Lista 1 (cal 4)

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<p>Macaé, 07 de Agosto de 2019</p><p>Cursos de Engenharia</p><p>Prof. Roberto Mamud.</p><p>Lista 1 – Cálculo 4 – 2019/02</p><p>Justifique todas as suas respostas.</p><p>1. Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções:</p><p>(a) f(t) = 1;</p><p>(b) f(t) = eat;</p><p>(c) f(t) = t;</p><p>(d) f(t) = t2;</p><p>(e) f(t) = tn, com n ∈ N;</p><p>(f) f(t) = sen (t);</p><p>(g) f(t) = cos(t);</p><p>(h) f(t) = senh (t);</p><p>(i) f(t) = cosh(t);</p><p>(j) f(t) = eat sen (bt);</p><p>(k) f(t) = eat cos(bt);</p><p>(l) f(t) = teat;</p><p>(m) f(t) = tneat, com n ∈ N;</p><p>(n) f(t) =</p><p>{</p><p>0, t < 2</p><p>(t− 2)2, t ≥ 2.</p><p>(o) f(t) =</p><p>{</p><p>0, t < 1</p><p>t2 − 2t+ 2, t ≥ 1.</p><p>(p) f(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>(t− τ)2 cos(2τ)dτ ;</p><p>(q) f(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>e−(t−τ) sen (τ)dτ ;</p><p>(r) f(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>(t− τ)eτdτ ;</p><p>(s) f(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>sen (t− τ) cos(τ)dτ .</p><p>2. Seja f(t) uma função admisśıvel tal que</p><p>|f(t)| < Keat, para t > M.</p><p>Mostre que sua transformada de Laplace, F (s), existe para todo s > a.</p><p>3. Considere</p><p>g(t) =</p><p>∫ t</p><p>0</p><p>f(x)dx.</p><p>Mostre que, se g(t) é admisśıvel, então</p><p>L[g(t)] =</p><p>1</p><p>s</p><p>F (s),</p><p>onde F (s) é a transformada de Laplace de f(t).</p><p>4. Considere</p><p>F (s) =</p><p>∫ ∞</p><p>0</p><p>e−stf(t)dt.</p><p>(a) Mostre que</p><p>F ′(s) = L[−tf(t)];</p><p>(b) Mostre que</p><p>F (n)(s) = L[(−t)nf(t)];</p><p>5. Considere a função degrau dada por:</p><p>dτ (t− t0) =</p><p>{ 1</p><p>2τ</p><p>, se t0 − τ < t < t0 + τ</p><p>0, se t ≤ t0 − τ ou t ≥ t0 + τ,</p><p>onde τ > 0 e t0 > 0.</p><p>(a) Mostre que o impulso gerado, I(τ), pela função dτ (t) é unitário, ou seja, que</p><p>I(τ) =</p><p>∫ ∞</p><p>−∞</p><p>dτ (t)dt = 1;</p><p>(b) Mostre que</p><p>lim</p><p>τ→0+</p><p>dτ (t− t0) =</p><p>{</p><p>0, se t 6= t0</p><p>+∞, se t = t0;</p><p>(c) Mostre que</p><p>L[dτ (t− t0)] =</p><p>e−st0</p><p>τs</p><p>sinh(sτ);</p><p>(d) Definindo a ”função”delta de Dirac como</p><p>δ(t− t0) := lim</p><p>τ→0+</p><p>dτ (t− t0),</p><p>mostre que o impulso gerado por esta função é unitário;</p><p>(e) Conclua que</p><p>L[δ(t− t0)] = e−st0 .</p><p>6. Considere uma função f : R→ R, cont́ınua. Usando a definição da delta de Dirac, mostre</p><p>que ∫ ∞</p><p>−∞</p><p>δ(t− t0)f(t)dt = f(t0).</p><p>DICA: Use o Teorema do Valor Médio para Integrais.</p><p>7. Determine a transformada de Laplace inversa das funções abaixo:</p><p>(a) F (s) =</p><p>3</p><p>s2 + 4</p><p>;</p><p>(b) F (s) =</p><p>4</p><p>(s− 1)3</p><p>;</p><p>(c) F (s) =</p><p>2</p><p>s2 + 3s− 4</p><p>;</p><p>(d) F (s) =</p><p>3</p><p>s2 + 4</p><p>;</p><p>(e) F (s) =</p><p>3s</p><p>s2 − s− 6</p><p>;</p><p>(f) F (s) =</p><p>2s+ 2</p><p>s2 + 2s+ 5</p><p>;</p><p>(g) F (s) =</p><p>3!</p><p>(s− 2)4</p><p>;</p><p>(h) F (s) =</p><p>e−2s</p><p>s2 + s− 2</p><p>;</p><p>(i) F (s) =</p><p>(s− 2)e−2s</p><p>s2 − 2s+ 2</p><p>;</p><p>(j) F (s) =</p><p>2e−2s</p><p>s2 − 4</p><p>;</p><p>(k) F (s) =</p><p>1</p><p>s4(s2 + 1)</p><p>;</p><p>(l) F (s) =</p><p>s</p><p>(s+ 1)(s2 + 4)</p><p>;</p><p>(m) F (s) =</p><p>1</p><p>(s+ 1)2(s2 + 4)</p><p>;</p><p>(n) F (s) =</p><p>G(s)</p><p>s2 + 1</p><p>, onde G(s) = L[g(t)], com g(t) admisśıvel.</p><p>8. Suponha que</p><p>F (s) =</p><p>P (s)</p><p>Q(s)</p><p>,</p><p>onde Q(s) é um polinômio de grau n com ráızes distintas r1, r2, . . . , rn, e P (s) é um</p><p>polinômio de grau menor do que n. Neste caso, é posśıvel mostrar que P (s)/Q(s) possui</p><p>uma expansão em fração parcial da forma</p><p>P (s)</p><p>Q(s)</p><p>=</p><p>A1</p><p>s− r1</p><p>+</p><p>A2</p><p>s− r2</p><p>+ · · ·+ An</p><p>s− rn</p><p>, (1)</p><p>onde os coeficientes Ak, k = 1, 2, ..., n, devem ser determinados.</p><p>(a) Mostre que</p><p>Ak =</p><p>P (rk)</p><p>Q′(rk)</p><p>, k = 1, 2, ..., n;</p><p>(DICA: Multiplique a equação (??) por (s− rk) e, então, tome o limite s→ rk)</p><p>(b) Mostre que</p><p>L−1[F (s)] =</p><p>n∑</p><p>k=1</p><p>P (rk)</p><p>Q′(rk)</p><p>erkt.</p><p>9. Determine a solução das seguintes problemas de valor inicial de segunda ordem, usando</p><p>transformada de Laplace:</p><p>(a) y′′ − y′ − 6y = 0, com y(0) = 1 e y′(0) = −1;</p><p>(b) y′′ + 3y′ + 2y = 0, com y(0) = 1 e y′(0) = 0;</p><p>(c) y′′ − 2y′ − 6y = 0, com y(0) = 0 e y′(0) = 1;</p><p>(d) y′′ + y = t, com y(0) = 1 e y′(0) = 2;</p><p>(e) y′′ + ω2y = cos(2t), com ω2 6= 4, y(0) = 1 e y′(0) = 0;</p><p>(f) y′′ − 2y′ + 2y = cos(t), com y(0) = 1 e y′(0) = 0;</p><p>(g) y′′ + 2y′ + 2y = δ(t− π), com y(0) = 1 e y′(0) = 0;</p><p>(h) y′′ + 3y′ + 2y = δ(t− 5) + u10(t), com y(0) = 0 e y′(0) = 1/2;</p><p>(i) ty′′ + 2y′ + ty = 0, com y(0) = 1 e y′(0) = 1.</p><p>(j) y′′ + 4y′ + 5y = e−3t cos(t), com y(0) = 2 e y′(0) = 1;</p><p>Bons Estudos!</p>