EDOL POR LAPLACE

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<p>Automação e Controle de Processos</p><p>2</p><p>Universidade Federal de Viçosa</p><p>Reitor</p><p>Demetrius David da Silva</p><p>Vice-reitora</p><p>Rejane Nascentes</p><p>Diretora</p><p>Francisco de Assis de Carvalho Pinto</p><p>Campus Universitário, 36570-000, Viçosa/MG</p><p>Telefone: (31) 3612-1251| Fax: (31) 3612-1251</p><p>Autores: Tarcísio de Assunção Pizziolo</p><p>Layout: Taiane Souza</p><p>Editoração Eletrônica: Taiane Souza e Malena Stariolo</p><p>Edição de conteúdo e CopyDesk: João Batista Mota</p><p>https://www.google.com/search?q=cead+ufv&oq=&aqs=chrome.1.69i59i450l8.12320534j0j15&sourceid=chrome&ie=UTF-8</p><p>https://www.google.com/search?q=cead+ufv&oq=&aqs=chrome.1.69i59i450l8.12320534j0j15&sourceid=chrome&ie=UTF-8</p><p>3</p><p>4 a 15 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS</p><p>APLICANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE</p><p>4</p><p>A propriedade das Transformadas de Laplace das derivadas de uma função, na</p><p>qual todas são proporcionais à transformada da função original, multiplicada por sn,</p><p>em que n é a ordem da derivada, permite transformar uma equação diferencial</p><p>linear com coeficientes constantes numa equação algébrica. Por exemplo,</p><p>consideremos a equação:</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑥2</p><p>− 3</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑥</p><p>+ 2𝑦 = 10𝑠𝑒𝑛(2𝑥)</p><p>𝑦(0) = 1 𝑒</p><p>𝑑𝑦(0)</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 0</p><p>Como já vimos, transformando os dois lados da equação e usando a</p><p>propriedade de linearidade, obtemos:</p><p>ℒ {</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑡2</p><p>} − 3ℒ {</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑡</p><p>} + 2ℒ{𝑦} = 10ℒ{𝑠𝑒𝑛(2𝑡)}</p><p>Cada um dos termos pode ser calculado usando as propriedades da</p><p>transformada de Laplace:</p><p>ℒ{𝑦} = 𝑌(𝑠)</p><p>ℒ {</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑡</p><p>} = 𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) ⇒ ℒ {</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑡</p><p>} = 𝑠𝑌(𝑠) − 1</p><p>ℒ {</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑡2</p><p>} = 𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) −</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑡</p><p>(0) ⇒ ℒ {</p><p>𝑑2𝑦</p><p>𝑑𝑡2</p><p>} = 𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠</p><p>ℒ{𝑠𝑒𝑛(2𝑡)} =</p><p>2</p><p>𝑠2 + 4</p><p>Substituindo, a transformada da equação diferencial é dada por:</p><p>𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠 − 3𝑠𝑌(𝑠) + 3 + 2𝑌(𝑠) =</p><p>20</p><p>𝑠2 + 4</p><p>⇒</p><p>⇒ 𝑌(𝑠) =</p><p>(𝑠 − 3)</p><p>(𝑠2 − 3𝑠 + 2)</p><p>+</p><p>20</p><p>(𝑠2 + 4)(𝑠2 − 3𝑠 + 2)</p><p>⇒</p><p>⇒ 𝑌(𝑠) =</p><p>(𝑠 − 3)(𝑠2 + 4) + 20</p><p>(𝑠2 + 4)(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)</p><p>RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES</p><p>DIFERENCIAIS APLICANDO A</p><p>TRANSFORMADA DE LAPLACE</p><p>5</p><p>Esta é uma equação algébrica que pode ser facilmente simplificada em</p><p>expansão em frações parciais conduzindo à função Y(s):</p><p>As constantes A, B, C e D podem ser determinadas como a seguir.</p><p>(𝑠 − 3)(𝑠2 + 4) + 20</p><p>(𝑠2 + 4)(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)</p><p>=</p><p>𝐴𝑠 + 𝐵</p><p>𝑠2 + 4</p><p>+</p><p>C</p><p>(𝑠 − 1)</p><p>+</p><p>D</p><p>(𝑠 − 2)</p><p>⇒</p><p>⇒ (𝑠 − 3)(𝑠2 + 4) + 20 = (𝐴𝑠 + 𝐵)(𝑠2 − 3𝑠 + 2) + C(s − 2)(𝑠2 + 4) +</p><p>+D(s − 1)(𝑠2 + 4) ⇒</p><p>⇒ 𝑠3 − 3𝑠2 + 4𝑠 + 8 = 𝐴𝑠3 − 3𝐴𝑠2 + 2𝐴𝑠 + 𝐵𝑠2 − 3𝐵𝑠 + 2𝐵 + C𝑠3 + 4𝐶𝑠 −</p><p>−2c𝑠2 − 8C + D𝑠3 + 4Ds − D𝑠2 − 4D ⇒</p><p>⇒ 𝑠3 − 3𝑠2 + 4𝑠 + 8 = 𝐴𝑠3 + C𝑠3 + D𝑠3 − 3𝐴𝑠2 + 𝐵𝑠2 − 2c𝑠2 − D𝑠2 +</p><p>+2𝐴𝑠 − 3𝐵𝑠 + 4𝐶𝑠 + 4Ds + 2𝐵 − 8C − 4D ⇒</p><p>⇒ 𝑠3 − 3𝑠2 + 4𝑠 + 8 = (𝐴 + C + D)𝑠3 + (−3𝐴 + 𝐵 − 2C − D)𝑠2 +</p><p>+(2𝐴 − 3𝐵 + 4𝐶 + 4D)s + (2𝐵 − 8C − 4D)</p><p>Igualando os coeficientes:</p><p>{</p><p>𝐴 + 0𝐵 + C + D = 1</p><p>−3𝐴 + 𝐵 − 2C − D = −3</p><p>2𝐴 − 3𝐵 + 4𝐶 + 4D = 4</p><p>0𝐴 + 2𝐵 − 8C − 4D = 8</p><p>Matricialmente:</p><p>[</p><p>1 0 1 1</p><p>−3 1 −2 −1</p><p>2</p><p>0</p><p>−3</p><p>2</p><p>4</p><p>−8</p><p>4</p><p>−4</p><p>] [</p><p>𝐴</p><p>𝐵</p><p>𝐶</p><p>𝐷</p><p>] = [</p><p>1</p><p>−3</p><p>4</p><p>8</p><p>] ⇒ [</p><p>𝐴</p><p>𝐵</p><p>𝐶</p><p>𝐷</p><p>] = [</p><p>1 0 1 1</p><p>−3 1 −2 −1</p><p>2</p><p>0</p><p>−3</p><p>2</p><p>4</p><p>−8</p><p>4</p><p>−4</p><p>]</p><p>−1</p><p>[</p><p>1</p><p>−3</p><p>4</p><p>8</p><p>] ⇒</p><p>⇒ [</p><p>𝐴</p><p>𝐵</p><p>𝐶</p><p>𝐷</p><p>] = [</p><p>1,5</p><p>−1</p><p>−2</p><p>1,5</p><p>]</p><p>Daí:</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑠 − 1</p><p>𝑠2 + 4</p><p>−</p><p>2</p><p>(𝑠 − 1)</p><p>+</p><p>3</p><p>2</p><p>(𝑠 − 2)</p><p>⇒</p><p>⇒ 𝑌(𝑠) =</p><p>3</p><p>2</p><p>(</p><p>𝑠</p><p>𝑠2 + 4</p><p>) −</p><p>1</p><p>2</p><p>(</p><p>2</p><p>𝑠2 + 4</p><p>) − 2 (</p><p>1</p><p>𝑠 − 1</p><p>) +</p><p>3</p><p>2</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑠 − 2</p><p>)</p><p>A transformada inversa de cada uma das frações parciais é facilmente</p><p>identificada usando a tabela de transformadas. A resposta final é:</p><p>𝒚(𝒕) =</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝐜𝐨𝐬 (𝟐𝒕) −</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕) − 𝟐𝒆𝒕 +</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>𝒆𝟐𝒕</p><p>𝑌(𝑠) =</p><p>𝐴𝑠 + 𝐵</p><p>𝑠2 + 4</p><p>+</p><p>C</p><p>(𝑠 − 1)</p><p>+</p><p>D</p><p>(𝑠 − 2)</p><p>6</p><p>As propriedades da Transformada de Laplace e as das funções básicas</p><p>encontram-se resumidas nesta tabela:</p><p>Tabela com as Transformadas de Laplace importantes</p><p>7</p><p>Função de Transferência</p><p>Função de Transferência é a relação entre a saída pela entrada (uma única</p><p>entrada e uma única saída), considerando as condições iniciais do sistema iguais a</p><p>zero.</p><p>Assim:</p><p>𝑭(𝒔) =</p><p>𝑪(𝒔)</p><p>𝑹(𝒔)</p><p>onde C(s) = saída e R(s) = entrada</p><p>Exemplo: Considerando vi(t) como a entrada do circuito abaixo e vo(t) como</p><p>saída dele, determine a função de transferência F(s).</p><p>A Função de Transferência será:</p><p>𝐹(𝑠) =</p><p>𝑉𝑜(𝑠)</p><p>𝑉𝑖(𝑠)</p><p>Aplicando LKT na malha do circuito RC série:</p><p>𝑣𝑖(𝑡) = 𝑣𝑅(𝑡) + 𝑣𝑜(𝑡)</p><p>⇒ 𝑣𝑖(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝑣𝑜(𝑡)</p><p>Sabe-se que:</p><p>𝑖(𝑡) = 𝐶</p><p>𝑑𝑣𝑜(𝑡)</p><p>𝑑𝑡</p><p>Substituindo i(t) na equação da malha, temos:</p><p>𝑣𝑖(𝑡) = 𝑅𝐶</p><p>𝑑𝑣𝑜(𝑡)</p><p>𝑑𝑡</p><p>+ 𝑣𝑜(𝑡)</p><p>Aplicando a Transformada de Laplace:</p><p>𝑉𝑖(𝑠) = 𝑅𝐶𝑠𝑉𝑜(𝑠) + 𝑉𝑜(𝑠)</p><p>⇒ 𝑉𝑖(𝑠) = (𝑅𝐶𝑠 + 1)𝑉𝑜(𝑠)</p><p>⇒</p><p>𝑉𝑜(𝑠)</p><p>𝑉𝑖(𝑠)</p><p>=</p><p>1</p><p>(𝑅𝐶𝑠 + 1)</p><p>R</p><p>v i t ( ) C v o ( t )</p><p>i(t)</p><p>v R ( t )</p><p>8</p><p>Finalmente a função de transferência é dada por:</p><p>𝑭(𝒔) =</p><p>𝟏</p><p>(𝑹𝑪𝒔 + 𝟏)</p><p>Exemplo Considerando vi(t) como a entrada do circuito abaixo e vo(t) como</p><p>saída dele, determine a função de transferência F(s).</p><p>A Função de Transferência será:</p><p>𝐹(𝑠) =</p><p>𝑉𝑜(𝑠)</p><p>𝑉𝑖(𝑠)</p><p>Aplicando a LKT na malha do circuito RLC série:</p><p>𝑣𝑖(𝑡) = 𝑣𝑅(𝑡) + 𝑣𝐿(𝑡) + 𝑣𝑜(𝑡)</p><p>⇒ 𝑣𝑖(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿</p><p>𝑑𝑖(𝑡)</p><p>𝑑𝑡</p><p>+ 𝑣𝑜(𝑡)</p><p>Sabe-se que:</p><p>𝑖(𝑡) = 𝐶</p><p>𝑑𝑣𝑜(𝑡)</p><p>𝑑𝑡</p><p>e</p><p>𝑑𝑖(𝑡)</p><p>𝑑𝑡</p><p>= 𝐶</p><p>𝑑2𝑣𝑜(𝑡)</p><p>𝑑𝑡2</p><p>Substituindo i(t) e sua derivada na equação da malha:</p><p>𝑣𝑖(𝑡) = 𝑅𝐶</p><p>𝑑𝑣𝑜(𝑡)</p><p>𝑑𝑡</p><p>+ 𝐿𝐶</p><p>𝑑2𝑣𝑜(𝑡)</p><p>𝑑𝑡2</p><p>+ 𝑣𝑜(𝑡)</p><p>Aplicando a Transformada de Laplace:</p><p>𝑉𝑖(𝑠) = 𝑅𝐶𝑠𝑉𝑜(𝑠) + 𝐿𝐶𝑠</p><p>2𝑉𝑜(𝑠) + 𝑉𝑜(𝑠)</p><p>⇒ 𝑉𝑖(𝑠) = (𝐿𝐶𝑠</p><p>2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1)𝑉𝑜(𝑠)</p><p>⇒</p><p>v i ) t (</p><p>i(t) L R</p><p>C</p><p>v L ( t )</p><p>v o ( t )</p><p>v R ( t )</p><p>9</p><p>⇒</p><p>𝑉𝑜(𝑠)</p><p>𝑉𝑖(𝑠)</p><p>=</p><p>1</p><p>(𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1)</p><p>Finalmente:</p><p>𝑭(𝒔) =</p><p>𝟏</p><p>(𝑳𝑪𝒔𝟐 + 𝑹𝑪𝒔 + 𝟏)</p><p>• Polos e Zeros</p><p>Seja um sistema descrito pela equação diferencial 𝟐</p><p>𝒅𝒚</p><p>𝒅𝒕</p><p>+ 𝟓𝒚 = 𝒖 onde u é a</p><p>entrada e y é a saída. Considere também que as condições iniciais são nulas.</p><p>Podemos então escrever:</p><p>[2𝑠𝑌(𝑠) + 5𝑌(𝑠)] = 𝑈(𝑠) ∴ (2𝑠 + 5)𝑌(𝑠) = 𝑈(𝑠)</p><p>⇒</p><p>⇒ 𝑭(𝒔) =</p><p>𝑼(𝒔)</p><p>𝒀(𝒔)</p><p>=</p><p>𝟏</p><p>(𝟐𝒔 + 𝟓)</p><p>Para o caso geral</p><p>𝑎𝑛</p><p>𝑑𝑛𝑦</p><p>𝑑𝑡𝑛</p><p>+ 𝑎(𝑛−1)</p><p>𝑑(𝑛−1)𝑦</p><p>𝑑𝑡(𝑛−1)</p><p>+⋯+ 𝑎1</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑡</p><p>+ 𝑎𝑜𝑦 =</p><p>= 𝑏𝑚</p><p>𝑑𝑚𝑢</p><p>𝑑𝑡𝑚</p><p>+ 𝑏(𝑛−1)</p><p>𝑑(𝑛−1)𝑢</p><p>𝑑𝑡(𝑛−1)</p><p>+⋯+ 𝑏1</p><p>𝑑𝑢</p><p>𝑑𝑡</p><p>+ 𝑏𝑜𝑢</p><p>(an e bm são constantes reais).</p><p>Como ℒ{𝑢(𝑡)} = 𝑈(𝑠) e ℒ{𝑦(𝑡)} = 𝑌(𝑠), teremos:</p><p>(𝑎𝑛𝑠</p><p>𝑛 + 𝑎(𝑛−1)𝑠</p><p>(𝑛−1) +⋯+ 𝑎1𝑠 + 𝑎𝑜)𝑌(𝑠) =</p><p>= (𝑏𝑚𝑠</p><p>𝑚 + 𝑏(𝑚−1)𝑠</p><p>(𝑚−1) +⋯+ 𝑏1𝑠 + 𝑏𝑜)𝑈(𝑠)</p><p>Conclusão:</p><p>𝑭(𝒔) =</p><p>(𝒃𝒎𝒔</p><p>𝒎 + 𝒃(𝒎−𝟏)𝒔</p><p>(𝒎−𝟏) +⋯+ 𝒃𝟏𝒔 + 𝒃𝒐)</p><p>(𝒂𝒏𝒔</p><p>𝒏 + 𝒂(𝒏−𝟏)𝒔</p><p>(𝒏−𝟏) +⋯+ 𝒂𝟏𝒔 + 𝒂𝒐)</p><p>Podemos também escrever:</p><p>𝑭(𝒔) =</p><p>𝑩𝒎 (𝒔 − 𝒛𝟏)(𝒔 − 𝒛𝟐)… (𝒔 − 𝒛𝒎)</p><p>𝑩𝒏(𝒔 − 𝒑𝟏)(𝒔 − 𝒑𝟐)… (𝒔 − 𝒑𝒏)</p><p>{</p><p>𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑚</p><p>⇒ 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 "𝒁𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒂 𝑭𝒖𝒏çã𝒐 𝒅𝒆 𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂"</p><p>𝑝1, 𝑝2, … 𝑝𝑛</p><p>⇒ 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 "𝑷𝒐𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒂 𝑭𝒖𝒏çã𝒐 𝒅𝒆 𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂"</p><p>10</p><p>Onde:</p><p>𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑚 são valores para os quais F(s) torna − se zero</p><p>𝑝1, 𝑝2, … 𝑝𝑛 𝑠ã𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝐹(𝑠)</p><p>→ ∞</p><p>Exemplo Esboçar o diagrama de polos e zeros para F(s).</p><p>𝐹(𝑠) = [</p><p>6(𝑠 + 1)(𝑠2 + 2𝑠 + 2)</p><p>𝑠(𝑠 + 2)(𝑠2 + 4𝑠 + 13)</p><p>]</p><p>⇒ 𝐹(𝑠) = [</p><p>6(𝑠 + 1)(𝑠 + 1 + 𝑗1)(𝑠 + 1 − 𝑗1)</p><p>𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 2 + 𝑗3)(𝑠 + 2 − 𝑗3)</p><p>]</p><p>Zeros: 𝑧1 = −1 ; 𝑧2 = (−1 − 𝑗1) 𝑒 𝑧3 = (−1 + 𝑗1) e z4 no infinito!</p><p>Polos: 𝑝1 = 0 ; 𝑝2 = −2; 𝑝3 = (− 2 − 𝑗3) ; 𝑝4 = (− 2 + 𝑗3)</p><p>j1</p><p>j2</p><p>j3</p><p>-j3</p><p>-j2</p><p>-j1</p><p>-1-2-3 0 1 2 σ</p><p>jw</p><p>Diagrama de Polos e Zeros</p><p>Marcação no Diagrama</p><p>Polos</p><p>Zeros</p><p>11</p><p>Exemplos:</p><p>1. Resolver as Equações Diferenciais Ordinárias Lineares aplicando a Transformada</p><p>de Laplace.</p><p>a)</p><p>dy</p><p>dt</p><p>+ 3y = 0; com y(0) = 1</p><p>ℒ {</p><p>dy</p><p>dt</p><p>+ 3y} = 0 ⟹ sY(s) − y(0)⏟</p><p>=1</p><p>+ 3Y(s) = 0 ⟹ Y(s)(s + 3) = 1 ⟹</p><p>⟹ Y(s) =</p><p>1</p><p>(s + 3)</p><p>Pela transformada inversa de Laplace (tabela!):</p><p>y(t) = ℒ−1 {</p><p>1</p><p>(s + 3)</p><p>} ⟹ y(t) = e−3t</p><p>b)</p><p>dv</p><p>dt</p><p>+ 2v = −12; com v(0) = −2</p><p>ℒ {</p><p>dv</p><p>dt</p><p>+ 2v} = ℒ{−12} ⟹ sV(s) − v(0)⏟</p><p>−2</p><p>+ 2V(s) =</p><p>−12</p><p>s</p><p>⟹</p><p>⟹ s2V(s) + 2s + 2sV(s) = −12 ⟹</p><p>⟹ [s2 + 2s]V(s) = −12 − 2s ⟹ V(s) = −</p><p>2s + 12</p><p>s(s + 2)</p><p>=</p><p>A</p><p>s</p><p>+</p><p>B</p><p>(s + 2)</p><p>Determinação dos coeficientes A e B:</p><p>A = [−</p><p>(2s + 12)s</p><p>s(s + 2)</p><p>]|</p><p>s=0</p><p>⟹ A = (−</p><p>2s + 12</p><p>(s + 2)</p><p>)|</p><p>s=0</p><p>⟹ A = −6</p><p>B = [−</p><p>(2s + 12)(s + 2)</p><p>s(s + 2)</p><p>]|</p><p>s=−2</p><p>⟹ B = (−</p><p>2s + 12</p><p>s</p><p>)|</p><p>s=−2</p><p>⟹ B = 4</p><p>Então:</p><p>V(s) = −</p><p>6</p><p>s</p><p>+</p><p>4</p><p>(s + 2)</p><p>⇒ na tabela!</p><p>v(t) = ℒ−1 {−</p><p>6</p><p>s</p><p>+</p><p>4</p><p>(s + 2)</p><p>} ⟹ v(t) = −6 + 4e−2t</p><p>12</p><p>c)</p><p>d2y</p><p>dt2</p><p>+ 4</p><p>dy</p><p>dt</p><p>+ 5y = 0; com y(0) = 4 e</p><p>dy(0)</p><p>dt</p><p>= −6</p><p>ℒ {</p><p>d2y</p><p>dt2</p><p>+ 4</p><p>dy</p><p>dt</p><p>+ 5y = 0} = 0 ⟹</p><p>⟹ s2Y(s) − s y(0)⏟</p><p>=4</p><p>−</p><p>dy(0)</p><p>dt⏟</p><p>=−6</p><p>+ 4 [sY(s) − y(0)⏟</p><p>=4</p><p>] + 5Y(s) = 0 ⟹</p><p>⟹ s2Y(s) − 4s + 6 + 4sY(s) − 16 + 5Y(s) = 0 ⟹</p><p>⟹ Y(s)(s2 + 4s + 5) − 4s − 10 = 0 ⟹</p><p>⟹ Y(s) =</p><p>4s + 10</p><p>(s2 + 4s + 5)</p><p>Y(s) =</p><p>4s + 10</p><p>(s2 + 4s + 5)</p><p>=</p><p>A</p><p>(s + 2 + j1)</p><p>+</p><p>B</p><p>(s + 2 − j1)</p><p>Determinação dos coeficientes A e B:</p><p>A = [</p><p>(4s + 10)(s + 2 + j1)</p><p>(s + 2 + j1)(s + 2 − j1)</p><p>]|</p><p>s=−2−j1</p><p>⇒ A = (</p><p>4s + 10</p><p>(s + 2 − j1)</p><p>)|</p><p>s=−2−j1</p><p>⇒</p><p>⟹ A = (</p><p>4(−2 − j1) + 10</p><p>((−2 − j1) + 2 − j1)</p><p>) ⟹ A = (</p><p>2 − j4</p><p>−j2</p><p>) ⟹ A = (</p><p>1 − j2</p><p>−j</p><p>) ⟹ A = 2 + j1</p><p>B = A∗ = 2 − j1</p><p>Então:</p><p>Y(s) = [</p><p>(2 + j1)</p><p>(s + 2 + j1)</p><p>] + [</p><p>(2 − j1)</p><p>(s + 2 − j1)</p><p>] ⇒ na tabela!</p><p>y(t) = (2 + j1)ℒ−1 {</p><p>1</p><p>(s + 2 + j1)</p><p>} + (4 − j1)ℒ−1 {</p><p>1</p><p>(s + 2 − j1)</p><p>} ⟹</p><p>⟹ y(t) = (2 + j1)e−(2+j1)t + (2 − j1)e−(2−j1)t ⟹</p><p>⟹ y(t) = 2e−(2+j1)t + 2e−(2−j1)t + j1e−(2+j1)t − j1e−(2−j1)t ⟹</p><p>⟹ y(t) = 2(e−2te−j1t) + 2(e−2te+j1t) + j1(e−2te−j1t) − j1(e−2te+j1t) ⟹</p><p>⟹ y(t) = 2e−2t(e+j1t+e−j1t) + j1e−2t(−e+j1t + e−j1t) ⟹</p><p>⟹ y(t) = e−2t[2(e+j1t+e−j1t) − j1(e+j1t − e−j1t)] ⟹</p><p>⟹ y(t) = e−2t [</p><p>2 × 2(e+j1t+e−j1t)</p><p>2</p><p>−</p><p>j2 × j1(e+j1t − e−j1t)</p><p>j2</p><p>] ⟹</p><p>⟹ y(t) = e−2t</p><p>[</p><p>4 (</p><p>e+j1t+e−j1t</p><p>2</p><p>)</p><p>⏟</p><p>cos (t)</p><p>+ 2(</p><p>e+j1t − e−j1t</p><p>j2</p><p>)</p><p>⏟</p><p>sen(t) ]</p><p>⟹</p><p>⟹ y(t) = e−2t[4cos (t) + 2sen(t)]</p><p>13</p><p>d)</p><p>d2v</p><p>dt2</p><p>+ 4</p><p>dv</p><p>dt</p><p>+ 20v = 0; com v(0) = 0 e</p><p>dv(0)</p><p>dt</p><p>= 2</p><p>ℒ {</p><p>d2v</p><p>dt2</p><p>+ 4</p><p>dv</p><p>dt</p><p>+ 20v = 0} = 0 ⇒</p><p>⟹ s2V(s) − s v(0)⏟</p><p>=0</p><p>−</p><p>dv(0)</p><p>dt⏟</p><p>=2</p><p>+ 4 [sV(s) − v(0)⏟</p><p>=0</p><p>] + 20V(s) = 0 ⟹</p><p>⟹ s2V(s) − 2 + 4sV(s) + 20V(s) = 0 ⟹ V(s)(s2 + 4s + 20) − 2 = 0 ⟹</p><p>⇒ V(s) =</p><p>2</p><p>(s2 + 4s + 20)</p><p>=</p><p>A</p><p>(s + 2 + j4)</p><p>+</p><p>B</p><p>(s + 2 − j4)</p><p>Determinação dos coeficientes A e B:</p><p>A = [</p><p>2(s + 2 + j4)</p><p>(s + 2 + j4)(s + 2 − j4)</p><p>]|</p><p>s=−2−j4</p><p>⟹ A = (</p><p>2</p><p>(s + 2 − j4)</p><p>)|</p><p>s=−2−j4</p><p>⟹</p><p>⟹ A = (</p><p>2</p><p>((−2 − j4) + 2 − j4)</p><p>) ⟹ A = (</p><p>2</p><p>−j8</p><p>) ⟹ A = (</p><p>1</p><p>−j4</p><p>) ⟹ A = j</p><p>1</p><p>4</p><p>B = A∗ = −j</p><p>1</p><p>4</p><p>Então:</p><p>V(s) = [</p><p>j</p><p>4(s + 2 + j4)</p><p>] + [</p><p>−j</p><p>4(s + 2 − j4)</p><p>] ⇒ na tabela!</p><p>v(t) =</p><p>j</p><p>4</p><p>ℒ−1 {</p><p>1</p><p>(s + 2 + j4)</p><p>} −</p><p>j</p><p>4</p><p>ℒ−1 {</p><p>1</p><p>(s + 2 − j4)</p><p>} ⟹</p><p>⟹ v(t) =</p><p>j</p><p>4</p><p>[e−(2t+j4)t − e−(2t−j4)t] ⟹</p><p>⟹ v(t) =</p><p>j</p><p>4</p><p>[e−2te−j4t − e−2tej4t] ⟹</p><p>⟹ v(t) = −j2 ×</p><p>j</p><p>4</p><p>e−2t [</p><p>ej4t−e−j4t</p><p>j2</p><p>]</p><p>⏟</p><p>sen(4t)</p><p>⟹</p><p>⟹ y(t) =</p><p>1</p><p>2</p><p>e−2tsen(4t)</p><p>e)</p><p>d2i</p><p>dt2</p><p>+ 6</p><p>di</p><p>dt</p><p>+ 9i = 2e−3t; com i(0) = 0 e</p><p>di(0)</p><p>dt</p><p>= 1</p><p>ℒ {</p><p>d2i</p><p>dt2</p><p>+ 6</p><p>di</p><p>dt</p><p>+ 9i = 0} = ℒ{2e−3t} ⟹</p><p>⟹ s2I(s) − s i(0)⏟</p><p>=0</p><p>−</p><p>di(0)</p><p>dt⏟</p><p>=1</p><p>+ 6 [sI(s) − i(0)⏟</p><p>=0</p><p>] + 9I(s) =</p><p>2</p><p>(s + 3)</p><p>⟹</p><p>14</p><p>⟹ s2I(s) − 1 + 6sI(s) + 9I(s) =</p><p>2</p><p>(s + 3)</p><p>⟹ I(s)(s2 + 6s + 9) − 1 =</p><p>2</p><p>(s + 3)</p><p>⟹</p><p>⟹ I(s)(s2 + 6s + 9) =</p><p>2</p><p>(s + 3)</p><p>+ 1 ⟹ I(s) =</p><p>(s + 5)</p><p>(s + 3) (s2 + 6s + 9)⏟</p><p>(𝑠+3)2</p><p>⟹</p><p>⟹ I(s) =</p><p>(s + 5)</p><p>(s + 3)3</p><p>=</p><p>A</p><p>(s + 3)3</p><p>+</p><p>B</p><p>(s + 3)2</p><p>+</p><p>C</p><p>(s + 3)</p><p>Determinação dos coeficientes A, B e C:</p><p>A = [(s + 3)3</p><p>(s + 5)</p><p>(s + 3)3</p><p>]|</p><p>s=−3</p><p>⟹ A = (s + 5)|s=−3 ⟹ A = 2</p><p>B = [</p><p>d</p><p>ds</p><p>[(s + 3)3</p><p>(s + 5)</p><p>(s + 3)3</p><p>]]|</p><p>s=−3</p><p>⟹ B = [</p><p>d</p><p>ds</p><p>[(s + 5)]]|</p><p>s=−3</p><p>⟹ B = 1</p><p>C = [</p><p>d2</p><p>ds2</p><p>[(s + 3)3</p><p>(s + 5)</p><p>(s + 3)3</p><p>]]|</p><p>s=−3</p><p>⟹ C = [</p><p>d2</p><p>ds2</p><p>[(s + 5)]]|</p><p>s=−3</p><p>⟹ C = 0</p><p>Então:</p><p>I(s) =</p><p>(s + 5)</p><p>(s + 3)3</p><p>=</p><p>2</p><p>(s + 3)3</p><p>+</p><p>1</p><p>(s + 3)2</p><p>+</p><p>0</p><p>(s + 3)</p><p>⟹</p><p>⟹ I(s) =</p><p>2</p><p>(s + 3)3</p><p>+</p><p>1</p><p>(s + 3)2</p><p>⇒ na tabela!</p><p>i(t) = 2ℒ−1 {</p><p>1</p><p>(s + 3)3</p><p>} + {</p><p>1</p><p>(s + 3)2)</p><p>} ⟹ i(t) = 2</p><p>1</p><p>2!</p><p>t2e−3t + 2</p><p>1</p><p>1!</p><p>te−3t ⟹</p><p>⟹ i(t) = t2e−3t + te−3t ⟹ i(t) = e−3t(t2 + t)</p><p>2. Considerando vi(t) como a entrada do circuito, R = 1 MΩ, C = 1 μF e vo(t) como</p><p>saída do mesmo, determine a Função de Transferência F(s).</p><p>Aplicando a LKT (Lei de Kirchhoff de Tensão) temos,</p><p>vi(t) − vR(t) − vC(t) = 0</p><p>Mas vc(t) = v0(t), então:</p><p>vi(t) − vR(t) − v0(t) = 0 ⟹ vi(t) = Ri(t) +</p><p>1</p><p>C</p><p>∫ i(t)dt</p><p>t</p><p>0</p><p>= 0………… . .1</p><p>15</p><p>Para a determinação da função de transferência 𝐅(𝐬) =</p><p>𝐕𝟎(𝐬)</p><p>𝐕𝐢(𝐬)</p><p>, deve-se aplicar a</p><p>transformada de Laplace na equação 1, assim,</p><p>ℒ {vi(t) = Ri(t) +</p><p>1</p><p>C</p><p>∫ i(t)dt</p><p>t</p><p>0</p><p>} = 0 ⟹ Vi(s) = RI(s) +</p><p>1</p><p>sC</p><p>I(s) ………… . .2</p><p>A função I(s) vale: ℒ{v0(t)} = ℒ {</p><p>1</p><p>C</p><p>∫ i(t)dt</p><p>t</p><p>0</p><p>} ⟹ V0(s) =</p><p>1</p><p>sC</p><p>I(s) ⟹</p><p>⇒ I(s) = sCV0(s)</p><p>Substituindo I(s) na equação 2, tem-se:</p><p>Vi(s) = RI(s) +</p><p>1</p><p>sC</p><p>I(s) ⟹ Vi(s) = R[sCV0(s)] +</p><p>1</p><p>sC</p><p>[sCV0(s)] ⟹</p><p>⟹ Vi(s) = RCsV0(s) + V0(s) ⟹ Vi(s) = (RCs + 1)V0(s) ⟹</p><p>⇒</p><p>V0(s)</p><p>Vi(s)</p><p>=</p><p>1</p><p>(RCs + 1)</p><p>⟹</p><p>V0(s)</p><p>Vi(s)</p><p>=</p><p>1</p><p>(s + 1)</p><p>Se quisermos saber a tensão vo(t) no capacitor C = 1 μF para uma entrada</p><p>vi(t) = 10 Volts;</p><p>Vo(s)</p><p>Vi(s)</p><p>=</p><p>1</p><p>(s + 1)</p><p>⇒ Vo(s) =</p><p>1</p><p>(s + 1)</p><p>Vi(s)</p><p>Como</p><p>vi(t) = 10 ⇒ Vo(s) =</p><p>10</p><p>s</p><p>Tem-se:</p><p>Vo(s) =</p><p>1</p><p>(s + 1)</p><p>Vi(s) ⇒ Vo(s) =</p><p>1</p><p>(s + 1)</p><p>(</p><p>10</p><p>s</p><p>) ⇒ Vo(s) =</p><p>10</p><p>s(s + 1)</p><p>Expandido em frações parciais:</p><p>Vo(s) =</p><p>10</p><p>s(s + 1)</p><p>=</p><p>A</p><p>s</p><p>+</p><p>B</p><p>(s + 1)</p><p>Determinação dos coeficientes A e B:</p><p>A = [</p><p>10s</p><p>s(s + 1)</p><p>]|</p><p>s=0</p><p>⟹ A = (</p><p>10</p><p>s + 1</p><p>)|</p><p>s=0</p><p>⟹ A = 10</p><p>B = [</p><p>10(s + 1)</p><p>s(s + 1)</p><p>]|</p><p>s=−1</p><p>⟹ B = (</p><p>10</p><p>s</p><p>)|</p><p>s=−1</p><p>⟹ B = −10</p><p>Então:</p><p>Vo(s) =</p><p>10</p><p>s</p><p>−</p><p>10</p><p>(s + 1)</p><p>Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se vo(t).</p><p>vo(t) = ℒ</p><p>−1{Vo(s)} ⇒ vo(t) = ℒ</p><p>−1 {</p><p>10</p><p>s</p><p>−</p><p>10</p><p>(s + 1)</p><p>} ⇒ vo(t) = 10(1 − e</p><p>−t) V</p>