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<p>AULA 2</p><p>Conjunto dos Números Naturais (N)</p><p>O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos</p><p>para contar (incluindo o zero) e é infinito.</p><p>No conjunto dos naturais, há apenas números positivos (além do zero). Nele, um novo número</p><p>sempre pode ser obtido ao adicionar uma unidade ao número anterior.</p><p>Subconjuntos dos Números Naturais</p><p>• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja,</p><p>sem o zero.</p><p>• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.</p><p>• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.</p><p>• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.</p><p>Conjunto dos Números Inteiros (Z)</p><p>O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne os elementos dos números</p><p>naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z, assim,</p><p>N ⊂ Z (N está contido em Z).</p><p>Z contém N</p><p>É possível obter sempre um sucessor, ao adicionar uma unidade ao elemento anterior.</p><p>Também é possível obter sempre um antecessor, ao subtrair uma unidade do anterior.</p><p>O conjunto dos inteiros é infinito, tanto no sentido dos negativos como dos positivos.</p><p>Subconjuntos dos Números Inteiros</p><p>• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos,</p><p>ou seja, sem o zero.</p><p>• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.</p><p>• Z*</p><p>+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.</p><p>• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.</p><p>• Z*</p><p>– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.</p><p>Conjunto dos Números Racionais (Q)</p><p>O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem</p><p>ser escritos na forma:</p><p>,</p><p>sendo a e b números inteiros e b ≠ 0.</p><p>Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}</p><p>Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.</p><p>https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/</p><p>https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/</p><p>https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/</p><p>Q contém Z</p><p>Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais. Elas são números</p><p>decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,4444444444... Embora possua</p><p>infinitas casas decimais, pode ser escrito como a fração 13/9.</p><p>Dízima Periódica</p><p>As dízimas periódicas são números decimais periódicos, ou seja, apresentam um ou mais</p><p>algarismos que se repetem na mesma ordem infinitamente. O algarismo que se repete é</p><p>chamado de período.</p><p>Os números decimais periódicos pertencem ao conjunto dos números racionais</p><p>( ), pois podem ser escritos na forma de fração. Por exemplo, o número 0,444... também</p><p>pode ser escrito como .</p><p>Quando um número é decimal infinito, mas não apresenta algarismos que se repetem, ou seja,</p><p>não possui um período, ele não será uma dízima periódica e sim um número irracional.</p><p>Dízimas periódicas simples e compostas</p><p>A dízimas são chamadas de simples quando apresentam a parte inteira e após a vírgula</p><p>apenas algarismos que se repetem.</p><p>São exemplos de dízimas periódicas simples:</p><p>• 0,34343434... → parte inteira igual a 0 e período igual a 34</p><p>• 1,222222... → parte inteira igual a 1 e período igual a 2</p><p>• 234,193193193... → parte inteira igual a 234 e período igual a 193</p><p>Já as dízimas periódicas compostas possuem a parte inteira e depois da vírgula algarismos</p><p>que não se repetem, além dos algarismos que se repetem.</p><p>São exemplos de dízimas compostas:</p><p>• 3,125555... → parte inteira igual a 3, parte não periódica igual a 12 e período igual a 5.</p><p>• 1,7863333... → parte inteira igual a 1, parte não periódica igual a 786 e período igual a 3.</p><p>• 11,2350505050... → parte inteira igual a 11, parte não periódica igual a 23 e período igual a 50.</p><p>Representação das dízimas periódicas</p><p>As dízimas podem estar escritas na forma de fração geratriz ou na forma de número decimal.</p><p>Quando estiver escrita na forma decimal, colocamos três pontinhos no final para indicar que os</p><p>algarismos se repetem infinitamente.</p><p>Podemos ainda representar esse tipo de número colocando um traço horizontal apenas em</p><p>cima do seu período.</p><p>Exemplos</p><p>Fração geratriz</p><p>https://www.todamateria.com.br/fracao-geratriz/</p><p>Como vimos, as dízimas periódicas são números racionais e para encontrar a fração geratriz</p><p>de uma dízima podemos aplicar um método prático.</p><p>Se o número for uma dízima simples, devemos colocar no numerador um número formado</p><p>pelos algarismos inteiros e o período, menos os algarismos inteiros, sem a vírgula. Já no</p><p>denominador, colocamos um número formado por "noves".</p><p>A quantidade de "noves" dependerá de quantos algarismos formam o período da dízima. Por</p><p>exemplo, na dízima 3,1717... o período é composto por 2 algarismos (17), assim, o</p><p>denominador será igual a 99.</p><p>Se a dízima for composta, o numerador será encontrado fazendo a subtração do número</p><p>formado pelos algarismos da parte inteira, os algarismos que não se repetem e o período (sem</p><p>a vírgula) e o número formado pela parte inteira e a que não se repete, também sem a vírgula.</p><p>No denominador, também colocamos tantos noves quanto forem os algarismos do período,</p><p>entretanto, temos que adicionar zeros de acordo com o número de algarismos que não se</p><p>repetem na parte decimal.</p><p>Exemplo</p><p>Encontre a fração geratriz das dízimas indicadas abaixo:</p><p>a) 4,5555...</p><p>b) 7,38282...</p><p>Subconjuntos dos Números Racionais</p><p>• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o</p><p>zero.</p><p>• Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais</p><p>positivos e o zero.</p><p>• Q*</p><p>+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos,</p><p>sem o zero.</p><p>• Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais</p><p>negativos e o zero.</p><p>• Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais</p><p>negativos, sem o zero.</p><p>Conjunto dos Números Irracionais (I)</p><p>O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não</p><p>exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou</p><p>1,203040...</p><p>Os números irracionais não contêm os racionais. São conjuntos sem intersecção.</p><p>A intersecção entre os racionais e os irracionais é vazia.</p><p>Conjunto dos Números Reais (R)</p><p>O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números</p><p>racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I (união entre os racionais e os</p><p>irracionais).</p><p>Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.</p><p>https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/</p><p>https://www.todamateria.com.br/numeros-irracionais/</p><p>https://www.todamateria.com.br/numeros-reais/</p><p>O conjunto dos reais contém todos os anteriores.</p><p>Subconjuntos dos Números Reais</p><p>• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.</p><p>• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.</p><p>• R*</p><p>+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.</p><p>• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.</p><p>• R*</p><p>– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.</p><p>Intervalos Numéricos</p><p>Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais, chamados de intervalos.</p><p>Sejam a e b números reais e a < b, temos os seguintes intervalos reais:</p><p>Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b}</p><p>Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}</p><p>Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos:</p><p>[a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b}</p><p>Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos:</p><p>]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b}</p><p>Propriedades dos Conjuntos Numéricos</p><p>Para facilitar os estudos sobre os</p><p>conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas</p><p>propriedades:</p><p>• O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros Z, (N ⊂ Z).</p><p>• O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais Q, (Z ⊂ Q).</p><p>• O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R). (Q ⊂ R)</p><p>• Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são</p><p>subconjuntos dos números reais (R).</p><p>VALOR ABSOLUTO E ORDEM DOS NÚMEROS</p><p>VALOR ABSOLUTO</p><p>• O valor absoluto é a distância de um número até a origem (zero) em uma reta numérica.</p><p>• O valor absoluto é sempre um número não negativo.</p><p>• Representado pela notação |x|.</p><p>Por exemplo, o valor absoluto de -7 é 7, pois a distância de -7 até 0 é 7 unidades. Da mesma</p><p>forma, o valor absoluto de 5 é 5, já que a distância de 5 até 0 é 5 unidades.</p><p>ORDEM DOS NÚMEROS</p><p>Ordenar números racionais envolve colocá-los em ordem crescente ou decrescente, levando</p><p>em conta suas propriedades.</p><p>• Números negativos são menores que números positivos.</p><p>• Dentro dos negativos, maior valor absoluto significa menor número.</p><p>• Ordenar números racionais envolve separar positivos e negativos e ordenar cada grupo.</p><p>REGRA DOS SINAIS</p><p>ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:</p><p>MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO</p><p>VAMOS FIXAR:</p><p>1. Calcule: (+5) + (-3) + (+7)</p><p>2. Calcule: (-9) - (-3)</p><p>3. Calcule: (+4) × (-2) × (+3)</p><p>4. Calcule: (-18) ÷ (+3)</p><p>5. Calcule: (+2) + (-4) × (-3)</p><p>6. Calcule: (-2) - (+6) + (-4)</p><p>7. Calcule: (+7) × (+3) × (-2)</p><p>8. Calcule: (+10) ÷ (-2)</p><p>9. Calcule: (-5) + (-7) × (+2)</p><p>10. Calcule: (-3) - (+5) ÷ (-1)</p><p>ATIVIDADES</p><p>1- Considerando o conjunto dos números inteiros não positivos, que é representado por Z_, e o</p><p>conjunto dos números naturais, que é representado por N, assinale a alternativa que indica</p><p>corretamente quantos elementos possui o conjunto Z_ ∩ N:</p><p>a) Não possui elementos.</p><p>b) Possui uma quantidade infinita de elementos.</p><p>c) 1</p><p>d) 2</p><p>e) 3</p><p>2- O conjunto que representa o resultado da interseção entre o conjunto dos números naturais,</p><p>N, e o conjunto dos números inteiros, Z, é</p><p>a) {0}.</p><p>b) { }.</p><p>c) N.</p><p>d) Z.</p><p>e) {-1, 0, 1}.</p><p>3- (UFOP-MG) A respeito dos números a = 0,499999… e b = 0,5, é correto afirmar:</p><p>a) b = a + 0,011111</p><p>b) a = b</p><p>c) a é irracional e b é racional</p><p>d) a < b</p><p>4- Ano: 2024 Banca: Instituto de Desenvolvimento e Capacitação - IDCAP</p><p>Prova: IDCAP - Prefeitura de Vila Rica - Motorista - Área: Serviço de Saúde - 2024</p><p>Qual dos números dados nas alternativas abaixo está na interseção dos conjuntos dos</p><p>números inteiros e racionais?</p><p>a) 4,68</p><p>b)2,5</p><p>c)1/6</p><p>d)- 1.395</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/2024</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/idcap</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-vila-rica-mt-2024-idcap-motorista-area-servico-de-saude-2</p><p>5- Ano: 2024 Banca: Instituto Consulplan Prova: Instituto Consulplan - Prefeitura de São Fidélis</p><p>- Professor - Área: Matemática - 2024</p><p>Selecionando-se aleatoriamente dois números naturais não nulos e diferentes entre si e</p><p>efetuando-se com ele, de todas as formas possíveis, as quatro operações básicas</p><p>fundamentais da matemática, obtém-se um conjunto formado pelos resultados possíveis.</p><p>Qual conjunto certamente contém todos os possíveis resultados dessas operações?</p><p>a) Inteiros.</p><p>b) Naturais.</p><p>c)Racionais.</p><p>d)Irracionais.</p><p>6- Ano: 2024 Banca: Instituto de Apoio à Gestão e Educação - IGEDUC Prova: IGEDUC -</p><p>Câmara de Vitória de Santo Antão - Analista Legislativo - 2024</p><p>Texto associado</p><p>É correto afirmar que o valor absoluto de um número representa a distância desse número até</p><p>a origem na reta numérica. Por exemplo, o valor absoluto de -4 é 4 e o de 4 também é 4, pois</p><p>ambos estão a quatro unidades de distância do zero na reta numérica.</p><p>a) Certo</p><p>b) Errado</p><p>7- Ano: 2024 Banca: Instituto Verbena Prova: Instituto Verbena - Prefeitura de Turvânia</p><p>Enfermeiro - 2024</p><p>Qual a representação decimal da dízima periódica 0,60666?</p><p>a)546/900</p><p>b)303/500</p><p>c)201/300</p><p>d)100/150</p><p>8- Ano: 2024Banca: Instituto Darwin - Darwin Prova: Darwin - Prefeitura de Santa Cruz de</p><p>Capibaribe - Professor de Anos Finais do Ensino Fundamental - Área História - 2024</p><p>Michelle, com sua calculadora, dividiu dois números inteiros positivos e obteve como resultado</p><p>a seguinte dízima periódica 0, 25252525....Sabendo-se que a fração geratriz é irredutível e é</p><p>dada por n\m, determine 𝐸=𝑚+𝑛 e assinale a alternativa correta.</p><p>a) 𝐸 = 119</p><p>b) 𝐸 = 122</p><p>c)𝐸 = 124</p><p>d)𝐸 = 136</p><p>9- Ano: 2024 Banca: Fundação Getúlio Vargas - FGV Prova: FGV - Prefeitura de</p><p>Caraguatatuba - Artífice - 2024</p><p>Considere o conjunto dos números naturais, ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.</p><p>A soma de uma quantidade par de números ímpares:</p><p>a) é sempre maior que 5.</p><p>b) é sempre um múltiplo de 3.</p><p>c)resulta sempre em um número par.</p><p>d)resulta sempre em um número ímpar.</p><p>e) pode resultar em um número par ou em um número ímpar.</p><p>10- Ano: 2024 Banca: Instituto de Desenvolvimento e Capacitação - IDCAP Prova: IDCAP -</p><p>Prefeitura de Vila Rica - Motorista - Área: Serviço de Saúde - 2024</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/2024</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/instituto-consulplan</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-sao-fidelis-rj-2024-instituto-consulplan-professor-area-matematica</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-sao-fidelis-rj-2024-instituto-consulplan-professor-area-matematica</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/2024</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/igeduc</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/camara-de-vitoria-de-santo-antao-pe-2024-igeduc-analista-legislativo</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/camara-de-vitoria-de-santo-antao-pe-2024-igeduc-analista-legislativo</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/2024</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/instituto-verbena</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-turvania-go-2024-instituto-verbena-enfermeiro</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-turvania-go-2024-instituto-verbena-enfermeiro</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/2024</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/darwin</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-santa-cruz-de-capibaribe-pe-2024-darwin-professor-de-anos-finais-do-ensino-fundamental-area-historia</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-santa-cruz-de-capibaribe-pe-2024-darwin-professor-de-anos-finais-do-ensino-fundamental-area-historia</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/2024</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/fgv</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-caraguatatuba-sp-2024-fgv-artifice</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-caraguatatuba-sp-2024-fgv-artifice</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/2024</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/concursos/idcap</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-vila-rica-mt-2024-idcap-motorista-area-servico-de-saude-2</p><p>https://questoes.grancursosonline.com.br/prova/prefeitura-de-vila-rica-mt-2024-idcap-motorista-area-servico-de-saude-2</p><p>Considere que a reta abaixo representa o conjunto dos números inteiros.</p><p>Qual das alternativas abaixo está correta?</p><p>a) A = - 4, B = - 42, C = 1 e D = 3,5</p><p>b) A = - 8, B = - 4, C = 1 e D = 7</p><p>c)A = 1, B = 5, C = 10 e D = 16</p><p>d)A = - 1, B = - 2, C = 1 e D = 2</p>