Apostila Geometria Descritiva - Sarah Rabelo

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Geometria Descritiva – Professora Sarah Rabelo 
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Professora: Sarah Rabelo 
 
1 – Introdução 
 
A GD tem por objetivos: 
– A representação de figuras do espaço, a fim de... 
– ...estudar sua forma, dimensão e posição. 
 
- GD é a base teórica de numerosas aplicações profissionais, que vão da Engenharia à 
Arquitetura, bem como Desenho Industrial, Pintura, Escultura... 
 
- A GD desenvolve a habilidade de imaginar objetos ou projetos no espaço, e não 
apenas a leitura ou interpretação de desenhos. 
 
- A GD utiliza um sistema de projeções elaborado por Garpard Monge, conhecido como 
sistema mongeano, ortogonal ou diédrico: 
 
o Sistema de representação: Épura 
o Método de projetividade: um dado ente (figura) e sua imagem em 
correspondência 
o Técnica: linha de terra, convenção de traços, notação... 
o Processo: dupla imagem por projeções ortogonais 
 
2 – Teoria Geral das Projeções 
2.1 – Definição 
 
A noção mais intuitiva é imaginarmos um objeto (ente) e sua imagem (representação). 
 
 Projeção vem de PROJETAR: atirar longe, 
arremessar, lançar algo sobre uma superfície... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.2 – Sistemas de Projeção 
 
Como já dito, o objetivo da GD é representar no plano, através de projeções, as figuras 
do espaço. Há duas formas principais de projetar uma figura F em um plano : 
 
(a) Utilizando um sistema de projeção central: 
 
 A projeção de cada ponto FP é o ponto obtido da 
interseção de  com a reta OP . 
 O é o ponto fixo, o centro de projeção. 
 
 
 
 
 
(b) Utilizando um sistema de projeção cilíndrica: 
 
 A projeção de cada ponto FP é o ponto obtido da 
interseção de  com a reta que passa por P e é paralela 
a uma direção fixa , a direção de projeção. 
 
 
 
O sistema de projeção utilizado na GD é a projeção cilíndrica ortogonal (a direção de 
projeção é perpendicular ao plano de projeção): 
 
 
 Na maioria das vezes, há perda de informações sobre a figura!!! Assim, para obter 
informações mais precisas sobre uma figura, é necessário utilizar mais de um plano de 
projeção... 
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3. MÉTODO DE MONGE 
 
Gaspard Monge, criador da Geometria Descritiva, a definiu como sendo a parte da Matemática que 
tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver, com o auxílio da 
Geometria Plana, os problemas em que se consideram as três dimensões. 
 
O QUE É A PROJEÇÃO DE UM PONTO? 
 
Projeção de um ponto sobre um plano é o “pé” da 
perpendicular ao plano conduzido pelo ponto. O plano é dito 
plano de projeção e a reta é a reta projetante do ponto. Porém, 
no espaço um ponto não está bem determinado apenas com uma 
projeção. Então mostramos como se determina um ponto A 
através do método das projeções de Monge. 
 
PLANOS DE PROJEÇÃO 
 
 Planos de projeção são dois planos perpendiculares entre si; um deles chama-se plano horizontal e o 
outro plano vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos. 
 Chama-se Linha de Terra - LT a interseção dos dois planos. 
 
O 1° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Anterior (HA). 
O 2° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Superior (VS) e Horizontal Posterior (HP). 
O 3° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Posterior (HP). 
O 4° diedro é formado pelos semi-planos: Vertical Inferior (VI) e Horizontal Anterior (HA). 
 
 
 
 
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ÉPURA 
 
Épura é a representação de uma figura do espaço pelas suas projeções no plano. O interessante da 
épura é observar a figura no plano e imaginar como essa figura se apresenta no espaço. 
 
OBTENÇÃO DA ÉPURA 
 Para obter a épura, gira-se o Plano Vertical de Projeção (PV) em torno da Linha de Terra no sentido 
horário, de tal forma que este coincida com o Plano Horizontal de Projeção (PH). Esta nova representação 
recebe o nome de épura. 
 
 
 
 
 
 
 
3.1. ESTUDO DO PONTO 
 
Para determinar a posição de um ponto (A) é necessário projetá-lo sobre os dois planos de projeção. 
A projeção horizontal designa-se por A ou (A1) e a projeção vertical por (A’) ou (A2). 
 
 
 
 
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3.1.1. COORDENADAS 
 Um ponto no espaço é determinado por três coordenadas: altitude (eixo Z), longitude (eixo X) e 
latitude (eixo Y). 
 
Plano de perfil: plano perpendicular aos planos de projeções passando por O. Um ponto tem abscissa 
positiva se está à frente do plano de perfil e negativa se estiver atrás. 
__________ 
 
 
Seja o ponto P situado no primeiro diedro e projetado no HP e no VS. 
 
 
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Linha de chamada é o segmento que une as duas projeções de um ponto e é sempre perpendicular à LT. 
 
 
Abscissa de um ponto P é a, distância da Linha de chamada do ponto P até o Plano de Perfil. Assim, 
abscissa é a coordenada do eixo X. 
 
Afastamento de um ponto P é a distância deste ponto ao plano vertical de projeção. Assim, afastamento é 
a coordenada do eixo Y. 
 
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Cota de um ponto P é a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção. Assim cota é a coordenada 
do eixo Z. 
 
DETERMINAÇÃO DE UM PONTO 
Um ponto P está determinado quando se conhece abscissa, afastamento e cota. Exemplo: P(-2,4,2). 
 
 
3.1.2. POSIÇÕES DO PONTO 
 
O ponto pode ocupar nove posições diferentes em relação aos planos de projeção. São elas: 
 
1. Ponto no 1° diedro 
Depois do rebatimento, o (’S) ficará em coincidência com o (P) e a projeção vertical A’ acompanhará o 
plano (’S) no seu deslocamento. As projeções são separadas pela linha de terra, estando a projeção vertical 
A’ acima e a horizontal A abaixo da referida linha. 
 
 
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2. Ponto no 2° diedro 
Depois do rebatimento, a projeção B’ vem colocar-se no (P), sobre BB0 (ou seu prolongamento) conforme 
a cota seja maior ou menor que o afastamento. Na épura correspondente verificamos que ambas as 
projeções estão acima da linha de terra, fato este que caracteriza o ponto no 2° diedro. 
 
 
 
3. Ponto no 3° diedro 
Depois do rebatimento, o (’S) ficará em coincidência com o (P) e o (’I) ficará em coincidência com o (A), 
então a projeção vertical C’ irá cair em C’1 no prolongamento de CC0. Na épura correspondente verificamos 
que as projeções são separadas pela linha de terra, estando a projeção horizontal C acima e a vertical C’ 
abaixo dessa linha. 
 
 
 
4. Ponto no 4° diedro 
Depois do rebatimento, a projeção vertical D’ vem cair sobre DD0 (ou seu prolongamento). Na épura 
correspondente verificamos que ambas as projeções estão abaixo da linha de terra, fato este que 
caracteriza que o ponto está no 4° diedro. 
 
 
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5. Ponto no plano vertical superior (’S) 
Estando o ponto (E) no (’S) o seu afastamento será nulo, coincidindo, então sua projeção vertical E’ com o 
próprio ponto (E), e a projeção horizontal E estará sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção 
E’ cairá em E’1 sobre o (P). Na épura, a projeção vertical E’ está acima da linha de terra e a horizontal E, 
está sobre essa linha. 
 
 
 
6. Ponto no plano vertical inferior (’I) 
Estando o ponto (F) no (’I) o seu afastamento será nulo. Sua projeção vertical F’ coincide com o próprio 
ponto (F), e a projeção horizontal F estará sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção F’ cairá 
em F’1 sobre o (A). Na épura, a projeção vertical F’ está abaixo da linha de terra e a horizontal F, 
permanece sobre essa linha. 
 
 
 
7. Ponto no plano horizontal anterior (A) 
Estando o ponto (G) no (A) sua cota será nula, coincidindo, então sua projeção horizontal G com o próprioponto (G), e a projeção vertical G’ estará sobre a linha de terra. Na épura, a projeção horizontal G está 
abaixo da linha de terra e a vertical G’, está sobre essa linha. 
 
 
 
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8. Ponto no plano horizontal posterior (P) 
Estando o ponto (J) no (P) sua cota será nula, coincidindo, então sua projeção horizontal J com o próprio 
ponto (J), e a projeção vertical J’ estará sobre a linha de terra. Na épura, a projeção horizontal J está acima 
da linha de terra e a vertical J’, está sobre essa linha. 
 
 
 
9. Ponto na linha de terra 
Nessa posição, o ponto não terá cota nem afastamento. Nada se altera com o rebatimento, já que a linha de 
terra é fixa. A épura do ponto nessa posição é representada na figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Tudo quanto te vier às mãos para fazer, faze-o conforme as tuas forças, pois na 
sepultura para onde tu vais não há ciência, nem indústria, nem sabedoria alguma.” 
(Ecles. 9:10). 
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3.1.3. PLANOS BISSETORES 
 
Denomina-se plano bissetor de um ângulo diedro, o plano que divide este diedro em dois iguais, 
nesse caso, o plano bissetor forma um ângulo de 45° com os planos vertical e horizontal. 
 
Existem dois planos bissetores: 
 
O primeiro divide os diedros I e III, chamado de bissetor impar e denotado por I. 
 
O segundo divide os diedros II e IV, chamado de bissetor par e denotado por P. 
 
 
 
OBS.: Um ponto pertence ao plano bissetor se a cota e o afastamento tiverem o mesmo valor. 
 
 
3.1.4. SIMETRIA DE PONTOS 
Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação a um plano (), quando este plano é o mediador do 
segmento formado pelos dois pontos, isto é, quando o plano é perpendicular ao segmento formado por 
esses dois pontos e contendo o seu ponto médio, onde o segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B). 
 
 
 
 
 
 
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Consideremos a simetria de um ponto em relação: 
 
a) aos planos de projeção 
 
Um ponto (B) é simétrico a um ponto (A) em relação ao plano horizontal de projeção () quando 
possui a mesma abscissa, o mesmo afastamento em grandeza e sentido, e a cota da mesma grandeza, 
porém de sentido contrário. 
Como nos mostra a épura abaixo, os afastamentos dos pontos (A) e (B) são iguais e ambos positivos 
(mesmo sentido) e cotas iguais de sentido contrário. 
 
 
 
 
 
 
Um ponto (D) é simétrico a um ponto (C) em relação ao plano vertical de projeção (’) quando possui 
a mesma abscissa, a mesma cota em grandeza e sentido, e o afastamento da mesma grandeza, porém de 
sentido contrário. 
Na épura observamos que os pontos têm projeções verticais coincidentes C’D’ e projeções horizontais 
C e D simétricas em relação à linha de terra. 
 
 
 
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b) aos planos bissetores 
 
Seja (A) e a reta que representa o 1º bissetor (I). Verifica-se que a figura (A)A’MA é um retângulo 
igual ao formado por (B)B’MB, e, como (A) e (B) são simétricos (portanto mesma abscissa), a cota de um 
dos pontos é igual ao afastamento do outro e vice-versa. 
A épura se caracteriza por abscissas iguais, afastamento e cota de um dos pontos iguais 
respectivamente a cota e afastamento do outro, isto é, as projeções de nomes contrários simétricas em 
relação à linha de terra. 
 
 
 
 
Seja o ponto (A) e a reta que representa o 2° bissetor (P). Por razões análogas ao caso anterior, 
verifica-se que as abscissas são iguais e que a cota de um é simétrica ao afastamento do outro. 
A épura se caracteriza por abscissas iguais e cota de (A) igual ao afastamento de (B) e cota de (B) 
igual ao afastamento de (A). Portanto, as projeções de nomes contrários são coincidentes. 
 
 
 
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c) à linha de terra 
 
Se a figura (a) onde a linha de terra ’ é a mediatriz do segmento (A)(B), então são iguais os 
retângulos que se observam na figura e os pontos simétricos em relação à linha de terra possuem abscissas 
iguais e cotas e afastamentos simétricos. 
A épura (b) é caracterizada pelas projeções de mesmo nome dos dois pontos (A) e (B), simétricas em 
relação à linha de terra. 
 
Obs.: A simetria em relação à linha terra ’ é o produto das simetrias em relação aos planos () 
horizontal e (’) vertical e, assim, para obter o simétrico de um ponto dado em relação à linha de terra, 
pode-se efetuar a simetria em relação a um dos planos de projeção e a seguir a simetria desse último em 
relação ao outro plano. 
 
Assim, na figura (c), determina-se o ponto (C) simétrico de (A) em relação a () e depois o ponto (B) 
simétrico de (C) em relação a (’) ou o ponto (D) em relação a (’) e depois o ponto (B) em relação a (). 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Determinar as posições dos pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F) e (G), dados por suas projeções 
na figura abaixo: 
 
 
 
 
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2) Representar a épura dos pontos abaixo e determinar suas posições: 
 
(A) [-1; -2; -1] 
 
(B) [0; 1,5; -2] 
 
(C) [1,5; 1; 1,5] 
 
(D) [3; 0; -2] 
 
(E) [-2; 2; 0] 
 
(F) [2; -1; 0] 
 
(G) [4,5; 2; 0] 
 
(H) [-3; 0; 0] 
 
(I) [6; -1,5; 0] 
 
(J) [8; -1; 1] 
 
 
3) Representar a épura de um ponto (A) no 2° diedro com cota igual a 1/3 do afastamento: 
 
 
 
 
 
 
4) São dados os pontos (A) [1; 1; 1,5] e (B) [3; -1; 2]. Pede-se determinar as projeções de um ponto: 
 
(a) simétrico a (A) em relação ao (I) 
(b) simétrico a (B) em relação ao (P) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Determinar as coordenadas de um ponto (B) simétrico a (A) [1; 0; -2] em relação a (): 
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3.2 – ESTUDO DA RETA 
3.2.1 – Projeção da reta 
 
A projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das posições de todos os seus pontos sobre esse 
plano. 
 
Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e o plano (). Baixando em todos os pontos da reta 
perpendiculares ao plano, os pés dessas perpendiculares dão lugar a projeção ortogonal da reta. 
 
Essas perpendiculares formam um plano () perpendicular ao plano () e que é o plano projetante da 
reta. A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta, quando ela lhe for perpendicular, 
pois neste caso, a projeção será um ponto, já que a projetante de todos os seus pontos se confundem com 
a própria reta. 
 
 
 
 
Quando uma reta for paralela a um plano a sua projeção sobre este plano é igual e paralela à própria 
reta (Figura abaixo (a)). Se a reta (A)(B) for paralela ao plano (), sua projeção nesse plano é a reta AB. As 
duas retas (A)(B) e AB formam com as projetantes (A)A e (B)B um paralelogramo no qual (A)(B)=AB. Diz-
se então que a reta se projeta em verdadeira grandeza (V.G.). 
 
Quando uma reta for oblíqua a um plano (Figura (b)) a projeção é menor que a reta do espaço, pois 
ela forma com sua projeção e as projetantes um trapézio retângulo, em que a projeção do plano, sendo 
perpendicular às bases é menor que a reta do espaço. 
 
O comprimento da projeção de uma reta sobre um plano varia com a inclinação dela sobre o plano. 
Ela passa por todos os valores, de zero (caso do ponto quando a reta é perpendicular ao plano) até o limite 
máximo igual ao comprimento da reta (caso da reta paralela ao plano). 
 
 
 
 
 
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Determinação de uma reta: 
 
A posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções dessa 
reta sobre dois planos ortogonais. 
 
Sejam na figura (a) os dois planos () e (’) perpendiculares e AB e A’B’ respectivamente, as 
projeções da reta (A)(B) cuja posição queremos determinar. Por AB faz-se passar um plano perpendicular 
ao plano (), o mesmo acontecendo com A’B’ em relação a (’). Cada um dos planos que são os planos 
projetantes da reta nos respectivos planos de projeção, deve conter a reta do espaço, que será, então, a 
interseção desses dois planos projetantes. 
 
Para se designara reta cujas projeções são AB e A’B’ escreve-se; reta (A)(B) (figura (b)). A reta 
pode também ser designada por letras minúsculas. 
 
 
 
 
3.2.2 – Pertinência de ponto a reta 
 
Regra geral: 
 
Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de 
mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e projeção 
vertical do ponto também sobre a projeção vertical da reta. 
 
Na figura abaixo, temos a épura de pontos que pertencem a retas correspondentes, isto é, ponto A’A 
pertencendo a reta r’r; ponto C’C pertencendo a reta (E)(F) dada pelas projeções E’F’ e EF. 
 
 
 
 
 
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3.2.3 – Posições da reta (nomenclatura) 
 
Em relação aos planos de projeção, a reta pode ocupar várias posições, as quais determinam nomes 
e propriedades particulares. São as seguintes retas: 
 
1) Reta qualquer 
 
É a reta oblíqua aos dois planos de projeção. Sua épura é caracterizada por possuir ambas projeções 
oblíquas à linha de terra. 
 
 
 
 
 
 
2) Retas segundo o paralelismo em relação aos planos de projeção 
 
Reta horizontal (ou de nível): 
 
É a reta paralela ao plano horizontal () e oblíqua ao vertical (’). Sua épura é caracterizada por 
possuir a projeção vertical paralela à linha de terra e a projeção horizontal oblíqua à essa mesma linha. A 
projeção horizontal representa a verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
 
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Reta frontal (ou de frente): 
 
É a reta paralela ao plano vertical (’) e oblíqua ao horizontal (). Sua épura é caracterizada por 
possuir a projeção horizontal paralela à linha de terra e a projeção vertical oblíqua a essa mesma linha. A 
projeção vertical representa a verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
 
Reta frontohorizontal (paralela à linha de terra): 
 
É a reta paralela simultaneamente aos dois planos de projeção () e (’). Sua épura é caracterizada 
por possuir ambas as projeções paralelas à linha de terra. Qualquer das projeções (que são iguais) 
representa a verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
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3) Retas segundo o perpendicularismo em relação aos planos de projeção 
 
Reta vertical: 
 
É a reta perpendicular ao plano horizontal (). Sua épura é caracterizada por possuir a projeção 
horizontal reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a vertical perpendicular à linha de terra, e 
que representa a V.G. 
 
Obs: A reta vertical é sempre paralela ao plano vertical, pois é perpendicular ao plano horizontal. 
 
 
 
 
Reta de topo: 
 
É a reta perpendicular ao plano vertical (’). Sua épura é caracterizada por possuir projeção vertical 
reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a horizontal perpendicular à linha de terra, e que 
representa a V.G. 
 
Obs: A reta de topo é sempre paralela ao plano horizontal, pois é perpendicular ao plano vertical. 
 
 
 
 
 
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Reta de perfil: 
 
É uma reta oblíqua dos dois planos de projeção numa posição particular: perpendicular (ou 
ortogonal) à linha de terra. A figura abaixo mostra uma reta de perfil situada num plano (I’) que é 
perpendicular aos dois planos de projeção (plano de perfil). A épura é caracterizada pelas projeções 
perpendiculares a linha de terra. A reta de perfil não tem verdadeira grandeza. 
 
 
 
 
 
 
Como no estudo do ponto, a reta também pode estar contida dentro de qualquer um dos semiplanos 
ou em coincidência com a linha de terra. No primeiro caso, a reta possuirá sempre uma das projeções sobre 
a linha de terra e, no segundo, ambas projeções coincidem com essa linha. 
 
Na figura abaixo se observa uma reta situada no plano vertical superior (’S) e sua épura 
correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção vertical, apresenta-se (em 
épura) a projeção vertical acima da linha de terra e a horizontal sobre a mesma. 
 
 
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Na figura abaixo, observamos uma reta situada no plano vertical inferior (’I) e sua épura 
correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção vertical, apresenta-se (em 
épura) a projeção vertical abaixo da linha de terra e a horizontal sobre a mesma. 
 
 
 
Aqui observamos uma reta situada no plano horizontal anterior (A) e sua épura correspondente. 
Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção horizontal, apresenta-se (em épura) a 
projeção horizontal abaixo da linha de terra e a vertical sobre a mesma. 
 
 
Na figura a seguir, observamos uma reta situada no plano horizontal posterior (P) e sua épura 
correspondente. Nesse caso, em que a reta coincide com sua própria projeção horizontal, apresenta-se (em 
épura) a projeção horizontal acima da linha de terra e a vertical sobre a mesma. 
 
 
Quando a reta coincide com a linha de terra, a épura da figura abaixo é sua representação. 
 
 
 
 
As retas podem ainda, ocupar qualquer posição particular dentro dos planos de projeção, isto é, com 
pontos em vários diedros. 
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EXERCÍCIO: 
1) Representar as épuras das retas (A)(B); (C)(D) e (E)(F) e nomeá-las: 
(A) [-2; 3; 5] 
(B) [1; 8; 5] 
(C) [0; -4; 3] 
(D) [3; -4; 0] 
(E) [-3; 8; 1] 
(F) [3; 1; 6] 
 
 
3.2.4. Traços de reta 
 
Chama-se traço de uma reta sobre um plano o ponto em que essa reta fura ou atravessa esse plano. 
Logo, quando uma reta for paralela a um plano, não terá traço sobre esse plano. O traço sobre o plano (’) 
é o traço vertical e por convenção representa-se por (V), e o traço sobre o plano () é o traço horizontal e 
por convenção representa-se por (H). 
Seja na figura abaixo a reta (u) e o ponto (V) a interseção da reta (u) no plano (’). Para se obter o 
traço (V) de uma reta, basta determinar o ponto da reta (u) que tem afastamento nulo. 
Em épura, para se achar o traço vertical da reta uu’, prolonga-se a projeção horizontal até a linha de 
terra, onde fica determinada a projeção horizontal V. De V, uma linha de chamada faz conhecer V’ como 
indica a épura. Esse ponto V’ que coincide com o ponto objetivo (V) é um ponto da reta (u) e seu 
afastamento é nulo. 
 
 
Da mesma maneira, obtém-se o traço horizontal, como seguem as figuras abaixo: 
 
 
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Atenção: a projeção horizontal V do traço vertical (V) e projeção vertical H’ do traço horizontal (H) estão 
sempre obrigatoriamente sobre a linha de terra. 
 
Conclui-se então, que uma reta só possui os dois traços quando é oblíqua aos dois planos ()(’) 
(reta qualquer e reta de perfil). As demais retas, como horizontal, frontal, vertical e de topo, possuem 
apenas um traço e finalmente, a frontohorizontal, por ser paralela aos dois planos não possui traço nesses 
planos. 
O conhecimento da determinação dos traços de uma reta nos permite traçar retas subordinadas à 
condição de passarem por diedros dados. 
Na figura a seguir, a reta (r) do 1º diedro passa pelo 2º e 4º diedros. Vemos que os traços são 
obtidos prolongando a reta nos sentidos indicados pelas setas: traço vertical (V) no sentido da seta 1 e 
traço horizontal (H) no sentido da seta 2. É indiferente determinar-se primeiro um ou outro traço. Em 
épura, os traços da reta (r) são obtidos prolongando-se as projeções r e r’ em sentidos contrários até a 
linha de terra. 
 
 
Na figura da reta (u) no 1º diedro passando pelo 4º e 3º diedros, vemos que ambos os traços são 
obtidos prolongando a reta (u) num único sentido, indicado pela seta 3. Primeiro, determina-se o traço 
horizontal (H) e depois o vertical (V). Em épura, os traços da reta (u) são obtidos prolongando-se as 
projeções u e u’ no mesmo sentido. 
 
 
 
Exemplo: 
Dada a reta (A)(B) pede-se: 
(a) Sua épura; 
(b) Seus traços; 
(c) Os diedros que ela atravessa; 
(d) A sua posição no espaço. 
(A) [0; -2; -1] (B) [4; 2; 2,5] 
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Traços de reta de perfil: 
 
Seja na figura abaixo a reta (A)(B) e (H) e (V) os seus traços respectivamente sobre () e (’). 
Utiliza-se, na reta de perfil, o rebatimento do plano de perfil que a contém, no caso o triângulo (H)V(V). 
Esse rebatimento consiste em girá-lo de 90º no sentido-horário, até que fique em coincidência com o plano 
vertical (’), sendo esse giro feito em torno de sua intersecção com o plano vertical (’), que no caso é (V)V. 
Com esse rebatimento, os pontos (A) e (B) descreverão no espaço arcos de círculos horizontais e vem 
coloca-se em (A1) e (B1) respectivamente, sobre retas traçadas por A’ e B’ paralelamente a linha de terra. 
No plano horizontal o ponto A descreve um arco de círculo de raio AV e vem cair em A1 do mesmo 
modo que B vem cair em B1. Desses pontos A1 e B1 traçam-se no plano vertical as paralelas a (V)V que 
determinam as posições (A1) e (B1) após o rebatimento. 
 
Vejamos a épura. Seja (A)(B) dada por suas projeções A e A’ e B e B’. Faz-se o centro em H’V e 
descrevem-se os raios de círculo AA1 e BB1 até situa-los em A1 e B1 na linha de terra. Traça-se 
perpendiculares à linha de terra e tem-se os pontos (A1) e (B1) e, portanto, a reta (A1)(B1) nos encontros 
com as paralelas a linha de terra traçadas por A’ e B’ respectivamente. Teremos em (A1)(B1) a verdadeira 
grandeza da reta dada e um V’(V) do seu traço vertical. No plano horizontal, o traço é H e teremos que 
fazer o alçamento (inverso do rebatimento). Assim prolongando a reta (A1)(B1), teremos em H1 sobre a 
linha da terra o traço horizontal rebatido, então, com o mesmo centro em H’V e raio H’H1 descreve-se, em 
sentido anti-horário, o arco H1H, sendo H traço horizontal. 
 
Obs.: a regra geral é sempre rebater a projeção horizontal no sentido anti-horário. 
 
 
 
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3.2.5. Posições relativas a duas retas 
 
Sejam as retas (r) e (s), o plano () e o ponto (M) comum a 
reta (s) e ao plano (). Nota-se que, enquanto a reta (r) está 
situada no plano (), a reta (s) tem nesse plano apenas um ponto 
(M). Então esse ponto (M) e a reta (r) definem o plano () e a reta 
(s) a ele não pertence. 
Diz-se então, que as retas (r) e (s) são reversas ou não 
coplanares, ou seja, não estão no mesmo plano. 
Se a reta (s) também pertencer ao mesmo plano () da reta 
(r), as retas são, então, coplanares, isto é, definem um plano, 
podendo ser concorrentes ou paralelas. Logo, temos as retas (r) e 
(s) que são concorrentes, pois tem um ponto em comum (M), que 
se diz próprio, e as retas (r1) e (s1) que são paralelas por não terem 
ponto comum (diz-se que o ponto é impróprio, isto é, não existe). 
 
 
Retas concorrentes 
Duas retas são concorrentes quando: 
 
1° - O ponto de interseção das projeções verticais e o das projeções horizontais estiverem numa 
mesma linha de chamada. Observa-se essa situação no espaço e na sua épura correspondente. 
 
2° - Duas projeções de mesmo nome se confundem e as duas outras se cortam. Observa-se essa 
situação no espaço e na sua épura correspondente. Nesse caso, as duas retas concorrentes admitem um 
mesmo plano projetante e por isso suas duas projeções de mesmo nome coincidem. A épura mostra ainda, 
duas projeções horizontais coincidentes e as verticais concorrentes em O’. Poderia ser o inverso, ou seja, as 
projeções horizontais concorrentes e as verticais coincidentes. 
 
 
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3° - Uma das projeções de uma das retas se reduz a um ponto situado sobre a projeção de mesmo 
nome de outra reta. A situação do espaço é definida pela figura abaixo e na sua épura correspondente. No 
caso, considerou-se uma reta vertical (u) e, portanto, como projeção pontual a horizontal u. 
 
 
 
Retas paralelas 
 
Analogamente, aos três casos anteriores, duas retas são paralelas quando: 
 
1° - As duas projeções de mesmo nome são paralelas. Observa-se essa situação no espaço e na sua 
épura correspondente. 
 
 
 
2° - Duas projeções de mesmo nome se confundem e as duas outras são paralelas. É o caso das 
duas retas paralelas admitirem um mesmo plano projetante. Observa-se essa situação no espaço e na sua 
épura correspondente. Poderia ser o inverso, ou seja, as projeções horizontais paralelas e as verticais 
coincidentes, o que não altera a condição de paralelismo das duas retas. 
 
 
 
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3° - As duas projeções sobre um mesmo plano se reduzem, cada uma, a um ponto. É o caso de duas 
retas verticais ou de topo que obrigatoriamente são paralelas entre si. A situação do espaço é definida pela 
figura abaixo e na sua épura correspondente (retas verticais no caso). 
 
 
 
 
Retas de perfil paralelas ou concorrentes: 
 
No caso de retas de perfil, a condição de paralelismo das projeções correspondentes, apesar de 
necessária não é suficiente. 
 
Consideremos dois casos: 
 
1°) Retas situadas no mesmo plano de perfil 
 
2°) Retas situadas em planos de perfil distintos 
 
No 1° caso, as retas terão a mesma abscissa, elas poderão ser paralelas ou concorrentes (nunca 
reversas, pois estão num mesmo plano). 
No 2° caso, podem ser paralelas ou reversas e nunca concorrentes, porque estão situadas cada uma 
em planos paralelos entre si, todas as retas de qualquer deles serão paralelas ao outro, e nesse caso, as 
abscissas das retas são diferentes. 
Duas retas de perfil quando possuem abscissas iguais, logo no mesmo plano de perfil, terão suas projeções 
de mesmo nome superpostas; quando de abscissas diferentes, terão projeções de mesmo nome paralelas. 
Observemos as figuras abaixo e suas respectivas épuras. 
 
 
 
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EXERCÍCIOS: 
 
1) Representar a épura das retas (A)(B) e (C)(D) e defini-las quanto a posição: 
(A) [3; 2; 1] 
(B) [3; 1; 3] 
(C) [-3; -2; -2] 
(D) [0; -2; -2] 
 
2) Dada a reta (A)(B), onde (A) [0; 2; -3] e (B) [5; 2; 4], pede-se: 
a) Sua épura; 
b) Seus traços; 
c) Os diedros que ela atravessa; 
d) A sua posição no espaço. 
 
3) Por um ponto (A) [2; 2; 2] traçar em épura uma reta (A)(B) paralela a uma reta dada (C)(D): 
(B) [0; ?; ?] 
(C) [-1; -1; 3] 
(D) [3; 0; -1] 
 
4) Dada uma reta (A)(B) de perfil, pede-se: 
a) Sua verdadeira grandeza traçada em épura; 
b) Os diedros que atravessa. 
 
(A) [0; 3; -3] 
(B) (B) [?; 1; 2] 
 
5) Dá-se uma reta de perfil (A)(B) e um ponto (M) no mesmo plano da reta. Pede-se traçar por (M), em épura, 
uma reta (M)(N) de 2 cm e paralela a reta (A)(B). 
(A) [0; 1; 1] 
(B) [0; 3; 3] 
(M) [?; 5; 5,5]