasoconstrictoras que aumentam 
a pressão arterial, produzem taquicardia, cefaléia e 
sudorese. A retirada deste tumor melhora a pressão.. 
x Tratamento 
 
Casos iniciais e leves respondem bem à dieta 
pobre em sal de cozinha (NaCl) emagrecimento e prática 
de esportes. Outros casos necessitarão de medicamentos. 
São várias as classes de medicamentos possíveis de ser 
usadas, isoladas ou associadas. Entre outras temos os 
diuréticos, os bloqueadores adrenérgicos, os bloqueadores 
de canais de cálcio, os inibidores de enzima conversora de 
angiotensina II e os bloqueadore do receptor da 
angiotensina II. 
Diuréticos são medicamentos que estimulam a 
produção de urina como as tiazidas. Casos mais graves 
necessitam de medicamentos inibidores da ECA (IECA)), 
como o captopril e enalapril. É interessante notar que o 
captopril é uma substância que foi isolada primariamente 
do veneno da cobra jararaca 
 
 
™Bibliografia: 
 
™ (Mecânica dos Fluidos, Potter M. C., Wiggert D. 
C., Cap. 2, pp. 36-37, Editora Thomson). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 14 
 14
14 
Bombas e Turbinas
 
A equação de Bernoulli, quando há uma máquina 
entre os pontos (1) e (2) e o deslocamento do fluido se dá de 
(1) para (2) pode ser reescrita da forma, considerando que há 
uma perda de carga Hp12 (Energia perdida por unidade de 
peso): 
 
 
h
 
h2 (2) 
 H2( p2, ,h2v
G
2)
 
 
 M
 
 H1( p1, ,h1v
G
1)
 
 h1 (1) 
 
 
 
121 2M p
H H H H� � 
 Se HM > 0 œ Bomba 
 
otP 
 
 
 
 
 
 
Tot
P
 
 
 
x Potência da Bomba e rendimento: 
Tot
ot B B
ot
P
P QH
P
 œ J K 
Se HM < 0 œ turbina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
otP 
 
 
 
Tot
P
 
 
x Potência da Turbina e rendimento: 
Tot
ot B T
ot
P
P QH
P
J K œ 
 
Equação da energia para fluido real
 
Nesse item será retirada a hipótese de fluido ideal; 
logo, serão considerados os atritos internos no escoamento 
do fluido. São mantidas as hipóteses de regime 
permanente, fluido incompressível, propriedades 
uniformes na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta 
última significa que não existe uma troca de calor 
provocada propositalmente; no entanto, ao se considerar 
os atritos no escoamento do fluido, deve-se imaginar que 
haverá uma perda de calor do fluido para o ambiente 
causada pêlos próprios atritos. Como será visto a seguir, a 
construção da equação da energia pode ser realizada sem 
se falar, explicitamente, dessa perda de calor. 
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se o fluido 
fosse perfeito. H1 = H2
Se, no entanto, houver atritos no transporte do 
fluido, entre as seções (l) e (2) haverá uma dissipação da 
energia, de forma que H1 > H2. 
Querendo restabelecer a igualdade, será necessário 
somar no segundo membro a energia dissipada no 
transporte. 
121 2 p
H H H �
12p
 
H : energia perdida entre (l) e (2) por unidade de 
peso do fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 
12 1p 2
H H H � e como H1 E H2 são chamados 
cargas totais, 
12p
H é denominado 'perda de carga'. 
Se for considerada também a presença de uma máquina 
entre (l) e (2), a equação da energia ficará: 
121 2M p
H H H H� � 
12
2 2
1 1 2 2
1 22 2M p
v p v p
z H z H
g g
� � � � � �J J 
 
Da Equação deve-se notar que, no escoamento de um 
fluido real entre duas seções onde não existe máquina, a energia 
é sempre decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga 
total a montante é sempre maior que a de jusante, desde que não 
haja máquina entre as duas. 
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente calculável 
raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da potência 
do fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito poderá ser 
calculada por: 
12diss p
N QH J 
 
 
 
 
 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 15 
 15
15 
 
Exemplos:
Exemplo 1 - Na instalação da figura, verificar se a 
máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar a sua 
potência, sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a 
pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 
0,16 MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção dos tubos é l0 cm2 
e a perda de carga entre as seções (l) e (4) é 2 m. 
Não é dado o sentido do escoamento, 
2
410H O N mJ 3 ; g = 10 m/s2. 
 
Solução:
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o nível 
do reservatório inferior sem incluir a parte interna do tubo, 
já que nesta não se conhece a pressão. 
Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido das 
cargas decrescentes, num trecho onde não existe máquina. Para 
verificar o sentido, serão calculadas as cargas nas seções (l) e 
(2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1 1
1 1 0 0 24 242
v p
H z m
g
 � � � � J 
2
2 2
2 22
v p
H z
g
 � �J 
 
3
2 4
10 10
10
10 10
Q
v m
A
�
�
˜ ˜ s 
 
2
2 2
2 22
v p
H z
g
 � �J
 
2 6
2 4
10 0,16 10
4 25
2 10 10
H m
˜ � � ˜ 
 
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento terá o 
sentidode (2) para (1) ou de baixo para coma, sendo a 
máquina, portanto, uma bomba. 
Aplicando-se a equação da energia entre as seções (4) e 
(1), que compreendem a bomba. 
Lembrar que a equação deve ser escrita no sentido do 
escoamento. 
144 1B p
H H H H� � 
2
4 4
4 42
v p
H z
g
 � �J 
1 24H m 
4 0H 14 2pHœ 
141 4
24 0 2 26B pH H H H � � � � 
4 310 10 10 26
3470 3,47
0,75B
B
ot
B
QH
P W kW
�J ˜ ˜ ˜ K
 
 
Exemplo 2 - Considere que não há perda de carga 
(Hp12=0) na figura abaixo: 
 (1) (2) 
 
 
 20 m 
 5 m 
 
 
 
 Considere o reservatório grande fornecendo água 
para o tanque a 12L/s. Verifique se a máquina instalada é 
bomba ou turbina e determine sua potência, se o seu 
rendimento é de 85%. Supor fluido ideal. Dados: Atubos = 
10 cm2; g = 10m/s2; Ja=104N/m3. 
M
 
Exemplo 3 - Dados: 
23
2pH m ; 01 0.8pH m ; 75%BK 
2
3 20A cm ; 22 1A cm ; 32 310 kgH O mU ; 3410 NmJ 
 Determinar: 
 (a) A vazão (L/s). 
 (b) A área da seção 1 em cm2. 
 (c) A potência fornecida pela bomba ao fluído. 
 
 (0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 16 
 16
16 
 
Máquinas de Fluxo 
(Do Livro Franco e Brunetti, Mecânica dos Fluidos, 
Ed. Pearson) 
 
As máquinas de fluxo são dispositivos mecânicos que 
tanto extraem energia de um fluido (turbina) quanto adicionam 
energia ao fluido (bomba). Estas transferências de energia são 
propiciadas pelas interações dinâmicas entre o dispositivo e o 
fluido. Enquanto o projeto e a construção destes dispositivos 
envolvem muita experiência anterior, os seus princípios 
operacionais básicos são muito simples. A interação dinâmica 
entre um fluido e um sólido normalmente ocorre através do 
escoamento e das forças detectadas na interface fluido �sólido. 
Por exemplo, nós realizamos um trabalho com nossos 
músculos quando mexemos uma colher numa xícara de chá. O 
movimento da colher através do chá causa uma diferença de 
pressão entre a parte da frente e a de trás da colher. Note que 
esta diferença de pressão produz uma força sobre a colher que 
é vencida por nossos músculos. Esta força atuando numa certa 
trajetória requer uma determinada quantidade de trabalho. 
Deste modo nós realizamos um trabalho sobre o 
fluido, ou seja, nós aumentamos a energia contida no chá. 
De modo inverso, o efeito dinâmico do vento 
soprando sobre a vela de um barco cria uma diferença de 
pressão na vela. Assim, a força do vento na vela propulsiona o 
veleiro e o conjunto vela e �barco se comporta como uma 
máquina que extrai energia do ar. 
As máquinas de fluxo operam segundo os princípios 
descritos acima. Ao invés de uma colher ou uma vela, um 
grupo de pás, aerofólios, canecas, canais de fluxo e passagens 
são colocados em torno de um eixo. Note que a energia é 
fornecida ao fluido nas bombas (por exemplo, o movimento 
das pás da máquina induz um aumento de energia do fluido) e 
que a energia é extraída do fluido nas turbinas (por exemplo, o 
escoamento transfere energia as pás da máquina). 
As máquinas de fluxo podem operar com gases (como 
o ventilador de um ar condicionado ou uma turbina a gás) ou 
com líquidos (como a bomba d'água de um automóvel ou a 
turbina de uma usina hidrelétrica). Mesmo que os princípios 
básicos de operação das máquinas que trabalham com gases e 
das que trabalham com líquidos sejam os mesmos, podem 
existir diferenças importantes na dinâmica dos escoamentos 
nestas máquinas. Por exemplo, a cavitação pode ser muito 
importante no projeto de dispositivos que envolvem 
escoamentos de líquidos e os efeitos da compressibilidade 
podem ser importantes no projeto de equipamentos que 
envolvem escoamentos com número de Mach significativos. 
Muitas máquinas de fluxo apresentam algum tipo de 
carcaça ou cobertura que envolve as pás rotativas (rotor). Este 
tipo de arranjo forma uma passagem interna por onde o fluido 
escoa (veja a Figura A). Outras máquinas, como o moinho de 
vento ou o ventilador de teto, não apresentam carcaça. 
Algumas máquinas de fluxo também apresentam pás 
estacionárias, ou direcionadoras, além das pás móveis do rotor. 
Estas pás estacionárias podem ser utilizadas tanto para acelerar 
o fluido (operam como bocais) quanto para desacelerar o 
escoamento (operam como difusores). 
 
 
 
 
 
Figura A - Máquina de fluxo com escoamento 
(a) radial e (b) axial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A análise da operação de um ventilador 
doméstico (bomba) e de um moinho de vento (turbina) 
podem fornecer informações sobre a transferência de 
energia nas máquinas de fluxo. 
Mesmo que os escoamentos reais nestes 
dispositivos sejam muito complexos (i.e. tridimensionais e 
transitórios), os fenômenos essenciais podem ser 
analisados com um modelo simples de escoamento e com 
os triângulos de velocidade. Considere o rotor de um 
ventilador (veja a Figura B) que apresenta velocidade 
angular constante, Z. Note que o rotor mantém esta 
rotação porque está acoplado a um motor elétrico. Nós 
denominamos a velocidade da pá por U = Z�r, onde r é a 
distância radial medida a partir do eixo do ventilador. A 
velocidade absoluta do fluido (que é vista por um 
observador estacionário) é denominada V e a velocidade 
relativa (que é vista por um observador solidário às pás) é 
denominada W. A velocidade real do fluido (absoluta) é 
igual a soma vetorial da velocidade relativa com a 
velocidade das pás. Deste modo V �W��U
A Figura B (b) mostra um esquema simplificado das 
velocidades do escoamento que "entra" e que "sai" do 
ventilador a uma distância r do eixo do rotor. A superfície 
sombreada legendada como a ��b ��c ��d é uma parte da 
superfície cilíndrica mostrada na Fig. B (a). Nós vamos 
admitir, para simplificar o problema, que o escoamento é 
"suave" ao longo da pá, ou seja, a velocidade relativa 
do escoamento é paralela a superfície da pá da borda 
inicial até a borda final da pá (pontos 1 e 2). Por enquanto, 
nós vamos considerar que o fluido entra e sai do 
ventilador a mesma distância do eixo de rotação, logo U1 = 
U2 = Zr. Nas máquinas de fluxo reais, os escoamentos de 
entrada e saída não são necessariamente tangentes às pás e 
as linhas de fluxo podem apresentar raios diferentes. 
 
 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 17 
 17
17 
¾ A bomba Centrífuga 
 
A bomba centrífuga é uma das máquinas de fluxo 
radial mais comuns. Este tipo de bomba apresenta dois 
componentes principais: um rotor montado num eixo e uma 
carcaça (voluta) que envolve o rotor. O rotor contém uma série 
de pás (geralmente curvas) arranjadas de um modo regular em 
torno do eixo. A Figura C mostra um esboço das partes 
principais de um bomba centrífuga. Conforme o rotor gira, o 
fluido é succionado através da seção de alimentação da bomba 
e escoa radialmente para fora da bomba. A energia é 
adicionada ao fluido pelas pás móveis e tanto a pressão quanto 
a velocidade absoluta são aumentadas ao longo do escoamento 
no rotor. No tipo mais simples de bomba centrífuga, o fluido é 
descarregado diretamente na carcaça. O formato da carcaça 
(voluta) é projetado para reduzir a velocidade do escoamento 
que é descarregado do rotor. 
Note que esta diminuição da energia cinética é 
convertida, em parte, num aumento de pressão. O formato da 
carcaça (em formato de voluta) é tal que a seção transversal do 
canal formado pelo rotor e a carcaça aumenta na direção da 
seção descarga. Observe que isto é feito para que a velocidade 
do escoamento neste canal seja aproximadamente constante. 
Normalmente, as grandes bombas centrífugas, apresentam um 
projeto diferente no qual pás direcionadoras de escoamento 
envolvem o rotor. Estas pás fixas desaceleram o fluido 
conforme ele é direcionado para dentro da carcaça. Este tipo de 
bomba centrífugaé conhecida como bomba difusora – Bomba 
d’água para limpador de pára-brisa). 
Os rotores podem ser classificados em dois tipos 
básicos: os abertos e os fechados. A Figura C (a) mostra um 
rotor do tipo aberto onde as pás estão arranjadas numa placa 
traseira e estão expostas para o lado da carcaça. A Figura D (b)
mostra um rotor fechado. Nesta configuração as pás estão 
confinadas entre duas placas. 
Os rotores também podem ser classificados como de 
simples ou dupla sucção. Para os rotores de sucção simples, o 
fluido entra no rotor por um dos lados da bomba. Já nos rotores 
de dupla sucção, o rotor é alimentado, ao longo do eixo, pelos 
dois lados da bomba. A montagem em dupla sucção diminui a 
forca axial sobre o eixo e também reduz as velocidades de 
entrada no rotor (desde que a área da seção transversal de 
alimentação seja maior). 
As bombas podem apresentar um único ou múltiplos 
estágios. Para uma bomba de único estágio, somente um rotor 
é montado no eixo, enquanto vários rotores são montados no 
mesmo eixo nas bombas multi-estagiadas. Os estágios operam 
em série, isto é, a descarga do primeiro estágio escoa para o 
olho do segundo e assim por diante. A vazão é a mesma 
através dos estágios, mas cada estágio fornece um aumento de 
pressão. Normalmente, as bombas de multi-estagiadas são 
utilizadas nas aplicações onde a pressão na seção de descarga 
da bomba é alta. 
A variedade de bombas centrífugas comercialmente 
disponíveis é imensa mas os princípios básicos de 
funcionamento de todas elas são os mesmos. O trabalho é 
realizado no fluido pelas pás móveis (que induzem um 
aumento significativo da velocidade do escoamento no rotor). 
Esta energia cinética é convertida num aumento de 
pressão conforme o fluido escoa do rotor para a seção de 
descarga da bomba. 
 
Figura B - Modelo de escoamento num 
ventilador: (a) geometria da pá do ventilador; (b) 
velocidades nas seções de entrada e de saída do rotor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura C - Esquema de uma bomba centrífuga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura D – Esquema de rotores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 18 
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18 
¾ Turbinas
 
Como foi discutido, as turbinas são dispositivos que 
extraem energia de um escoamento. A geometria das turbinas é 
tal que o fluido exerce um torque sobre um rotor na direção de 
sua rotação. A potência de eixo gerada é disponibilizada para o 
uso em geradores elétricos e em outros dispositivos. 
Apresentaremos vários tópicos ligados, 
principalmente, a operação de turbinas hidráulicas (aquelas 
que operam com água) para depois estender a discussão para 
as turbinas a gás e a vapor (nas quais a massa específica do 
fluido de trabalho pode variar muito da seção de alimentação 
para a seção de descarga da turbina). 
 
 
Figura E – (a) Esquema de uma turbina Pelton, (b) 
fotografia da roda de uma turbina Pelton (Cortesia da Voith 
Hydro). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
Ainda que existam numerosos projetos de turbinas 
hidráulicas, a maioria destas turbinas podem ser classificadas 
em dois tipos básicos - as turbinas de ação (impulso) e as 
turbinas de reação. (A reação está relacionada com a queda 
pressão estática que ocorre através do rotor e com a queda 
da pressão estática através do estágio da turbina. 
Quanto maior a queda de pressão através do rotor, maior o 
grau de reação da turbina). A queda de pressão através do rotor 
é zero nas turbinas de ação e toda a queda de pressão no 
estágio ocorre num bocal fixo. A turbina do tipo Pelton, veja a 
Fig. E, é um exemplo clássico de uma turbina de ação. Nestas 
máquinas, a carga total do fluido que entra (a soma da carga de 
pressão, de velocidade e de elevação) é convertida em uma 
grande carga de velocidade na saída do bocal de 
alimentação (ou bocais se for utilizada uma configuração 
de múltiplos bocais). Tanto a queda de pressão nas 
canecas (pás) quanto a variação na velocidade relativa do 
escoamento (isto é, a velocidade do fluido em relação as 
canecas) são desprezíveis. Note que o espaço em torno do 
rotor não é completamente preenchido com o fluido. 
É o impulso dos jatos individuais, que empurram 
as canecas, que produz o torque. 
Já nas turbinas de reação, o rotor está envolvido 
por uma carcaça (ou voluta) e o espaço entre estes dois 
componentes está completamente preenchido com o fluido 
de trabalho. Nas turbinas de reação nós detectamos tanto 
uma queda de pressão quanto uma variação da velocidade 
relativa no escoamento através do rotor. Uma turbina de 
reação com alimentação radial possui as pás fixas de 
alimentação que funcionam como bocais e direcionadores 
do escoamento de alimentação. Assim, parte da queda de 
pressão ocorre nos bocais fixos e parte no rotor. Sob 
muitos aspectos, a operação de uma turbina de reação é 
similar a de uma bomba com escoamento invertido (ainda 
que este tipo de simplificação possa levar a muitos 
enganos). 
A operação das turbinas de ação e de reação 
podem ser analisadas com a os princípios do momento da 
quantidade de movimento. Genericamente, as turbinas de 
ação são dispositivos de carga alta e vazão baixa, 
enquanto turbinas de reação são dispositivos de 
carga baixa e vazão alta. 
¾ Turbinas de Ação
Ainda que existam vários tipos de projetos de 
turbina, talvez, o mais fácil de entender seja a roda de 
Pelton. Lester Pelton (1829-1908), um engenheiro de 
minas americano durante a época da mineração de ouro na 
Califórnia, foi o criador de muitas das características ainda 
utilizadas neste tipo de turbina. Estas turbinas são mais 
eficientes quando operadas sob uma grande carga (como 
aquela fornecida por um lago localizado muito acima da 
seção de alimentação do bocal da turbina). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 19 
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19 
Escoamento em canal aberto 
 
Existem muitos modos de classificar o escoamento 
em condutos (em desenvolvimento, plenamente desenvolvido, 
laminar, turbulento etc.). A existência de uma superfície livre 
nos escoamentos em canal aberto permite que existam outras 
classificações de escoamento. Note que agora o fluido escolhe" 
a posição da superfície livre e a configuração do escoamento 
(porque ele não preenche totalmente o tubo ou conduto). 
Assim, nós detectamos novos fenômenos nos 
escoamentos em canais abertos. Nós apresentaremos a seguir 
algumas das possíveis classificações destes escoamentos. 
O modo com que a profundidade do escoamento, y, varia com 
o tempo, t, e com a distância ao longo do canal, x, podem ser 
utilizado para classificar o escoamento. Por exemplo, o 
escoamento é transitório quando a profundidade numa dada 
posição do canal varia ao longo do tempo. Alguns 
escoamentos transitórios podem ser encarados como 
escoamentos em regime por cima de um rio é um escoamento 
transitório para um observador posicionado na margem do rio 
mas é um escoamento em regime permanente para um 
observador que se desloca ao longo da margem com 
velocidade igual a da frente de onda da pororoca. Existem 
escoamentos que são transitórios para qualquer observador. Os 
escoamentos nas ondas geradas pelo vento num lago se 
enquadram nesta categoria. 
Um escoamento em canal aberto é classificado como 
uniforme (EU) se a profundidade do escoamento não varia ao 
longo do canal (dy/dx = 0). De modo contrário, o escoamento é 
não uniforme, ou variado, se a profundidade varia com a 
distância ao longo do canal (dy/dxz�0). 
Escoamentos não uniformes são classificados como 
escoamentos com variação rápida (EVR) se a profundidade do 
escoamento varia consideravelmente numa distância 
relativamente pequena (dy/dx ~ 1). Escoamentos com variação 
gradual (EVG) são aqueles em que a profundidade do 
escoamento varia pouco ao longo do canal (dy/dx << 1). A Fig. 
10.1 mostra alguns exemplos destes tipos de escoamento. É 
oportunoobservar que a importância relativa dos vários tipos 
de forças (pressão, peso, atrito e inércia) são diferentes em 
cada um destes tipos de escoamento. 
Os escoamentos em canal aberto, dependendo das 
várias condições envolvidas, podem ser laminares, de transição 
ou turbulentos. O tipo de escoamento no canal é função do 
número de Reynolds: 
h
e
V R
R
U
K
˜ ˜ 
onde V é a velocidade média do escoamento e Rh é o 
raio hidráulico do canal. Uma regra geral é: o escoamento no 
canal aberto é laminar se Re < 500, turbulento se Re > 12500 e 
de transição se 500 < Re < 12500. Os valores que definem os 
limites dos regimes são aproximados e é necessário um 
conhecimento preciso da geometria do canal para estabelecer 
valores limite mais precisos. É incomum encontrarmos 
escoamentos em canal aberto laminares porque a maioria 
destes escoamentos envolve água (que apresenta uma 
viscosidade bem reduzida) e apresentam comprimentos 
característicos relativamente grandes. Por exemplo, um 
escoamento de água a 20 ºC (®�= 1,00 ˜�10฀6 m2/s) com 
velocidade média V = 0,3 m/s num rio que apresenta raio 
hidráulico Rh = 3,1 m apresenta Re = VRh /®�= 9,3 ˜105 (o 
escoamento é turbulento). Entretanto, o escoamento numa 
lâmina de água sobre uma estrada com velocidade média 
V = 0,08 m/s e Rh = 6 mm (nestes casos o raio hidráulico é 
aproximadamente igual a profundidade do escoamento, 
veja a Sec. 10.4) apresenta Re = 480 (o escoamento é 
laminar). 
Todos os escoamentos em canal aberto 
considerados neste livro são homogêneos, ou seja, o fluido 
apresenta propriedades uniformes no campo de 
escoamento. Em algumas ocasiões, os escoamentos 
estratificados são importantes. Nestas ocasiões nós 
encontramos duas ou mais camadas de fluidos que 
apresentam massas específicas diferentes escoando no 
canal. Uma camada de óleo sobre a água é um bom 
exemplo deste tipo de escoamento. 
Os escoamentos em canal aberto sempre 
apresentam uma superfície livre. Esta superfície pode ser 
alterada de uma configuração não perturbada 
(relativamente plana) e formar ondas que se deslocam 
através da superfície com uma velocidade que depende do 
seu tamanho (peso, comprimento) e das propriedades do 
canal (profundidade, velocidade do escoamento etc.). As 
características de um escoamento em canal aberto 
dependem muito de como o fluido se movimenta e como 
uma onda típica se desloca em relação ao fluido. O 
parâmetro adimensional que descreve este comportamento 
é o número de Froude, Fr = V/(gl)1/2, onde l é um 
comprimento característico do escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura F – Classificação dos escoamentos em 
canal aberto.