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<p>FISICA PREUNIVERSITARIO TEORÍA Y PROBLEMAS</p><p>FÍSICA TEORÍA Y PROBLEMAS Régulo A. Sabrera Catedrático de y Computación</p><p>Megabyte GRUPO EDITORIAL Primera Abril 2010 Área Hecho el Legal en in Nacional del Peni N° 2010-04499 (Ley 26905 / 017-93-ED) 20507993444 978-612-4005-34-3 Autor c Régulo Sabrera Alvarado Dedic de Departamento de y GEM la Juventud y trat FÍSICA Teoria y Problemas con sus Ideas y acciones a diario e Derechos Reservados / Decreto Ley 822 Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, su tratamiento informático la transmisión por ninguna forma ya sea por fotocopia, por registro u otros métodos sin permiso previo y por escrito de los titulares de Distribución y Ventas Torrico 889 of 208 - Carcado de Lima Telefax: 332-4110</p><p>PROLOGO Este libro ha sido escrito pensando en llenar un vacio existente, que se presenta generalmente en la parte y del curso de general, que se imparte a los estudiantes en las diferentes instituciones educativas, ya sean colegios-Pre, academias centros-Pre Los conceptos, ideas y fundamentos de la general se a la luz del desarrollo de la ciencia y de programada, con la intención de ofrecer al estudiante una oportunidad en aumentar su y aprecia- de las leyes y conceptos que conforman la de la fisica, y su posterior adquisición de destreza en la de dicha teoria para la solución de problemas, mediante la pre- sentación de problemas propuestos y resueltos, la mayoria de los cuales son del tipo que se toman en los exámenes de admision y en las y exámenes de los centros-Pre de las diferentes universidades estatales o privadas. La obra está dividida en 21 semanas y los temas se desarrollan según los programas exigidos en los prospectos de y en los centro-Pre de la de las universi- dades primero se presenta una breve, pero completa y suficiente para acometer la solución de cualquier problema de física general, a continuación se pre- sentan una cantidad considerable de problemas propuestos de cada uno de los temas trata- dos en la seguida de la solución completa y detallada de dichos problemas en el Sis- tema (S.I.) El objetivo de este trabajo, que es fruto de la experiencia del autor de de docencia en las aulas pre-universitarias, es la de servir a la juventud estudiosa, progresista y con ansias de que en la actualidad van a inicier su preparación para postular a alguna especialidad de Ciencias en las diferentes universidades estatales o privadas del país. Finalmente, quiero expresar mi mayor agradecimiento a todas aquellas personas que estuvieron involucradas en la edición del presente trabajo, especialmente al Prof. Walter Pérez Terrel por sus sugerencias y recomendaciones respecto de los diferentes temas presentados; y a la Srta. Karen Lara Torres, colaboró en la digitación, diseno y diagramación del texto. Desde me comprometo a superarme y hacer todo lo necesario para mejorar las futuras Régulo Sabrera A.</p><p>CONTENIDO Sem. Pag. 01 Dimensiones [7] 1. Sistemas Internacional (S.I) 2. Análisis dimensional 3. Magnitudes escalares y vec- toriales 4. Suma de vectores. Métodos 5. Notación Problemas pro-puestos. Solucionarlo. 02. Cinemática - I [29] 1. Conceptos 2. Tipos de movimiento 3. Velocidad media e 4. Movimiento rectilineo uniforme (M.R.U). Problemas 03. Cinemática - [54] 1. Aceleración media 2. Movimiento uniformemente variado (M.R.U.V). Ecuaciones, Gráficas. 3. Movimiento Caracteres- Problemas propuestos. Solucionarlo. 04. - III [78] 1. Movimiento 2. Movimiento 3. Movimiento circular uniforme (M.C.U). Gráficas 4. Mo- vimiento circular uniformemente variado (M.C.U.V). Ecuaciones. Gráficas. Componentes de la aceleración Problemas propuestos. 05. [101] 1. Conceptos fundamentales 2. Primera, segunda y tercera ley de 3. Fuerza elástica 4. Fuerzas de Origen. Conclusiones Proble- mas propuestos. 06. Estática 1. Conceptos fundamentales 2. Momentos de una Eleven- Propiedades 3. Primera y segunda condición de equilibrio 4. Ley de Cálculo de gravedades. Tercera ley de Kepler. Problemas propuestos. 07. Trabajo [146] 1. Trabajo de una fuerza Casos 2. Trabajo de una fuerza varia- ble 3. Potencia 4. Rendimiento de una en y porcentaje. Problemas propuestos. 08. Energía 1. Energía Energía cinética. Energía potencial gravitatoria y elástica. Fuer- zas conservativas 2. Teorema del trabajo y la energía 3. Ley de de la Problemas propuestos. Solucionarlo.</p><p>09. Cantidad de movimiento Conductor Carga eléctrica puntual en movimiento. Fuerza entre 1. Cantidad de movimiento e impulso 2. Principio de conservación de la cantidad de dos conductores Problemas propuestos, movimiento lineal 3. Velocidad del centro de masa de un sistema de particulas cuer- pos. 4. Choques. Conceptos. Coeficiente de Tipos. Problemas 17. Inducción propuestos. Solucionario. 1. 2. Flujo de campo magnético. 3. Ley de Faraday Fuerza electromo- triz. Inducción Formas de obtener variación del flujo magnético. 4. 10. Hidrostática [204] Ley de 5. Dispositivos eléctricos. Dinamo. Motor Pro- 1. Conceptos fundamentales 2. Densidad y peso especifico 3. Presión de una fuerza y propuestos. de un fluido. Tipos de 4. Principio de Pascal. Aplicaciones Principio de Ar- Peso aparente. Problemas propuestos. 18. Ondas [411] 1. Movimiento armónico simple (M.A.S). Péndulo de resorte. 11. Calor y energía [225] dulo 2. Conceptos Ecuación de onda. 3. 1. Conceptos fundamentales. 2. Escalas de temperatura. 3. Dilatación lineal, super- Reflexión y refracción de la luz. Indice de Problemas propuestos. ficial y 4. Capacidad y calor 5. Propagacion del ca- Solucionario. por convección y Problemas propuestos. 19. Ondas electromagnéticas [430] 12. Termodinámica [262] Ondas sonoras de 1. Conceptos fundamentales. 2. general de los gases 3. Energía inter- 2. Ondas Velocidad de na de un sistema termodinámico 4. Trabajo realizado por sobre) un gas 5. Pri- 3. Espectro de la 4. Espectro visible. 5. Inter- mera ley de la 6. Procesos 7. Máquinas difracción y polarización de la luz. Problemas Problemas propuestos. Solucionarlo. 20. Optica [443] 13. Campo eléctrico [285] 1. Conceptos 2. Espejo plano. 3. Espejos 1. Carga eléctrica. Principios de y cuantización de la carga. 2. Ley de Definicion Formación de Ecuación de espejos. Conven- Conductores, aisladores y 4. Campo eléctrico. Concep- de signos. 4. Tipos. de Ecuación de len- to. Relación entre fuerza eléctrica y campo Lineas de Prin- tes. Convencion de Problemas cipio de superposición de campos. Problemas propuestos. 21. Fisica moderna [460] 14. Potencial eléctrico [307] 2. La teoria de 3. Efecto 4. Espectro del hidró- 1. Energia potencial 2. Potencial Diferencia de Trabajo geno. 5. Rayos-X Tipos. Fluorescencia de rayos-X. 6. Laser. Problemas para trasladar una carga eléctrica. Superficies equipotenciales. Relación entre campo propuestos. eléctrico y diferencia de 3. Condensador. Capa- cidad. Aplicaciones. Condensador de placas Conexión de Apéndice Energía eléctrica almacenada en un Problemas propuestos. Solucio- nario. Bibliografia 15. Corriente eléctrica [331] 1. Conceptos fundamentales. 2. Corriente Tipos. Intensidad de corriente eléctrica. Sentido convencional de la corriente. 3. Resistencia Cálculo de resistencias. de resistencias en serie y paralelo. 4. Ley de Ohm 5. Potencia Problemas propuestos. Solucionario. 16. Magnetismo [354] 1. 2. Campo magnético. Cálculo de campos Conductor Espira Regla de la mano derecha. 3. Fuerza</p><p>Vectores 7 Intensidad de corriente DIMENSIONES eléctrica : = I VECTORES Temperatura : [T] = Intensidad luminosa : ] = J 1. SISTEMA INTERNACIONAL (S.I) Cantidad de sustancia: N Siete son las unidades d) Ecuación dimensional Metro (m) unidad de longitud Es una ecuación que ex kilogramo (kg) unidad de masa presa la relación que existe entre una Segundo (s) unidad de tiempo magnitud derivada y las que se asu- Amperio (A) unidad de corriente men como magnitudes Kelvin (K) unidad de temperatura En general, la de una mag- Mol (mol) unidad de cantidad de nitud fisica derivada representare- sustancia. Candela (Cd) unidad de intensidad luminosa 2. ANALISIS DIMENSIONAL siendo, b. d, e, f. g números a) Definición fraccionarios positivos ne- Es una parte auxiliar de la física que estudia las relaciones entre las magni- gativos tudes fundamentales y derivadas, esen cialmente en el Sistema e) Propiedades del álgebra dimensional A y B dos magnitudes fisicas b) Dimensión cualesquiera, tales como por ejemplo Es la cualidad que po- la velocidad y potencia, se see una magnitud Asi, la altura de Gregorio tiene dimensión de longi- cumple: 1) La dimensión de un número real es 1. tud, a la que su edad tiene dimen- de tiempo. 2) = [B c) Dimensiones de las magnitudes 3) fundamentales 4) = siendo un número La dimension de una magnitud real. se representa Asi, las dimensiones de las magnitu- 5) siendo un número des son Longitud : - L Tiempo : t - T f) Principio de homogeneidad dimensional</p><p>8 Vectores 9 los términos de una ecuación número, su cantidad, respecto de El módulo del vector resultante, viene que expresa una ley deben ser ta unidad de medida. dado por: dimensionalmente iguales Ejemplo: la temperatura, la longitud, la masa, el tiempo, el trabajo, la ener- g) Objetivos del dimen- gía, la potencia, etc... sional 1) Expresar las magnitudes derivadas en b) Magnitud vectorial 1) a, by R representan los módulos de función de las magnitudes fundamen- los vectores by R 1u tales. 1) Definición 2) ángulo que forman los vectores y 2) Comprobar si las son Es una magnitud cuya determinación b. estructuralmente correctas, mediante exige conocimiento de un módulo, Dirección el principio de homogeneidad dimen- y una dirección Es la orientación que tiene el vector, b) Método del poligono sional. Ejemplo: el la velo respecto al sistema de coordenadas Consiste en construir un polígono con 3) Bosquejar empiricas a partir cidad, la fuerza, la aceleración, etc... los vectores sumandos, manteniendo En el plano se define me de datos diante el ángulo que forms el vector constantes y 2) Representacion de un vector respecto del eje uniendo el origen del segundo vector h) Dimensiones derivadas Gráfica con el extremo del primero, el origen Ejemplo: En el ejemplo anterior, ha- Area Un vector se representa por un seg- las direcciones de los vectores del tercero con el extremo del segun- sucesivamente hasta el último Volumen mento orientado OP, siendo el ori- for El vector resultante se obtiene gen del vector y P su Densidad niendo origen del primero con el La dirección de los vectores By tremo del último Velocidad P vienen dados por los ángulos: o Aceleración Ejemplo: el vector resultante Analitica de la sume de Fuerza Un vector se representa por una letra 4. SUMA DE VECTORES Trabajo con una flecha encima por ejemplo Potencia el módulo del vector se a) Método del paralelogramo Presión representa como A ó simplemente Para sumar dos vectores que tienen el A. mismo origen, se construye un para- Velocidad angular trazando por el extremo de Solución: 3) Elementos de un vector da vector una paralela al otro. Geo- Período [T]=T Modulo El vector resultante de la suma de metricamente el módulo del vector re- Frecuencia se define como el y c es: sultante se obtiene trazando la diago- del vector. nal del paralelogramo desde el origen R 3. MAGNITUDES ESCALARES Y Ejemplo: Hallar el modulo de los veg de los vectores. tores y VECTORIALES a) Magnitud escalar Los módulos de los vectores B y Es una magnitud cuya determinación sólo requiere el conocimiento de un 0</p><p>Física 10 Vectores 11 1) Las componentes del vector en las direcciones de los ejes X e Y son: 05. Cuáles de las siguientes expresiones PROBLEMAS son correctas (C) incorrectas 230 01. Respecto de las propiedades del b III. I bra dimensional para el S.I., indique las afirmaciones verdaderas (V) Si el poligono vectorial resulta ser ce- 2) La dirección de viene dado por: a) CCC c) CIC falsas (F): rrado, entances el módulo del vector e) ICC L-L=0 resultante es igual a cero, es decir: III. sen(x)=1/2 => [x]=1 06. Indique las expresiones dimensional- mente correctas (C) e incorrectas 3) Para determinar la resultante de la su- a) VFV b) FFV c) VVF Aceleración ma de varios vectores, se procede del FVV 11. Potencia 2) Ley de senos FVF modo siguiente: III. Fuerza ) Cada vector se descompone rectangu- 02. el resultado de la siguiente larmente, respecto del sistema de ejes a) CCC CIC coordenados rectangulares XY. Se determina la resultante en cada eje 07. La ecuación del sistema de coordenadas, así: es dimensionalmente siendo b R, : componente de R en la dirección W Hallar las Si y son tres vectores concu- del eje X. 03. Indique las proposiciones verdaderas (V) falsas (F): dimensiones de M. rrentes y coplanares: en R, : componente de R en la dirección del eje Y. 1. La dimensión del argumento de toda tonces: función trigonométrica es a) El módulo del vector resultante se ha- lla aplicando el teorema de Pitágoras. 11. En el S.I. siete son las magnitudes sen sen III. Uno de los objetivos del análisis di- 08. La es di- mensional es expresar las magnitudes mensionalmente correcta, siendo"g" c) Método de componentes fundamentales en función de las mag- Todo vector SC puede expresar como La dirección del vector resultante, res nitudes derivadas. Hallar la suma de dos más pecto del eje X. hallaremos de: En el plano bidimensional, dicho vec- b) FFV c) VVF c)-3 se escribe como la suma de dos a) VFV a)-1 vectores mutuamente perpendiculares. d) FVF FVV Y 04. Si k=kilo, G=giga, 09. La ecuación: Indique las expresiones siendo 5. NOTACION CIENTIFICA A tas (C) incorrectas (1): (velocidad). Hallar la dimen Regla ILE/G=G sional de 1,234 1234 = 0 a) CCC CIC IIC</p><p>10 Física Vectores 11 1) Las componentes del vector en las direcciones de los ejes X Y son: 05. Cuáles de las siguientes expresiones PROBLEMAS son correctas (C) ó incorrectas 1. 230 01. Respecto de las propiedades del b bra dimensional para el S.I., indique III. las afirmaciones verdaderas (V) Si el poligono vectorial resulta ser ce- 2) La dirección de viene dado por: falsas (F): CCI c) CIC entonces el módulo del vector ICC L-L=0 resultante es igual a cero, es L+T=T+L III. sen(x)=1/2 => [x]=1 06. Indique las expresiones dimensional- mente correctas (C) e 3) Para determinar la resultante de la su- VVF Aceleración ( ma de varios vectores, se procede del FVF II. Potencia ( 2) Ley de senos modo siguiente: Fuerza ( M.L.T ) Cada vector se descompone rectangu- Hallar el resultado de la siguiente ope B larmente, respecto del sistema de ejes ración: a) CCC CIC to coordenados rectangulares XY. Se determina la resultante en cada eje a) del sistema de coordenadas, asi: 07. La ecuación es dimensionalmente siendo R, : componente de R en la dirección del eje X. 03. Indique las proposiciones verdaderas W Hallar las Si h y son vectores concu- R, : componente de R en la dirección (V) falsas (F): dimensiones de M. rrentes y coplanares: en del eje Y. La dimensión del argumento de toda tonces: El módulo del vector resultante se ha- función trigonométrica es 1. a b lla aplicando el teorema de Pitágoras. II. En el S.I. siete las magnitudes fun sen sen Uno de los objetivos del di- 08. La es di- mensional es expresar las magnitudes mensionalmente correcta, siendo"g" c) Método de componentes fundamentales en función de las mag- Todo vector se puede expresar como La dirección del vector resultante, res nitudes la suma de dos o pecto del eje hallaremos En el plano bidimensional, dicho vec- for se escribe como la suma de dos a) VFV b) FFV c) VVF vectores mutuamente d) y 04. Si k=kilo, M=mega, G=giga, P=peta, 09. La E=exa. Indique las expresiones dimensionalmente correcta, siendo 5. NOTACION CIENTIFICA A tas (C) e incorrectas (1): (velocidad). Hallar la ecuación dimen Regla sional de E. 1,234 = III. 1234 - 0 CIC</p><p>12 Vectores 13 10. En la expresión dimensionalmente 18. Si la resultante máxima de dos vecto- tante de la de los vectores mos- res es 17u y la resultante minima es trados, si constante adimensional, el módulo de in resultante y e=base de los logaritmos = m=masa, cuando los vectores formen entre si neperianos. Hallar la dimensión de k. Hallar las dimensiones de un de T n/2 a) T 11. En la ecuación: 19. La magnitud de la resultante de dos 15. Un chorro de agua con densidad (p) y vectores es 10 u y forma un ángulo de velocidad (v), choca contra un área 60° con uno de los vectores c)6u dimensionalmente correcta: son (S). La fuerza que ejerce el chorro de les de magnitud 20 Hallar el módu- tiempos, d es distancia. Hallar las di- agua contra la superficie tiene la for- lo del otro mensiones ma: 24. El radio de la circunferencia es, hallar el módulo del vector re- a) Hallar la fórmula correcta. 12. El período de un péndulo está dado a) 20. La resultante de la suma de dos vecto- de módulos por la siendo: T d) 2vSp e) 13 Hallar el del numérica, gitud, aceleración de la gravedad. 16. En la ecuación dimensionalmente co- Hallar xey. rrecta: a) c) 1/2, -1/3 a) d) 1/3 -1/2 21. Hallar el entre dos vectores de e)5u igual resultante el P=potencia, m 13. Hallar la dimensión de "S" en la ecua- mismo módulo que los vectores com- 25. Hallar en función de y si "0" ción dimensionalmente correcta: es el centro de la nes de a) donde, a - centripeta y 22. El módulo de la suma de dos vectores = velocidad 17. Hallar el módulo del vector resultante de igual módulo es dos veces el módu 0 de la suma de dos vectores de 15 lo de su Hallar el 7u que forman un ángulo de entre dichos vectores. a) 10 20 la ecuación dimensionalmente correcta:</p><p>14 Vectores 15 26. 29. D les. Hallar el módulo del vector resul- Hallar el módulo de la resultante de los vectores b y si: a = 10 U. b=10 N c) 10 F C 32. Hallas el módulo de la resultante de la M A suma de los vectores 35. En el cubo de lado hallar el mo- En el cuadrado M y N son puntos me dulo del vector (1:9) El lado del regular es de 4 dios, hallar en función de y b. (-5:5) hallar el módulo del vector resultan a) b) a)2u b)4u c) 6 (4:-1) 27. En el regular, hallar el mó- (-6:-5) dulo de la resultante de los vectores. 30. Si, G es el baricentro del triángulo AOB y M es punto medio de AB. Ha llar en función de y 6. b) c) 10 a) b) 13u c) 0 d) 33. En el ABC, ha- la dirección del vector resultante 36. el de la resultante de de la suma de los vectores AB. AC y los vectores si M N son 0 7 CB. puntos medios de sus respectivos la- B A M B M 1-6 a) b) c) a) b) c) 6 3 3 3 d) 8 u e) 10 d) 6 A C 100 N 28. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. 31. a) b) 37° c) d) e) 34. a) 2 82" A C la 135 a) El lado BC del rectángulo 37. Hallar el ángulo tal que, el b) ABC está dividido en tres partes igua- dulo de la resultante sea</p><p>Fisica 16 Vectores 17 40. En el rectángulo ABCD, hallar el mó- 2.5F 2F dulo del vector 43. En el cuadrado hallar el módu Halle B C lo del vector resultante. B C 5u 0 30 b) 37° c) A D E d) 53° e) b) 22 A D 38. Hallar R si el lado de ca- d) 26 u b) 0,72 d) da cuadricula es b) 41. Si el del vector EB es 2 Ha e) 10 U el del vector resultante. 47. En el sistema de vectores b 44. Hallar el del vector y b 15 Hallar B si 0 +2b A C a) D d) u A a)2u b)4u c) 6 u d) 8 b) 6u c) 39. En el triangulo isósceles M y N son d) 10 puntos medios de los lados iguales de 48. En el triángulo de lado a=2 longitudes 2p. Hallar el valor de si 42. En el cuadrado de lado a=2 ha- 45. Hallar el de la resultante, si el módulo de la resultante de el módulo de la resultante de la suma el módulo de la resultante de los A. B y C forman un los vectores de 6 es p. infinitos vectores. TO de lado 2 B C # N A A C A H a)2u b) 4 b) 4 U c) 6 a) b) c) d) 120 e) 150 a) b) 2 c) 4 d)6u</p><p>Vectores 19 18 ciones es: En (2): SOLUCIONARIO CIC Solución: 01 Resolviendo, obtenemos: Falso, pues II. Falso, no se pueden sumar magnitu- Solución: 07 A des de diferentes Tomando dimensiones a la Verdadero, la de un name real, siempre es la 13 10 Is propiedad el exponente de Tomando dimensiones a la FFV la debe tener dimensión 1. asi: Solución: 02 El resultado de la operación es: C 08 Igualando las dimensiones, tenemos: Según, el principio de homogeneidad di- Solución: 03 los 2 y 3 tienen In propiedad [1]. misma de modo que: Verdadero, siete son las magnitudes 11 fundamentales y dos En to por ser Falso, es expresar las magnitudes deri números reales, dimensión 1. vadas en función de las fundamenta- como se pueden sumar cantidades de les la misma 04 1. correcto II. correcto 14 correcto x+y=-2 B Por propiedad la dimensión del ar- gumento de función es CCC esto es: 12 09 Tomando dimensiones y Del principio de incorrecto II. correcto correcto (1) [W] (2) ICC 06 Comparando base</p><p>Vectores 21 Fisica 20 aplicando la ley de coseno: E Luego, la Solucion: 17 El módulo del vector resultante 22 Cuando los vectores y b se C C (1) Calculemos el ángulo entre à Solucion: 15 Cuando los y b se restan: Tomando dimensiones a la expresión: Solución: 18 Del enunciado tenemos que: (2) Luego, los vectores son paralelos, y el módulo del vector Dividiendo (1) entre (2), y teniendo en cuenta que =2D: Resolviendo obtenemos: R=45u Comparando bases iguales: 21 Luego, cuando los vectores y b formen Representemos los vectores componen- 90°, su resultante tes 6 y su resultante R. D Resolviendo, Solución: 23 B b Trasladando los vectores tenemos: Luego, la formula correcta es: 19 A Representemos los vectores componen- tes A y B; y la resultante R. el método del el módulo de la resultante, viene dado por: Le dimensión de es porque es N exponente, propiedad R-10 Solución: 16 Luego, el módulo del vector R es: Por propiedad [1], los exponentes de la P M A=20 asi</p><p>Fisica Vectores 23 22 Solución: 26 tante un vector de (2) La del vector resultante es: R Solución: 29 Aplicando el método del i= 6 D Solución: 24 (CD+DE+EF) Desplazando los tenemos: C 31 R=-FC+FC-FC Representemos los vectores 6 y e lue- 1 go de desplazados. a R=-FC a 0 R=8u D B D R Solución: 27 A M El esquema gráfico del problema AD G En el se cumple: En la Fig., el módulo del vector R es: 3x + 2 2 A R = B C 3 A Aplicando el método del paralelogramo C el del vector resultante es dos ve- R=3u A D ces la diagonal del 30 25 Aplicando el método del poligono: En la Fig., el punto divide a los E 0 vectores en dos mitades iguales. El vector resultante de la suma es: 2x a G AD h/2 A M B OF Sea. un vector auxiliar, en el Solución: 32 0 OAB, se cumple: El vector resultante de la suma Luego, del método del poligono: R=(4)(1) R=4u B 2 2 (1) 2 28 C La suma de los vectores, da como resul en el OAM:</p><p>Vectores Física 25 24 En la hallemos las componentes horj 2.5F zontal y vertical del vector 2F Luego, el módulo de R a Luego, el módulo del vector resultante es: 0 Solucion: 33 En la Fig., las componentes horizontales En la Fig., de modo que, las se entre si, de modo que la magni- D componentes horizontal y vertical de R. tud del vector resultante es: son: 36 2F Descomponiendo cada uno de los vecto res en sus componentes Luego, el módulo vector resultante R Su M D es: Luego, el módulo del vector R es: Solución: 38 10u N 1> Primera forma B En la Fig., expresemos los vectores by Su en sus componentes en las direcciones de los ejes Y la dirección de viene dado por: Representemos los vectores dados en sus componentes en las direcciones de los ejes X, Y y Z. Las componentes del vector resultante R. en las direcciones de los ejes Luego, el vector resultante R y su modulo Z B son: Solución: Representemos cada uno de los vectores en el sistema de coordenadas XY. Y Luego, el módulo es: Y D 45" De la Figura, las componentes de la resul- tante en las direcciones de los ejes X, Y y Solución: 37 Z son: B Representemos las componentes de los vectores de magnitud</p><p>Vectores Fisica 27 26 En la Fig., la resultante de la suma de los 2> Segunda forma vectores dados y su módulo, son: Representemos los vectores y D R=AM+BN R 41 Ahora, como la magnitud de la resultante El vector resultante de la suma es: de suma estos vectores de módulos 0 3b (p). también es (p), entonces estos vecto- res forman un De otra parte, de la Fig., se deduce que: R=2AB R AM DB (2) B Solución: 44 La resultante de la suma de los vecto- res dados es: En la Fig., el vector R es el que de BN 60° R 2 =(2)(2) hacia P, su módulo es: D B R Luego, los ángulos de los A y B es de por lo que, el ángulo es de Solucion: 42 El módulo del vector resultante, es (BA-BA) gual a la mitad de la diagonal del cuadra- 39 Solucion: 40 do más grande, esto es: Luego, el módulo de la resultante es: Dividamos los vectores ay 6 en el Traslademos el vector situado en el to de corte O. lado AB hacia el lado DC. R 3 = (3)(2) C B R|-6u 0 B M N 45 43 La resultante de la de los vecto- El esquema gráfico del problema res mostrados es: D B A A 7n E B De modo que, el vector resultante de la su En la Fig., la resultante de los vectores ma de y es: mostrados es: 0 R=AC+AC=2AC Asi, el módulo de la resultante es: R=EC+EC=2EC n R 2 AC = (2)(2)</p><p>Vectores 29 28 res dados, y su módulo e) Vector desplazamiento B CINEMATICA Es una magnitud que se de- I fine como la diferencia entre los vecto res de posición final e inicial correspondientes a dos instantes de Representemos los vectores y 1. CONCEPTOS tiempo diferentes es decir: FUNDAMENTALES C D a) Cinemática Es la parte de la mecánica que estudia Y y describe el movimiento de un cuer- A po 6 particula, sin tomar en cuenta las causas que producen dicho movimien- B E to. A B Representemos los vectores inscritos b) Sistema de referencia En el A ABC, apliquemos la ley del cose- en los lados del Se llama así al sistema de coordena- no: das asociado a un cuerpo de referen- f) Trayectoria cia provisto de relojes, tal como se Es el camino que recorre la B muestra. Asi, si trayectoria es una línea recta el movimiento se denomina y si es una curva curvilineo. A C En el A BDE, apliquemos la ley del coseno: En la Fig., la resultante de los vectores da dos, y su son: c) Móvil Es todo cuerpo en movimiento, por jemplo un cuerpo que cae, un avión 0 que un atleta que g) Longitud recorrida d) Vector de posición (i) Es la longitud de la trayectoria entre Es el vector que determina la posición dos puntos A y cualesquiera de la de la en cada instante con misma Asi, el valor de la razón es: B respecto a un sistema de referencia. A / Nota trayectoria 1 B La suma de los vectores OA, OB y D OC forman un poligono cerrado. r</p><p>Cinemática 30 31 h) Distancia recorrida (d) d b) Ecuaciones AT Es una magnitud que se defi- ne como el módulo del vector despla- zamiento Su valor no depende de siendo, "d" el módulo del vector la forma de la trayectoria de la La velocidad media y el desplazamien plazamiento y el intervalo t sólo depende de su posición inicial to tienen la misma de tiempo Cuando el móvil se mueve en lines A y final B. rec la ecuación anterior se escribe, Ejemplo: 02 d 2. TIPOS DE MOVIMIENTO En el ejemplo anterior, hallar la rapi- A dez media. a) Según su trayectoria, se clasifican en: Solución: Rectilineo La rapidez media del móvil 1) Velocidad Circular Parabólico Ejemplo: 01 Una situada en el punto con 3 - etc... abcisa +8 m se mueve hasta la abcisa Ejemplo: 03 +2m en 3 5. Hallar el desplazamiento, Nota Un móvil se mueve en lines recta de distancie recorrida y velocidad media La velocidad media puede ser positi- A hacia B cuyas abscisas son m R 6 negativo, la rapidez media siem- y m en 2 S. Hallar su Representemos el movimiento de pre es Solución: particula. PARABOLICO c) Velocidad (v) La velocidad del móvil es. CIRCULA Es una magnitud que mide A la rapidez de cambio del vector des- plazamiento de un móvil respecto al 0 tiempo, cada punto de su trayecto ria, viene dado por: ELIPTICO El desplazamiento realizado es: 2) Distancia recorrida Lim b) Según su se clasifican en: A1 Uniforme Variado - Uniformemente Variado La distancia recorrida es: 4. MOVIMIENTO RECTILINEO Ejemplo: 04 Uniformemente acelerado En el ejemplo anterior, halle la distan- Uniformemente retardado cia recorrida por el No uniformemente variado a) Características La velocidad media es: La trayectoria es una recta. La distancia recorrida por el móvil La velocidad se mantiene 3. VELOCIDAD a) Velocidad media La aceleración es nula (a=0). 5 Es una magnitud que se El móvil recorre distancias iguales en intervalos de tiempo ne como la razón del desplazamiento (AF) de una particula al intervalo de b) Rapidez media La velocidad media coincide con la Es el módulo de la velocidad media 3) Posición final tiempo que corresponde a di- velocidad viene dado por:</p><p>Física Cinematica 32 33 Ejemplo: 05 d) Tiempo de alcance (ta) Respecto del hallar la posi- PROBLEMAS a) 900 km b) 920 km c) 940 km ción final del d) 960 km e) 980 km VD Solución 01. Un cuerpo en MRU se mueve con ra- La posición final del móvil es: B A pidez de 6 m/s, en el 05. Dos cuerpos parten simultáneamente instante S en el punto de abcisa del vértice "B" con rapideces de x=-8 m. Hallar su abcisa en el instan- m/s y m/s. después de transcurri- x=2+(4)(2-0) t=10s. do 1 qué distancia se encontrará El tiempo que demora en alcanzar el uno del otro móvil B al móvil separados inicial x=10m mente por una distancia viene da- b) 35 m c) 40 m (1) do por: Nota 02. Sobre una recta, dos cuerpos A y B se d Cuando el parte del origen del mueven con rapideces constantes, sus sistema de coordenadas, Xo y V1 posiciones en el instante son: cuan do el tiempo inicial se toma 0, y en el instante siendo, >VA las rapideces con las B (2) que se mueven B y A, respectivamen m, m ¿En qué instante, antes de cruzarse, la distancia entre a) b) 3 m c) 5 m los cuerpos es m? c) Representación gráfica del MRU d) m e) Tiempo de encuentro a) 2/3 c) 4/3 La representación gráfica de la posi- 06. En la Fig., una moto pasa a través del vs tiempo y de la velocidad vs puente convexo de longitud ra- B A dio R=8 m, a rapidez constante de tiempo, son: 03. Una particula se mueve por la linea v=2 m/s. Hallar su rapidez media. curva desde A(2; 2) hasta B(6; 6) em- Gráficas d pleando 2 Hallar su rapidez media. El tiempo que demoran en encontrar- se los móviles A y B, inicialmente se- Y(m) A B 6) d/2 d/2 e parados por una distancia viene dado por: R=8m d d 2) 0 0 Xim siendo, VA y VB las rapideces con las que se mueven A y B, respectivamen- a) 1,9 m/s b) c) a) m/s b) m/s c) 2,4 m/s En la gráfica la tangente del te d) 1,3 m/s 1.1 m/s d) 2,6 m/s e) 2,8 m/s ángulo de inclinación de la recta, nos proporciona la velocidad del Nota 07. Un móvil sale del aeropuerto a lo lar- 04. ¿Qué distancia recorrerá un avión si La para el tiempo de ventaja, go de una carretera recta con rapidez En la gráfica el área bajo la el tanque de combustible contiene es a la fórmula del tiempo de de 90 km/h. Si un sale del aero- curva de la recta horizontal, represen- 160 litros de gasolina, la rapidez del el valor de la distancia recorrida, puerto I h después, siguiendo la mis- avión es de 240 km/h y el consumo ma ruta con rapidez de 240 dado. 40</p><p>35 34 a) 30 min b) 32 min c) 34 min dez que para llegar & hora 17. Un hombre de altura "h" pasa por de- qué distancia de A se encontrarán d) 36 min e) 38 min (T+1) bajo de un que se encuentra sus y al cabo de qué tiempo? pendido a la altura "H" (H=4h) sobre a) 1 km/h b) 3 km/h c) 5 km/h la tierra. Hallar la rapidez de la som- a) 30 km b) 40 km 2 h 08. ¿Qué tiempo demorará un tren de 200 d) 7 km/h km/h bra proyectada por la cabeza del hom- c) d) de largo, que viaja con una rapidez de en pasar un túnel de lon- bre sobre la la rapidez del hom- e) 60 13. Una persona sale del punto A en bre es de 3 gitud 600 a una rapidez de 36 km/h llega a B y 21. Sale un tren el Este con rapidez desea regresar caminando a 4 de 30 km/h, luego de 10 min sale otro a) 100 b) c) a) 1 m/s b) 2 m/s c) 4 m/s Si todo el recorrido duró 10 h. ¿Duran tren también hacia el Este con la mis- te qué tiempo estuvo caminando? ma rapidez ¿Con qué rapidez en km/h 18. Rosa parada sobre la escalera mecáni- constante venia un tren desde el Este 09. Un auto viaja a 100 km/h por una ca- paralela la del Qué a) h b) en movimiento "sube" en 60 pero si se cruzó con el primer tren en cier- tiempo empleará el auto en pasar a un d) si caminara sobre escalera en movi- to instante y luego de 4 min con el se- tren de 400 m de largo, que viaja a 60 miento emplearía 20 ¿En qué tiem- gundo? km/h en la misma dirección 14. Una persona que se halla de po, Rosa bajaria caminando sobre la na pared, hace un disparo y luego de a) 30 km/h b) 35 km/h c) 40 km/h escalera? a) b) 2 escucha el impacto; si estuviese d) 45 km/h e) km/h d) 102 adelante, ¿En que tiempo escucharía el impacto ? (Rapidez de 22. Dos A y B parten de un mis- 10. Un joven que se dirige a una pared la bala del sonido vs=340 mo lugar desplazán- con una rapidez de 5 m/s da un grito y dose en la misma dirección con rapi- m/s) escucha el eco cuando avanza 10 m, deces de 60 m/s y VB=80 m/s. a) b) 0,2 la rapidez del sonido en el aire es de d) ¿Qué tiempo después equidistan los a) 50 b) c) 60 340 m/s, hallar la distancia del joven de un punto situado a 400 a la muralla en el instante del grito. 15. Dos que parten simultánea- m del punto de partida? mente de una ciudad "A" en la misma 315 c) 335 m 19. Dos trenes se mueven en direcciones b) 325 a) b) dirección con rapideces de 50 km/h y 355 opuestas con rapideces de m/s 60 km/h llegan a una ciudad "B" con y m/s, respectivamente. Un pa- 11. La de un móvil sobre el eje un intervalo de 20 es la dis sajero del primer tren nota que el se- 23. Una lancha recorre 100 a lo largo X en función del tiempo, viene dado tancia entre las dos ciudades? gundo tren demora en pasar por su de un rio demorándose 5 4 si lo costado 6 ¿Cual es la longitud del por: km hace en contra y a favor de la corrien- a) 100 km b) 110 km c) 120 segundo tren? (Se supone que el pasa te, respectivamente. Hallar la rapidez d) 130 km e) 140 km jero está en el primer tren mi de la corriente de agua Hallar el médulo de la velocidad me- rando a través de la ventana) dia del móvil para "t" comprendido 16. Una persona ubicada entre dos pare- des emite un grito y recibe el primer en el intervalo a) 100 b) 130 m c) 150 m eco a los 2s y el segundo a los 3 d) 170 Cuál es la distancia de separación en- a) 10 m/s b) m/s c) m/s tre las paredes? (La rapidez del soni- d) e) 20. Dos parten de dos ciudades do en el aire es de 340 m/s). A B que distan 90 el primero sa le de A con rapidez de 10 km/h y el se a) 1.0m/s b) 12. Un móvil que va a 12 km/h llega a su a) 810 m b) 830 m c) 850 m d) 2,5 m/s destino a la hora T. Si va a 18 km/h gundo de B con rapidez de 20 km/h. e) 890 m</p><p>Cinemática 37 Fisica 36 IV. ¿Qué tiempo estuvo detenido? 26.En la gráfica X vs los móviles A y B 29. La gráfica posición (x) vs tiempo (1) 24. Respecto al M.R.U indicar la (s) se mueven en la misma dirección. Ha- corresponde al movimiento rectilineo mación (es) falsa (s): a) b) 2 c) 3 la distancia que los separa al cabo de una Hallar la gráfica de En todo M.R.U la aceleración del de 20 $ de iniciado el movimiento. su velocidad (v) vs el tiempo (t) vil es II. En todo el tiempo transcurri- V. Su posición en el A do para recorrer un tramo dado es in- 10 B versamente proporcional a la rapidez a) 10 b) 15 m c) 20 m 20 del 5 III. En todo M.R.U la distancia recorrida por el es inversamente propor- VI. Su velocidad de acercamiento al ori- 10 2 -1 2 3 4 cional al tiempo gen IV. En todo M.R.U a intervalos de tiempo 18) iguales le corresponde distancias reco a) b) m/s c) 20 m/s 0 5 iguales. 30. En la representación gráfica de b) c) 30 m de 4 de ellos se mueve 25. Respecto del movimiento rectilineo desplazamiento realizado durante e) 40 m con mayor rapidez? de un cuerpo mostrado en la gráfica todo el movimiento es, de la posición x(m) versus el 27. La gráfica posición tiempo, corres- a) b) a) 10 b)-10 c) 20 m ponde a dos móviles A y B que se desplazan en una misma recta. Hallar 10 6 las posiciones de A y B para VIII.La distancia total recorrida en todo x(m) A 30 el movimiento es, c) 90 B 20 a) 10 m b) 15 c) 20 m d) 25 m 60 H 10 2 La longitud total de la trayectoria re- 30 0 2 3 4 corrida I 2 3 Su posición al inicio del movimiento a) 10 m b) 20 m c) 30 m 31. El representa el movi- es d) 40 m a) 70 m b) 40 m 60 miento de 3 móviles A, B y c) 50 m 20 m d) 45 m 55 m C. ¿En qué instante de tiempo se cru- a) b) 15 m c) 20 X. La razón de sus rapideces de acerca- e) 20 m 40 m zan A C? Si: d=50 d) 25 miento y alejamiento al origen 28. Una particula se mueve con MRU en v(m/s) II. Su posición en el instante a) 3/4 b) 4/3 c) 5/4 un plano con rapidez de 4 A d) 4/5 c) 3/5 Si su vector de posición barre un área a) 10 m b) 15 m c) 20 m de 12 cada segundo. Hallar la dis- d) 25 XI. La razón de las distancias de acerca- tancia mínima de acercamiento al ori- miento y alejamiento al origen es, gen de coordenadas. C III. Su velocidad durante el primer segun- do a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 20 a) m b)2m c) 4 m a) 10 m/s b) 15 m/s c) m/s d) 4/3 e) 4/5 0</p><p>Cinemática 38 a) 20 33. Un móvil parte de "M" y se dirige al m/s la mitad del tiempo, y a la rapi- de Si pasan por el punto c) 24 d) e) norte a m/s durante 5 S. luego al dez m/s el trayecto final. Hallar de cruce simultáneamente con rapide- este a 6 m/s durante 10 $ y finalmente la rapidez media del móvil durante ces de 20 m/s y 10 distancia sigue al norte a m/s hasta llegar a todo el los separa al cabo de Si empleo un tiempo de 20 de 40 A "M" a hallar su rapidez media. a) m/s b) 2 m/s c) 4 m/s d) 6 m/s e)10 D a) m/s b) 2 m/s c) 3 m/s d) 4 m/s 37. Por una pista paralela a una 41. Una vela de longitud se 20 que dista 5 m de la pasa un au- C con totalmente en un tiempo de (s) 34. El avión se dirige de B hacia C, el rui to una rapidez de 12 Si el au T=8 h. Si entre la vela y la pared se do del motor emitido en alcanza al to pasa cerca a an poste con faros 0 5 7 9 coloca un objeto a distancias d2 observador en A en el instante en que ¿Con qué rapidez se mo- de la vela y pared respec- el avión llega a la posición C. La verá la sombra del poste proyectada En la gráfica X vs de una particula tivamente, Cuál es la velocidad con en movimiento Hallar: pidez del sonido es de 340 m/s. Hallar en la pared, si el poste dista 2 m de la la que crece la sombra del objeto? la rapidez del pared? I. La distancia recorrida hasta cm a) m/s b) 2 m/s c) 4 m/s a) b) min 4 min a) 10 b) 12 C 6 m/s m/s d) 16 cm m d) min 38. Dos móviles A y B se mueven con - II. La longitud recorrida vg-340m/s pidez constante en la misma dirección 42. Dos barras se cruzan bajo un ángulo observa que "B" se acerca a 2m/s a) 20 b) 22 m c) 24 m de moviendose con rapideces i- y en el instante que lo alcanza, "A" d) 26 guales a m/s perpendicularmen- disminuye su rapidez a la para te así mismas, será la rapidez III. La razón entre las rapideces de acerca luego ver que "B" aleja a 5 m/s. del punto de cruce de las barras? miento y alejamiento al origen. la rapidez de A a) 10 m/s b) 15 m/s c) 20 m/s c) 3 a) b) 12 m/s a) 1 b) 2 c) 14 m/s m/s d) 25 m/s e) 30 m/s a) 111m/s b) 113 115 d) d) 4 5 c) 18 m/s d) 117 m/s 43. Unos deportistas corren formando IV. La razón de los tiempos, para los cua- 39. Dos A y B parten de una mis- na columna de longitud con la 35. Dos A y B se encuentran en u les el móvil se encuentra a 22 m del ma vertical en direcciones perpendicy na misma recta separados por una dis- misma rapidez "v" encuentro de la lares sobre dos horizontales ori gen. columna corre el entrenador a la rapi- tancia de 500 m. Si se mueven en la se-parados 120 con rapideces VA=3 dez Cada uno de los de- c) 3 misma con rapideces cons- a) b) 2 m/s y distancia los tantes de 5 y 10 m/s. ¿Después de qué portistas, al encontrarse con el entre- d) 4 5 separa a los 10 de iniciado el movi- nador, da la vuelta y corre hacia tiempo B adelanta 500 m al móvil A? miento? con la misma rapidez ¿Qué lon- V. ¿En qué instante de tiempo el vuelve a pasar por su posición ini- a) 100 b) c) 200 gitud tendrá la columna cuando todos b) 130 c) 150 m d) 250 e) 300 los deportistas den la vuelta? d) 170 cial? c) 25 36. Un móvil recorre la mitad del camino a) m b) 3 a) b) 40. Dos se desplazan en trayecto- d) 29 s con la rapidez 6 m/s, La parte rias rectas que se cortan formando un</p><p>Fisica Cinemática 41 40 Luego, la distancia entre los cuerpos (1) y la longitud del por lo que, la SOLUCIONARIO (2) es: distan-cia que recorre el tren es: Luego, la solución pedida, Solución: 01 La posición final del cuerpo, viene da- Luego, el tiempo transcurrido es: d=5m do por: Solución: 03 1800 La distancia recorrida entre A y B es: El x=40m El tiempo empleado por el 02 Representemos las posiciones inicial y es: final de los Luego, la rapidez media de la moto es: E 0 1=1 1=36s D A 0 Solución: 10 El tiempo de vuelo del es: Las velocidades de los cuerpos A y B Solución: 07 Representemos al sujeto en dos posicio son: La distancia de ventaja que le saca el nes diferentes, respecto de la al avión en h es de 90 km. emite 1-0 recibe Luego, la distancia que recorre el 340 es: MRU MRU A Sea "1" el instante de tiempo, en el cual la km distancia de separación es I m. entonces: D Luego, el tiempo que demora en alcanzar Solución: 05 el avión al es: Las distancias recorridas por los cuer- El tiempo para el joven y el sonido, es el La primera solución para el tiempo es: pos después de transcurrido de modo que: son: t-36min D 1=28 08 La segunda solución para el tiempo es: La parte delantera del tren, recorrerá u D na distancia igual a la longitud del tren</p><p>43 42 11 Solución: 14 En la Fig., la suma de los tiempos que de- en la Fig. se cumple: La posición inicial es: Sea la distancia inicial persona-pa- mora el sonido en recorrer las distancias red, entonces el tiempo de recorrido de la y luego de reflejarse en las pa- (3) bala más el del sonido redes es: Igualando (3): Luego, y la magnitud de la son: (4) Ym d=850m C Luego, cuando la persona se adelante 102 17 B m, el tiempo que en escuchar Representemos al sujeto cuando se en- es: cuentra a cierta distancia del Solución: 12 18 170 B Las distancias recorridas por el móvil las velocidades de Rosa y en todos los casos es la asi: farol la escalera, asi, la distancia recorrida "d" E D cuando Rosa sube parado y caminando es la misma: Solución: 15 H T=3h Sea la distancia entre las ciudades h (1) A y la diferencia de tiempos de los viles es: (2) d 20 A % d, F. - C Luego, el tiempo que demora Rosa cuan- 3 do baja caminando con la escalera en mo- Sea la velocidad de la sombra, enton- vimiento es: Solución: 13 ces después de un tiempo que el hom Sean 4.4 los tiempos de ida y regreso, bre ha pasado por debajo del farol, la d y "d" la distancia entre A y B, se (3) razón de las distancias recorridas por el y cumple: km por su sombra es: Solución: 16 (1) 340m/s 340m/s En la Fig., los ABC y son por lo que: Solución: 19 Mama Luego, el tiempo que estuvo caminando Sea la longitud del segundo es: cuando el pasajero del primer tren nota que el segundo tren ha pasado total- E (2) mente, las distancia recorridas por el pri-</p><p>I 45 44 Sean y (ve) las rapideces de la lan- Luego de transcurrido 10 (1) la distancia entre los trenes cha y la corriente respecto de tierra, enton ces, las distancias que recorre la lancha VL La velocidad de acercamiento al cuando en contra y favor de la origen se realiza durante el (2) son: Sumando (1) más (2): El tiempo de encuentro (1) (2) Solución: Multiplicando (1) por y (2) por 5 y res- Representemos a los móviles A y B en 4 tando las ocuaciones VII. E1 desplazamiento realizado durante el instante todo el movimiento - VA D D A B 22 24 % Representemos a los A y B en La distancia total recorrida es, Las respuestas cada una de las el instante ciones son: El tiempo de recorrido para los móviles es el mismo, de modo que: VVFV La longitud e 25 La posición inicial del móvil en el ins 1400 X. La razón entre las rapideces de d/2 La del móvil en el instante A C B camiento y alejamiento es, de Luego, el tiempo al cabo del cual se en- Sea (t) el tiempo transcurrido, entonces Recordemos que la pendiente de la de la Fig., para éste tiempo, las distancias (x-t) nos da la asi. cuentran es: A re-corridas por los A y B La razón entre las distancias recorri- (1) das durante el acercamiento y ale jamiento al origen v=20m/s Representemos a los trenes, en el instan te en que se cruzan el primer tren (2) IV. El móvil estuvo detenido durante con el tercero a 30 m a la Sumando (1) (2), V. La en el instante es, V3 3 Según la pendiente de la recta nos da la asi, de la las 2 1 velocidades de los móviles A y B son: 23</p><p>46 Cinemática 47 origen por la derecha. En el tramo BC, el móvil se encuentra 20 en 4m/s > En el tramo CD, el móvil se aleja del 10 7 A origen hacia la derecha. > Luego, la distancia de separación de los En la presentamos la velocidad móviles A de 20 es: S 2 4 B y la distancia recorrida para cada uno de los -10 X 0 Solución: 30 tramo Liempo velocidad posición En la Fig., OA=d es la distancia Según teoria, la velocidad, es igual, a (s) (m/s) (m) de la trayectoria al origen y la pendiente de la recta, es decir: A-B el área que barre el vector de de B-C A hacia B. viene dado por: Solución: 27 C-D Según teoria, las pendientes de las rec- En la Fig., la mayor tangente corresponde tas A y nos dan las velocidades, a por tanto: Rpta C La distancia recorrida hasta D Solucion: 31 29 Según teoria, la rapidez de los es el valor de la pendiente de la velocidad viene dada La longitud recorrida es, las rectas asi, la rapidez de los por la tangente de la recta de viles A y la Fig. para los intervalos en los cuales el De otro lado, la posicion de móvil se mueve en el sentido positivo del un móvil, viene dada III. La razón entre las rapideces de acer- eje X, su velocidad es: camiento y alejamiento al origen es, Para el móvil (A), Luego, el tiempo que tardan en encontrarse los móviles es: tenemos: IV. La razón de los tiempos, para los cua- les el móvil encuentra a 22 m del Asimismo, para los intervalos en los origen Para el móvil evaluando cuales el móvil se mueve en el sentido negativo del eje su velocidad es: V. El instante de tiempo, para el cual el móvil volveria a pasar por su posi- inicial es, Cuando la particula pasa de A hacia la gráfica de la ve- 32 barre un área (S), como se observa. locidad vs En el tramo AB. el móvil se acerca al</p><p>49 48 entre los lados del A ABC. Asi, el cribe el iniciando su movimiento pared 33 Representemos los tres desplazamien- tiempo empleado por el avión y el sonido, en A. B son iguales, esto es: tos que realiza el y el desplaza- d/2 E miento resultante N YA ds 3m MO B D poste 40 1/2 A D P Representemos a los antes y Calculemos la velocidad media para el tra des del adelanto de 500 mo Sean, VA y Vs las rapideces del auto y la sombra, entonces, luego de transcurrido un intervalo de tiempo las distan- ANTES cias recorridas por el auto y la som M 60m 10m/s bra (ds) son: En la Fig., la distancia recorrida es: (1) B A calculemos la velocidad media (2) DESPUES para el tramo Luego, la rapidez media del móvil es: Dividiendo (2) entre (1) y despejando: (3) A 500m B E En la Fig., los tiempos de acercamiento El AABC es semejante al ADCE, luego: y alejamiento del móvil "B" Representemos al avion dirigiendose de B respecto del móvil son iguales, esto A. y observador situado en es: 9a 7a B 2(6)(4+2) Luego, el tiempo total es: E 12a 20a 38 16 Sean VA y las rapideces de A y t=200s 37 pecto de un sistema fijo (S) y la velo Cuando el auto se desplaza de A hacia cidad de B respecto de "A" en el sistema B, la sombra se desplaza de E hacia De la geometria elemental podemos esta- Representemos la trayectoria que des- mo se aprecia en la Fig. Cuando "B" se acerca a</p><p>Cinemática Física 51 50 Las distancias recorridas por los "A" y (2) VB B A C Igualando (1) (2): NB 1.4 En el aplicando ley de coseno Tvs En la Fig., las distancias recorridas por Dividiendo por tenemos: los A y B, durante son: D min (1) 42 Representemos las posiciones iniciales Cuando "B" se aleja de "A". Representemos el objeto (C) situado en (línea continua) y finales punteada) tre la vela (A) y la pared (D). de las barras: S S' En el triángulo rectángulo AOC. A A B D D XA is x=50m XB d B E Luego, aplicando Pitágoras al ACB, ha A Hamos la distancia de separación entre B los A y B, al cabo de así: d, d2 Sean y Vs las rapideces de consumo y d Dividiendo por tenemos: crecimiento de la vela y sombra d=130m respectiva-mente, entonces de la Fig., el tiempo de consumo de la vela, es igual, al En la Fig., transcurrido un tiempo tiempo de crecimiento de la sombra, esto las barras recorren una distancia igual a (2) Representemos los distancias recorri- es: das por los A y B. (1) Sumando (1) más obtenemos: A También, en el A ABC, para este mismo tiempo la distancia que recorre el punto de intersección de las barras es: (1) d 39 0 Representemos los desplazamientos Por ser el A ABC semejante al A realizados por los (2)</p><p>II 53 52 mueve el carrito es: De otro lado, en el A BCD, se cumple: mo de la columna y el entrenador es: CINEMATICA II (3) SEM -3 De (1) y (3) en (2), obtenemos la rapidez En éste tiempo, el primer deportista ha re- b) Aceleración instantánea del punto de intersección de las corrido una distancia hacia la izquierda 1. ACELERACION MEDIA E Es una magnitud vectorial que mide la INSTANTANEA rapidez de cambio que experimenta la gual a: e=2 velocidad instantánea con respecto al a) media tiempo, y se define, Es una magnitud que se de- fine como la razón de la variación que Y el último deportista una distancia hacia la velocidad de u- particula durante el de la derecha, igual tiempo, que corresponde a di- cha es 2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO Representemos a los deportistas co- ( M.R.U.V ) hacia el entrenador y detrás del en De modo que, las posiciones finales para ambos deportistas, son: a) Características donde y son las velocidades de la La trayectoria es una recta. particula en los tiempos to y res- La velocidad varia en el tiempo. pectivamente. La aceleración no es nula. Cuando el móvil mueve en El recorre distancias diferentes toria la aceleración media en intervalos de tiempo iguales. se expresa, Los módulos de las velocidades me- Luego, la longitud de la columna cuando dia y son diferentes. 0 L todos los deportistas se hayan dado la Si a>0, el módulo de la velocidad au- progresivamente y se dice que vuelta es: el movimiento es acelerado, la Unidad : "a" se mide en dad y la aceleración están en la mis- ma Ejemplo: 01 Hallar la aceleración media del carrito, que se mueve con MRUV. L' v=8m/s 1) Se ha ubicado el origen de coordena- das en el último deportista de la 0 A lumna, como se muestra en la Fig. 0 B 2] Las posiciones iniciales del primero Si el módulo de la velocidad dis último de la columna minuye uniformemente y se dice que La aceleración media con la que se el movimiento es la ve- el últi</p><p>54 55 locidad y la aceleración están en direc las áreas limitadas por la curva la longitud recorrida por el móvil pa- ciones opuestas. es decir: ra entre 0 y es: =20+10=30m en la suma se tomará el signo cuan do el área esté debajo del eje horizon- 0 4) El cambio de velocidad que ex tal caso contrario se tomará el sig- perimenta un móvil en un intervalo de no (+). b) Ecuaciones tiempo, es igual a la suma algebraica Ejemplo: 02 1) Aceleración (a) de las áreas limitadas por la curva 5) Velocidad media La gráfica vs correspondiente a un el "1", es decir: móvil en MRUV. es. N 10 A B Ejemplo:04 correspondiente al Ejemplo: 02 es: 5 0 2 3 A2 Nota En todas las 10 2) Velocidad final (v) -10 (+a) para movimiento acelerado. (-a) para movimiento desacelerado desplazamiento del móvil, para (1) 5 c) Representación gráfica del entre 0 S y es: 3 4 5 0 MRUV 1 2 A B -5 0 -10 3) La longitud de la trayectoria 3) Distancia recorrida (d) da por el es igual a la suma ! aritmética de las áreas limitadas por 0 la curva y el eje para el La variación de la velocidad, para (1) en- intervalo de tiempo considerado, es tre y to es: B d) Propiedades: 4) d=? 1) En la vs 1" la tangente del gulo de inclinación de la recta, nos pro porciona la aceleración del 2) El cambio de posición (Ax) que experi Ejemplo: 03 menta el móvil en un intervalo de tiem Para la gráfica del ejemplo anterior,</p><p>Fisica 56 57 3. Movimiento vertical Para un mismo horizontal de re- el último segundo. a) ferencia, las rapideces de subida y PROBLEMAS El cuerpo se mueve bajo la acción de bajada del móvil es la misma. a) 340 m b) 342 c) 344 la fuerza de gravedad de la Los tiempos de subida y de bajada d) 346 m e) 348 para un mismo nivel de referencia 01. Un móvil partiendo del reposo, se mue ve con aceleración de 8 horizontal tienen el mismo valor 04. La ecuación de movimiento de una par Su rapidez al cabo de 5 LOS es: (x en m y en b) Ecuaciones ¿En qué instante de tiempo la veloci- dad se anula? a) 30 m/s b) 35 m/s c) 40 m/s Y d) 45 m/s 50 m/s y B II. Su rapidez media durante los 5 prime- ros segundos es, h 05. Un móvil acelera a razón de Cuál debe ser la rapidez inicial para a) 10 m/s b) 15 m/s c) 20 m/s La trayectoria es una linea recta con- d) 25 m/s 30 m/s que luego de recorrer 320 m tenga una rapidez igual al doble de la que tenia tenida en un plano vertical. 0 Es un caso particular del MRUV III. La distancia que recorre, en los 5 cuando recorrido 50 m? La aceleración del cuerpo es la de la primeros segundos a) 20 m/s b) 25 m/s c) 30 gravedad, cuyo valor es 1) Velocidad final (v) a) 60 m b) 70 m c) 80 m d) 35m/s d) 90 e) 100m 06. Un móvil A parte del reposo con 2) Velocidad final (v) 02. La rapidez de un móvil aumenta uni- de 1,8 m/s2 en ese instante Y DE formemente desde 4 m/s hasta 16 m/s otro B lo pasa con rapidez cons en 60 Hallar: tante de 9 A distancia del La magnitud de su velocidad media. punto de partida alcanza el móvil A al 3) Altura recorrida (h) móvil a) 10 m/s b) 12 m/s c) 14 m/s d) m/s 18 a) b) 60 m c) 70 m d) 80 e 4) Posición final (y) II. La magnitud de su aceleración media. 07. Hallar la rapidez inicial de un móvil Cuando el cuerpo asciende la rapidez a) m/s2 b) que recorre 40 m durante el tercer disminuye, el movimiento es desacele- d) gundo de movimiento y 60 m durante rado, la aceleración y la velocidad tie- el quinto segundo. nen direcciones III. La distancia recorrida en los 60 S. Nota Cuando el cuerpo desciende la rapidez a) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/s En todas las el movimiento es acelerado, a) 100 m b) 200 m c) 400 m d) 20 m/s e) 25 m/s cuando el cuerpo desciende. la aceleración y la velocidad tienen la d) 600 m 800 m (-g) cuando el cuerpo 08. Un móvil parte del reposo y acelera misma 03. Un avión partiendo del reposo, recorre re-corriendo en los primeros 5 Cuando el cuerpo en su ascenso alcan con aceleración constante I 800 m en dos 75 distancia recorrió en el za la altura su rapidez instan- 10 Hallar la distancia recorrida du- quinto segundo?</p><p>Fisica 58 59 13. Un móvil se desplaza con M.R.U.V y detenerse. ¿Para qué rapidez el tiem ¿En instante de tiempo a) 21 b) 23 m c) 25 m recorre en el cuarto segundo 15 m me po del movimiento de la patinadora si sus gráficas son las d) 27 m e) 29 m nos que el recorrido en el séptimo se- será el mostradas? Hallar la magnitud de su acele- 09. Dos móviles pasan simultáneamente ración. a) m/s m/s c) 4 m/s a) por el mismo punto con rapideces ini- d) 6 m/s m/s ciales de 20 m/s y 10 m/s y aceleracio- a) b) nes de 6 m/s2 y 10 m/s2 respectivamen 18. La gráfica es de un móvil que sale 20. En la del rec- y en direcciones opuestas; después del origen y se mueve en de una particula (x6-0). Hallar: de qué tiempo estarán separados por 14. Una pelota de tenis llega sobre una Indicar qué afirmaciones son ver 38 queta con rapidez de 50 m/s y rebota daderas (V) falsas (F). con la misma Si la pelota a) 0,5 vo en contacto con la raqueta durante (m/s) 10 d) 2,0 un tiempo de 0,01 ¿Cuál fue su ace- leración media durante el contacto? 5 10. Un móvil se mueve durante 3 S con M.R.U.V recorriendo 81 luego se 0 2 3 4 5 mueve con MRU durante 3 S recorrien do 72 m. Hallar su aceleración cuando 0 4 12 16 se con M.R.U.V. -2 módulo de su velocidad media, pa- 15. Durante que segundo un móvil que te del reposo y tiene un M.R.U.V I. En 2 el móvil esta en reco el triple de la distancia II. En los primeros 5 el desplazamiento b) 11. Dos móviles A y B parten simultánea recorrida durante el quinto segundo. del móvil es de 5 d) 9,5 m/s mente del reposo desde un punto "O" III. En los primeros 5 el móvil recorre y aceleran en la misma dirección a ra- a) 10 avo b) 12 avo c) 14 avo una longitud de 5 m. Su en el instante zón de 2 m/s2 y 4 de d) 16 avo e) 18 avo IV. En el instante, el móvil se en- qué tiempo ambos equidistan cuentra a 1 m del 3/2 b) -3/2 c) 5/4 de un punto situado a 600 m del punto 16. Tres móviles parten de partida. desde el mismo lugar y en la misma di a) VVFF b) VFVF c) FFVV los dos primeros con rapide- d) FVVF e) VFFV III. El tiempo total de su movimiento desa a) c) ces constantes de 50 m/s y 80 m/s y el celerado. d) 25 tercero parte del reposo con acelera- 19. cion de 13 ¿Después de qué tiem a) 2 po los dos primeros equidistarán del 15 20 12. Un móvil que parte del reposo acelera tercer IV. La razón de las distancias recorridas, durante cierto tiempo y luego desacele ra hasta que se Si en total reco a) 10 c) 14 en su movimiento acelerado y de ma- 3 900 m durante 30 S. ¿Cual fue su d) 16 4 rapidez máxima? 17. Una patinadora recorre una distancia a) 2/3 b) 3/2 c) 3/4 0 6 0 4 a) 50 m/s b) 60 m/s c) 70 m/s de 32 m a rapidez constante y luego d) 4/3 frena con de 2m/s2 has Dos A y B parten Su posición en el instante</p><p>Cinemática Física 61 60 a) 72,5 b) 76,5 c) 82,5 m a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 a) b) distancia que recorre en los dos d) 86,5 e) 94,5 m d) 2,5 últimos 22. La gráfica muestra el movimien IV. La distancia que recorre en c) 100 m qué instante de tiempo la distancia recorrida es la mitad de la distancia to de un siendo su sición inicial 6 en qué total recorrida? instante pasará por 2da vez por el ori- d) 26. Se suelta una bola A de una de 100 desde el piso a) 6,14 b) 6,34 s c) gen? La distancia que recorre en los dos pri se lanza verticalmente hacia arriba e) 6,94 s v(m/s) meros segundos, tra bola B con rapidez inicial de 10 tardan en encontrar- 21. En la gráfica del movimiento c) se? lineo de una particula. Hallar: 2 A VI. ¿En instante de tiempo veloci- 95 dad es nula? & 27. ¿Durante qué tiempo un cuerpo que se a) 3/4 c) 7/5 35 c) suelta del reposo, pasa el B 82) de su trayectoria? 15 VII. La distancia recorrida, hasta el instan 23. En la gráfica de la en a) 24,0 ms 24,2 c) ms del tiempo de una particula en mo-vimiento en que cambia la dirección su velo- d) 0 10 40 50 0 m y m/s para 0 cidad. 28. Se lanzan dos pie- Su aceleración media, para 40s a) 35/7 b) 37/5 m c) 41/8 m dras verticalmente hacia Si lue- 50 S 47/9 go de 10 S están separados 20 m. Ha- 2 la diferencia entre sus rapideces i- de que tiempo, vuelve a d) 6 niciales? sar por su posición inicial? 0 2 a) m/s La distancia que recorre a) c) -2 m/s 50 d) 4,45 29. ¿Qué altura alcanza un cuer- a) 500 m b) 550 m c) 600 m -4 24. Una bola de acero que se suelta de lo po lanzado verticalmente desde 650 700 m alto de una torre emplea 3 S en llegar si en el último segundo de ascenso re- Su velocidad en el instante t=3 al suelo. Hallar la rapidez final y la al- corre la cuarta parte de su altura III. ¿En instante de tiempo, la particu- tura de la torre. la cambia la dirección de su acelera- b) m/s c)-2 m/s xima? cion? a) 30 m/s: 45 m 30 m c) 20 c) 25 50 a) 30 Su posición en el d) 25 e) 30 b) 20 e) 40 70 m d) a) 30. Se lanza un cuerpo verticalmente ha- 25. El tiempo de libre de un cuerpo IV. La de las distancias recorridas cia arriba desde el suelo con una rapi- que se suelta del reposo es de 6 Ha- dez alcanzando una altura Si</p><p>Cinemática 62 63 la rapidez inicial se duplicara su altura si el automóvil se mueve con una acele- I. La rapidez media del es: máxima en 60 m. Hallar ración de 2 SOLUCIONARIO Solución: 01 a) Representemos al móvil en sus posicio- nes o y final A. 31. Del techo de un ascensor de altura 2,5 35. gráfico a vs 1 de una particula m que sube con rapidez constante de La aceleración media del móvil es: que se desplaza en lines En el a m/s se suelta un qué tiempo to 0, su rapidez es (vo) y el clavo al piso del ascensor? 0 rapidez es hallar su d a) rapidez para La rapidez después de 5 es: d) 32. Un móvil con M.R.U.V pasa por los 12 III. La distancia recorrida en 60 S es: puntos consecutivos B, C. Si en el tramo AC la rapidez se y el 8 tiempo que el móvil tarda en recorrer BC=160 m es el doble del que tarda La rapidez del es: d=600m 0 4 en recorrer AB. Hallar la distancia AB a) 80 m/s b) Solución: 03 a) 30 m b) 32 34 d) m/s m/s La aceleración con la que se mueve el avion, hallamos de: 33. Un móvil recorre 1/4 de su recorrido 36. Un cuerpo partiendo del reposo se total en 2 con aceleración de 1 m/s2, mueve con una aceleración de 8 III. La distancia recorrida en los 5 es: Hallar el módulo de la velocidad me- y los 3/4 restantes lo hace con rapidez dia durante los cinco primeros según- constante de 2 m/s. es su rapi- dos. dez media entre el punto de partida y el punto de llegada, si el móvil a) 10 m/s b) 15 m/s del reposo? d) 25 m/s e) 30 m/s a) 1,2 m/s d=100m 37. Un ingresa a una pendiente de La distancia recorrida en el 10 avo es i- longitud km con una rapidez de 10 Solucion: 02 gual, a la diferencia de las distancias reco- y adquiere una aceleración cons- Representemos al en sus posicio- rridas durante los 10 y 9 5, respectiva- 34. 7.5cm tante de m/s2 ¿En que tiempo re- nes inicial y final A. mente, esto es: corre la pendiente? 50 100 150 a) 10 v=60 En la Fig., la longitud de la escala del ve- B locimetro es de 15 cm, el dispositivo mide 0 desde 0 hasta 150 Hallar d</p><p>Fisica 65 64 Comparando la ecuación dada (1) con la ecuación de teoria (2), la ve locidad inicial y aceleración, así: (1) (1) 1=2s 75 (2) Solución: 06 En Fig. la distancia recorrida hasta el Representemos a los en el ins- A 4th tante de la partida y de Luego, el instante en el cual la velocidad ANTES se anula es: to D la distancia recorrida por el mó- vil durante el quinto segundo es: Representemos a los cuando se B cruzan y cuando están separados por 38 m 05 DESPUES B 20 Representemos al móvil en tres posicio nes diferentes A, Dado que los A y B recorren la (2) B 2v misma distancia, cuando A alcanza a B, se da cumple: Igualando (1) (2): B 50m 270m A B C 38m Apliquemos la de M.R.U.V: Sea el tiempo transcurrido para el cual, la suma de las distancias recorridas por los móviles A y B es 38 m, Solución: 08 Luego, la distancia recorrida "d" es: En el tramo hallamos la acelera- (1) del móvil a partir de: d=90m E Solución: 07 (2) La distancia recorrida por el móvil du-</p><p>67 66 Solucion: 11 x=900-x 3a=15 Representemos a los cuando es a la misma distancia (x) del punto P. x=450m E B por la misma razón, SC cumple: 14 Solucion: 10 Representemos a la pelotita antes y des- A B Representemos al en tres posicio- P de impactar con la nes diferentes A, B y 0 600 Luego en el tramo A-B. hallamos el módu Sea el tiempo para el cual ambos mó- lo de la velocidad a partir de: viles equidistan del entonces, ID B C las distancias recorridas por "A" y "B" son A La velocidad final del tramo es igual (1) a la velocidad constante del tramo B-C, el La aceleración media de la pelotita es: cual es: (2) B 13 La distancia recorrida en el es i- En el tramo A-B, la velocidad inicial hally gual a la diferencia de las distancias reco A durante los 4 y 3 S, respectivamen mos a partir de: te, esto es: 15 Sea el instante para el cual el móvil 12 recorre el triple de la distancia recorrida Representemos al móvil en tres posicio- du rante el quinto segundo, esto es: nes diferentes de su en el tramo la distancia re- Asimismo, la distancia recorrida en el viene dado por: segundo 21-1=27 La velocidad final del tramo A-B, es igual Abora, por dato modo que: Solución: 16 a la velocidad inicial del tramo B-C, asi: Sea "1" el tiempo para el cual A y quidistan de luego, en la Fig. se cumple</p><p>Cinemática 68 69 Sustituyendo éste tiempo (1): de es igual la suma al- es: gebráica de las áreas bajo is curva B E La aceleración en el instante 18 x=2m el móvil tiene velocidad nula. El desplazamiento para los pri- meros 5 es igual a la suma 19 ca de las áreas, asi. : De la gráfica calculemos las a- III. El tiempo total de su movimiento desa celeraciones de asi: celerado es, 1=10s A 10 Solución: Representemos tres posiciones diferen- Para un instante "t" en el que se encuen- tes de la trayectoria de la tran A y B, sus posiciones esto 5 2 es: ((s) 0 4 8 12 C B A 16 I 2 3 4 5 A2 IV. La razón de las distancias recorridas -2 en su movimiento acelerado y de ma- El tiempo total de recorrido, igual a: yor desaceleración es, III. La longitud de curva recorrida Las de esta son: en los primeros 5 es igual, a la suma aritmética de las áreas: distancia recorrida V. El instante para el cual la distancia re- es la suma de las áreas, esto es: corrida es la mitad de la distancia re- corrida total Dado debe ser real, que la varia-</p><p>Fisica 71 70 Sus velocidades y posiciones en los ins- VI. instante en el que su velocidad es nula Solución: 22 De la como la rapidez del aumenta, su aceleración es: VII. La distancia recorrida hasta el instan- te en que cambia la dirección su velo- cidad 2 Ahora, sea el instante para el cual el A1 vil pasa por el origen de coordenadas, su posición es: 0 2 -2 As tiempo después del cual vuelve a -4 A pasar por su posición inicial es, 95 Su velocidad media en 35 B Las de esta ecuación son: 10 40 50 IV. La distancia que recorre en IL 40 la distancia reco- (pasa por 2da vez) Solución: 24 viene dado por el área del trape- La velocidad viene dado por: cio, esto es, d=2m Solucion: 23 L Su velocidad en el instante viene V. La distancia que recorre en los dos pri v=0+(10)(3) d=650m dado por la suma algebraica de las á- meros segundos es, reas, III. Del gráfico el instante en que el cambia la dirección de su Asi, la altura recorrida por la bola es IV. La razón de las distancias recorridas</p><p>73 Fisica 30 72 centimetro, respectivamente, Cuando se lanza con Los "n" recorridos, es igual a: A (1) 25 (1) B La distancia recorrida en los dos últi- Cuando se lanza con rapidez mos segundos, será la distancia recorrida cm igual 29 en los 6 menos la distancia recorrida en Representemos tres posiciones diferen- los tes A, B y C de la trayectoria del (2) (2) H/4 B H 3H/4 H=20m de las alturas recorridas por A A Representemos la tuerca en los instan E tes en que se suelta y llega al piso. Para el tramo B - C. Solucion: 28 La velocidad del cuerpo en B es: Representemos las piedras A y B en el instante en el que la diferencia de sus altu- ras es 20 m 8m/s he Representemos a la holita cuando ha re- 2.5m corrido los (n-1) y (n) primeros centime- La altura recorrida por el cuerpo es: tros. T Para un observador fuera del la T velocidad inicial del clavo es igual a la del F he ascensor, así de la Fig., la diferencia de las distancias recorridas por el ascensor y el clavo debe ser 2,5 m. esto En la Fig.,la diferencia de las alturas re- corridas por A y B, durante los 10 es 20</p><p>75 Fisica 74 Igualando (3) con (4), obtenemos: 4 D D Solución: 34 Calculemos el tiempo de recorrido del 32 au a partir de: Representemos al móvil en tres posicio- nes diferentes A. B y C. por: It 33 Representemos al móvil en tres posicio- nes diferentes A. By a Luego, el de la media es: A B Luego, la rapidez del indicador del ve locimetro es: Aplicando la fórmula de la velocidad me- B C dia al tramo La distancia recorrida en el A-B es: B Representemos el movimiento del ci- clista a través de la pendiente. (1) Usando la propiedad de gráficas Al tramo B-C: en (2) La distancia del tramo ABC es, y el tiempo de recorrido del tramo El tiempo que demora en recorrer, la pen- es: diente de 1 hallamos de: 12 & A, Igualando (1) con (2), Luego, la rapidez media para todo el reco- B rrido es: E Luego, la rapidez del movil</p><p>Cinemática 77 76 2) Desplazamiento angular En el punto más alto de la trayectoria R sen 20 Es ángulo central subtendido por CINEMATICA la componente vertical de la velocidad el desplazamiento lineal (S). La rela- entre los desplazamientos lineal III Las componentes de velocidad y las Y (S) angular viene dado por: SEM -4 coordenadas que establecen la del en cualquier instante, vienen dados on la siguiente tabla. H 1. MOVIMIENTO COMPUESTO siendo, R el radio de la Tabla Se llama al movimiento resultante de la composición de dos 6 más movi- R Unidad : se mide en radianes (rad) mientos simples, los cuales, pueden vertical 3) Radián ser por ejemplo MCU, 4) Relación entre Un radián es el ángulo subtendido en Dividiendo las relaciones dadas para H etc... 4-0 el centro de un circulo por un arco cu- y obtenemos: ya longitud es igual al radio del circu- Principio de de lo. losmovimientos 4) Equivalencias: una de las componentes de un movimiento compuesto es independien 5) entre las componentes de la respecto de las Dividiendo entre obtenemos una velocidad inicial en las direcciones expresión útil: 2. MOVIMIENTO PARABOLICO de los ejes e Y, respectivamente, y el de disparo. a) Caracteristicas Por ejemplo, un desplazamiento angu- La trayectoria que describe el cuerpo 1) Tiempo de vuelo 3. MOVIMIENTO CIRCULAR lar de 2 rev corresponde a un desplaza es una curva (parábola). Es el tiempo empleado por el proyectil El movimiento se realiza en un plano. UNIFORME (MCU) miento angular de 4s en regresar al mismo nivel de referen- Por ejemplo, un desplazamiento angu- E1 cuerpo se mueve en todo instante cia horizontal (suelo), viene dado por: a) Conceptos fundamentales lar de 2 rev corresponde a un desplaza- bajo la acción de la fuerza gravitatoria miento angular de El movimiento es compuesto, pues, es la resultante de la suma de un MRU en B la dirección del eje X. y un MRUV en b) R S la dirección eje Y. 2) Altura máxima (H) La trayectoria que describe la A Es la altura máxima alcanzada por el es una b) Ecuaciones viene dado por: La particula recorre desplazamientos angulares iguales en intervalos de tiem Y pos iguales. H El módulo de la velocidad lineal (v) 1) Desplazamiento (S) permanece constante, pero su dirección Es la longitud de arco de circunferen- 3) Alcance horizontal (R) cia que recorre la durante el La velocidad angular permanece Es la distancia horizontal alcanzada tiempo entre puntos cuales- constante tanto en módulo como en di- dado</p><p>Cinemática III 78 La velocidad lineal (v) en todo instan- Ejemplo: 01 4) (T) Una relación útil, para la solución de tc es tangente a la trayectoria Una bolita da una vuelta completa des Se llama del al tiempo problemas, viene dado por: cribiendo una circunferencia de radio que emplea la particula en dar una vuel R=1 en un tiempo de 3,14 Hallar ta completa, es decir: B el de su velocidad R El de la velocidad lineal de la Ejemplo: 05 CO OA bolita es, En el Ejemplo: 04, hallar el módulo de : tiempo transcurrido. la velocidad angular y S R N : número de vueltas. D 3,14 Los módulos de la velocidad angular y Unidad : se mide en segundos lineal, son: La velocidad angular en todo ins- tante es perpendicular al plano que con 5) Frecuencia (f) T 0,5 tiene a la trayectoria. Se llama frecuencia del MCU, al nú- 2) angular ANTIHORARIO HORARIO Es una magnitud vectorial, cuyo mero de vueltas que efectúa la parti- lo se define como la razón del despla- cula en cada unidad de tiempo, esto es: zamiento angular al tiempo trans- currido esto es: f g) Aceleración centripeta R R Es una magnitud vectorial, que mide la : tiempo transcurrido. rapidez de cambio que experimenta la N : de vueltas. dirección de la velocidad lineal con el Unidad se mide en rad/s. transcurso del tiempo, su vie- Unidad : mide en La aceleración angular es nula, no ne dado por: existe aceleración Nota La responsable que cambie la dirección Ejemplo: 02 En el Ejem: 01, halle el módulo de la La frecuencia la inversa del de la velocidad, es la aceleración centri peta que en todo instante apunta velocidad angular de la Ejemplo: 04 Solución: siendo, R el radio de la hacia el centro de la Una bolita en MCU, da 8 vueltas en un El movimiento de la particula es perio- El módulo de velocidad angular es, Su dirección en todo momento tiempo de 4 describiendo una circun- hacia el centro de la (de dico. ferencia de radio R=1 m. Halle su pe- ahi el nombre de centripeta). y Es la responsable del cambio en la di- Solución rección de c) Ecuaciones El y la frecuencia de la bolita, El módulo de la centripeta, son: 1) Velocidad lineal también se puede expresar, Es una magnitud vectorial, cuyo módu se define como la razón del despla- 3) Relación entre V y zamiento lineal (S) al tiempo transcu- La relación entre los módulos de la ve- (t), es decir: locidad lineal y angular viene d) Representación gráfica del MCU dado por: La gráfica de la posi- S</p><p>III 81 Fisica módulo de la velocidad lineal durante También, en la Fig. se observa que la @ 80 el intervato de tiempo es celeración centripeta puede escribirse gular disminuye uniformemente y se di en función de la lineal 40 ce que el movimiento es asi: El movimiento no es 0 b) Ecuaciones siendo, y los módulos de la velocidad lineal final inicial. 3) Relación entre y a 1) angular (a) Al igual que la velocidad sien- Una relación importante entre y 0 pre es tangente a la circunferencia en viene dado por: a todos sus puntos. Es la responsable del cambio de la 4. MOVIMIENTO CIRCULAR magnitud de 2) Velocidad UNIFORMEMENTE VARIA- Esta en la misma dirección que la siendo, "R" el radio de la trayectoria. velocidad si el movimiento es DO MCUV acelerado, en caso contrario es opues- d) Representación gráfica del MCUV to a el. a) En la Fig., anterior se observa que la a 3) Desplazamiento angular celeración tangencial se puede escribir parabola en función de la aceleración lineal mo: 0 R 0 1 0 Nota En todas la si el instan 2) Aceleración 0 0 de tiempo inicial es Es una magnitud que mide la rapidez de cambio que la c) Descomposición rectangular de dirección de la velocidad con el Nota La trayectoria que describe la particula la aceleración angular transcurso del tiempo, su módulo se es una circunferencia, recorriendo des- La aceleración se puede expre El área bajo la recta es igual, halla de. en función de dos componentes my numéricamente al desplazamiento an- plazamientos angulares diferentes en tuamente perpendiculares llamadas; gular intervatos de tiempo La velocidad lineal v varia en el tiem- celeración tangencial y acelera- tanto en módulo como on direc- ción centripeta como se la responsable de esta variación en la Fig. siendo, "R" el radio de la circunferen- cia. se le denomina aceleración lineal Su dirección en todo momento apunta El módulo de la velocidad angular N el centro de la circunferencia. (de varia en el tiempo, pero su dirección ahí el nombre de centripeta). permanece Es la responsable del cambio en la di- La aceleración angular es constante y de puede ser positivo negativo. T Si el módulo de la velocidad an Reemplazando en la ecuación anterior, gular aumenta uniformemente y se dice obtenemos: que el movimiento es 1) Aceleración tangencial Es una magnitud que mide la R</p><p>Física III 82 83 PROBLEMAS Hallar la rapidez con que fue lan- 07. Desde alto de una torre, se lanza un Después de qué tiempo su velocidad zado horizontalmente el proyectil. cuerpo horizontalmente con rapidez de forma con la horizontal en su mo- 01. Un volquete se mueve con rapidez ho- 40 m/s. ángulo forma la vimiento de ascenso? dad con la horizontal, luego de s? ( rizontal de 3 m/s mientras la cae a) m/s b) 4 m/s b)2s verticalmente con una rapidez de 4 m/s d) 6 m/s ¿Cuál es la rapidez de la con res 30 45 pecto al volquete? 04. Las bolas se lanzan 11. Hallar la rapidez con se lanzo un desde una altura "h", moviendose en cuerpo horizontalmente desde cierta al a) m/s c) 3 m/s un mismo plano vertical. Hallar la rela- 08. El cuerpo se lanza horizontalmente des tura "h", si luego de su rapidez d) 4 m/s 5 m/s de "A", al punto Hallar fue el doble de la su rapidez en el punto 02. Se dispara un proyectil de mortero con (1) 25m/s 30m/s a) 10 m/s b) m/s c) m/s un ángulo de elevación de y una ra d) 16 m/s pidez inicial de 50 m/s sobre un terre- A no horizontal. Hallar: 12. Desde el suelo se lanza un cuerpo con El tiempo de vuelo del un de elevación de 53° alcanzan 80m P do una rapidez de 30 m/s en el punto alto de su su al- d2 B tura máxima H. El alcance horizontal del a) 1/2 c) 5/6 c) 70 d) 3/4 a) 200 m b) 220 m c) 240 m a) 20 m b) 25 c) 30 d) 260 Se lanza del suelo una 35 m e) 40 13. Por el plano inclinado un ángulo de qué ángulo de disparo el alcance hori- de la se lanza III. La altura máxima alcanzada. zontal "R" es el triple de la altura 09. La rapidez de lanzamiento del proyec- bola con rapidez de 4 m/s y xima "H"? til es de m/s. el tiempo que de disparo de Hallar la distancia a) 30 m b) 35 m c) 40 demora el proyectil en de A B horizontal recorrida (d) por la Desprecie la IV. ángulo que forma con el terreno en el instante del impacto. 06. La pelota pateada por el futbolista des 8 E cribe una trayectoria parabólica, y per- a) 30" b) c) manece en el aire 6 ¿Qué altura ma alcanzó la pelota? 03. 37 d A b) c) H-? d) 1,96 e) 1,98 b) c) 14. Se lanza la bola por la superficie inte- a) 30 m c) 40 m rior del cilindro vertical liso de radio 10. lanza del suelo una bola con rapidez 2m d) 45 50 de m/s y una inclinación de m con un de to H la qué rapidez</p><p>Física 84 III 85 cial debe lanzarse la bola para que dez inicial y un ángulo de inclina- 21. Desde un que asciende con rapi- retorne al punto luego de dar ción alcanzando una alty A dez de m/s, se lanza una piedra ho cinco vueltas? ra máxima "H" rizontalmente (respecto del globo) con Indicar las afirmaciones H/2 rapidez de m/s, alcanzando una (V) y falsas (F): 1g distancia horizontal de 15 m hasta lle- I. La aceleración centripeta tiene su má- R . gar al suelo, ¿Desde qué altura "H" se ximo valor en H/2 lanzó la piedra? II. La aceleración tangencial en "B" es ce y la centripeta es III. La rapidez del cuerpo en el punto más B "I alto "B" es nula. 0 IV. Si simultáneamente lanzamos otro cuer a) po de "A" con un ángulo de inclina- H cion y la misma rapidez, am- a) c) 14a bos cacrán a tierra el mismo 19. Los proyectiles A y B son lanzados si- 15m instante. colisionando en el ai- re. Hallar la razón entre los a) FVFV b) FFVV c) VVFF a) 21 m b) 23 m c) 25 15. En la trayectoria que descri d) de disparo y FFVF d) 27 be el proyectil, hallar el tiempo que em pleó en de A hacia B, si su rapidez 17. Se lanza una bolita desde con 22. Una rueda gira a razón de 300 rpm. en A fue de 15 pidez de 10 m/s y ángulo de inclina- H La rapidez angular "e" de un punto de 53°, llegando al punto "B" per- cualquiera de la rueda es: pendicularmente al plano Ha A a B B VA el tiempo de movimiento de la bolita. d 2d a) 1/2 b) 1/3 c) 2 d) 3 e) 1/4 La rapidez lineal de un punto si- 20. ¿Con qué rapidez deberá im- tuado a 1 m del centro es. pulsarse el motociclista sobre el plano a) c) 2,0 inclinado 15° respecto de la para evitar ser picado por la cobra? 16. 23. Hallar la rapidez angular de una rueda de de radio, si la rapidez lineal de d) 0,4 s H 60m un punto de su borde es de 21 m/s. C 18. Las esferitas A y B lanzadas simultá- a) rad/s b) 3 c) 5 rad/s neamente con la misma rapidez, A ho- d) 7 rad/s e) 9 rad/s rizontalmente y B verticalmente, cho- can estando a una altura de "H/2" Se lanza un cuerpo de A con una rapi- Hallar a) 10 m/s b) 15 m/s c) 20 m/s 24. La rueda "A" de</p><p>Física Cinemática III 87 86 dez angular gira la rueda "B"? y el minutero forman un ángulo de a) 30 rev b) 32 rev c) 34 rev b) d) 36 rev c) 38 rev min 33. Una rueda parte del reposo con una 37. Una rueda que parte del reposo, gira Rn celeración angular de con MCUV a 10x Si en los dos Cuántas vueltas dará durante el últimos segundos recorre El 29. Las tres ruedas tangentes entre si, tie- segundo? tiempo transcurrido del inicio hasta el nen radios R/2; R/3 respectivamen lapso de los dos últimos segundos es: Cuando el disco de mayor radio rea a) 40 rev b) 45 rev c) 50 rev b) 30 rpm c) 300 rpm liza 4 ¿Cuantas vueltas/s da d) 55 rev e) 60 rev c) d) 150 rpm el disco de menor radio? d) 12 34. La rapidez angular inicial de rueda 25. Un disco rota con rapidez angular cons es de 6 y su aceleración angular 38. Un móvil triplica su rapidez angular tante alrededor de su eje. Hallar la de Hallar: luego de dar 100 rev. en un tiempo de de las rapideces de los pun- RA El de vueltas que da hasta ad- 10 ¿Qué aceleración angular tiene el y que distan del centro quirir una rapidez de 26 rev/s. móvil 1,5 cm, respectivamente. a) 160 rev b) 170 rev c) 180 rev rad B a) c) b) c) 3 A d) 190 rev e) 200 rev d) 4 a) 10 rev/s b) 12 c) 14 rev/s d) 16 rev/s e) 18 rev/s II. El tiempo empleado en alcanzar dicha 26. qué rapidez deberá volar un a- rapidez. en el Ecuador de Este a Oeste, pa 39. Un disco en MCUV partiendo del re- 30. Un disco gira con rapidez angular cons ra que a sus pasajeros les parezca que poso alcanza una rapidez angular de tante, si los puntos periféricos tienen el el Sol está fijo en el firmamento? (Ra- triple de rapidez que los puntos que se d) 300 rev/min al cabo de 1 Cuán- dio de órbita del avión = tas vueltas dio el disco? encuentran 5 cm más cerca al centro del disco, hallar el radio del disco. 35. Una rueda que gira con rapidez de rad/s disminuye esta uniformemente a) 100 rev b) 150 rev c) 200 rev 6,0 cm b) cm c) hasta rad/s efectuando 80 rev. d) 250 rev a) cm d) 7,5 cm e) L Hallar la angular. 27. Dos móviles A y B parten de dos pun- 31. Una rueda que gira a razón de 4 rad/s a) rad/s2 b) rad/s2 diametralmente opuestos de una pis uniformemente su rapidez d) ta circular, en el mismo hasta 22 rad/s en 3 S. Hallar la acelera- e) rad/s2 sentido con rapideces angulares de ción lineal de un punto situado a 0,5 m y rad/s. ¿Después de qué tiempo se del eje. el tiempo empleado. encuentran juntos? c) a) m/s2 b)2s c) 4 32. La rapidez angular de un disco dismi- 36. Una en MCUV partiendo del 28. Se tiene un reloj de agujas, ¿A qué ho- nuye uniformemente de rad/s a reposo da la segunda vuelta en ra entre las tres y las cuatro, el horario rad/s en 8 S. Hallar el número de vuel- En tiempo aproximadamente la primera vuelta?</p><p>Cinemática III 89 88 SOLUCIONARIO B 01 0=530 D 08 Evaluando la de altura en el pun Representemos al volquete y la Solución: 06 to h=80 obtenemos el tiempo, asi: H=45m D Utilizando la relación entre altura ma y tiempo de IV. El ángulo que forma la velocidad con el suelo es, A H=45m D 1-4s Solución: 03 Del movimiento en la dirección del eje De modo que, en la del eje X. la X, obtenemos el tiempo, El vector es tangente la tra En la Fig., la velocidad de la respec- posición del móvil es: yectoria del cuerpo en todo instante, dicha to del volquete velocidad tiene dos componentes (1) Luego, en la dirección del eje de la 40 mula de obtenemos A E 30 Evaluando la de velocidad en el the punto P cuya altura es tenemos: 02 C tiempo de vuelo del proyectil En la dirección del eje la velocidad se mantiene constante, en A: (2) En la dirección horizontal X), divi- En la dirección del eje calculemos la alcance horizontal del es, diendo las distancias recorridas por los componente de la velocidad en A: cuer pos (1) y (2). asi: B Luego, en el 09 Introduzcamos las coordenadas de posi- 05 III. La altura alcanzada es, del Aplicando la relación entre</p><p>III 90 91 En el punto más alto de la trayectoria posiciones final e inicial esto es: se cumple: B on otro en el punto se tiene que: g En la horizontal, sea "n" el nro. de vueltas A 37 que da la bola hasta regresar al punto de partida, tiempo que demora el en ir de A hacia B, en Is el ángulo de Asl, la altura alcanzada es: disparo 05 - en la dirección del eje tenemos: (1) 4-t=3 Asimismo, en la dirección del eje Solución: 11 H=80m C la rapidez inicial, A después de Is 13 y = dez es: En la dirección del eje Y, calculemos el tiempo total de recorrido, 15 (2) Las componentes horizontal y vertical de la velocidad en el punto son: En la Fig., se cumple que: (3) 1=3/5s De (1) y (2) en (3), obtenemos el tiempo: A Luego, la distancia horizontal que recorre Las componentes horizontal y vertical de Solucion: 12 la velocidad en el punto son: la trayectoria parabólica D que describe el cuerpo. 10 Sea instante en que la velocidad forma con la en la se cumple que: F Solución: 14 Luego, en la vertical, el tiempo de recorri- El tiempo total. hallamos igualando las do entre Ay B es:</p>