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Versão preliminar 19 de setembro de 2002 Notas de Aula de Física 13. EQUILÍBRIO ................................................................................................................. 2 CONDIÇÕES PARA O EQUILÍBRIO........................................................................................... 2 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 3 10 .................................................................................................................................. 3 15 .................................................................................................................................. 3 19 .................................................................................................................................. 4 25 .................................................................................................................................. 5 27 .................................................................................................................................. 6 34 .................................................................................................................................. 7 35 .................................................................................................................................. 8 39 .................................................................................................................................. 8 Prof. Romero Tavares da Silva Cap13 romero@fisica.ufpb.br 2 13. Equilíbrio Condições para o equilíbrio Diz-se que um corpo está em equilíbrio quando o seu momento linear e o seu mo- mento angular são constantes, ou seja: = = teconsL teconsP tan tan ! ! Quando as constantes mencionadas acima são nulas, diz-se que o corpo está em equilíbrio estático. Nessa situação ele não está em movimento de translação e também não está em movimento de rotação. As condições expostas nas equações anteriores implicam que: == == 0 0 EXT EXT dt Ld F dt Pd τ ! ! ! ! ou seja, para que um corpo esteja em equilíbrio estático devemos ter as seguintes condi- ções satisfeitas: = = 0 0 EXT EXTF τ ! ! Prof. Romero Tavares da Silva Cap13 romero@fisica.ufpb.br 3 Solução de alguns problemas Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 10 Uma esfera uniforme de peso P e raio r é mantida no lugar por uma corda presa a uma parede, sem atrito, situada a uma distância L acima do centro da esfera, con- forme a figura a seguir. a) Encontre a tensão na corda. Como a esfera está em repouso, temos que: 0=++ NPT !!! ou seja: =− =− 0sen 0cos NT PT θ θ T ! L N ! P ! y θ T ! N ! P ! Logo P L rLTPTPT + =∴=⇒= 22 cos cos θ θ onde 22 cos rL L + =θ b) Encontre a força exercida pela parede sobre a esfera. P L rNPN T T P N =∴=⇒= θ θ θ tan cos sen onde L r =θtan Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 15 Uma viga é transportada por três homens, estando um homem em uma das extremi- dades e os outros dois sustentando a viga por meio de uma trave transversal, colo- cada de modo que a carga esteja igualmente dividida entre os três homens. Em que posição está colocada a trave transversal? (Despreze a massa dessa trave.) Por exigência do enunciado, temos que: F1 = F2 = F3 = F Eixo 1F ! P ! x 32 FF !! + Prof. Romero Tavares da Silva Cap13 romero@fisica.ufpb.br 4 Como o corpo está em repouso a resul- tante de forças é nula, logo: F1 + F2 + F3 - P = 0 O torque resultante também é nulo. Va- mos considerar o torque em relação a uma eixo que passa ao longo da trave transversal. Desse modo: ( ) 0 21 = −−− xLPxLF 2F ! P ! 1F ! x 3F ! Eixo Da primeira equação encontramos que P = 3 F , e usando esse resultado na segun- da equação: ( ) ( ) 4 03 2 30 2 3 LxxxLLxLFxLF =∴=−+ −⇒= −−− Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 19 Duas esferas idênticas, uniformes e sem atrito, cada uma de peso P , estão em re- pouso conforme mostra a figura à seguir. a) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido às su- perfícies do recipiente. θ = 450 F12 = F21 = F P1 = P2 = P Os dois corpos estão em repouso, logo a resultante das forças que atuam em cada um deles é nula. =− =−− 0cos 0sen 1 1 θ θ FT e FPN 12F ! 2T ! 1N ! 2P ! 21F ! 1T ! 1P ! =− =− 0cos 0sen 2TF PF θ θ Das equações acima encontramos que: T1 = T2 = F cosθ 1N ! θ 1T ! 21F ! 1P ! 12F ! θ 2T ! 2P ! Prof. Romero Tavares da Silva Cap13 romero@fisica.ufpb.br 5 e N1 - P - P = 0 ⇒ N1 = 2 P 2 sen PPF == θ PTanPFT =⇒== θθ cotcos b) Encontre, em termos de P , as forças que atuam sobre as esferas devido uma à outra, se a linha que une os centros das esferas faz um ângulo de 450 com a horizontal. 2 sen PPF == θ Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 25 Uma placa quadrada uniforme, pesando 50,0kg e tendo 2,0m de lado, está pendu- rada em uma haste de 3,0m de comprimento e massa desprezível. Um cabo está preso à extremidade da haste e a um ponto na parede situado 4,0m acima do ponto onde a haste é fixada na parede, conforme mostra a figura a seguir. a) Qual é a tensão no cabo? M = 50kg L1 = 4,0m L2 = 2,0m L3 = 3,0m Vamos considerar apenas as forças que atuam na haste horizontal. Como a placa é uniforme as forças P1 e P2 são tais que: P1 = P2 = P / 2 = M g / 2 Vamos considerar o torque das forças que atuam na haste, em relação a um eixo perpendicular ao papel e que pas- se no ponto onde a haste está presa na parede. L1 VF ! T ! θ HF ! 2P ! 1P ! L2 L3 T senθ L3 - P2 L3 - P1 ( L3 - L2 ) = 0 ( )[ ] P L LL TLLLPLT − =⇒−+= θ θ sen2 2 2 sen 3 23 2333 Mas ( ) P LL LLLL T LL L +− =⇒ + = 31 2 3 2 123 2 3 2 1 1 2 2 senθ = 408,34N Prof. Romero Tavares da Silva Cap13 romero@fisica.ufpb.br 6 b) Qual é a componente vertical da força exercida pela parede sobre a haste? Vamos considerar o torque das forças que atuam na haste, em relação a um eixo perpendicular ao papel e que passe no ponto onde o cabo suspende a haste. P1 L2 - FV L3 = 0 3 2 3 21 2L PL L LP FV == = 163,34N c) Qual é a componente horizontal da força exercida pelaparede sobre a haste? Como a placa está em repouso, a resultante das forças que atuam nela é zero, Segundo um eixo horizontal, as forças que atuam são tais que: + ==⇒=− 2 3 2 1 3cos0cos LL L TTFFT HH θθ Usando o resultado para T deduzido anteriormente, temos que: P L LL FH − = 1 23 2 2 = 245N Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 27 Na figura a seguir, qual a magnitude da força F ! , aplicada horizontalmente no eixo da roda, necessária para fazer a roda ultrapassar um obstáculo de altura h ? Consi- dere r como sendo o raio da roda e P o seu peso. Na iminência da ultrapassagem do obstá- culo, a roda perdeu o contato com o solo, e as forças que atuam nela estão mostra- das na figura ao lado. Como ainda não existe movimento, a resultante é nula. Logo: F - N cosθ = 0 P - N senθ = 0 N ! F ! r θ r - h h P ! θ θ θ θ tan tan cos sen PF N N F P =⇒== Mas ( ) Phr hrhF hrh hr hrr hr − − =⇒ − − = −− − = 2 222 2 2 tanθ Prof. Romero Tavares da Silva Cap13 romero@fisica.ufpb.br 7 Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 34 Uma barra não uniforme de peso P está suspensa em repouso, na horizontal, por duas cordas sem massa, como mostra a figura a seguir. Uma corda faz um ângulo θ = 36,90 com a vertical e a outra faz um ângulo ϕ = 53,10 , também com a vertical. Se o comprimento L da barra é 6,1m , calcule a distância x entre a extremidade esquerda da barra e o seu centro de gravidade. θ = 36,90 ϕ = 53,10 L = 6,1m Vamos calcular o torque das forças que atuam na barra em relação a um eixo perpendicular ao papel, e que passe por um ponto da extremidade esquerda da barra. τ = P x - T2 cosϕ L = 0 1T ! x 2T ! L ϕ θ P ! ou seja: L P Tx = ϕcos2 Por outro lado, como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam é nula: =− =−+ ⇒=++ 0sensen 0coscos 0 21 21 21 ϕθ ϕθ TT PTT PTT !!! Da última equação temos que: = θ ϕ sen sen 21 TT e usando esse resultado na penúltima equação, encontramos: PTT =+ ϕθ θ ϕ coscos sen sen 22 ou seja: { } θθϕθϕ sensencoscossen2 PT =+ ( ) ( ) PTPT + =⇒=+ θϕ θθθϕ sen sensensen 22 Mas ( ) PP LxL P T x + =⇒ = θϕ θϕϕ sen sencoscos2 logo ( ) Lx + = θϕ θϕ sen sencos = 2,23m Prof. Romero Tavares da Silva Cap13 romero@fisica.ufpb.br 8 Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 35 Na figura a seguir, uma barra horizontal fina AB , de massa desprezível e compri- mento L , é presa a uma dobradiça em uma parede vertical no ponto A e sustenta- da em B , por um fio fino BC , que faz um ângulo θ com a horizontal. Um peso P pode ser movido para qualquer posição ao longo da barra, sendo a sua posição defi- nida pela distância x desde a parede até o seu centro de massa. a) Encontre a tensão no fio. Iremos considerar apenas as for- ças que atuam na barra. Vamos calcular o torque em rela- ção a um eixo perpendicular à folha de papel e que passe pelo ponto onde a barra está presa á parede pela dobradi- ça (ponto A) Como a barra está em repouso o torque em relação a qualquer eixo é nulo, logo: T senθ L - P x = 0 P L xT = θsen C T ! VF ! B θ HF ! A x P ! L b) Encontre a componente horizontal da força exercida sobre a barra pelo pino da dobradiça em A . Como a barra está em repouso a resultante das forças que nela atuam é nula. A componente horizontal da resultante é: P L xFTFFT HHH =∴=⇒=− θ θθ tan cos0cos c) Encontre a componente vertical da força exercida sobre a barra pelo pino da do- bradiça em A . Vamos considerar, agora, o torque das forças em relação a um eixo perpendicu- lar à folha de papel e que passe pelo ponto onde o fio está preso na barra (ponto B). ( ) P L xFP x xLFLFxLP VVV −=∴ − =⇒=−− 10 Capítulo 13 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição 39 Uma tábua uniforme de comprimento L = 6,1m e peso P = 444,8N está em repou- so no chão, encostada numa quina sem atrito, situada no alto de uma parede de altu- ra h = 3,0m conforme a figura a seguir. A tábua permanece em equilíbrio para qual- quer valor do ângulo θ ≥ 700 , mas escorrega para θ < 700 . Encontre o coeficiente de atrito entre a tábua e o chão. Prof. Romero Tavares da Silva Cap13 romero@fisica.ufpb.br 9 θ é o ângulo limite para o deslizamento, e isso significa que para esse ângulo a força de atrito estático é máxima, logo Fa = µE N Pode-se perceber que os ângulos α e θ são complementares, logo: α = π/2 - θ A força da quina na tábua é perpendicular à tábua pois não existe atrito entre as duas. T ! α α N ! h P ! θ aF ! d Como o corpo está em equilíbrio, a resultante de forças é nula e o torque resultante também é nulo. O torque em relação a um eixo que passe pelo ponto de apoio da escada no chão e que seja perpendicular à folha de papel tem a forma: -(T cosα ) h - (P senα) L/2 = 0 α α cos sen 2h PLT = A resultante de forças tem a forma: =+− =+− ∴=+++ 0cos 0sen 0 aE aE FT NPT FNPT α α !!!! ou seja: α αµµ α α sen cos sen cos TP T N N TP T N F E EaE − =∴= − = e usando o resultado anterior para T , encontramos: 3981,0 cos sen 2 1 sen 2 sen cos sen 2 cos cos sen 2 2 = − =∴ − = α α α µ α α α α α α µ h L h L h PLP h PL EE
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